Tóth.: lektosztatka/1 1 z elektomos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdözsölt testek különös eőket tudnak kfejten. Megdözsölt műanyagok (pl. fésű), megdözsölt üveg- vagy ebontúd papídaabokat, apó poszemcséket, hajszálakat képes magához vonzan. dözsöléssel lyen különleges állapotba hozott testek által kfejtett eő semmlyen mechanka jellegű vagy gavtácós kölcsönhatással nem magyaázható. dözsölés évén tehát az anyagnak egy olyan tulajdonsága válk ézékelhetővé, amely egy új kölcsönhatást okoz. kölcsönhatást elektomos- vagy elektosztatkus kölcsönhatásnak, az anyagnak az elektomos kölcsönhatást okozó sajátságát elektomos töltésnek nevezzük. Mvel a tapasztalat szent a megdözsölt testek között vonzás (pl. bőel megdözsölt üveg és szőmével megdözsölt ebont) és taszítás (pl. bőel megdözsölt üveg és egy másk bőel megdözsölt üveg) egyaánt felléphet, a jelenségeket csak észletes vzsgálatokkal lehet ételmezn. lektomos eőhatások, az elektomos töltés z elektomos kölcsönhatás megsmeéséhez előszö az elektomos töltések között fellépő eőhatásokat kell tanulmányozn, met csak így smehetjük meg az elektomos töltések sajátságat, és így juthatunk el az elektomos töltések között kölcsönhatás számszeű leíásához. legegyszeűbb a nyugvó (sztatkus) elektomos töltések 1 között fellépő eőket vzsgáln, az elektomos jelenségek kutatásának ezt a teületét ételemszeűen elektosztatkának nevezk. z eőhatásokkal kapcsolatos alapkíséletek egyszeű eszközökkel végehajthatók. KÍSÉRLT_1: Bőel megdözsölt üvegúd, szőmével megdözsölt ebontúd apó tágyakat magához vonz, majd eltaszítja azokat. z üvegúd dözsölésée használt bő és az ebontúd dözsölésée használt szőme ugyanlyen eőhatásokat fejt k.) KÍSÉRLT_: Felfüggesztett, megdözsölt testhez egy másk megdözsölt testet közelítve, közöttük az alább eőhatásokat tapasztaljuk: üveg - üveg kölcsönhatás: taszítás üveg - üveget dözsölő bő kölcsönhatása: vonzás ebont ebont kölcsönhatás: taszítás ebont ebontot dözsölő szőme kölcsönhatása: vonzás üveg - ebont kölcsönhatás: vonzás üveg - ebontot dözsölő szőme kölcsönhatása: taszítás ebont üveget dözsölő bő kölcsönhatása: taszítás 1 továbbakban az elektomos töltés kfejezés helyett gyakan a övdebb töltés kfejezést használjuk.
Tóth.: lektosztatka/1 Sejtés: dözsölés az összedözsölt két testet olyan állapotba hozza, amely valam eőkfejtése képes anyag dolog megjelenésével já együtt, ezt nevezzük elektomos töltésnek. kíséletek csak úgy ételmezhetők, ha kétféle elektomos töltést tételezünk fel: az egyk fajta töltés az összedözsölt testek egykén-, a másk fajta töltés a máskon jelenk meg. kétfajta töltés vonzza egymást, az azonosak taszítják egymást. kíséletek alapján kalakult fogalmak és a jelenségek ételmezése: kétféle töltés van: a bőel megdözsölt üvegúd töltését nevezzük poztívnak, a szőmével megdözsölt ebontét negatívnak. z azonos előjelű töltések taszítják egymást, az ellenkező előjelűek vonzzák egymást, ennek alapján feltételezhető, hogy az üvegudat dözsölő bőön negatív töltés van, az ebontot dözsölő szőmén pedg poztív. Mvel a maguka hagyott testek nomáls köülmények között (dözsölés nélkül) általában elektomos eőhatásokat nem fejtenek k egymása, fel kell tételeznünk, hogy az anyagokban azonos mennységű poztív és negatív töltés van, amelyek egymás hatását semlegesítk, ezét kfelé az anyagok elektomos töltése nem ézékelhetők. dözsölés hatásáa fellépő elektomos jelenségeket eszent úgy ételmezhetjük, hogy a dözsölés szétválasztja az anyagban azonos mennységben található poztív és negatív töltéseket, így az összedözsölt testek egykén többlet poztív-, a máskon többlet negatív töltés jelenk meg. szétválasztott töltések között eőhatás lép fel, amt a töltést hodozó testek kölcsönhatásaként ézékelünk. Ma má azt s tudjuk, hogy az elektomos töltéseket a föld anyagot alkotó két elem észecske, a poton és az elekton hodozza. zek közül a poton töltése poztív (ez jelenk meg a megdözsölt üvegúdon), az elektoné pedg negatív (ez jelenk meg a megdözsölt ebontúdon). z elektomos töltések tovább tulajdonságat szntén egyszeű kíséletekkel vzsgálhatjuk meg. KÍSÉRLT_3: Cénaszála felfüggesztett sztanollemezt (alumínum fólát) a megdözsölt üvegúd vagy ebontúd magához vonzza, majd eltaszítja. taszítás oka az, hogy a fémlemez a megdözsölt úd töltését átvesz, a úddal azonos töltésűe feltölthető. zt, hogy a dözsölésnél töltésszétválasztás töténk, az s mutatja, hogy az üvegúddal poztíva feltöltött sztanollemezt a dözsölő bő vonzza (a bőön tehát negatív töltés maadt), az ebonttal negatíva feltöltött sztanollemezt a dözsölő szőme vonzza (a szőmén poztív töltés maadt). KÍSÉRLT_4: töltések jelenlétének kmutatásáa szolgáló egyszeű eszközök az ábán látható elektoszkópok. zek két vékony, hajlékony fémlemezből (pl. alumínum fóla; a) ába) vagy cénaszálaka felfüggesztett két bodzabél (hungaocell) golyóból (b) ába) állnak, amelyeket egyk végükön egy fém tatón egymáshoz ögzítünk. Ha a közös vége töltést a) b)
Tóth.: lektosztatka/1 3 vszünk, a lemezek lletve a bodzabél golyók a közöttük fellépő taszítás matt egymástól eltávolodnak, szétágaznak. zeknek az eszközöknek komolyabb méése s alkalmas változata az elektométeek. zek lényegében egy fémvázból (1) és a hozzá vízszntes tengellyel csatlakozó, mutatóként működő, vékony fémúdból () állnak. z eszközt a zavaó külső hatások kküszöbölése édekében egy fém házban (3) helyezk el, amelyet a fémváztól elszgetelnek (4). z elektoszkóp töltetlen állapotában a mutató függőlegesen lóg (a) ába). Ha a fémváz tetején lévő fémgömbe töltést vszünk fel, akko az 1 fémváz és a mutató ugyanolyan előjelű töltést kap, így köztük taszítás lép fel. nnek következtében a mutató eltávolodk a fémváztól, elfodul a tengelye köül, és jelz a töltés jelenlétét (b) ába). mutató ktéését egy mögötte elhelyezett skálán (5) leolvashatjuk, így az eszköz duván a felvtt a töltés nagyságát s jelz. KÍSÉRLT_5: Két elektométet egymás mellé helyezünk, és az alább kíséleteket végezzük el. z egyk elektométet feltöltjük, majd a töltött és töltetlen elektométe gömbjet fémúddal összekötjük. kko az eedetleg töltetlen elektométe s töltést mutat, vagys a töltés bzonyos anyagokkal egyk helyől a máska elvezethető. zokat az anyagokat, amelyek a töltést képesek elvezetn vezetőknek nevezzük (lyenek pl. a fémek). vezetők a hozzájuk éntett, töltött állapotba hozott (megdözsölt) anyagokkal feltölthetők. Ha a töltött- és töltetlen elektométet faúddal kötjük össze, akko a töltetlen elektométe továbba s töltetlen maad, nncs töltésvándolás. Vannak tehát olyan anyagok, amelyek a töltést nem vezetk. zeket szgetelőknek nevezzük. Dözsöléssel a szgetelőkön tudunk töltéseket szétválasztan. Ha a két elektométee ellenkező előjelű töltést vszünk, majd azokat vezetővel összekötjük, akko mndkét elektométe töltése csökken: a kétféle töltés kompenzálja egymás hatását. KÍSÉRLT_6: lektomos megosztás: Két töltetlen elektométet vezető úddal kötünk össze, és az egykhez feltöltött üvegudat (poztív töltés) közelítünk. kko mndkét elektométe töltést mutat. Ha az üvegudat eltávolítjuk az elektométe közeléből, akko az elektométeek töltése eltűnk. 1 4 5 3 a) b)
Tóth.: lektosztatka/1 4 zt a jelenséget annak a megfgyelésnek a segítségével éthetjük meg, hogy vezetőkben a töltések könnyen elmozdulhatnak: a két elektométeből és az összekötő údból álló összefüggő vezetőben a poztív töltésű üvegúd a negatív töltéseket a údhoz közel elektométee vonzza, a távol elektométeen pedg poztív töltés maad. Így mndkét elektométe töltést jelez. vezetőkben a közelükben elhelyezett töltések által okozott lyen töltésszétválást elektomos megosztásnak nevezk. megosztó hatás megszűnése után a töltések vsszaendeződnek eedet állapotukba. KÍSÉRLT_7: megosztott töltések szétválaszthatók, és úja egyesíthetők: z összekötő vezető udat a megosztott endszeől levéve, a szétválasztott töltés megmaad az elektométeeken. két elektométet úja vezetővel összekötve, a megosztott töltések semlegesítk egymást, a töltés mndkét elektométeől eltűnk. KÍSÉRLT_8: Töltés előjelének meghatáozása elektométeel a megosztás jelensége alapján: lektométet smet töltéssel látunk el, majd smeetlen előjelű töltést közelítünk hozzá. kko a megosztás matt a ktéés nő, ha az smeetlen töltés előjele megegyezk ez elektométeével, ellenkező előjelű töltésnél a ktéés csökken. z elektosztatkus kölcsönhatás számszeűsítése, a Coulomb-tövény z elektomos töltések kölcsönhatásának első számszeű vzsgálatát előszö Coulomb (1785) végezte el. méés soán töltött vezető gömbök kölcsönhatását méte az gen ks eők méésée alkalmas tozós méleggel. tozós méleg vékony, ugalmas szála súlyzószeű elendezésben, a "súlyzó" tömegközéppontjánál felfüggesztett két azonos méetű fémgömb (ába). Ha a szál elég vékony, akko a "súlyzó" egyk gömbjée ható gen ks eő esetén s méhető módon elfodul. z elfodulás soán a ugalmas szálban egy vsszatéítő nyomaték lép fel, amely aányos a szögelfodulással. matt a vsszatéítő nyomaték egy meghatáozott szögelfodulásnál kompenzálja a súlyzóa ható eő nyomatékát, és egyensúly alakul k. vsszatéítő nyomaték a szögelfodulásból kszámítható, abból pedg a súlyzóa ható smeetlen eő meghatáozható. Coulomb-féle méésnél a fémgömbök egykée vtték fel (pl. megdözsölt üveg udat éntve hozzá) a kölcsönható töltések egykét (Q 1 ), és ennek közelében helyezték el a másk töltött testet (Q töltésű fémgömb). tozós méleg a gömbök elektomos kölcsönhatása matt elfodul. Megméve az elfodulás szögét, és smeve a felfüggesztő szál ugalmas tulajdonságat, a golyók között fellépő eő meghatáozható. gömb választása azét szeencsés, met gömbszmmetkus a töltéseloszlás, am váhatóan leegyszeűsít a méés kétékelését (később látn fogjuk, hogy a gömb egy pontszeű töltéssel azonos módon vselkedk) egy töltött gömböt ugyanolyan ües gömbhöz éntve a töltés felezhető, vagys mód van a töltés nagyságának méésée. F 1 Q 1 Q F
Tóth.: lektosztatka/1 5 beendezésben változtatható a kölcsönható testek egymáshoz vszonyított helyzete, vagys tanulmányozható a vonzóeő távolságfüggése, mód van továbbá aa s, hogy a méést különböző nagyságú töltésekkel végezzük el. méések szent a kölcsönhatásnál fellépő eők nagysága az ába jelölésevel: Q1Q F1 = F. 1 Szgoúan véve a töltések 1 távolságának csak akko van ételme, ha pontszeű töltésekől van szó. Később látn fogjuk, hogy gömbszmmetkus töltéseloszlásnál távolságként a gömbök F 1 középpontjanak távolsága használható. z aányosság tényezőt K e -vel jelölve, az egyes töltéseke u 1 Q ható eő vekto alakban (ába): 1 Q1Q F 1 = F1 = Ke u 1 F Q 1 1 1 z a Coulomb-tövény, ahol 1 a két test távolsága, u 1 az 1 testtől a testhez mutató egységvekto, Q 1 és Q a testek elektosztatkus kölcsönhatásának eősségét jellemző elektomos töltések, K e pedg egyelőe smeetlen aányosság tényező. tövény kfejez azt a tapasztalatot s, hogy azonos előjelű töltések ( Q1 Q > 0 ) taszítják, ellenkező előjelűek ( Q1 Q < 0 ) pedg vonzzák egymást. tapasztalat szent a két kölcsönható töltése ható eő ellentétes ányú és azonos nagyságú (ewton III. tövénye teljesül): F 1 = -F 1. z a tövény akko évényes, ha a két kölcsönható test könyezetében nncs más, a kölcsönhatást zavaó esetünkben elektomosan töltött test. z gyakolatlag azt jelent, hogy a két töltés kölcsönhatását ües tében vákuumban kellene vzsgálnunk, hszen az anyagokat töltött észecskék építk fel, s ezek a töltések a tapasztalat szent módosítják a kölcsönhatást. Kmutatható azonban, hogy a levegő módosító hatása gen kcs, így a mééseket levegőben s végezhetjük. tövénnyel kapcsolatban két kédés vetődk fel: m a Q egysége? menny a K e? zt a poblémát, hogy egyetlen összefüggésből két új mennységet kell meghatáoznunk kétféleképpen oldhatjuk meg (ugyanezzel a poblémával találkoztunk má ewton II. tövényénél s, ahol a két mennység a tömeg és az eő volt): önkényesen ögzítjük a töltés egységét (pl. egységként egy epodukálható módon feltöltött test töltését választjuk). kko a K e aányosság tényező méés útján hatáozható meg: ha két, egymástól 1 =d távolságban lévő, egységny töltésű (Q egys ) test által egymása kfejtett F 1 =F eőt megméjük, akko az aányosság tényezőt a Fd Ke = Qegys összefüggésből kapjuk meg. töltés ma használt, tövényben ögzített egysége az SI egység 1 Coulomb=1 C (ezt az áameősség egységéből számaztatjuk: 1 C=1 s). töltés egységének lyen választása esetén a Coulomb-tövényben szeeplő aányosság tényezőe azt kapjuk, hogy K e =9*10 9 m /C. a másk lehetőség az, hogy önkényesen ögzítjük a K e állandót, ekko Q egysége a Coulomb-tövényből számaztatható. zt az eljáást használják a fzka bzonyos teületen még ma s használatos
Tóth.: lektosztatka/1 6 elektosztatkus CGS endszeben. Itt önkényesen a K e =1 egység nélkül étéket választják, amből következk, hogy az elektomos töltés egysége: g 1/ cm 3/ s -1. Lényegében foma okokból (bzonyos alaptövények egyszeűbb alakban íhatók fel) az SI endszeben K e helyett egy új konstanst vezetnek be (ε 0 ): 1 K e = ε 0 =8.855*10-1 C /m. 4πε 0 zzel a Coulomb-tövény az 1 Q1Q F1 = u 1 4πε0 1 alakot ölt. tövény nyugvó, pontszeű töltések (vagy gömbszmmetkus töltéseloszlások) között vákuumban fellépő kölcsönhatást í le. töténet hűség kedvéét megjegyezzük, hogy a töltések kölcsönhatásáa vonatkozó Coulomb-tövényt levegőben állapították meg. Később kdeült, hogy a levegő jelenléte gyakolatlag nem befolyásolja a méés eedményeket, ezét a levegőben kmét tövények a vákuumban évényes tövényekkel gyakolatlag azonosak. z elektosztatkus eők jellege, elektomos eőté és elektomos téeősség Ha egy Q ponttöltés könyezetében báhol elhelyezünk egy másk (q) ponttöltést, akko aa a Coulomb-tövénynek megfelelő eő hat, vagys egy töltés maga köül a tében olyan fzka állapotot hoz léte, amelynek eedményeképpen bámlyen másk, odahelyezett töltése elektosztatkus eő hat. Rövdebben ezt úgy szokás megfogalmazn, hogy a Q elektomos töltés maga köül ún. elektosztatkus- vagy elektomos eőteet hoz léte. zt, hogy valahol van-e elektomos eőté, eszent úgy állapíthatjuk meg, hogy a kédéses helye egy méőtöltést teszünk, és ha ee eő hat, akko ott az eőté jelen van, ha nem hat eő, akko nncs jelen. fent módszeel tehát az eőté létezését akko s meg tudjuk állapítan, ha az eőteet létehozó töltést nem smejük. kédés az, hogy lehet-e ezt az eőteet számszeűen s jellemezn. zt, hogy egy pontszeű Q töltés könyezetében mlyen "eősségű" eőté jön léte, jellemezhetjük például úgy, hogy a té különböző pontjaban meghatáozzuk egy önkényesen kválasztott pontszeű q poztív méőtöltése ható eőt. lkalmazva a Coulomb-tövényt ee az esete, látható, hogy ez az eőhatás nemcsak a Q töltés által létehozott eőtée jellemző, hanem a méőtöltéstől s függ. z s látható azonban, hogy az eőhatás aányos a méőtöltés nagyságával, vagys az eőt elosztva a méőtöltéssel, a méőtöltéstől független vektomennységet () kapunk, amely má csak az eőteet létehozó töltés nagyságától és a vzsgált pont helyétől függ: Fe 1 Q = = u q 4πε 0 ahol u az eőteet létehozó töltéstől a méőtöltés felé mutató egységvekto, a kölcsönható töltések távolsága. z így bevezetett vekto a Q ponttöltés által létehozott elektomos eőteet jellemz. lőbb gondolatmenetünk szépséghbája az, hogy csak egyetlen pontszeű töltés által létehozott eőtée évényes. Ha több töltés által létehozott eőteet s a fent módon akajuk jellemezn, akko mndenek előtt meg kell vzsgálnunk a méőtöltése az összes jelenlévő töltés által kfejtett eőt. zt az eőt megpóbálhatjuk elmélet úton, a szupepozícó elve alapján kszámítan. szent a kválasztott q méőtöltése az egyes töltések által kfejtett eőt nem befolyásolja a több töltés jelenléte, vagys ez az eő úgy
Tóth.: lektosztatka/1 7 számítható k, mntha a több töltés ott sem lenne. nnek alapján a q töltése ható eedő eőt úgy kaphatjuk meg, hogy az egyes töltések által egyenként kfejtett eőket vektolag összeadjuk (ez látható az alább a) ábán). nnek megfelelően a Q 1, Q,,...Q... töltések által a méőtöltése kfejtett eedő eő (F e ) az alább módon kapható meg: 1 Q Fe = q u. 4πε 0 Látható, hogy az eő most s aányos a méőtöltéssel, ezét bevezethetjük az 1 Q = u 4πε 0 vektot, am csak az eőteet létehozó töltésektől, továbbá a helytől függ. zzel a q töltése ható eő az F = q alakba íható. Q u u Q 1 q Q u F 1 Q F q u 1 F u1 Q 1 u 1 Q 1 Q (poztív) a) b) F F 1 F Hasonlóan jáhatunk el, ha egy ktejedt testhez tatozó folytonos töltéseloszlás által létehozott eőteet akaunk jellemezn, csak ekko a ktejedt testet fel kell osztan gen kcs téfogatelemeke (b) ába), és az ezekben foglalt töltések által a kszemelt pontszeű töltése kfejtett eőket kell összegezn. Könnyen belátható, hogy az eő most s aányos a méőtöltéssel. z azt mutatja, hogy édemes az eőteet a fent módon bevezetett téjellemző vektoal jellemezn. zt azonban, hogy ez a jellemző valóban mndg használható, kíséletleg kell megvzsgáln. tapasztalat szent az elektosztatkus kölcsönhatása a szupepozícó elve évényes, és az előbb meggondolások általában s helyesek. Mndezek alapján az elektomos eőté jellemzésée bevezethetünk egy vektomennységet, az alább defnícóval: az elektomos töltések közelében létejövő elektomos eőtébe elhelyezünk egy pontszeűnek teknthető q poztív méőtöltést, és meghatáozzuk (megméjük vagy kszámítjuk) a á ható F e elektomos eőt. z elektomos eőté jellemzésée az adott pontban az F = e q vektot használjuk, amelyet elektomos téeősségnek nevezünk, és ezt a defnícót mndenféle eedetű elektomos eőté esetén évényesnek tekntjük. fentek alapján egy eőteet, amelyet valamlyen töltés maga köül létehoz, úgy tudunk jellemezn, hogy a té mnden pontjában megadjuk a téeősségvektot. Ha ezt megtettük, akko ahhoz, hogy egy tetszőleges pontban elhelyezett töltése ható eőt kszámítsuk, nncs szükségünk az eőteet létehozó objektumok smeetée, hszen azoknak az "eőkfejtő hatását" a téeősségvekto egyételműen jellemz. (Például, egy téeősségű helyen elhelyezett q 1 töltése ható eő F e=q 1.) bben az ételemben tehát a téeősségvektookkal jellemzett eőté hodozza az eőteet létehozó objektumok hatásat. Ha az eőteet pontszeű töltés hozza léte, akko könnyű helyzetben vagyunk, hszen ekko a téeősségvekto helytől való függését a Coulomb-tövényből kapott egyszeű
Tóth.: lektosztatka/1 8 matematka kfejezés adja meg. Bonyolultabb esetekben a számításhoz a téeősségvektook tulajdonságanak megsmeése útján felállított általános tövényeke van szükség. z elektomos eőté szemléltetése, eővonalkép z elektomos eőtében a té mnden pontjához tatozk egy vekto, az elektomos téeősségvekto, amely az elektomos eőteet (az ott fellépő eőhatást) jellemz. Sok esetben nagyon hasznos, ha az eőté jellegét szemléletessé tudjuk tenn, vagys azt valamlyen módon ábázoljuk. z eőté szemléletes megjelenítésének egy lehetséges módja az, hogy különböző pontokhoz tatozó téeősségvektookat leajzoljuk, ahogy az pontszeű negatív- és poztív elektomos töltés által létehozott eőtében az ábán látható. Így egy téeősség-téképet kapunk, amely az egyes pontokban mutatja a téeősség nagyságát és ányát. 1 - nnél átteknthetőbb és hasznosabb ábázolást kapunk a téeősségvonalak bevezetésével. téeősségvonalakat úgy kapjuk, hogy a beajzolt téeősségvektookhoz olyan göbéket szekesztünk, amelyekhez egy pontban húzott éntő az adott ponthoz tatozó téeősségvekto ányába mutat. téeősségvonalnak ányt s adunk, am megegyezk a hozzátatozó téeősségvektook ányával. Más szóval, a téeősségvonal az elektomos eőté "ányváltozásat" követ és szemléltet. z alább ábán vázlatosan bemutatjuk az előző ábán s szeeplő ponttöltések (a) és b) ába) és egymáshoz közel elhelyezett poztív és negatív elektomos töltés egy ún. dpólus (c) ába) által létehozott eőté téeősségvonalat (másk szokásos elnevezéssel elektomos eővonalat). Bemutatunk továbbá egy fontos szeepet játszó specáls esetet, amko egy bzonyos téészben mnden pontban azonos a téeősségvekto (d) ába). z 3 1 3 - - a) b) c) d) lyen eőteet, (vagy egy eőté lyen tatományát) homogén eőtének nevezk. Homogén eőtében a téeősségvonalak páhuzamos egyenesek. zeket az eővonalakat egyszeűbb esetekben (pl. ponttöltés vagy ponttöltésekből álló töltésendszeek) esetén meghatáozhatjuk a téeősségvektook kszámításával, de az eővonalkép kíséletek segítségével s megvzsgálható. e az ad lehetőséget, hogy szgetelő anyagszemcsék elektomos eőtében dpólusokká válnak. Ha ezeket a dpólusokat folyadékba betéve mozgásképessé tesszük, akko kölcsönhatásuk matt
Tóth.: lektosztatka/1 9 endeződnek: a dpólusok beállnak a téeősség ányába, ugyanakko ellentétes végükkel egymáshoz csatlakoznak, és láncokat képezve, kajzolják az elektomos eőté eővonalat (ába). - - - - - - dpólus-lánc KÍSÉRLT: gy üvegedénybe daaszemcséket tatalmazó olajat teszünk, majd az edény aljáa ponttöltést, dpólust, síklapot vagy kondenzátot modellező fém elektódokat helyezünk el, és azokat feltöltjük (feszültséget kapcsolunk ájuk). kko a daaszemcsék megmutatják a különböző töltések köül kalakuló elektomos eőté eővonalat. z üvegedényt vetítő gépe téve, a kapott téeősség-ába jól láthatóvá tehető. z alább ábákon a valóságos képhez hasonló gafka látható, amely egy dpólus és két ellentétes töltésű, páhuzamos síklap elektomos eőteét mutatja. z ábákon bemutatott esetek azt sugallják, hogy a téeősségvonalak sűűségével az elektomos téeősség nagysága s jellemezhető. z eővonalábákon ugyans vlágosan látható, hogy a téeősségvekto nagyságának csökkenése ányában haladva (pl. a ponttöltéstől távolodva) a téeősségvonalak tkulnak. téeősségvonal-képbe elvleg tetszőleges számú téeősségvonalat beajzolhatunk, de célszeűnek látszk, hogy a téeősség nagyságának egyételmű jellemzése édekében valamlyen megállapodást fogadjuk el a beajzolt eővonalak sűűségée vonatkozóan. z általánosan elfogadott megállapodás a következő: a téeősségvonal-képet mndg úgy szekesztjük meg, hogy bámely pontban a téeősségvonalaka meőleges egységny felületet anny téeősségvonal metssze át, amenny ott a téeősségvekto számétéke. z más szóval azt jelent, hogy a téeősség számétéke az egységny (téeőssége meőleges) felületen átmenő eővonalak számát adja meg. szent a megállapodás szent egy elektomos eőtében az téeősségű helyen a téeősségvonalaka meőleges nagyságú felületen =1 /C át ajzolandó eővonalak számát az ( ) számét. = 1 m ( ) =3 /C számét. összefüggésből kaphatjuk meg: = ( ) számét. ( ) számét. Q z lyen módon elkészített téeősségvonal-képől a téeősség nagysága az ábán látható módon olvasható le. ylvánvaló, hogy homogén eőtében egy adott helyen a fent szabály szent megajzolt eővonalsűűség a té bámelyk pontjában ugyanaz lesz, és a téeőssége meőleges felületet átmetsző eővonalak száma a fent módon tetszőleges méetű felület esetén kszámítható.
Tóth.: lektosztatka/1 10 Felmeül azonban a kédés, hogy nem homogén eőtében (pl. egy ponttöltés eőteében) gaz-e az, hogy ha egy adott helyen a szabály szent megajzoljuk az eővonalakat, majd ezeket meghosszabbítjuk, akko az eővonalkép másutt s meg fog feleln a szabálynak? Póbáljuk megajzoln a fent defnícó alapján egy pontszeű, poztív Q ponttöltés köül kalakuló eőté eővonalképét. hhez meg kell hatáoznunk, hogy a töltés elektomos eőteét szemléltető sugáányú eővonalakat mlyen sűűn kell beajzolnunk, hogy az eővonal-ába a téeősség nagyságát s tüközze. bben az eőtében a téeősség sugáányú és gömbszmmetkus, a töltéstől távolságban a téeősség mndenütt azonos nagyságú. matt, a téeőssége meőleges felületként felvehetjük a töltés köül elképzelt sugaú gömbfelület egy elem Ω tészög által kmetszett észét (ába). téeősség nagysága tt 1 Q =, ' 4πε0 Q a felületelem nagysága pedg a Ω = Ω 4π 4 π ' összefüggésből kapható meg (4π a teljes tészög): = Ω (ugyanezt az eedményt kapjuk, ha a tészög Ω = defnícóját használjuk). Így az elfogadott megállapodás szent a kválasztott elem felületen áthaladó eővonalak száma: 1 Q Q ( ) számét. = = Ω = Ω. 4πε 0 számét. 4πε 0 számét. Vegyük észe, hogy a szükséges eővonalak száma nem függ -től, ezét, ha a számolást elvégezzük aa az elem felülete, amelyet ugyanez a Ω tészög metsz k egy az előzőtől eltéő sugaú gömbfelületből (ába), akko a beajzolandó eővonalak számáa azt kapjuk, hogy Q = Ω = πε. 4 0 számét. z azt jelent, hogy az eővonalak a kválasztott tészögön belül megszakítás nélkül továbbajzolhatók, nem kell új eővonalakat bektatn vagy eővonalakat megszakítan. Mvel a fent meggondolás tetszőleges tészöge gaz, a ponttöltés eőteée általában s évényes, hogy az eőteet a ponttöltés helyét kvéve mndenütt megszakítatlan, folytonos eővonalakkal lehet ábázoln. Édemes megjegyezn, hogy ez az eedmény annak a specáls köülménynek a következménye, hogy pontszeű töltések elektosztatkus kölcsönhatása és ennek következtében egy ponttöltés téeőssége 1/ -es távolságfüggést mutat. zét esk k a számolásból az, vagys az eővonalszámnak az - től való függése. Tovább meggondolásokból (és a tapasztalatból) az s kdeül, hogy a fent megállapítás nem csak ponttöltések, hanem tetszőleges töltéseloszlások eőteée s gaz: az elektosztatkus eőté eővonala megszakítás nélkül, folytonos vonalakként ajzolhatók fel. Számítsuk k most, hogy egy poztív Q ponttöltésből összesen menny eővonalnak kell knduln az eővonalak ábázolásáa elfogadott szabály szent. ponttöltés, mnt középpont köül egy sugaú gömböt felvéve (a gömbfelület mndenütt meőleges a
Tóth.: lektosztatka/1 11 sugáányú téeőssége), a koábban felít összefüggés szent a teljes gömbfelületen átmenő összes eővonalak e száma: 1 Q Q e ( ) számét. = 4 π = 4 π =. 4πε 0 számét. ε 0 számét. gömbfelületet metsző eővonalak száma tehát aányos a Q töltés nagyságával. Mvel az eővonalak folytonosak, ez azt jelent, hogy egy poztív Q ponttöltésből knduló eővonalak száma s ugyanenny. bből az a fontos következtetés adódk, hogy ha a Q ponttöltést nem gömb alakú, zát felülettel vesszük köül, a felületet metsző eővonalak száma akko s ugyananny lesz, mégpedg Q e =. ε 0 számét. ( zát felülete vonatkozóan tt anny megszoítás van, hogy az állítás csak olyan felülete gaz, amelyet a töltésből knduló bámely eővonal csak egysze metsz.) Ha a töltés negatív, akko az eővonalak száma ugyanenny, csak most az eővonalak nem a töltésből ndulnak k, hanem abba ékeznek meg. Ha ugyanabban a pontban Q 1 >0 poztív- és Q <0 negatív töltést helyezünk el, akko az eedő téeősség nagyságát a töltésektől távolságban az 1 Q1 Q 1 Q1 Q = = 4πε0 4πε0 összefüggés adja meg. Ilyenko a töltéselendezésből knduló, és a töltéseket köülvevő zát felületet metsző eővonalak száma Q Q Q Q Q Q 1 1 1 e = = =. ε 0 számét. ε 0 számét. ε 0 számét. ε 0 számét. ε 0 számét. z a szám úgy s felfogható, hogy a zát felületből kfelé haladó eővonalak számát poztívnak-, a zát felületbe befelé haladó eővonalak számát negatívnak tekntjük, és kszámítjuk az eővonalszámok algeba összegét (a kfelé- és befelé haladó eővonalak számának különbségét). llenkező előjelű ponttöltések egydejű jelenléte esetén tehát a töltéseket köülvevő felületet metsző eővonalak előjeles összege aányos a felületbe bezát eedő töltéssel. Ha a zát felületet metsző eővonalak számát nem pontszeű töltések esetén megvzsgáljuk, akko kdeül, hogy a fent megállapítás tetszőleges töltéseloszlások eőteée s gaz. zt a tapasztalatot édemes valamlyen paktkusan használható matematka fomában megfogalmazn. hhez azonban szükség van egy olyan mennysége, amelynek segítségével automatkusan megkapható egy felületet egyk- lletve másk oldalól átmetsző eővonalak számának különbsége. z a mennység a fluxus, amt a következő pontban vezetünk be. Fluxus elektomos eőtében, az elektosztatkus eőté II. alaptövénye felületet metsző eővonalakat előjelesen összeszámláló a mennységet az egyszeűség kedvéét előszö homogén elektomos eőtében vezetjük be. z homogén eőtében a téeőssége meőleges felületet (ába) átmetsző eővonalak számát megadó mennység az elektomos eőtének az felülete vonatkozó fluxusa, és jelölésée endszent a Φ szmbólumot használják:
Tóth.: lektosztatka/1 1 Φ = z alsó ndex aa utal, hogy ez az elektomos téeősség fluxusa, a felső ndex pedg azt mutatja, hogy a fluxus az felülete vonatkozk. z így defnált fluxus a szemléletes jelentését megadó eővonalszámtól eltéően nem dmenzó nélkül szám, hanem m /C egységben megadott fzka mennység. vzsgált felület azonban nem mndg meőleges a téeőssége. Ilyenko a fluxust (és a felületet metsző eővonalak számát) úgy kapjuk meg, hogy a felületnek a téeőssége meőleges vetületét α α szoozzuk meg a téeősséggel (a) ába) u Φ = = cosα. bben az esetben a fluxus kszámítása úgy s töténhet, hogy a felület állását a a) b) felülete meőleges u egységvektoal adjuk meg (b) ába). kko a fent kfejezés úgy s felfogható, mnt az vekto és az u vekto skalás szozata (ugyans α éppen e két vekto által bezát szög): Φ = u = cosα. legáltalánosabb és eléggé gyako eset az, hogy az eőté nem homogén, tehát a téeősség helyől-helye változk, és a felület sem sík. Ilyenko a szokásos eljáást követjük: a felületet olyan ks elem észeke ( ) osztjuk, amelyeken belül a téeősség ( ) má közelítőleg állandónak teknthető, és amely közelítőleg sík, tehát az állása megadható a á meőleges u egységvektoal (a) ába). z egyes felületelemeke u 3 3 3 3 u 3 1 u 1 1 1 1 u a) b) vonatkozó fluxust így a Φ = u kfejezés adja meg. z a kfejezés övdebben s felíható, ha bevezetjük a felületvektot: ezt olyan vektoként defnáljuk, amely meőleges a felülete, és nagysága a felület nagyságával egyenlő.
Tóth.: lektosztatka/1 13 szent a felületelem felületvektoa = u. zzel a felületeleme vonatkozó fluxus (b) ába) Φ =. teljes felülete vonatkozó fluxus közelítőleg az elem Φ fluxusok összege, vagys: Φ Φ. = ahol a felületelem soszáma. z felülete vonatkozó fluxus pontos étékét úgy kapjuk meg, hogy a felület felosztását egye fnomabbá tesszük (ekko egye nkább gaz lesz, hogy a felületelemen belül a téeősség má nem változk, és a felületelem síknak teknthető), és megkeessük az így kszámított összeg hatáétékét: Φ = lm Φ = lm = d. 0 0 matematkában az lyen hatáéték neve: az vektonak felülete vett felület ntegálja, amelynek jelölésée az egyenlet jobboldalán álló ntegál-szmbólumot használják. Kszámításának módszeevel a matematka foglalkozk, az általunk vzsgálandó egyszeű esetekben azonban ezeke az smeeteke nem lesz szükségünk: ezt az ntegál-szmbólumot a továbbakban egy gen fnom felosztáson végehajtott összegzésként kezelhetjük. Ha a téeősségvonal-képet a tágyalt megállapodás szent ajzoljuk meg, akko egyszeű esetekben az így defnált fluxus számétéke valóban megadja a felületelemet átmetsző téeősségvonalak számát. fluxus azonban több, mnt egyszeű téeősségvonal-szám: egyészt azét, met a fluxus láthatóan dmenzóval és egységgel endelkező fzka mennység, amely az elektomos eőteet jellemz (tehát nem daabszám, mnt a metsző eővonalak száma), másészt azét, met a fluxusnak előjele van, hszen ha a téeősség és a felületvekto szöge α, akko skalás szozat smet tulajdonsága matt a fluxus az α<90 0 esetben poztív, az α>90 0 esetben pedg negatív (az előző ábán pl. az 1 felületeleme vonatkozó fluxus poztív, a felületeleme vonatkozó fluxus pedg negatív). ddg a fluxust hallgatólagosan mndg nyílt (tehát egy göbével hatáolt, pl. téglalap alakú) felületeke ételmeztük. Vzsgáljuk meg most, hogy egy zát felülete (pl. egy kumpl héjáa) hogyan lehet a fluxust kszámítan. defnícó és az eljáás most s ugyanaz, mnt egy nyílt felület esetén, csak el kell döntenünk, hogy az egyes felületelemek felületvektoat a zát felületbe befelé (a kumpl belseje felé) vagy onnan kfelé ányítjuk. ttől függn fog a kszámított fluxus előjele, de a nagysága nem. szokás az, hogy a felületvektot a zát felületből kfelé mutató vektonak tekntk. szent a defnícó szent a zát felületbe befelé mutató elektomos téeősség esetén a fluxus negatív, a felületből kfelé mutató téeősség esetén pedg poztív. teljes zát felülete vonatkozó fluxust ezek után a koábbakhoz hasonlóan (elem felületeke vonatkozó fluxusok összegeként) kaphatjuk meg. zát felület tényét a jelölésben s kemelk, a fluxust jelölő felület ntegálban az ntegál jele egy köt ajzolnak: zát Φ = d. fluxus geometa jelentésének megfelelően ennek a mennységnek a számétéke a zát felületet átmetsző eővonalak összegét adja meg. z az összeg azonban előjeles összeg: a
Tóth.: lektosztatka/1 14 zát felület által hatáolt téfogatból (a kumplból) kfelé mutató eővonalakat a fluxusban poztív előjellel, a téfogatba (a kumplba) kívülől befelé mutató eővonalakat pedg negatív előjellel vesszük fgyelembe. (zát felület) zét a zát felülete vett fluxus Φ Ε >0 Φ Ε <0 számétéke a felület belsejéből klépő és a felület belsejébe belépő eővonalak számának a különbségét adja meg. z azt jelent, hogy egy zát felülete vett fluxus csak akko különbözhet nullától, d (kfelé) ha a felületen belül eővonalak kezdődnek vagy végződnek, és a Φ Ε =0 Φ Ε =0 kezdődő és végződő eővonalak száma különböző. Szemléltetésül a mellékelt sematkus ábán bemutatjuk a zát felülete vett fluxus néhány esetét. Édemes ezt a szemléletes de egyelőe csupán elmélet édekességnek tűnő eedményt összevetn az elektomos eővonalaka vonatkozó tapasztalatokkal. Mnd a téeőssége vonatkozó számítások (pl. ponttöltések esetén), mnd pedg a kíséletek azt mutatják, hogy az elektosztatkus eőtében az eővonalak töltéseken kezdődnek és töltéseken végződnek. Vagys egy zát felülete vonatkozó fluxus akko lesz nullától különböző, ha a felület töltést zá köül. kédés az, hogy ez a fluxus hogyan függ a bezát töltés nagyságától. e a kédése egy specáls esetben má tudjuk a választ: láttuk, hogy egy Q ponttöltésből a Q ε 0 számétékével megegyező számú eővonal ndul k, tehát a töltést köülvevő felületet metsző eővonalak száma és a fluxus számétéke s enny. fluxus kszámításának gyakolása kedvéét azonban most hatáozzuk meg, hogy egy poztív Q ponttöltés által keltett elektomos eőtében menny Q a fluxus egy olyan sugaú gömbfelületen, amelynek középpontja a töltéssel esk egybe (ába). Mvel a ponttöltés eőteében a téeősség sugáányú, és a d gömbfelület bámely elem észének felületvektoa s sugáányú, a téeősség és a felületvekto a felület mnden helyén páhuzamos egymással. bből a skalás szozata vonatkozó szabály szent következk, hogy d = d. Másészt a téeősség nagysága a gömbfelület mnden pontján ugyanakkoa, tehát kemelhető, így a gömbfelülete vett fluxus: zá t Φ = d = d = d = 4 π. z utolsó lépésben azt használtuk k, hogy a gömbfelület felületelemenek összege a gömb felületével egyenlő. fent kfejezésbe a ponttöltés smet téeősségét beíva a váakozásnak megfelelően a zát 1 Q Q Φ = d = 4 π = 4πε ε 0 0
Tóth.: lektosztatka/1 15 eedményt kapjuk. Vagys ebben a specáls esetben a zát felülete vett fluxus aányos a felület által bezát ponttöltés nagyságával. (Itt látszk az ε 0 állandó bevezetésének egyk foma előnye: a tövényből kesett a 4π szozó.) Koábban láttuk, hogy a szabályosan megajzolt eővonalképen egy ponttöltésből knduló eővonalak száma csak a ponttöltés nagyságától függ. bből következk, hogy a zát felületet metsző eővonalak száma és így a fluxus akko sem változk meg, ha a töltést bezáó zát felület alakját vagy elhelyezkedését megváltoztatjuk. zt szemléltet a mellékelt ába, amelyen jól látható, hogy az eedet, koncentkus gömbfelületet (1), az eltolt gömbfelületet () és egy tetszőleges alakú, a töltést köülvevő zát felületet (3) metsző eővonalak előjeles összege (az ábán 16), és így a fluxus s ugyanaz. Vagys a fent összefüggés tetszőleges alakú, a ponttöltést köülvevő felület esetén évényes. Ha a zát felületet úgy vesszük fel, hogy nem zája köül a ponttöltést (4,5), akko a téfogatba bemenő és az abból kmenő eővonalak száma megegyezk, és a fluxus nulla lesz. **************************************************** Itt má valóban tetszőleges alakú lehet a zát felület. fluxus bevezetésével ugyans megszűnk az a pobléma s, hogy bonyolultabb felület esetén egy eővonal kettőnél többszö s metszhet a felületet: a zát felület által hatáolt téfogatból klépő majd oda úja belépő eővonalak a fluxusban nem adnak jáulékot. z látható a fent ába 3 felületénél, ahol a metszések előjeles összege a gömbfelületekhez hasonlóan 16, és az 5 felületnél, ahol ez az összeg nulla (nncs bezát töltés). ******************************************************************* z s könnyen belátható, hogy több ponttöltés esetén az egyes töltések által keltett eőteekben a metsző eővonalak száma és így a fluxusok s összeadódnak, így a zát felülete vett fluxus kfejezésében a zát felület belsejében lévő töltések összege szeepel. Mvel pedg bámlyen töltésalakzat felosztható pontszeű töltéseke, az állítás tetszőleges töltéseke gaz. Ha a felületen belül negatív töltések s vannak, akko azok a téfogatba befelé mutató téeősséget keltenek, és ennek az eőtének az eővonala a téfogatba befelé mutatnak. fluxus kszámításánál ezek negatív jáulékot adnak, így végül megállapíthatjuk, hogy a zát felülete vett fluxusban a felületen belül elhelyezkedő töltések előjeles összege ( Q ) szeepel, ezét évényes az alább összefüggés = Q d. z az összefüggés tetszőleges zát felülete, és tetszőleges töltéseloszlása gaz. Ha a zát felület nem zá be töltést vagy a bezát töltések előjeles összege nulla, akko a jobboldalon nulla áll: a zát felülete vett fluxus nulla. zt a tövényt gyakan az elektosztatka Gausstövényének, vagy az elektosztatkus eőté II. alaptövényének nevezk. tövény lényegében azt a tapasztalatot foglalja össze matematka fomában, hogy az elektosztatkus eőtében az eővonalak töltéseken kezdődnek és végződnek, kezdő- és végpontjuk között pedg folytonos vonalak. z a megállapítás úgy s megfogalmazható, hogy az elektosztatkus eőté foása a töltés. ******************************************************************* zát z elektosztatkus eőtében egy zát felülete vonatkozó Φ fluxust gyakan a zát felület által hatáolt téész foáseősségének nevezk. z elnevezés a fluxus geometa jelentésével hozható összefüggésbe. Ha a felület belsejében lévő eedő töltés poztív, akko a foáseősség számétéke a téészből klépő ott ε 0 4 1 5 3
Tóth.: lektosztatka/1 16 keletkező eővonalak számát adja meg, negatív eedő töltés esetén pedg a téészbe bemenő ott eltűnő eővonalak számával egyenlő. ******************************************************************* Ha a zát felületen belül folytonos eloszlású töltés van, akko a teljes töltést a téfogat töltéssűűség segítségével hatáozhatjuk meg. Ha egy elem V töltés van, akko ott a téfogat töltéssűűség közelítő étéke Q ρ V téfogatban Q a pont köül felvett téfogatot egye csökkentjük, és meghatáozzuk a. töltéssűűség egy pontban évényes étékét úgy kapjuk meg, hogy ρ = lm V 0 Q V = dq dv hatáétéket. z az adott pontban a téfogat töltéssűűség, amely előjeles mennység, előjele az adott helyen lévő töltés előjelével egyezk meg. Ha a töltéssűűséget a zát felület által hatáolt téfogat mnden pontjában smejük, akko a zát felület által köülzát Q töltés meghatáozásáa a szokásos eljáást alkalmazzuk: a teljes V téfogatot elem V téfogatoka osztjuk, a Q = ρ V összefüggés segítségével kszámítjuk a töltést az egyes téfogatelemekben, majd az így kapott töltéseket összeadjuk (előjelesen): ρ. Q = Q V zzel megkaptuk a töltés közelítő étékét. töltés pontos étékét úgy hatáozhatjuk meg, hogy a V téfogat felosztását egye fnomítjuk (az elem téfogatokat egye ksebbe választjuk), és kszámítjuk a fent összeg hatáétékét, amelynek jelölésée az alább egyenlet jobboldalán álló szmbólumot használják: Q = lm ρ V = V 0 V ρdv ρ függvény V téfogata vett téfogat ntegáljának nevezk. gy lyen ntegál kszámításának észletes szabályaval tt nem foglalkozunk, számunka elegendő az ntegál szemléletes, gen fnom felosztáson elvégzett összegzésként töténő ételmezése. folytonos töltéseloszlásból számazó töltésnek téfogat ntegállal töténő kszámításával az elektosztatka Gauss-tövénye az általánosabb z tt használt ntegált a benne szeeplő, helytől függő ( x, y,z) d = 1 ε 0 V ρdv alakba íható. *******************************************************************.