Komplex sámok Komplex sámok beveetése A valós sámok körét a követkeőképpen építettük fel. Elősör a termésetes sámokat veettük be. Itt két művelet volt, a össeadás és a sorás (ismételt össeadás A össeadás invereként értelmeett kivonás már kiveetett a termésetes sámok köréből. A egés sámokat éppen úgy kaptuk, hogy a termésetes sámokat úgy bővítettük, hogy a össeadás invertálható legyen. Hasonló törekvés a sorás esetében a racionális sámokat eredményei, ugyanis a sorás inverének a keresése a törtekkel való bővítéshe veetett. A ostás kiveetett a egés sámok köréből. Így jutunk a racionális sámokho, melyek mindegyike felírható két egés sám hányadosaként. (ratio=arány, hányados. Már a ókorban is ismeretes volt aonban, hogy vannak olyan sámok, amelyek megserkesthetők, és így rá lehet rajolni őket a sámegyenesre, de nem tudták őket mégsem definiálni. Ilyen sám pl. a Et a sámot könnyen meg tudták serkesteni, hisen e a egységnyi oldalú négyet átlójának hossa. Tehát, eeknek a sámoknak megvan a helye a sámegyenesen, noha nem írhatók fel két egés sám hányadosaként. Vagyis a gyökvonás művelete kiveet a racionális sámok köréből, eek a irracionális sámok. Ha a sámkör bővítésének eddigi menetét néük, a recept egyserű: aokat a objektumokat, valamiket, amiket valamilyen művelet (illetve inver művelet végrehajtásakor kapunk, aokat sámokként keeljük, és hoávessük a már meglévő sámainkho. A analíis fejlődésével kiderült, hogy minden (irracionális sám értelmehető valamely soroat határértékeként. Ennek egyik példája a e sám, amely sintén irracionális. Bebionyítható a is, hogy nincs üres hely a sámegyenesen, a racionális és irracionális sámok at teljesen lefedik. Ha aonban a gyökvonás műveleténél maradunk, e sámkörünk még mindig nem teljes: negatív sámokból nem tudunk négyetgyököt vonni. Ráadásul, a másodfokú egyenlet gyökeinek keresésekor kiderült, hogy van létjogosultsága aoknak a sámoknak, aminknek a négyete negatív sám. De ha vannak ilyen sámok, aok nem lehetnek a fentiek értelmében a sámegyenesen. Eért a további bővítéskor kilépünk a ún. sámsíkra, vagy másképpen a R lineáris tér geometriai interpretációjába. Mivel een új sámkörben várhatóan a sámpároknak a beveetendő sorás újserű volta miatt más tulajdonságai is lesnek, nem R -vel, hanem C-vel jelöljük és komplex (Complex sámoknak neveük a új sámhalmat. Kiterjestés Úgy terjestjük ki a sámfogalmunkat, hogy legyen a Egy megoldást jelöljünk i-vel. Vagyis i = x = egyenletnek megoldása. E két művelet associatív, kommutatív, de egységeleme csak a sorásnak van, a, inver elem pedig egyik műveletre sem léteik.
Komplex sám megadása A komplex sámmeő a C (sík össes pontja minden elemét megadhatjuk egy (x,y valós sámpárral, melyhe a x + iy komplex sámot rendeljük, ahol i a komplex egység Algebrai alak A komplex sám algebrai (másképpen kanonikus alakja = x+ iy, ahol x és y valós sámok. x-t a sám valós résének neveük és Re - vel jelöljük, y-t a sám immaginárius résének neveük és Im - vel jelöljük. Tehát: = Re + i Im A komplex sámok halmaán absolútértéket is beveetünk, ha = x + yi, akkor absolút értéke x + y, jelben = x + y A ábráolás már sugallja, hogy a komplex sámho helyvektort rendelhetünk. A vektor koordinátái a komplex sám valós- és képetes rései- A vektor geometriai adatait könnyen felírhatjuk a komplex sám algebrai alakjának segítségével, ha felhasnáljuk a Pitagoras tételt. negatív y O Im φ r x P poitív Re
Komplex sám trigonometrikus alakja A komplex sám algebrai alakja ( =x+iy és a sík pontjainak megfeleltetéséből adódik, hogy egy komplex sámnak van absolútértéke [] és iránysöge vagy arkusa, mely a valós tengellyel beárt iránysöge. Könnyen látható, hogy x = r cosϕ y = rsinϕ ( = rcosϕ + rsinϕ i= r cosϕ + i sinϕ A komplex sám trigonometrikus alakja: = r( cosϕ + isinϕ ( cosϕ sinϕ = r + i y arctg, y 0 x ϕ = y + arctg, y < 0 x és r = x + y Neveetes komplex sámok algebrai és trigonometrikus alakban A alábbi tábláat tartalmaa a neveetes iránysögű, egység hossú komplex sámok iránysögét, algebrai és trigonometrikus alakját
Absolút érték (r ϕ fokban ϕ radiánban Komplex sám algebrai alakban Komplex sám trigonometrikus alakban 0 o 0 cos0 + isin 0 3 30 o 6 + i cos + i sin 6 6 45 o 4 + i cos + sin 4 4 3 60 o 3 + i cos + sin 3 3 90 o i cos + i sin 0 o 3 3 + i cos + sin 3 3 35 o 3 4 + i cos 3 + sin 3 4 4 50 o 5 3 6 + i 80 o - cos + isin 0 o 7 3 6 i 5 o 5 4 i 40 o 4 3 3 i 70 o 3 -i 3 300 o 5 3 i 35 o 7 4 i 3 330 o 6 i 360 o
Műveletek a komplex sámok körében A komplex sámok köötti műveleteket úgy definiáljuk, hogy minden valós sámokra érvényes műveleti sabály érvényben maradjon. Minden a, b esetén össegük is komplex sám a+b=c A össeadás associatív: (a+b+c=a+(b+c A össeadás kommutatív: a+b=b+a Minden a, b esetén egy és csak egy x van, amelyre a+x=b Minden a, b esetén soratuk is komplex sám: a b=c A sorat associatív: (a b c=a (b c A sorás kommutatív: a b=b a Minden a, b esetén, ha a 0 egy és csak egy x van, amelyre a x=b Minden a, b és c esetén iga a distributivitás: a (b+c=a b+a c Komplex sámok össeadása A geometriai interpretáció - a sík pontjai és a komplex sámok megfeleltetése - alapján a komplex sámok össeadását a nekik megfelelő pontba mutató helyvektorok össege alapján definiáljuk. Aa ha: akkor: Abstrakt algebrai fogalommal sámtestet alkossanak.
Sorás algebrai alakban A sorás definíciója algebrai alakban megadott komplex sámra At seretnénk, hogy a sorás distributív legyen a össeadásra néve, eért. -t úgy definiáljuk, ahogy a algebrai alakjukból, minden tagot minden taggal megsorova adódik. Felhasnáljuk még, hogy i = - Legyen: = a+bi; = c+di; 3 =. =? 3 = (a+bi. (c+di = ac + adi + (bi. c + bd. (i = ac + (ad+bci+bd(-. = Sorás trigonometrikus alakban = (ac-bd + (ad+bci A absolút értékek össesoródnak, a sögek össe adódnak ( cosϕ sinϕ ( cosϕ sinϕ ( cosϕ sinϕ ( cosϕ sinϕ = r + i = r + i = r + i r + i ( cosϕ cosϕ sinϕ cosϕ cosϕ sinϕ sinϕ sin ϕ ( = rr + i + i + i ((cosϕ cosϕ sinϕ sin ϕ (sinϕ cosϕ cosϕ sin ϕ ( cos( ϕ ϕ + sin( ϕ + ϕ = rr + + i = rr + ϕ = arg = + arg arg = ϕ + ϕ A sorás geometriai jelentése Im r r a φ r a Re φ φ φ A absolút érték tulajdonságai. Minden komplex sámra. Minden és w komplex sámra, 3. Minden és w komplex sámra
háromsög egyenlőtlenség A komplex sám konjugáltja Definíció: konjugáltja x iy x iya komplex sám konjugáltja is értelmehető geometriailag: a eredeti komplex sám valós tengelyre vonatkoó tükörképe. A konjugált tulajdonságai, ha w nem nulla akkor és csakis akkor, ha valós ha 0, A ostás definíciója Definíció: A ostást a sorás invereként definiáljuk. Aa definíció serint a a komplex sám, mellyel -t megsorova - et kapunk. Ostás algebrai alakban Felhasnálva at, hogy és a konjugáltjának a sorata valós sám (a absolút értékének négyete aa: = a algebrai alakban megadott komplex sámok
ostását vissa lehet veetni sorásra. Ha mind a sámlálót, mind a neveőt megsorouk a neveő konjugáltjával, akkor a neveőben valós sám les. Felhasnáltuk, hogy: Bionyítás: Ostás trigonometrikus alakban A ostást a sorás invereként veettük be, könnyű látni, hogy olyan sám, melyet -t -vel megsorova - et kapjuk. A ostás egyértelműsége a sorás egyértelműségéből követkeik, tehát: Savakban a "a absolút értékeket ostjuk, a sögeket kivonjuk" A ostás geometriai jelentése Im α / φ α Re φ φ φ
Hatványoás algebrai alakban A algebrai alakban megadott komplex sám sorására vonatkoó tételt és a binomiális tételt alkalmava kapjuk: Gyakorlatban a hasnálata nehékes. Hatványoás trigonometrikus alakban A trigonometrikus alakban adott komplex sám sorására sorásra vonatkoó tételt általánosítjuk tetsőleges sámú soró tényeőre. Bionyítás teljes indukcióval: = r cosϕ + isin n= re iga a állítás, hisen ( ϕ Tegyük fel, hogy n=k ra is iga: k = r r rn( cos ( ϕ+ ϕ +... + ϕk + isin ( ϕ+ ϕ +... + ϕk, és sorouk meg mindkét oldalt k + -el, ekkor ( ( cos ( ϕ ϕ... ϕ sin ( ϕ ϕ... ϕ ( cosϕ sinϕ = r r r + + + + i + + + r + i = k k+ n k k k+ k+ k+ ( cos ( ϕ.. ϕk sin ( ϕ.. ϕ = r r r + + + i + + k+ k+ + ami bionyítandó volt. A fenti össefüggést a = = =... = n speciális esetre alkalmava kapjuk a követkeő aonosságot (Moivre tétele:
Neveetes aonosságok Aonosság Bionyítás a, = 0, = 0 a + b = 0 a + b = 0 a = b = 0 = 0 b, = ( a + b = a + b ; = ( a + bj( a bj = a b = + = ( c, = a + b ; = a + b = a + b = d, ( = e, f, e, általánosítható: = n n ( = ( a + bj( c + dj = ( ac bd + ( ad + bc j = ( ac bd ( ad + bc j = ( a bj( c dj = ( ac bd + ( ad bc j = ( ac bd ( ad + bc j ( ( = = ( ( = = b, illetve d, felhasnálásával teljes indukcióval bionyítható g, n = n f, alapján, ha minden i aonos (i=,,,n h, = ; 0 = de Im, = a jobboldalakból a állítás adódik i, arg = arg b O φ - φ a Re arg = ϕ arg = ϕ -b
Definíció: A gyökvonás műveletét a hatványoás invereként definiáljuk. A n definíció serint olyan komplex sám, melynek a n-edik hatványa. Gyökvonás trigonometrikus alakban Legyen = r(cosϕ + i sinϕ, mivel a sinus és a kosinus függvények serint periodikusak, ahol, k és mivel a gyökvonást a hatványoás invereként veettük be, könnyű látni, hogy a Z k = 0,,,...n- n különböő komplex sám, melyek mindegyikének a n-edik hatványa. Megvisgálva a gyököket látjuk, hogy mindegyikük absolút értéke aonos n r, és egymással beárt sögük többsöröse. n E at jelenti, hogy a komplex sámsíkon egy origó köéppontú n r sugarú körön egyenletesen helyekednek el. Ha een pontokat össekötjük, akkor egy n oldalú sabályos soksöget kapunk. Pl: 3 A n-edik gyökvonás n értékű művelet,
Kidolgoott feladatok Adja meg algebrai alakban a követkeő komplex sámokat! ( + i ( i 4 =? 3 =? 3 3 0+ k 0+ k = 3 ( cos 0 + isin 0 = cos + isin, ahol k=0,, 3 3 0+ 0 0+ 0 k = 0 = cos + isin = ( cos0+ isin0 = ( + i 0 = 3 3 0+ 0+ 3 k = = cos + isin = cos + isin = + i 3 3 3 3 0+ 0+ 4 4 3 k = 3 = cos + isin = cos + isin = i 3 3 3 3
Hái feladatok