Gazdasági matematika 2. tantárgyi kalauz

Hanich József Gazdasági matematika 2. tantárgyi kalauz Szolnoki Főiskola Szolnok 2005.

Gazdasági matematika 2. tantárgyi kalauz A kalauz a következő 3 kiadványhoz készült: Dr. Csernyák László: Matematika üzemgazdászoknak, Valószínűségszámítás Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1990. Hanich József Libor Józsefné Dr. Madaras Lászlóné Dr. Nagy Tamás: Gazdasági matematika II. Feladatgyűjtemény Szolnoki Főiskola, Szolnok, 2004. Horváth Jenőné Dr. Libor Józsefné Dr. Madaras Lászlóné Dr.: Tanulási útmutató a gazdasági matematika II. c. Tantárgyhoz Kereskedelmi és Gazdasági Főiskola, Szolnok, 1998. Tananyagíró: Hanich József Távoktatási szerkesztő: Fazekas Judit Kiadványszerkesztő: Román Gábor Sorozatszerkesztő: Zarka Dénes Nyomdai kivitelezés: Mpress Kft. Kiadja a Szolnoki Főiskola. Felelős kiadó: Dr. Törzsök Éva főigazgató Szolnoki Főiskola, 2005. szeptember Minden jog fenntartva. A Tantárgyi kalauzt, vagy annak részeit tilos bármilyen formában, illetve eszközzel másolni, terjeszteni vagy közölni a Kiadó engedélye nélkül.

Tartalom Tartalom... 3 A kalauz szerkezete... 4 Bevezetés... 5 A valószínűségszámítás bevezetése. Kombinatorika. Eseményalgebra... 9 A valószínűség fogalma, axiómái. Valószínűségszámítási tételek. Klasszikus képlet. Geometriai valószínűség.... 14 Ismétléses és ismétlés nélküli mintavétel... 16 Feltételes valószínűség. A teljes valószínűség tétele. Bayes-tétel.... 18 Események függetlensége. Többszörös és ismételt kísérletek... 20 Beküldendő feladat I... 22 Valószínűségi változó fogalma és jellemzése diszkrét és folytonos esetben.... 24 Az eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény fogalma és tulajdonságai... 26 A valószínűségi változók véletlen ingadozásának jellemzői... 28 Csebisev-egyenlőtlenség. Nagyszámok törvénye... 30 Diszkrét valószínűségeloszlások... 33 Beküldendő feladat II...35 Normális eloszlás, standard normális eloszlás. Valószínűségeloszlások közelítő meghatározása... 37 Többdimenziós eloszlások (kétdimenziós diszkrét)... 40 Melléklet... 1 3

A kalauz szerkezete A kalauz feldolgozásakor fontos, hogy értse jelrendszerünket. Íme a legfontosabbak: Így adjuk meg, hogy mennyi ideig tart egy lecke feldolgozása. Célkitűzés: Így jelöljük, ha a tantárgy, vagy lecke célkitűzését adjuk meg. Ha ezt az ikont látja, a tankönyvet kell fellapoznia. Önellenőrző feladat Ha ezt a keretet látja, arra kérjük, oldja meg egy erre rendszeresített füzetében a feladatot, ha elkészült, ellenőrizze magát a lecke végén található megoldás alapján! Beküldendő feladat Ha ezt az ikont látja, a megoldást nem találja meg, feladatát be kell küldenie a Főiskolára tutorának. 4

Bevezetés Kedves Hallgatónk! Örömmel vesszük, hogy elkezdte a Gazdasági matematika II. (Valószínűségszámítás) c. tárgy tanulását. Ez a tárgy Főiskolánkon alapozó jellegű, és a kötelezően előírt tárgyak sorába tartozik. Reméljük, hogy a gazdasági tárgyak elsajátításához hasznos alapokat szerez majd a valószínűségszámítás tanulása során. A Tanszék oktatói, akik szakértő tutorként is segítik majd tanulmányait, igyekeztek az Ön számára könnyen feldolgozhatóvá tenni a tananyagot a Tantárgyi kalauz összeállításával is. Használatával kevesebb energiával és időráfordítással tanulhat. Reméljük, hogy hasznos és érdekes feladatokat tudtunk összeállítani ahhoz, hogy önállóan is ellenőrizze megszerzett ismereteit egy-egy témakörben. Bízunk benne, hogy a kurzus végeztével teljesíti majd a tárgy követelményeit, és a félév végén sikeres vizsgát tesz. Hogyan használja a Tantárgyi kalauzt? A kalauz célja, hogy megkönnyítse elsajátítani Önnek a tárgyat, és teljesíteni a követelményeket, nem utolsó sorban felkészíteni Önt a vizsgára. Ehhez a tárgyat leckékre bontottuk, és minden leckében megadtuk, hogy mely tananyagrészeket kell feldolgoznia. Ehhez megadtuk a lecke célját, és feladatokat is, hogy irányítsuk a figyelmét, érdekesebbé tegyük a feldolgozást. A tantárgy kreditszáma A tantárgy 4 kredites, tehát összesen 120 tanulási óra szükséges a feldolgozásához. Az egyes leckéknél jelezzük, hogy mekkora időráfordítást igényel Öntől. A tantárgy tanulásának célja, hogy az elméleti ismeretek elsajátításával a kurzus végére Ön képes legyen: megérteni a gazdasági élet számtalan területén megtalálható véletlen tömegjelenségeket; feltárni a véletlen tömegjelenségek összefüggéseit, alkalmazni törvényszerűségeiket; a piacgazdaságban végbemenő folyamatok, események közötti összefüggések egzakt feltárására és megalapozott következtetések levonására; elemezni a vállalkozások gazdasági tevékenységét, a marketing munkában számszerűsíthető elemzést és előrejelzést adni. 5

A tantárgy lezárása A félév végi aláírás feltétele, azaz a vizsgára bocsátás feltétele a két beküldendő feladatsor időre történő beadása. A félév kollokviummal zárul. A kollokvium írásban történik, egy 60 perces dolgozat formájában. A dolgozat elérhető pontszáma 100. A kollokviumi jegy az elért pontszám alapján a következő: 0 50: elégtelen (1) 51 66: elégséges (2) 67 78: közepes (3) 79 89: jó (4) 90 100: jeles (5) A matematika dolgozat tartalma: Tanult fogalmak, tételek, bizonyítások, és az elmélethez szorosan kapcsolódó feladatok a valószínűségszámítás témaköréből. A kalauzhoz melléklünk egy kidolgozott kollokviumi mintafeladatsort. Hogyan tanuljon? Mindenekelőtt rendszeresen és alaposan. Ehhez a Tantárgyi kalauzban sok segítséget nyújtunk. A bevezető rész végén talál egy táblázatot, ennek alapján készítsen magának egy tanulási ütemtervet! Az ütemtervet készítheti egy saját füzetbe, vagy a Főiskolától kapott naptárba. Fontos, hogy az Ön által választott tempó szerint, a tervezett vizsgaidőpontra minden leckét befejezzen, és a beküldendő feladatokat időben elküldje a Főiskolára. Ha lehet, egyenletesen ossza el az anyagot. Amennyiben valamelyik napra, hétre torlódnak a feladatai (akár magánéleti, akár más tantárgyi kötelezettségei miatt), inkább a korábbi időszakban vállaljon többet, mert az a tapasztalat, hogy a vizsgához közeledve vészesen fogy az idő, és ilyenkor az oktatók is leterheltebbek. Javasoljuk, hogy a leckék megtanulásánál kövesse a Tantárgyi kalauz útmutatásait. Minden leckénél először a megjelölt kisebb egységeket tanulja meg a könyvből, majd tekintse át a Feladatgyűjtemény kidolgozott feladatait. Az önellenőrző feladatokat úgy állítottuk össze, hogy elmélyítse az elmélet megértését, és az egyes leckékben található típusfeladatokban történő alkalmazást. Ezek után a Feladatgyűjteményből érdemes minél több példát önállóan is megoldani a különböző feladat-megoldási technikák gyakorlásához. Végül mindig ellenőrizze a tudását a Tanulási útmutató kijelölt feladatai alapján. Csak akkor lépjen tovább egy-egy leckéről az újabbhoz, ha a megfelelő tudásszintet már elérte. A leckékben nagyon sok önellenőrző feladat van. Ezeket nem ellenőrzi Önön kívül senki, de nem is az a céljuk, hanem az, hogy a feladatok elvégzése által a mélyére hatoljon a kijelölt tananyagnak. Ne csapja be magát! Ha egy önellenőrző feladatot nem tud megoldani, akkor érdemes azzal az anyagrésszel tovább foglalkozni, nehogy a vizsgáztató hívja fel a hiányosságaira a figyelmet! Ha úgy érzi, hogy semmiképpen nem tud megoldani egy feladatot, keresse meg tanulótársait, bizonyára tudnak segíteni. Ha ez sem megy, írjon, vagy telefonáljon a Főiskola megadott címére, számára, és mi segítünk Önnek. 6

A beküldendő feladatot mindenképpen oldja meg! Ezzel egyrészt gyakorol, másrészt még a vizsga előtt egy szakértő tutorunk értékeli, és időben segíthet helyre tenni bizonyos félreértéseket, feltárni olyan hiányosságokat, melyek a vizsgát veszélyeztetik. Ezen kívül tanácsokat is kaphat, hogy miként javíthatja teljesítményét. Kérjük, hogy a megoldásokat lehetőleg e-mail-ben, esetleg (kék tintával írottan) jól olvasható formában küldje el a Főiskolára a tantárgy felvételekor egyeztetett címre. A dolgozat megérkezése napján (legkésőbb másnap) e-mailben visszajelzést kap arról, hogy az írásművet megkaptuk. Szöveges értékelésre egy héten belül számíthat. A tantárgy tanulása során felhasználásra javasolt kiadványok Dr. Csernyák László: Matematika üzemgazdászoknak, Valószínűségszámítás Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest,1990. Hanich József Libor Józsefné dr. Madaras Lászlóné dr. Nagy Tamás: Gazdasági matematika II. Feladatgyűjtemény Szolnoki Főiskola, Szolnok, 2004. Horváth Jenőné dr. Libor Józsefné dr. Madaras Lászlóné dr.: Tanulási útmutató a gazdasági matematika II. c. tantárgyhoz Kereskedelmi és Gazdasági Főiskola, Szolnok, 1998. A tantárgy tanulástámogatása A tantárgyat alapvetően önállóan kell elsajátítania, hagyományos előadás, vagy gyakorlat nem tartozik hozzá. A tantárgy feldolgozása során lehetősége lesz egy alkalommal személyesen konzultálni szakértő tutorával, ennek részleteiről a tantárgy felvételekor tájékoztattuk. Ehhez fel kell vennie a kapcsolatot a képzésszervező tutorral, akinek nevét és elérhetőségét a tantárgy felvételekor megadtuk Önnek. 7

Tanulási ütemtervem Lecke Időigény Típus Mikor tanulom? 1. lecke: A valószínűségszámítás bevezetése. Kombinatorika. Eseményalgebra. 2. lecke: A valószínűség fogalma, axiómái. Valószínűségszámítási tételek. Klasszikus képlet. Geometriai valószínűség. 14 óra feldolgozó 8 óra feldolgozó 3. lecke: Ismétléses és ismétlés nélküli mintavétel 8 óra feldolgozó 4. lecke: Feltételes valószínűség. A teljes valószínűség tétele. Bayes-tétel. 5. lecke: Események függetlensége. Többszörös és ismételt kísérletek. 8 óra feldolgozó 6 óra feldolgozó 6. lecke: 1. Beküldendő feladat. 5 óra beküldendő 7. lecke: Valószínűségi változó fogalma és jellemzése diszkrét és folytonos esetben. 8. lecke: Az eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény fogalma és tulajdonságai. 9. lecke: A valószínűségi változók véletlen ingadozásának jellemzői. 10. lecke: Csebisev-egyenlőtlenség. Nagyszámok törvénye. 8 óra feldolgozó 8 óra feldolgozó 8 óra feldolgozó 8 óra feldolgozó 11. lecke: Diszkrét valószínűségeloszlások. 12 óra feldolgozó 12. lecke: 2. Beküldendő feladat 6 óra beküldendő 13. lecke: Normális eloszlás, standard normális eloszlás. Valószínűségeloszlások közelítő meghatározása. 14. lecke: Többdimenziós eloszlások (kétdimenziós diszkrét). 11 óra feldolgozó 10 óra feldolgozó Ha elkészült, nincs más hátra, kezdheti a tanulást. Készítse ki tankönyvét, Tantárgyi kalauzát, Feladatgyűjteményét, Tanulási útmutatóját, jegyzetfüzetét, és kezdje meg a tantárgy feldolgozását! Sok sikert kívánunk! 8

1. lecke A valószínűségszámítás bevezetése. Kombinatorika. Eseményalgebra A lecke tanulmányozására fordítandó idő kb. 14 óra. Természetesen a tanulási idő nagyban függ attól, hogy az első félévben tanult halmazelméleti ismeretei mennyire stabilak. Bevezetés Kedves Hallgatónk! A matematikának egy új területét (valószínűségszámítás) fogja ebben a szemeszterben megismerni. A tankönyv 9-12. oldalát úgy tanulmányozza át, hogy legyen áttekintése a valószínűségi problémák időbeni felmerüléséről, és azok megoldásáról (történeti fejlődés). Kérjük, különösen figyeljen a fontos fogalmakra! (a könyvben kiemelve): szükségszerű, determinisztikus jelenség, véletlen, sztochasztikus jelenség, véletlen kísérlet, véletlen tömegjelenség. A téma további részében a valószínűségszámításban előforduló problémák megértését és megoldását segítő előismereteket fogja elsajátítani. A kombinatorika a valószínűségszámítás egyik segédeszközeként (lásd később: a valószínűség kiszámítása az ún. klasszikus képlettel) lesz fontos számunkra. A kombinatorikai és eseményalgebrai ismeretek a valószínűségszámítás igen sok feladatának megoldásához nélkülözhetetlenek. Megvizsgáljuk, hogyan és hányféleképpen lehet véges sok elemet sorba rendezni, illetve véges sok elemből meghatározott feltételeknek megfelelően bizonyos számú elemet kiválasztani. 9

A témakör áttanulmányozása után Ön képes lesz: meghatározni a permutáció, variáció és kombináció fogalmát ismétlés nélküli és ismétléses esetre; meghatározni a permutációk, variációk és kombinációk számát ismétlés nélküli és ismétléses esetre; kombinatorikai feladatokat megoldani, különbséget tenni sorba rendezés és kiválasztás között; kimondani és alkalmazni a binomiális tételt; ismertetni és bizonyítani a binomiális együtthatók tulajdonságairól szóló tételt (1.8. tétel); megfogalmazni az elemi esemény, az összetett esemény és az eseménytér fogalmát; felsorolni és végrehajtani az eseményekkel kapcsolatos műveleteket (ellentett esemény, események összege, események szorzata, események különbsége); elmondani az eseményekre vonatkozó fontosabb azonosságokat (1-7; 2.1); definiálni a teljes eseményrendszer fogalmát; meghatározni az eseményalgebra fogalmát és megadni eseményalgebrát. Segítség: Tanulmányozza át (tanulja meg) a tk. 13-31. oldalak anyagát! Felhívjuk figyelmét, hogy a problémáknak két alaptípusa van: egy halmaz elemeinek különböző sorrendbe való elhelyezése (permutáció), egy halmaz elemeiből különböző módokon való kiválasztás (kombináció). A variációban a két alapprobléma együtt jelenik meg: kiválasztok valamennyi elemet a halmazból, majd a kiválasztott elemeket különböző sorrendbe állítom. Mindegyik probléma lehet ismétlés nélküli, valamint ismétléses. Fontos: csak ismétléses permutáció esetén vannak eleve azonos elemek, a többi esetben az elemek mind különbözőek. Úgy lesz (a kombináció vagy a variáció) ismétléses, hogy egy elemet többször is kiválaszthatunk a halmazból. A definíciók megértését segítik a tk. kidolgozott példái. A téma ismétlése során a példákat önállóan oldja meg. Mivel ezek olyan alapvető példák, hogy csak hibátlan megoldásuk esetén érti helyesen a definíciót, csak ez esetben haladjon tovább. A tételek mindegyikét ki kell tudnia mondani, de bizonyítania csak a binomiális együtthatók tulajdonságaira vonatkozó 1.8. Tételt kell. 10

1. önellenőrző feladat Oldja meg a Feladatgyűjtemény 1.1 1.,2. és 3., 1.2 1., 2. és 3., 1.3 1., 2. 3. mintafeladatát! 1. megoldás: A megadott megoldásokat önellenőrzésre használja! 2. önellenőrző feladat Válaszoljon a Tanulási útmutató 1.2. 1-4. ellenőrző kérdéseire! 2. megoldás: a Tanulási útmutató következő oldalán. 3. önellenőrző feladat Oldja meg a Feladatgyűjtemény 1.4 1. 2. és 3. mintafeladatát! 3. megoldás: A megadott megoldásokat önellenőrzésre használja! 4. önellenőrző feladat Válaszoljon a Tanulási útmutató 1.2. 5-7. ellenőrző kérdéseire! 4. megoldás: a Tanulási útmutató következő oldalán. 5. önellenőrző feladat Oldja meg a Tanulási útmutató 1.3. gyakorló feladatait! 5. megoldás: 1.5. alapján tudja munkáját ellenőrizni. Ha a feladatokat legalább 50 %-os eredménnyel oldotta meg, tovább mehet, 80%-os eredmény esetén már jó szinten teljesített. 6. önellenőrző feladat Oldja meg a Tanulási útmutató 1.6. feladatait! Ezeket nem kell beküldenie, ezek további gyakorlást biztosítanak önnek. 6. megoldás: 1.7. alapján önállóan is tud ellenőrizni. A téma további részében a valószínűségszámítás tárgyának, a véletlen eseményeknek a fogalmát, műveleteit, azok tulajdonságait ismeri meg. 11

A kísérlet, elemi esemény, esemény fogalmának tisztázása után megismerkedünk az eseményekkel végezhető műveletekkel, s megállapítjuk a halmazelméletnél megismert összefüggésekkel való kapcsolatot. Ebben a témakörben támaszkodunk az első félévben tanult halmazelméleti ismereteire. Ezért először ismételje át a halmazokról tanultakat (fogalmak, műveletek, műveleti tulajdonságok (tételek), feladatok). Segítség: Dolgozza fel (tanulja meg) a tk. 33-47. oldának anyagát! Minden, halmazokkal végzett (Ön által már ismert) műveletet egyszerűen át tud fogalmazni eseményekre. Pl. Két halmaz (A és B) uniója az a halmaz, melynek elemei vagy az A, vagy a B, vagy mindkét halmaz elemei; azaz legalább az egyik halmaz elemei. Két esemény(a és B) összege (uniója) az az esemény, amely akkor következik be, ha vagy az A, vagy a B, vagy mindkét esemény bekövetkezik; azaz legalább az egyik esemény bekövetkezik. A Tankönyv kidolgozott példái itt is segítenek a fogalom, illetve tulajdonság jobb megértésében. 7. önellenőrző feladat Oldja meg a Feladatgyűjtemény 2.1, 2.2, 2.3 és 2.4 mintafeladatait! 7. megoldás: A közölt megoldásokat használja önellenőrzésre. 8. önellenőrző feladat Válaszoljon a Tanulási útmutató 2.2. ellenőrző kérdéseire! 8. megoldás: Válaszait a 2.4. alapján kontrollálhatja. Ha teljesítménye kevesebb 50 %-nál, tanulmányozza ismét a tk. anyagát, majd újra válaszoljon a kérdésekre. 9. önellenőrző feladat Oldja meg a Tanulási útmutató 2.3. gyakorló feladatait! 9. megoldás: Válaszait a 2.5. alapján ellenőrizheti. 50 %-os teljesítés alatt még további tanulás szükséges. 12

10. önellenőrző feladat A Tanulási útmutató 2.6. feladatait most is további gyakorlásra használhatja. 10. megoldás: A 2.7. szolgál munkája ellenőrzésére. Befejezés Reméljük, az első félévi ismeretei, a Tankönyv szövege és a megoldott feladatok alapján sikeresen elsajátította az első lecke anyagát. A következő leckében a valószínűségszámítás alapjait ismerheti meg. 13

2. lecke A valószínűség fogalma, axiómái. Valószínűségszámítási tételek. Klasszikus képlet. Geometriai valószínűség. A kérdéskör tanulmányozására fordítandó idő kb. 8 óra. Bevezetés Végre! Ezt várta, most már tényleg a valószínűségszámítás szépségeivel (nehézségeivel?!) ismerkedhet. Ebben a leckében kialakítjuk a valószínűség fogalmát, megismeri a valószínűség axiómáit, valamint az axiómákból levezethető tételeket, többek között az úgynevezett klasszikus képletet, és ezen állítások igazságának bizonyítását is. A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz: különbséget tenni az esemény relatív gyakorisága és az esemény valószínűsége között; az axiómák segítségével valószínűségi tételeket (3.1., 3.2., 3.3., 3.4.) igazolni és azokat feladatmegoldásokban felhasználni; a valószínűség képletét (3.5.) levezetni, és feladatok megoldásában alkalmazni; meghatározni a geometriai valószínűség fogalmát, segítségével egyszerűbb feladatokat megoldani. Segítség: Dolgozza fel (tanulja meg) a tk. 48-57. old. anyagát! Értse a relatív gyakoriság és a valószínűség fogalmát. A téma legfontosabb része: a valószínűség axiómái. A valószínűségszámítás 3.1., 3.2., 3.3. és 3.4. tételeinek bizonyítását is tudnia kell, valamint alkalmazásukat feladatok megoldásában. Fontos a klasszikus valószínűségi mező fogalmának (modelljének) megértése, a 3.5. Tétel (klasszikus képlet) alkalmazó képes ismerete. A tk. 64-66. old. feldolgozásával a geometriai valószínűség fogalmát ismeri meg; a Tankönyvben szereplő (egyszerűbb) példákhoz hasonló feladatok megoldását kell tudnia. 14

1. önellenőrző feladat Válaszoljon a Tanulási útmutató 3.2. 1-4. ellenőrző kérdéseire! 1. megoldás: Válaszait a 3.4. alapján ellenőrizheti. 2. önellenőrző feladat Oldja meg a Feladatgyűjtemény 3.1, 3.2 és 3.3 mintafeladatait! 2. megoldás: A közölt megoldást ellenőrzésre használja. 3. önellenőrző feladat Oldja meg a tanulási útmutató 3.3. 1-4. feladatait! 3. megoldás: Ellenőrizze megoldásait a 3.5. alapján. Ha legalább a feladatok felét nem tudta önállóan megoldani, ismét térjen vissza a tankönyvhöz, koncentráljon az itt kidolgozott példákra. 4. önellenőrző feladat A Tanulási útmutató 3.6. 1-4. feladatait gyakorlásra használhatja. 4. megoldás: Eredményeit a 3.7. alapján ellenőrizheti. Befejezés Reméljük, az önellenőrző feladatok megoldása azt mutatja, hogy sikerült a lecke anyagát elsajátítania. A következő leckében a klasszikus valószínűség alkalmazási lehetőségét ismeri meg. 15

3. lecke Ismétléses és ismétlés nélküli mintavétel A lecke tanulmányozására fordítandó idő összesen kb. 8 óra. Természetesen a tanulási idő jelentősen eltérhet a megadottól, ha korábban Ön jól megtanulta a kombinatorikai anyagrészt. Bevezetés Kedves Hallgatónk! Ebben a leckében a minta, mintavétel, találomra történő kiválasztás fogalmát fogjuk kialakítani. A klasszikus képlet alkalmazására is sor kerül az ún. mintavételes feladatokban. A lecke feldolgozása után Ön képes lesz: definiálni a véletlen minta, és a véletlen mintavétel fogalmát; leírni a visszatevéses mintavétel modelljét, alkalmazni a kiszámítására vonatkozó összefüggést (Bernoulli-képlet); leírni a visszatevés nélküli mintavétel modelljét, alkalmazni a kiszámítására vonatkozó összefüggést; ún. mintavételes feladatokat megoldani (a klasszikus képletet alkalmazni). Mielőtt belefogna a mai lecke tanulmányozásába, érdemes átismételnie az 1. témából a kombinatorikát, hangsúlyosan a kombinációt és a variációt A 2. témából pedig elevenítse fel a klasszikus képletet (3.5. Tétel). Segítség: Kérjük, tanulmányozza (tanulja meg) a tk. 57-63. old. anyagát. A 3.1. Példa a klasszikus képlet átismétlését segíti; Fontos, hogy értse: a visszatevés nélküli modell kétféleképpen valósítható meg. 1. Egyszerre választunk ki n elemet ilyenkor sorrendről nincs értelme beszélni! 2. Egymás után (visszatevés nélkül) választunk ki n elemet. A tk. példái segítik a megértést. (A 3.4. Példát elég csak figyelmesen elolvasnia, de ha nehéznek találja, ki is hagyhatja.) 16

1. önellenőrző feladat A téma áttanulmányozása után készítse el (írja le jegyzetfüzetébe) a kétféle mintavétel modelljét! 1. megoldás: A tk. (59-62. oldal) alapján ellenőrizze, ha kell korrigálja munkáját! 2. önellenőrző feladat Oldja meg a feladatgyűjtemény 3.2 3. és 4. mintafeladatát! 2. megoldás: A megadott megoldást lehetőleg csak önellenőrzésre használja! 3. önellenőrző feladat Válaszoljon a kérdésekre, ill. oldja meg a Tanulási útmutató 3.2.5., 3.3.6., 3.6.6. és 3.6.9. feladatait! 3. megoldás: A segítséget a Tanulási útmutatóban, a feladatokat követő oldalakon találja. Ha valamit mégsem értene, tanulmányozza át a tk. megfelelő oldalait. 4. önellenőrző feladat Ha az eddigieket sikeresen megoldotta, további gyakorlásként a Feladatgyűjtemény 3.37., 3.38., 3.39. és 3.41. feladatait javasoljuk megoldani. 4. megoldás: A megoldásokat a Feladatgyűjtemény 84. oldalától kezdődően találja meg. Befejezés Reméljük, a Tankönyv szövege és a megoldott feladatok alapján sikerült elsajátítania az ismétléses, valamint az ismétlés nélküli mintavétel lényegét, és alkalmazási lehetőségeit. Következő leckénkben a feltételes valószínűséggel foglalkozunk majd. 17

4. lecke Feltételes valószínűség. A teljes valószínűség tétele. Bayes-tétel. A témakör tanulmányozására fordítandó idő összesen kb. 8 óra. Bevezetés Ebben a leckében megvizsgáljuk azt a gyakorlatban sokszor előforduló problémát, hogy valamely véletlen kísérletnél egy esemény bekövetkezése milyen mértékben befolyásolja egy másik esemény bekövetkezésének valószínűségét. Így jutunk el a feltételes valószínűségekkel kapcsolatos összefüggések, tételek megismeréséhez. Majd kitérünk arra az esetre, amikor az események függetlenek. A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz: értelmezni a feltételes valószínűséget; kimondani és alkalmazni a valószínűségek szorzási szabályát (3.6. Tétel); kimondani, bizonyítani és alkalmazni a teljes valószínűség tételét (3.8.), kimondani, bizonyítani és alkalmazni a Bayes-tételt. (3.9.) Segítség: Tanulmányozza (tanulja meg) a tk. 66-74. old. anyagát! A 3.7. Példa segíti Önt a feltételes valószínűség fogalmának kialakításában. Fontos a valószínűségek szorzási szabályának (3.6. Tétel) megértése, alkalmazhatóságát a 3.9. Példa szemlélteti. A 3.8. és a 3.9. Tételek (bizonyításukat is ismerni kell!) bizonyítása is ezen alapul. A tételek alkalmazhatóságát mutatják a 3.10., 3.11. és 3.12. Példák. 18

1. önellenőrző feladat Válaszoljon a Tanulási útmutató 3.2. 6-9. ellenőrző kérdéseire! 1. megoldás: A válaszokat megtalálja a 3.4. részben. 2. önellenőrző feladat Oldja meg a feladatgyűjtemény 3.4.1 és 3.4.2 mintafeladatait! 2. megoldás A megoldásokat használja önellenőrzésre. 3. önellenőrző feladat Oldja meg a Tanulási útmutató 3.3. 5. és 7. feladatát! 3. megoldás: Ellenőrzése a 3.5. alapján. 4. önellenőrző feladat A Tanulási útmutató 3.6. 4., 5., 8., és 9. feladatait használja további gyakorlásra. 4. megoldás: A helyes megoldásokat a 3.7. pont alatt találja. Befejezés Kedves Hallgatónk! Remélhetőleg ezt a leckét is elsajátította, és a tanultakat tudta alkalmazni a teljes valószínűség és a Bayes tételhez kapcsolódó feladatok megoldásában. A következő leckében a független események után a független kísérleteket ismerheti meg. 19

5. lecke Események függetlensége. Többszörös és ismételt kísérletek. A tanulásra fordítandó idő ennél a témánál összesen kb. 6 óra. Bevezetés Ebben a témában megismeri az egymástól függetlenül végrehajtott kísérletek sajátosságait, valamint a nem független kísérleteket. Megvizsgáljuk azt az esetet, amikor egy kísérletet ugyanolyan körülmények között többször megismétlünk (ismételt kísérletek), illetve amikor egyszerre több kísérletet végzünk (többszörös kísérletek). A téma tanulmányozása után Ön képes lesz: értelmezni az események függetlenségét; eldönteni, hogy két (vagy több) esemény független-e egymástól vagy sem; meghatározni a független kísérletek fogalmát, felismerni az ismételt és a többszörös kísérleteket; független kísérletekre vonatkozó feladatokat megoldani; ismertetni a Bernoulli-kísérletsorozat lényegét, az adott témához kapcsolódó feladatokat megoldani; felismerni a nem független kísérleteket, az általános szorzási szabály alapján feladatokat megoldani. Segítség: Dolgozza fel (tanulja meg) a tk. 74-83. old. anyagát! Két esemény függetlenségét először a köznapi értelmezés alapján adjuk meg, ezután ezt felhasználva kimondunk egy tételt, amit a továbbiakban (szimmetrikus tulajdonsága miatt) a sztochasztikus függetlenség definíciójaként fogadunk el. (A matematikában ez többször alkalmazott eljárás: egy tételt a továbbiakban definíciónak fogadunk el!). A többszörös és ismételt kísérlet fogalmának kialakítását jól szolgálják a Tankönyv kidolgozott példái. A 3.11. Tétel (Bernoulli-kísérletsorozat) a visszatevéses mintavételi modellnél már megismert eredményre vezet. 20

1. önellenőrző feladat Oldja meg a Feladatgyűjtemény 3.4.3 és 3.5 mintafeladatait! 1. megoldás: A megoldásokat használja önellenőrzésre! Ha a közölt megoldások alapján teljesítménye legalább 50 %, akkor elégséges szinten teljesítette a feladatokat. 2. önellenőrző feladat Válaszoljon a Tanulási útmutató 3.2. 8. és 9. kérdésére! 2. megoldás: A helyes válaszokat a Tanulási útmutató 27. oldalán találja. 3. önellenőrző feladat Oldja meg a Tanulási útmutató 3.3. 8.és 10. feladatait! 3. megoldás: Az önellenőrzést a szokásos módon végezze el a 3.5. alapján! Befejezés Remélhetőleg nem csak az eddigi leckéket, hanem ezt is sikeresen (legalább 50%-os eredménnyel) megoldotta. A következőkben az eddigi leckék anyagát tartalmazó feladatsort kell megoldania, amit a Tanszékre kell elküldenie. 21

6. lecke Beküldendő feladat I. A feladatok megoldására (az ismétléssel és a feladatok tisztázásával együtt) összesen kb. 5 óra fordítandó. A feladatok megoldásával (illetve szakértő tutora visszajelzéséből) megtudhatja, hogy az eddigi anyagot hogyan sikerült megtanulnia, hogyan képes azt feladatok megoldásában eredményesen alkalmazni. A feladatok megoldásakor természetesen bármit használhat (tankönyv, útmutató, feladatgyűjtemény), de ne feledje, hogy a vizsgán csak saját tudására számíthat, és kb. 60 perc alatt kell legalább 50 %-os eredményt elérnie. Mielőtt a feladatokat elkezdené megoldani, javasoljuk, hogy ismételje át az eddig feldolgozott leckéket, különösen figyelmesen nézze át a Tankönyv megoldott feladatait, illetve az önellenőrző feladatokat. Beküldendő feladat (1-4) Oldja meg a következő feladatokat! 1. feladat Egy üzlet 3 raktárból kapja az árut. Jelentse A i azt az eseményt, hogy az i - edik raktárból a megfigyelt napon áru érkezik. Fejezzük ki az A i eseményekkel a következőket: a.) Mindhárom raktárból érkezik áru. b.) Csak a 3. raktárból érkezik áru. c.) Legalább az egyik raktárból érkezik áru. Mit jelentenek az alábbi események? a.) A1 A2 A3 b.) A1 A2 A3 c.) A ( A ) 1 2 A3 2. feladat Az autóbuszjegyet hányféleképpen lyukaszthatja ki az automata, ha a 9 számjegyből 3-at fog kilyukasztani? 3. feladat Végezze el a ( 2x x ) 5 kifejezés hatványozását a binomiális tétel segítségével! 4. feladat 1 4 Határozza meg az alábbi események valószínűségét! a.) A ; b.) B ; c.) A B ; d.) A B ; e.) A B ; f.) A B ; g.) A B ; h.) A \ B ; i.) B \ A ; Egy eseménytér két eseményéről ismert: P ( A) =, P ( B) = és ( A B) 1 2 1 P =. 12 22

Beküldendő feladat (5-6) 5. feladat Egy urnában 10 piros, 15 fehér golyó van. Visszatevéses módon kihúzunk 5 golyót. Számítsuk ki a következő események valószínűségét! a.) 3 fehér golyót húzunk b.) legalább 4 golyó fehér c.) legfeljebb 4 golyó fehér d.) nincs közöttük fehér e.) Ismertesse a feltételes valószínűség definícióját! 6. feladat Egy üzletbe 3 termelőtől szállítanak almát. Az első termelőtől származik a szállítmány 20%-a, a másodiktól a 35 %-a, a többi alma pedig a harmadik termelőtől való. Az 1. termelő által szállított alma 40 %-a, a másodiktól szállított alma fele, a harmadiktól szállított alma 70 %-a első osztályú. a.) Mennyi a valószínűsége annak, hogy az üzletben a szállítmányból kiválasztott 1 darab alma első osztályú? b.) A kiválasztott alma első osztályú. Mi ekkor a valószínűsége annak, hogy az a 3. termelőtől származik? c.) Ismertesse a teljes eseményrendszer fogalmát! Miután a feladatokat megoldotta, és letisztázta a megoldásokat, küldje el tutorának (lehetőleg e-mail-ben). Szakértő tutora rövidesen válaszolni fog, tájékoztatja Önt, hogy mit oldott meg helyesen; segítséget ad az esetleges hibák kijavítására, útmutatást a további tanuláshoz. A következő leckében a valószínűségi változóval fogunk foglalkozni. 23

7. lecke Valószínűségi változó fogalma és jellemzése diszkrét és folytonos esetben. A témakör tanulmányozására fordítandó idő kb. 8 óra. Bevezetés Eddig mindig egy-egy konkrét kísérlet eseményeinek valószínűségét vizsgáltuk. Most elvonatkoztatva a konkrét kísérletektől, a közös jellemzők alapján egy bizonyos általánosítást hajtunk végre. (Hasonlat: nem egyes konkrét függvényeket vizsgálunk (jellemzünk), hanem függvény csoportokat: lineáris függvények, másodfokú függvények, exponenciális függvények, stb.) A véletlen tömegjelenségek kvantitatív leírásához a kísérletek kimeneteleihez is számokat fogunk rendelni. A továbbiakban ezekkel a számokkal fogunk dolgozni, de mindig tudnunk kell, hogy mögöttük események rejlenek. Az áttanulmányozás eredményeként Ön képes lesz: a valószínűségi változót definiálni és jellemezni; osztályozni a valószínűségi változókat (diszkrét vagy folytonos); diszkrét esetben értelmezni a valószínűségeloszlást; megadni és ábrázolni valószínűségeloszlást. Tanulmányozza (tanulja meg ) a tk. 84-86. old. anyagát! 1. önellenőrző feladat Válaszoljon a Tanulási útmutató 4.2. 2. kérdésére! 1. megoldás: a Tanulási útmutató 39. oldalán. 2. önellenőrző feladat Oldja meg a Feladatgyűjtemény 4.1 mintafeladatát! 2. megoldás: A megoldást önellenőrzésre használja. 24

3. önellenőrző feladat Oldja meg a Tanulási útmutató 4.3. 2. feladatát! 3. megoldás: Eredményeit a szokásos módon ellenőrizze a 4.5. alapján! 4. önellenőrző feladat Oldja meg a Feladatgyűjtemény 4. fejezet 1. és 2. feladatát! 4. megoldás: a Feladatgyűjtemény 119. oldalán. Befejezés A valószínűségi változó megismerése után a következő leckében a valószínűségi változó eloszlásfüggvényével és sűrűségfüggvényével foglalkozunk. 25

8. lecke Az eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény fogalma és tulajdonságai A téma tanulmányozására fordítandó idő kb. 8 óra. Bevezetés Ebben a leckében megismeri a valószínűségi változók (diszkrét és folytonos) leírásában fontos szerepet játszó eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény fogalmát, megadását és tulajdonságait. A tanulmányozás végén Ön képes lesz: az eloszlásfüggvényt definiálni és jellemezni; megadni és ábrázolni adott valószínűségi változó eloszlásfüggvényét; felsorolni az eloszlásfüggvény tulajdonságait, és azokat igazolni (4.1., 4.2. és 4.4 Tétel); a sűrűségfüggvényt definiálni és jellemezni; megadni és ábrázolni adott valószínűségi változó sűrűségfüggvényét; felsorolni a sűrűségfüggvény tulajdonságait, és azokat igazolni (4.5. Tétel). Segítség: Dolgozza fel (tanulja meg)a tk. 87-95. old. anyagát! Az eloszlásfüggvény fogalmának megértését segítik a 4.3. és 4.4. példák. Az eloszlásfüggvény tulajdonságait nem csak ismerni kell, hanem tudnia kell az igazolásukat is. A tulajdonságok ismeretében tudja majd eldönteni, hogy egy adott függvény lehet-e eloszlásfüggvény vagy sem. Fontos: a sűrűségfüggvény csak folytonos eloszlás esetében értelmezett, olyan szerepet tölt be a folytonos eloszlásoknál, mint diszkrét esetben a valószínűségek eloszlása. A sűrűségfüggvény tulajdonságainak bizonyítását is tudni kell, a tulajdonságok ismeretében el kell tudnia dönteni egy függvényről, hogy az lehet-e sűrűségfüggvény vagy sem. 26

1. önellenőrző feladat Válaszoljon a Tanulási útmutató 4.2. 1., 3. és 4. kérdéseire! 1. megoldás: Válaszait a 4.4. részben ellenőrizze! 2. önellenőrző feladat Oldja meg a Feladatgyűjtemény 4.2 és 4.3 mintafeladatait! 2. megoldás: A megoldásokat önellenőrzésre használja. Ha teljesítménye 50 %-nál kevesebb, tanulmányozza ismét a Tankönyv anyagát! Ezután térjen újra vissza a feladatok megoldására. A közölt megoldásokat ellenőrzésre használja. 3. önellenőrző feladat Gyakorlásra javasoljuk a Feladatgyűjtemény 4. fejezet 3., 4., 5., 7., 10., 18., 19., 23. és 24. feladatait. 3. megoldás: a Feladatgyűjtemény 120. oldalától. Befejezés Remélhetőleg ismét sikeresen teljesített egy fontos témát. A következő leckében az eloszlások integrális jellemzői közül, a várható értékkel és a szórással foglalkozunk. 27

9. lecke A valószínűségi változók véletlen ingadozásának jellemzői A téma tanulmányozására fordítandó idő kb. 8 óra. Bevezetés A valószínűségi változó tulajdonságait az eloszlásfüggvény, vagy a sűrűségfüggvény (illetve eloszlás) ismeretében meghatározhatjuk. Az alkalmazások során gyakran előfordul, hogy egyetlen, vagy néhány számadattal kell jellemeznünk a valószínűségi változót, illetve annak eloszlását. Ebben a témában ezek közül a várható érték és a szórás fogalmát, valamint tulajdonságait ismeri meg. A tanulmányozás után Ön képes lesz: definiálni a várható értéket, ismertetni annak jelentését; kiszámítani adott valószínűségi változó (diszkrét és folytonos) várható értékét; ismertetni és bizonyítani a várható értékre vonatkozó tételt (4.7.); meghatározni az n-edik (második) momentum fogalmát, kiszámítani azt diszkrét és folytonos esetben; definiálni a szórást; kiszámítani adott valószínűségi változó (diszkrét és folytonos) szórását; felsorolni a szórás tulajdonságait, igazolni a kiszámítására vonatkozó tételt (4.10.). Segítség: Dolgozza fel (tanulja meg) a tk. 99-104. old. anyagát! A várható érték fogalmának kialakítását és jelentésének megértését nagyban segíti a 4.11. Példa. A diszkrét eloszlásra vonatkozó képletek átírását segíti folytonos esetre (a további részben is) az alábbi megjegyzés: diszkrét folytonos p ( x) i x i x =1 i f (a 7. témában erről már szó volt!) + A várható érték tulajdonságaira vonatkozó 4.7. Tétel bizonyítását is tudnia kell. 28

Segítség: Dolgozza fel (tanulja meg) a tk. 105-106. old. anyagát! A szórás pontosabb jelentését a következő témában (Csebisev-egyenlőtlenség) fogja megismerni. A szórás definiáló képlete, és a kiszámítására szolgáló képlet különbözik egymástól. (Ez nem ritka a matematikában: ismeri két vektor skaláris szorzatának definícióját (és jelentését), kiszámítását viszont nem a definíció alapján végzi.) 1. önellenőrző feladat Oldja meg a tanultak alapján a Feladatgyűjtemény 4.4 fejezet mintafeladatait! 1. megoldás: A közölt megoldásokat használja önellenőrzésre. Folytonos eloszlás esetén integrálnia is szükséges; Amennyiben ebben bizonytalan lenne, akkor először ismételje át az előző félév matematika anyagának ezt a részét. 2. önellenőrző feladat Válaszoljon a Tanulási útmutató 4.2.5. kérdésére! 2. megoldás: az útmutató 40. oldalán. 3. önellenőrző feladat Oldja meg a Tanulási útmutató 4.3. 1., 3., 4. és 5. feladatát! 3. megoldás: Az ellenőrzést a 4.5. alapján végezheti. 50 %-os teljesítmény esetén alapszinten elsajátította az anyagot 4. önellenőrző feladat Gyakorlásra javasoljuk a Tanulási útmutató 4.6. feladatait! Ezek a feladatok már összetettebbek, a korábbi témák ismereteit is igénylik. 4. megoldás: az útmutató következő oldalán. Befejezés Kedves Hallgatónk! Elsajátított két fontos fogalmat: a várható értéket, és a szórást. A következő leckében a szórás pontosabb jelentését ismerheti meg, valamint a félév anyaga központi fogalmának, a valószínűségnek a lényegét világítjuk meg. 29

10. lecke Csebisev-egyenlőtlenség. Nagyszámok törvénye A lecke tanulmányozására fordítandó idő kb. 8 óra. Bevezető A várható érték körüli ingadozás egyik fontos mérőszáma a szórás. Most egy olyan összefüggést ismernek meg, amelynek az a gyakorlati jelentősége, hogy segítségével csupán a szórás ismeretében becslést adhatunk az ingadozás valószínűségére. A nagy számok törvénye azt mutatja meg, hogy a véletlen jelenséggel kapcsolatos valószínűségeloszlás tulajdonságai annál jobban kidomborodnak, minél több megfigyelést végzünk. Tanulmányozása után Ön képes lesz: válaszolni arra a kérdésre, hogy mit tudunk mondani az ingadozás valószínűségéről, ha nem ismerjük az eloszlást; kimondani, értelmezni, továbbá feladatmegoldásokban alkalmazni a Csebisevegyenlőtlenséget (4.13. Tétel); válaszolni a valószínűség és a relatív gyakoriság kapcsolatára, ha a kísérletek száma egyre nagyobb; kimondani, értelmezni, majd feladatmegoldásokban alkalmazni a nagy számok törvényét (7.1. Tétel). Segítség: Dolgozza fel (tanulja meg) a tk. 108-110. old. anyagát! A Csebisev-egyenlőtlenséget (4.13. Tétel) bizonyítania nem kell, de nagyon fontos, hogy tudja helyesen értelmezni, és feladatok megoldásában alkalmazni. A Tétel a szórás jelentésének ad új, pontosabb és kvantitatív megvilágítást. Fontos: az intervallum mindig szimmetrikus a várható értékre. A becslés az adott intervallumba való esés valószínűségéről, illetve az adott intervallumon kívülre esés (ellentett esemény) valószínűségéről ad felvilágosítást. 30

1. önellenőrző feladat Válaszoljon a Tanulási útmutató 4.2. 6. kérdésére, és oldja meg a 4.3. 6. feladatát! 1. megoldás: Ellenőrizze megoldását a 4.4. és a 4.5. alapján! 2. önellenőrző feladat Oldja meg önállóan a Feladatgyűjtemény 4.5 fejezet mintafeladatait! 2. megoldás: A megoldásokat használja önellenőrzésre. 3. önellenőrző feladat További gyakorlásként a Feladatgyűjtemény 4. fejezet 43. és 47. feladatait javasoljuk megoldani. 3. megoldás: a Feladatgyűjtemény 134. oldalán. Segítség: Dolgozza fel (tanulja meg) a tk. 182-186 old. anyagát! Egy esemény valószínűségének jelentését világítja meg a tétel (bizonyítását nem kell tudnia), számszerűen leírja, hogy egy esemény relatív gyakorisága egyre kevésbé térhet el az esemény valószínűségétől, ha elegendően sok (nagy számú) kísérletet végzünk. Feladatmegoldáshoz a 7.1. Tétel utáni 2. megjegyzésben szereplő alakot (7.1.) és (7.2.) használjuk. A bemutatott példákhoz teljesen hasonló feladatokat kell tudnia megoldani. A törvény (tétel) alapján 3 féle kérdésre kell tudnia választ adni: az eltérés, hibakorlát (ε) és a kísérletek számának (n) ismeretében az eltérés (a relatív gyakoriság és a valószínűség közötti) P valószínűségének meghatározása (ez a tétel direkt alkalmazása); a megengedett eltérés (ε) és ennek előírt P valószínűsége esetén legalább hány kísérletet (n) kell végeznünk; adott az eltérés P valószínűsége, és a kísérletek száma (n), kérdés, hogy legfeljebb mekkora eltérés (ε) lehet a relatív gyakoriság és a valószínűség között. 31

4. önellenőrző feladat Oldja meg a Feladatgyűjtemény 4.6 fejezet kidolgozott mintapéldáit! 4. megoldás: A megoldásokat használja ellenőrzésre. Reméljük, sikerült már elsőre is 50 %-t teljesítenie! 5. önellenőrző feladat Gyakorlásra javasoljuk a Feladatgyűjtemény 4. fejezet 48-56. feladatait. 5. megoldás: a feladatgyűjtemény 135-136. oldalán. Befejezés Ha a lecke anyagát eredményesen teljesítette, a következő leckében az ún. Nevezetes diszkrét eloszlásokkal ismerkedhet meg. 32

11. lecke Diszkrét valószínűségeloszlások A lecke tanulmányozására fordítandó idő kb. 12 óra. Bevezetés Elvileg végtelen sokféle valószínűségi változó értelmezhető. Témánkban a gazdasági életben legtöbbször előforduló diszkrét valószínűségeloszlásokkal ismerkedik meg. A téma áttanulmányozása után Ön képes lesz: rendszerezni a különböző eloszlásokat; felismerni a karakterisztikus, binomiális, hipergeometrikus és Poisson-eloszlást, felsorolni ezek tulajdonságait; felismerni, hogy egy konkrét probléma melyik nevezetes eloszlással írható le; alkalmazni a tanultakat várható érték és szórás meghatározására, illetve bizonyos események valószínűségének meghatározására. Segítség: Dolgozza fel (tanulja meg) a tk. 111-126. old. anyagát! Mindegyik eloszlásról az alábbiakat kell tudnia: definíció (definiáló képlet), paraméterei, várható értéke, szórása. Vegye észre: a binomiális eloszlással, és a hipergeometrikus eloszlással már találkozott! A visszatevéses mintavétel (illetve Bernoulli-kísérletsorozat) esetén kapott képlet pontosan a binomiális eloszlás definiáló képlete. A visszatevés nélküli mintavételnél kapott képlet pedig a hipergeometrikus eloszlás definiáló képlete. Feladatok megfogalmazásában általában megadjuk (meg kell adni), hogy a valószínűségi változó (a tapasztalatok szerint) milyen eloszlást követ (tehát ezt nem Önnek kell felismernie). Viszont Önnek kell felismernie azt, hogy egy valószínűségi változó karakterisztikus eloszlású (két kimenetel van: A és nem A, illetve 1 és 0!); vagy a korábban mondottak szerint, ha egy eloszlás mintavételhez kapcsolódik, (visszatevéssel vagy visszatevés nélkül), akkor az binomiális, illetve hipergeometrikus eloszlású. 33

1. önellenőrző feladat Válaszoljon a Tanulási útmutató 5.2. 1-4. ellenőrző kérdéseire! 1. megoldás: Válaszait 5.4. alapján ellenőrizze! Tanulása legalább 50 % helyes válasz esetén tekinthető sikeresnek. 2. önellenőrző feladat Oldja meg a Feladatgyűjtemény 5.1, 5.2 és 5.3 fejezetének 1. mintapéldáit! 2. megoldás: A megoldásokat használja önellenőrzésre. Remélhetőleg mindegyik feladatot sikerült megoldania. A feladatok az előző témák anyagát is tartalmazzák. 3. önellenőrző feladat További gyakorlásra javasoljuk a Feladatgyűjtemény 5. fejezetének 1., 2., 3., 5., 8., 10., 14., 18., 20., 22. és 24. feladatait. 3. megoldás: a Feladatgyűjtemény 151. oldalától. Befejezés Kedves Hallgatónk! Ennek a leckének az elsajátításával nagy lépést tett a sikeres kollokvium érdekében. A következő lecke megoldásával ismét szakértő tutorától kaphat megerősítést arról, hogy jól halad-e a félév anyagának feldolgozásával. 34

12. lecke Beküldendő feladat II. A feladatok megoldására (az ismétléssel és a feladatok tisztázásával együtt) összesen kb. 6 óra fordítandó. A tananyag nagy részét már feldolgozta, lassan a vizsga (kollokvium) ideje is elérkezik. Elvégezte az önellenőrzéseket, most újra itt a lehetőség, hogy szakértő tutora is értékelje munkáját, ha kell, adjon további segítséget önnek. A feladatok megoldásával (illetve tutora visszajelzéséből) megtudhatja, hogy az eddigi anyagot hogyan sikerült megtanulnia, hogyan képes azt feladatok megoldásában eredményesen alkalmazni. A feladatok megoldásakor természetesen bármit használhat (tankönyv, útmutató, feladatgyűjtemény), de ne feledje, hogy a vizsgán csak saját tudására számíthat; kb. 60 perc alatt kell legalább 50 %-os eredményt elérnie! Mielőtt a feladatokat elkezdené megoldani, javasoljuk, hogy ismételje át az eddig feldolgozott leckéket, különösen figyelmesen nézze át a Tankönyv megoldott feladatait, illetve az önellenőrző feladatokat. Beküldendő feladat (1-4) Oldja meg a következő feladatokat! 1. feladat Két kockával dobunk. Legyen ξ valószínűségi változó a dobott számok különbségének abszolút értéke. Írja fel a változó eloszlását, eloszlásfüggvényét és ez utóbbit ábrázolja is! 2. feladat Annak a valószínűsége, hogy egy üzletben megtaláljuk a keresett árut: 0,8. Ha 4 üzletnél többet nem keresünk fel, mi a várható értéke a vásárlási kísérletek számának? (Ha valamelyik üzletben megtaláltuk az árut, nyilvánvalóan nem keressük tovább.) 3. feladat A dohányzó lakosság napi cigarettafogyasztásának várható értéke M(ξ)=20 db, szórása D(ξ)=6 db. a) Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy a tényleges fogyasztás 11 és 29 db közé esik? b) Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy a tényleges fogyasztás éppen 30 db, vagy annál több, illetve 10, vagy annál kevesebb? c) Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy a tényleges fogyasztás 15 és 25 db közé esik? 4. feladat Egy országrész felnőtt lakosságának 22 %-a felsőfokú végzettséggel rendelkezik. Közülük véletlenszerűen kiválasztunk 10 000 főt. a) Mennyi lesz ezek között a felsőfokú végzettségűek várható száma? b) Legalább mekkora a valószínűsége, hogy a felsőfokú végzettségűek száma a várható értéktől 5 %-nál kevesebbel tér el? 35

Beküldendő feladat (5-6) 5. feladat Adott a következő függvény: 2 2x 0 x 1 f ( x) = 0 különben a.) Ellenőrizze, hogy lehet-e az f függvény valamely ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye! b.) Ha f sűrűségfüggvény, akkor számítsa ki a ξ valószínűségi változó várható értékét és szórását! c.) Mikor nevezünk egy valószínűségi változót Poisson eloszlásúnak? 6. feladat Egy telefonközpontba 1 perc alatt átlagosan 6 hívás érkezik. Az egy perc alatti hívások száma Poisson-eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. a) Mennyi a valószínűsége, hogy egy adott perc alatt 8 hívás érkezik? b) Mennyi a valószínűsége, hogy az adott perc alatt a várható értéknél kevesebb hívás érkezik? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy adott perc alatt 2-nél több, de legfeljebb 10 hívás érkezik? Miután a feladatokat megoldotta és letisztázta a megoldásokat, küldje el tutorának (lehetőleg e-mail-ben). Szakértő tutora rövidesen (anyaga megérkezését követően egy héten belül) válaszolni fog, tájékoztatja Önt, hogy mit oldott meg helyesen; segítséget ad az esetleges hibák kijavítására, útmutatást a további tanuláshoz. A következő leckében az egyik legfontosabb folytonos eloszlással foglalkozunk. 36

13. lecke Normális eloszlás, standard normális eloszlás. Valószínűségeloszlások közelítő meghatározása A lecke témájának tanulmányozására fordítandó idő kb. 11 óra. Bevezetés A valószínűségszámításban, és a matematikai statisztikában a folytonos eloszlások közül az egyik leggyakoribb, és legnagyobb jelentőségű a normális eloszlás. Megismerése azért nagyon fontos, mivel a véletlen folyamatok nagy része normális eloszlással írható le, illetve normális eloszlással közelíthető A téma tanulmányozása után Ön képes lesz: definiálni a normális eloszlást; felírni és ábrázolni a normális eloszlás eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét; a normális eloszlást standardizálni; felírni és ábrázolni a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét; a tanultakat alkalmazni gyakorlati problémák megoldásában; kifejteni az egyes közelítések feltételeit; a hipergeometriai eloszlást közelíteni binomiálissal (5.3. Tétel); a binomiális eloszlást közelíteni Poisson-eloszlással (5.6. Tétel), illetve normális eloszlással. Segítség: Dolgozza fel (tanulja meg) a tk. 139-145. old. anyagát! Az N(m,σ) normális eloszlás eloszlásfüggvénye csak táblázatban lenne megadható (sűrűségfüggvényének nem létezik ugyanis primitív függvénye, így az integrálja nem határozható meg a Newton-Leibniz formula segítségével), ami viszont m és σ végtelen sok lehetséges értéke miatt gyakorlatilag lehetetlen. Ezért fontos a standardizálás ismerete, a standard normális eloszlás (m=0, σ=1) sűrűségfüggvényének és eloszlásfüggvényének, és ezek tulajdonságainak ismerete. Táblázatból a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének és eloszlásfüggvényének értékeit tudjuk kiolvasni, ezt kell ismernie. Normális eloszlásra vonatkozó feladat megoldása esetén a feladatot át kell tehát fogalmaznunk (transzformálnunk) standard normális eloszlásra. 37

1. önellenőrző feladat Oldja meg a Feladatgyűjtemény 5.4 fejezetének mintafeladatait! 1. megoldás: A megoldásokat használja önellenőrzésre. 2. önellenőrző feladat Válaszoljon a tanulási útmutató 5.2. 5. és 6. ellenőrző kérdéseire! 2. megoldás: Ellenőrizze válaszát 5.4. alapján. 3. önellenőrző feladat Oldja meg a Tanulási útmutató 5.3. 2., 3. és 7. feladatát! 3. megoldás: Ellenőrzés az 5.5 alapján. 4. önellenőrző feladat További gyakorlásra javasoljuk a Tanulási útmutató 5.6. 1., 3. és 6. feladatának megoldását! 4. megoldás: az útmutató következő oldalán. Segítség: Valószínűségeloszlások közelítő meghatározásához a tk. 119. és 121. oldalát tanulmányozza (5.3. és 5.6. Tétel)! Általános elv: ha a közelítés feltételei fennállnak, akkor valamely eloszlást a neki megfelelő ugyanolyan paraméterű (várható értékű és szórású) eloszlással közelíthetjük. Kiegészítés a binomiális eloszlás közelítéséhez (121. old.): ha p értéke 0,5 körüli és n nagy ( n ), akkor a binomiális eloszlás Poisson-eloszlás helyett pontosabban közelíthető normális eloszlással; éspedig (lásd az előző általános megjegyzést), olyan normális eloszlással, amelynek paraméterei m = M ( ξ ) = np és σ = D ( ξ ) = npq. 38

5. önellenőrző feladat Oldja meg a Feladatgyűjtemény 5.3 2. mintafeladatát! 5. megoldás: A megoldást önellenőrzésre használja! 6. önellenőrző feladat Oldja meg a Tanulási útmutató 5.3. 5., valamint a 5.6. 4. feladatát! 6. megoldás: Ellenőrizze megoldását az 5.5. és az 5.7. alapján! 7. önellenőrző feladat Oldja meg a Feladatgyűjtemény 5. fejezet 19. feladatát! 7. megoldás: a Feladatgyűjtemény 157. oldalán. Befejezés Az anyag sikeres elsajátítása után, az utolsó leckében a kétméretű eloszlások legfontosabb jellemzőit ismeri meg. 39

14. lecke Többdimenziós eloszlások (kétdimenziós diszkrét) A témakör tanulmányozására fordítandó idő kb. 10 óra. Természetesen a tanulási idő ettől jelentősen eltérhet, ha korábban Ön jól megtanulta az egydimenziós eloszlások jellemzőit. Bevezetés A gyakorlatban számos olyan tömegjelenség fordul elő, amely csak két vagy több valószínűségi változóval jellemezhető. Az adott tömegjelenséggel kapcsolatos valószínűségi változók egymással is kapcsolatban vannak, így a jelenség leírásához nem elegendő, ha csak az egyes valószínűségi változók eloszlását ismerjük. Ezen változók együttes eloszlása, a köztük levő kapcsolat szorosságának ismerete pontosabban írja le a vizsgált jelenséget. A lecke tanulmányozását követően Ön képes lesz: meghatározni az együttes- és peremeloszlás fogalmát, kapcsolatukat; felírni az együttes eloszlásfüggvényt, felsorolni tulajdonságait; definiálni a várható érték, kovariancia és a korrelációs együttható fogalmát, kiszámítási módját, kiszámítani azokat, és értelmezni az eredményt; meghatározni a valószínűségi változók függetlenségének fogalmát, kimondani a rá vonatkozó tételeket (6.10. és 6.12. Tétel); eldönteni, hogy adott eloszlásnál fenn áll-e a függetlenség; megmutatni a függetlenség és a korrelálatlanság kapcsolatát. Segítség: Dolgozza fel (tanulja meg) a tk. 147-157. és 161-166. old. anyagát! A kétméretű (diszkrét) eloszlás az egyméretű eloszlások általánosítása. Az egyméretű eloszlásoknál megismert minden fogalmat (eloszlás, eloszlásfüggvény, várható érték, szórás) felhasználunk, így ha szükségesnek látja, a téma tanulmányozása előtt ismételje át. A kétméretű eloszlás megadása (együttes eloszlás) egyértelműen meghatároz két egyméretű eloszlást (peremeloszlások), megfordítva ez általában nem igaz. Lényeges, hogy jól értse a valószínűségi változók sztochasztikus kapcsolatának mérésére szolgáló korrelációs együttható jelentését (a Tankönyvben ez nem elég hangsúlyos): A korrelációs együttható értéke csak a változók lineáris kapcsolatának szorosságáról tájékoztat, 40