Centrális mutatók STATISZTIKA I. 4. Előadás Centrális mutatók 1/51 2/51 Középértékek Helyzeti középértékek A meghatározása gyakoriság vagy sorszám alapján Számítás nélkül Az elemek nagyság szerint rendezett sorából Helyzeti középértékek Helyzetük révén jellemzik a statisztikai sort Rangsorszám Legnagyobb gyakoriság centruma Számított középértékek Számítás eredménye 3/51 4/51 Módusz, Mo Bimodális eloszlás, U 5/51 6/51 1
Bimodális eloszlás, M A módusz meghatározása osztályközös gyakorisági sorból Osztályközös gyakorisági sorok esetén meg kell keresnünk a legnagyobb gyakoriságú osztályt, ez lesz a modális köz. A modális köz arányos osztásával határozhatjuk meg a móduszt: 7/51 8/51 Medián, Me Medián meghatározása minimum maximum 50% 50% 9/51 N = megfigyelések száma 10/51 Számtani átlag Számtani átlag tulajdonságai Ha az átlaggal helyettesítjük az alapadatokat, az értékösszeg nem változik Az alapadatok számtani átlagtól vett eltéréseinek összege nulla A számtani átlagtól vett eltérések négyzetösszege a legkisebb 11/51 12/51 2
Egyszerű számtani átlag Részátlagok Időszak Mennyiség mm Január 11 Február 36 Március 27 Április 24 Május 59 Június 45 Július 88 Augusztus 68 Szeptember 73 Október 39 November 38 December 25 Összesen 533 Átlag 44,42 A lehullott csapadék mennyisége Debrecenben (2002) (11+36+27+24+5 9+45+88+68+73 +39+38+25)/12= 44,42 13/51 14/51 Súlyozott számtani átlag Súlyozott számtani átlag Az átlagolandó értékek gyakorisága különböző. Terület ha Termésátlag t/ha Termés (t) f i x i f i x i A1 tábla 25 3,6 90 A2 tábla 32 4,4 140,8 A3 tábla 14 5,1 71,4 B1 tábla 19 4,3 81,7 C tábla 33 3,7 122,1 Összesen 123 506 15/51 16/51 Súlyozott számtani részátlagok Az árbevétellel bővített adatbázis Számítsuk ki az áruházlánc eladott élelmiszereinek átlagárait évenként Buktatók!!! 17/51 18/51 3
Kimutatásrészlet Súlyozott számtani átlag 19/51 20/51 Kronologikus átlag Kronologikus átlag képlete Állapot idősor adataiból számított speciális számtani átlag Az adatok időben egyenlő távolságra helyezkednek el Feltételezzük, hogy egy időszak záró adata a következő időszak nyitóadata. 21/51 22/51 Raktárkészlet Módusz, medián és számtani átlag elhelyezkedése Módusz Minimum Medián Sz. átlag Maximum Minimum Módusz Medián Sz. átlag Maximum Minimum Sz. átlag Medián Módusz Maximum 23/51 24/51 4
Harmonikus átlag Harmonikus átlag képlete Viszonyszámok átlagolása esetén akkor, ha a számlálót tekintjük súlynak. Csak azonos súlyú adatok átlagolhatók! 25/51 26/51 Példa harmonikus átlagokra Átlagsebesség azonos útszakaszok esetén Átlagsűrűség azonos tömegek esetén Átlagos területteljesítmény azonos területek esetén Fordított teljesítménymutatók átlaga azonos időtartam esetén Stb. Példa harmonikus közép számítására 1. Sebesség (km/h) 30 60 80 60 120 Úthossz (km) 20 20 20 20 20 Mennyi az átlagos sebesség? 27/51 28/51 Példa harmonikus közép számítására 2. Súlyozott harmonikus átlag A piros fűnyíró 8 óra alatt, a kék 18 óra alatt vágja le a golfpálya gyepét. Együtt dolgozva hány óra alatt végeznek, ha egyszerre kezdenek? 29/51 30/51 5
Súlyozott harmonikus átlag, ha a számláló a súly Viszonyszámok esetén fontos! Tábla jele Összes termés (t) (f i ) (t/ha) (x i ) Súlyozott harmonikus átlag K1 120 6 B8 160 4 C16 800 10 31/51 32/51 Súlyozott számtani vagy harmonikus átlag? Viszonyszámok esetén fontos! Tábla jele Tábla mérete (ha) Összes termés (t) (t/ha) K1 20 120 6 Intenzitási viszonyszám B8 40 160 4 C16 80 800 10 33/51 34/51 Súlyozott számtani átlag, ha a nevező a súly Súlyozott számtani átlag Tábla jele Tábla mérete (ha) (f i ) (t/ha) (x i ) K1 20 6 B8 40 4 C16 80 10 35/51 36/51 6
Súlyozott harmonikus átlag, ha a számláló a súly Viszonyszámok esetén fontos! Tábla jele Összes termés (t) (f i ) (t/ha) (x i ) Súlyozott harmonikus átlag K1 120 6 B8 160 4 C16 800 10 37/51 38/51 Mértani közép Mértani közép képlete Átlagos növekedési ráta 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 39/51 40/51 Mértani átlag a gyakorlatban Idősorok elemzésénél, átlagos fejlődési ütem vizsgálata. Egy folyamat átlagos változásának a mérése. A változás átlagát leggyakrabban dinamikus viszonyszámokból határozzuk meg. Számolhatjuk súlyozatlan (egyszerű) és és súlyozott formában. 41/51 Példa mértani közép számítására Az Aral-tó szennyezettsége az első hónapban duplájára, a második hónapban nyolcszorosára, a harmadik hónapban szintén nyolcszorosára és a negyedik hónapban ismét duplájára nő. Mennyi az átlagos havi szennyezettség növekedési üteme a vizsgált időszakban? 42/51 7
Dinamikus viszonyszámok mértani átlaga Súlyozott mértani átlag Láncviszonyszámból: Akkor számoljuk, ha az időközök nem egyenletesek, az adatok eltérő gyakoriságúak Bázis viszonyszámból: 43/51 44/51 Súlyozott mértani átlag képlete Példa súlyozott mértani átlagra Az alkalmazottak bére az év első két hónapjában havi 2%-os, majd az év többi hónapjában havi 6%-os növekedést mutat. Mennyi az átlagos havi növekedés üteme? 45/51 46/51 Négyzetes átlag Négyzetes átlag képlete Periodikus jelenségek átlagolása Távolságok átlagolása Változékonyság és összefüggés vizsgálatok 47/51 48/51 8
Négyzetes átlagok 1. Négyzetes átlagok 2. 49/51 50/51 Az átlagok nagyságrendje 51/51 9