DIMENZIÓK 9 Mtemtk Közleméyek II. kötet, 4 A D Helmert trzformáó méretráy-téyezőjéek é forgtá mátrxák elée Závot Józef MA CSFK GGI zvot@ggk.hu Klmár Jáo MA CSFK GGI klmr@ggk.hu ÖSSZEFOGLALÓ. A tulmáy geometr egyk foto elmélet rolémáját tárgylj: két térel koordát redzer között kereük mtemtk özefüggét két redzere koordátákkl megdott közö otárok felhzáláávl. A térkéézete, geometrá két koordát-redzer között áttéré orá legáltláo hzált eljárá D, 7 rmétere Helmert trzformáó lklmzá. ABSAC. he reet work del wth mortt theoretl rolem of geometry: we re lookg for mthemtl deedey etwee two tl oordte ytem utlzg ommo r of ot whoe oordte re gve oth ytem. I rtogrhy d geometry the mot ofte ued roedure to move from oe oordte ytem to the other the D, 7 rmeter Helmert trformto.. Bevezeté A D, 7 rmétere Helmert dtum trzformáó zámítógée lger redzerekkel törtéő tárgyláá Awge é Grfred (,,, ) éveke megjelet tulmáy új ráyt dtk tém kuttáák, Awge et l. (4) tulmáy kterjeztette megoldá módokt. A hz zkrodlom Závot (5) tulmáy z elő lger megközelítée feldt megoldáák, mely egyúttl mtemtk modell jvítáár jvltot tett. A Závot é Jó (6) tulmáy jó lötletet dott emleár rolém leárr törtéő vzvezetéére, mt Závot () kk dolgozott k rézleteee. Az zolút tájékozá rolém kvterókkl törtéő megoldáát Hor (987) tulmáy z elők között tárgylt, megoldá eltér Závot () kke leírtktól. A Klmár é Závot () tulmáy jól özefogllt két megoldá külöözőégét.
Závot J. Klmár J.. A D, 7 rmétere holóág trzformáó mtemtk modellje együk fel, hogy dott két külööző koordátredzere mért közö ot koordátákkl. A D, 7-rmétere (Helmert) térel túlhtározott holóág trzformáó következő modellel dhtó meg: Eukldéz tére kereük z elődlege (él) (X, Y, Z)- é máodlgo (tárgy) (x, y, z) koordát-redzerek között lekéezét z lá formá: t,,,...,, () hol X, Y, Z élotok koordát értéke, - [ ] - t [, Y Z ] X, z meretle eltolá-vektor, - z meretle méretráy-téyező, - ( α, β, γ ) forgtá mátrx, - [ x, y, z ] tárgyotok koordát értéke. Az forgá mátrxot három tegely körül elforgtá zöge defálj. A D, 7 rmétere Helmert trzformáó lger megoldá érdekée Awge é Grfred () z forgtá mátrxot ferdé zmmetrku C mátrx (5) evezetéével következő módo írt fel: ( I C ) ( I C ), () hol I három dmezó egyégmátrx, é C mátrx z, é rméterekkel meghtározott: C. () H z () egyeletet (4) özefüggé ljá z ( I C ) kkor következő lk dódk: X Y Z X Y Z mátrxzl lról zorozzuk, x y,,,...,. (4) z A fet egyeletek kéezk D, 7 rmétere Helmert trzformáó közvetítő egyeletet, melyek elletmodát z lger megoldá orá mmlzál kell.. A méretráy-téyező elée Závot () tulmáyá úlyot koordáták evezetéével megdt z eltolá rméterek elmáláák módját. Igzolt, hogy túlhtározott egyeletredzer megoldá orá z, é rméterek kküzööléével eze rméterek keek é rméterre egy meretlee, máodfokú, túlhtározott egyeletredzer áll elő z lá formá: ( x y z ) X Y Z,,,...,, (5)
A D Helmert trzformáó méretráy-téyezőjéek é forgtá mátrxák elée hol X X X, Y Y Y, Z Z Z x x x, y y y z z z,,...,,,,,...,. (Megjegyezzük, hogy Awge é Grfred () tulmáyá méretráytéyezőre egy egyedfokú egyelet dódott.) A (5) egyeletredzer túlhtározott, megoldá tö féle módo megdhtó... I. Megoldá: A fet egyeletredzert lkítuk zorzttá következő módo: ( x y z X Y Z )( x y z X Y Z ),,,...,. (6) ektük (6) formulá zerelő zorztok elő téyezőt. Megolddó z lá egyeletredzer: x y z X Y Z,,...,. (7) Adjuk öze vlmey egyeletet! Ekkor túlhtározott egyeletredzer megoldá orá méretráy-téyező értékére z lá, Závot () kke megdott, tztltól mert özefüggé dódk: X Y Z. (8) x y z A zkrodlom Alertz é Krelg (975) ulkáój ljá mert, hogy méretráy-téyező zámolhtó otok úlyot redzerel távolágok özegeek háydokét. ehát (5) máodfokú egyeleteket előfokú egyeletekre vezettük vz... II. Megoldá ektük mételte (5) egyeletredzert é djuk öze vlmey egyeletet. Így z lá özefüggé dódk: ( x y z ) ( X Y Z ) (9) A fet egyelet zorzttá lkítá élkül egyzerűe megoldhtó. A méretráytéyező értékére zámukr fzk jeletéel író oztív gyök ljá z lá, Hor (987) tulmáyá kvterókkl levezetett özefüggé dódk, mely Závot () ljá Bur-Wolf modell megoldá : ( X Y Z ) ( ). x y z () ehát jele eete méretráy-téyezőt máodfokú egyeletekől egyértelműe meghtározhtjuk zkrodlomól mert (Awge é Grfred ()) egyedfokú olom gyökeek oyolult zétválztá eljáráávl zeme.
Závot J. Klmár J... III. Megoldá érjük át úlyot koordátákr: ( két koordát redzere é úlyotot jelöl):, (). Vzírv trzformáó () kéletée kjuk: Átredezé utá dódk: ( ) t.,,...,. () t.,,...,. () A () kélet közee elhgyhtó, mert z () özefüggé z é úlyotokr gz, így mrd:.,,...,. (4) Az meretle t eltolá-vektortól így átmeetleg megzdultuk, mrdk még é z változók. Az () formul ljá Bur-Wolf modelle t eltolá-vektort átlgolál ktuk: t (5) Áttérve méretráy-téyező vzgáltár, z egyzerű özeholíthtóág végett ktulzáljuk (8) kéletet Bur-Wolf modell jelöléevel:. (6) A méretráy-téyező eléére () é (6) özefüggéek ljá v egy léyege külöég: (6) kélete elő v gyökvoá, é utá özegzé, míg () formulá fordítv ezért megállíthtjuk, hogy () é (6) özefüggéek em ekvvleek, vgy méretráy-téyezőre két kélet émleg eltérő értéket zámolht. Vzot () é (6) kéletek egyrát ttztk eléek méretráy-téyezőre (eltéréük hegyeletek felírááól zármzk), mert fxotjuk megegyezk. Iduljuk k ugy ól, hogy z deál Helmert trzformáó orá mde távolág é kééek háydo fx () m gz úlyot koordátákr, ugy trzformáó orá úlyotot áthelyeztük, vgy úlyot koordátákól úlyottól vló távolágok levezethetők:,,,,...,, (7) é távolágok között özefüggét méretráy-téyezővel írhtjuk fel hmete eete:,,,...,. (8) Ezt követőe eláthtó, hogy (8) özefüggé ehelyetteítée (8) kélete, lletve (6) formulá zooághoz vezet, vgy két ttztk elé fxotj (z elmélet méretráy) megegyezk. Ameye (8) kélet ljá felírjuk közvetleül hegyeleteket: ν,,,...,, (9) kkor kegyelíté z lá (de ugyzo fxotú), koráktól eltérő ttztk eléhez vezet:
A D Helmert trzformáó méretráy-téyezőjéek é forgtá mátrxák elée ( ) ( ). () A fetek ljá megállíthtjuk, hogy (6) é () kéletek ljá gz következő özefüggé:. ().4. IV. Megoldá Htározzuk meg (4) formul mrdék vektort: ν,,...,,. () ektük következő otmlzálá feldtot: ν ν,, m m. () Mvel ortogoál mátrx ( I ), z egyelet következő lk felírhtó:, m. (4) A élfüggvéy zélőértékét zert rál dervált eltűée eeté vez fel, így kjuk, hogy. (5) Márézt (4) kélet mtt teljeül,,...,,. (6) Ezért (5) özefüggé felírhtó (7) lk, mől zkrodlom mert Hor-féle kélet dódk:. (8) ehát megdtuk égy levezetét D, 7 rmétere Helmert trzformáó méretráy-téyezőjéek megoldáár.
4 Závot J. Klmár J. 4. A Grfred-féle é Bur-Wolf-féle modell forgtá mátrxák kolt Az C ferdé zmmetrku mátrx z () kélete ljá, () özefüggéel defált forgtá mátrx következő lk írhtó fel:. (9) Márézről forgtá mátrx é kvteró között z lá özefüggé v (She é Che, 6): ( ) C I. () A () formulát rézletee következő formá írhtjuk fel:. () Felmerülhet z kérdé, hogy (9) é () kéletekkel dott forgtá mátrxok mlye eete egyezek meg? Legye,,. () Helyetteítük () özefüggéekkel dott, é rmétereket (9) formulá, z lá özefüggéekhez jutuk:. () A () kélete z forgtá mátrx vlmey eleméek evezőjéől kemelve értéket, mátrx klárzorzóják zámlálóját értékkel egyzerűítve, é felhzálv, hogy, ée () özefüggéel dott zooághoz jutuk, zz (9) özefüggéől () formulát ktuk meg. Legye mot,,. (4) Ekkor z ( ) (5)
A D Helmert trzformáó méretráy-téyezőjéek é forgtá mátrxák elée 5 egyeletől kjuk z lá egyelőéget: ±. (6) Helyetteítük mot (4) é (6) özefüggéeket () formulá, kkor z forgtá mátrxr z lá lk dódk:, (7) mely láthtólg megegyezk (9) özefüggéel. ehát özefogllv, Bur-Wolf,, é kvteró komoeek é ferdé zmmetrku C mátrx, é rmétere között z. tálázt özefogllt özefüggéek állk fe. ˆG > Š > > ˆ- ˆG ˆ> ˆGŠ ˆv ˆG ˆ- ˆG Š ˆ> ˆG ˆv ˆG. tálázt. Özefüggéek kvterók é z, é rméterek között 5. Özefoglló ulmáyuk D, 7-rmétere (Helmert) térel emleár holóág trzformáó tárgylá orá megdtuk egy oly áltláo modellt, melye külööző módo levezethető trzformáó méreteráy-téyezője é Bur-Wolf modellt eál eetkét trtlmzz. A módzer léyege méretráy-téyezőre levezetett túlhtározott egyeletredzer má-má elve törtéő megoldáá rejlk. A kdolgozott modell előye, hogy méretráy-téyező meghtározáávl z eredetleg emleár rolém leár feldt megoldáár vezethető vz. Megmutttuk zt, hogy Bur-Wolf modelle evezetett kvterók é z Awge- Grfred zerzők áltl evezetett ferdé zmmetrku mátrx eleme között fukoál kolt v.
6 Závot J. Klmár J. Irodlomjegyzék [] Alertz, J., Krelg, W., Photogrmmetr Gude, Herert Whm Verlg, Krlruhe, (975) 58-6. [] Awge, J. L., Grfred, E. W., Lerzed Let Sure d oler Gu-Jo omtorl lgorthm led to the 7 rmeter dtum trformto C7() rolem, Zethrft für Vermeugwee, 7 () 9-6. [] Awge, J. L., Grfred, E.W., Cloed form oluto of the overdetermed oler 7 rmeter dtum trformto, Allgemee Vermeughrhte, () -49. [4] Awge, J. L., Grfred, E. W., Exlt Soluto of the Overdetermed hree-dmeol eeto rolem, Jourl of Geodey, 76 () 65-66. [5] Awge, J. L., Grfred, E. W., Poloml Otmzto of the 7-Prmeter Dtum rformto Prolem whe Oly hree Stto Both Sytem re Gve, Zethrft für Vermeugwee, 8 () 66-7. [6] Awge, J. L., Grfred, E. W., Fukud, Y., Ext oluto of the oler 7-rmeter dtum trformto y Groeer, Bul. d Geode e Seze Aff, 6 (4) 7-7. [7] Hor, B.K.P., Cloed form oluto of olute oretto ug ut utero, Jourl of the Otl Soety of Amer, 4 (987) 69-64. [8] Klmár, J., Závot, J., A D, 7-rmétere dátum trzformáó megoldá Gröer-áz é Bur-Wolf modelle, Dmezók Mtemtk Közleméyek I () 7-44. [9] Závot, J., A 7 rmétere D trzformáó egzkt megoldá, Geomtk Közleméyek 8 (5) 5-6. [] Závot, J., Jó,., he oluto of the 7-rmeter dtum trformto rolem wth- d wthout the Gröer, At Geod. Geoh. Hug., 4() (6) 87-. [] She, Y.Z., Che, Y., Zheg, D. H., A utero-ed geodet dtum trformto lgorthm, J Geod 8, (6) 9 [] Závot, J., Frth, D., A frt ttemt t ew lger oluto of the exteror oretto of hotogrmmetry, At Geod. Geoh. Hug., 46 () 7-5. [] Závot, J., A mle roof of the oluto of the Helmert- d the overdetermed oler 7-rmeter dtum trformto, At Geod. Geoh. Hug., 47(4) () 45-464. [4] Závot, J., A D é D emleár holóág (Helmert) trzformáók megoldáák új levezetée. Geomtk Közleméyek, 6 () 7-6.