MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1

Cél: elsőrendű feladatukat ellássák (védelem a természeti hatások ellen) erőhatásokat biztonsággal viseljék gazdaságosak legyenek Egyes szerk. elemek anyaga, mérete: tapasztalati úton (pl. válaszfal, padlóburk.) erőtani vizsgálattal: teherhordó vagy tartószerkezetek fizika tudományos módszereinek alkalmazása MECHANIKA Testek anyagok mozgásállapotával foglalkozik KINEMATIKA A mozgások leírásával foglalkozik DINAMIKA A mozgások okainak feltárása KINETIKA Mozgásban lévő testek vizsgálata MEEV TESTEK STATIKÁJA Alakváltozás nincs: a test pontjainak egymástól mért távolsága állandó STATIKA Nyugalmi állapot vizsgálata SZILÁDSÁGTAN Van alakváltozás: külső erőkből méret és alakváltozások, feszültségek 2

1. Statikai alapfogalmak 2.1. Erő: azt a hatást, amely a test mozgásállapotát (irány v. nagyság szerint) megváltoztatja erőnek nevezzük. Erő jellemzői: nagyság (N v. kn) hatásvonal (támadásponton megy át) irány (értelem) Erő ábrázolása: vektor (irányított szakasz) 1 N 1 kg tömegű testnek 1 m/s 2 nagyságú gyorsulását okozza. Nehézségi erő (G): 1 kg tömegű testnek g = 9,81 m/s 2 gyorsulást ad. Erő fajtái: koncentrált (kis felületen hat) latin nagybetű pl., G,, A, B, C megoszló latin kisbetű pl. q, p, g vonal menti (gerenda) felületi (lemez) térbeli (súlyerő) 3

Erő ábrázolása, megadása: vektor, koordinátarendszer 0 x 1 x y 2 3 2 φ y = +5 kn x 1 = 4 m y 1 = 0 m φ 1 = 0 2 = -2 kn x 2 = 0 m y 2 = 6 m φ 1 = 90 3 = +4 kn x 3 = 8 m y 3 = 5 m φ 1 = 30 Nézetrajz M=1:100 Vektorábra 10 mm 5 kn 2.2. Erőrendszer: két v. több erő együttese Síkbeli erőrendszer: közös sík Térbeli erőrendszer: nincs közös sík 2.3. Eredő erő: minden vonatkozásában helyettesíti az erőrendszert Helyettesítő erők: összetevők, komponensek 2.4. Erőösszetétel: erőrendszer helyettesítése egyetlen erővel 2.5. Erőfelbontás: az erőt két v. több erővel helyettesítjük (erőösszetétellel ellentétes) 4

2.6. Egyensúly: Ha valamely anyagi test mozgásállapota a rá ható erőrendszer hatására nem változik meg, akkor az erőrendszert egyensúlyi erőrendszernek nevezzük. ( = 0) Ha nyugalomban lévő test a rá ható erők hatására nyugalomban marad, a testre működő erők rendszere egyensúlyi erőrendszert alkot. 2.7. Egyenértékűség: Két erőrendszert akkor mondunk egyenértékűnek, ha ugyanazon anyagi test mozgásállapota mindkettő hatására ugyanúgy változik meg. Másképp: két erőrendszer akkor egyenértékű, ha mindkettő egyensúlyozásához ugyanazt az erőrendszert kell felhasználnunk. 5

2.8. Az erő vetülete: kezdő és végpontok merőleges vetítése egy t tengelyre α t t t = cosα α = 0 t = α = 90 t = 0 Erő vetülete a gyakorlatban: O y y x α x α x y x = cosα y = sinα = 2 x tgα = + y x 2 y 2.9. Az erő nyomatéka: csavarkulcs, kormány M A = a előjel + a [knm, kncm] A Nyomatékok összegzése: a = 0 M = 0 = 0 M = 0 a 1 2 M n A = i i= 1 a = a a + a i 1 1 2 2 3 3 A a 2 előjelesen!!! a 3 3 6

3. A statika alaptételei Axióma: alapvető törvényszerűség (közvetlenül a tapasztalatból) bizonyítani nem szükséges a belőlük levont következtetések a természet törvényeivel nem ellenkeznek tovább nem egyszerűsíthetők 4 db!!! 3.1. Első axióma: (régóta ismert) Merev testre ható két erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha hatásvonaluk közös, nagyságuk azonos és irányuk (értelmük) ellentétes. (, 2 ) = 0 2 2 Támadáspontnak nincs szerepe 7

3.2. Második axióma: (középkori boltozatépítők is ismerték) Három különböző hatásvonalon működő erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha hatásvonalaik közös pontban metszik egymást és vektoraikból zárt, nyílfolytonos vektorháromszög szerkeszthető. (, 2, 3 ) = 0 2 3 2 3 3.3. Harmadik axióma: (Pierre Varignon 1685) Merev testre ható erőrendszer hatása nem változik, ha az adott erőrendszerhez egyensúlyban lévő erőket adunk hozzá vagy az erőrendszerből ilyeneket távolítunk el. Következménye: merev testre ható erők hatásvonaluk mentén bárhova elcsúsztathatók (a támadáspont a hatásvonalon bárhol felvehető). 8

Bizonyítás: A = A = - B B 3.4. Negyedik axióma: (Isaac Newton 1687) Két merev test által egymásra kifejtett erők mindig páronként fordulnak elő, közös hatásvonalúak és ellentétes irányúak (értelműek). /hatás-ellenhatás, akció-reakció/ N = G - N 9

4. Közös metszéspontú két erő összetétele 4.1. Közös hatásvonalon működő két erő összetétele 50 kn 30 kn = 20 kn 30 kn - 30 kn = (1. és 3. axióma alapján) 4 kn = = 1 kn 1 kn 1 kn 1 kn 1 kn 3 kn 4.2. Végesben metsződő hatásvonalú két erő összetétele és egyensúlyozása egy erővel 0.) 1.) 2.) E E 2 2 2 2 E Eredő tehát: 2 E nyílütközés átmegy a ket erő metszéspontján minden szempontból helyettesíti az erőrendszert 10

5. Síkbeli erőrendszer összetétele Sokszor szükséges a sok erőből álló erőrendszert egyetlen erővel (eredő) helyettesíteni. 5.1. Síkbeli erőrendszer összetétele szerkesztéssel Lépésenként alkalmazzuk a két végesben metsződő erőre megismert módszert. 2 3 1-2 2 1-2 2-3 3 4 4 2-3 Tanulság: első és utolsó összekötése erősokszög nyílütközéssel sorrend tetszőleges Kötélsokszög szerkesztés (alternatív módszer) Az alapszerkesztés csak akkor alkalmazható, ha az erők metszéspontja a rajzlapra kerül ( kifér ). S 5 2 3 1 S 4 S 1 S 3 S2 4 S 5 -S 1 S 2 S 1 Ω S 1 Ω. (S 1,, 2, 3, 4 ) = S 5 2 3 S 3 S 4 S 5. (S 5, -S 1 ) =. (-S 1,, 2, 3, 4, -S 1 ) = S 5 4 11

Ezek után a szerkesztés gyakorlati menete: V I 2 3 4 II III IV 2 II III I Ω IV 3 V 4 Ω póluspont felvétele tetszőleges, alkalmasan kell felvenni! 5.2. Síkbeli erőrendszer összetétele számítással Két fontos tétel bizonyítása 2 erőre, majd általánosítás több erőre. 0 5.2.1. Vetületi tételek y x y x 2 x 2x 2y y 2 I. x + 2x = x x = ix II. -y + 2y = - y y = iy Az eredő vízszintes (függőleges) vetülete egyenlő az összetevők vízszintes (függőleges) vetületeinek algebrai (előjeles) összegével. 12

5.2.2. Nyomatéki tétel y y 0 x 2x x x Szorozzuk meg az I. vetületi tételt y A -val! x y A + 2x y A = x y A y A 2y 2 M A 1 + M A 2 = M A A y III. M A = M A i Az eredő nyomatéka a sík valamely pontjára egyenlő az összetevők ugyanezen pontra felírt nyomatékainak algebrai összegével. Több erőt tartalmazó erőrendszer visszavezethető két-két erő sorozatos összetételére (bizonyítottuk), így tételeink általánosíthatók. Köszönöm a figyelmet! 13