Fajhő mérése Mérő neve: Márkus Bence Gábor Mérőpár neve: Székely Anna Krisztina Szerda délelőtti csoport Mérés ideje: 0/05/20 Beadás ideje: 0/2/20
. A mérés rövid leírása Mérésem során egy alumínium (-es) minta fajhőjét kellett megmérnem. Ennek meghatározásához egy nem-izotermikus, úgy nevezett izoperibol kalorimétert használtam. Először ki kellett a vízértéket mérnem, azaz a kaloriméter hőkapacitását. Ezt követően kellett két módszerrel meghatároznom a minta fajhőjét. Az első módszer során a már egyensúlyban lévő kaloriméterbe ejtjük bele a mintát és 5 percig mérjük a hőmérséklet változását. A második módszernél a minta a mérés kezdetétől fogva a kaloriméterben van és a kettőt együtt fűtjük. A mért adatokra egy laborprogram segítségével illesztettünk exponenciális görbéket, melyekből meg tudtam határozni a fajhőt. 2. Méréshez használt eszközök -es alumínium minta (tömege és színe alapján) izoperibol kaloriméter Fűtőszál, ismert 7.07 ± 0.0 Ω-s ellenállással és digitális voltméterrel Hőkulcs Számítógép hőmérő és illesztő programokkal 3. Rövid elméleti összefoglaló A kaloriméter vízértékenek meghatározása volt az első feladat. Az üres kalorimétert 2 3 C-kal megmelegítjük (ugyanis nagyobb hőmérsékletváltozásra már a mérésünk nem lenne kellően pontos), majd a lehűlést vizsgáljuk. A rendszerbe a fűtés (t) ideje alatt bejuttatott oule-hő: Q = U 2 R t. Innen meghatározható a vízérték, azaz, hogy a felvett hőmennyiség hatására mekkora hőmérsékletváltozás történt: v = Q T. 2
Itt azonban figyelembe kell vennünk, hogy a rendszer nem tökéletesen zárt termodinamikai értelemben, azaz figyelembe kell vennünk a környezettel történő hőcserét is. Ezért kénytelenek vagyunk a modellünkbe korrekciós tagokat behozni. A kaloriméter és a mintha hőfelvevő képességét is a hőkapacitásukkal jellemezhetjük. Ezt ha a tömegükkel lenormáljuk megkapjuk a fajhőjüket. A kaloriméter hőkapacitását az előbbiek alapján jelölje v, a mintáét pedig w, ahol w = cm. A két test közötti hőátadást (hőfluxust) is jellemeznünk kell (ez ugye az adott két tesből álló rendszert fogja csak jellemezni). elölje k a minta és a kaloriméter közötti hőátadási együtthatót és h a környezet és a kaloriméter közöttit. A minta a környezettel a gyakorlatban nem cserél hőt, mivel ezt egy, a minta felé helyezett zárósipkával megakadályoztam. ól megtervezett kaloriméter esetén, mint amivel dolgoztam fennáll, hogy k h. Ezen kívül legyen a külső hőmérséklet T k, a kaloriméteré T = T (t), a mintáé pedig T m = T m (t). Felhasználva a termodinamika I. főtételét és a Newton-féle lehűlési törvényt írhatjuk a két rendszerbeli elemre: v dt dt = dq dt k(t T m) h(t T k ), w dt m dt = k(t m T ). A fenti differenciálegyenleteket a mérés során három szakaszra kell bontanunk. Az előszakaszban a kaloriméter egyensúlyban van a környezettel. Ezt követően a mintát beleejtve vagy fűtés hatására megváltozik a hőmérséklet. Ez a főszakasz. Az utószakasz kezdete pedig, amikor a rendszer elkezd ismét hűlni. Az utószakasz és a beejtős módszernél a főszakasz is exponenciális görbe jellegét mutatja. Az exponens együtthatókat rendre jelöljék: ε 0 a kaloriméter minta nélküli mérésénél lévő utószakaszt jellemzőt, ε az együttes rendszer utószakaszát jellemzőt, ε pedig ennek a rendszernek a főszakaszát jellemzőt. A fentebbi differenciálegyenletek vizsgálata segítéségével kifejezhetőek a hővezetési együtthatók.: k = εε w ε 0, h = ε 0 v. A vízéréték meghatározásánál a differenciálegyenlet üres kaloriméterre vonatkozó alakját kell vennünk. Itt az integrál 0 tól t ig megy. Innen a rendszer által felvett hő: v (T T k ) + ε 0 t 0 (T (τ) T k )dτ = Q. 3
Vezessük be a korrigált hőmérséklet fogalmát. Ez az a hőmérséklet, amire ideális, környezettel való hőcsere nélkül a kaloriméter melegedne: T (t) = T + ε 0 t 0 (T (τ) T k )dτ. Innen a vízérték már kifejezhető a korrekcióval: v = Q T T k. Hasonló módon járjunk most el a minta esetében is, azaz vezessük be arra is a korrigált hőmérsékletet: T m = T k + ε ε ε 0 (T T k ). Innen a fajhő: c = v T T k m T m (0) Tm A beejtős mérésnél máshogy kell eljárnunk. Itt T k egyensúlyi hőmrésékletről, a vízérték meghatározásánál látottak szerint kezdjük el a rendszert fűteni. t idő alatt a rendszerbe Q hőt juttatunk. Mivel az utószakaszban kialakuló állapot egyensúlyinak tekintett, így ekkor a minta és a kaloriméter korrigált hőmérséklete egyaránt állandóvá válik. Ezek alapján a minta fajhője egyszerűen származtatható: c = Q v(t T k ). m Tm T k A formulák részletes levezetését lásd a [] könyvben. 4. Mérési eredmények 4.. A minta, a kaloriméter és a fűtőegység adatai A minta száma A minta tömege Fűtőszál ellenállása Fűtőfeszültség, vélhetően alumíniumból készült henger 4.7664 ± 0.000 g 7.07 ± 0.0 Ω 84 ± mv 4
4.2. A vízérték meghatározása A vízérték meghatározását úgy végeztem, hogy az üres kaloriméter hőmérsékletét, a hőkulcsot behelyezve hagytam beállni az egyensúlyi hőmérsékletre. Ezután kivettem a hőkulcsot, helyére a zárosipkát helyeztem, majd 2 percet vártam. Utána elindítottam a fűtést és 2 3 C-ot fűtöttem rajta t = 55.06 ± 0.0 s ideig, majd a fűtést lekapcsoltam. A teljes mérést 5 percen keresztül végeztem, majd az adatokra a fajho3.exe segédprogram segítségével a [] könyvben leírtak alapján, a megfelelő pontokat megkeresve a kívánt exponenciális görbét illesztettem. Ezek után kiszámoltam a kaloriméter vízértékét: ( v = v 2 v = t = 55.06 ± 0.0 s, T k = 7.63 ± 0.0 C, T = 20.94 ± 0.0 C, ε 0 = 0.0847 ± 0.00 Q = U 2 t = 74.33 ± 0.9, R U U Q = 22.46 ± 0.9 T T k K, ) + R R + T + T k T T k = 0.9 K. 5
. ábra. A mérési eredmények kiértékelt grafikonja (#) A grafikonból a mérés során illesztett változatot a jegyőkönyv mellé csatoltam (#-es lap). T i -nek a hőmérsékletingadozásának a félértékét vettem. 5. Minta fajhőjének mérése 5.. Beejtős módszer (a) A víz hőértékének meghatározása után a hőkulcsot visszahelyeztem a kaloriméterbe. Az egyensúly beállta után, a hőkulcsot kivettem, a mintatartót felé helyeztem. A 2 perces előszakasz után a mintát beleejtettem a kaloriméterbe, majd 5 percig mértem. A minta beejtését követően látható volt, hogy egy exponenciális görbe mentén melegszik a rendszer, majd egy maximum elérése után egy másik exponenciális görbe mentén cseng le. A mérés kiértékelését 6
itt is a már fentebb említett laborprogram segítségével végeztem: c = c ( v v T m (0) = 34.0 ± 0. C, T k = 7.63 ± 0.02 C, T = 20.6 ± 0.0 C, ε 0 = 0.0694 ± 0.00 ε = 3.28 ± 0.00 T m = T k + ε ε ε 0 (T T k ) = 20.22 ± 0.34 C, c = v T T k = 865.5 ± 25.82 m T m (0) Tm kg K, ) + m m + (T T k ) T T k + (T m (0) Tm) T m (0) Tm = 25.82 kg K. 2. ábra. A mérési eredmények kiértékelt grafikonja (#2) A grafikonból a mérés során illesztett változatot a jegyőkönyv mellé csatoltam (#2-es lap). A mért adatból látszik, hogy a minta tényleg alumínium. Az alumínium fajhőjének katalógusbeli értéke c kat = 897. Ettől az általunk 7 kg K
mért érték 3.55%-kal tér el, ami jó eredmény. Láthatjuk továbbá, hogy az itt mért ε 0 eredmény nem egyezik meg az üres kaloriméternél mérttel, ezt azzal magyarázhatjuk, hogy egy idegen test, a minta került a rendszerbe, ami befolyásolta ezt a paramétert. 5.2. Együtt fűtős módszer (b) A mintát az előző mérés után a kaloriméterben hagytam. Ezt követően a kettőt együtt beállítottam az egyensúlyi hőmérsékletre. A hőkulcsot kivéve indítottam a mérést. 2 perces előszakasz után bekapcsoltam a fűtést. A főszakaszban itt már lineáris görbét kaptam, az utószakaszban megmaradt az exponenciális, úgy, ahogy vártuk. A fajhőt két módon kell kiszámolnom, az első módszerben az előző mérés során meghatározott ε értéket kell felhasználnom, a másodikban pedig a T m = T közelítést kellett használnom. Az így számolt fajhőket jelölje rendre: c ε és c T m. Az így mért adatok és számolt mennyiségek: Az első módszerrel számolva: t = 96.3 ± 0.0 s, T k = 7.44 ± 0.02 C, T = 20.9 ± 0.02 C, ε 0 = 0.0784 ± 0.00 Q = U 2 t = 94. ± 0.24. R ε = 3.28 ± 0.00 T m = T k + ε ε ε 0 (T T k ) = 2 ± 0.33 C, c ε = Q v(t T k ) m T m T k = 952.58 ± 88.54 c ε = 88.54 kg K. kg K, 8
A második módszerrel: T m = T = 20.9 ± 0.02 C, c T m = Q v(t T k ) m T m T k = 987.48 ± 93.88 c T m = 93.88 kg K. kg K, 3. ábra. A mérési eredmények kiértékelt grafikonja (#3) A grafikonból a mérés során illesztett változatot a jegyőkönyv mellé csatoltam (#3-es lap). Látható, hogy ez a mérés pontatlanabb, mint az első. Ennek oka vélhetően az lehet, hogy az előző mérésből áthozott ε nem pontosan ugyanannyi a két mérés során, illetve a T m = T közelítés is csak becslés. 9
6. Hővezetési együtthatók A mért és számolt adatok segítségével megadhatóak a hővezetési együtthatók: ε = w = cm = 4.2 ± 0.2 K, h = ε 0 v =.90 ± 0.04 perc K, h = 0.07 ± 0.005 v + w ε ε ε 0 k = εε w ε 0 = 3 ±.49 Látható tehát, hogy a k h jól teljesül. perc K. 7. Egyéb diszkutálandó feladatok Az együtt melegítős módszernél a mérőpáromnál a grafikonon látható volt egy humpli a görbe tetején, az én mérésemnél viszont nem. Ez azért van így, mert Ő réz mintát kapott, aminek nagyobb a hőkapacitása, így ez a jelenség, amit tapasztaltunk láthatóvá vált. A jelenségnek az az oka, hogy, a minta és a tartó közötti hőkontaktus nem tökéletes így a minta egy kis időnyi lemaradással (delay) tudja csak követni a tartó hőmérsékletét (amit fűtünk). A fűtés megszüntekor a tartó ugyan el kezd hűlni, viszont a minta még egy darabig továbbra is melegszik. Ezt az alumínium mintánál azért nem tapasztaltam, mivel annak kisebb a hőkapacitása, ezért sokkal gyorsabban tudja lekövetni a tartó hőmérsékletváltozását, mint a másik minta. Ezen kívül az én fűtőszálam ellenállása is nagyobb volt, tehát eleve a fűtés is lomhább volt. Ezen kívül meg kell említenünk, hogy az első mérésnél jelentős pontatlanságot okoz az, hogy a minta kezdeti hőmérsékletét és a beejtés utánit két különböző hőmérő segítségével határoztuk meg, illetve, hogy az esés is véges idő alatt zajlik le, ami alatt a rendszer zártsága még kevésbé teljesül. Hivatkozások [] Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, ELTE Eötvös kiadó, Budapest, 2003. 0