Leadva az Építés- és Építészettudomány számára 008.1.0. NYOMOTT ZÓNÁBN NEMLINEÁRIS NYGTÖRVÉNYŰ VSBETON KERESZTMETSZET SEMLEGES TENGELYÉNEK SZÁMÍTÁS Calculation of the neutral axis of reinforced concrete cross section with nonlinear material law in the compressed zone Rechnung die Null-Linie von Stahlbeton Querschnitt mit nonlinear Spannungs- Dehnungslinie in der gedrückten Zone SIPOS NDRÁS ÁRPÁD* Rövidített cím: Vasbeton keresztmetszet semleges tengelyének számítása * PhD okl. építészmérnök tudományos munkatárs BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék. Tel.: 46-16; e-mail: siposa@silver.szt.bme.hu
1. BEVEZETÉS lineárisan rugalmas rúd alakváltozásainak számításával számtalan publikáció foglakozik mind elméleti mind gyakorlati oldalról [1-4]. húzószilárdság nélküli vagy korlátozott húzószilárdságú például vasbeton rudak számítása lényegesen ritkábban kerül elő a szakirodalomban [5-6]. javasolt eljárások vagy csak erős megszorítások esetén működnek (pl.: téglalap alakú keresztmetszet) vagy pedig nem robusztus eljárások. Ez utóbbi a numerikus eljárásban fellépő divergens esetenként kaotikus viselkedést jelent ami aligha engedhető meg egy mérnöki probléma megoldása során. probléma nehézsége abból adódik hogy a húzott zónában megjelenő repedések miatt a rúd merevsége függ a rúd alakjától a és együtt határozza meg az egyensúlyi rúdalakot. megbízható megoldást a legegyszerűbb térbeli alakok leírására alkalmas modell a megfelelő módosításával keressük a nyírásból és összenyomódásból származó deformációkat egyelőre nem vesszük figyelembe. hhoz hogy a rúd alakját számítani lehessen szükséges a rúd egy keresztmetszeténél a görbület és elcsavarodás meghatározása. Tetszőleges alakú keresztmetszetre húzószilárdság nélküli anyag esetén ezen részfeladat megoldása is numerikus eljárást kíván. Egy korábbi ezen folyóiratban megjelent dolgozatunkban [7] részletesen tárgyaltuk a kétdimenziós Pelikán-iteráció tulajdonságait. Ez az eljárás tetszőleges alakú keresztmetszet számítására alkalmas globálisan konvergens algoritmus azonban a kiindulási feltételek szerint a nyomott zónában a feszültségek egyenesen arányosak a megnyúlással. kísérleti eredmények alapján a beton úgynevezett anyagtörvényű anyag. Így merül fel a kérdés hogy lehetséges-e konvergens eljárással egyértelműen meghatározni egy külpontosan nyomott húzószilárdsággal nem rendelkező és a nyomott zónában nemlineáris függvénnyel adott anyagtörvényű keresztmetszet semleges tengelyét és következésképpen a görbületet. Jelen dolgozatunk egy ilyen eljárást mutat be kizárólag a keresztmetszet megoldásával foglalkozik azonban a választott rúdmodell meghatároz egyes kiindulási feltételeket. cikk második fejezete a kiindulási feltételeket tartalmazza a harmadik fejezet a probléma egy igen korlátozott megoldását mutatja be. Ez a fejezet rávilágít arra hogy a Pelikán-iterációval analóg az egyensúlyi egyenletekből levezetett rekurzió csak igen erős megszorítások esetén adható meg zárt formában. negyedik fejezet mutatja be az általános esetben alkalmazható eljárást amely ugyan lényegesen bonyolultabb a Pelikán-iterációnál de numerikus szimulációk alapján kiválóan működik. z ötödik fejezet az algoritmus megvalósítását mutatja be majd a cikket összefoglalás és köszönetnyilvánítás zárja.
. FELDT LEÍRÁS.1. FELTEVÉSEK Munkánk során a Kirchhoff-féle rúdmodellből indulunk ki ezért a nyírásból és összenyomódásból származó deformációt figyelmen kívül hagyjuk. Kirchhoff-féle rúdmodelltől eltérően az anyagtörvény nemlineáris. húzószilárdság zérus a rúd húzott tartományait berepedtnek tekintjük a repedések diszkrét kialakulása még nem része modellünknek (1. ábra). rúdmodellel összhangban a sík keresztmetszetek a deformált állapotban is síkok és a rúdtengelyre merőlegesek maradnak (Bernoulli-Navier hipotézis). z anyagtörvényre vonatkozóan két esetet különböztetünk meg: a nyomott zónában az anyagtörvény lehet (erre az esetre vonatkozik a Pelikániteráció) vagy. Eltérően a megszokott terminológiától a továbbiakban az anyagtörvényt a nyomott zóna alapján fogjuk lineárisnak vagy nemlineárisnak nevezni a húzószilárdság mindkét esetben zérus. rúd egy keresztmetszete általános terhelés mellett tipikusan külpontosan nyomott egyidejű csavarás mellett. csavarást jelen dolgozat nem tárgyalja. gyakorlati alkalmazás (vasbeton oszlopok és gerendák) miatt a keresztmetszet a húzószilárdság nélküli tartományokon ( ) kívül tartalmazhat húzószilárdsággal rendelkező tartományokat ( ) is. húzószilárdság nélküli rész keresztmetszeti jellemzőire a a húzószilárdsággal rendelkező terület jellemzőire pedig az indexek utalnak. a.) teljes tetszőleges alakú beton keresztmetszet a tetszőleges helyzetű vasbetétekkel b.) dolgozó keresztmetszetet a repedésmentes beton és a vasbetétek alkotják 1. ábra. keresztmetszet
későbbiekben a. ábra jelöléseit használjuk a keresztmetszetet nyomóerő terheli a D döféspontban. Mivel egy fizikailag objektív mennyiséget a semleges tengely helyét keressük az eljárás független a választott koordináta-rendszertől az algebrai egyszerűsítések lehetőségének kihasználására egyenleteinket a D origójú egyébként tetszőleges irányú [ ] koordináta-rendszerben írjuk fel. ε ( ) megnyúlások a következő képlettel írhatók le: ε ( ) κ ( cosω sin ω ) (1) ahol ω a semleges tengely és az koordináta tengely által bezárt szög a semleges tengely és az origó (D pont) közötti távolság és κ a görbület.. ábra. Jelölések könnyebb implementáció miatt a későbbiekben a semleges tengelyt a ( ) tengelymetszeteivel fogjuk jellemezni. tengelymetszetek és az ω szög továbbá a távolság közötti összefüggések: ω arctan (). () z előző két egyenlet bármelyikében a nevező formálisan lehet zérus azonban ez akkor áll elő ha a semleges tengely átmegy a döfésponton. Könnyű megmutatni hogy eljárásunk folyamán ez az eset nem fordulhat elő kivéve ha mi magunk szándékosan így vesszük fel az első becslést. Rekurzív eljárásokat fogunk vizsgálni az iterációs lépés hangsúlyozására az aktuális lépést felső index fogja jelölni. vasbetét és a beton rugalmassági modulusának arányát jelölje azaz. (4) Dolgozatunkban a nyomást jelöljük j a beton anyagtörvénye σ (ε) a vasalás anyagtörvénye pedig σ (ε). fellágyuló anyagtörvény leírására 4
számtalan képletet találunk a szakirodalomban jelen dolgozatban az anyagtörvényeket polinom formájában adjuk meg ami tekinthető úgy is hogy az anyagtörvényt az ε0 helyen vett Taylor-sorával közelítjük. Így σ ( ε ) k q1ε qε K q ε k 0 σ ε ε ε K ha ha ε 0 ε < 0 (5) ( ) 1 ε (6) ahol q 1 >0 1>0 és q q k valamint tetszőleges valós számok. képletekben lineáris tag együtthatóját tekintjük a rugalmassági modulusnak azaz q 1 és 1. z ilyen módon felirt anyagtörvény megengedi hogy nagy összenyomódásra húzófeszültség ébredjen a szabványokban szereplő maximálisan megengedhető összenyomódást vizsgálatát az itt bemutatott eljárástól függetlenül el kell végezni. számítás során minden iterációs lépésben a betonnak húzószilárdságot is fogunk tulajdonítani ezen elképzelt esethez tartozó anyagtörvény: k σ '( ε ) q1ε qε K q k ε. (7) nyomóerővel külpontosan terhelt keresztmetszet egyensúlyát kifejező egyenletek: σ ( ε ) σ ( ε ) 0 (8) σ ( ε ) σ ( ε ) 0 (9) σ ( ε ) σ ( ε ) 0 (10) ahol a dolgozó beton pedig a vasbetétek területe. Megjegyezzük hogy az eljárás általános jellege miatt a mérnöki gyakorlattól eltérő módon a beton keresztmetszet a vasbetétek területét nem tartalmazza azaz a beton síkidom területéből a vasak keresztmetszeti területét levonva kapjuk meg -t. z egyenletrendszer nemlineáris jellege abból fakad hogy az beton keresztmetszetet az ismeretlen semleges tengely határolja. z egyenletrendszer megoldására használt iteráció egyes lépéseiben az aktuális semleges tengely a keresztmetszetet általában két részre vágja a D döféspontot tartalmazó területen ébrednek nyomófeszültségek mindig ezen darabot tekintjük a k részének. z iteráció minden lépésében a betonnak húzószilárdságot tulajdonítunk azaz a semleges tengelyre vonatkozó következő becslést a σ (ε) anyagtörvény felhasználásával állítjuk elő. Ezen semleges tengely által meghatározott dolgozó keresztmetszet-rész az iteráció következő lépésének bemenő adata. mennyiben a rekurzió konvergens ez a helyettesítés éppen a (8)-(10) egyenletrendszer megoldásához vezet. z iteráció. lépésében a következő egyenletrendszert oldjuk meg σ '( ε ) σ ( ε ) 0 (11) σ '( ε ) σ ( ε ) 0 (1) σ '( ε ) σ ( ε ) 0. (1) 5
z egyenletrendszer ismeretlenjei az (1) egyenlet behelyettesítésével ω 1 i1 és κ i1 vagyis az ( 1)-edik lépés semleges tengelye és a hozzá tartozó görbület. leképzést röviden a következő formában írhatjuk le: ω κ ω ) F κ. (14) z egyszerűbb implementáció miatt a kifejlesztett algoritmus felhasználva a () () egyenleteket és azok inverzeit a következő leképzést valósítja meg: κ 1 rekurzió mindaddig folytatódik amíg F κ < δ < δ. (15) és (16) ahol δ egy rögzített tetszőlegesen kicsiny szám. következő fejezetben a (15) egyenletnek megfelelő rekurziót mutatunk be a nyomott zónában nemlineáris anyagtörvény esetén.. PROBLÉM KORLÁTOZOTT MEGOLDÁS.1. REKURZIÓ SZÁRMZTTÁS Ebben a fejezetben szimmetrikus vasalatlan külpontosan nyomott keresztmetszetet vizsgálunk. beton anyagtörvényét másodfokú függvénnyel közelítjük azaz az (5) egyenletben k: σ ( ε ) q1ε qε 0 ha ha ε 0 ε < 0. (17) mennyiben magasabb fokú polinomból indulnánk ki nem lehetne zárt megoldást levezetni.. ábra. beton fellágyuló anyagtörvényének közelítésére használt másodfokú függvény a határ-összenyomódást a számítás folyamán figyelmen kívül hagyjuk. 6
4. ábra. Szimmetrikus keresztmetszet a szimmetriatengelyen működő nyomóerővel. z ábra a számítás nehézségét hangsúlyozza: az anyagtörvény alapján két olyan egyenes is létezik ahol a feszültségek értéke zérus. Gyakorlati problémákban természetesen az egyik egyenes a keresztmetszet szélétől távol esik. anyagtörvényben szereplő polinom egyik gyöke az ε0 helyen van feltesszük hogy a q 1 és q konstansok olyanok hogy a polinom másik gyöke ε>0 értéknél található. Ez a q 1 >0 feltétel miatt azt jelenti hogy q <0. mennyiben a semleges tengelyt a zérófeszültségű pontok meghatározásával keressük ez két megoldásra vezet. Ezzel függ össze hogy a számítás egyszerűsítésére a feszültségi testet ebben az eljárásban a semleges tengely helyett annak maximum vonalával jellemezzük. maximum vonal azon pontokat összekötő egyenes ahol maximális nyomófeszültség ébred. maximum vonal ismeretében lehet a semleges tengely helyét kiszámítani.. ábra alapján a (17) egyenlet első sorában szereplő kifejezést átírjuk: σ '( ε ) q ( ) ε ε ε1 qε ε (18) q ahol ε 1 a maximális nyomófeszültséghez ( ) tartozó összenyomódás. (18) összefüggés jól mutatja hogy ez az eljárás q 0 (lineáris) esetet nem tudja kezelni. (18) egyenletből származtatott rekurzió esetén két másodfokú egyenletet kell egymást követően megoldani a (17) egyenletből származtatott rekurzió egy negyedfokú egyenlet megoldására vezet. Megjegyezzük hogy q alkalmas választásával a beton szabványokban szereplő fellágyuló anyagtörvénye jól közelíthető. Szimmetrikus keresztmetszet és a szimmetriatengelyre eső döféspont esetén a maximum vonal egydimenziós leképzéssel számítható. leképzést az egyensúlyi egyenletekből származtatjuk. Pelikán-iterációval szemben ahol elég volt a nyomatéki egyenletet figyelembe venni itt a vetületi egyenletre is szükségünk van. maximum vonal keresése miatt az összenyomódás 7
ε ( ) κ ( ) ε1 (19) alakban írható ahol a D döféspont és a maximum vonal közötti távolság (4. ábra). Ez utóbbi kifejezést a (18) egyenletbe helyettesítve σ '( ε ) q κ ( ) qε1 qκ ( ). (0) szimmetrikus elrendezés miatt az egyik nyomatéki egyenlet minden lépésben teljesül feltéve hogy a semleges tengelyre (maximum vonalra) vonatkozó első becslésünk merőleges a szimmetriatengelyre. másik két egyensúlyi egyenletben az iteráció lépésére utaló indexet csak a kifejezések legelején jelezzük: σ q κ ( ε ) ( qκ ( ) ) ( I S ) 0 ' ( ε ) ( qκ ( ) ) κ ( J I S ) S 0 ' σ q (1) () ahol a felületi integrálokat a szokott módon értelmezzük ( I ) azonban megjelenik egy magasabb fokú integrál is: J (1) egyenletből κ kifejezve kapjuk hogy q ( I S ). S. κ () amit a () egyenletbe helyettesítünk majd a erőt függvényében fejezzük ki: ( J I I S S ) ( ). (4) J (4) összefüggés részletes vizsgálata [8] publikációban megtalálható itt csak a vizsgálat végeredményét közöljük. Meg lehet mutatni hogy mindig létezik az elméleti maximális erő. Ha < akkor a (4) egyenletet átrendezve és megoldva két valós megoldást kapunk -re ha akkor egy megoldás van a > akkor nem létezik olyan feszültségi test amellyel egyensúlyt lehetne találni. megoldások ezek szerint csak a esetben teljesül a < esetben döntenünk kell hogy a két az egyensúlyi feltételeket kielégítő feszültségi test közül melyiket fogadjuk el az iteráció következő lépésének bemenő adataként. Ez alapján a rekurzió megvalósítására három különböző megközelítés lehetséges: 1. S adunk arra az esetre ha két feszültségi test is megoldást jelent. Ilyen szabály lehet például hogy a két feszültségi test közül azt választjuk amelyhez a () egyenlet szerint kisebb abszolút értékű görbület tartozik. Ez a szabály a tehertörténetre vonatkozó feltételezést fejez ki: feltesszük hogy a múltban a külső teher értéke soha nem érte el értékét ezért a nagyobb görbülethez tartozó feszültségi testet I S 8
kizárjuk mint lehetséges megoldást. Ha az iterációs lépésben > eset állna elő az eljárás leáll.. z (4) összefüggés első és második deriváltjainak előállításával értékét minden iterációs lépésben kiszámítjuk és a feszültségi testet ezen teherszinten határozzuk meg. Ezen megközelítés előnye hogy a megoldások unicitása teljesül azonban a külső teher helyett minden lépéshez egy különböző értékű erő tartozik. Ez a gyakorlati feladatokban az adott keresztmetszetnél fellépő görbület egy biztonságos felső becsléséhez vezet ha < végig teljesül.. Mindaddig a külső terhet vesszük figyelembe amíg < egyébként pedig a feltételezéssel élünk. Numerikus szimulációk alapján mindhárom megközelítés k... MINTPÉLD z előzőekben levezetett eljárás működését egy egyszerű téglalap alakú keresztmetszet segítségével mutatjuk be. z 5. ábra jelöléseit használjuk és feltesszük hogy a keresztmetszet bal oldala x <0 jobb oldala az x >0 helyen található. Ha > akkor (a semleges tengelyre vonatkozó becslés a keresztmetszeten kívül esik a teljes keresztmetszet dolgozik azaz repedésmentes az állítás részletes indoklása [9]-ben megtalálható). 5. ábra. minta számításpéldában használt jelölések Ha < (a keresztmetszet berepedt) a (1)-() egyensúlyi egyenleteket a felületi integrálok kifejtésével a következő alakban lehet felírni: κ ( ) ( ) 0 1 κ (5) 4 1 4 4 1 1 0.(6) 9
(5) egyenletből κ kifejezve és azt a (6) egyenletbe helyettesítve -re egy másodfokú kifejezés adódik. Ha ez valós számokra vezet az azt jelenti hogy. Ha két eltérő valós gyököt kapunk eredményül akkor a kisebb κ görbületet eredményezőt fogadjuk el megoldásnak. κ görbületet és a távolságot az anyagtörvény kifejezésbe helyettesítve a semleges tengely helye a következő összefüggéssel számítható: ahol Z 6 1 ( ) ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) Z Z (7) ( ) 4 4 6 6 4 8 6 4. (8) (7). egyenlet az egydimenziós iterációt meghatározó függvény az -edik lépés semleges tengelyéhez az ( 1)-edik lépés semleges tengelyét rendeli hozzá konstans erő esetén. mennyiben az iterációt feltételezés mellett kívánjuk futtatni az (4) függvény és deriváltjai segítségével meg kell határoznunk az. lépéshez tartozó értéket. téglalap példáján az említett egyenlet a következő alakban írható: ( ) 4 8 6 6 8 6 6 8 4.(9) ( ) függvény maximumát a szélsőértékek vizsgálatával határozzuk meg. d ( ) 0 (0) egyenletnek két gyöke van -re: d 1 ( ) ( ) 1 6 1 1 6 0 1 (1) ( ) ( ) 0. () (9) kifejezésben szereplő függvény második deriváltjának 01 és 0 helyen vett előjelei alapján a 01 helyen a függvénynek maximuma 0 helyen minimuma van bármely fizikailag értelmes és esetén. Ezek alapján a (1) kifejezést a (9) kifejezésbe kell helyettesíteni: ( ) max. () és 01 értékek egyértelműen meghatározzák a feszültségi testet a κ görbületet (5) egyenletből lehet kifejezni. z -edik és ( 1)-edik lépés semleges tengelye közötti kapcsolatra pedig a következő összefüggést kapjuk: ( ) ( ) ( ) 6( ).(4) 10
Ez az iteráció nem csak az unicitás miatt hasonlít a Pelikán-iterációra hanem azért is mert a (4) kifejezés csak és geometriai mennyiségeket tartalmazza az anyagi konstans értékét azonban nem [10]. Numerikus számításhoz a következő téglalapot vettük fel: -0 cm és 60 cm 10 cm az anyagtörvényben 48 MPa és -1 GPa. 6. ábrán az iteráló eljárás függvényét tüntettük fel nem csak a feltételezéssel (4) hanem különböző konstans értéken tartott esetén is (9). Összehasonlításként feltüntettük a nyomott zónában lineáris anyagtörvényű esetet is ezen függvény vizsgálatával foglakozik [911]. 6. ábra. z iteráló eljárás függvénye különböző esetekben függvényekkel kapcsolatban érdemes megemlíteni hogy a lineáris esetben az iteráló eljárás függvényének minimuma az 1 egyenesre esik azaz a fixpont és a minimum egybeesik. [9] alapján ez biztosítja azt hogy ha az első 1 becslésünk a semleges tengelyre a > feltételt kielégíti akkor az eljárás monoton módon a fixpontba konvergál [11] ciklus nem alakulhat ki. z előző mondatban az jelölés az iteráció tetszőlegesen sokadik lépésére utal azaz nem más mint a fixpont helye. nemlineáris esetben ha az iterációt konstans értékkel valósítjuk meg a fixpont és a lokális minimum egybeesik a konvergencia biztosított. feltétel mellett végzett rekurzió esetén azonban más a helyzet a lokális minimum a fixponttól eltér. Itt elméletileg kialakulhatna ciklus azonban numerikus szimulációkban ezt nem tapasztaltuk. Ezzel együtt nem kizárt olyan konstansok meghatározása ahol a ciklikus viselkedés valóban megmutatkozik. Ez azt is jelenti hogy ámbár a feltételű eljárás esetén a megoldások unicitása teljesül ugyan azonban a globális konvergencia nem garantálható. 11
4. Z ÁLTLÁNOS LGORITMUS 4.1. Z ELJÁRÁS z előző részben ismertetett módszer legnagyobb hátránya hogy csak nagyon korlátozott esetben alkalmazható ráadásul határértékben nem adja vissza a lineáris eljárást hiszen a q 0 esetet nullával való osztás miatt nem tudja kezelni. Bármely irányban történő általánosítás lehetetlenné teszi hogy a rekurziót zárt formában fel tudjuk írni. Ez ugyan nem zárja ki valamely numerikus algoritmus beépítését de a módszer már jelen formájában is túlontúl bonyolult. Felmerül a gyanú hogy az általános esetet az egyensúlyi egyenletekből való direkt levezetés helyett valamely más megközelítéssel könnyebben lehet kezelni. Ez a rész egy ilyen eljárást mutat be. 7. ábra. Jelölések az általános algoritmushoz (5) és (6) összefüggésekkel adott anyagtörvényre a q 1 >0 és 1 >0 feltételeken kívül más megkötést nem tesszük azaz q q q k és tetszőleges valós számok. levezetés egyszerűsítésére még feltesszük hogy k. (11)-(1) egyensúlyi egyenleteket ω és κ ismeretlenekre csak trigonometrikus függvények felületi integráljainak számításával lehetne megoldani. Ráadásul lehetetlennek tűnik stratégiát adni a rengeteg gyök közül a megfelelő kiválasztására. Ezért a direkt megoldás helyett az úgynevezett kű fogjuk meghatározni. Ez nem más mint ugyanazon külpontosan nyomott keresztmetszet lineáris anyagtörvénnyel a nyomott beton zónában a nemlineáris feladattal azonos semleges tengellyel de eltérő döfésponttal. Ebben az esetben a semleges tengelyen ( ) és a görbületen (κ ) túl az egyenértékű lineáris feladat döféspontja ( ) is ismeretlen. Ez azt is jelenti hogy az [ ] koordináta-rendszer origója az iteráció folyamán 1
vándorol mindig az ( ) ponttal esik egybe (7. ábra). feladat megoldására szolgáló szemi-implicit leképzést a következő alakú: I J ˆ ( κ ) ˆ ( κ ) ( κ ) ( κ ) ( κ ) κ. (5) Ámbár a felírt ötdimenziós leképzés jóval bonyolultabb mint a lineáris esetben alkalmazott kétdimenziós Pelikán-iteráció meglepő módon eredményre vezetett. z aktuális semleges tengelyt lineáris anyagtörvény feltételezésével azaz a Pelikán-iterációval határozzuk meg. ˆ és ˆ függvények csak annyiban különböznek a Pelikán-iterációt meghatározó és függvényektől hogy formálisan és távolságokon kívül κ és mennyiségektől is függenek. és függvények származtatása és vizsgálata a [7] cikkben részletesen szerepel. semleges tengely ismeretében az anyagtörvény nemlineáris tagjait is figyelembe vesszük. semleges tengely 1 és 1 tengelymetszeteit a () és () egyenletekbe helyettesítve megkapjuk ω 1 és 1 értékét majd ezek és a (11) vetületi egyenlet felhasználásával egy κ-ra k-ad fokú egyenletre jutunk. Ez az egyenlet a dolgozó keresztmetszet magasabb rendű nyomatékait is tartalmazza k-ad fokú egyenlet esetén a (k1)-edik nyomaték kiszámítására van szükség. Erre a célra a [9] publikációban szereplő eljárás tetszőleges fokszámig kiterjeszthető. Hasonlóan a. fejezetben szereplő korlátozott megoldáshoz itt is a legkisebb valós κ értéket tekintjük a keresztmetszet görbületének. mennyiben k> szükséges valamely nemlineáris egyenletet megoldó algoritmus felhasználása. Megbízhatósága miatt erre kiválóan alkalmas az ún. Laguerre-eljárás [1]. Ez adja a (5) kifejezésben szereplő I függvényt. Végezetül meg kell határoznunk ez egyenértékű lineáris feladat döféspontjának helyét. Mivel az. lépésben az eredeti D 0 döféspont helyett a D pontba feltételezzük az egyenértékű lineáris feladathoz tartozó erőt ezért az egyensúly vizsgálatakor a két pont különbözőségéből adódó nyomatékot figyelembe kell vennünk. ω 1 1 és κ 1 ismeretében a nyomatéki egyenletek segítségével ki tudjuk fejezni az ún. k k k : σ ' ε σ ε (6) ( ) ( ) ( ε ) σ ( ε ) 1 ' σ. (7) kiegyensúlyozatlan nyomatékok kifejezései tartalmazzák az anyagtörvény nem lineáris tagjait hiszen az aktuális semleges tengely az egyenértékű lineáris feladat ereje és az anyagtörvény lineáris tagja miatt ébredő nyomaték közötti egyensúlyt jelenti. 1 azaz az ( 1)-edik lépés egyenértékű lineáris feladatában figyelembe vett erőt a következő kifejezéssel határozhatjuk meg: q ε σ. (8) ( ) 1 ( ) 1 ε 1
kiegyensúlyozatlan nyomaték és az egyenértékű feladathoz tartozó erő hányadosa adja a következő lépésben az egyenértékű lineáris feladat döféspontját: J ( κ ) ( κ ) Numerikus szimulációk alapján az eljárás globálisan konvergens.. (9) 4.. SZÁMÍTÁSI PÉLD z egyszerűség kedvéért a számítási példában a beton σ anyagtörvényét a nyomott zónában másodfokú polinommal a vasalás σ anyagtörvényét pedig lineáris függvénnyel írjuk le. Ez esetben alkalmazható az idealizált keresztmetszet amikor is a vasalást -szeres területű betonként vesszük figyelembe. 1 Miután az ( 1)-edik semleges tengelyt meghatároztuk a Pelikániteráció segítségével a κ 1 görbületet a következő kifejezéssel tudjuk számítani: ahol 0 q ( 0 ± 0 4 0 0 κ (40) 0 ( ) ( ) ( ) I cos ω I sin ω ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) cosω sin ω S cosω S sin ω 0 ( ) ( ) ( ) ( S S ) q ω 1 (41) ω (4) 0. (4) z előző egyenletekben a indexű mennyiségek a dolgozó beton keresztmetszetre vonatkozó felületi integrálokat az index nélküliek az idealizált keresztmetszet felett integrált mennyiségeket jelentenek például a beton- az idealizált keresztmetszet területe. kiegyensúlyozatlan nyomatékok és az egyenértékű feladatban szereplő erőt a következő kifejezésekkel tudjuk kiszámítani rövidítés miatt a κ az ω és mennyiségek mellől az ( 1) felső index elmarad: q κ I q κ ( ( J J ω ω J ω I ω J ω ω ω ) ω ) S S J J ω ω ω ω (44) (45) 1 vasalás magasabb fokú anyagtörvénye esetén ez már csak a lineáris tagra tehető meg a magasabb tagokra az integrálást külön el kell végezni a beton területre és külön a betonacélokra. betonterület definíciója miatt azonban a lineáris tag esetén az egyszerűsítés mind a húzott mind a nyomott zónában az említett módon végezhető el. 14
( S ω S ω ) q1κ (46) ahol az eddig nem definiált mennyiségek a következő felületi integrálokat jelentik: J J J és. Végezetül egy külpontosan nyomott T alakú keresztmetszeten mutatjuk be a számítás végeredményét. keresztmetszet 6 darab Φ0 betonacélt tartalmaz 66 q 1 0 GPa q -1 GPa. 7.a) ábra mutatja a lineáris anyagtörvénnyel kapott megoldást. b) és c) ábrán a konstans értéken tartott erőhöz tartozó megoldások láthatók a b) esetben 17500 kn a c) esetben pedig 5000 kn. d) ábra a feltételezéssel kapott eredményt mutatja. nemlineáris esetekhez az egyenértékű lineáris feladat döféspontjának elmozdulása is feltüntetésre került. a.) Lineáris anyagtörvény a nyomott beton zónában ekkor tetszőleges. b.) Másodfokú anyagtörvény a nyomott beton zónában 17500 kn. c.) Másodfokú anyagtörvény a nyomott beton zónában 5000 kn d.) Másodfokú anyagtörvény a nyomott beton zónában. 8. ábra. numerikus számítás eredményei az egyenértékű lineáris feladat döféspontjának vándorlása jól nyomon követhető 15
5. Z LGORITMUS MEGVLÓSÍTÁS z előző rész végén közölt példák számításhoz az algoritmus megvalósítására volt szükség. Ezzel kapcsolatban érdemes megjegyezni hogy numerikus szempontból ez nem jelent mást mint a Pelikán-iteráció nem túl bonyolult kiterjesztését. Pelikán-iteráció programozásáról [9] számol be részletesen itt csak a nemlineáris algoritmus leírásához nélkülözhetetlen információkat ismételjük meg. 5.1. LINEÁRIS NYGTÖRVÉNY (PELIKÁN-ITERÁCIÓ) Pelikán-iterációt (F ) három egymásba ágyazott eljárás segítségével lehet megvalósítani: F F o F o F 1. (47) z lépés az semleges tengely ( ) a méretű K 0 mátrix ami a teljes betonkeresztmetszet darab csúcspontját ( j j j1 ) tartalmazza és a V 0 mátrix ami a vasak helyét keresztmetszeti területét és típusát írja le. típus arra utal hogy a vasbetét lágyvasalás avagy feszített betét. z iteráció k a semleges tengely ( 1). helyzete ( ( 1) ( 1) ). semleges tengely tipikusan metszi a betonkeresztmetszetet a két keresztmetszet darab a Weiler-therton-algoritmussal különíthető el [1]. döféspontot tartalmazó rész a dolgozó beton keresztmetszet ezen darab csúcspontjait a K mátrixban tároljuk amely méretű ahol a dolgozó keresztmetszet csúcsainak száma az. lépésben. Így az F 1 eljárás K 0 V 1 0 K F (48) alakú. Mivel K 0 és V 0 minden lépésben azonos a továbbiakban nem tüntetjük fel őket. K mátrix a bemenő adata a keresztmetszeti jellemzőket számító eljárásnak. z eljárás [14] alapján határozza meg a beton vagy az idealizált keresztmetszet területét statikai- és inercianyomatékait. z eredményeket a c vektorban tároljuk el: F ( ) F F K 1 c. (49) Ezután a betonnak húzószilárdságot is tételezünk fel és az egyensúlyi egyenletek megoldásával határozzuk meg a semleges tengely helyét: ( ) F F F F 1 z eljárás folyamatát a 9. ábra bal oldala mutatja be. c. (50) 16
9. ábra. Pelikán-iteráció és a 4. fejezetben ismertetett általános algoritmus folyamatábrája a szürkített mezők azonos eljárásokat jeleznek 17
5.. NEMLINEÁRIS NYGTÖRVÉNY nyomott zónában nemlineáris anyagtörvényű általános algoritmus (F ) felépítését a 4. fejezetben mutattuk be. z implementáció 6 egymásba ágyazott eljárással valósítható meg: F F 5 o F 4 o F o F o F 1 o F 0. (51) semleges tengely meghatározását a Pelikán-iterációval végezzük következésképpen: F 1 F 1 (5) F F (5) F. (54) F z egyetlen különbség hogy F függvényben a másodfokúnál magasabb keresztmetszeti nyomatékok számítására is szükség van ezért a c vektor hatnál több elemű. z F 0 eljárás a koordináta-transzformációt tartalmazza hiszen az egyenértékű lineáris feladat döféspontjának helye ( ) lépésről lépésre változik az [ ] koordináta-rendszer origója minden lépésben ezzel a ponttal azonos. Ez azt is jelenti hogy ebben az eljárásban K 0 és V 0 mátrix elemei is minden lépésben megváltoznak. z F 4 függvény a kiszámított semleges tengely ( 1 1 ) ismeretében a κ 1 görbületet határozza meg. Itt egy k-adfokú egyenlet legkisebb pozitív gyökét számítjuk: F 4 κ. (55) z utolsó függvény a döféspont új helyét számítja a kiegyensúlyozatlan nyomatékok és a lineáris erő segítségével (lásd: a (6)-(9) összefüggéseket): ( ) F 5 κ z eljárás folyamatát a 9. ábra jobb oldala mutatja be. c. (56) 6. ÖSSZEFOGLLÁS Dolgozatunkban külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet semleges tengelyének meghatározására szolgáló eljárást mutatunk be amely a nyomott beton fellágyuló anyagtörvénye esetén is megbízhatóan működik. z eljárás a nyomott zónában lineáris anyagtörvényre kidolgozott Pelikán-iterációra építve annak kiterjesztésével képes a nemlináris anyagtörvény kezelésére. z eljárás numerikus szimulációk alapján konvergens. 18
KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS kutatást az OTK TS49885 témája a Pázmány Péter program RET-06/005- ös témája valamint a BVM-Épelem Kft. támogatta. HIVTKOZÁSOK [1] ntman S.S.:. Springer Verlag New York 1995. [] Coleman B.D. Tobias I. Swigon D.: Theory of the influence of the endconditions on the self-contact in DN loops. J 10 1995. 9101-9109. [] Goriely. Tabor M.: The mechanics and dynamics of tendril perversion in climbing plants.. 50 1998. 11-18. [4] Heijden G.H.M. Neukirch S. Goss V.G. Thomson J.M.T.: Instability and self-contact phenomena in the writhing of clamped rods. I J S 45 00. 161-196. [5] Kim J. Lee S.: The behavior of reinforced concrete columns subjected to axial force and biaxial bending. S 000. 1518-158. [6] Magnetto M. Pinto P.E.: Slender RC compressed members in biaxial bending. J S. 10 1977. 587-606. [7] Sipos.Á. Domokos G. Gáspár Zs.: kétdimenziós Pelikán-iteráció konvergencia-tulajdonságai. (1-) 005. 05-17. [8] Sipos.Á.: S S. PhD Thesis. BME Budapest 007. [9] Juhász K.P. Sipos.Á. Domokos G.: Ferde külpontos nyomásra igénybevett beton és vasbeton keresztmetszetek semleges tengelyének meghatározása rugalmas berepedt állapotban. 1 (1- ) 00. 19-41. [10] Pelikán J.: S. Tankönyvkiadó Budapest 197. [11] Domokos G.: xiálisan terhelt vasbeton keresztmetszet semleges tengelyének számítása konvergens iterációval a II. feszültségi állapotban. 19 (-4) 1987. 95-405. [1] cton F.S.: k. Harper Row New York 1970. [1] Weiler K. therton P.: Hidden Surface Removal Using Polygon rea Sorting. 11 1977. 14-. [14] Petersen C.: S k S k k Friedr. Vieweg & Sohn Wiesbaden/Braunschweig 198. 19
ÖSSZEFOGLLÓ: Dolgozatunkban a nyomott zónában nem lineáris (azaz fellágyuló) anyagtörvényű külpontosan nyomott tetszőleges alakú vasbeton keresztmetszet semleges tengelyének számítására szolgáló eljárást mutatunk be. módszer alapja hogy egy nemlineáris anyagtörvényű feladat semleges tengelye egy tipikusan eltérő döféspontú de lineáris anyagtörvényű feladatnak is semleges tengelye. módszer az egyensúlyi egyenletekből levezetett eljárás helyett a semleges tengelyt és az említett lineáris megoldáshoz tartozó döféspontot egyidejűleg határozza meg. z eljárás egy szemi-implicit ötdimenziós leképzés. Numerikus vizsgálatok alapján globálisan konvergens és igen gyorsan eredményre vezet. Kulcsszavak: külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet semleges tengely fellágyuló anyagtörvény konvergens iteráció robosztus algoritmus bstract In our paper we introduce a new method for determining the neutral axis of an arbitrary reinforced concrete cross section under biaxial bending and compression with a nonlinear stress-strain relation in the compressed zone. The method is based on the fact that the neutral axis of the non-linear problem is a solution of a linear problem with a typically different location of the compressive load. Instead of a direct recursion derived from the equations of equilibrium the method determines the neutral axis and the location of the load belonging to the linear problem simultaneously. The method can be associated with a semi-implicit five dimensional map. ccording to numerical simulations the method is globally convergent and computes the solution rapidly. Keywords: reinforced concrete cross section under biaxial bending and compression neutral axis non-linear constitutive law convergent recursion robust algorithm 0