www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat valamely elemét értjük. N.N.Vorobjev []-be bizoyította az u -re voatkozó alábbi tételt: () u + k uk + uuk+ (, k természetes számok) Az () összefüggésből következek az alábbi (), (3), (4) összefüggések: () u u + u u ( u u ) + + + ( + ) ( ) ( ) u u + u u + u + u + u u + u u u ( u + u )( u u ) + u + + Példa: 4, u, u 5, u 5 (5 + )(5 ) 3 5 8 A () levezetés szerit tehát, a Fiboacci sorozat mide (kettőél agyobb) páros idexű eleme összetett szám. ( ) (3) u u u + u u u + u ( u + u ) + + ( + ) + + + + + u+ + u + uu+ u + u + + u ( ) u + + + u Példa: 4, u 3, u 5, u 34 5 + 3 34 4 5 9 (4) u u u + u u + u u u + u ( ) + ( ) Példa: 4, u, u 3, u 3 + 3 3 3 4 7
. Tétel Ha u a Fiboacci sorozat -ik eleme, akkor u k osztható u -el (k,,3,...). Bizoyítás (teljes idukció): A tétel k eseté triviális, k eseté érvéyes a () összefüggés, azaz a tétel igaz. Tegyük fel, hogy k-ig mide természetes számra igaz a tétel, azaz (5) uk c u (k>, c természetes szám) Vizsgáljuk a k+ esetet: (6) u ( k + ) k k + + c k + + u k ( u + c ) k + + Következméy A Fiboacci sorozat mide u 6k eleme osztható u 6 8-al. Példa: u 89 u 89 99 u33 89 980 3 u 89 99 u44 3 43 89 99 307 u66 89 99 990 980 3 u 89 980 u 89 99 990 980 33 66 Az. tétel általáosításakét adódik a Fiboacci sorozat összetett elemeire voatkozó szükséges és elegedő egzisztecia tétel:. Tétel Legye az idex prímfelbotása p p p k. u q akkor és csak akkor osztója u -ek, ha q p p,...,. { }, p A bizoyítás szükségessége és elegedősége egyarát az. tételből következik. Következméy: A. tétel jelöléseit haszálva kapjuk, hogy u osztható lkkt u, u,..., u ) -vel. -----. ----- ( p p pk lkkt a legkisebb közös többszörös jelölése. Ezzel aalóg tétel található []-be a legagyobb közös osztóra.
3 Példa: 4 3 7 ekkor 3 3 7 4 6 5 4 6 3 u u3 u7 3 u6 u4 3 9 u 3 4 3 3 u4 lkkt (,, 3,, 3 9, 3 4) 3 9 4 Lásd az. táblázatot! 3. Tétel Ha u prímszám, akkor is prímszám. Bizoyítás: Ha u prímszám, akkor csak két osztója va u és u, ekkor a. tétel miatt összes osztója és, azaz prímszám. A 3. tétel megfordítása csak az alábbi megszorítással érvéyes (lásd 4. tétel). 4. Tétel Ha prímszám, akkor u vagy prímszám, vagy ics olya -él agyobb prímtéyezője, amelyik Fiboacci szám. Bizoyítás: Tegyük fel, hogy prímszám és u k i ( i ), ekkor a. tétel értelmébe i-ek többszöröse, ami elletmodás. Tehát u prímtéyezői között ics Fiboacci szám, kivéve, ha prímszám és az egyetle prímtéyezője ömaga. 5. Tétel Ha k 6 ± (k,,3,...) alakú, akkor u is az, azaz (7) 6k ± u ± mod 6 Bizoyítás (teljes idukció): k eseté u 5, u 3 tehát a tétel állítása teljesül. 5 7 Tegyük fel, hogy k-ra teljesül a tétel. Vizsgáljuk k+-re a 6(k+)+ esetet: ( ) (8) u u u + u u ( u u ) u + u u 6( k + ) + 6k + + 6 6k 6 6k + 7 6k + 6k 6 6k + 7 u ( u + u ) u u u u u 8 u 6k + 6 7 6k 6 6k + 8 6k 6 6k + 6k
4 Az idukciós feltétel szerit u 6k ± ± mod 6, tehát a (8) levezetés eredméyekét kapott kifejezés mod 6 maradékait az alábbi táblázat foglalja össze: u6k + 8 u6k 3 + mod 6 + Most vizsgáljuk meg a 6(k+)- esetet: ( ) (9) u u u + u u ( u u ) u + u u 6( k + ) 6k + + 4 6k 4 6k + 5 6k + 6k 4 6k + 5 u6k + ( u4 + u5 ) u6k u4 6k + u6 u6k u4 86k + 3 u6k Az idukciós feltétel szerit u 6k ± ± mod 6, tehát a (9) levezetés eredméyekét kapott kifejezés mod 6 maradékát az alábbi táblázat foglalja össze: 8 6k+ 3 u6k + 3 mod 6 Ha az 5. tételt összevetjük a prímszámokra voatkozó [3] ba bizoyított. tétellel, mely szerit mide prímszám 6k-, vagy 6k+ alakú, akkor az alábbi 6. tételhez jutuk: 6. Tétel Ha prímszám, akkor u 6k ± alakú. -----. ----- Ha a 6.tételt a [3] ba bizoyított. tétellel (Komplemeter Prímszita tétel) vetjük össze, akkor a következő 7.tételhez jutuk: 7. Tétel Ha prímszám és u em prím, valamit r az u prímtéyezőiek száma, akkor (0) u ( 6k i ± ) r i -----. ----- Figyelembe véve a feti 4. tételt adódik, hogy a (0)-be szereplő 6k i ± prímtéyezők egyike sem Fiboacci szám. Példák: 9, u 9 48(6 6+)(9 6-) 37 3 3, u 3 34669(93 6-)(403 6-) 557 47 További példák e dolgozat végé közölt. táblázatba találhatók. NYITOTT PROBLÉMA: Va-e a Fiboacci sorozatak végtele sok prímszám eleme?
5 Refereces [] Vorobjev, N.N.: Fiboacci Numbers Pergamo Press, New York, 96. [] Verer E. Hoggatt: Fiboacci ad Lucas Numbers Houghto Miffli Compay, Bosto, 969. [3] Dées Tamás: http://www.titokta.hu/_raktar/_e_vilagi_godolatok/komplemeterprimszita.pdf
6. Táblázat A Fiboacci sorozat -73. elemei és ezek prímfelbotása i u i u i prímfelbotása i u i u i prímfelbotása 38 39.088.69 37x3x9349 39 63.45.986 x33x357 prím 3 prím 40 0.334.55 3x5x7xx4x6 4 3 prím prím 4 65.580.4 789x59369 prím 5 5 prím (6k-) 4 67.94.96 3 9 4 6 8 3 prím 43 433.494.437 prím (6k-) prím 7 3 prím (6k+) 44 70.408.733 3x43x89x99x307 8 3x7 45.34.903.70 x5x7x6x0944 9 34 x7 46.836.3.903 39x46x8657 0 55 5x prím 47.97.5.073 prím (6k+) prím 89 prím (6k-) 48 4.807.56.976 6 3 7 3 47 03 44 4 3 49 7.778.74.049 3x97x668709 prím 3 33 prím (6k-) 50.586.69.05 5 0 5 300 4 377 3x9 5 0.365.0.074 x597x63760 5 60 x5x6 5 3.95.80.099 3x33x5x9048 6 987 3x7x47 prím 53 53.36.9.73 953x5594574 prím 7.597 prím (6k+) 54 86.67.57.7 7 9 53 09 5779 8.584 7 9 55 39.583.86.445 5x89x66x47454 prím 9 4.8 37x3 56 5.85.433.77 3 7 3 9 8 4503 0 6.765 3x5xx4 57 365.435.96.6 x37x3x797x54833 0.946 x3x4 58 59.86.79.879 59x9489x549 7.7 89x99 prím 59 956.7.06.04 353x7060697 prím 3 8.657 prím (6k+) 60.548.008.755.90 4 3 5 3 4 6 5 4 46.368 5 3 7 3 prím 6.504.730.78.96 453x555003497 5 75.05 5 300 6 4.05.739.537.88 557x47x300349 6.393 33x5 63 6.557.470.39.84 x3x7x4x353968 7 96.48 x7x53x09 64 0.60.09.857.73 3x7x47x087x07x448 8 37.8 3x3x9x8 65 7.67.680.77.565 5x33x4736066 prím 9 54.9 prím (6k-) 66 7.777.890.035.88 89 99 990 980 30 83.040 5 3 6 prím 67 44.945.570..853 69x6849x4993 prím 3.346.69 557x47 68 7.73.460.48.4 3x67x597x357x63443 3.78.309 3x7x47x07 69 7.669.030.460.994 x37x89x8077x8657 33 3.54.578 x89x980 70 90.39.490.709.35 5xx3x9x7x9x496 34 5.70.887 597x357 prím 7 308.06.5.70.9 6673x466537073 35 9.7.465 5x3x496 7 498.454.0.879.64 5 3 3 7 7 9 3 07 0368 36 4.930.35 4 3 3 7 9 07 prím 73 806.55.533.049.393 937589x860077 prím 37 4.57.87 73x49x