x = 1 egyenletnek megoldása. Komplex számok Komplex számok bevezetése

Hasonló dokumentumok
A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát.

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

2.2. A z-transzformált

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Kalkulus. Komplex számok

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Feladatok Oktatási segédanyag

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:

Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

Diszkrét matematika 1.

Typotex Kiadó. Bevezetés

Fizika A2E, 5. feladatsor

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Analízis elo adások. Vajda István szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

Matematika A1a Analízis

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

1. A komplex számok definíciója

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

1. A komplex számok ábrázolása

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

Mátrixalgebra Optimumszámítás

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Matematika 8. osztály

Megjegyzés: Amint már előbb is említettük, a komplex számok

A táblázatkezelő mérnöki alkalmazásai. Számítógépek alkalmazása előadás nov. 24.

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14

Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

8. előadás. Kúpszeletek

17. előadás: Vektorok a térben

Felsőbb Matematika Informatikusoknak D házi feladatok a Sztochasztika 2 részhez 2013 tavasz

Matematika M1 Gyakorlat

MATEK-INFO UBB verseny április 6.

1. zárthelyi,

Komplex számok trigonometrikus alakja

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

26 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007

7. feladatsor: Laplace-transzformáció (megoldás)

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat

5. előadás. Skaláris szorzás

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Fizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat

ÁLLATTENYÉSZTÉSI GENETIKA

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Komplex függvénytan. Farkas Barnabás

Lineáris algebra mérnököknek

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

Tevékenység: Olvassa el a jegyzet oldalain található tananyagát! Tanulmányozza át a segédlet 11. fejezetében lévı kidolgozott feladatot!

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

Baran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 33

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Waldhauser Tamás szeptember 8.

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.

HÁZI FELADAT megoldási segédlet PONTSZERŐ TEST MOZGÁSA FORGÓ TÁRCSA HORNYÁBAN 2. Anyagi pont dinamikája neminerciarendszerben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában

Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához

2018/2019. Matematika 10.K

Fizika A2E, 1. feladatsor

Matematika 1 mintafeladatok

Baran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 16

Magasabbfokú egyenletek

A valós számok halmaza

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

A kör. A kör egyenlete

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

Műveletek komplex számokkal

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

FELVÉTELI VIZSGA, július 17.

FÜGGVÉNYEK. 2. a) Írj fel olyan lineáris függvényt, amely illeszkedik a ( 2 ; 1) és (2 ; 3) pontokra!

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )

Komplex számok algebrai alakja

Átírás:

Komplex sámok Komplex sámok beveetése A valós sámok körét a követkeőképpen építettük fel. Elősör a termésetes sámokat veettük be. Itt két művelet volt, a össeadás és a sorás (ismételt össeadás A össeadás invereként értelmeett kivonás már kiveetett a termésetes sámok köréből. A egés sámokat éppen úgy kaptuk, hogy a termésetes sámokat úgy bővítettük, hogy a össeadás invertálható legyen. Hasonló törekvés a sorás esetében a racionális sámokat eredményei, ugyanis a sorás inverének a keresése a törtekkel való bővítéshe veetett. A ostás kiveetett a egés sámok köréből. Így jutunk a racionális sámokho, melyek mindegyike felírható két egés sám hányadosaként. (ratio=arány, hányados. Már a ókorban is ismeretes volt aonban, hogy vannak olyan sámok, amelyek megserkesthetők, és így rá lehet rajolni őket a sámegyenesre, de nem tudták őket mégsem definiálni. Ilyen sám pl. a Et a sámot könnyen meg tudták serkesteni, hisen e a egységnyi oldalú négyet átlójának hossa. Tehát, eeknek a sámoknak megvan a helye a sámegyenesen, noha nem írhatók fel két egés sám hányadosaként. Vagyis a gyökvonás művelete kiveet a racionális sámok köréből, eek a irracionális sámok. Ha a sámkör bővítésének eddigi menetét néük, a recept egyserű: aokat a objektumokat, valamiket, amiket valamilyen művelet (illetve inver művelet végrehajtásakor kapunk, aokat sámokként keeljük, és hoávessük a már meglévő sámainkho. A analíis fejlődésével kiderült, hogy minden (irracionális sám értelmehető valamely soroat határértékeként. Ennek egyik példája a e sám, amely sintén irracionális. Bebionyítható a is, hogy nincs üres hely a sámegyenesen, a racionális és irracionális sámok at teljesen lefedik. Ha aonban a gyökvonás műveleténél maradunk, e sámkörünk még mindig nem teljes: negatív sámokból nem tudunk négyetgyököt vonni. Ráadásul, a másodfokú egyenlet gyökeinek keresésekor kiderült, hogy van létjogosultsága aoknak a sámoknak, aminknek a négyete negatív sám. De ha vannak ilyen sámok, aok nem lehetnek a fentiek értelmében a sámegyenesen. Eért a további bővítéskor kilépünk a ún. sámsíkra, vagy másképpen a R lineáris tér geometriai interpretációjába. Mivel een új sámkörben várhatóan a sámpároknak a beveetendő sorás újserű volta miatt más tulajdonságai is lesnek, nem R -vel, hanem C-vel jelöljük és komplex (Complex sámoknak neveük a új sámhalmat. Kiterjestés Úgy terjestjük ki a sámfogalmunkat, hogy legyen a Egy megoldást jelöljünk i-vel. Vagyis i = x = egyenletnek megoldása. E két művelet associatív, kommutatív, de egységeleme csak a sorásnak van, a, inver elem pedig egyik műveletre sem léteik.

Komplex sám megadása A komplex sámmeő a C (sík össes pontja minden elemét megadhatjuk egy (x,y valós sámpárral, melyhe a x + iy komplex sámot rendeljük, ahol i a komplex egység Algebrai alak A komplex sám algebrai (másképpen kanonikus alakja = x+ iy, ahol x és y valós sámok. x-t a sám valós résének neveük és Re - vel jelöljük, y-t a sám immaginárius résének neveük és Im - vel jelöljük. Tehát: = Re + i Im A komplex sámok halmaán absolútértéket is beveetünk, ha = x + yi, akkor absolút értéke x + y, jelben = x + y A ábráolás már sugallja, hogy a komplex sámho helyvektort rendelhetünk. A vektor koordinátái a komplex sám valós- és képetes rései- A vektor geometriai adatait könnyen felírhatjuk a komplex sám algebrai alakjának segítségével, ha felhasnáljuk a Pitagoras tételt. negatív y O Im φ r x P poitív Re

Komplex sám trigonometrikus alakja A komplex sám algebrai alakja ( =x+iy és a sík pontjainak megfeleltetéséből adódik, hogy egy komplex sámnak van absolútértéke [] és iránysöge vagy arkusa, mely a valós tengellyel beárt iránysöge. Könnyen látható, hogy x = r cosϕ y = rsinϕ ( = rcosϕ + rsinϕ i= r cosϕ + i sinϕ A komplex sám trigonometrikus alakja: = r( cosϕ + isinϕ ( cosϕ sinϕ = r + i y arctg, y 0 x ϕ = y + arctg, y < 0 x és r = x + y Neveetes komplex sámok algebrai és trigonometrikus alakban A alábbi tábláat tartalmaa a neveetes iránysögű, egység hossú komplex sámok iránysögét, algebrai és trigonometrikus alakját

Absolút érték (r ϕ fokban ϕ radiánban Komplex sám algebrai alakban Komplex sám trigonometrikus alakban 0 o 0 cos0 + isin 0 3 30 o 6 + i cos + i sin 6 6 45 o 4 + i cos + sin 4 4 3 60 o 3 + i cos + sin 3 3 90 o i cos + i sin 0 o 3 3 + i cos + sin 3 3 35 o 3 4 + i cos 3 + sin 3 4 4 50 o 5 3 6 + i 80 o - cos + isin 0 o 7 3 6 i 5 o 5 4 i 40 o 4 3 3 i 70 o 3 -i 3 300 o 5 3 i 35 o 7 4 i 3 330 o 6 i 360 o

Műveletek a komplex sámok körében A komplex sámok köötti műveleteket úgy definiáljuk, hogy minden valós sámokra érvényes műveleti sabály érvényben maradjon. Minden a, b esetén össegük is komplex sám a+b=c A össeadás associatív: (a+b+c=a+(b+c A össeadás kommutatív: a+b=b+a Minden a, b esetén egy és csak egy x van, amelyre a+x=b Minden a, b esetén soratuk is komplex sám: a b=c A sorat associatív: (a b c=a (b c A sorás kommutatív: a b=b a Minden a, b esetén, ha a 0 egy és csak egy x van, amelyre a x=b Minden a, b és c esetén iga a distributivitás: a (b+c=a b+a c Komplex sámok össeadása A geometriai interpretáció - a sík pontjai és a komplex sámok megfeleltetése - alapján a komplex sámok össeadását a nekik megfelelő pontba mutató helyvektorok össege alapján definiáljuk. Aa ha: akkor: Abstrakt algebrai fogalommal sámtestet alkossanak.

Sorás algebrai alakban A sorás definíciója algebrai alakban megadott komplex sámra At seretnénk, hogy a sorás distributív legyen a össeadásra néve, eért. -t úgy definiáljuk, ahogy a algebrai alakjukból, minden tagot minden taggal megsorova adódik. Felhasnáljuk még, hogy i = - Legyen: = a+bi; = c+di; 3 =. =? 3 = (a+bi. (c+di = ac + adi + (bi. c + bd. (i = ac + (ad+bci+bd(-. = Sorás trigonometrikus alakban = (ac-bd + (ad+bci A absolút értékek össesoródnak, a sögek össe adódnak ( cosϕ sinϕ ( cosϕ sinϕ ( cosϕ sinϕ ( cosϕ sinϕ = r + i = r + i = r + i r + i ( cosϕ cosϕ sinϕ cosϕ cosϕ sinϕ sinϕ sin ϕ ( = rr + i + i + i ((cosϕ cosϕ sinϕ sin ϕ (sinϕ cosϕ cosϕ sin ϕ ( cos( ϕ ϕ + sin( ϕ + ϕ = rr + + i = rr + ϕ = arg = + arg arg = ϕ + ϕ A sorás geometriai jelentése Im r r a φ r a Re φ φ φ A absolút érték tulajdonságai. Minden komplex sámra. Minden és w komplex sámra, 3. Minden és w komplex sámra

háromsög egyenlőtlenség A komplex sám konjugáltja Definíció: konjugáltja x iy x iya komplex sám konjugáltja is értelmehető geometriailag: a eredeti komplex sám valós tengelyre vonatkoó tükörképe. A konjugált tulajdonságai, ha w nem nulla akkor és csakis akkor, ha valós ha 0, A ostás definíciója Definíció: A ostást a sorás invereként definiáljuk. Aa definíció serint a a komplex sám, mellyel -t megsorova - et kapunk. Ostás algebrai alakban Felhasnálva at, hogy és a konjugáltjának a sorata valós sám (a absolút értékének négyete aa: = a algebrai alakban megadott komplex sámok

ostását vissa lehet veetni sorásra. Ha mind a sámlálót, mind a neveőt megsorouk a neveő konjugáltjával, akkor a neveőben valós sám les. Felhasnáltuk, hogy: Bionyítás: Ostás trigonometrikus alakban A ostást a sorás invereként veettük be, könnyű látni, hogy olyan sám, melyet -t -vel megsorova - et kapjuk. A ostás egyértelműsége a sorás egyértelműségéből követkeik, tehát: Savakban a "a absolút értékeket ostjuk, a sögeket kivonjuk" A ostás geometriai jelentése Im α / φ α Re φ φ φ

Hatványoás algebrai alakban A algebrai alakban megadott komplex sám sorására vonatkoó tételt és a binomiális tételt alkalmava kapjuk: Gyakorlatban a hasnálata nehékes. Hatványoás trigonometrikus alakban A trigonometrikus alakban adott komplex sám sorására sorásra vonatkoó tételt általánosítjuk tetsőleges sámú soró tényeőre. Bionyítás teljes indukcióval: = r cosϕ + isin n= re iga a állítás, hisen ( ϕ Tegyük fel, hogy n=k ra is iga: k = r r rn( cos ( ϕ+ ϕ +... + ϕk + isin ( ϕ+ ϕ +... + ϕk, és sorouk meg mindkét oldalt k + -el, ekkor ( ( cos ( ϕ ϕ... ϕ sin ( ϕ ϕ... ϕ ( cosϕ sinϕ = r r r + + + + i + + + r + i = k k+ n k k k+ k+ k+ ( cos ( ϕ.. ϕk sin ( ϕ.. ϕ = r r r + + + i + + k+ k+ + ami bionyítandó volt. A fenti össefüggést a = = =... = n speciális esetre alkalmava kapjuk a követkeő aonosságot (Moivre tétele:

Neveetes aonosságok Aonosság Bionyítás a, = 0, = 0 a + b = 0 a + b = 0 a = b = 0 = 0 b, = ( a + b = a + b ; = ( a + bj( a bj = a b = + = ( c, = a + b ; = a + b = a + b = d, ( = e, f, e, általánosítható: = n n ( = ( a + bj( c + dj = ( ac bd + ( ad + bc j = ( ac bd ( ad + bc j = ( a bj( c dj = ( ac bd + ( ad bc j = ( ac bd ( ad + bc j ( ( = = ( ( = = b, illetve d, felhasnálásával teljes indukcióval bionyítható g, n = n f, alapján, ha minden i aonos (i=,,,n h, = ; 0 = de Im, = a jobboldalakból a állítás adódik i, arg = arg b O φ - φ a Re arg = ϕ arg = ϕ -b

Definíció: A gyökvonás műveletét a hatványoás invereként definiáljuk. A n definíció serint olyan komplex sám, melynek a n-edik hatványa. Gyökvonás trigonometrikus alakban Legyen = r(cosϕ + i sinϕ, mivel a sinus és a kosinus függvények serint periodikusak, ahol, k és mivel a gyökvonást a hatványoás invereként veettük be, könnyű látni, hogy a Z k = 0,,,...n- n különböő komplex sám, melyek mindegyikének a n-edik hatványa. Megvisgálva a gyököket látjuk, hogy mindegyikük absolút értéke aonos n r, és egymással beárt sögük többsöröse. n E at jelenti, hogy a komplex sámsíkon egy origó köéppontú n r sugarú körön egyenletesen helyekednek el. Ha een pontokat össekötjük, akkor egy n oldalú sabályos soksöget kapunk. Pl: 3 A n-edik gyökvonás n értékű művelet,

Kidolgoott feladatok Adja meg algebrai alakban a követkeő komplex sámokat! ( + i ( i 4 =? 3 =? 3 3 0+ k 0+ k = 3 ( cos 0 + isin 0 = cos + isin, ahol k=0,, 3 3 0+ 0 0+ 0 k = 0 = cos + isin = ( cos0+ isin0 = ( + i 0 = 3 3 0+ 0+ 3 k = = cos + isin = cos + isin = + i 3 3 3 3 0+ 0+ 4 4 3 k = 3 = cos + isin = cos + isin = i 3 3 3 3

Hái feladatok