Néhány felületről. Az [ 1 ] munkában találtuk az 1. ábrát. 1. ábra

Átírás

1 1 Az [ 1 ] munkában találtuk az 1. ábrát. Néhány felületről 1. ábra Itt három vonalfelületet látunk: egyenes körhengert, egyenes ( fél ) körkúpot és egyköpe - nyű forgáshiperboloidot. A vonalfelületet úgy határozzák meg [ 2 ], hogy az egyeneseket tartalmaz, és ezek az egyenesek a felület minden pontját tartalmazzák. Ez a meghatározás könnyen érthető az 1. ábra forgásfelületeivel kapcsolatban, ahol a függőleges a tengely körül megforgatott g egyenes a felület alkotója.

2 2 Mielőtt bármit is csinálnánk, [ 2 ] nyomán teszünk egy fontos megállapítást: a vonalfelületeknek nagy gyakorlati jelentősége van, pl. az építőiparban is; ui. az ilyen felület - kialakítás a vasbetonszerkezet zsaluzásában faanyag - megtakarítással járhat, mert egyenes tengelyű fűrészárut ( pl. deszkát, pallót, gerendát ) lehet alkalmazni. Erre vonatkozó további részletekről olvashatunk a [ 3 ] műben is. A továbbiakban az 1. ábra felületeinek különféle egyenleteiről lesz szó. Azt hihetnénk, hogy ezekre csak az elméleti tan - és szakkönyvekben van szükség. Ez bizony egy tévedés, amint az pl. [ 3 ] átnézése után már nem is vitás: a felületszerkezet építéséhez szükséges fontosabb geometriai adatok sokszor számítással kaphatók meg, a felület egyenletének ismeretében. Ez már a technikusi munkának is része lehet. Persze, tudjuk, hogy írásunk főként a mérnököknek, mint a technikusok tanárainak mondhat vala - mit, így a felhasznált matematikai eszközök is inkább csak számukra alkalmasak a mon - danivaló kifejtésére. Még valamit: nem árt tudatosítani, hogy amikor felületről beszélünk, akkor a megépítendő felületszerkezet középfelületére gondolunk; erre hordjuk fel gondolatban a szerkezet v falvastagságát, a középfelületre merőlegesen. Ez lehet állandó vagy változó értékű is. A felületek matematikai leírása többféleképpen is történhet. Itt egy felület egyenletét úgy adjuk meg, hogy a derékszögű koordináta - rendszer O kezdőpontjából a felület egy tet - szőleges P pontjához húzott R P helyvektort adjuk meg, a következő módon v. ö. [ 4 ], ld. a 2. ábrát is! : 2. ábra

3 3 A P pont ( x P, y P, z P ) koordinátái általában az ( u, v ) paraméterek függvényei: ( 1 / 1 ) Az ( 1 / 1 ) egyenletek képezik a felület paraméteres egyenletrendszerét. A paraméterek megválasztásában viszonylag nagy a szabadságunk, amivel élni is fogunk. ( 1 ) Egyköpenyű forgáshiperboloid E felület jellemző egyenleteinek felírásánál felhasználjuk a [ 4 ] tankönyvben foglaltakat is. A feladatot ott így fogalmazzák meg: Írjuk fel annak a felületnek az egyenletét, amelyik egy e egyenesnek egy másik ( hozzá képest kitérő ) egyenes mint tengely körüli forgásából keletkezik. A tengelyegyenest vegyük z tengelynek és a két kitérő egyenes normáltranzverzálisa ( mindkét egyenesre merőleges, közöttük legrövidebb távolság ) által meghatározott egyenest x tengelynek. Az e egyenes A pontja forgás közben mindig az ( x, y ) síkon levő egyenletű körön mozog. A megoldáshoz tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra forrása: [ 4 ]

4 4 Az e egyenes megforgatásával előálló felület egy P pontjának helyvektora a 3. ábra szerint: ( 2 ) itt: az egyenes egységvektora pedig még meghatározandó. A 3. ábra szerint is: ( 3 ) ( 4 ) ahol : a kör érintő egységvektora ( = r g egységvektora, a 3. ábra szerint ). Ennek előállításához tekintsük a 4. ábrát is! 4. ábra Eszerint írhatjuk, hogy Most ( 4 ) és ( 5 ) szerint: ( 5 ) ( 6 ) Majd ( 2 ), ( 3 ) és ( 6 ) - tal: ezt az összeget csoportosítva az egységvektorok szerint:

5 5 majd ( 1 ) és ( 7 ) összehasonlításával: ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 10 ) A keresett felület ( 8 ), ( 9 ), ( 10 ) egyenletekből álló paraméteres egyenletrendszeréből kiküszöbölhetjük az u és v paramétereket. Négyzetre emeléssel, a P indexet már elhagyva: ; összegezve: innen: ( 11 ) Most ( 10 ) - ből:. ( 12 ) Majd ( 11 ) és ( 12 ) - vel: rendezve: ( 13 ) Osztva a nemzérus mennyiséggel: ( 14 ) Bevezetve a ( 15 )

6 6 rövidítő jelölést, ( 14 ) és ( 15 ) szerint kapjuk, hogy ( 16 ) A ( 16 ) képlet a [ 2 ] szakirodalom szerint is az egyköpenyű forgáshiperboloid egyenlete. Eszerint összefoglalóan elmondhatjuk, hogy a z tengelyhez képest kitérő helyzetű e egye - nes z körüli forgatásával előálló felület: az egyköpenyű forgáshiperboloid. Most tekintsük az 5. ábrát! 5. ábra forrása: [ 5 ] Itt egy egyköpenyű forgáshiperboloid héjszerkezet meridiánmetszetét láthatjuk. Megfigyelhetjük, hogy a középfelület meridiángörbéje olyan hiperbola, amelynek képzetes tengelye a héj forgástengelyével egybeesik. A matematikai szaknyelvet alkalmazva [ 6 ] : 2a a hiperbola valós tengelyének, 2b pedig a képzetes tengelyének a hossza. Az 5. ábrán F a hiperbola egyik és másik fókusza, az e távolság pedig a lineáris excentri - citás nagysága, melyre az ábra szerint is: A ( 16 ) képletben elvégezve az helyettesítést, kapjuk az 5. ábrán feltün - tetett hiperbola meridiángörbe ( 17 )

7 7 egyenletét. Az 5. ábrán megrajzolt két egyenes a hiperbola aszimptotái, melyek egyenlete itt [ 6 ] : ( 18 ) A ( 15 ) és ( 18 ) képletek összevetése azt adja, hogy az aszimptoták egyenesei az alko - tókkal párhuzamosak. Ugyanis a meridiánmetszet tartalmazza a z tengelyt, míg az alkotók ahhoz képest kitérő helyzetűek. Minthogy az aszimptoták z tengely körüli forgatásával előáll a hiperboloid aszimptotikus kúpja, így ( 18 ) négyzetre emelésével és az összefüggéssel kapjuk, hogy ( 19 ) A ( 19 ) képlet az egyköpenyű forgáshiperboloid aszimptotikus kúpjának egyenlete. Ehhez ld. a 6. ábrát is! 6. ábra forrása: [ 6 ] A 6. ábráról az is leolvasható, hogy a tárgyalt hiperboloid a γ hiperbola z tengely körüli forgatásával is származtatható. Eddig az 1. ábra harmadik képének esetével foglalkoztunk. A másik két kép esetei specializációval nyerhetők, az itt részletezettek felhasználásával. Ennek a munkának az elvégzését már rábízzuk az érdeklődő Olvasóra. Végül nézzünk néhány további ábrát az internetről!

8 8 7. ábra forrása: [ 7 ] 8. ábra forrása: [ 8 ]

9 9 9. ábra [ 9 ]

10 10 Megjegyzések: M1. A gyönyörű 8. ábra igazán megkönnyíti a mozgásgeometriai származtatást. A 3. ábrán alkalmazott jelölésekkel: egy az e egyenesen c = konst nagyságú sebességgel haladó P pont egyidejűleg a z tengely körül is forog ω = konst nagyságú szögsebességgel, hiszen az egész e egyenes forog a z tengely körül. Ekkor a megfelelő összefüggések így alakulnak: ( 20 ) A koordináta - mozgások időfüggvényei ( 8 ), ( 9 ), ( 10 ) és ( 20 ) szerint: A koordináta - mozgások sebességei, ponttal jelölve az idő szerinti deriválást: az eredő pályamenti sebesség nagysága: az eredő sebesség vektora: ( 8 / 1 ) ( 9 / 1 ) ( 10 / 1 ) ( 21 ) ( 22 ) ( 23 ) A részletek kidolgozását ismét az Olvasóra bízzuk. M2. Most tekintsük a [ 3 ] - ból kölcsönzött, ámde kissé átalakított 10. ábrát! Itt azt látjuk, hogy ha a hiperboloidot az y = a síkkal metsszük, mely a z = 0 helyen lévő vízszintes kört ( a torokkört ) éppen érinti, akkor előáll a sík és a hiperboloid két metszés - vonala. Ezek nem egyebek, mint a hiperboloid egyenes alkotói. Ezek α hajlásszögére az ábrából közvetlenül felírhatjuk a ( 24 ) összefüggést. Az alkotók egyenlete ezzel:. ( 25 )

11 ábra M3. Meglepő, de igaz: hibát találtunk [ 2 ] - ben. Ennek gyakorisága a fehér hollóéhoz mérhető. Ugyanis ott ezt olvashatjuk: a kanonikus egyenlettel adott egyköpenyű forgáshiperboloid úgy származtatható, hogy egy egyenest a z - tengely körül megpörgetünk. Ennek az egyenesnek a z - tengelytől való távolsága a, s a z - tengellyel alkotott hajlásszögének tangense A mondott képlet helyesen: Ugyanis a ( 15 ) képletbe b helyett c - t írva aho - gyan az [ 2 ] - ben az egyköpenyű forgáshiperboloid képletében szerepel : továbbá az jelöléssel, valamint az összefüggéssel: ahogy állítottuk. M4. A 11. ábra kapcsán ismét rámutatunk arra a tényre, hogy a tárgyalt felület minden pontján két alkotó halad át, a ( 25 ) képletnek megfelelően.

12 12 Ezek két független alkotósereg elemei: az egyik alkotósereg egy eleme nem vihető át elforgatással a másik alkotósereg egy elemébe. 11. ábra forrása: [ 2 ] Az a) ábrarészen a torokkört is megrajzolták. Amit eddig a szemléletre hagyatkozva mondtunk ki, az matematikailag is kiadódik [ 2 ]. Az egyköpenyű forgáshiperboloid egyenlete ( 16 ) szerint: Elmetszve e felületet az y = a egyenletű síkkal v. ö. 10. ábra! : vagyis 1.) 2.) Eszerint valóban fennáll a tétel, miszerint az egyköpenyű forgáshiperboloid minden pont - ján áthalad két olyan egyenes, amelyet a hiperboloid tartalmaz. Ezeket az egyeneseket a hiperboloid alkotóinak nevezzük [ 2 ]. M5. A hiperbola aszimptotáihoz tartoznak az alábbiak is [ 6 ]. Ez az anyag viszonylag könnyen érthető lesz, ellentétben más megközelítésekkel. Ehhez tekintsük a 12. ábrát is!

13 ábra forrása: [ 6 ] Ezen azt látjuk, hogy a hiperbolán is és az aszimptotáján is megjelölték az ugyanazon x > 0 értékhez tartozó M 1 és M 2 pontokat. Ezekhez az y 1 és y 2 ordináta tartozik. Ezek kifejezései az alábbiak: ( a ). ( b ) Most képezzük e két ordináta különbségét! Ekkor: ( c ) Azonos átalakítással kapjuk, hogy. ( d ) Majd ( c ) és ( d ) - vel: ( e ) Határérték - képzéssel: ( f ) vagyis mondhatjuk, hogy ( g )

14 14 A ( g ) egyenlet jelentése: ha az M 1 ponttal a végtelenbe tartunk, akkor az M 1 pont tetszőlegesen közel kerül az aszimptotájához, vagyis a rajta fekvő M 2 ponthoz. M6. A 9. ábrával kapcsolatban eszünkbe juthat a kérdés, hogyan kellene azt a makettet megépíteni. Ennek megválaszolásában segíthet a ( 24 ) képlet is. M7. A 7. oldalon azt írtuk, hogy az aszimptoták egyenesei az alkotókkal párhuzamosak. Ezt szemlélteti a 13. ábra is. 13. ábra [ 10 ] M8. A 14. ábrán erőművi hűtőtornyok láthatók, melyek középfelülete forgáshiperboloid. 14. ábra forrása: [ 11 ]

15 15 M9. A 15. ábrán egy olyan torony - szerkezet látható, amelynél a két alkotósereg rúdjait körgyűrűkkel merevítik. Látható, hogy ez nem egy szokásos héjszerkezet, mint amilyen az előző ábrán is szemlélhető. 15. ábra forrása: [ 12 ] M10. Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: A mandala - tetőről láthattunk a 15. ábrára emlékeztetőket. Egy hasonló fotó látható a 16. ábrán. 16. ábra forrása: [ 13 ]

16 16 M11. A fenti szövegben a v betűt két különböző mennyiségnek, úgymint ~ a héjszerkezet falvastagságának, valamint ~ a héjfelület paraméteres egyenletrendszerében az egyik paraméternek a jelölésére is használtuk. Ezek nem tévesztendők össze, értelemszerűen! ( A sebesség jelölésére is azért választottuk a V betűt, hogy a v - vel ne lehessen összetéveszteni.) M12. A 3. megjegyzésben emlegetett fehér holló szemlélhető a 17. ábrán; vagyis létezik. 17. ábra forrása: [ 14 ] Források: [ 1 ] Cornelie Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung 4. kiadás, Vieweg + Teubner Verlag, Wiesbaden, [ 2 ] Hajós György: Bevezetés a geometriába 6. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, [ 3 ] Telekes György: Mélyépítési állványozás, zsaluzás, dúcolás Ipari szakkönyvtár sorozat Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 4 ] Szerk. Gáspár Gyula: Műszaki matematika III. kötet Tankönyvkiadó, Budapest, 1969.

17 17 [ 5 ] Csonka Pál: Héjszerkezetek Akadémiai Kiadó, Budapest, [ 6 ] V. T. Baziljev ~ K. I. Dunyicsev ~ V. P. Ivanyickaja: Geometria I. Tankönyvkiadó, Budapest, [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] er_zootalures.jpg [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár