A flóderes rajolatról Beveetés Ebben a dolgoatban vagy talán több ilyenben is at a célt igyeksünk megvalósítani, hogy matematikailag leírjuk a faanyag úgyneveett flóderes, más néven lángnyelv alakú rajolatát. E a fatest hossirányával párhuamos, a bélen kívül futó metsősík alkalmaásával áll elő. A fatest egyenes körkúp / csonkakúp alakú Elősör vegyük a legegyserűbb modellt: ~ a fatest ( pl.: fűrésrönk ) csonkakúp alakú, melyet a tengelyével párhuamos síkkal metsünk, hossában; ~ a fatest felépítését úgy képeljük el, hogy egyforma vastagságú, kúp alakú héj - résekből áll össe, a évente felépített évgyűrűk - nek megfelelően ld. 1. ábra köépső rése! 1. ábra A 1. ábra forrása: [ 1 ] jól mutatja, hogy a sugármetset a metsősík átmegy a bélen köel párhuamos csíkoást mutat; et a kúp - héjak egyenespár alkotói adják ki ld. a jobb oldali ábrarést! A bal oldali ábrarésen a idealiált húrmetseti rajolatot ábráolták. A elmondottak a 2. ábrán is jól megfigyelhetők; ennek forrása: [ 2 ]. Een a valósághű rajon még at is bemutatták, hogy a évgyűrű vastagságának, ill. a
2 korai és késői pásta sélességének milyen rajolatformáló serepe van. 2. ábra A későbbiek, illetve a elneveések sempontjából érdekes lehet ismétlés gyanánt áttekinteni a egyenes körkúp síkmetseteit. Ehhe jó anyagok találhatók a interneten; a egyik ilyen [ 3 ] adta a 3. ábrát is. 3. ábra
3 Ellipsis a kúpmetset, ha a metsősík egyik alkotóval sem párhuamos. Ha a metsősík merőleges a kúp tengelyére, akkor kört kapunk ld. a 3. ábra köépső rését! Parabola a kúpmetset, ha a metsősík pontosan egy alkotóval párhuamos; e a 3. ábra bal oldali résén semlélhető. Hiperbolákat kapunk, ha a metsősík a ( kettős ) kúpnak két alkotójával párhuamos; e a 3. ábra jobb oldali résén semlélhető. Ha a metsősík a kúp csúcsán megy át, akkor a kúpmetsetek ponttá, egyenessé, ill. egyenespárrá fajulnak el. Most felállítjuk a idealiált hossmetseti rajolatot leíró képleteket. Ehhe tekintsük a 4. ábra válatraját is! A ábra alapján: H h H R( ) tg 90 H R( ) ctg ; P P P R( ) x y ; eekkel: P P P H ctg x y ; P P P 4. ábra
4 elhagyva a P indexet: (x, y) H ctg x y. ( a ) E a egyenes körkúpfelület egyenlete. Most állítsuk elő a kúpfelület és a x = x 0 egyenletű függőleges sík metsésvonalát! A 0 = ( x 0, y ) jelöléssel: 0(y) H ctg x0 y. ( b ) E egy metsetgörbe hiperbola egyenlete. Egy ilyet mutat be a 5. ábra. 650 5=1000-5.6713*sqrt(sqr(88.164)+sqr(y5)) 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 y -250-200 -150-100 -50 50 100 150 200 250 5. ábra Eddig egy tömör kúp metsetgörbéjét írtuk le. Nekünk aonban nem egy tömör kúppal, hanem egymásba tolt, különböő vastagságú kúphéjakkal van dolgunk, a 1. ábrának megfelelően. Emiatt további visgálatokat kell végenünk. Úgy képeljük el, hogy a tömörebb, vékonyabb kései pástákat sélesebb korai pásták válastják el egymástól.
5 Tekintsük a 6. ábrát! Adott: H 0, α, x 0, Δx 0, Δx 1. Keresett: (0) (2) 0,, 0. (1) 0 6. ábra Itt két és fél évgyűrűt ábráoltunk: a korai pástát öld, a kései pástát barna sínnel. A alapképlet: ( b ) már adott, most már csak alkalmani kell a x 0 távolságban alkalmaott függőleges metsősík által eltalált három kúphéjra. 0 : A külső korai pásta kúphéj külső felületén lévő hiperbola össefüggései: (0) 1 0 H0 x0 y (0) ; tg y y y ; * * (0) (0) (0) y R x ; * (0) 0 0 R H tg. 0 0 ( 0 )
6 1 : A külső korai pásta kúphéj belső felületén lévő hiperbola össefüggései: (1) 1 0 H1 x0 y (1) ; tg y y y ; * * (1) (1) (1) y R x ; * (1) 1 0 R H tg R x ; 1 1 0 0 H H H ; 1 0 1 x tg 0 H 1. ( 1 ) 2 : A külső kései pásta kúphéj belső felületén lévő hiperbola össefüggései: (2) 1 0 H2 x0 y (2) ; tg y y y ; * * (2) (2) (2) y R x ; * (2) 2 0 R H tg R x ; 1 1 H H H ; 2 1 2 x tg 1 H 2. ( 2 ) A konkrét sámítás bemenő adatai: H 0 = 1000 mm; α = 10 ; x 0 = 28 mm; Δx 0 = 20 mm; Δx 1 = 10 mm. A eekkel a adatokkal késült grafikonokat a 7. ábra mutatja be. Most hasonlítsuk össe a 7. ábrát a 1. ábra bal oldali résével! A 1. ábrán két késői pástát is átmetsett a fűrés, míg a 7. ábrán csak egyet. Emiatt sem állt elő a két ábra köti teljesebb megfelelés. Zársó Ebben a vélhetőleg beveető dolgoatban a faanyag flóderes rajolata keletkeésének a legegyserűbb modelljét vettük köelebbről is semügyre. Minthogy a termésetes fa teste növekedése során a feltételeettnél lényegesen bonyolultabb alakokat is felvehet, eért is állhat elő a 1. és 2. ábra húrmetseti rajolatai köött látható jelentős különbség. A általánosabb esetek sokfélesége miatt egy valóságköeli rajolat leírása a itteninél már lényegesen neheebb feladat lehet.
7 Flóderes rajolat 800 0,0=1000-5.6713*sqrt(sqr(28)+sqr(y0)) 0,1=886.574-5.6713*sqrt(sqr(28)+sqr(y1)) 0,2=829.861-5.6713*sqrt(sqr(28)+sqr(y2)) 600 400 200 y -500-400 -300-200 -100 100 200 300 400 500-200 -400 7. ábra Irodalom: [ 1 ] - http://www.lr-muenchen.de/~volland/vhb/einblicke/hol.pdf [ 2 ] - http://e-collection.ethbib.eth.ch/eserv/eth:29823/eth-29823-01.pdf [ 3 ] - http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/b/b7/kegelschnitt.png Sődliget, 2009. június 7. Össeállította: Galgóci Gyula mérnöktanár