Absztrakt harmonikus analízis. Kristóf János

Absztrakt harmonikus analízis Kristóf János

Tartalomjegyzék I. Absztrakt harmonikus analízis 2 1. Csoportok ábrázolásai 7 1.1. Példák csoportokra.............................. 7 1.2. Csoportok ábrázolásai............................ 11 1.3. Összekötő operátorok és irreducibilitás................... 22 1.4. Ciklikus ábrázolások............................. 26 1.5. Csoport algebrai duálisa........................... 30 1.6. Triviális véges dimenziós unitér ábrázolásokkalrendelkező csoportok... 31 2. Topologikus csoportok és folytonos ábrázolások 34 2.1. Csoport-topológiák tulajdonságai...................... 34 2.2. Metrizálható topologikus csoportok..................... 41 2.3. Összefüggő topologikus csoportok...................... 44 2.4. Egyenletes folytonosság............................ 45 2.5. Folytonos topologikus ábrázolások...................... 47 2.6. Tranzitív topologikus ábrázolások...................... 50 2.7. Folytonos unitér ábrázolások......................... 54 3. Folytonos függvények lokálisan kompakt tér felett 59 3.1. Felbontási-lemma és hányados-lemma.................... 59 3.2. Approximációs-lemma............................ 62 3.3. Bruhat-féle keresztmetszet-függvény..................... 66 4. Komplex Radon-mértékek 69 4.1. Komplex Radon-mértékek alaptulajdonságai................ 69 4.2. Pozitív Radon-mértékek........................... 73 4.3. Radon-mérték tartója............................. 78 4.4. Folytonos kompakt tartójú függvény integrálja............... 81 4.5. Paraméteres integrálok folytonossága.................... 86 4.6. Radon-mértékek tenzorszorzata és az elemilebesgue Fubini-tétel..... 89 4.7. Radon-mértékek leszűkítése és összeragasztása............... 94 i

5. Invariáns Radon-mértékek 99 5.1. Az invariáns Radon-mértékek szerepe az unitérábrázolások elméletében. 99 5.2. Haar-mérték egzisztenciája és unicitása................... 105 5.3. Lokálisan kompakt csoport moduláris függvénye.............. 112 5.4. Haar-mérték és moduláris függvény lokálisankompakt féldirekt szorzat felett116 5.5. Példák Haar-mértékekre és modulárisfüggvényekre............. 120 6. Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája 126 6.1. Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrájánakértelmezése........ 126 6.2. δ-rendszerek.................................. 132 6.3. A mértékalgebra kommutativitásának ésegységelemességének kritériuma. 137 6.4. A harmonikus analízis alaptétele....................... 141 6.5. Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrájánakkarakterei......... 150 6.6. Összekötő operátorok............................. 155 6.7. Baloldali reguláris ábrázolásés a elfand Rajkov-tétel........... 157 6.8. Unitér ábrázolások Hilbert-integrálja Choquet-tétel............ 160 6.9. A mértékalgebra integrál-realizációja*.................... 167 7.7. Kompakt csoport unitér ábrázolásánakfelbontása irreducibilisek Hilbert-összegére Második P 7. Kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásai 176 7.1. Kompakt csoport feletti Haar-mértéktulajdonságai............. 176 7.2. Ortogonalitási relációk............................ 181 7.3. Kompakt csoport feletti trigonometrikuspolinomok............ 184 7.4. Approximáció trigonometrikuspolinomokkal Első Peter Weyl-tétel... 186 7.5. Kompakt csoport ábrázoláskarakterei.................... 191 7.6. Kompakt csoport mértékalgebrájának szerkezete.............. 193 8. Kommutatív lokálisan kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásai 204 8.1. Kommutatív lokálisan kompakt csoporttopologikus duálisa........ 204 8.2. Fourier-transzformáció............................ 209 8.3. Stone-tétel és unitér ábrázolás spektruma.................. 213 8.4. Fourier-féle δ-rendszerek........................... 225 8.5. Duális Haar-mérték.............................. 228 8.6. Fourier-transzformáció az LF 1 (,) téren*................. 235 8.7. A Fourier-féle inverziós-tétel alapformája*................. 239 8.8. Fourier-féle inverziós-tétel*.......................... 247 8.9. Fourier-transzformáció az LF 2 (,) téren Plancherel-tétel*....... 257 8.10. Pontrjagin-féle dualitás-tétel*........................ 269 ii

9. Radon-mérték faktorizációja lokálisan kompakt csoporton 274 9.1. A faktorizáció értelmezése és alaptulajdonságai............... 274 9.2. A faktorizálhatóság kritériumai....................... 279 9.3. Kompakt tartójú faktormértékek és Bruhat-félekeresztmetszet-függvény. 282 9.4. Invariáns és relatív invariáns pozitívradon-mértékek homogén téren... 285 9.5. Topologikusan kváziinvariáns pozitívradon-mértékek homogén téren... 287 10.Indukált unitér ábrázolások 291 10.1. Indukált lineáris és indukált unitérábrázolások értelmezése........ 291 10.2. Elemi példák indukált unitér ábrázolásokra................. 295 10.3. Speciális elemek indukált unitér ábrázolásterében............. 296 10.4. Az irreducibilitás tétele............................ 301 10.5. Imprimitivitás-rendszerek és az indukálhatóságszükséges feltétele..... 303 10.6. Az indukálhatóság elégséges feltétele Mackey-féle imprimitivitás-tétel.. 309 10.7. Az indukálás tranzitivitása.......................... 324 10.8. Indukált unitér ábrázolások Hilbert-összege................. 335 10.9. Az indukált unitér ábrázolások alternatívformája............. 337 10.10.Lokálisan kompakt féldirekt szorzatokindukált unitér ábrázolásai..... 340 11.Mackey-féle reprezentációs tétel 357 11.1. Lokálisan kompakt csoport belső topologikusábrázolásai.......... 357 11.2. A Mackey-féle reprezentációs tétel bizonyítása............... 361 II. Függelék: A topologikus integrálelmélet elemei 373 12.Pozitív Radon-mérték szerinti felső integrál 374 12.1. Pozitív alulról félig folytonos függvény felsőintegrálja........... 374 12.2. Pozitív függvény felső integrálja....................... 377 12.3. Speciális alakú pozitív Radon-mértékekszerinti felső integrál....... 381 12.4. Additivitás- és szubtraktivitás-formulák................... 388 12.5. Halmaz külső mértéke............................ 391 12.6. Eltűnő függvények és nullahalmazok..................... 392 12.7. Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenség.................... 396 13.Pozitív Radon-mérték szerinti LF(T,µ)-terek p 400 13.1. L p F (T,µ)-terek alaptulajdonságai...................... 400 13.2. Kapcsolatok az LF(T,µ)-terek p között.................... 406 13.3. Az LF(T,µ)-terek p teljessége Riesz Fischer-tétel............. 409 13.4. Az L p R (T,µ)-terek tulajdonságai Levi-tétel................ 413 13.5. Lebesgue-tétel................................. 418 iii

14.Integrál az LF 1 (T,µ)-téren 421 14.1. Az integrál értelmezése és alaptulajdonságai................ 421 14.2. Az integrálható halmazok δ-gyűrűje..................... 426 14.3. Speciális Radon-mértékek szerinti integrál................. 428 14.4. Du Bois-Reymond lemma.......................... 432 14.5. Az integrál lokalizációja........................... 436 14.6. Lebesgue-tétel az LF 1 (T,µ) térre....................... 439 14.7. Szorzatmérték szerinti integrál Lebesgue Fubini-tétel........... 440 15.A korlátos Radon-mérték szerinti integrálás elemi elmélete 446 15.1. A korlátos Radon-mérték szerinti integrálértelmezése........... 446 15.2. A korlátos Radon-mérték szerinti integrálalaptulajdonságai........ 452 15.3. A korlátos Radon-mérték szerinti integráljellemzése............ 457 15.4. Lokálisan kompakt csoport teljesmértékalgebrája.............. 461 1

I. rész Absztrakt harmonikus analízis 2

BEVEZETÉS Az absztrakt harmonikus analízis a lokálisan kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásainak elmélete. Ez az elmélet felöleli a kommutatív lokálisan kompakt csoportokkal kapcsolatos Fourier-sorok és Fourier-integrálok témakörét (vagyis a klasszikus harmonikus analízist), de azon messze túlmutat. Tartalmazza a kompakt (speciálisan: véges) csoportok folytonos unitér ábrázolásainak elméletét, amelynek fontos alkalmazásai vannak a kvantumfizikai részecskék és részecske-rendszerek elméleti vizsgálatában, valamint a szilárdtestfizikában. Továbbá, részelmélete neki az indukált unitér ábrázolások elmélete, amely lehetővé teszi a kvantummechanikai rendszerek téridőbeli modellezését. Az első fejezetben összefoglaljuk azokat a legfontosabb algebrai jellegű definíciókat és tulajdonságokat, amelyeket a harmonikus analízis kifejtése során felhasználunk. Példákat mutatunk be azokra a csoportokra, amelyekre a harmonikus analízis tételei alkalmazhatók, majd megadjuk a csoportok ábrázolásának fogalmát. Ezek legfontosabb speciális esete a topologikus terekben homeomorfizmusokkal, valamint a Hilbert-terekben unitér operátorokkal való ábrázolások. Bevezetjük a legelemibb unitér ábrázolás-konstrukciókat: az unitér ábrázolások Hilbert-összegzését, tenzorszorzását és konjugálását. Szó lesz az unitér ábrázolások irreducibilitásának és ciklikusságának fogalmáról, és azok kapcsolatáról. Megmutatjuk, hogy minden unitér ábrázolás felbontható ciklikus unitér ábrázolások Hilbert-összegére. Bevezetjük a csoportok algebrai duálisát, amelynek központi jelentősége van a harmonikus analízisben. Végül példát adunk olyan csoportokra, amelyeknek minden véges dimenziós unitér ábrázolása triviális, vagyis minden csoportelemet az identikus operátor reprezentál. Ez rávilágít arra, hogy a csoportok nemtriviális unitér ábrázolásainak vizsgálatához szükségszerű végtelen dimenziós unitér ábrázolásokkal is foglalkoznunk. A második fejezetben a topologikus csoportokkal kapcsolatos legelemibb fogalmakat tárgyaljuk. Kitérünk a topologikus csoportok szétválasztási, valamint a lokálisan kompakt csoportok összefüggőségi tulajdonságaira. Részletesen megvizsgáljuk a lokálisan kompakt csoportok tranzitív folytonos topologikus ábrázolásainak problémáját. Értelmezzük és jellemezzük az unitér ábrázolások folytonosságát, majd bevezetjük a topologikus csoportok topologikus duálisának fogalmát. A harmonikus analízis vizsgálatának leghatékonyabb eszköze a lokálisan kompakt terek feletti Radon-mértékek elmélete. Ennek kellő mélységű kifejtéséhez nélkülözhetetlen néhány elemi tény ismerete a lokálisan kompakt terek feletti folytonos függvények témaköréből; ezeket gyűjtjük egybe a harmadik fejezetben. A negyedik fejezetben a lokálisan kompakt terek feletti Radon-mértékek elemi elméletéről lesz szó. Megvizsgáljuk a Radon-mértékek folytonossági tulajdonságait, és azokat az elemi operációkat, amelyeket Radon-mértékeken végre lehet hajtani: a konjugálást, az abszolútérték-képzést, a folytonos függvénnyel vett szorzást, a folytonos függvény ál- 3

tali kép előállítását, valamint a tenzorszorzást. Bevezetjük a Radon-mérték tartójának fogalmát, és megvilágítjuk a tartó jelentőségét. Értelmezzük a Banach-térbe ható folytonos kompakt tartójú függvények integrálját tetszőleges Radon-mérték szerint, valamint Banach-térbe ható tetszőleges folytonos függvény integrálját kompakt tartójú Radonmérték szerint. Technikai szempontból különös jelentősége lesz a paraméteres integrálok folytonossági tételének, valamint az elemi Lebesgue Fubini-tételnek. Hangsúlyozzuk, hogy itt nem célunk a komplex Radon-mértékek szerinti integrálás általános elméletének kifejtése. Ilyen általános topologikus integrálelmélet létezik (a II. részben erről lesz szó), de utólag kiderül, hogy arra még a harmonikus analízis egészen mély tételeinek bizonyításában sincs szükség. Itt csak azokra a legelemibb Radonmértékelméleti és integrálelméleti tényekre szorítkozunk, amelyek nélkül a harmonikus analízis alaptételeit nem tudnánk bizonyítani. Azonban vannak az absztrakt harmonikus analízisnek olyan témakörei, amelyekben már a problémák megfogalmazásához is nélkülözhetetlen a topologikus integrálelmélet mélyebb ismerete. A topologikus integrálelmélet fogalmait és eredményeit lényegesen felhasználó pontokat a * szimbólummal különböztetjük meg. Az ötödik fejezetben értelmezzük a lokálisan kompakt csoportok feletti Haar-mértékeket, és igazoljuk ezek létezését és (bizonyos értelmű) egyértelműségét. Egyidejűleg rámutatunk az invariáns mértékek létezésének ábrázoláselméleti jelentőségére. Egy lokálisan kompakt csoport tranzitív folytonos topologikus ábrázolásának terén adott pozitív nem nulla invaráns Radon-mérték generálja a csoport egy nevezetes unitér ábrázolását, amit reguláris ábrázolásnak nevezünk. Ez a konstrukció lehetőséget ad arra, hogy lokálisan kompakt csoport felett sok nemtriviális folytonos unitér ábrázolást értelmezhessünk. A Haar-mértékek segítségével bevezetjük a lokálisan kompakt csoportok moduláris függvényét és az automorfizmusok modulusát. Kiszámítjuk lokálisan kompakt féldirekt szorzatcsoport bal- és jobboldali Haar-mértékét, valamint moduláris függvényét, továbbá megadjuk néhány konkrét lokálisan kompakt csoport baloldali Haar-mértékét. A hatodik fejezetben a harmonikus analízis legfontosabb tételét tárgyaljuk. Kapcsolatot teremtünk egy lokálisan kompakt csoport összes folytonos unitér ábrázolásainak osztálya, valamint egy a topologikus csoport-struktúra által meghatározott approximatív egységes Banach-*-algebra nemelfajult ábrázolásainak osztálya között. Az itt konstruált Banach-*-algebra a lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája. A mértékalgebra előállítása szempontjából döntő jelentősége van a lokálisan kompakt csoport feletti folytonos kompakt tartójú függvények konvolúciójának és a konvolúció algebrai tulajdonságainak. Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája általában nem egységelemes, nem kommutatív és nem C -algebra. Azonban tulajdonságait tekintve annyiban hasonlít a C -algebrákra, hogy approximatív egységes, mint minden C -algebra, és létezik hű ábrázolása, mint minden C -algebrának. A lokálisan kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásainak és a mértékalgebrája nemelfajult ábrázolásainak kapcsolatát ismerve bebizonyítjuk a harmonikus analízis elfand Rajkov-tételét, amely szerint lokálisan kom- 4

pakt csoport felett az irreducibilis folytonos unitér ábrázolások szétválasztják a csoport elemeit. Azt is megmutatjuk, hogy megszámlálható bázisú lokálisan kompakt csoport minden ciklikus folytonos unitér ábrázolása felbontható irreducibilis folytonos unitér ábrázolások alkalmas módon értelmezett Hilbert-integráljára; ez a harmonikus analízis Choquet-tétele. A hetedik fejezetben kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásaival foglalkozunk. Lokálisan kompakt csoport kompaktságát jellemezzük a Haar-mértékek korlátossági tulajdonságával. Bebizonyítunk két nevezetes ortogonalitási relációt kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásaira, és megmutatjuk, hogy kompakt csoport irreducibilis folytonos unitér ábrázolásai véges dimenziósak. Megfogalmazunk néhány elemi tételt kompakt csoport folytonos unitér karaktereire. Bevezetjük a kompakt csoport feletti trigonometrikus polinomok terét, és a elfand Rajkov-tétel, valamint a Stone Weierstrass-tétel alkalmazásával megmutatjuk, hogy ez sup-normában sűrű a csoport feletti folytonos komplex függvények terében; ez az első Peter Weyl-tétel. Bebizonyítjuk továbbá a második Peter Weyl-tételt, amely szerint kompakt csoport minden folytonos unitér ábrázolása előáll irreducibilis folytonos unitér ábrázolások Hilbert-összegeként. Konkrétan felírjuk kompakt csoport baloldali reguláris ábrázolásának irreducibilis unitér részábrázolásokra való felbontását, amely megmutatja, hogy a csoport minden irreducibilis folytonos unitér ábrázolása a baloldali reguláris ábrázolásnak részábrázolása. Bevezetjük a véges dimenziós unitér ábrázolások karaktereit, és megvizsgáljuk ezek alkalmazhatóságát kompakt csoport topologikus duálisának kiszámításában. A nyolcadik fejezetben áttérünk a klasszikus harmonikus analízis alapproblémájának, vagyis a kommutatív lokálisan kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásainak vizsgálatára. Kommutatív lokálisan kompakt csoport topologikus duálisán bevezetünk egy természetes csoport-műveletet és topológiát, amelyekkel a duális szintén kommutatív lokálisan kompakt csoporttá válik. Értelmezzük a Fourier-transzformációt, amelyről látható lesz, hogy valójában a kommutatív Banach-*-algebrák önadjungált elfandreprezentációjának speciális esete. A kommutatív Banach-*-algebrákra vonatkozó absztrakt Stone-tétel alkalmazásával bebizonyítjuk a harmonikus analízis Stone-tételét, amely szerint kommutatív lokálisan kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásai azonosulnak a duális feletti nemelfajult projektorintegrálokkal. Alkalmazzuk a spektrális C - algebrák esetében bizonyított spektráltételt Hilbert-tér folytonos lineáris operátorainak C -algebrájára; így jutunk el a projektorintegrálok és a projektormértékek kapcsolatához. Ennek alapján pontosítjuk a Stone-tételt. Ezután részletesen megvizsgáljuk a Fourier-transzformáció természetes általánosításának lehetőségét, a kommutatív lokálisan kompakt csoporton értelmezett, Banach-térbe vezető, Haar-integrálható függvények terére. Az eddigi eredmények származtatásához nincs szükség a topologikus integrálelméletre, elegendő hozzá a komplex Radon-mértékek elemi elmélete. Azonban a Fourier-féle inverziós-formula megfogalmazásához és bizonyításához nélkülözhetetlen a topologikus integrálelmélet mélyebb ismerete. A szükséges 5

integrálelméleti fogalmak és állítások összefoglalása a Függelékben (II. rész) megtalálható. Ezek alkalmazásával igazoljuk a klasszikus harmonikus analízis legfontosabb tételeit: a Fourier-féle inverziós tételt, a Plancherel-tételt, valamint a Pontrjagin-féle dualitás-tételt. A matematikai fizikában természetes módon jelennek meg olyan lokálisan kompakt csoportok, amelyek nem kompaktak és nem kommutatívak, ugyanakkor szükség volna az irreducibilis folytonos unitér ábrázolásaik ismeretére. Ebből a szempontból döntő jelentőségű egy speciális unitér ábrázolás-konstrukció: az indukált unitér ábrázolások konstrukciója. Ezek pontos definíciójához, valamint a legelemibb tulajdonságaik bizonyításához szükség van a lokálisan kompakt csoport feletti Radon-mértékek zárt részcsoport szerinti faktorizációjának elméletére. A mértékfaktorizáció elemi elméletét a kilencedik pontban tárgyaljuk, majd a nyert eredményeket a tizedik pontban alkalmazzuk, amelyben megadjuk az indukált unitér ábrázolások fogalmát, és vizsgáljuk ezek tulajdonságait. Bevezetjük az indukált unitér ábrázoláshoz asszociált imprimitivitás-rendszer fogalmát, és ennek segítségével bebizonyítjuk a Mackey-féle imprimitivitás-tételt, amely jellemzést ad azokra a folytonos unitér ábrázolásokra, amelyek egy adott zárt részcsoport rögzített unitér ábrázolása által indukáltak. Szó lesz az indukált unitér ábrázolások irreducibilitásának kritériumáról, valamint az indukált unitér ábrázolások egy speciális alternatív formájáról. A tizenegyedik fejezetben bebizonyítjuk a harmonikus analízis egyik legmélyebb tételét: a Mackey-féle reprezentációs tételt, amely bizonyos nem kompakt és nem kommutatív lokálisan kompakt csoportok esetében lehetőséget nyújt a csoport topologikus duálisának meghatározására. Végül megemlítjük, hogy itt csak a legáltalánosabb és legelemibb harmonikus analízisbeli gondolatok bemutatására vállalkozunk. Teljesen kimarad például a Lie-csoportok unitér ábrázolásainak elmélete, az ezekkel kapcsolatos Lie-algebrák ábrázolásainak elmélete, a o arding-tétel, a Kirillov-féle pályamódszer, s.í.t. Egyes speciális csoport-típusok (mint például az SL(n, R) vagy SU(n, C) mátrixcsoportok) ábrázolásainak vizsgálata külön fejezetet igényelne. Nem tárgyaljuk az univerzális fedőcsoportok, a Clifford-csoportok, a Clifford-algebrák és a sugárábrázolások elméletét. Nem térhetünk ki a szimplektikus csoportok Weil-féle reprezentációjának vizsgálatára, valamint a harmonikus analízis analitikus számelméleti alkalmazásaira, például a lokálisan kompakt testek elméletében; és a nem érintett témák sorát vég nélkül lehetne folytatni. Azonban az itt tárgyalt anyag ismerete nélkülözhetetlen a harmonikus analízis speciális témaköreinak megértéséhez. 6

1. fejezet Csoportok ábrázolásai 1.1. Példák csoportokra Először példákat adunk azokra a csoportokra, amelyekkel a harmonikus analízisben foglalkozunk. 1) Ha S egységelemes félcsoport (másnéven monoid), akkor az S invertálható elemeinek (S) halmaza, a félcsoport-művelet (S) (S)-re vett leszűkítésével ellátva csoport. Ennek fontos speciális esete az, amikor X halmaz, és S egyenlő az X X függvények F(X; X) halmazával, amelynek félcsoport-művelete a függvénykompozíció; ekkor (F(X; X)) egyenlő az X X bijekciók (másnéven az X permutációinak) függvénykompozícióval ellátott csoportjával. Ha X halmaz, akkor S(X) jelöli az X permutációinak függvénykompozícióval ellátott csoportját, és ezt az X halmaz teljes permutációcsoportjának, vagy az X halmaz szimmetrikus csoportjának nevezzük. Ha n N, akkor S(n) helyett az S n jelölést is alkalmazzuk. Ha X halmaz, akkor az S(X) csoport részcsoportjait az X halmaz permutációcsoportjainak nevezzük. 2) Ha X topologikus tér, akkor H(X) jelöli az X topologikus tér teljes homeomorfizmuscsoportját, vagyis az X X homeomorfizmusok halmazát, a függvénykompozícióval ellátva. Világos, hogy H(X) részcsoportja az S(X) teljes permutációcsoportnak, vagyis H(X) permutációcsoportja az X halmaznak. A H(X) részcsoportjait az X topologikus tér homeomorfizmuscsoportjainak nevezzük. 3) Ha M sokaság, akkor Diff(M) jelöli az M sokaság teljes diffeomorfizmuscsoportját, vagyis az M M diffeomorfizmusok halmazát a függvénykompozícióval ellátva. A Diff(M) részcsoportjait az M sokaság diffeomorfizmuscsoportjainak nevezzük. 4) Ha (M, g) pszeudoriemann-sokaság, akkor Iso(M, g) jelöli az (M, g) teljes izometria- 7

csoportját, tehát Iso(M,g) := {σ Diff(M) ( a M) : g(σ(a)) (T a (σ) T a (σ)) = g(a)}, és Iso(M, g) csoportművelete a függvénykompozíció. Speciálisan, ha (M, g, τ) Einstein-sokaság (tehát időorientált négydimenziós Lorentz-sokaság), akkor az Iso(M, g) csoportot az (M, g, τ) Einstein-sokaság Einstein-csoportjának nevezzük, és E(M, g, τ)- vel jelöljük. Ekkor SE(M,g,τ) jelöli az E(M,g,τ) csoportnak azt a részcsoportját, amelynek elemei megtartják a τ időorientációt. Ezt a csoportot nevezzük az Einsteinsokaság speciális Einstein-csoportjának. 5) Ha E vektortér, akkor L(E) jelöli az E vektortér teljes lineáris csoportját, vagyis az E E lineáris bijekciók halmazát, a függvénykompozícióval ellátva. Ha K test és n N, akkor a L(K n ) helyett a L(n,K) szimbólumot alkalmazzuk. Ha K test, akkor a L(1, K) csoport kanonikusan azonosítható a K test multiplikatív csoportjával, vagyis a K\{0} halmazzal, amelynek művelete a K szorzásának (K\{0}) (K\{0})-ra vett leszűkítése. Ezt a nevezetes csoportot néha a K szimbólummal jelölik. 6) Ha E véges dimenziós vektortér a K test felett, akkor a det : L(E) K determináns-függvény csoport-morfizmus, és SL(E) jelöli az E vektortér speciális lineáris csoportját, vagyis SL(E) := {u L(E) det(u) = 1}. Ha K test és n N, akkor az SL(K n ) jelölés helyett az SL(n,K) szimbólumot alkalmazzuk. 7) Legyen E vektortér és X E; ekkor L(E,X) := {u L(E) u X = X}; ez részcsoportja L(E)-nek. Ha K test és n N, akkor a L(K n,x) jelölés helyett az L(n, K, X) szimbólumot alkalmazzuk. Ilyen alakú csoportok, illetve ezek bizonyos részcsoportjai gyakran megjelennek a kristályszimmetriák elméletében. 8) Legyen E vektortér, Z halmaz és g : E E Z tetszőleges függvény; ekkor O(E,g) := {u L(E) g (u u) = g}; ez részcsoportja L(E)-nek. Ezt a csoportot az E vektortér g-ortogonális csoportjának nevezzük. Ha E véges dimenziós, akkor SO(E,g) := {u O(E,g) det(u) = 1}; ezt a csoportot az E vektortér speciális g-ortogonális csoportjának nevezzük. néhány speciális esetről lesz szó. Most Legyen E valós vektortér, és g : E E R skalárszorzás E felett, vagyis g pozitív definit szimmetrikus bilineáris funkcionál. Ekkor tekinthető az O(E, g) (illetve véges 8

dimenziós E esetén az SO(E, g)) g-ortogonális (illetve speciális g-ortogonális) csoport. Ha n N +, akkor O(n,R) (illetve SO(n,R)) jelöli az R n R n R; ((x k ) k n,(y k ) k n ) k nx k y k euklidészi skalárszorzás által meghatározott ortogonális (illetve speciális ortogonális) csoportot. A definíció szerint egy (R j,k ) (j,k) n n n n-es valós mátrix pontosan akkor eleme O(n, R)-nek, ha minden j, k n esetén i,j R i,k = δ j,k = i nr R k,i R j,i. i n Legyen E komplex vektortér és g : E E C skalárszorzás E felett, vagyis g pozitív definit hermitikus konjugált bilineáris funkcionál. Ekkor tekinthető az O(E, g) (illetve véges dimenziós E esetén az SO(E, g)) g-ortogonális (illetve speciális g-ortogonális) csoport. Az O(E, g) csoportot az (E, g) prehilbert-tér unitér csoportjának nevezzük és U(E, g)-vel jelöljük (illetve véges dimenziós E esetén az SO(E, g) csoportot az (E, g) prehilbert-tér speciális unitér csoportjának nevezzük és SU(E, g)-vel jelöljük). Ha n N +, akkor U(n,C) (illetve SU(n,C)) jelöli a C n C n C; ((x k ) k n,(y k ) k n ) k nx k y k euklidészi skalárszorzás által meghatározott untiér (illetve speciális unitér) csoportot. A definíció szerint egy (U j,k ) (j,k) n n n n-es komplex mátrix pontosan akkor eleme U(n, C)-nek, ha minden j, k n esetén i,j U i,k = δ j,k = i nu U k,i U j,i. i n Legyen E legalább kétdimenziós valós vektortér, és g : E E R Lorentz-forma E felett, vagyis g olyan szimmetrikus bilineáris funkcionál, amelyhez létezik olyan S E homogén hipersík, valamint olyan T E egydimenziós lineáris altér, hogy T S = E és a g T T : T T R és g S S : S S R leképezések skalárszorzások, valamint T és S egymásra g-ortogonálisak. Ekkor az O(E, g) (illetve véges dimenziós E esetében az SO(E, g)) csoportot g-lorentz-csoportnak (illetve speciális g-lorentzcsoportnak) nevezzük. Ha n N +, akkor a n g : R n+1 R n+1 R; ((x µ ) µ n+1,(y ν ) ν n+1 ) x 0 y 0 + x µ y µ µ=1 standard Lorentz-forma szerinti Lorentz csoportnak a (Λ µ,ν ) (µ,ν) (n+1) (n+1) valós együtthatós (n + 1) (n + 1)-es mátrix pontosan akkor eleme, ha minden µ, ν n + 1 esetén n α,=0 Λ α,µ α, Λ,ν = µ,ν 9

teljesül, ahol ( µ,ν ) (µ,ν) (n+1) (n+1) az az (n + 1) (n + 1)-es valós diagonális mátrix, amelyre 0,0 = 1 és minden 1 µ n+1 esetén µ,µ = 1. Legyen E {0} véges dimenziós valós vektortér, E az E algebrai duálisa (vagyis az E feletti lineáris funkcionálok vektortere), és ω E : (E E ) (E E ) R; ((q,p),(q,p )) p (q) p(q ) az ún. standard szimplektikus forma E E felett. Ekkor ω E nemelfajult antiszimmetrikus bilineáris funkcionál E E felett, és az O(E E,ω E ) csoportot az E vektortér szimplektikus csoportjának nevezzük, és az Sp(E) szimbólummal jelöljük. 9) Legyen E affin tér az E vektortér felett. Ekkor Aff(E) := {u S(E) ( u L(E))( x E)( x E) : u(x ) u(x) = u(x x)}, vagyis Aff(E) elemei az E E affin bijekciók. Aff(E) részcsoportja az S(E) teljes permutációcsoportnak, és ezt az E affin tér teljes affin csoportjának nevezzük. Ha u Aff(E), akkor egyetlen olyan u L(E) létezik, amelyre minden x,x E esetén u(x ) u(x) = u(x x) teljesül; ezt a lineáris bijekciót Du jelöli. Világos, hogy az Aff(E) L(E); u Du leképezés csoport-morfizmus. Han N ésk test, akkor K n természetes módon ellátható affin struktúrával a K n vektortér felett; ekkor az Aff(K n ) jelölés helyett az Aff(n,K) szimbólumot alkalmazzuk. 10) Legyen E affin tér az E vektortér felett és H részcsoportja L(E)-nek. Ekkor Aff(E,H) := {u Aff(E) Du H}. Világos, hogy Aff(E, H) részcsoportja Aff(E)-nek. A speciális nemrelativisztikus téridő-modell, valamint a speciális relativisztikus téridő-modell automorfizmuscsoportjai ilyen alakú csoportok; az előbbit alilei-csoportnak, míg az utóbbit Poincaré-csoportnak nevezzük. 11) Példa néhány nevezetes véges csoportra. Legyen n N + rögzített. C n jelöli az n-ed rendű ciklikus csoportot, tehát C n az a (csoport-izomorfia erejéig egyértelműen meghatározott) csoport, amelynek van olyan a n-ed rendű eleme, hogy {a} generátorhalmaz C n -ben. Könnyen látható, hogy C n = {e,a,a 2,...,a n 1 } és Card(C n ) = n. A C n csoport realizálható úgy, mint a Z/nZ faktorgyűrű additív csoportja, vagy mint C-ben az n-edik egységgyökök U n multiplikatív csoportja. A n jelöli az n indexű alternáló csoportot, tehát ha ε jelöli az S n szimmetrikus csoport szignatúra-függvényét, akkor A n := {σ S n ε(σ) = 1}. 10

Az A n csoport elemeit az n ciklikus permutációinak nevezzük. D n jelöli az n indexű diéder csoportot, tehát D n az a (csoport-izomorfia erejéig egyértelműen meghatározott) csoport, amelynek léteznek olyan a és b elemei, hogy a n-ed rendű, b másodrendű, bab = a n 1, és {a,b} generátorhalmaz D n -ben. Könnyen látható, hogy D n = {e,a,a 2,...,a n 1,b,ba,ba 2,...,ba n 1 } és Card(D n ) = 2n. A D n csoport realizálható úgy, mint O(2, R) L(2, R, X) (7. példa), ahol X := {(cos(2πk/n),sin(2πk/n)) R 2 k n}. Q n jelöli az n indexű kvaternió-csoportot, tehát Q n az a (csoport-izomorfia erejéig egyértelműen meghatározott) csoport, amelynek léteznek olyan a és b elemei, hogy a 2n-ed rendű, b negyedrendű, bab = a 2n 1, b 2 = a n, és az {a,b} halmaz generátorhalmaz Q n -ben. Legyen X := {0,1} 3 és O := SO(3,R) L(3,R,X) (7. példa); ezt a csoportot oktaéder-csoportnak nevezzük. Az O csoport morfikusan beinjektálható az S 8 teljes permutációcsoportba, és könnyen kiszámíthatók az elemei. Kiderül, hogy O-nak 24 eleme van. Legyen X := {( 1,1,1),(1, 1,1),(1,1, 1),(1, 1, 1)} és ismét T := SO(3,R) L(3, R, X) (7. példa); ezt a csoportot tetraéder-csoportnak nevezzük. A T csoport morfikusan beinjektálható az S 4 teljes permutációcsoportba és könnyen kiszámíthatók az elemei. Kiderül, hogy T-nek 12 eleme van. 1.2. Csoportok ábrázolásai Jelölések. Legyen csoport. A neutrális elemét e jelöli, vagy ha világos, hogy melyik csoport neutrális eleméről van szó, akkor az e jelet alkalmazzuk. A csoport műveletét rendszerint szorzással (kommutatív esetben összeadással) jelöljük. Előfordul, hogy a ;(s,t) st csoportműveletet a p, és a ; s s 1 csoport-inverziót az i szimbólummal jelöljük. Minden s esetén a következő függvény-jelöléseket alkalmazzuk. γ (s) : ; t st, δ (s) : ; t ts 1, Int (s) : ; t sts 1, tehát Int (s) = γ (s) δ (s) = δ (s) γ (s). Ha s, akkor Int (s) automorfizmusa a csoportnak, és ezt az s elem által meghatározott belső automorfizmusnak nevezzük. A 11

csoport teljes automorfizmuscsoportját Aut() jelöli, és Int() := {Int (s) s }, vagyis Int() a belső automorfizmusainak csoportja. Ha H részcsoport, akkor /H jelöli a H szerinti baloldali mellékosztályok halmazát, tehát /H := {sh s }, és π /H jelöli a /H; s sh kanonikus szürjekciót. Továbbá, minden s esetén γ /H (s) jelöli azt a /H /H bijekciót, amelyre γ /H (s) π /H = π /H γ (s). 1.2.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy γ ábrázolása (vagy reprezentációja) a csoportnak az X halmazban, ha γ : S(X) csoport-morfizmus. Legyen γ ábrázolása a csoportnak az X halmazban. Az X halmazt a γ ábrázolás terének nevezzük. Minden s esetén a γ(s) : X X bijekciót az s csoportelemet (γ szerint) ábrázoló operátornak nevezzük. Ha x X, akkor a γ x : X; s γ(s)x függvényt az x ponthoz tartozó γ-orbitális függvénynek, továbbá az Im(γ x ) = {γ(s)x s } halmazt az x pont γ-pályájának nevezzük. Ha x X, akkor a γ,x := {s γ(s)x = x} halmazt az x pont γ szerinti stabilitáscsoportjának nevezzük. Azt mondjuk, hogy a γ ábrázolás tranzitív, ha létezik olyan x X pont, amelynek a γ szerinti pályája egyenlő X-szel, vagyis {γ(s)x s } = X. Megjegyzések. Legyen γ ábrázolása a csoportnak az X halmazban. 1) Hax X, akkor a γ,x stabilitás-csoport nyilvánvalóan részcsoportja -nek, és létezik egyetlen olyan γ x : / γ,x X függvény, hogy γ x π /γ,x = γ x ; ez a γ x függvény bijekció / γ,x és Im( γ x ) (vagyis az x pont γ-pályája) között. 2) Ha x X, akkor minden s esetén γ x γ (s) = γ(s) γ x, ezért a γ x : / γ,x X injekció olyan, hogy minden s esetén γ x γ /γ,x (s) = γ(s) γ x. 3) Ha x 1,x 2 X és s olyan, hogy x 2 = γ(s)x 1, akkor a γ,x1 és γ,x2 stabilitás-csoportok az Int (s) belső automorfizmus által izomorfak, vagyis fennáll az Int (s) γ,x1 = γ,x2 egyenlőség. Példák (csoportábrázolásokra). 1) Ha csoport, akkor γ és δ injektív és tranzitív ábrázolásai a csoportnak a halmazban. Ha csoport és H részcsoportja -nek, akkor γ /H tranzitív ábrázolása -nek a /H halmazban; ez az ábrázolás H esetén nem injektív. 2) Legyenek N és H csoportok, továbbá τ : H Aut(N) csoport-morfizmus. Az N H halmazon értelmezzük a műveletet úgy, hogy (n,h),(n,h ) N H esetén (n,h) (n,h ) := (nτ h (n ),hh ). 12

Könnyen ellenőrizhető, hogy csoportművelet az N H halmaz felett. Az N H halmazt a művelettel ellátva az N és H csoportok τ szerinti féldirekt szorzatának nevezzük, és a N τ H szimbólummal jelöljük. Világos, hogy az N τ H S(N); (n,h) τ h leképezés ábrázolása az N τ H csoportnak az N halmazban. 3) Legyen E vektortér és X E. Ekkor a L(E,X) S(X); u u X leképezés ábrázolása a csoportnak az X halmazban; ezt nevezzük a L(E, X) csoport önábrázolásának. Ha részcsoportja L(E, X)-nek, akkor a L(E, X) önábrázolásának -re vett leszűkítése ábrázolása -nek az X halmazban; ezt a csoport önábrázolásának nevezzük. 1.2.2. Definíció. Legyen csoport. Azt mondjuk, hogy γ topologikus ábrázolása a csoportnak az X topologikus térben, ha X topologikus tér, és γ olyan ábrázolása a csoportnak az X halmazban, amelyre minden s esetén a γ(s) : X X ábrázoló operátor folytonos. Azt mondjuk, hogy V lineáris ábrázolása a csoportnak az E vektortérben, ha E vektortér, és V olyan ábrázolása a csoportnak az E halmazban, amelyre minden s esetén a V(s) : E E ábrázoló operátor lineáris. Azt mondjuk, hogy V unitér ábrázolása a csoportnak a H Hilbert-térben, ha H Hilbert-tér, és V olyan ábrázolása a csoportnak a H halmazban, amelyre minden s esetén V(s) : H H ábrázoló operátor lineáris izometria (vagy ami ugyanaz: skalárszorzás-tartó lineáris operátor). Megjegyzések. Legyen csoport. 1) Ha γ topologikus ábrázolása a csoportnak az X topologikus térben, akkor minden s esetén a γ(s) : X X ábrázoló operátor homeomorfizmus, hiszen a hipotézis alapján a γ (s) 1 = γ (s 1 ) : X X függvény is folytonos. Ez azt jelenti, hogy a csoport topologikus ábrázolásai az X topologikus térben éppen a H(X) csoportmorfizmusok, ahol H(X) az X topologikus tér teljes homeomorfizmuscsoportja. 2) Ha V lineáris ábrázolása a csoportnak az E vektortérben, akkor minden s esetén a V(s) : E E ábrázoló operátor lineáris bijekció, hiszen a hipotézis alapján a V(s) 1 = V(s 1 ) : E E függvény is lineáris. Ez azt jelenti, hogy a csoport lineáris ábrázolásai az E vektortérben éppen a L(E) csoport-morfizmusok. Ha az E vektortér véges dimenziós, akkor a dim(e) számot a V lineáris ábrázolás dimenziójának nevezzük, és gyakran dim(v)-vel jelöljük. 13

3) Ha V unitér ábrázolása a csoportnak a H Hilbert-térben, akkor minden s esetén a V(s) : H H ábrázoló operátor unitér, hiszen a hipotézis alapján a V(s) 1 = V(s 1 ) : H H függvény is lineáris izometria. Ez azt jelenti, hogy a csoport unitér ábrázolásai a H Hilbert-térben éppen a U(H ) csoportmorfizmusok, ahol U(H ) a H Hilbert-tér unitér operátorainak csoportja. Legyen H prehilbert-tér, és V olyan lineáris ábrázolása a csoportnak a H vektortérben, amelyre minden s esetén a V(s) : H H operátor izometria (vagy ami ugyanaz: skalárszorzás-tartó lineáris operátor). Jelölje Ĥ a H teljes burkát. Ha s, akkor a V(s) : H Ĥ folytonos lineáris operátor egyértelműen kiterjeszthető Ĥ Ĥ folytonos lineáris operátorrá. Jelölje V : L(Ĥ ) azt a függvény, amely minden s-hez hozzárendeli a V(s) folytonos lineáris kiterjesztését Ĥ -ra. Ekkor V unitér ábrázolása a csoportnak a Ĥ Hilbert-térben, hiszen minden s esetén az egyenlőségek folytatásának elve alapján a V(s) operátor is izometria, ezért Im(V(s)) zárt Ĥ -ban és Im(V(s)) Im(V(s))(= H ), vagyis Im(V(s)) sűrű is Ĥ -ban, azaz V(s) U(Ĥ ). Ezt a V unitér ábrázolást a V lineáris ábrázolás teljesítésének nevezzük. A harmonikus analízisben nagyon gyakori ez a konstrukció, amit a két következő állítás is illusztrál. 1.2.3. Állítás. Legyen (V i ) a csoport unitér ábrázolásainak tetszőleges rendszere, és minden I i-re jelölje H i a V i ábrázolás terét. Ekkor a H i H i C; ((ζ i ),(η i ) ) (ζ i η i ) leképezés skalárszorzás a H i vektortér felett, és minden s esetén a V i (s) : H i H i ; (ζ i ) (V i (s)(ζ i )) leképezés olyan lineáris bijekció, amely megtartja a fenti skalárszorzást. Továbbá, a V i : L H i ; s V i (s) leképezés lineáris ábrázolása a csoportnak a H i vektortérben. 1.2.4. Definíció. Legyen (V i ) a csoport unitér ábrázolásainak tetszőleges rendszere, és minden I i-re jelölje H i a V i ábrázolás terét. Ekkor az előző állításban értelmezett V i lineáris ábrázolás teljesítését a (V i ) unitér ábrázolás-rendszer Hilbertösszegének nevezzük, és a bevezetett V i szimbólummal jelöljük; továbbá az előző állításban H i prehilbert-tér teljes burkát, vagyis a V i unitér ábrázolás terét H i jelöli, és ezt a Hilbert-teret a (H i ) Hilbert-tér-rendszer Hilbert-összegének nevezzük. 14

A következő állításban felhasználjuk a vektorterek véges rendszere (rendezetlen algebrai) tenzorszorzatának értelmezését és néhány alaptulajdonságát. Ezeket most röviden összefoglaljuk. Ebben a bekezdésben (E i ) a K test feletti vektortereknek tetszőleges véges rendszerét fogja jelölni. Az (E i ) rendszer (rendezetlen algebrai) tenzorszorzatának nevezünk minden olyan (E,m) párt, amelyre teljesül az, hogy E vektortér a K test felett és m : E i E olyan multilineáris operátor, hogy minden K feletti F vektortérhez és minden u : E i F multilineáris operátorhoz létezik egyetlen olyan ũ : E F lineáris operátor, hogy ũ m = u. Az (E i ) rendszernek létezik tenzorszorzata. Ehhez jelölje minden I i-re Ei az E i vektortér algebrai ( duálisát, ) vagyis az E i K lineáris funkcionálok vektorterét. Jelölje továbbá Mult Ei;K a i E K multilineáris funkcionálok vektorterét. Minden (x i ) esetén értelmezzük a i : x E i K; (u i ) u i (x i ) leképezést, amelyre nyilvánvalóan teljesül az, hogy x i Mult : E ( ) i Mult Ei;K ; (x i ) x i ( ) Ei;K. Ekkor a leképezés multilineáris, és ha E i jelöli a leképezés értékkészlete által generált lineáris ( ) alteret a Mult Ei;K vektortérben, akkor igazolható, hogy az E i, pár tenzorszorzata az (E i ) vektortér-rendszernek. A E i vektortér elemeit tenzoroknak nevezzük és a multilineáris operátor értékkészletének elemeit felbontható tenzoroknak nevezzük. Láthatóan minden tenzor előáll véges sok felbontható tenzor összegeként. A tenzorszorzat abban az értelemben egyértelmű, hogy ha az (E,m) és (E, m) párok mindketten tenzorszorzatai az(e i ) vektortér-rendszernek, akkor létezik egyetlen olyan v : E E lineáris bijekció, amelyre v m = m. Azonban a tenzorszorzat általában nem egyértelmű, mert ha (E, m) tenzorszorzata az (E i ) vektortér-rendszernek és E olyan vektortér K felett, amely izomorf E-vel és v : E E tetszőleges lineáris bijekció, akkor az (E,v m) pár szintén tenzorszorzata az (E i ) vektortér-rendszernek, és ez általában különbözik az (E,m) pártól. Az (E i ) vektortér-rendszer minden konkrét tenzorszorzatát a tenzorszorzat realizációjának 15

nevezzük. Azt imént bevezetett E i, konkrét realizációt a tenzorszorzat standard realizációjának nevezzük. De rendszerint az (E i ) vektortér-rendszer tetszőleges (E,m) tenzorszorzatát is a m((x i ) ) elemet is és abból sem, ha a i, szimbólummal jelöljük és (x i ) E E i esetén az x i jelöli. Ebből általában nem származik semmiféle félreértés, E i vektorteret nevezzük az (E i ) vektortér-rendszer tenzorszorzatának a E i, pár helyett. De lényeges látni, hogy a tenzorszorzat fogalmához elválaszthatatlanul hozzátartozik a multilineáris operátor is. Legyen (F i ) is K feletti vektortereknek tetszőleges rendszere és legyen (u i ) olyan rendszer, hogy minden i I esetén u i : E i F i lineáris operátor. Ekkor létezik egyetlen olyan u i : E i F i lineáris operátor, amelyre teljesül az, hogy minden (x i ) i esetén E u i x i = u i (x i ). Ezt a lineáris operátort, az(u i ) operátor-rendszer tenzorszorzatának nevezzük. Könnyen látható, hogy ha ( i ) is a K test feletti vektortereknek tetszőleges rendszere és (v i ) olyan rendszer, hogy minden i I esetén v i : F i i lineáris operátor, akkor fennáll a egyenlőség. v i u i = (v i u i ) 1.2.5. Állítás. Legyen (V i ) a csoport unitér ábrázolásainak tetszőleges véges rendszere, és minden I i-re jelölje H i a V i ábrázolás terét. Ekkor a H i algebrai tenzorszorzat felett egyértelműen létezik olyan ( ) skalárszorzás, amelyre teljesül az, hogy minden (ζ i ),(η i ) H i esetén ζ i i = η (ζ i η i ). Továbbá, minden s esetén létezik egyetlen olyan V i (s) : H i H i lineáris operátor, amelyre minden H i (ζ i ) -ra V i (s) ζ i = (V i (s)(ζ i )). 16

Minden s esetén V i (s) L H i és ez az operátor megtartja a fenti ( ) skalárszorzást. Továbbá, a V i : L H i ; s V i (s) leképezés lineáris ábrázolása a csoportnak a H i vektortérben. Bizonyítás. Legyen (η i ) H i rögzített elem, és tekintsük a H i C; (ζ i ) (ζ i η i ) leképezést. Ez multilineáris funkcionál, így a tenzorszorzat értelmezése alapján létezik egyetlen olyan τ (ηi ) : H i C lineáris funkcionál, amelyre teljesül az, hogy minden (ζ i ) H i esetén τ (ηi ) ζ i = i η i ). (ζ Könnyen ellenőrizhető, hogy minden H i t-re a H i C; (η i ) τ (ηi ) (t) leképezés multilineáris funkcionál, így a tenzorszorzat értelmezése alapján létezik egyetlen olyan σ t : H i C lineáris funkcionál, amelyre teljesül az, hogy minden (η i ) H i esetén Könnyen ellenőrizhető, hogy ekkor a σ t η i = τ (ηi ) (t). ( ) : H i H i C; (t,t) σ t (t ) 17

leképezés olyan konjugált bilineáris funkcionál, amelyre teljesül az, hogy minden (ζ i ),(η i ) H i esetén ζ i i = η (ζ i η i ). A ( ) leképezés pozitív definitivitásának bizonyításához legyen t H i rögzített elem: azt fogjuk igazolni, hogy (t t) R +, és (t t) = 0 esetén t = 0. A tenzorszorzat tulajdonságai alapján van olyan A véges halmaz és minden I i-hez létezik olyan (ζ i,α ) α A rendszer H i -ben, hogy t = α A ζ i,α. Minden i I esetén a (ζ i,α ) α A véges rendszer által generált véges dimenziós H i -beli lineáris altérhez van olyan (η i,i ) i B i véges ortonormált rendszer, amely ugyanazt a lineáris alteret generálja, mint a (ζ i,α ) α A rendszer. Ekkor minden I i-hez és A α-hoz egyértelműen létezik olyan (c i,α,i ) i B i rendszer C-ben, amelyre ζ i,α = c i,α,i η i,i. i B i Ekkor a : H i H i operátor multilinearitása miatt t = α A ζ i,α = α A ( ) c i,α,(i) B η i,(i) teljesül, ahol B := B i. A két szummázás sorrendjét felcserélve ebből következik, hogy t = Bd η i,(i), ahol minden B -ra d := ( ) c i,α,(i) C. A ( ) leképezés alaptulajdonsága, valamint minden i I esetén a H i -ben haladó (η i,i ) i B i α A rendszer ortonormalitása alapján kapjuk, hogy minden B, -re η i,(i) i, η (i) = η i,(i) η i, (i) = δ (i), (i) = δ,, ahol δ a Kronecker-deltát jelöli. Ebből következik, hogy (t t) = B B d d η i,(i) η i, (i) = 18

= B d δ, = Bd d 2. B Ebből azonnal látható, hogy (t t) R +, és (t t) = 0 esetén minden B -ra d = 0, tehát t = Bd η i,(i) = 0. Ezzel megmutattuk, hogy az itt bevezetett ( ) : H i H i C leképezés olyan skalárszorzás a H i komplex vektortér felett, amelyre teljesül az, hogy minden (ζ i ),(η i ) H i esetén ζ i i = η (ζ i η i ). Tekintettel arra, hogy a felbontható tenzorok véges összegei kiadják a H i vektorteret, a ( ) skalárszorzás biadditivitása következtében ( ) egyértelműen van meghatározva ezzel a feltétellel. A továbbiakban a H i komplex vektorteret ezzel a ( ) skalárszorzással ellátva prehilbert-térnek fogjuk tekinteni. Ha (u i ) olyan rendszer, hogy minden esetén u i : H i H i skalárszorzás-tartó leképezés, akkor ezek u i algebrai tenzorszorzata olyan H i H i lineáris operátor, amely megtartja a ( ) skalárszorzást, mert minden (ζ i ),(η i ) H i esetén u i ζ i u i η i := u i (ζ i ) u i (η i ) = = (u i (ζ i ) u i (η i )) = (ζ i η i ) =: ζ i η i, így minden t,t H i esetén (u(t) u (t)) = (t t ). Speciálisan, ha minden I i-re u i : H i H i skalárszorzás-tartó bijekció, akkor a skalárszorzás-tartó bijekció. Az állítás többi része már nyilvánvaló. u i : H i H i operátor is 1.2.6. Definíció. Legyen (V i ) a csoport unitér ábrázolásainak tetszőleges véges rendszere, és minden I i-re jelölje H i a V i ábrázolás terét. Ekkor az előző állításban értelmezett V i lineáris ábrázolás teljesítését a (V i ) unitér ábrázolás-rendszer 19

tenzorszorzatának nevezzük, és a V i szimbólummal jelöljük; továbbá az előző állításban bevezetett V i unitér ábrázolás terét H i prehilbert-tér teljes burkát, vagyis a H i jelöli, és ezt a Hilbert-teret a (H i ) Hilbert tér-rendszer tenzorszorzatának nevezzük. 1.2.7. Definíció. Konjugálásnak nevezünk a H Hilbert-tér felett minden olyan C : H H konjugált-lineáris operátort, amelyre teljesül az, hogy C C = id H, és minden H ζ, η-ra (C(ζ) C(η)) = (η ζ). Ha V unitér ábrázolása a csoportnak a H Hilberttérben, és C konjugálás H felett, akkor a CV( )C : U(H ); s C V(s) C függvényt a V unitér ábrázolás C-konjugáltjának nevezzük, és a V C szimbólummal jelöljük. (Ez nyilvánvalóan szintén unitér ábrázolása a csoportnak a H Hilbert-térben.) Megjegyezzük, hogy minden Hilbert-tér felett létezik konjugálás. Valóban, ha H Hilbert-tér, akkor létezik B H ortonormált bázishalmaz, és ha R jelöli a B véges részhalmazainak halmazgyűrűjét és µ : R R + a számláló-mérték, akkor a W B : H L 2 C (B, R,µ); ζ ((ζ b)) b B leképezés unitér operátor. Továbbá, az L 2 C (B, R,µ) Hilbert-tér felett létezik egy kitüntetett konjugálás, ti. az C B : L 2 C (B, R,µ) L2 C (B, R,µ); f f leképezés. Ekkor a W 1 B C B W B : H H leképezés nyilvánvalóan konjugálás a H Hilbert-tér felett. Azonban ez a konjugálás lényegesen függ a B választásától. Pontosabban: ez az az egyetlen konjugálás a H Hilbert-tér felett, amely a B ortonormált bázishalmazon egyenlő az identikus függvénnyel. Ezért bármely csoport, bármely unitér ábrázolásának létezik konjugáltja, de általában nem egyetlen konjugált létezik. Azonban egy unitér ábrázolás bármely két konjugáltja egymással unitér ekvivalens, mert ha V unitér ábrázolása a csoportnak a H Hilberttérben, és C 1,C 2 : H H konjugálások H felett, akkor minden s-re (C 1 C 2 ) (C 2 V(s) C 2 ) = (C 1 V(s) C 1 ) (C 1 C 2 ), hiszen C 2 C 2 = id H = C 1 C 1, továbbá, a definíció alapján C 1 C 2 : H H unitér operátor. 1.2.8. Definíció. A csoport V unitér ábrázolását önduálisnak nevezzük, ha V unitér ekvivalens valamelyik (tehát mindegyik) konjugáltjával. 20

1.2.9. Állítás. Legyen N τ H féldirekt szorzat, és jelölje j N : N N H; n (n,e H ), illetve j H : H N H; h (e N,h) a kanonikus injekciót. a) Ha V unitér ábrázolása az N τ H csoportnak a H Hilbert-térben, akkor V N := V j N unitér ábrázolása N-nek H -ban, és V H := V j H unitér ábrázolása H-nak H -ban, és minden (n,h) N H esetén valamint V H (h)v N (n)v H (h) 1 = V N (τ h (n)), V(n,h) = V N (n)v H (h). b) Megfordítva, ha V N unitér ábrázolása N-nek a H Hilbert-térben, és V H unitér ábrázolása H-nak H -ban, és minden (n,h) N H esetén fennáll az egyenlőség, akkor a V H (h)v N (n)v H (h) 1 = V N (τ h (n)) V : N H U(H ); (n,h) V N (n)v H (h), definícióval értelmezett leképezés olyan unitér ábrázolása az N τ H csoportnak a H Hilbert-térben, amelyre V j N = V N és V j H = V H. Bizonyítás. a) Aj N ésj H kanonikus injekciók csoport-morfizmusok, ezért V N ésv H unitér ábrázolások ugyanabban a H Hilbert-térben. Könnyen ellenőrizhető, hogy minden (n,h) N H esetén (e N,h)(n,e H )(e N,h) 1 = (τ h (n),e H ), (n,h) = (n,e H )(e N,h) ezért valamint V H (h)v N (n)v H (h) 1 := V(e N,h)V(n,e H )V(e N,h) 1 = = V((e N,h)(n,e H )(e N,h) 1 ) = V(τ h (n),e H ) =: V N (τ h (n)), V(n,h) = V((n,e H )(e N,h)) = V(n,e H )V(e N,h) =: V N (n)v H (h). b) A V N (e N ) = id H = V H (e H ) egyenlőségek alapján világos, hogy V(e N,e H ) = id H, valamint V j N = V N és V j H = V H teljesül, ezért csak a V multiplikativitását kell ellenőrizni. Ha (n,h),(n,h ) N H, akkor az N τ H csoport-szorzásának értelmezése alapján V((n,h),(n,h )) := V(nτ h (n ),hh ) := V N (nτ h (n ))V H (hh ) (1) = 21

(1) = V N (n)v N (τ h (n ))V H (h)v H (h ) (2) = V N (n)v H (h)v N (n )V H (h) 1 V H (h)v H (h ) = = V N (n)v H (h)v N (n )V H (h ) =: V(n,h)V(n,h ), ahol az (1) = egyenlőségnél kihasználtuk a V N és V H ábrázolások multiplikativitását és az (2) = egyenlőségnél a V N és V H között előírt kommutációs relációt alkalmaztuk. Tehát, ha N τ H féldirekt szorzat és H Hilbert-tér, akkor a V (V j N,V j H ) leképezés bijekció az N τ H csoport H -ban megvalósuló unitér ábrázolásainak halmaza és azon (V N,V H ) párok halmaza között, amelyekre V N unitér ábrázolása N-nek H -ban, és V H unitér ábrázolása H-nak H -ban, és minden (n,h) N H esetén fennáll a V H (h)v N (n)v H (h) 1 = V N (τ h (n)) egyenlőség, amit Weyl-féle felcserélési-relációnak is nevezünk. 1.2.10. Definíció. Ha N τ H féldirekt szorzat, V N unitér ábrázolása N-nek a H Hilbert-térben, V H unitér ábrázolása H-nak a H Hilbert-térben és minden (n,h) N H esetén fennáll az V H (h)v N (n)v H (h) 1 = V N (τ h (n)) egyenlőség, akkor az N H U(H ); (n,h) V N (n)v H (h) unitér ábrázolást a V N τ V H szimbólummal jelöljük, és ezt a V N és V H unitér ábrázolások (τ-szerinti) féldirekt szorzatának nevezzük. 1.3. Összekötő operátorok és irreducibilitás Most értelmezzük a csoportábrázolások egymással való kapcsolatainak fogalmát. 1.3.1. Definíció. Legyen γ 1 (illetve γ 2 ) ábrázolása a csoportnak az X 1 (illetve X 2 ) halmazban. Azt mondjuk, hogy a σ : X 1 X 2 függvény összeköti a γ 1 és γ 2 ábrázolásokat, ha minden s esetén γ 2 (s) σ = σ γ 1 (s). Azt mondjuk, hogy a γ 1 és γ 2 ábrázolások ekvivalensek, ha létezik olyan σ : X 1 X 2 bijekció, amely öszeköti a a γ 1 és γ 2 ábrázolásokat. 22

Legyen γ 1 (illetve γ 2 ) topologikus ábrázolása a csoportnak az X 1 (illetve X 2 ) topologikus térben. Azt mondjuk, hogy a γ 1 és γ 2 topologikus ábrázolások topologikusan ekvivalensek, ha létezik olyan σ : X 1 X 2 homeomorfizmus, amely öszeköti a a γ 1 és γ 2 ábrázolásokat. Legyen V 1 (illetve V 2 ) unitér ábrázolása a csoportnak a H 1 (illetve H 2 ) Hilberttérben. Ekkor C(V 1 ;V 2 ) := {u L(H 1 ; H 2 ) ( s ) : V 2 (s) u = u V 1 (s)}, tehát C(V 1 ;V 2 ) a V 1 és V 2 ábrázolásokat összekötő folytonos lineáris operátorok halmaza. Azt mondjuk, hogy a V 1 és V 2 unitér ábrázolások unitér ekvivalensek, ha C(V 1 ;V 2 ) tartalmaz unitér operátort, vagyis ha létezik olyan u : H 1 H 2 unitér operátor, hogy minden s-re V 2 (s) u = u V 1 (s). Azt mondjuk, hogy a V 1 és V 2 unitér ábrázolások diszjunktak (vagy ortogonálisak), ha C(V 1 ;V 2 ) = {0}. Nyilvánvaló, hogy hav 1 unitér ábrázolása acsoportnak a H 1 ésv 2 unitér ábrázolása -nek a H 2 Hilbert-térben, akkor C(V 1 ;V 2 ) L(H 1 ; H 2 ) olyan lineáris altér, amely zárt az operátornorma szerint. 1.3.2. Definíció. Ha γ ábrázolása a csoportnak az X halmazban, akkor egy H X halmazt γ-invariánsnak nevezünk, ha minden s esetén γ(s) H H. Ha γ ábrázolása a csoportnak az X halmazban és H az X-nek γ-invariáns részhalmaza, akkor minden s esetén γ(s) H H, továbbá (γ(s)) 1 H = γ(s 1 ) H H, tehát γ(s) H = H, amiből következik, hogy a γ H : S(H); s γ(s) H leképezés ábrázolása a csoportnak a H halmazban: ezt nevezzük a γ ábrázolás H által meghatározott részábrázolásának. Nyilvánvaló, továbbá hogy: ha γ topologikus ábrázolása a csoportnak az X topologikus térben, és H X tetszőleges γ-invariáns halmaz, akkor a γ H részábrázolás topologikus ábrázolása a csoportnak a H topologikus altérben; ha V lineáris ábrázolása a csoportnak az E vektortérben, és H E V -invariáns lineáris altér, akkor a V H részábrázolás lineáris ábrázolása a csoportnak a H vektortérben; ha V unitér ábrázolása a csoportnak a H Hilbert-térben, és H H V -invariáns zárt lineáris altér, akkor a V H részábrázolás unitér ábrázolása a csoportnak a H Hilbert-térben; ha V unitér ábrázolása a csoportnak a H Hilbert-térben, és H H V -invariáns halmaz, akkor H zárt V -invariáns lineáris altér, tehát a V H részábrázolás unitér ábrázolása a csoportnak a H Hilbert-térben. 23