M3/II A 005/006 tanévi Országos Középiskoai Tanuányi Verseny eső (iskoai) orduójának javítási-értékeési útutatója Fizika II kategóriában
A 005/006 tanévi Országos Középiskoai Tanuányi Verseny eső orduójának eadatai és egodásai i z i k á b ó A dogozatok ekészítéséhez inden segédeszköz hasznáható Megodandó az eső háro eadat és a 4/A és 4/B sorszáú eadatok közü egy szabadon váasztott Csak 4 egodásra adható pont Ha vaaki 5 egodást küd be, a 4/A és 4/B eadat közü a több pontot érő egodást vesszük igyeebe II kategória eadat Két, azonos nagyságú, eentétes eőjeű pontszerű tötés a rajz szerinti egyenőszárú hároszög aapjának végpontjaiban van rögzítve A tötésektő szárazó eektroos térerősség nagysága az M eezőpontban -szer akkora, int a hároszög eső, P csúcspontjában Mekkora az α szög?,+ Ια P M Ια - Megodás Írjuk e az eredő térerősséget ind az M, ind a P pontban a tötések és akaasan evett távoságok segítségéve! Jeöjük a hároszög aapján evő csúcsának az M ponttó vaó távoságát -sze, a szárak hosszát -e! Ekkor az M pontbei eektroos térerősség nagysága éppen kétszerese az egyik tötés ketette térerősségnek, hiszen az M pont indkettőtő azonos távoságra van, és a térerősség-vektorok itt egyirányúak Ezek aapján az egyik tötés ketette ező térerőssége az M pontban: Az eredő térerősség tehát E M k E M EM k P pontbei térerősség-vektorok eredője párhuzaos az aappa, és összetevőik egyenő nagyságúak: E P k, és az eredő térerősség az ábra szerint: E P EP cosα k cosα,+ A hároszög hegyesszögének koszinusza: cosα A etéte szerint az M-bei térerőség -szer akkora, int a P-bei, tehát k E M, 3 E P k cosα cosα cos α cosα és innen a keresett szög koszinusza: cosα 3 0, 48075, ahonnan a keresett szög: α arccos 0,48075 6,7 Ια P Ια M E M + M EM - E P E P Ια - E P
eadat Mekkora a Pútó Charon nevű hodjának a keringési ideje, ha a Pútó és a Charon távosága d 600 k, töegük M P,3 0 kg, M Ch,47 0 Kg Megodás A két égitest a közös töegközéppontjuk körü kering, vagyis a Charon páyasugara a töegközépponttó vaó távosága R Ch Tkp A töegközéppont a testek távoságát a töegekke ordított arányú szakaszokra osztja, vagyis M P RCh d M P + M Ch A Charonra a Pútó gravitációs ereje hat d távoságbó Ez szogátatja a centripetáis erőt: M M d A keringési idő és a szögsebesség kapcsoata aapján: P Ch M Ch RCh ω ω P Ch M P d R π π π π T π ω M P M P M P + M Ch 3 d RCh M P d d d M + M Száértékekke: T π 6,67 0 kg 7 3 (,6 0 ) (,3 0 kg +,47 0 kg) Ch ( M + M ) 55088 s 6,378 nap 6 nap h 4,8 perc P d 3 Ch 3 eadat Egy vastagabb és egy vékonyabb szakaszbó áó csőben 0 c agas higanyoszop evegőt zár e az ábrán átható ódon Hogyan heyezkedik e a higany a csőben, ha a csövet nyitott szájáva eeé ordítjuk? (Adjuk eg, ennyi higany esz a vékony és a vastag csőben!) A küső égnyoás,00 5 Pa 75 Hgc, a vastagabb csőszakasz sugara a vékonyabb hároszorosa, a csőszakaszok hossza 0-0 c, a két csőszakaszba 0-0 c higany óg be I Megodás Mive a csövek keresztetszeteinek aránya :, ezért a vastag csőben a higanyszint -sze vaó csökkenése szintvátozást eredényez a vékony csőben I Fetéteezzük, hogy a hőérséket áandó, így akaazhatjuk a bezárt gázra a Boye Mariotte-törvényt A nyoást cészerű higanyiiéterben érni, ive a gázt ezáró oyadék higany! p V pv Itt a térogat h A, aho h a gázoszop agassága, A a cső keresztetszetének a terüete A gázoszop agassága kezdetben 0 c vot, a nyoása a égköri nyoáson eü az összesen 0 c agas higanyoszop nyoásáva nagyobb, ezért (etéteezve, hogy inden higany a csőben arad) a nyoás és térogat szorzata száértékekke eírva:
( 75 + 0) Hgc 0 c A [ 75 ( 0 + 8) ] Hgc ( 0 + ) c A, ui p p 0 + 0 Hgc, és p p 0 (0 + 8) Hgc, ert a 0 c higanyoszop hossza egnőtt 8-sze, (-sze csökkent a eső 0 c részben, és -sze nőtt a vékony csőben) Egyenetünk rendezve: I c 0 c 5 0 c [ 55 8 ] ( 0 + )c 0 - c A űveetek evégzése után: 0 c 50 550 80 + 55 8, rendezve az aábbi vegyes ásodokú egyenetet kapjuk: c 8 + 5 + 400 0, aeynek egodása: 5 ± 5 4 8 400 6 Látható, hogy a diszkriináns negatív, aibő az következik, hogy etéteezésünk, hogy inden higany a csőben arad heyteen vot, azaz a vékonyabb csőszakaszbó kioyik vaaennyi higany Így az eőző ábránk is heyteen A vaós heyzetet az aábbi ábra utatja: A vékonyabb csőszakaszt egtöti a higany, s ennek egeeően szá ejjebb a higanyszint a vastagabb csőszakaszban Határozzuk eg, hogy ennyive süyed a higanyszint a vastag (zárt) csőszakaszban, és ennyi higany oyik ki a vékony csőbő! A Boye Mariotte-törvény a kiinduó- és végáapotra a nuerikus adatok ehasznáásáva: ( 75 + 0) Hgc 0 c A 75 Hgc ( 0 + 0 ) Hgc 0 + c A A vastag cső keresztetszetének terüetéve egyszerűsíthetünk A kijeöt űveetek evégzése után isét vegyes ásodokú egyenetet kapunk: + 55 500 0 Innen a vastag csőben aradó higany agasságára a következőt kapjuk: [ ] ( ) 55 ± 55 + 4 500 7,4 c c 5, c Fizikai szepontbó csak a pozitív érték a egodás, < 0 hais A vastag csőben a higany szintje 7,4 centiétert süyed, azaz benne,06 c agas higanyréteg arad, íg a vékony csőszakaszt tejesen kitöti a higany Eenőrzés: 0 5 74 (75 04) 50 450 + 45 + 0 + + 55 500 0 55 ± 55 74c < 0 hais + 4 500 I c 0 - c 0 c 3
Meghatározható, hogy ennyi higany oyt ki és ennyi aradt a csőben A kezdeti összes higanytérogat: A 0 + 0 00 V 0 c A + 0 c c A c A,c A A végső térogat: 8,54 + 0 38,54 V,06 c A + 0 c A c A A 4,8 c A A kioyt higany térogata: V V V, c A 4,8 c A 6,8 c A A csőrendszerbő etávozott az eredetieg benne evő higanyennyiség V 6,8 c A 0, 646 6,46% -a V,c A 4/A eadat Vagonrendezés közben konténerre egterhet áó tehervagonnak ütközik egy 3 /s sebességű üres vagon Az ütközés a egengedettné kissé nagyobb sebességge történt, ezért a konténer egcsúszott a vagon patóján A vagonok és a konténer töege ugyanakkora A konténer és a vagon patója közti csúszási súródás együtthatója µ 0,45 A vagonok és a sínek közti gördüő eenáás, a kerekek töege ehanyagoható, a vagonok ütközése rugaas és pianatszerű a) Mekkora sebességge indu e az áó vagon az ütközés után? b) Mekkora esz a konténert száító vagon és a konténer közös sebessége, aikor a konténer ár á a patóhoz képest? c) Mennyit ozdut e a konténer a vagon patójához képest? d) Miyen távo esz a két vagon egyástó, aikor a konténer éppen egá a vagon patójához képest? Megodás a) Mive az ütközés pianatszerű, az ütköző kocsik áta egyásra kiejtett erő eett a tapadó súródási erő ehanyagoható, tehát úgy vehetjük, hogy a áda aatt hirteen egódu a tehervagon, s ezután kezd e a konténer a taajhoz képest nyugaobó egyorsuni a súródási erő hatására Az ütközés tehát a két vagon között jön étre Mive egyenő töegek rugaas ütközésekor sebességcsere történik, a egökött vagon v 3 /s sebességge indu, s az üres vagon egá b) Az ütközés után a súródási erő a konténert gyorsítani, a vagont pedig assítani ogja a közös sebesség eéréséig Eközben a vagon és a konténer közös endüete áandó arad Mive a két test kezdeti endüete v, a közös sebesség beáta után pedig u, aho -e a konténer és a vagon azonos töegét, u-va pedig a közös sebességet jeöjük v 3 A közös sebesség tehát s u v ahonnan u,5 s c) Jeöjük -e a vagon eozduását addig a pianatig, aíg a konténer egá a patón, a konténer vagonhoz viszonyított eozduását pedig -sze! Ezekke a jeöésekke a konténer eozduása a taajhoz képest a t, a vagoné pedig 4
a v t t, aho a gyorsuás abszoút értéke a köcsönhatás törvénye szerint indkét testre azonos, a µg A konténer v t a idő aatt éri e a vagonna közös sebességet Ennyi idő aatt a konténer a taajhoz viszonyítva a a v v t 4a utat, a vagon pedig 3 v v 3v 3v v t at v a s 0,75 a 4a 8µ g 8 0,45 0 s utat tett eg A konténernek az eozduása a vagon patóján: v 3v v v s 0,5 4a 4 0,45 0 s d) A két vagon egyástó vaó távosága abban a pianatban, aikor a konténer éppen egá a patón (ive a nekiütköző vagon az ütközés pianatában egát): 0,75 4/B eadat Az α 30 o -os hajásszögű sia ejtőre heyezett 3 kg töegű testet nyugaoban tartjuk A test egyik odaához csigán átvetett oná csatakozik, aeynek végén ugyancsak 3 kg töegű nehezék ügg A test ásik odaához egy kezdetben nyújtatan, D 60 / direkciós erejű rugó van erősítve, aeynek ásik vége rögzített, és tengeye a onáa egy egyenest akot A kezdetben nyugvó testet ökésentesen eengedjük a) Mekkora út egtétee után éri e a test a aiáis sebességét? b) Mekkora esz a test ozgása során ez a aiáis sebesség? c) Maiáisan ennyit eekedik a test? D d) Mennyi idő aatt teszi eg a test az utat a egeső pontig?(száojunk g 0 /s -te!) Megodás a) A test eeé gyorsuva indu Maiáis sebességét akkor éri e, aikor a rá ható erők eredője egy pianatra zérussá váik Ekkor rá a nehézségi erő, a ejtő kényszerereje, a egterhet oná és a rugó hat A testre ható nehézségi erő (g) és a ejtő kényszerereje (g cosα) eredője g sinα Vegyük észre, hogy ebben a pianatban a test gyorsuása nua, tehát a onáon üggő teher éppen g nagyságú erőve hat, vagyis a onáerő ebben a pianatban g A rugó áta kiejtett erő D, aho a rugó rövid jeöése Ezze a ozgásegyenet: g g sin α D 0, Száadatokka: g( sinα ) 30 ( sin30 ) 0,5 D 60 α 5
b) A test aiáis sebessége ezek után p a unkatétebő nyerhető: g g D ( ) va Itt g a nehézségi erőnek a süyedő terhen végzett unkája, g/ (a 30 o iatt) a ejtőn eekedő testen végzett unkája, D / a rugó áta végzett unka Innen a aiáis sebesség: 3 0 0,5 60 0,065 g D s v a 0,65 0,7 3 kg s s (Paraéteresen, ehasznáva, hogy g/d: v a g D g 8D g D 8D g 8D 3 kg 00 s 8 60 0,65 0,7 ) s s c) A test aiáis eekedése a 30 o iatt a nehezék összes süyedésének (i a rugó tejes egnyúásának) a ee Isét a unkatétet akaazva induástó a egáásig: a g a g Da 0, Azaz g a g 30 Da 0, azaz ha 0,5 D 60 (Ez ne véeten, ui a egeső pontig egy haronikus rezgőozgás é periódusa jön étre, a aiáis sebességet pedig apitúdónyi út után éri e a test Ez pedig 0,5, vagyis a kétszeres apitúdó 0,5 A ejtő entén aiáisan ekkora utat tesz eg a test, és az eekedés agassága ennek a ee) d) A egeső pontig történő eekedés ideje a é rezgésidő: T t π π D 3 kg 60 0,3 s s 6
Értékeési javasat Mindegyik eadat tejes egodásáért 0 pont jár A tanár javítsa ki a dogozatokat és áapítsa eg a pontszáot Terészetesen a közöttő etérő gondoatenetet is e ke ogadni, ha heyes Hiányosságok iatt tört pontszáot ke evonni Abban az esetben, ha a gondoatenet jó, durva nuerikus hibáért aiáisan 5 pont vonható e A tanár a dogozatra írja rá, hogy indegyik eadat egodását hány pontra értékei A dogozat pontszáa a négy eadatra adott pontszáok összege, aiáisan 80 pont Ugyanazon eadat ásodik, vagy haradik ódon történt egodásáért ne adható küön pont Beküdendők indazok a dogozatok, aeyek összpontszáa 40 vagy több Csak 4 eadat pontértéke száíthat be az összpontszába! JAVASOLT RÉSZPOTSZÁMOK eadat Az M pontbei térerőség eghatározása 5 pont Az eredő térerősség eírása a P pontban 5 pont A keresett szög kiejezése a geoetriai adatokka 3 pont A keresett szög koszinuszára heyesen eírt haradokú egyenet 4 pont A keresett szög koszinuszának kiejezése pont A keresett szög nuerikus egadása pont eadat A Charon közös töegközépponttó vaó távoságának heyes eírása 4 pont A szögsebesség eghatározásához a centripetáis erő heyes eírása 6 pont A szögsebesség kiejezése 4 pont A keresett keringési idő kiejezése 4 pont A keringési idő nuerikus egadása pont 3 eadat A egordított csőrendszer nyoás térogat viszonyainak heyes eírása 4 pont A süyedés értékére kapott egyenet egodásának érteezése 4 pont Az új heyzetre eírt heyes egyenet 4 pont A süyedés értékének eghatározása 3 pont A kioyt higanyennyiség eghatározása akár térogatban (A üggvényében), akár százaékban 5 pont 4/A eadat a) A sebességcsere eiserése pont b) A közös sebesség eghatározása 3 pont c) A vagon és a konténer eozduásának eghatározása a csúszás végéig 4 pont A két test gyorsuásának egadása pont A ozgásidő eghatározása pont A konténer eozduása a taajhoz viszonyítva pont A vagon eozduása a taajhoz viszonyítva pont A konténer eozduása a patóhoz képest pont d) A vagonok egyástó vaó távoságának egadása pont 4/B eadat a) Annak eiserése, hogy a aiáis sebesség eérése pianatában a testre ható erők eredőjének 0-nak ke ennie 3 pont A ozgásegyenet heyes eírása 3 pont A keresett út kiszáítása 3 pont b) A unkatéte (energia-egaradás téte) heyes eírása 4 pont A aiáis sebesség eghatározása pont c) A test aiáis eekedésének eghatározása 3 pont d) A test aiáis eekedésig etet idő eghatározása pont