[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x = {1,2,3,4,5,6}) Eloszlási függvényükalapján( = < ) Diszkrét valószínűségi változó A lehetséges értékek száma véges, megszámlálható (pl. kockadobás eredménye, újszülöttek neme) Eloszlási függvényük diszkrét értékeket vehet fel (lépcsős eloszlási függgvény) Binomiális eloszlás, Poisson eloszlás, Hipergeometrikus eloszlás, Polinomiális eloszlás A diszkrét valószínüségi változókat számoljuk Folytonos valószínűségi változó A lehetséges értékek száma végtelen (bármely érték egy intervallumon belül) (pl. testhőmérséklet, vérnyomás) Eloszlási függvényük folytonos Normál eloszlás, Exponenciális eloszlás, Egyenletes eloszlás a folytonos valószínüségi változókat mérjük 1
Binomiális eloszlás nevezetes diszkrét eloszlás a valószínűségi változók egyedi mintázatot követnek Binomiális = két nevű, két részből álló,két tagú két diszkrét kimenetel kapcsolható egy eseményhez: sikerül valami vagy nem? (pl. balra vagy jobbra fordulok egy kereszteződésben, átmegyek a piroson vagy nem, egy gyógyszernek van mellékhatása vagy nincs) A binomiális eloszlás kialakulásának feltételei Az elvégzet vizsgálat (kísérlet) száma (n) rögzített (nemasikervagy akudarcszáma!). Minden kísérlethez két kimenetel társítható: siker vagy kudarc. Minden kísérlet esetén a siker valószínűsége azonos (a siker és a kudarc valószínűsége nem kell, hogy azonos legyen). Az elvégzett kísérletek függetlenek egymástól (egy kísérlet kimenetele nem befolyásolja egy másik alakulását). 2
Binomiális együttható n k = n! k! n k! kombináció ismétlés nélkül: hányféle úton lehet n próbából k-t kiválasztani ( n alatt a k ) Pl. hányféle képpen tudok 4 kártyát kiválasztani az 52 db-os Francia kártyából? 52 4 = 52! 4! 52 4! = 52! 4!48! =52 51 50 49 =270725 4 3 2 1 2 tablettát kell beadnom a betegnek 5-ből. Hányféle kombináció lehetséges? Egy valószínűségi változó kialakulásának valószínűsége binomiális eloszlás esetén = (1 ) =!!! (1 ) P: annak valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó (x) értéke n alkalommal elvégzett kísérlet esetén k esetben valósul meg x: valószínűségi változó (pl. a fejek számának alakulása pénzérme többszöri feldobása után) : binomiális együttható n: az elvégzett kísérlet teljes száma k: a sikeres esetek száma n-k: a sikertelen esetek száma p: a siker valószínűsége 1-p: a kudarc (komplementer esemény) valószínűsége 3
Binomiális eloszlás jellemzői Átlag ( várható érték ): = Variancia: =(1 ) Szórás: = (1 ) Példa a binomiális eloszlásra Egy érme 10x feldobva egymás után. Mi a valószínűsége annak, hogy: 3 írástdobunk = P x =!!! (1 ) 10! 3! 10 3! 0.5# 1 0.5 $%# =0.12 4
Példa a binomiális eloszlásra Egy érme 10x feldobva egymás után. Mi a valószínűsége annak, hogy: Kevesebb mint 3 írást dobunk Több mint 3 írást dobunk hogy írást dobunk nem dobunk írást egyáltalán x P(x) kumulatív P(x) 0 0.00097 0.00 1 0.01 0.01 2 0.04 0.05 3 0.12 0.17 4 0.21 0.38 5 0.25 0.62 6 0.21 0.83 7 0.12 0.95 8 0.04 0.99 9 0.01 1.00 10 0.00097 1.00 P(X) 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 Példa a binomiális eloszlásra x valószínűségi változó ELOSZLÁSA x P(x) kumulatív P(x) 0 0.00097 0.00 1 0.01 0.01 2 0.04 0.05 3 0.12 0.17 4 0.21 0.38 5 0.25 0.62 6 0.21 0.83 7 0.12 0.95 8 0.04 0.99 9 0.01 1.00 10 0.00097 1.00 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 5
Példa a binomiális eloszlásra 1.2 x valószínűségi változó ELOSZLÁSFÜGGVÉNYE 1 0.95 0.99 1.0 1.0 () = (X < x) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.01 0.05 0.17 0.38 0.62 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x 0.83 x P(x) kumulatív P(x) 0 0.00097 0.00 1 0.01 0.01 2 0.04 0.05 3 0.12 0.17 4 0.21 0.38 5 0.25 0.62 6 0.21 0.83 7 0.12 0.95 8 0.04 0.99 9 0.01 1.00 10 0.00097 1.00 Kísérlet 2 Egy orvosnak 1 év alatt a kezelt 2080 betegből 728-at sikerült meggyógyítania. Mi a valószínűsége annak, hogy a következő héten: Nem gyógyít meg egy beteget sem. Pontosan 4 beteget fog meggyógyítani. Kevesebb mint 4 beteget fog meggyógyítani. Több mint 4 beteget fog meggyógyítani. 6
Poisson eloszlás Simeon Denis Poisson (19 századi ökológus) nevezetes diszkrét eloszlás a valószínűségi változók egyedi mintázatot követnek egy modell arra, hogy megtaláljuk egy diszkrét valószínűségi változó kialakulásának valószínűségét egy perióduson (szakasz, intervallum) belül (időben vagy térben). A Poisson eloszlás feltételei egy esemény előfordulása megszámlálható egy bizonyos időbeli vagy térbeli időszakon belül. x felvehet bármilyen értéket 0 és a (megszámlálhatóan) végtelen között. Az események függetlenek egymástól. Egy időben csak egy esemény valósulhat meg. 7
Egy valószínűségi változó kialakulásának valószínűsége Poisson eloszlás esetén = &λ λ ' P: egy valószínűségi változó kialakulásának valószínűsége x: valószínűségi változó, a kialakuló események száma e: a természetes alapú logaritmus alapszáma (2.718 ) λ: az esemény kialakulásának átlagos gyakorisága! A Poisson eloszlás jellemzői átlag: = λ variancia: =λ szórás: = λ 8
Példa a Poisson eloszlásra Egy gyógyszertárban 5 vásárlót szolgálnak ki óránként (λ) Mi a valószínűsége annak, hogy x személyt szolgálnak ki a következő órában? = &λ λ '! Példa a Poisson eloszlásra Egy gyógyszertárban 5 vásárlót szolgálnak ki óránként (λ) Mi a valószínűsége annak, hogy x személyt szolgálnak ki a következő órában? x P(x) Kumulatív P(x) 0 0.0067 0.0067 1 0.0337 0.0404 2 0.0842 0.1247 3 0.1404 0.2650 4 0.1755 0.4405 5 0.1755 0.6160 6 0.1462 0.7622 7 0.1044 0.8666 8 0.0653 0.9319 9 0.0363 0.9682 10 0.0181 0.9863 11 0.0082 0.9945 12 0.0034 0.9980 13 0.0013 0.9993 14 0.0005 0.9998 15 0.0002 0.9999 16 0.0000 1.0000 9
Példa a Poisson eloszlásra X valószínűségi változó ELOSZLÁSA 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 P(x) 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x Példa a Poisson eloszlásra X valószínűségi változó ELOSZLÁSFÜGGVÉNYE 1.2 1 0.95 0.99 1.0 1.0 () = (X < x) 0.83 x P(x) Kumulatív P(x) 0.8 0 0.0067 0.0067 1 0.0337 0.0404 0.62 2 0.0842 0.1247 0.6 3 0.1404 0.2650 4 0.1755 0.4405 0.38 5 0.1755 0.6160 0.4 6 0.1462 0.7622 7 0.1044 0.8666 0.2 0.17 8 0.0653 0.9319 9 0.0363 0.9682 0.05 10 0.0181 0.9863 0 0.01 0 11 0.0082 0.9945 0 2 4 6 8 12 0.0034 10 0.998012 x 13 0.0013 0.9993 14 0.0005 0.9998 15 0.0002 0.9999 16 0.0000 1.0000 10
Folytonos valószínűségi változó Az eloszlásfüggvény alapján: A lehetséges értékek száma megszámlálhatatlanul végtelen (bármely érték előfordulhat egy intervallumon belül) (pl. testhőmérséklet, vérnyomás) eloszlásfüggvényük folytonos Normális eloszlás, Exponenciális eloszlás, Egyenletes eloszlás ()=(( <) Ez a függvény minden x értékre megadja annak a valószínűségét, hogy a valószínűségi változó (X) x-nél kisebb értéket vesz fel. A folytonos valószínűségi változó értéke egy bizonyos x pontban 0 (Formálisan minden értéknek végtelenül kicsi a valószínűsége, mely statisztikusan ekvivalens a zéróval.) Sűrűségfüggvény Folytonos valószínűségi változó esetén a sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriválásával álítható elő: ) =* Folytonos valószínűségi változó esetén az eloszlásfüggvény a sűrűségfüggvény integrálásával álítható elő: =+ *, ' - 11
A sűrűségfüggvény jellemzői * 0,&0 1&2&3 &453í7. - 8 *, =1 - ; 8 *, =(5 :) < az [a,b]-beli integrál megadja az X valószínűségi változó [a,b]-be esésének valószínűségét. Normális eloszlás (Gauss-eloszlás) Az eloszlási függvénye folytonos. ()=( <) A sűrűség függvénye harang alakú. * = 1 2= & $ '>? @ µ: várható érték, σ: szórás a görbe alatti terület a valószínűségi változó megvalósulásának valószínűségével arányos f(x) nem a valószínűséget jelenti 12
Gauss-eloszlás sűrűségfüggvénye P(X<x) f(x) Gauss-eloszlás eloszlásfüggvénye Normális eloszlás: sűrűségfüggvény 0.25 ϕ(x) 0.2 0.15 0.1 0.05 µ: 0 σ: 3 µ: 0 σ: 2 µ: 3 σ: 2 0-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x µ: várható érték, σ: szórás 13
Standard normális eloszlás Ha µ=0 és σ=1, akkor a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye: A = 1 2= &'@ Eloszlásfüggvény: ϕ(x) 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 x Φ = 1 2= + &B@,3 ' - A normális eloszlás standardizálása C = normális eloszlás standard normális eloszlás 14
0.9 Standard normális eloszlás 0.8 0.7 0.6 C = µ: 6 σ: 0.5 0.5 0.4 µ: 0 σ: 1 0.3 0.2 0.1 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C = 6.5 6 =1 0.5 15
Z-táblázat Normális eloszlás 16
Normális eloszlás P=0.841-(1-0.841)=0.841-1+0.841=0.682 Vége! 17