Fried Katalin Korándi József Török Judit A modern algebra alapjai
Tartalomjegyzék 1. Bevezető 5 2. Algebrai műveletek 7 3. Félcsoportok 20 4. Csoportok 31 5. Mellékosztályok, normálosztó 50 6. Csoport kompatibilis osztályozása 62 7. Permutációcsoportok 78 8. Gyűrűk 93 9. Félgyűrű beágyazása integritástartományba (Az egész számok felépítése) 114 10.Testek 121 11.Integritástartomány beágyazása testbe, hányadostest (A racionális számok felépítése) 126 12.Testbővítések 131 13.A geometriai szerkeszthetőség algebrai elmélete 157 14.TESZTEK 176 3
1. fejezet Bevezető Kedves Olvasó! Ez a könyv egy háromkötetes elektronikus jegyzet harmadik kötete. A jegyzet a modern algebrához vezető rögös és hosszú út első és bátortalan lépéseit mutatja be tanárszakos hallgatóknak. Igyekeztünk azokra az alapvető ismeretekre szorítkozni, illetve részletesen kitérni, amelyek a tanítás során (akár burkoltan is) felmerülhetnek. Továbbá igyekeztünk az egyetemi szintű ismereteket összefűzni a korábban tanultakkal, hogy megkönnyítsük az új (fajta) gondolatmenetek feldolgozását. Munkánkban sokan segítettek, külön köszönettel tartozunk Komjáth Péternek, a könyv korábbi verziójának lektorálásáért. Köszönetünk Hraskó Andrásnak, aki a javított, elektronikus kiadást nézte át. A könyv technikai feldolgozásában segítségünkre volt sok-sok hallgató, akiknek ezúton is köszönjük a munkájukat. Az anyag három részre tagozódik: Számelmélet. Ez a rész az általános- és középiskolában tanult számelméleti ismereteket kívánja megalapozni, rendszerezni és kiegészíteni. Lényegében az oszthatóság fogalmától elindulva jutunk el a kongruenciákig és a számelméleti függvényekig. Utalás történik a mai modern számelméletnek ha nem is a módszereire, de néhány problémájára és eredményére. A feldolgozás során tekintettel arra, hogy ez a rész kapcsolódik a legközvetlenebbül az általános iskolai anyaghoz folyamatosan szem előtt tartottuk az iskolai alkalmazásokat, még ha nem is mindig tértünk ki rá. Klasszikus algebra. Ebben a részben megpróbáljuk összefoglalni azokat a (klasszikus) algebrai ismereteket, amelyek meggyőződésünk szerint az 5
6 1. Bevezető algebrai alapműveltség részét képezik, és amelyekre a hallgatóknak egyéb tanulmányaik során is szükségük lehet. Így bevezetjük a komplex számokat, szólunk polinomokról és polinomegyenletekről, valamint még számos olyan dologról, amelyek neve egy ilyen bevezetésben valószínűleg inkább ijesztőek semmint lelkesítőek lennének, így most fel sem soroljuk ezeket. (A bátrabbak és a Szellemvasút kedvelői esetleg kukucskáljanak bele a tartalomjegyzékbe.) A feldolgozás során folyamatosan használni kezdjük az (absztrakt) algebra kifejezéseit, de ez már igazából a következő részhez tartozik. Íme: Modern algebra. Manapság leginkább ezt szokás algebrának nevezni. Ebben a részben megismerked(het)ünk a mai matematika (és részben fizika, kémia stb.) egészét átható absztrakt gondolkodásmód alapfogalmaival, alapvető, illetve elemi tételeivel. Kiderül(het), hogy hol mindenütt fordulnak elő algebrai megfontolások az analízis témaköreiben, hogy miért nem geometriai, hanem algebrai probléma például a kör négyszögesítése, de még akár az is megtudható, hogy mik azok a racionális számok.
2. fejezet Algebrai műveletek A következő fejezetekben elsősorban különféle algebrai struktúrákról lesz szó. Algebrai struktúrát úgy kaphatunk, ha egy nem üres halmazon egy vagy több ún. algebrai műveletet definiálunk. 2.1. Definíció. Az S nem üres halmazon értelmezett (kétváltozós) algebrai művelet egy olyan (ϕ: S S S) leképezés, amely az S halmaz két tetszőleges (nem feltétlenül különböző) eleméhez hozzárendeli az S halmaz egy elemét. 2.1. ábra. Azt, hogy a leképezés az (a, b) elempárhoz a c elemet rendeli, vagyis ϕ(a, b) = c, úgy is jelölhetjük, hogy a b = c, ahol a műveletet jelöli. Egy halmazon értelmezett kétváltozós algebrai művelet tehát egyrészt leképezés, vagyis a halmaz tetszőleges két (nem feltétlenül különböző) eleméhez hozzárendel egy eredményt vagyis a halmaz bármelyik két elemén elvégezhető a művelet, másrészt a halmaznak zártnak kell lennie a műveletre nézve, vagyis tetszőleges két elem esetén a művelet eredményének is halmazbeli elemnek kell lennie. Algebrai művelet például az egész (vagy páros egész vagy racionális vagy valós) számok halmazán az összeadás, a kivonás, a szorzás, a maximum-, illetve minimumképzés vagy például ha két számhoz hozzárendeljük a két szám négyzetösszegét. 7
8 2. Algebrai műveletek Nem algebrai művelet az egész számok halmazán például az osztás (két egész szám hányadosa nem mindig egész szám) vagy a legnagyobb közös osztó képzése (a 0-nak és a 0-nak nincs értelmezve a legnagyobb közös osztója). Szintén nem algebrai művelet például a páratlan egészek halmazán az összeadás (a szorzás viszont igen), vagy a sík vektorainak halmazán a vektorok skaláris szorzása. Megjegyzés. A kétváltozós műveletek értelmezéséhez hasonlóan értelmezhetünk egyváltozós, illetve kettőnél több változós algebrai műveleteket is. (Az egyváltozós műveleteket gyakrabban nevezzük függvényeknek.) Egyváltozós művelet például az egész számok halmazán az ellentettképzés vagy az abszolút érték képzése; háromváltozós pedig például az a művelet, amely tetszőleges három számhoz hozzárendeli a három szám maximumát. 2.2. ábra. A kétváltozós maximum művelet táblázata. A szürke oszlopban a művelet első operandusa, a szürke sorban a második szerepel. 2.2. Definíció. Algebrai struktúrának nevezzük az (S,,,...) legalább kéttagú rendszert, ahol S egy nem üres halmaz, a,,... pedig az S halmazon értelmezett algebrai műveletek. Az algebrai struktúra tehát egy halmaz és egy vagy több rajta értelmezett algebrai művelet együttesét jelenti. Ahhoz, hogy egy (H,,,...) rendszerről eldöntsük, hogy algebrai struktúra-e, mindössze azt kell ellenőriznünk, hogy a, stb. algebrai műveletek-e az S halmazon. Ennek megfelelően beszélhetünk például a páros egészek összeadási struktúrájáról, de nem beszélhetünk a páratlan egészek összeadási struktúrájáról. Megjegyzés. Egy halmazon általában igen sokféle algebrai művelet értelmezhető. Ha például az {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} tíz elemű halmazon szeretnénk egy kétváltozós algebrai műveletet értelmezni, akkor a halmaz elemeiből álló 10 10 = 100 elempár mindegyikéhez hozzá kell rendelnünk egy halmazbeli elemet. Miután a 100 elempár mindegyikénél teljesen szabadon dönthetjük el, hogy a halmaz tíz eleme közül melyiket rendeljük hozzá az illető elempárhoz, ezt összesen 10 100 -féleképpen tehetjük meg, tehát a fenti halmazon 10 100 -féle algebrai művelet értelmezhető. Ezek közül bizonyosaknak van ismerős neve szerepelni fog köztük például a maximumképzés vagy a legnagyobb közös osztó képzése, többségüknek azonban nincs, de ettől még bármelyiket is választhatjuk vizsgálódásaink tárgyául. Amikor egy (S,,,,...) algebrai struktúráról beszélünk, akkor a,,... műveletek nem az S halmazon értelmezett összes elképzelhető algebrai
Fried Katalin Korándi József Török Judit: A modern algebra alapjai 9 műveletet jelentik, hanem egy vagy több konkrétan megadott műveletet. Ennek megfelelően (Z, +) jelenti az egész számok összeadási struktúráját, (Z, ) az egész számok szorzási struktúráját, (Z, +, ) pedig az egész számok struktúráját az összeadásra és a szorzásra nézve. (Z, ) nem jelent semmit, amíg meg nem mondjuk, hogy pontosan milyen műveletet jelöltünk -rel. Ha az egész számok összeadását, kivonását és szorzását már értelmeztük, akkor mondhatjuk például azt, hogy definiáljuk a műveletet a következőképpen: a, b Z, a b := a + b ab, és ekkor már beszélhetünk a (Z, ) struktúráról. Mint később látni fogjuk, az algebrai struktúrákat aszerint szokás csoportosítani, hogy a bennük szereplő művelet vagy műveletek milyen tulajdonságokkal rendelkeznek. A leggyakoribb szóbajövő szempontok (műveleti tulajdonságok) a következők: 2.3. Definíció. Az (S,,...) struktúra művelete kommutatív, ha a, b S-re a b = b a; asszociatív, ha a, b, c S-re (a b) c = a (b c); (2.3. ábra), azaz a zárójel elhagyható 2.3. ábra. invertálható, ha a, b S-hez léteznek olyan x, y S elemek, amelyekre a x = b és y a = b. (Az a x = b és y a = b egyenletek megoldhatók S-ben.) Az (S,,,...) struktúra művelete disztributív a műveletére, ha a, b, c S-re a a (b c) = (a b) (a c) és (a b) c = (a c) (b c). 2.1. Megjegyzés. Amikor azt mondjuk, hogy minden a, b S, akkor természetesen akár ugyanaz az elem is lehet az a és a b, vagyis arra gondolunk most és a továbbiakban is, hogy minden, nem feltétlenül különböző a, b S elemekre vonatkozik az megállapítás. Ritkábban fogunk hivatkozni a következő műveleti tulajdonságokra: Az (S,,...) struktúra művelete idempotens, ha a S-re a a = a és kancellatív, ha a, b S-re az a x = b és y a = b egyenleteknek legfeljebb egy-egy megoldása van S-ben.
10 2. Algebrai műveletek Az (S,,,...) struktúra művelete abszorbtív a műveletre nézve, ha a, b S-re a (a b) = a (elnyelési tulajdonság). Például az egész számok halmazán értelmezett műveletek közül könnyen ellenőrízhető, hogy: 1. Kommutatív, asszociatív és invertálható (nem idempotens de kancellatív) például az összeadás. 2. Kommutatív, asszociatív de nem invertálható (nem idempotens és nem kancellatív) például a szorzás. 3. Nem kommutatív, nem asszociatív de invertálható (nem idempotens de kancellatív) például a kivonás. 4. Kommutatív, nem asszociatív de invertálható (nem idempotens és nem kancellatív) például a következő művelet: a b := a + b. 5. Nem kommutatív de asszociatív és invertálható (nem idempotens de kancellatív) például a következő művelet: a b := { a + b, a b, ha a páros ha a páratlan. (2.4. ábra) 2.4. ábra. 6. Kommutatív de nem asszociatív és nem invertálható (nem idempotens és nem kancellatív) például a következő művelet: a b := (a + b) 2. 7. Nem kommutatív de asszociatív és nem invertálható (idempotens és nem kancellatív) például a következő művelet: a b := a. 8. Nem kommutatív, nem asszociatív és nem is invertálható (nem idempotens és nem kancellatív) például a következő művelet: a b := a 2 + b. A fenti példák közül a szorzás disztributív az összeadásra nézve (a 6. példában szereplő művelet pedig abszorbtív bármelyik műveletre nézve). Algebrai struktúrák vizsgálata során azt is érdemes megnézni, hogy vannak-e az adott művelettel kapcsolatban speciálisan viselkedő elemek a halmazban: 2.4. Definíció. Az (S, ) algebrai struktúra n elemét neutrális elemnek nevezzük, ha a S-re a n = n a = a.
Fried Katalin Korándi József Török Judit: A modern algebra alapjai 11 Egyműveletes struktúrákban szokás a neutrális elemet egységelemnek nevezni, több művelet esetén mindig meg kell mondanunk, hogy melyik művelet neutrális eleméről beszélünk. Ha a műveletek között szerepel összeadás vagy szorzás (avagy annak nevezett művelet), akkor az összeadás neutrális elemét általában (additív) zérusnak, a szorzás neutrális elemét pedig egységelemnek nevezzük. Amennyiben az (S, ) struktúra n elemére teljesül, hogy a S-re n a = a, akkor n -t szokás bal oldali neutrális elemnek (bal oldali egységelemnek), ha pedig a S-re a n = a, akkor jobb oldali neutrális elemnek (jobb oldali egységelemnek) nevezni. Megjegyzés. Az egység és az egységelem nem azonos fogalmak. Az egységelem definiciója a fenti, míg az (S, ) struktúra egy ε elemét akkor nevezzük egységnek, ha a struktúra minden elemének osztója, vagyis ha a S- hez létezik olyan q S, amelyre ε q = q ε = a. Az egységelem mindig egység is, fordítva viszont nem igaz, például (Z, )-ban a 1 egység, de nem egységelem. Például az egész számok halmazán: 1. Az összeadás neutrális eleme (additív zérus) a 0. 2. A szorzás neutrális eleme (egységelem) az 1. 3. Az a b := a + b műveletnek nincs neutrális eleme. { a + b, ha a páros 4. Az a b := művelet neutrális eleme a 0. a b, ha a páratlan (2.4. ábra) 5. Az a b := (a + b) 2 műveletnek nincs neutrális eleme. 6. Az a b := a műveletnek nincs neutrális eleme, viszont bármelyik (egész) szám jobb oldali neutrális elem. 7. A kivonásnak nincs neutrális eleme, viszont a 0 jobb oldali neutrális elem. 8. Az a b := a 2 + b műveletnek nincs neutrális eleme, viszont a 0 bal oldali neutrális elem. 2.1. Tétel. Egy (S, ) struktúrában legfeljebb egy neutrális elem lehet. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az (S, ) struktúrában n 1 is és n 2 is neutrális elem. Ekkor egyrészt n 1 n 2 = n 1 (mert n 2 neutrális elem), másrészt n 1 n 2 = n 2 (mert n 1 neutrális elem), így n 1 = n 2.
12 2. Algebrai műveletek Megjegyzés. A tétel bizonyítása során csak azt használtuk fel, hogy n 2 jobb oldali, n 1 pedig bal oldali neutrális elem. Ezek szerint az is igaz, hogy ha egy struktúrában van bal oldali neutrális elem is és jobb oldali neutrális elem is, akkor azok szükségképpen egybeesnek. 2.5. Definíció. Az (S, ) struktúra z elemét zéruselemnek nevezzük, ha Sre a z = z a = z. A neutrális elemhez hasonlóan definiálhatunk bal, illetve jobb oldali zéruselemet is. Megjegyzés. A zérus és a zéruselem nem azonos fogalmak, zérusnak általában az összeadás neutrális elemét nevezik. 2.5. ábra. Fenti példáink közül: 1. (Z, +)-ban nincs zéruselem. 2. (Z, )-ban zéruselem a 0. 3. (Z, )-ben, ahol a b := a + b, nincs zéruselem. (2.5. ábra) { a + b, ha a páros 4. (Z, )-ben, ahol a b :=, nincs zéruselem. a b, ha a páratlan (2.4. ábra) 5. (Z, )-ben, ahol a b := (a + b) 2, nincs zéruselem. 6. (Z, )-ben, ahol a b := a, nincs zéruselem, viszont minden (egész) szám bal oldali zéruselem. 7. (Z, )-ban nincs zéruselem. 8. (Z, )-ben, ahol a b := a 2 + b, nincs zéruselem. 2.2. Tétel. Egy (S, ) struktúrában legfeljebb egy zéruselem lehet. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy z 1 is és z 2 is zéruselem. Ekkor z 1 z 2 = z 1 (mert z 2 zéruselem), ugyanakkor z 1 z 2 = z 2 (mert z 1 zéruselem), így z 1 = z 2.
Fried Katalin Korándi József Török Judit: A modern algebra alapjai 13 Érdekes kérdés lehet, hogy ha a struktúrában van neutrális elem, akkor mely elemekhez létezik olyan elem, amellyel összeművelve a neutrális elemet kapjuk eredményül, azaz mely a elemek esetén van megoldása az a x = n, illetve y a = n egyenletnek. 2.6. Definíció. Amennyiben az (S, ) struktúra neutrális eleme n, és a struktúra a eleméhez létezik a struktúrának olyan a eleme, amelyre a a = a a = n, akkor az a elemet az a elem inverzének nevezzük. (Ha a a = n, akkor a az a jobb oldali, ha pedig a a = n, akkor a az a bal oldali inverze.) Ha a struktúra művelete az összeadás, akkor az a elem inverzét szokás ( a)-val, egyébként pedig (a 1 )-nel jelölni. Például: 1. (Z, +)-ban minden elemnek van inverze (az ellentettje). 2. (Z, )-ban csak az 1-nek és a ( 1)-nek van inverze (mindkettőnek önmaga). { a + b, ha a páros 3. (Z, )-ben, ahol a b :=, minden elemnek van a b, ha a páratlan inverze (a páros számoknak az ellentettjük, a páratlanoknak önmaguk). (2.4. ábra) Érdemes észrevenni, hogy egy struktúra egységeleme (ha van) mindig önmaga inverze. Azt is érdekes lehet megvizsgálni, hogy egy zéruselemes struktúrában vannak-e olyan a zéruselemtől különböző elemek, amelyeken elvégezve a műveletet a zéruselemet kapjuk. 2.7. Definíció. Az (S, ) zéruselemes struktúrát zérusosztómentesnek (nullosztómentesnek) nevezzük, ha a, b S-re a b = z akkor és csak akkor teljesül, ha a = z vagy b = z (ahol z a struktúra zéruseleme). Példáink közül csak (Z, )-ban volt zéruselem, és mivel két egész szám szorzata akkor és csak akkor 0, ha legalább az egyik tényező 0, (Z, ) zérusosztómentes. Nem zérusosztómentes például a 2 2-es mátrixok szorzási struktúrája, mert például További példák: ( 1 0 0 0 ) ( ) 0 0 = 1 1 ( ) 0 0 0 0
14 2. Algebrai műveletek 1. Logikai műveletek. A kételemű i, h halmazon összesen 16-féle (legfeljebb) kétváltozós algebrai műveletet értelmezhetünk, ezeket szokás kijelentéslogikai műveleteknek nevezni. Megvizsgálva közülük néhányat, például a következőket tapasztalhatjuk: Az és művelet ( ): kommutatív és asszociatív, de nem invertálható. (Továbbá idempotens és nem kancellatív.) Egységelem az i, zéruselem a h. Csak az egységelemnek van inverze. Az ({i, h}, ) struktúra zérusosztómentes. A (megengedő) vagy művelet ( ): kommutatív, asszociatív, nem invertálható (idempotens és nem kancellatív). Egységelem a h, zéruselem az i. Csak az egységelemnek van inverze. Az ({i, h}, ) struktúra zérusosztómentes. b {}}{ { i h i i h a h h h b {}}{ { i h i i i a h i h Az és művelet disztributív a vagy műveletre nézve, és a vagy művelet is disztributív az és műveletre nézve. (Az és művelet abszorbtív a vagy műveletre nézve, és a vagy művelet is abszorbtív az és műveletre nézve.) Implikáció (a b) nem kommutatív, nem asszociatív, nem invertálható (nem idempotens és nem kancellatív). Sem egységelem, sem zéruselem nincs (az i bal oldali egységelem, és egyben jobb oldali zéruselem). b {}}{ { i h i i h a h h i Ekvivalencia ( ) kommutatív, asszociatív, invertálható (nem idempotens de kancellatív). Egységelem az i, zéruselem nincs. Mindkét elem önmaga inverze. b {}}{ { i h i i h a h h i 2. Halmazműveletek. Ahhoz, hogy egy halmazokból álló alaphalmaz algebrai struktúrát alkosson valamelyik ismerős halmazműveletre például a metszet- vagy unióképzésre nézve (vagyis ahhoz, hogy például a metszetvagy unióképzés algebrai művelet legyen halmazok valamilyen halmazán), igen körültekintően kell eljárnunk az alaphalmaz megválasztásakor. Teljesülnie kell ugyanis annak, hogy az alaphalmaz tetszőleges két elemén elvégzett művelet eredményének is az alaphalmaz elemének kell lennie. Ezt például úgy garantálhatjuk, ha egy előre rögzített H halmaz P (H) hatványhalmazát választjuk alaphalmaznak. A metszetképzés ( ): A B := {x (x A) (x B)}
Fried Katalin Korándi József Török Judit: A modern algebra alapjai 15 kommutatív, asszociatív, nem invertálható (idempotens és nem kancellatív). Egységelem maga a H halmaz, zéruselem az üres halmaz. Az egységelemen kívül egyik elemnek sincs inverze. A (P (H), ) struktúra nem zérusosztómentes (hiszen két diszjunkt halmaz metszete akkor is üres, ha egyik halmaz sem az üres halmaz). 2.6. ábra. Unióképzés ( ): A B := {x (x A) (x B)} kommutatív, asszociatív, nem invertálható (idempotens és nem kancellatív). Egységelem az üres halmaz, zéruselem a H halmaz. Az egységelemen kívül egyik elemnek sincs inverze. A (P (H), ) struktúra nem zérusosztómentes (hiszen tetszőleges A elemét például a (H-ra vonatkozó) komplementerével egyesítve a H halmazt kapjuk). A metszet- és unióképzés kölcsönösen disztributívak (és abszorbtívak) egymásra nézve. 2.7. ábra. Különbség (\): A \ B := {x (x A) (x / B)} nem kommutatív, nem asszociatív, nem invertálható (nem idempotens de kancellatív). Sem egységelem, sem zéruselem nincs. 2.8. ábra. Szimmetrikus differencia ( ): A B := (A \ B) (B \ A) = {x ( (x A) (x / B) ) ( (x / A) (x B) )} kommutatív, asszociatív, invertálható (nem idempotens de kancellatív). Egységelem az üres halmaz, zéruselem nincs. Minden elemnek van inverze (saját maga). A metszetképzés disztributív, de nem abszorbtív a szimmetrikus differenciára nézve.
16 2. Algebrai műveletek 2.9. ábra. 3. Leképezések szorzása (függvénykompozíció, összetett függvény). Általában egy ϕ(x): H K és egy ψ(x): K L leképezés szorzatán a ψ ϕ: H L, (ψ ϕ)(x) = ψ ( ϕ(x) ) leképezést értjük. Ahhoz, hogy leképezések egy halmaza algebrai struktúrát alkosson erre a műveletre nézve, arra van szükség, hogy a szóbanforgó leképezések bármelyikének az értelmezési tartománya tartalmazza bármelyiknek az értékkészletét. Az alaphalmaznak emiatt egy előre rögzített H halmazt önmagára vivő leképezésekből, vagy ezek egy alkalmasan megválasztott részhalmazából kell állnia. Az összes R R (valós függvények) leképezések halmazán a függvénykompozíció nem kommutatív de asszociatív, és nem invertálható (nem idempotens és nem kancellatív). Egységelem az x x függvény, zéruselem nincs. Inverze a bijektív leképezéseknek (és csak azoknak) van. Az R R lineáris függvények (x ax + b, ahol a = 0 és a, b R) halmazán a függvénykompozíció nem kommutatív, de asszociatív és invertálható (nem idempotens de kancellatív). Egységelem az x x függvény, zéruselem nincs. Minden elemnek van inverze: ( (x ax + b) 1 = x 1 a x b ) a A kételemű {0, 1} halmazt a következő négy leképezés viszi önmagára: { { { { 0 0 0 0 0 1 0 1 ϕ 1 : ; ϕ 2 : ; ϕ 3 : ; ϕ 4 : 1 0 1 1 1 0 1 1 E leképezések halmazán a leképezések szorzásának művelettáblázata: ϕ a { ϕ b }} { ϕ a ϕ b ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 1 ϕ 1 ϕ 1 ϕ 1 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 3 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 4 ϕ 4 ϕ 4 ϕ 4 ϕ 4 Ez a művelet nem kommutatív de asszociatív, nem invertálható (nem idempotens és nem kancellatív). Egységelem a ϕ 2, zéruselem nincs (ϕ 1 bal oldali, ϕ 4 pedig jobb oldali zéruselem).
Fried Katalin Korándi József Török Judit: A modern algebra alapjai 17 Inverze ϕ 2 -nek és ϕ 3 -nak van (mindkettőnek önmaga). A {0, 1} halmazt önmagára vivő bijektív leképezések halmazán (vagyis a fenti halmaz {ϕ 2, ϕ 3 } részhalmazán a leképezések szorzása kommutatív, asszociatív és invertálható) (nem idempotens de kancellatív). Geometriai transzformációk Egy tetszőleges ponthalmazt (például a síkot) önmagára vivő leképezéseket szokás geometriai transzformációknak nevezni. A leképezések szorzása ilyenkor a transzformációk egymás utáni alkalmazását jelenti. például a síkot önmagára vivő összes transzformációk halmazán a transzformációk szorzása nem kommutatív de asszociatív, nem invertálható (nem idempotens és nem kancellatív); egységelem a helyben hagyás (identikus leképezés), zéruselem nincs; inverze a bijektív leképezéseknek (és csak azoknak) van. Egy ponthalmazt önmagára vivő transzformációk közül a távolságtartó leképezéseket egybevágósági transzformációknak nevezik. Egy tetszőleges ponthalmazt önmagára vivő egybevágósági transzformációk halmazán a leképezések szorzása általában nem kommutatív, de mindig asszociatív és invertálható (általában nem idempotens de mindig kancellatív). Egységelem a helyben hagyás, zéruselem általában nincs. Homogén lineáris leképezések Egy T test feletti vektorteret önmagára vivő leképezések közül a homogén lineáris leképezések (transzformációk) önmagukban is algebrai struktúrát alkotnak a leképezések szorzására nézve. Például a valós test feletti (tetszőleges) n-dimenziós vektortér homogén lineáris transzformációinak halmazán a leképezések szorzása nem kommutatív de asszociatív, nem invertálható (nem idempotens de kancellatív); egységelem az identikus leképezés, zéruselem az a leképezés, amely minden vektorhoz a 0-vektort rendeli. A struktúra nem zérusosztómentes. (Minden lényeges tulajdonsága megegyezik a valós feletti n n-es mátrixok szorzási struktúrájának tulajdonságaival.) 4. Vektorok szorzása. A tér vektorainak halmazán szokás úgynevezett skaláris szorzást, illetve vektoriális szorzást definiálni. 2.8. Definíció. A vektorok skaláris szorzása (a b = a b cos(a, b)) nem algebrai művelet, hiszen két vektor skaláris szorzata nem eleme az alaphalmaznak (nem vektor, hanem szám). 2.9. Definíció. Két vektor vektoriális szorzatát a következőképpen értelmezzük: a b = c, ahol c = a b sin(a, b) és c merőleges a-ra is és b-re is, továbbá az a, b, c vektorok (ebben a sorrendben) jobbrendszert alkotnak.
18 2. Algebrai műveletek A vektoriális szorzás nem kommutatív ( a, b-re a b = b a), nem is asszociatív ( a, b-re (a a) b = 0 b = 0, míg ha a, b = 0 és a nem párhuzamos b-vel, akkor a (a b) = 0), nem invertálható (ha b nem merőleges a-ra, akkor sem az a x = b, sem az y a = b egyenletnek nincs megoldása). (Nem idempotens (hiszen a-ra a a = 0), és nem is kancellatív (az a x = 0, és az y a = 0 egyenletnek minden olyan vektor megoldása, amely párhuzamos a-val).) Egységelem nincs, zéruselem a 0 vektor. Érdemes még megjegyezni, hogy a vektoriális szorzás disztributív a vektorok összeadására. Feladatok 1. Adja meg a {0, 1} kételemű halmazon értelmezhető összes kétváltozós műveletet! Határozza meg, hogy ezek közül melyek asszociatívak! 2. Legyen olyan művelet, hogy a b = a b + a + b (a és a + a valós számok halmazán szokásos műveleteket jelöli). Művelet-e a a nemnegatív egész számok halmazán? Művelet-e a az egész számok halmazán? Művelet-e a a valós számok halmazán? Határozza meg, hogy a megismert műveleti tulajdonságok közül melyekkel rendelkezik a! 3. Keressünk olyan műveletet a Z halmazon, amely (a) Kommutatív, de nem asszociatív; (b) Asszociatív, de nem kommutatív; (c) Asszociatív és kommutatív; (d) Nem asszociatív és nem is kommutatív. 4. Határozza meg, hogy elvégezhetők-e az alábbi műveletek az adott halmazokon, vagyis hogy zártak-e a halmazok az adott műveletekre! Ha igen, határozzuk meg, milyen műveleti tulajdonságokkal rendelkeznek!
Fried Katalin Korándi József Török Judit: A modern algebra alapjai 19 (a) N, + (b) N, (c) N, (d) N, / (e) Z, + (f) Z, (g) Z, (h) Z, / (i) Z 4, + (j) Z 4, (k) Z 4, (l) Z 4, / 5. (a) Írja fel a négyzetet önmagába vivő egybevágósági transzformációkat! (b) Határozza meg a transzformációpárok szorzatát! (c) Keressen köztük két olyan transzformációt (u 1, u 2 ), amelyekre u 1 u 2 = u 2 u 1. (d) Kommutatív-e a négyzet transzformációinak halmazán a transzformációszorzás? 6. Igazolja, hogy tetszőleges A és B halmazokra (A B) A = B és (B A) B = A! Igazolja, hogy az A 1 A 2 A n (bármely zárójelezés mellett elvégzett) művelet eredménye azon elemek halmaza, amelyek az A 1, A 2,..., A n halmazok közül páratlan sokban szerepelnek! 7. Legyen H a sík pontjainak halmaza, és jelöljük az origót O-val. Legyen A az origó körüli síkbeli forgatások halmaza. Értelmezzük az A halmazon a forgatásszorzat műveletet: két forgatáshoz hozzárendeli a szorzatukat (egymás után végzett forgatást). Zárt-e az A halmaz a forgatásszorzatra nézve? Milyen műveleti tulajdonságai vannak a forgatásszorzatnak? 8. Az S sík O pontjára illeszkedő egynesek az alaphalmaz, az ezekre vonatkozó tükrözés egy művelet. Értelmezzük a tükrözések halmazán a szorzás műveletet az alábbiak szerint. Értelmezzük tükrözések halmazán a tükrözésszorzat műveletet, amely definíció szerint két tengelyes tükrözéshez hozzárendeli a szorzatukat (egymás után végzett tükrözést). Zárt-e a B halmaz a tükrözésszorzatra nézve? Milyen műveleti tulajdonságai vannak a tükrözésszorzásnak?
3. fejezet Félcsoportok A következő néhány fejezetben (2 6.) egyműveletes algebrai struktúrákról lesz szó. Amikor általában beszélünk egy egyműveletes (S, ) algebrai struktúráról, akkor a műveletet bármi is legyen az szokás szorzásnak nevezni, és a művelethez kapcsolódó jelölések is általában a szorzásnál megszokott jelölésrendszert követik. Például a művelet jele gyakran a jel (és a b helyett gyakran csak ab-t írunk), az a elem inverzét a 1, az a elemen ismételten (n-szer) elvégzett művelet eredményét a n jelöli, a neutrális elemet (ha van) egységelemnek nevezik, satöbbi. Mi a továbbiakban az esetleges félreértések elkerülése végett általában -rel jelöljük a műveletet, de elő fog fordulni, hogy a két elemen elvégzett művelet eredménye helyett a két elem szorzatáról beszélünk, és egyéb jelöléseink (például inverz) is általában a szorzásnál megszokottak lesznek. Olyankor persze, amikor konkrét, ismert és nem szorzás nevű műveletről van szó (például összeadás, legnagyobb közös osztó képzése, satöbbi), az illető művelet nevét, jelét, és (ha vannak ilyenek, akkor) a hozzá igazodó egyéb jelöléseket használjuk (ha például összeadás a művelet, akkor az a elem (additív) inverzét a-val jelöljük). 3.1. Definíció. Az (S, ) algebrai struktúra félcsoport, ha a művelet asszociatív. Ahhoz tehát, hogy eldönthessük, hogy egy halmaz egy műveletre nézve félcsoport-e, először is meg kell győződnünk arról, hogy a művelet értelmes-e a halmazon és a halmaz zárt-e a műveletre nézve (a halmaz bármelyik két elemén elvégezhető a művelet, és az eredmény is minden esetben benne van a halmazban), majd ellenőriznünk kell, hogy a művelet asszociatív-e. Ha a művelet nemcsak asszociatív, hanem kommutatív is, akkor szokás kommutatív félcsoportról beszélni. 20
Fried Katalin Korándi József Török Judit: A modern algebra alapjai 21 Például: 1. A természetes számok halmaza a legnagyobb közös osztó képzésére nem félcsoport, mert a (0, 0) nincs értelmezve. (Könnyen belátható, hogy ha a legnagyobb közös osztó definícióját kiegészítenénk azzal, hogy (0, 0) = 0 vagyis ha a legnagyobb közös osztó művelet helyett a kitüntetett közös osztót tekintjük, akkor az így módosított műveletre nézve már félcsoportot alkotnának a természetes számok.) A pozitív egészek halmazán már értelmes művelet a legnagyobb közös osztó képzése, hiszen tetszőleges két pozitív egész számnak egyértelműen létezik legnagyobb közös osztója, és az minden esetben pozitív egész. Mivel tetszőleges a, b, c pozitív egészekre (a, (b, c)) = ((a, b), c), vagyis a művelet asszociatív, a pozitív egészek félcsoportot (és mivel (a, b) = (b, a), kommutatív félcsoportot) alkotnak a legnagyobb közös osztó képzésére. (Hasonlóan gondolható meg, hogy a nem 0 egész számok halmaza is kommutatív félcsoport a legnagyobb közös osztó képzésére.) 2. A természetes (egész, racionális, valós, komplex) számok egyaránt kommutatív félcsoportot alkotnak az összeadásra is és a szorzásra is. 3. A természetes számok nem alkotnak félcsoportot a kivonásra nézve, mert például 2 5 nem természetes szám. Az egész (racionális, satöbbi) számok halmazán már értelmes művelet a kivonás, de félcsoportról most sem beszélhetünk, mert nem asszociatív. (a b) c általában nem egyenlő a (b c)-vel. 4. Az egész számok tetszőleges részhalmaza kommutatív félcsoportot alkot akár a maximum- (3.1. ábra) akár a minimumképzésre. 3.1. ábra. A max(a, b) művelet táblázata 5. Értelmezzük a pozitív egészek halmazán a műveletet úgy, hogy a b jelentse azt a pozitív egész számot, melyet úgy kapunk, hogy az a szám mögé írjuk a b számot, például 152 98 = 15 298. Könnyen meggondolható, hogy (N +, ) félcsoport (amely nyilvánvalóan nem kommutatív). Hasonlóan értelmezhetjük egy tetszőleges halmaz elemeiből alkotott összes véges sorozat halmazán az egymás mögé írás műveletét, minden esetben félcsoportot fogunk kapni. (Ha például szó -nak nevezünk egy tetszőleges véges betűsorozatot, akkor a szavak halmaza félcsoportot alkot az egymás mögé írás műveletre nézve.)
22 3. Félcsoportok 6. Egy tetszőleges halmaz hatványhalmaza (összes részhalmazainak halmaza) kommutatív félcsoportot alkot akár a metszet, akár az unió műveletére nézve. 7. Egy tetszőleges halmazt önmagára vivő leképezések halmaza félcsoportot alkot a leképezések szorzására (függvények kompozíciójára). Az, hogy egy művelet asszociatív, azt jelenti, hogy tetszőleges három elem esetén a három elemen elvégzett művelet eredménye független a zárójelezéstől (l. 2.3. ábra és animáció az asszociativitásra), így a zárójelek akár el is hagyhatók. Az is igaz azonban, hogy ha asszociatív a művelet, akkor hosszabb műveletláncok elvégzése esetén is független az eredmény a zárójelezéstől. Ha tehát (S, ) félcsoport, akkor például tetszőleges a, b, c, d S esetén: ( ((a b) c ) d ) = ( a (b c) ) d = = (a b) (c d) = = a ( b (c d) ) = = a ( (b c) d ). A fenti egyenlőségek az asszociativitás definíciójából könnyen bizonyíthatóak, mi most tetszőleges n ( 3, pozitív egész) darab elem esetére fogjuk bizonyítani a következő állítást. 3.1. Tétel. Az (S, ) félcsoportban véges sok elemen végrehajtott művelet eredménye független a zárójelek elhelyezkedésétől. Bizonyítás. Egy vagy két elem esetén semmitmondó az állítás, n 3 darab elem esetén teljes indukcióval fogjuk bizonyítani. Három elem esetén az asszociativitás miatt nyilvánvalóan igaz az állítás. Legyen n > 3, és tegyük fel, hogy minden n-nél kisebb darabszámra már igaz az állítás. Jelöljük A-val az n elemen a rögzített ( ((... (a1 a 2 )...) a n 1 ) an ) zárójelezéssel nyert eredményt, B-vel pedig egy tetszőleges zárójelezéssel nyert eredményt. Azt szeretnénk bizonyítani, hogy A = B. Könnyen meggondolható, hogy B mindig felírható B = C D alakban, ahol D már n-nél kevesebb elemet tartalmaz, így indukciós feltevésünk szerint átzárójelezhető D = E a n alakúra. Ekkor B = C D = C (E a n ). Az asszociativitás miatt viszont C (E a n ) = (C E) a n, ahol C E is n-nél kevesebb elemet tartalmaz, így az indukciós feltevés ismételt kihasználásával átzárójelezhető ( C E = (( (a1 a 2 ) a 3 )... ) ) a n 1
Fried Katalin Korándi József Török Judit: A modern algebra alapjai 23 alakúra, így B = (C E) a n = A, amit bizonyítani akartunk. Megjegyzés. Könnyen meggondolható, hogy ha a művelet kommutatív is, akkor véges sok elemen elvégzett művelet eredménye az elemek sorrendjétől sem függ. Megjegyzés. Ha a művelet asszociatív, akkor az a elemen n-szer (n N + ) elvégzett ismételt művelet eredménye független a zárójelezéstől. Ez jogosít fel minket a következő jelölésre: a} a a {{ a... a} = a n n Szintén az asszociativitás következménye, hogy a következő azonosságok teljesülnek: a k a n = a k+n, illetve (a k ) n = a kn Ha a művelet nemcsak asszociatív, hanem kommutatív is, akkor a következő azonosság is igaz: (a b) n = a n b n Egy (S, ) félcsoportban nem feltétlenül van egységelem (vagyis olyan e S, melyre tetszőleges a S esetén a e = e a = a) (ahogyan a maximum művelet esetében sem volt, a műveleti táblát a 3.1. ábrán láthatjuk), de ha mégis van, akkor egységelemes félcsoportról beszélünk. Fenti példáink közül 1. (N +, lnko)-ban nincs egységelem.igaz ugyan, hogy tetszőleges a-hoz találhatók olyan x számok, amelyekre (a, x) = a, de olyan x szám, amely egyszerre lenne megfelelő minden a-hoz, nincs. Más lenne a helyzet, ha a legkisebb közös többszörös képzését választottuk volna a műveletnek, ekkor [a, 1] = a miatt az 1 egységelem. 2. (N, +)-ban a 0, (N, )-ban az 1 egységelem. 3. (Z, ) nem volt félcsoport. Ettől még lehetne benne egységelem, de nincs. Igaz ugyan, hogy minden a-ra a 0 = a, de 0 a = a. (A 0 jobb oldali egységelem, de nem bal oldali egységelem.) 4. (N +, egymás mögé írás)-ban nyilvánvalóan nincs egységelem. (Ha azonban megengednénk a 0 darab karakterből álló, úgynevezett üres sorozatot, akkor ez egységelem lenne.)
24 3. Félcsoportok 5. (P (H), )-ban egységelem a H halmaz, hiszen tetszőleges A H esetén A H = A. (P (H), )-ban egységelem az üres halmaz, hiszen teszőleges A H esetén A = A. 6. Az egy halmazt önmagára vivő leképezések félcsoportjában egységelem az identikus leképezés. 7. A maximum, illetve minimumképzés esetén attól függ az egységelem létezése, hogy van-e az alaphalmaznak legkisebb, illetve legnagyobb eleme. Maximumképzés esetén a legkisebb, minimumképzés esetén a legnagyobb elem az egységelem (ha van). Egy félcsoport elemeinek nem feltétlenül van inverzük. (Ahol például nincs egységelem, ott nincs is értelme inverzekről beszélni). Belátható azonban, hogy félcsoportban ha van is egy elemnek legfeljebb egy inverze lehet. 3.2. Tétel. Az (S, ) félcsoportban bármely elemnek legfeljebb egy inverze van. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az a elemnek a is és a is inverze, vagyis a a = a a = e és a a = a a = e. Ekkor az asszociativitás miatt (a a) a = a (a a ). Mivel a a = a a = e ebből e a = a e, vagyis a = a. Megjegyzés. Ugyanígy látható be, hogy ha egy félcsoportban egy elemnek van bal inverze is és jobb inverze is, akkor egyetlen bal inverze és egyetlen jobb inverze van, melyek megegyeznek. Az viszont lehetséges, hogy egy elemnek több bal inverze is van de csak akkor, ha jobb inverze nincs, és viszont. Meg fogjuk mutatni, hogy ha egy egységelemes félcsoportban minden elemnek van inverze, akkor a művelet invertálható, és megfordítva, ha egy félcsoportban invertálható a művelet, akkor a félcsoportnak van egységeleme, és minden elemnek van inverze. 3.3. Tétel. Ha az (S, ) algebrai struktúrában a művelet asszociatív, akkor a következő két állítás ekvivalens: 1. e S, amelyre tetszőleges a S esetén a e = e a = a (van egységelem), és a S-hez a 1, amelyre a a 1 = a 1 a = e (minden elemnek van inverze).
Fried Katalin Korándi József Török Judit: A modern algebra alapjai 25 2. Tetszőleges a, b S esetén van megoldása az a x = b és y a = b egyenleteknek (a művelet invertálható). Bizonyítás. Az első állításból következik a második, mert mint arról behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk x = a 1 b megoldása az egyik, y = b a 1 pedig a másik egyenletnek. Most megmutatjuk, hogy a második állításból következik az első. Az a x = b és y a = b egyenletnek tetszőleges a és b esetén van megoldása, így akkor is, ha b = a. Jelöljük az a x = a megoldását e j -vel, az y a = a megoldását pedig e b -vel. Meg fogjuk mutatni, hogy a félcsoport tetszőleges c elemére teljesül, hogy c e j = e b c = c, majd pedig hogy e j = e b, amiből következik, hogy e j = e b = e egységelem. Legyen az y a = c egyenlet megoldása y 0 és az a x = c egyenlet megoldása x 0. Ekkor és c e j = (y o a) e j = y o (a e j ) = y 0 a = c, e b c = e b (a x o ) = (e b a) x o = a x o = c, vagyis e j jobb oldali, e b pedig bal oldali egységelem a félcsoportban. Ha viszont tetszőleges c esetén teljesül, hogy c e j = c, akkor c = e b esetén is, így e b e j = e b. Ugyanígy, ha tetszőleges c esetén e b c = c, akkor c = e j esetén is, így e b e j = e j. Vagyis e b e j e b -vel is és e j -vel is egyenlő, ami csak úgy lehet, ha e b = e j. Tehát ha e b = e j = e, akkor tetszőleges c-re c e = e c = c, vagyis e egységelem. Jelöljük most egy tetszőleges a elem esetén a -vel az a x = e, a -vel pedig az y a = e egyenlet megoldását. Ekkor a a = a a = e, amiből az előző tétel bizonyítása szerint következik, hogy a = a, vagyis az a 1 = a = a elem az a elem inverze, tehát minden elemnek van inverze. 3.4. Tétel. Ha egy (S, ) egységelemes félcsoportban az a elemnek is és a b elemnek is van inverze (a-nak a, b-nek b ), akkor az a b elemnek is van inverze, és ez (a b) = b a. Bizonyítás. Az asszociativitás miatt (a b) (b a ) = ( a (b b ) ) a. Ebből kihasználva, hogy b b = e, a e = a és a a = e, a következő adódik: ( a (b b ) ) a = (a e) a = a a = e, vagyis (a b) (b a ) = e, tehát a b a elem jobbinverze a b-nek. Hasonlóan látható be, hogy balinverz is: (b a ) (a b) = b ((a a) b) = b (e b) = b b = e. Ebből már következik a tétel állítása.
26 3. Félcsoportok 3.5. Tétel. Ha egy (S, ) félcsoportban a c elemnek van inverze (c ), továbbá a c = b c vagy c a = c b, akkor a = b. Bizonyítás. Ha a c = b c, akkor (a c) c = (b c) c. Felhasználva az asszociativitást, (a c) c = a (c c ) = a és (b c) c = b (c c ) = b. Ezek szerint a = b. Hasonlóan látható be az is, hogy ha c a = c b, akkor a = b. Megjegyzés. Ha egy (S, ) struktúrában annak ellenére, hogy nem minden elemnek létezik inverze teljesül, hogy a, b, c S elemekre a c = b c, illetve c a = c b esetén teljesül a = b, akkor azt mondjuk, hogy ebben a struktúrában érvényes az egyszerűsítési szabály. Ilyen struktúra például a természetes számok az összeadásra. (Az, hogy itt teljesül az egyszerűsítési szabály levezethető például a Peano-axiómákból: ha két rákövetkező egyenlő, akkor a két szám is egyenlő, és visszafelé lépkedve a számokon eljutunk az a = b-hez.) Részfélcsoport Ha egy (S, ) félcsoportban elemek valamilyen nem üres halmaza zárt a műveletre nézve, akkor ez a halmaz az adott műveletre önmagában is félcsoportot alkot. Az ilyen tulajdonságú halmazokat szokás az eredeti félcsoport részfélcsoportjainak nevezni. Az (S, ) félcsoport (S 1, ) részcsoportját így jelöljük: S S 1 vagy S 1 S. 3.2. Definíció. Ha az (S, ) félcsoportban S S és (S, ) önmagában is félcsoport, akkor azt mondjuk, hogy (S, ) részfélcsoportja az (S, ) félcsoportnak. 3.6. Tétel. Legyen S (nem üres) részhalmaza S-nek, és (S, ) félcsoport. (S, ) akkor és csak akkor részfélcsoportja (S, )-nek, ha tetszőleges a, b S esetén a b is eleme S -nak. Bizonyítás. Ha (S, ) részfélcsoportja (S, )-nek, akkor önmagában is félcsoport, aminek szükséges feltétele, hogy az S halmaz zárt legyen a műveletre nézve, ami éppen azt jelenti, hogy tetszőleges a, b S esetén a b is eleme S -nak. Ha tetszőleges a, b S esetén a b is eleme S -nak, akkor az S halmaz zárt a műveletre. Ahhoz, hogy félcsoport legyen az kell még, hogy a művelet asszociatív legyen. Abból azonban, hogy (S, ) félcsoport,
Fried Katalin Korándi József Török Judit: A modern algebra alapjai 27 tudjuk, hogy a művelet asszociatív, így mivel S S, (S, ) részfélcsoportja (S, )-nek. Tetszőleges (S, ) félcsoport triviálisan részfélcsoportja önmagának. Ha van a félcsoportban egységelem, akkor ez az elem önmagában e e = e miatt szintén triviálisan egy egyelemű részfélcsoportot alkot. Az ettől a kétféle (triviális) részfélcsoporttól különböző részfélcsoportokat szokás valódi részfélcsoportnak nevezni. A triviális részfélcsoportot ennek megfelelően szokás nem valódinak is nevezni. Valódi részfélcsoportja például a természetes számok összeadási félcsoportjának a páros természetes számok halmaza (mert két páros természetes szám összege is páros természetes szám), vagy egy tetszőleges n természetes szám nem negatív többszöröseinek a halmaza az összeadásra nézve. Szintén valódi részfélcsoport például a 100-nál nagyobb egészek halmaza (mert két 100-nál nagyobb egész összege is 100-nál nagyobb egész). Néha arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy adott félcsoportnak melyik az a legszűkebb részfélcsoportja, amely néhány előre rögzített elemet tartalmaz. Legszűkebben azt értjük, hogy neki már nincs olyan saját magától különböző részfélcsoportja, amely a megadott elemeket tartalmazná. Azt, hogy ez egyértelmű, a következő tétel garantálja. 3.7. Tétel. Egy félcsoport akárhány részfélcsoportjának metszete vagy üres, vagy szintén részfélcsoport. Például: 3.2. ábra. 3.3. ábra. Bizonyítás. Legyen (S 1, ) is és (S 2, ) is részfélcsoportja (S, )-nek. Elég azt megmutatni, hogy tetszőleges a, b S 1 S 2 esetén a b S 1 S 2. Ha a, b S 1 S 2, akkor a is és b is eleme S 1 -nek is és S 2 -nek is. Mivel (S 1, ) félcsoport, az igaz lesz, hogy a b S 1, és mivel (S 2, ) is félcsoport, a b S 2. Ha viszont S 1 -nek is és S 2 -nek is eleme, akkor a metszetüknek is. Kettőnél több részfélcsoport esetén ugyanígy gondolható meg, hogy ha a is és b is eleme a részfélcsoportok metszetének, akkor a b is eleme a metszetnek. Most már biztosak lehetünk abban, hogy ha megadjuk egy félcsoport valahány elemét, akkor mindig lesz a félcsoportnak egy legszűkebb részfél-
28 3. Félcsoportok csoportja, amely a megadott elemeket tartalmazza, hiszen az eredeti teljes félcsoport mindig tartalmazza az adott elemeket, ha pedig több olyan részfélcsoport is van amely tartalmazza az adott elemeket, akkor az összes ilyennek a metszete lesz a legszűkebb. 3.3. Definíció. Az (S, ) félcsoportnak azt a legszűkebb (S, ) részfélcsoportját, amelyre teljesül, hogy a, b, c,... S, az a, b, c... elemek által generált részfélcsoportjának nevezzük. Például: (N, +)-ban a 0 az egyelemű, csak a 0-t tartalmazó részfélcsoportot generálja, az 1 a pozitív egészek összeadási félcsoportját, a 2 a páros pozitív egészeket,egy tetszőleges n pozitív egész szám pedig az n pozitív többszörseit. Két rögzített elem, a és b esetén, azoknak a számoknak a halmazát kapjuk, amelyek előállnak ax + by alakban, ahol x és y természetes számok, de nem mindkettő 0. Ha például a = 3 és b = 5, akkor az általuk generált részfélcsoportnak eleme lesz a 3, az 5, a 3 + 3 = 6, a 3 + 5 = 8, a 3 + 3 + 3 = 9, az 5 + 5 = 10, továbbá a 8 + 3 = 11, a 9 + 3 = 12, a 10 + 3 = 13, és így tovább, 3- asával növelve a már megkapott elemeket, az összes 13-nál nagyobb egészt megkapjuk. Vagyis a 3 és az 5 által generált részfélcsoportnak a 3, az 5 és a 6 mellett minden 8-nál nem kisebb egész szám eleme lesz. (Általában is igaz, hogy ha (a, b) = 1, akkor minden (a 1)(b 1)-nél nem kisebb egész előáll ax + by alakban, ahol x és y természetes számok, de nem mindkettő 0.) Komplexusok 3.4. Definíció. Az (S, ) félcsoportban az S halmaz egy tetszőleges nem üres részhalmazát komplexusnak nevezzük. Komplexusok között értelmezzük a következő komplexusszorzás nevű műveletet. 3.4. ábra. 3.5. Definíció. Legyen K 1 és K 2 az (S, ) félcsoport két komplexusa. K 1 K 2 := {a b a K 1 és b K 2 }. Két komplexus szorzata tehát egy olyan halmaz, mely az S halmaz elemeiből készített öszes olyan kéttényezős szorzat -ot tartalmazza, ahol a szorzat első tényezője K 1 -ból, a második K 2 -ból való.
Fried Katalin Korándi József Török Judit: A modern algebra alapjai 29 Megjegyzés. A komplexusszorzás művelet nevében a szorzás nem a szorzás nevű műveletet jelenti, hanem azt a műveletet, amelyre nézve az S halmaz félcsoportot alkot. Ha ennek a műveletnek van saját neve, akkor a szorzás szót helyettesíthetjük ezzel a névvel, például (N, +) komplexusain végzett komplexusszorzás esetén szokás a komplexusok összeadásáról beszélni. Például: 1. Legyen az (N, +) félcsoportban K 1 = {0, 1} és K 2 = {10, 100}. Ekkor K 1 + K 2 = {10, 11, 100, 101}. 2. Legyen S = {0, 1, 2, 3, 4}, a művelet a modulo 5 összeadás. (S erre a műveletre zárt, a művelet asszociatív, tehát (S, + mod 5 ) félcsoport.) Ha K 1 = {1, 2} és K 2 = {3, 4}, akkor K 1 +K 2 = {1+3, 1+4, 2+3, 2+4} = {4, 0, 1}. De: Legyen S = {1, 2, 3, 4}, a művelet a modulo 5 szorzás. (S erre a műveletre zárt, a művelet asszociatív, tehát (S, mod 5 ) félcsoport.) Ha K 1 = {1, 2} és K 2 = {3, 4}, akkor K 1 K 2 = {1 3, 1 4, 2 3, 2 4} = {3, 4, 1}. Két komplexus szorzata nyilvánvalóan szintén komplexus, vagyis szintén részhalmaza az S halmaznak, hiszen minden a K 1 -re és b K 2 -re a is és b is eleme S-nek, és mivel S zárt arra a műveletre, amire nézve félcsoport, a b is eleme S-nek. Ez egyben azt is jelenti, hogy egy (S, ) félcsoport összes komplexusainak halmaza zárt a komplexusszorzásra nézve. 3.8. Tétel. A komplexusszorzás asszociatív. Bizonyítás. Az állítás azon múlik, hogy az eredeti félcsoportban asszociatív a művelet. Legyen ugyanis K 1, K 2 és K 3 az (S, ) félcsoport három tetszőleges komplexusa. Azt szeretnénk belátni, hogy (K 1 K 2 ) K 3 = K 1 (K 2 K 3 ). (K 1 K 2 ) K 3 = {(a b) c a K 1, b K 2, c K 3 } K 1 (K 2 K 3 ) = {a (b c) a K 1, b K 2, c K 3 } Mivel tetszőleges a, b, c S esetén (a b) c = a (b c), a két halmaz egyenlő. Tételünk miatt egy tetszőleges (S, ) félcsoport esetén S összes komplexusainak halmaza félcsoportot alkot a komplexusszorzásra. Például: legyen S = {0, 1}, a művelet pedig a szokásos szorzás. Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy (S, ) félcsoport (csak azt kell ellenőriznünk, hogy a művelet nem vezet ki). Ekkor S összes komplexusainak halmaza: {{0}, {1}, {0, 1}}, a komplexusszorzás művelettáblázata pedig a következő:
30 3. Félcsoportok {0} {1} {0, 1} {0} {0} {0} {0} {1} {0} {1} {0, 1} {0, 1} {0} {0, 1} {0, 1} Feladatok 1. Az S = {i, h} logikai értékek halmaza mely logikai műveletekkel alkot félcsoportot? 2. Félcsoportot alkot-e a {10, 12, 14,...} végtelen halmaz a szokásos összeadásra, illetve a szokásos szorzásra nézve? Állapítsuk meg, hogy milyen tulajdonságokkal rendelkeznek ezek a műveletek! 3. Fécsoportot alkot-e az {0, 1, 2, 3} halmaz a 4 maradékai szerint végzett összeadásra, illetve szorzásra nézve? (Vagyis ha valamely művelet eredménye nem esik a halmazba, akkor ahelyett annak 4 szerinti maradékát vesszük.) Állapítsa meg, hogy milyen tulajdonságokkal rendelkeznek ezek a műveletek! 4. Félcsoportot alkot-e az egész számok fölötti polinomok halmaza a polinomösszeadás műveletére? 5. Félcsoportot alkot-e a sík vektorainak halmaza a szokásos vektorösszeadás műveletére? 6. Félcsoportot alkot-e a sík vektorainak halmaza a szokásos skalárszorzás műveletére? 7. Igazolja, hogy a 2 2-es valós mátrixok halmaza a mátrixösszeadásra félcsoportot alkot! 8. Igazolja, hogy az S = {2k k N} halmaz a szokásos összeadásra nézve félcsoportot alkot! Tekintsük ennek két komplexusát: K 1 = {2, 4, 6} és K 2 = {10, 20, 30}. Határozza meg a K 1 + K 2 komplexusszorzatot! 9. Igazolja, hogy a 2 2-es reguláris (invertálható) valós mátrixok halmaza a mátrixszorzásra nézve félcsoportot alkot! (a) Részfélcsoportotját alkotják-e az 1 determinánsú mátrixok? (b) Részfélcsoportotját alkotják a 1 determinánsú mátrixok? (c) Mi az általuk generált félcsoport? (d) Mi az 1, illetve a 1 determinánsú mátrixok részhalmazának komplexusszorzata? 10. Az S = {a, b, c} halmazon értelmezzük úgy a műveletet, hogy tetszőleges x, y S elemekre x y = y. Félcsoport-e (S, )?
4. fejezet Csoportok Mint láttuk, a félcsoportokban nem feltétlenül van egységelem, és még ha van is, akkor sincs feltétlenül inverze az elemeknek. Azokat a speciális félcsoportokat, amelyekben van egységelem és minden elemnek van inverze, csoportoknak nevezik. A 3.3. Tétel szerint ezt a definíciót a következőképpen is megfogalmazhatjuk: 4.1. Definíció. A (G, ) algebrai struktúra csoport, ha a művelet asszociatív és invertálható. Ha a művelet még kommutatív is, akkor szokás kommutatív csoportról vagy más néven Abel-csoportról beszélni. Például: 1. (Z, +) kommutatív csoport. 2. (Z, ) nem csoport, mert a szorzás nem invertálható (csak a ±1-nek van multiplikatív inverze). 3. (Q, +), (R, +), (C, +) kommutatív csoportok. 4. (Q, ), (R, ), (C, ) egyike sem csoport, mert a szorzás nem invertálható (az a x = b egyenletnek nincs megoldása, ha a = 0 és b = 0). Könnyen meggondolható azonban, hogy (Q +, ), (R +, ), (C\{0}, ) és (Q\{0}, ), (R \ {0}, ), (C \ {0}, ) mindegyike kommutatív csoport. 5. Tetszőleges test feletti polinomok az összeadásra nézve kommutatív csoportot alkotnak, a szorzásra nézve nem alkotnak csoportot. 6. Az n n-es mátrixok halmaza az összeadásra nézve kommutatív csoport, a szorzásra nézve nem csoport. 31
32 4. Csoportok 7. Szimmetriacsoportok Egy tetszőleges geometriai alakzatot önmagára vivő egybevágósági transzformációk csoportot alkotnak a leképezések szorzására (transzformációk egymásutánja) nézve. (Egybevágóságok egymásutánja is egybevágóság; a leképezések szorzása asszociatív; egységelem az identikus leképezés (helyben hagyás, ami szintén egybevágóság); az egybevágósági transzformációk bijektív leképezések, így mindegyiknek van inverze, és az szintén olyan bijektív leképezés, amely az alakzatot önmagára viszi.) Ezt a csoportot nevezik az illető alakzat szimmetriacsoportjának. Például a (nem négyzet) téglalap szimmetriacsoportjának négy eleme van: e (helyben hagyás), f 180 (180 fokos forgatás, más néven középpontos tükrözés), t 1 és t 2 (az oldalfelező merőlegesekre vonatkozó tengelyes tükrözés), művelettáblázata pedig a következő: e f 180 t 1 t 2 e e f 180 t 1 t 2 f 180 f 180 e t 2 t 1 t 1 t 1 t 2 e f 180 t 2 t 2 t 1 f 180 e A szabályos sokszögek szimmetriacsoportját szokás diédercsoportnak is nevezni, ahol D n -nel jelöljük a szabályos n-szög diédercsoportját (csak az n > 2 esettel foglalkozunk). Egy szabályos n-szög D n szimmetriacsoportjának (ahol n 3) mindig 2n eleme van (n darab tengelyes tükrözés és beleértve a 0 fokos forgatást, azaz a helyben hagyást n darab forgatás), és sohasem kommutatív csoport. 4.1. ábra. D 3 a harmadrendű diédercsoport 8. Mod m maradékosztályok Egy tetszőleges m modulus esetén kommutatív csoportot alkotnak a mod m maradékosztályok az összeadásra nézve. (A maradékosztályok összeadása asszociatív és kommutatív; egységelem a 0 maradékosztálya; az a elem maradékosztályának additív inverze a a elem maradékosztálya.) Szokásos jelölése ennek a csoportnak: (Z m, +). Az is könnyen meggondolható, hogy a mod m redukált maradékosztályok kommutatív csoportot alkotnak a szorzásra nézve. (Redukált