A stacionáius elektomos áam és a mágneses té kapcsolata I. Az áamtól átfolyt vezető mágneses tee. Oested és Ampèe kíséletei. Az elektomos és mágneses jelenségek sokban hasonlítanak egymása, és ezét égóta gyanították, hogy a kettő között valamiféle kapcsolat van. Mi tudjuk, hogy ezt a létező kapcsolatot az első két Maxwell-egyenlet mutatja, amelyek ételmében az elektomos áam övényes mágneses teet, a változó mágneses té pedig övényes elektomos teet kelt. A sztatikus tében azonban nincsen áam, és a mágneses té sem változik. Ilyenko tehát az elektomos és mágneses teek között nincs is kapcsolat: a mágnesúd nem hat a megdözsölt boostyánkőe és viszont. Ennek fényében éthetjük meg azt, hogy hiába ismetek jól bizonyos elekto- és magnetosztatikai jelenségeket má az ókoban is, miután nem tudtak elektomos áamot előállítani, ezét az elektodinamika igazi kezdetée Oested felfedezéséig kellett váni. 180-ig a tudomány hivatalos álláspontja az volt, hogy elektomosság és mágnesség között nincsen kapcsolat. Hans Chistian Oested dán temészettudós (1770-1854) a tudomány pofesszoa volt a Koppenhágai Egyetemen. Oested filozófiai alapon hitt abban, hogy az elektomosság és mágnesség között igenis van kapcsolat. 180. egy ápilisi estéjén temészettudományos kíséleteke hívta meg a házába a hallgatóit és néhány baátját. Akkoiban újdonság volt a Volta-féle oszlop, amelynek segítségével addig nem látott nagy elektomos áamokat lehetett előállítani. Ez az áam egy vékony platina dótot aká az izzásig is fel tudott hevíteni. Temészetesen Oested is be akata mutatni ezt a kíséletet a tanítványainak. De más célja is volt evvel a kísélettel. Saját elbeszélése szeint (a töténetnek ugyanis több vaiációja ismeetes) má egy koábbi előadásán az jutott eszébe, hogy nem lehetséges-e az, hogy amiként fény és hő sugázik szét az izzó dótból, eközben mágneses hatás is emittálódik belőle. A demonstációs asztala ezét egy mágnestűt is készített. (Más elbeszélések szeint a felfedezés a véletlen műve volt, és a mágnestű csak azét volt az asztalon, mivel a későbbiekben mágneses kíséleteket is be kívánt mutatni.) Akáhogyan is volt, aká Oested zseniális sejtését igazolva, aká az ő legnagyobb meglepetésée, de valahányszo áamot kapcsolt a platina dóta, hogy az felizzon, mindannyiszo az asztalon lévő iánytű is kilendült. Attól kezdve háom hónapig a felfedezés lázában élt, és további kíséleteket végzett. Végül júliusban egy latin(!) nyelvű cikkben publikálta megfigyeléseit, amit hamaosan az összes nagyobb euópai nyelve lefodítottak. Édekes megemlíteni, hogy egy olasz jogász (avagy juista, ahogy akkoiban mondták) Gian Domenico Romagnosi má 180-ben, vagyis Oested előtt 18 évvel felfedezte az áam hatását a mágnestűe, bejelentését azonban közöny fogadta, és csakhama el is felejtették. Oestede viszont jobban figyeltek, hiszen 1815-től haláláig a Dán Kiályi Akadémia titkáa volt, koa nagy hatású személyisége. A művészeteket is pátolta, többek között a híes meseíót, Hans Chistian Andesent is támogatta pályája kezdetén. A vegyészeket még az is édekelheti, hogy 185-ben Oested elsőként állított elő fém alumíniumot. Oested kvalitatív megfigyeléseit Andé-Maie Ampèe (1775-1836) öntötte kvantitatív fomába. Az Oested-féle kísélettel Ampèe 180. szeptembe 11-én találkozott előszö a Fancia Tudományos Akadémián. Ampèe képzeletét annyia megagadta az, amit látott, hogy bá elméleti tudós volt, maga is kíséletezni kezdett 9/1
az áam mágneses teével. Azonnal ájött, hogy Oested nem étette meg teljesen a kíséletet, nem vette figyelembe ugyanis a Föld mágneses teét. Ezét Ampèe olyan kíséleti kamát épített, amelyben fogatható mágnesekkel semlegesíteni tudta a Föld mágneses teét, és így az áam által létehozott mágneses teet a Föld külső mágneses teének zavaó hatása nélkül tudta tanulmányozni. Az Ampèe-féle gejesztési tövény globális alakja Amit Ampèe mééseiből kikövetkeztetett, azt mai jelöléssel és szóhasználattal a következő állításban foglalhatjuk össze. A mágneses tének egy zát göbén vett göbementi integálja (a H cikulációja ee a zát huoka nézve) egyenlő a huok belsejében folyó áamok algebai összegével. A pozitív iányt a huok köüljáási iánya és a jobbkézszabály együttesen szabja meg. Matematikai szimbólumokkal: H = Σ I i d Az Ampèe-féle gejesztési tövény lokális alakja A globális alakból a Stokes-tétellel juthatunk a lokális alakhoz. Azt az elektomos áamot ugyanis, amely a hukon átfolyik, úgy is megkaphatjuk, ha a huok mint peem által kifeszített felülete integáljuk az e felületen átfolyó elektomos áam sűűségét. (Megjegyezzük, hogy ez az áamsűűség nem szükségszeűen különbözik a nullától mindenütt ezen a felületen: ha az áamot szállító vezetékek keesztmetszete nem tölti ki a teljes keesztmetszetet, akko az ües helyeken az áamsűűség zéussal lesz egyenlő, és ezeken a helyeken evvel az étékkel kell a felületi integálban figyelembe venni.) Tehát: H d = Σ I i = jda A Ha a göbementi integált most felületi integállá alakítjuk a Stokes-tétellel, akko az alábbi alakhoz jutunk: A oth da = jda A vagyis a két felületi integál egyenlő. Ebből általában még nem következne, hogy az integandusok is egyenlőek, de mivel az egyenlőség tetszés szeinti A felülete évényes, ez má csak úgy valósulhat meg, hogy maguk az integandusok is egyenlőek, azaz ot H = j, ami nem más, mint az Ampèe-féle gejesztési tövény lokális alakja. II. Szolenoid mágneses tee. H méése szolenoidos kompenzációval Végtelen hosszú egyenes vezető mágneses tee A mágneses té nagyságát az egyenes vezetőtől meőlegesen mét R távolságban keessük. Ebben a vezetőben folyjon I áam, és meőlegesen döfje át egy képzeletbeli koong közepét. A zát göbementi integált képezzük egy olyan R sugaú köön, amely ezen koong peemét képezi. A köüljáási iányt úgy válasszuk meg, hogy az áamiány pozitív legyen. Ekko a kö peemén egyik pont sincs kitüntetett helyzetben, és a kö menti éintőleges elmozdulás azonos iányú az ugyancsak éintőleges mágneses téel. Vagyis ha az Ampèe-féle gejesztési tövényt egy ilyen köe felíjuk H d = I, 9/
akko a H mágneses té és a d elmozdulás páhuzamos lévén a két vekto skalászozata megegyezik az abszolút étékeik szozatával: H d = H d. Továbbá, mivel a mágneses té abszolút étéke a kö mentén mindenütt azonos, ezét az integál elé kiemelhető, vagyis H d = I. A kö menti kis d elmozdulások összege viszont nem más, mint az R sugaú kö keülete, tehát H Rπ = I vagyis H = I/Rπ. Tehát végtelen hosszú egyenes vezető mágneses tee a távolsággal fodítottan aányos, iánya pedig a má említett képzeletbeli koong éintőjének iányába mutat. Tekecs (szolenoid) mágneses tee Jó közelítés, ha a tekecs belsejében lévő mágneses teet homogénnek és a tekecs tengelyével páhuzamosnak képzeljük el. (A közelítés csak a tekecs végeinél poblematikus, aholis szóódnak az eővonalak, és ezét ott inhomogén a mágneses té. Ez viszont, hosszú tekecset feltételezve, a tekecs hosszához képest csak kis tatomány.) A másik közelítés, hogy a tekecsen kívüli mágneses teet elhanyagolhatónak tekintjük. Ezek után vegyünk egy olyan zát göbét, amely a tekecsen belül a tengelyvonalban halad, és a tekecsen kívül záódik. Ha ee a zát göbée felíjuk az Ampèe-féle gejesztési tövényt, akko a tekecsen belül ismét azt íhatjuk, hogy H d = H d, a tekecsen kívül pedig a göbe menti integál zéust ad, és így H d = ni H d = n I H L = n I H = n I/L, ahol L a tekecs hossza, n pedig a menetszáma. (A zát göbénken ugyanis a tekecs I áama n-sze folyik át.) H méése szolenoiddal Az előző paagafusban láttuk, hogy a tekecs belsejében homogén mágneses té jön léte, amelynek iánya a tekecs tengelyébe esik, amely iányt tekecsen átfolyó áam a jobbkézszabály szeint hatáoz meg, nagysága pedig H = n I/L. Ez lehetőséget teemt aa, hogy egy ismeetlen mágneses teet kompenzációval méjünk. Ha ugyanis az ismeetlen teet egy ismet téel kioltunk, akko tudhatjuk, hogy az ismeetlen té ugyanolyan nagyságú, de ellentétes iányú volt, mint az ismet teünk. (Temészetesen ez elég sok vacakolást jelentene a gyakolatban, hiszen nem csak a tekecsben folyó I áam nagyságát, de a tekecs iányát is változtatni kell ahhoz, hogy az ismeetlen teet az ismettel ki tudjuk oltani. Ezzel a nehézkességgel azonban most nem töődünk, a számunka jelenleg elég az, hogy egy elvi méési módszet meg tudunk adni.) A mééshez kell még egy nulldetekto is, amelyet a tekecs belsejében helyezünk el, és amely képes jelezni azt, hogy van-e mágneses té a tekecs belsejében, ahol a kompenzációt léte akajuk hozni. Egy iánytű, amely minden iányban elfodulhat (pl. Cadano-féle felfüggesztéssel), alkalmas lehet a céla. Amennyiben ugyanis van külső mágneses té, az iánytű ebbe az iányba fog beállni, és oda vissza is té, ha például elcsavajuk onnan. Ha viszont nincs külső té, akko ott maad, ahová állítjuk. Amiko ilyen közömbös állapotot étünk el, az jelzi, hogy sikeült a kompenzáció, és ekko elmondhatjuk, hogy megmétük az ismeetlen teet. 9/3
III. Laplace elemi tövénye és a Biot-Savat tövény Az áamtól átfolyt vezető mágneses teée nézve az Ampée-féle gejesztési tövénnyel ekvivalens megfogalmazást ad Laplace elemi tövénye, ami egy a koodinátaendsze oigójába helyezett dl hosszúságú és iányú vezetőszakasz által a té pontjában létesített dh mágneses teet adja meg iány és nagyság szeint, feltéve, hogy a vezetőben I eősségű áam folyik (I pozitív, ha iánya dl iányával megegyezik, ellenkező esetben negatív): ába I dl H = 4π d Itt e az iányba mutató egységvekto. (Laplace Ampèe kotása volt, nagytekintélyű matematikus-fizikus, akinek nevét őzi az általa elsőként felít φ = 0 ún. Laplace-egyenlet, és az ennek nyomán jóval később bevezetett =( ) Laplaceopeáto is. Elsősoban égi mechanikával foglalkozott, Napóleon alatt pedig egy ideig belügyminiszte is volt.) Temészetesen Laplace elemi tövénye a Maxwell-egyenletekből levezethető, ugyanúgy, mint a Coulomb-tövény is (amie egyébként eléggé hasonlít). Ezeket a levezetéseket az alábbi Olvasmányban ismetetjük. A Coulomb tövény és Laplace elemi tövényének levezetése a Maxwell egyenletekből (Olvasmány) Laplace elemi tövényét az elektosztatika Coulomb tövényének analógiájáa lehet levezetni. Ezét elsőként a Coulomb tövényt vezetjük le a Maxwell egyenletekből. A Coulomb tövény levezetése a Maxwell egyenletekből Ha ezt a a tövényt a Maxwell egyenletekből akajuk számaztatni, akko az elektoszatika mindkét alaptövényét fel kell használnunk, vagyis: divd = ρ és ote = 0. Az egyszeűség kedvéét tételezzük fel, hogy vákuumban vagyunk, amikois D = ε 0 E. Az a feltétel, hogy az elektosztatikai té övénymentes, egyenétékű avval, hogy egy φ potenciálból számaztatható: E = -gad φ. Ezekből az egyenletekből következik az ún. Poisson-egyenlet: ρ Φ =, ε 0 ahol Φ=div(gad Φ) = Φ/ x + Φ/ y + Φ/ z. (Édemes aa is felfigyelni, hogy a töltésmentes sztatikus potenciáltée a Poisson-egyenletből éppen a Φ = 0 Laplace-egyenlet adódik.) Ha viszont van töltés a tében, akko általában a ρ töltéssűűség a hely függvénye: ρ= ρ( Q), ahol a szokásos helyett azét jelöltük a helyvektot Q val, hogy kihangsúlyozzuk: ez a töltés helvektoa. Az index nélküli pedig annak a pontnak a helyvektoát fogja itt jelölni, amely pontban a potenciált kédezzük Φ = Φ(). Belátható, hogy a Poisson egyenlet megoldása az alábbi alakba íható: Φ( )= (1/4πε 0) Vρ( Q)dV/ Q. e. 9/4
Hogy ezt belássuk, tegyük fel, hogy a tének egy Q pontjában egy pontszeű dq = ρ( Q)dV töltés helyezkedik el. Ennek a pontszeű töltésnek a potenciálja az pontban (a pontszeű töltés potenciálteéől tanultak alapján láthatjuk be, de e nélkül is bizonyítható): dφ( )= (1/4πε 0)dQ/ - = (1/4πε 0)( ρ( Q)dV )/ Q. A pontszeű töltés potenciálteéből pedig a folytonos töltéseloszlás potenciáltee integálással kapható: Φ( ) = dφ( ) = (1/4πε 0) Vρ( Q)dV/ Q. Mi fodított úton játunk: a Coulomb tövényből vezettük le a pontszeű töltés potenciálteét, amiből folytonos töltéseloszlása következik a fenti egyenlet. Ha a fenti egyenletet beíjuk az E = -gad φ egyenletbe, és figyelembe vesszük, hogy gad(1/ Q = - e /( Q ) akko megkapjuk a folytonos töltéseloszlás eőteét E = (1/4πε 0) Vρ( Q)dVe /( Q ), alakban, amely ekvivalens a Coulomb tövénnyel. Hogy ez tényleg a Coulomb tövénnyel ekvivalens, azt például úgy láthatjuk be, hogy az oigó közelében egy pontszeű töltéseloszlást képzelünk el, vagyis Q 0 és Vρ( Q)dV=Q. Ekko az eőté nem más mint az oigóba helyezett pontszeű töltés eőtee: E = (1/4πε 0) Vρ( Q)dVe /( Q ) = (1/4πε 0)Qe /, amely összefüggést egysze má levezettünk éppen a Coulomb tövényből kiindulva. Laplace elemi tövényének a levezetése a Maxwell egyenletekből Laplace elemi tövényének levezetése analóg utakat követ mint a Coulomb tövényé. A stacionáius mágneses tée vonatkozó mindkét Maxwell-egyenletet fel kell használni, tehát ot H = j, és divb = 0, továbbá itt is feltételezzük, hogy vákuumban vagyunk: B = µ 0 H. Az elektosztatikában a potenciál bevezetését az a feltétel biztosítja, hogy a té övénymentes. A mágneses té foásmentes, és ez egy ún. vektopotenciál bevezetését teszi lehetővé, vagyis B = ot A, ahol az A a vektopotenciál. (Így ugyanis a divb = 0 feltétel automatikusan teljesül, mivel a div(ot v) mindig nulla. Az övényfonalaknak nincs foása.) Ezek után a fenti egyenletekből vektoanalitikai összefüggéseket felhasználva adódik egy a Poisson-egyenlettel analóg, de nem skalá, hanem vektoi egyenlet: A = -µ 0 j Ez az egyenlet úgy jön ki, hogy első lépésként a B = ot A egyenlet minkét oldalának a otációját képezzük ot (ot A) = ot B A stacionáius teeke évényes Maxwell egyenletekből tudjuk, hogy ot H = j. Ha ezen egyenlet mindkét oldalát µ 0-al megszoozzuk, akko ot µ 0H = µ 0j, vagyis ot (ot A) = ot B = µ 0j. Másészt felíható az alábbi vektoanalitikai összefüggés: ot (ot A) = gad(div A) - A Ha a vektopotenciált célszeűen úgy választjuk, hogy diva = 0, akko ot (ot A) = - A, tehát a fentiekből valóban következik, hogy A = -µ 0 j. 9/5
A vektoi jellegből következik, hogy itt tulajdonképpen háom, a Poisson-egyenlettel most má tökéletesen analóg egyenletől van szó: (A x) = - µ 0 j x (A y) = - µ 0 j y (A z) = - µ 0 j z amelyeknek a megoldásai a Poisson egyenlet megoldásának analógiájáa: A x( )= (µ 0/4π) Vj x( j)dv/ j, A y( )= (µ 0/4π) Vj y( j)dv/ j és A z( )= (µ 0/4π) Vj z( j)dv/ j. A fenti háom egyenlet egyetlen vektoegyenletben foglalható össze: A( )= (µ 0/4π) Vj( j)dv/ j. Az áamot általában dótokban vezetjük, vagyis a teljes tének csak egy kis észében - konkétan a vezetékekben különbözik az áamsűűség a nullától. Vagyis a fenti téfogati integált csak az áamtól átfolyt vezetékek téfogatáa kell tekintenünk, a té többi észének hozzájáulása zéus. Tekintsünk most egy infinitézimálisan övid dl hosszúságú vezetődaabot, amelynek a keeszmetszete legyen q. A vezetődaabka helyvektoa legyen j. Az általa létehozott vektopotenciál a té helyvektoú pontjában ekko: da( ) = (µ 0/4π) Vj( j)dv/ j = (µ 0/4π) [ qj( j)dq] dl/ j. Ha a q keesztmetszet igen kicsi, akko a vezeték gyakolatilag egydimenziós. Ilyenko az áamsűűség iánya mindenhol megegyezik a vezetékhez húzott éintő iányával. Az éintő iányú egységvektot jelöljük t-vel. Ekko j( j) = j( j) t. A vezeték keesztmetszetée vett felületi integál ebben az esetben qj( j)dq = [ qj( j)dq] t = I t, mivel stacionáius állapotban a vezeték valamennyi keesztmetszetén ugyanaz az I áameősség folyik. Ha ez az összefüggést beíjuk a da( ) t megadó téfogati integálba, az akko így a következő göbe menti integállá alakítható da( ) = (µ 0/4π) I dl/ w, ahol bevezettük a dl t = dl jelölést, valamint j az áamsűűség helyvektoának helyée most w, azaz a dl dótdaabka helvektoa keül. A B = ot A egyenletből következik, hogy a dl dótdaabka által létehozott mágneses indukció: db = ot da vagyis db = ot{(µ 0/4π) I dl/( w )} = (µ 0/4π) I ot{dl/ w }. Vektoanalitikai összefüggés, hogy a v() vektoté és az s() skaláté szozatának a otációja felíható az alábbi két tag összegeként: ot (v s) = v gad(s) + s ot(v). Esetünkben v = dl, s = 1/( w ). dl azonban csak w-től függ, -től nem, ezét ot(dl) = 0. Ezét ot{dl/( w )}= dl gad(1/ w ) = dl e /( w), vagyis db = (µ 0/4π) I dl e /( w), 9/6
vagy mivel db/µ 0 = dh Laplace elemi tövénye végül az alábbi fomába íható: dh = (I/4π) dl e /( w), ami, ha a dótdaabka az oigóban van dh = (I/4π) dl e / Ha van egy zát vezető huok, amelyben áam folyik, akko a té egy pontjában valamennyi elemi áam kifejti hatását. Ahhoz, hogy megkapjuk a mágneses téeősséget ebben a pontban, az elemi hatásokat integálni kell a zát áamhuoka. Az eedmény pedig nem más, mint az ún. Biot-Savat tövény: H = I 4π dl e d H =. IV. A mágneses té hatása az áamtól átfolyt vezetőe Kísélet: inga Ha egy áamtól átfolyt l hosszúságú és iányú vezetőt egy olyan tébe helyezünk, ahol a mágneses indukció vektoa B, akko a vezetőe eő hat (ezt mutatta az ingás kísélet is ába), amelyet iány és nagyság szeint a következő fomulával számolhatunk: F = I [ l B]. Az I áam akko tekintendő pozitívnak, ha ugyanabba az iányba mutat, mint a l vekto. Az egyszeűség kedvéét e két iányt mindig azonosan szokás felvenni, és így I mindig pozitív. Ez a fomula az, amit FIB szabály néven lehet memoizálni, az egyes betűket (pontosabban a háom vekto iányát) a jobb kezünk hüvelyk, mutató és középső ujjához endelve. E fomulával kapcsolatban (amit most csak úgy kapásból ítunk fel) két jogos kédés meülhet fel: 1) levezethető-e a Maxwell-egyenletekből, ) miét jelenik meg itt a B a H helyett? Az első kédése a válasz -mint sejthetjük- igen, és ez a levezetés aa is választ ad, hogy miként jelenik meg a B a fomulánkban. Az egyszeűség kedvéét vizsgáljuk meg egy dl nagyságú és iányú I áamtól átfolyt vezetődaab és egy tőle iányban elhelyezkedő p nagyságú mágneses pólus kölcsönhatását. A vezető a p pólus helyén I dl e dh = 4π nagyságú és iányú teet létesít. (A koodinátaendszeünk oigójában most a vezetődaab van.) Ez a mágneses té df p,dl = p dh eővel hat a mágneses pólusa. Feltételezhető továbbá, hogy Newton 3. axiómája szeint a pólus is ugyanekkoa, csak ellentétes iányú eővel hat a vezetődaaba, vagyis: df dl,p = -df p,dl, I dl e dfd l, p = p 4π 9/7
Azt is tudjuk, hogy a p pólus tőle távolságban és iányban H mágneses teet létesít, amelyet a mágneses Coulomb-tövénye alapozva az alábbi fomula ad meg: 1 pe H' = 4πµ 0 ha a koodinátaendszeünk oigójában éppen a p pólus lenne. Megállapodásunk ételmében azonban az oigóban a vezetődaab van, ezét a vezetődaab helyén a mágneses té 1 pe H = 4πµ dfd l, p = I[dl µ 0H], Ha ezt a mágneses teet helyettesítjük be a vezetődaabkáa ható eő kifejezésébe, akko a következő összefüggéshez jutunk: ami éppen a keesett FIB szabály, tekintetbe véve, hogy vákuumban B = µ 0 H. 0 V. A mágneses té hatása az áamtól átfolyt vezető keete. B méése magnetométeel Kísélet: vezető keet Az egyetlen vezető szakasza ható eő pontos méése általában nem olyan egyszeű, mivel a hozzávezetések dótjaia is többé-kevésbé hathat a mágneses té (hacsak a mágneses teet nem lokalizáljuk gondosan a kédéses vezető szakasza). Ennél egyszeűbb pobléma, ha a teljes áamköt belehelyezzük a mágneses tébe, vagyis nemcsak egyetlen vezető daaba, hanem egy teljes vezető keete nézzük az eőhatást, pontosabban az eedő fogatónyomatékot. Homogén tében ugyanis a vezető keete eedő eő nem hat, csak fogatónyomaték, amelyet az alábbi fomulával számíthatunk: M KERET = I[A B], ahol A a sík vezetőkeethez endelt felületvekto, melynek iányítottságát a keetben folyó áam és a jobbkézszabály szabja meg. (A jobb kezünk behajlított 4 ujja mutatja az áamiányt, a hüvelykujjunk pedig az A vekto iányát.) A fogatónyomaték fenti kifejezése temészetesen nem egy független szabály: az egyenes vezetőe ható eő má ismetetett kifejezéséből számaztatható. Ez a levezetés téglalap alakú keete a legegyszeűbb, de tetszőleges alakú síkkeeteke is bizonyítható. Ha n menetes sík tekecset alkalmazunk, a fogatónyomaték n-sze nagyobb lesz: M TEKERCS = nm KERET = ni[a B]. A fenti összefüggést használhatjuk a mágneses indukció vektoának (azaz B-nek) a méésée, ezét a lapos síktekecset szokás magnetométenek is nevezni. (A módsze elvileg csak homogén teek esetén pontos; inhomogén té esetén valamiféle átlagot mé. A tekecs méeteinek csökkentésével azonban ezt a hibát tetszés szeint lehet csökkenteni.) B meghatáozása magnetométeel a következőképpen töténik. 1) Előszö is meghatáozzuk a B iányát. Ez nem más, mint a tekecs stabil egyensúlyi helyzetével kijelölt A iány. Ha ugyanis A és B páhuzamos, a kettő vektoszozata zéus. Két ilyen helyzet van, de amiko A és B egymással ellentétes iányú, akko az egyensúly nem stabil. 9/8
) Ha megtaláltuk B iányát, utána a nagyságát a maximális fogatónyomatékból tudjuk meghatáozni. Ez akko lép fel, amiko a tekecs A vektoát a B-e meőlegesem állítjuk. Ekko M max = niab, ahol a B kivételével valamennyi változó étékét ismejük. B nagysága tehát kifejezhető ismet mennyiségekkel. A magnetométe tekecs temészetesen áamméése is használható, így működik a laboban megismet Depez-műsze. VI. A FIB szabály lokális alakja. Az elektomágneses té hatása a mozgó töltése. A Loentz-féle eőtövény Kísélet: elektonsugáa ható mágneses eő Tekintsünk egy henge alakú egyenes vezető szakaszt, amelynek iányvektoa (hossza és iánya) l, keesztmetszete pedig A. A benne folyó áam a vezető keesztmetszetén homogénen oszoljon el. Ezt a vezetőt homogén mágneses tébe F = I[ l B] = A l[ j B]. helyezve a á ható eőt az áamsűűséggel is ki tudjuk fejezni: Továbbá édemes bevezetni az eősűűség fogalmát, így a FIB szabály lokális alakjához juthatunk: Az eősűűségnek ez a kifejezése alkalmas aa, hogy belőle a Q töltéssel endelkező F f = = [ j B]. V és a mágneses tében v sebességgel mozgó töltése ható eőt levezessük. Úgy foghatjuk fel ugyanis, hogy a mozgó töltés minden pontjában j = ρ v áamsűűségű áam folyik, és ennek következtében ott az eősűűség [j B]. A észecskée ható teljes eőt az eősűűség téfogati integáljaként kapjuk: F = fdv = [ j B]dV = [ ρv B]dV = [ v B] ρdv = Q[ v B], V V V mivel a v sebesség a észecskében mindenütt ugyanaz (ne foogjon), és a B té is, ezét a [v B] szozat is állandó, és az integáljel elé kiemelhető. A ρdv integál pedig nem más, mint a észecske töltése. Ha a mágneses té mellett elektomos té is van, akko a v sebességgel mozgó Q töltéssel bíó észecskée ható ún. Loentz-féle eő: F = Q([v B] + E ), a Loentz-tövény lokális alakja pedig: f = [j B] +ρe. V 9/9
VII. Az áamok közötti eőhatás és az Ampe definíciója Kísélet: két vezető inga kivetítve Egyszeű fomulát tudunk levezetni, ha két egymástól d távolsága lévő végtelen hosszú páhuzamos vezető közötti eőhatást vizsgálunk, mondjuk az első vezetőben folyó I 1 áam hatását második vezető l hosszúságú szakaszáa, amely vezetőben folyjon I áam. Tekintsük a következő ábát: ÁBRA: két páhuzamos vezető, a bennük folyó egyiányú áamok, a mágneses téeősség, a mágneses indukció iánya, valamint az eőhatás iánya a FIB szabály alapján A végtelen hosszú első vezetőben folyó I 1 áam tőle d távolsága I1 H = dπ mágeneses teet létesít, amely B = µ 0 H mágeneses indukciót hoz léte a második vezetőe meőlegesen. A FIB szabály szeint a második vezető l hosszúságú szakaszáa ható F eő µ 0 l F = I l B = I1 I π d melynek iánya a FIB szabály ételmében az első vezető felé mutat (azaz vonzóeő), ha a két áam iánya azonos, és ezzel ellentétes(tehát taszítóeő), ha a két áam iánya egymással ellentétes. Abban a speciális esetben, ha l = d pl. mindkettő 1 m és mindkét áam pontosan 1 ampe, akko a F eő pontosan 10-7 Newton, amit az ampe definíciójának tekinthetünk. A definíció alapján a vákuum pemittivitása: 7 N 7 V s µ 0 = 4π 10 = 4π 10. A A m A V s A m métékegység úgy jön ki, ha tekintebe vesszük, hogy J V A s N = =. m m VIII. H és B méése. Összefoglalás H és B méése vákuumban A magnetosztatika tágyalásánál má volt aól szó, hogy mi módon méhető a H mágneses téeősség. Akko azt mondtuk, hogy a mágneses téeősség az elektomos téeősséghez hasonlóan az egységnyi póluseősségű északi pólusa ható eő, azaz H = F, p ahol p a mágneses póluseősség. (A p póluseősség egysége különben a Webe, amely SI egységekben kifejezve Vs, de itkán szoktuk használni.) Ha csak a magnetosztatikát tekintjük, akko a H fenti definíciója, illetve méési utasítása teljesen 9/10
kielégítő lenne, és minden az elektosztatika analógiájáa volna méhető. (Az egyetlen különbséget csak az okozná, hogy valódi mágneses töltések nincsenek, csak polaizációs töltések. Ezét a felhasznált méőeszköz nem egy különálló északi pólus lenne, hanem egy hosszú mágnesúdnak az északi pólusa. Ettől eltekintve azonban a mééseket az elektosztatika analógiájáa lehetne végehajtani.) H-t azonban az eddig elmondottakkal szemben mégsem magnetosztatikai módszeekkel méjük. Ennek oka az, hogy az elektomos áam is mágneses teet kelt, és mi valamennyi méésünket az elektomos áam és az ezzel kapcsolatos eőhatások méésée kívánjuk visszavezetni. (Ez az MKSA métékendsze miatt van így.) Az áamtól átfolyt vezetődaaba ható eőhatás, illetve az áamtól átfolyt vezetőhuoka ható fogatónyomaték viszont -mint láttuk- nem a H, hanem a B vektoal van kapcsolatban. Ezét így B lesz az eőhatással kapcsolatos mágneses témennyiség, és nem a H. B-t az ún. magnetométeel méjük, amely egy n menetszámú lapos kis tekecs. Legyen a tekecsben folyó áam eőssége I. Ekko a tekecse a B mágneses indukciójú tében ható M fogatónyomaték: M = n I A B, ahol A a lapos tekecs keesztmetszete, mint vekto. Az A vekto a lapos tekecs síkjáa meőleges olyan vekto, melynek iányítottságát a tekecsben folyó áam iánya és a jobbkézszabály adja meg. (Tehát az A iányát jobb kezünk hüvelykujja adja meg, feltéve, hogy behajlított jobb kezünk többi ujja az áam iányába mutat.) B meghatáozása a magnetométeel két lépésben töténik. Előszö meghatáozzuk B iányát. Ez úgy töténik, hogy megkeessük a magnetométe stabil egyensúlyi helyzetét. A és B ekko azonos iányba mutat. (A fogatónyomaték akko is nulla, ha A és B éppen ellentétes iányú, ez azonban a magnetométenek nem a stabil, hanem az instabil egyensúlyi helyzete.) Miután megvan B iánya, ezek után nagyságát úgy hatáozzuk meg, hogy magnetométeünket ee az iánya meőlegesen állítjuk be. Ebben a pozícióban hat a maximális fogatónyomaték, amelyből B nagysága számítható: M max B = n I A Megjegyzendő, hogy inhomogén B té esetén a magnetométe tekecs A keesztmetszetét minél kisebbe kell választani, hogy a té a magnetométe könyezetében még jó közelítéssel homogénnek legyen tekinthető, mivel a fenti összefüggések homogén tée évényesek. A H mágneses téeősség méése a gejesztési tövény alapján kompenzációs módszeel töténhet. Az ismeetlen téeősségű mágneses téel szembe azonos nagyságú, de ellentétes iányú mágneses teet kapcsolva a mágneses té megszűntethető. Azt, hogy a mágneses té megszűnt, valamilyen nulldetekto, például egy iánytű jelezheti. (Mágneses té híján a mágnestű minden iányba egyfomán beállítható, nincs a mágneses té által kijelölt iány.) Az azonos nagyságú, de ellentétes iányú ismet teet például egy szolenoiddal állíthatjuk elő, melynek belsejében a té nagysága: n I H = l ahol n a tekecs menetszáma, l a hossza, I pedig a benne folyó áam. Feladatunk tehát abban áll, hogy a tekecs iányát és a benne folyó áam nagyságát úgy szabályozzuk, hogy a tekecs belsejében elhelyezett mágnestű zéus mágneses teet jelezzen. Ekko az ismeetlen té nagysága megegyezik a szolenoid által létehozott téel, iánya pedig éppen ellentétes vele.,. 9/11
H és B méése anyagi közegben Méőeszközeink az anyagi közegben is ugyanazok lesznek, mint vákuumban, csak ezeknek a méőeszközöknek üeget kell vájnunk az anyagi közeg belsejében. A pobléma tehát hasonló, mint az elektosztatikában: nevezetesen az, hogy milyen üegeket célszeű a méésekhez kialakítani? Mivel a B té foásmentes té (hasonlóan mint a D té szigetelőanyag belsejében, ha ott nincs valódi töltés), ezét ha a B tée meőleges üeget vájunk, akko ebben az üegben ugyanakkoa lesz a mágneses indukció vektoa, mint az anyag belsejében. A B teet tehát ilyen üegben méjük, a má ismet magnetométeel. A H mééséhez az M mágneses polaizációval páhuzamos hosszúkás üeget kell vájni, hasonlóan, mint E mééséhez az elektosztatikában. Ekko ugyanis a hosszúkás üeg palástján nem keletkezik polaizációs mágneses töltés, az üeg alap- és fedőlapján keletkező polaizációs töltések hatása pedig elhanyagolható. Így a H mágneses téeősség az üeg belsejében ugyanakkoa lesz, mint az anyag belsejében. Izotóp közegben H és M páhuzamos, és így a mágneses téeősség páhuzamos lesz a hosszúkás üeg tengelyével. Ebbe a hosszúkás üegbe kell azután méőeszközünket, a szolenoidot a mágnestűvel együtt elhelyezni. 9/1