TÉRBELI FELÜLETSZERKEZETEK A térbeli felületszerkezeteket gyakran erőjátékuk szerint csoportosítjuk és a héjszerkezeteken keresztül mutatjuk be a működésüket. Nyírásmentes héj (hártya) Hajlításmentes héj (membrán) Hajlított héj (héj) Egy pillanatra álljunk meg az elnevezésnél: a héj szót különböző értelemben használjuk különböző helyzetekben. Általában vékonyfalú térbeli szerkezetekre vonatkoztatjuk a héj kifejezést (tojáshéj analógia, az angol shell szó a kagyló héjára utal). Kicsit szűkebben értelmezve a vasbeton felületszerkezetekre. De beszélhetünk hajlított (thick shell) vagy hajlítás menetes (thin shell) szerkezetről is. A végeselem programokban általában az olyan felületelemeket nevezik héjaknak, amik a saját síkjukban (tárcsaként) és a saját síkjukra merőlegesen (lemezként) is képesek igénybevételeket felvenni, azaz a tér minden irányában van merevségük. Más térbeli felületszerkezeteket is a héjak között szoktunk említeni: a sátorszerkezeteket, a kötélhálókat és a térrácsokat is ide sorolhatjuk, habár ritkán használjuk rá a héj elnevezést. Megkülönböztetünk nyírásmentes, hajlításmentes és hajlított héjakat (hártyák, membránok, héjak más szóhasználat szerint). A jellemző igénybevételeik a mellékelt ábrán láthatóak. (A szokásos jelölésmód szerint a szerkezetből kiemelt felületdarab látható itt a rajta működő fajlagos erőkkel (metszeterőkkel) [N/mm]. A felületelem hosszoldala egységnyi, mérete a szerkezet méretéhez képest elhanyagolható. A nyírásmentes szerkezetek nagyon speciális alak, megtámasztás és teher esetén jöhetnének csak létre, ezekről részletesen nem lesz szó. Ha azt mondjuk, hogy a felületben nem ébred a felülettel párhuzamos nyírófeszültség, az egyben azt is jelenti, hogy a normálfeszültségek azonos előjelűek és azonos nagyságúak a metszet felületeken. Ha különböznének, akkor a koordinátarendszer elforgatásával megjelennének 1
nyírófeszültségek is (lásd szilárdságtan, főfeszültségek számítása). A nyírásmentes szerkezetek alakját úgy szokás meghatározni, hogy adott terheléshez előírjuk a hártya-szerű (azaz minden irányban azonos nagyságú és előjelű) feszültségeloszlást. Gyakorlatilag csak elméleti szinten hozhatunk létre ilyen szerkezeteket, hiszen a terhek vagy a geometria kis változtatása is megváltoztatja a belső erőket, és megjelennek nyírófeszültségek. A feszültségek optimalizálása érdekében szokás ilyen módon meghatározni szerkezetek alakját. Később a szabadon formált felületeknél valamint a ponyva és kötélszerkezeteknél lesz még szó erről. A München-i olimpiai uszoda kábel szerkezetű tetője A hajlításmentes felületekkel (és ezen belül a nyírásmentes felületekkel is) a héjak membrán-elmélete foglalkozik. A héjak membránelmélete azt mondja, hogy a szerkezetben csak a szerkezet felületével párhuzamos igénybevételek ébredhetnek (membránerők működnek). Megkülönböztethetünk statikailag határozott szerkezeteket, amikor pusztán a geometria és a terhek alapján meghatározhatók a membránerők, és megkülönböztethetünk statikailag határozatlan szerkezeteket, amikor a terhek hatására bekövetkezett alakváltozásokból számíthatjuk vissza az igénybevételeket. Természetesen az előbbi az egyszerűbb eset. A hagyományos héjfelületek statikailag határozott szerkezetek. A geometriában és a mechanikában jártas mérnökök viszonylag könnyen kiszámolhatják az ilyen felületekben ébredő erőket (erre mutatunk is néhány példát). A statikailag határozatlan héjak számítása már nehézkesebb, ma jellemzően végeselem módszer segítségével számítjuk őket. A hajlított héjakkal a hajak hajlítás elmélete foglalkozik. Itt membránerők mellett megengedett a felületre merőleges nyírás és a hajlítás is. Akkor van szükség a hajlításelmélet alkalmazására, amikor a nem hanyagolhatjuk el a felületszerkezet hajlítási merevségét. Ugyanis minden szerkezet rendelkezik hajlítási merevséggel, de ezt vékony 2
szerkezeteknél elhanyagolhatjuk. A vékony szerkezetek görbületei is megváltoznak a terhek hatására, de az ebből származó nyomatékok szerepe a teherviselésben elhanyagolható a membránerők által viselt terhekhez képest. Ha az ébredő nyomatékok számottevő terhet egyensúlyoznak (nehéz erre pontos arányt mondani, kb. 5-10%-os teherviselés felett), akkor indokolt figyelembe venni a hajlítást is. A hajlítás elmélet csak a szerkezet alakváltozásainak figyelembevételével tudja meghatározni a szerkezetben ébredő igénybevételeket. Csak nagyon speciális esetekre lehet "kézi" eljárásokat kidolgozni. Általában numerikus módszerekkel (pl. végeselem módszerrel) számíthatóak az ilyen szerkezetek. Azt gondolhatnánk, hogy a biztonság javára tévedünk, ha elhanyagoljuk a hajlítási merevséget, hiszen így membránerőkkel egyensúlyozzuk a számításainkban azokat a terheket is, amiket a nyomatékok vesznek fel. Azonban óvatosnak kell lennünk ezzel, mert fenn áll a veszély, hogy a görbületváltozások hatására a nagy inerciával rendelkező keresztmetszetekben akkora nyomatékok ébrednek, amik nagyobb repedésekhez vagy akár tönkremenetelhez is vezethetnek. Különösen a kapcsolatok, peremek környezetében lehetséges ez. Tehát a membránelmélet alkalmazása esetén indokolt a lehető legvékonyabb felület megtervezése. A membránelmélet és a hajlított héjelmélet összevetésére jó analógia a rácsostartók számítása. A statikában is tanult módszer szerint a rácsostartókat úgy modellezzük, hogy a rudak metszéspontjaiba csuklókat helyezünk el, illetve csak ezekre a pontokra engedünk meg terheket. Így a szerkezet rúdjaiban csak normálerő ébredhet (hajlításmentes szerkezet). A valóságban a rácsostartók rúdjai a lehetőség szerint nem szakíjuk meg a csomópontokban. A tartó alsó és felső övét szinte mindig folytonosan végigfutatjuk. A rudak csomópontjai pedig nem "igazi" csuklók (mondjuk egy darab, az elfordulást ellenállás nélkül biztosító csap), hanem olyan 3
hegesztett kapcsolatok, vagy több csavarral készített kapcsolatok, amik rendelkeznek nyomatéki merevséggel. Ha végeselem módszer segítségével a szerkezetet a valósághoz legközelebbi módon modellezzük, akkor azt kapjuk, hogy a nyomatékok nagyon kicsik a normálerőhöz képest. Ez azért van, mert a jól kialakított rácsostartók alakváltozásai elsősorban hosszváltozást eredményez a rudakban, és a kisebb elfordulásokból származó nyomatékok elhanyagolhatóak a normálerőkhöz képest. Az acélhíd építés hőskorában készítettek valódi csuklókkal öntöttvas rácsostartókat, de ezek alakváltozásai túl nagyok voltak és a vonatok dinamikus terheivel szemben rosszul viselkedtek. Tehát az egyébként elhanyagolható hajlítási merevség kedvezően hat a szerkezet viselkedésére. A továbbiakban a héjak membránelméletének egyes kérdéseivel foglalkozunk. TÉRBELI SZERKEZETEK EGYENSÚLYÁNAK VIZSGÁLATA Térbeli egyensúly A korábbiakban megvizsgáltuk, hogyha egy síkbeli szerkezetben csak normálerőket engedünk meg, akkor úgy alakíthatunk ki áthidalást, hogy a szerkezet meredeksége (iránytangense) folyamatosan változik. Ez azt jelenti, hogy a szerkezetnek görbülete van. Ha olyan térbeli szerkezetet akarunk létrehozni, amely membránerők segítségével egyensúlyozza a rájutó terheket, akkor is görbült szerkezetre van szükségünk. Ekkor a térbeli kiterjedés miatt kétirányú görbületünk is lehet. A Bevezetés a tartószerkezetek tervezésébe c. tárgyban már szerepelt a kazánképlet (főgörbületi egyenlet) egyirányú és kétirányú görbületű felületekre alkalmazva. Hengeres és gömb felület számításra használtuk ott, illetve a levezetésekben is kihasználtuk azt, hogy a szerkezet 4
geometriája henger, vagy gömb. A fenti ábrán szereplő levezetésből látható, hogy egy általános felületből kiemelt felületdarabhoz simuló főgörbületi sugarakra ugyancsak igaz a korábban megismert összefüggés. Először vizsgáljunk meg egy ívdarabot, aminek a hossza dl, a görbületéhez (k) tartozó sugár R, és q ívre merőleges teher hat a felületre. Az ívet φ [rad] szöggel látjuk a körív középpontjából. Az ívhosszat kifejezhetjük a sugár és a szög segítségével: dl= R*φ, az ívre ható erő eredője így Q= R*φ*q, mely erőnek a hatásvonala a φ szög szögfelezőjébe hat. Ha az ív két végén N nagyságú erő hat, akkor a két N nagyságú erőnek a Q-val párhuzamos komponense 2*N*sin(φ/2). Ez az erő kell, hogy egyensúlyt tartson Q-val. Ha dl szakasz nagyon kicsi, akkor a φ szög is nagyon kicsi. Ez esetben sin(φ/2) φ. Kihasználva az egyszerűsítési lehetőségeket q=n/r. Ha kétszeresen görbült felületet vizsgálunk, akkor mindkét görbülethez tartozhat membránerő, és mindkét erő részt vesz a teher egyensúlyozásában. Ekkor q=n φ /R φ +N υ /R υ. (Ez akkor igaz, ha N φυ =0, azaz a főgörbületek irányába eső feszültségek a főfeszültségek). A görbületek arányosak a felületet leíró függvény második deriváltjával, és a fentebb látható összefüggéssel lehet őket kifejezni (k=1/r...). Egyenletesen megoszló teherrel terhelt gömbsüveg héj Vegyünk egy gömbsüveg héjat, amit a síkra vonatkoztatott egyenletesen megoszló teher terhel. Különböztessük meg a meridián irányt és a gyűrű irányt: a meridián irány (φ) az esésvonal irányába eső görbület legyen, a gyűrű irány (υ) pedig a vízszintes érintőjű főgörbület (ez utóbbi nem egyezik meg a vízszintes sík által kimetszett ívvel, hiszen az csak abban a speciális esetben főgörbület, amikor a vízszintes sík az "egyenlítőt" metszi ki.). Gömbfelületről lévén szó a két főgörbületi sugár megegyeznek a gömb sugarával: R φ =R υ =R. Egyszerű geometriai és 5
egyensúlyi megfontolásokkal kifejezhetjük a felületben működő belsőerőket. N φ : Ha elmetsszük a felületet egy vízszintes síkkal, a sík feletti teher Q=2*r 2 *Π*q, ahol r a kimetszett "szélességi kör" sugara. Ezt a hatást a kimetszett kerületen működő belső erők egyensúlyozzák. A forgásszimmetrikus felület és terhelés miatt az N φ függőleges komponense tart egyensúlyt ezzel: N φ *sinφ. A kimetszett él hossza K=2*r* Π. Végül r=r* sinφ. Az egyszerűsítések után N φ =q*r/2, azaz a meridián erő az egész felületen ugyanakkora. N υ : A kétirányú kazánképletbe behelyettesítve kaphatjuk meg a gyűrű irányú metszeterőt. Ehhez ismernünk kell előbb a felületre merőleges komponensét a terhelésnek. Egységnyi felületelem vízszintes síkra vett vetülete cosφ*da, a teher felületre merőleges komponense pedig q =q* cosφ. Végül a teher felületre vonatkoztatott, felületre merőleges komponense q =q* cos 2 φ. A fentiek szerint az egyszerűsítések után N υ =q*r/2(2*cos 2 φ-1). Látható, hogy φ=90 -nál, azaz a gömb legmagasabb pontján a meridián erő és a gyűrű irányú erő azonos. (Fentebb márt írtam, hogy a gyűrű irányú erő nem a szélességi kör síkjában működő belső erő, hanem a vízszintes érintőjű főgörbülethez tartozó erő. A gömb legmagasabb pontján a meridián irány és a gyűrű irány egymással azonos.) A φ=0 -nál N υ =-1*N φ, azaz a gyűrű irányú erő előjelet vált. A 2*cos 2 φ-1-ból visszaszámolva φ=60 -nál van az előjelváltás, azaz itt 0 a gyűrű irányú erő. A peremgyűrű és környezete A gömbsüveget megtámasztó gyűrűt a meridián irányú belső erők terhelik, mivel a körszimmetria miatt a gyűrű irányú erők önmagukba záródnak. N φ függőleges komponensét a gyűrűt alátámasztó szerkezetek veszik fel, a vízszintes komponenst pedig a megtámasztó gyűrű zárja 6
magába. A kazánképlet segítségével könnyen kiszámíthatjuk: N gy =N φ *r=(q*r/2*cosφ)*(r*cosφ). Ez az erő mindig kifelé mutat (feltéve, hogy a szerkezetünk félgömbnél kisebb), és így a megtámasztó gyűrűben mindig húzóerő fog ébredni, azaz nyúlik. Ha a felületben a gyűrű irányban nyomó erő működik (60 felett), akkor a megtámasztó gyűrű és a felület ellentétes irányban alakváltozik. Ezt peremzavarnak nevezzük. A héjfelület perem környéki megerősítésével lehet megelőzni a nagyobb repedések kialakulását és/vagy a felület törését. Általában nem jó, ha a felület hajlító merevségét megnöveljük, mert akkor a görbületváltozásokból adódó nyomatékok újabb zavarokat okoznának. Érdemes a vasalást erősíteni, ami csak a membránerőkkel szembeni ellenállását növeli a szerkezetnek, de a nyomatékok elől továbbra is könnyen kitérhet a felület. Torznégyszög felület vizsgálata A gömbsüveg felület mellett a torznégyszög a legjellemzőbb héjfelület. Vizsgáljuk meg, milyen megtámasztás mellett biztosítható a felületre ható egyenletesen megoszló teher egyensúlyozása! Ha az elmetszett felületekre merőleges N x és N y irányú normál metszeterőkkel szeretnénk egyensúlyozni a felületre ható terheket, akkor a következő problémával találjuk szemben magunkat: a normál metszeterők éleken működő függőleges irányú komponensei egymással ellentétes irányúak. A vízszintes egyensúly miatt az átellenes oldalon működő vízszintes erőnek azonos nagyságúaknak, és ellentétes irányúaknak kell lenniük, emiatt a függőleges komponensek is kiejtik egymást, hiszen az N x és N y irányú normál metszeterők hatásvonala egybe esik a felület egyenes alkotóival. Tehát a peremen működő normál metszeterők nem alkalmasak a teher egyensúlyozására. Ez nem azt jelenti, hogy értékük nulla, csak azt, hogy nem vesznek részt a függőleges 7
terhek egyensúlyozásában. Ha megvizsgáljuk a peremen működő nyíró metszeterőket (N xy ), azt láthatjuk, hogy a ferde éleken futó nyíró metszeterők függőleges komponensei képesek egyensúlyozni a függőleges terhelést. A vízszintes egyensúlyhoz a ferde oldalakkal átellenes vízszintes éleken ellentétes irányú nyíróerőknek kell működniük. Az egymással átellenes oldalakon működő nyíróerők erőpárt alkotnak, nyomatékot fejtenek ki, de a geometriából adódóan a két oldal-pár nyomatékai éppen kiejtik egymást, így az egyensúlyozás lehetséges. Vezessük be a kisbetűs jelölést a metszeterők vízszintes síkra vett vetületére (n xy =N xy *tgα=n xy *a/f). Ekkor függőleges egyensúlyból kifejezhető: a*n xy* f/a+b*n xy f/b=a*b*q és n xy =1/2*q*a*b/f. A főgörbületi egyenlet alkalmazása nehézkes lett volna, mert a felület geometriája miatt a főgörbülethez tartozó sugarak nem állnak rendelkezésünkre automatikusan. Az egyszerű geometria és terhelés miatt végül könnyen kiszámíthattuk a peremeken működő metszeterőket, amik a geometria miatt megegyeznek a felület bármely belső pontján működő metszeterőkkel. A Pucher-féle differenciálegyenlet Ha ismerjük a felület adott pontjához tartozó főgörbületeket, akkor a legegyszerűbb a kazánképletet alkalmaznunk. Ekkor a felülethez tartozó természetes koordinátarendszerben írjuk fel az egyensúlyt. Gyakran a térben általánosan elhelyezkedő merőleges tengelyű (Descartes-fél koordinátarendszer) koordinátarendszerben ismerjük a felületünket, ahol a vízszintes síkban lévő két változó segítségével fejezi ki egy függvény a harmadik koordináta értékét. Ekkor érdemes globális 8
koordinátarendszerben vizsgálnunk a szerkezetünket. A Pucher-féle differenciálegyenlet a z (xy) felületet leíró függvény és a felületben működő F (xy) feszültségfüggvény segítségével vizsgálja az egyensúlyt a fent látható módon. A differenciálegyenletben a teher a vízszintes felületre vonatkoztatott értékkel kell szerepeljen. Mivel az egyensúly a tér mindhárom irányában meg kell vizsgálnunk, ezért a differenciálegyenlet vektorokat ([F x, F y, F z ]) és operátorokat (a vektorokat transzformáló mátrixok) tartalmaz. Legegyszerűbben ezt úgy érthetjük meg, hogy a differenciálegyenletet fel kell írnunk a tér három irányára. Mivel a terheink a leggyakrabban a gravitációból származnak, az x és y irányhoz tartozó egyenletek elhagyhatóak. A felületben működő feszültség (F) második deriváltjai a metszeterők vízszintes síkkal párhuzamos megfelelő komponenseit (n x, n y, n xy ) adják. A megfelelő vízszintes komponenseket a felületfüggvény második deriváltjaival szorozva a vízszintes vetületeket visszatranszformálhatjuk a térbe, és vizsgálhatjuk az egyes térbeli irányokhoz tartozó egyensúlyt. A metszeterők vízszintes síkra kapott vetületeiből vissza kell számolni a felületre a feszültségfüggvény valódi komponenseit. Ha a felületet leíró függvény megfelelő irányú (x, y) első deriváltjaival (az adott irányhoz tartozó meredekségek) számítjuk ezt vissza, akkor a felületből a globális koordinátarendszer xz és yz síkjával kimetszett érintőkön futó metszeterőket kapjuk. Ezek a felületben működő feszültségek már nem lesznek merőlegesek egymásra, szükség szerint transzformálni kell őket. Szögfüggvények segítségével vagy tenzor-algebrai módszerrel ez egyszerűen megoldható. Ha a felület viszonylag lapos (a torznégyszögek általában ilyenek), akkor elhagyhatjuk a transzformációt: a vízszintes vetületre számított feszültségek jó közelítéssel megegyeznek a felületben működő feszültségekkel. 9
Az ábrán látható, hogy egy U normálisú egységnyi vonalelemen működő N U normálfeszültséget és N UV nyírófeszültséget hogyan számíthatjuk át egy x-y tengelyű merőleges koordinátarendszerbe. Szögfüggvények segítségével ki kell fejezni az x és y irányú komponenseket, és mivel változik a vonatkoztatási hossz is, a kapott feszültségeket le kell osztani az új oldalhosszakkal. A torznégyszög vizsgálata a Pucher-féle differenciálegyenlettel A Pucher-féle differenciálegyenletbe helyettesítsük be a felületet leíró függvényt (z (xy) =f*(x*y)/(a*b)), a feszültségfüggvény második deriváltjai helyére írjuk be a metszeterők megfelelő vízszintes vetületeit, és a teher értékét vegyük konstansra. Láthatjuk, hogy a felület függvény x és y szerinti második deriváltjai nullák lesznek, azaz a normál metszeterők kiesnek az egyensúlyozásból. Maradnak a nyíróerők. Az egyenletet rendezve megkapjuk a korábban, egyszerű geometriai megfontolásokkal kifejezett alakot, azaz n xy =1/2*q*a*b/f. A torznégyszög esetén az első megoldást talán egyszerűbb megérteni. Azonban más szerkezeteknél, ahol a felület geometriája bonyolultabb, de könnyen leírható a síkbeli koordináták függvényében, praktikus a Pucherféle differenciálegyenlet alkalmazása. Később mutatunk erre példákat. 10
A FELÜLETSZERKEZETEK TEHERVISELÉSÉNEK KÉRDÉSE főgörbület főgörbület Elliptikus felület főgörbületei Nervi: Norfolk Eden project Mi határozza meg a felületszerkezet viselkedését? Ahhoz, hogy létrejöhessen a tervezett kedvező membrán erőjáték a következő tényezőket kell megfelelően alakítanunk: Alak Támaszok Teher Keresztmetszet A felületek alakja A héjak alakját elsősorban görbületük szerint szoktuk csoportosítani. Megkülönböztetünk elliptikus, parabolikus és hiperbolikus felületeket. Gauss-görbületük szerint ezek pozitív, nulla vagy negatív szorzatgörbülettel rendelkeznek. A Gauss-féle szorzatgörbület az adott ponthoz tartozó főgörbületek szorzata szerint osztályozza a felületeket. Az elliptikus szerkezetekben vagy csak nyomó, vagy csak húzó főfeszültségek ébrednek, legalább is a felület legnagyobb részén. Néhány felülettípusnál a peremek közelében lehet feszültségváltás, vagy a forgásfelületek gyűrű irányú metszeterői is gyakran előjelet váltanak. Az elliptikus szerkezetek jellemző építőanyaga a vasbeton (az esetleges húzófeszültségeket a vasalás egyensúlyozza), a beton (léteznek vasalás mentes héjak, pl. Pelikán fejlesztett ilyen kvázi-hártyákat), tégla (kerülendőek a húzófeszültségek, de megfelelően kötésbe rakott boltozattal még ez is lehetséges), ponyva (légtartós sátrakat lehet így kialakítani, ahol a légnyomás része a tartószerkezetnek), de térrácsokat is lehet így építeni. A parabolikus szerkezetek erőjátéka lehet síkbeli és térbeli is. Síkbeli erőjáték esetén olyan ívtartóról beszélünk, aminek a síkra merőleges 11
méretei is jelentősek. Húzott és nyomott szerkezetet is lehet így építeni (dongaboltozatok, kötéltartók). A térbeli erőjáték speciális megtámasztási viszonyok között jöhet létre. Ha például egy dongaboltozatot a két lezáró ív mentén támasztjuk meg egy-egy tárcsával, és a felületet lezáró alsó alkotók mentén biztosítani tudjuk a nyíróerő felvételét, akkor nincs szükség ugyanezen alkotók mentén a felülettel párhuzamos, az élre merőleges megtámasztásra. Ekkor a nyírófeszültségek dominálnak a szerkezetben, ami azt is jelenti, hogy a főfeszültségek ellentétes előjelűek (húzó és nyomó feszültségeket is fel kell vennünk). Parabolikus szerkezeteket építhetünk vasbetonból, betonból, téglából, légtartós ponyvából és kötélből is esetleg, és vannak parabolikus térrácsok is. Alvaro Siza: Portugál pavilon az 1998-as liszaboni EXPO-ra főgörbület főgörbület Hiperbolikus felület főgörbületei A hiperbolikus felületekben általában a nyíróerők dominálnak, ami azt is jelenti, hogy a főfeszültségek ellentétes előjelűek. A legjellegzetesebb példa erre a korábban bemutatott torznégyszög, ahol is az egyenes alkotókkal párhuzamos feszültségek nyírófeszültségek, ezért ha a koordináta rendszerünket elforgatjuk 45 fokkal, akkor húzó és nyomó főfeszültségeket kapunk. Ha nyomószilárdsággal nem rendelkező szerkezetet építünk, mint a kötélszerkezetek vagy a ponyvaszerkezetek, akkor kihasználhatjuk azt, hogy az ellentétes irányú görbületek miatt a felületet meg tudjuk feszíteni, azaz a megfeszített felület belső pontjai egyensúlyban vannak külső hatás nélkül is (elliptikus szerkezetnél szükségünk volt a légnyomásra, parabolikus felület esetén pedig csak az egyenes alkotó mentén tudunk feszíteni). A legjellegzetesebb hiperbolikus felületünk a nyeregfelület (parabolikus hiperboloid) és a forgáshiperboloid, melyeknél egyenes alkotói is vannak a felületnek. Vannak olyan felületek, amiknek a különböző pontjai különböző szorzatgörbületűek. Ilyen például a tórusz, aminek van elliptikus, parabolikus és hiperbolikus része is. De a több héj áthatásából kialakított felületek vagy a szabadonformált felületek is gyakran állnak különböző szorzatgörbületű részekből. 12
A felületek közül kiemelhetjük még a vonalfelületeket. Ezek jellegzetessége, hogy vannak egyenes alkotóik. A vonalfelületek vagy parabolikusak, vagy hiperbolikusak. A vonalfelületek egy része kiteríthető, másik része nem kiteríthető. A kiteríthető felületek egyenes alkotói mentén az alkotóra merőleges görbület nem változik. Ilyenek a kúpok és a hengerek. A nem kiteríthető felületeken az egyenes alkotók mentén változik a görbület. Ilynek a parabolikus hiperboloidok, a forgáshiperboloidok vagy a konoidok. A konoidok érdekessége az, hogy van egy alkotójuk, ami mentén a görbület nem változik. Ez az alkotójuk a szimmetriasíkba esik. Nervi: orvietoi repülőgép hangár A kiteríthetőség mechanikai szempontból azt jelenti, hogy a térbeli görbült felületből lehetséges-e sík felületet készíteni anélkül, hogy az nyúlásokat vagy szögtorzulásokat szenvedne. Más szóval erő ébredne bennük a kiterítés hatására. Szokás a felületek külső és belső jellemzőiről is beszélni. A külső jellemzők a szerkezet térbeli geometriáját jelentik, a belső jellemzők a felületen megfogalmazott geometriát, azaz a felületen mért távolságot, szöget és felületet. Ha egy felület kiteríthető, akkor a külső jellemzőket meg tudjuk változtatni anélkül, hogy a belső jellemzői megváltoznának. A kiterítés tehát nyúlásmentes alakváltozás. Yoshimura-alakzat hajtogatva illetve henger horpadásként létrehozva Különleges példa a nyúlásmentes alakváltozásokra a Yoshimuraalakzat: a hengerből sík lapokból álló felületet hozhatunk létre megfelelő hajtogatással (természetesen a felület hajlítási merevségét elhanyagoljuk). Az így kialakított felület a henger íve mentén és azzal szöget bezárva is meg van törve. Ez a törés a hengeres "középfelületre" nézve megnöveli a keresztmetszet inerciáját, és így a merevségét is. Ugyanakkora hengert így vékonyabb lemezből lehet kialakítani, ráadásul síklapokból, ami könnyebbséget jelent az építés során. Mindezek az előnyök jellemzően 13
nyomó igénybevételekkel rendelkező felületre érvényesek, túlnyomással terhelt tartály esetén ugyanez lehet hátrány is. A nyúlásmentes alakváltozások lehetőségének vizsgálata segíthet szerkezetek stabilitási tönkremenetelének megértésében, számításában. Candela: Xochimilco étterem szerkesztése Tórusz felület Különböző torznégyszög kombinációk Különböző torznégyszög kombinációk 14
Majoros Gábor: Hurghadai reptér Isler (a) (b) (c) (d) Íves tartó (a) és ívtartók alakváltozásai csuklós (b), befogott és görgős (d) támaszok esetén A héjak pereme Hogy miért fontos a peremek kialakítása, azt legjobban egy íves tartó példáján érthetjük meg. Ha íves tengellyel alakítunk ki egy kéttámaszú tartót, és statikailag határozott megtámasztást biztosítunk (íves tartó), akkor a tartóban ébredő igénybevételek csaknem azonosak lesznek az egyenes tengelyű gerendatartóéval: a nyomatékok és a nyíróerők lesznek a dominánsak, normálerő csak a teher iránya és a tartó tengelye közötti szögeltérésből származik. Ha megakadályozzuk a vízszintes elmozdulást a tartó mindkét oldalán, akkor teljesen megváltozik az erőjáték. Az ilyen tartókat ívtartóknak nevezzük. A támaszokban ébredő vízszintes komponensek ellentétes irányban forgatnak a gerendatartóban keletkező nyomatékkal, és így azt jelentős mértékben csökkenthetik. Kedvező esetben, nyomásvonal alakú tartó esetén csak normálerő ébred a szerkezetben (legalábbis a főteher hatására). 15
Ha a tartónk nem nyomásvonal alakú, és ébrednek benne nyomatékok is, akkor a támaszoknál kialakított befogás tovább csökkentheti a tartóban ébredő nyomatékok nagyságát, de csak azért, mert növeltük a határozatlanság fokát. Ha nyomásvonal alakú tartónál készítünk ilyen megtámasztást, akkor az akár lehet kedvezőtlen is. Az összenyomódó ívtartó érintőjének iránya kis mértékben változik, amit a befogás nem enged szabadon végbemenni, és ebből befogási nyomaték ébred. Azért elvi csak a lehetőség, mert a valóságban csak nagyon nagy tartóknál lehetne szignifikáns a hatás, illetve ezt a nyomatékot nehéz megkülönböztetni a szerkezet és teherfelvitel tökéletlenségéből származó nyomatékoktól. Az ívtartókhoz hasonlóan a héjak peremeinek a kialakítása is kényes kérdés. A következő lehetőségek adódnak: Szabad perem Részleges megtámasztás (félmerev perem) Kötélgörbe perem Teljes (membrán) megtámasztás Merev megtámasztás Hiperbolikus felület szabad peremmel Szabad peremet csak speciális esetben alakíthatunk ki. A szabad perem azt jelenti, hogy a felületben lévő metszeterők nem futnak ki a peremig, azaz a peremmel párhuzamosan és a peremre merőlegesen működő feszültségek leépülnek a héj széléig. Ilyen peremet készíthetünk például parabolikus felületek élein az egyenes alkotókra merőleges végződés esetén. De ez nem "valódi" szabad perem, mert ebben az esetben a héj síkbeli erőjátékkal működik, nem felületszerkezet (ívtartóként hordja a terheit). Valódi szabad peremet elliptikus és hiperbolikus felületeknél alakíthatunk ki akkor, ha a felület további megtámasztásai legalább statikailag határozott megtámasztást biztosítanak a szerkezetnek, és a szabad perem alaprajzi vetülete körív vagy ellipszis. Tipikus megoldás ez szegmensekből kialakított felületek esetén, ahol a szegmensek 16
csatlakozása közötti részt könnyeden, peremtartó nélkül alakítják ki. Hiperbolikus felület félmerev peremmel Pierre Luigi Nervi: Sportpalota, Róma A félmerev perem kialakítására tipikus példa a torznégyszög héj, ahol is csupán nyíróerők segítségével lehetséges a terhek egyensúlyozása. A félmerev megtámasztás szinte mindig nyíróerővel történő megtámasztást jelent, mert ha elég is volna a normálerővel történő megtámasztás, akkor is nehéz volna azt úgy létrehozni, hogy ne legyen számottevő nyírással szembeni merevsége, illetve a szerkezetek tökéletlensége miatt szükség is van mindig ilyen megtámasztásra is. Ezzel szemben csak nyírási merevséggel rendelkező megtámasztást könnyű csinálni: olyan peremgerendát kell kialakítani aminek a normálerővel szembeni merevsége nagy, a hajlítási merevsége pedig kicsi. Tekintettel a héjak nagyobb méreteire ezt könnyű elérni. Általában ezeket a peremtartókat nem csak a letámasztáshoz szükséges végén (vagy végein) szokás letámasztani. Gyakran vannak gyengébb közbülső támaszok is, amik a homlokzat kialakítása mellett biztosítják az aszimmetrikus hatások egyensúlyozását is. A merev megtámasztás általában kedvezőtlen héjszerkezetek esetén. A merev megtámasztás azt jelenti, hogy a felületre merőlegesen is akadályozzuk a szerkezet alakváltozásait, esetleg a felület elfordulását sem engedjük meg. A héjszerkezetek membrán viselkedésének fontos eleme, hogy a szerkezet kisebb-nagyobb alakváltozásokkal veszi fel a terheit, "utána megy" a terheinek. Ha megakadályozzuk ezeket a mozgásokat, akkor óhatatlanul nyomatékok ébrednek a szerkezetben. Ezt peremzavarnak nevezzük. Tipikus példa erre a gömbsüveg héjak pereme, ahol a peremtartóban mindig húzás ébred, a gyűrű irányú feszültségek azonban a tartó felső részén negatívak, az alsó részen pozitívak. Ahol a húzott peremgyűrű nyomott gyűrű irányú felülettel találkozik, a két szerkezet alakváltozása ellentétes irányú lesz. Előfordult, hogy a merev megtámasztás a szerkezet tönkremeneteléhez vezetett! 17
A kötélgörbe perem azt jelenti, hogy a héj pereme alaprajzában megegyezik a felületben ébredő igénybevételek vízszintes síkra vett vetületéhez tartozó kötélgörbéhez (nyomásvonalhoz), és egy jellemzően húzó vagy nyomó erő felvételére alkalmas peremtartó egyensúlyozza a peremre kifutó belső erőket. Az ilyen peremet függőlegesen meg kell támasztani, de vízszintes megtámasztásra nincs szükség. Kötélgörbe önsúly hatására (láncgörbe) Teljes megtámasztásról, vagy membrán megtámasztásról akkor beszélünk, amikor nyíróerővel és normálerővel is megtámasztjuk a szerkezetet. A nyíróerővel történő megtámasztásra általában csak az aszimmetrikus hatások miatt van szükség. Terhek A héjszerkezetek egy része csak speciális terhelés esetén képes membránerőkkel egyensúlyozni a terhét. Ilyenek a síkbeli erőjátékkal működő parabolikus felületek. Ezek alakját a főteherhez határozzuk meg. Ha a főtehertől eltérő terhet kap a szerkezet, akkor a szerkezet vagy nagy alakváltozásokkal az új terhelésnek megfelelő alakot vesz fel, vagy nyomatékok ébrednek benne, vagy tönkremegy a szerkezet. A valódi térbeli erőjátékkal működő héjszerkezetek szinte bármilyen terhet képesek membránerővel egyensúlyozni. A koncentrált erőket kerülni kell, mert azok feszültségcsúcsokat (szingularitást) eredményeznek. Az a jó, ha a lokális hatások elhanyagolhatóak a többi teherhez képest. Isler: jéghéj Habár a lehetséges teherkombinációk esetén a felület legnagyobb része membránállapotban van, a felületben ébredő igénybevételek optimalizálása miatt a felület alakját szokás a főteherhez optimalizálni. 18
Az alapvető geometriai összefüggésekkel leírható felületeknél csak a görbületek nagyságával, a szerkezet nyílmagasságával tudjuk csökkenteni az igénybevételeket. A szabadon formált felületeknél a főteherhez jól illeszkedő alakot választhatunk. A főteher általában az önsúly, a cél pedig az, hogy lehetőleg azonos nagyságú normálerő ébredjen a felületben ennek hatására. Isler: háló-héjak A keresztmetszet Kedvezőtlen lehet, ha túl vastagra készítjük a héjszerkezeteinket. Az elmozdulásokból származó görbületváltozás számottevő nyomatékok ébreszthet a felületben, ha a keresztmetszetnek nagy az inerciája. Ezek a nyomatékok pedig akár tönkremenetelhez is vezethetnek. Ha vastagítjuk a héjat, akkor az önsúlyból származó membránerők ezzel egyenesen arányosan nőnek. A membránerőkből származó feszültségek változatlanok maradnak, hiszen arányosan nagyobb felületen oszlanak meg a metszeterők. Az alakváltozások és így a görbületváltozások azonosak maradnak. Az inercia viszont nem arányosan, hanem köbösen aránylik a vastagság megváltoztatásához, a nyomatékból származó feszültségek pedig négyzetesen. Azaz ha kétszeresére vastagítunk egy héjat, akkor (az egyébként elhanyagolt) nyomatékokból származó feszültségek a négyszeresükre nőnek! A jellemző lemezvastagság 4-6cm között van. Ez a vastagság akár 80-100m fesztávolságú héj kialakítására is elegendő, ha a stabilitásvesztést (horpadást) jó konstrukcióval el tudjuk kerülni. 19
Nyomatékok a nyomatékmentes felületekben Az alcímben szereplő ellentmondás a membránfelületek nagy részén megjelenik: a terveink szerint nyomatékmentes szerkezetek egyes részein különböző okokból nyomatékok jelennek meg, amikkel mindenképpen foglalkoznunk kell. Több helyen szó volt és szó lesz erről, de most itt összefoglaljuk a legfontosabb okokat és okozatokat. Mint minden szerkezet, a membránhéjak is alakváltozások útján veszik fel a terheiket. A membránerők a felület hossz változásából és a szögtorzulásokból származnak. Azonban a felület görbülete is megváltozik, a görbületváltozás pedig nyomatékot ébreszt a keresztmetszetben. Ez a nyomaték arányos az inerciával és a rugalmassági modulussal. Ha a héj vékony, az így ébredő nyomaték hatása (a belőle származó feszültségek) elhanyagolható lesz a membránerőkhöz képest. A membránfelület alakváltozásai esetenként ellentétes értelműek a megtámasztó peremek alakváltozásaival, ezt peremzavarnak nevezzük. Tipikus eset a korábban említett gömbsüveg héj, ahol a gyűrű irányú metszetekben ébredő erő nyomás is lehet, ami ellentétes alakváltozásokat eredményez a megtámasztó gyűrűben ébredő húzáshoz képest. Ez a hatás a peremhez közel lecseng, de ott nagyobb repedéseket is okozhat. Indokolt a szerkezet megerősítése elsősorban a vasalással. Peremzavarhoz hasonló jelenség a nem megfelelő membránmegtámasztás. Gyakran előfordul, hogy a szükséges, felülettel párhuzamos membránmegtámasztás helyett a megtámasztásnak a felületre merőleges merevsége is van. Ez meggátolja a membrán erőjátékhoz szükséges alakváltozások kialakulását, ebből pedig nyomatékok származnak. Ilyen például a síkbeli erőjátékkal terhelt dongahéjak hosszanti megtámasztó éle. 20
Előfordul, hogy a héj megtámasztása megfelelő, elég vékony is a szerkezet, viszont a görbületváltozások olyan nagyok, hogy mégsem hanyagolhatjuk el a nyomatékok kialakulását. Ilyen például az alul befogott, konzolos forgáshéjak esete, ahol is bizonyos szélterhek hatására a felső szabad perem oly mértékben deformálódik, hogy mindenképpen számottevő nyomatékok ébrednek a felületben a felső él környezetében. Peremgyűrű kialakításával meg lehet előzni a nyomatékok kialakulását, de ez megváltoztatja a szerkezet erőjátékát. Forgás-hiperboloid esetén pl. nem származik igénybevétel az egyenetlen támaszmozgásokból, ha a felső perem szabad. Ha peremgyűrű készül, akkor viszont igen. Ajánlott irodalom: Pelikán József: Szerkezettervezés. Műszaki Könyvkiadó, Budapest 1970. Csonka Pál: Héjszerkezetek. Akadémiai Kiadó, 1981. Menyhárd István: Héjszerkezetek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1966. Kollár Lajos: Mérnöki építmények és szerkezetek tervezése. Akadémiai Kiadó, 2000. Hegedűs István: Héjszerkezetek. BME jegyzet, 1998. A feszültségcsúcsok (szingularitás) kialakulása is nyomatékok kialakulásához vezet. A felületen kialakulhatnak feszültségcsúcsok a koncentrált erők bevezetésénél, vagy a megtámasztások környezetében. Még megfelelő megtámasztás esetén is előfordul ez: pl. a transzlációs felületek nyíróerővel történő megtámasztásánál a nyíróerő folyamatosan növekszik a sarokpontok felé haladva, a sarokpontban pedig végtelenül nagy is lehet. Természetesen végtelenül nagy erő nem lehetséges, ilyenkor nyomatékok kialakulásával rendeződik át az erőjáték. Ez kisebbnagyobb repedések kialakulásával járhat, illetve megfelelő szerkezetvastagsággal és vasalással lehet ezeket egyensúlyozni. Képek: Horváth Imola Emese rajzai Tanszéki archívum Kollár Lajos archívuma Hegyi Dezső archívuma 21