Irányításelmélet és technika II. Modell-prediktív szabályozás Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010 november 8.
Áttekintés Bevezetés 1 Bevezetés 2 Modell-Prediktív Szabályozók 3 Dinamikus Mátrix Szabályozás 4 Esettanulmány - hőcserélő Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 2 / 29
Bevezetés Bevezetés Nem egy módszer, hanem szabályozó család a rendszer jövőbeli válaszainak becslése egy prediktív modell segítségével a rendszerre adott bemenetek meghatározása egy költségfüggvény minimalizálásával a tervezési horizont minden időpillanatban a jövő felé tolódik MPC előnyei kevés irányításelméleti tudással rendelkező kezelő személyzet is megérti a lényegét sokféle folyamatra alkalmazható (késleltetett, nem minimumfázisú, stb.) MIMO rendszerekre is alkalmazható korlátozások kezelése is bevehető a tervezésbe Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 3 / 29
MPC stratégia Bevezetés 1 A következő N jövőbeli kimenet (y(t + k t), k = 1,..., N) becslése az eddigi bemenetek és kimenetek és a következő N bemenet (u(t + k t), k = 0,..., N 1 ismert!) felhasználásával 2 A jövőbeli bemenetek egy meghatározott költségfüggvény minimalizálásával határozhatók meg. A cél, hogy a jövőbeli y(t + k) kimenetek a lehető legközelebb legyenek a w(t + k) referenciához. 3 A kiszámolt u(t + k) bemeneti sorozat első elemét ráadjuk a rendszerre, és visszatérünk az első lépéshez. Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 4 / 29
MPC stratégia Bevezetés Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 5 / 29
MPC stratégia Bevezetés MPC autóvezetés: Referencia trajektória egy véges horizonton (látómező) Modell (az autó mentális modellje) Bemenetek (gáz, fék, kormány) Klasszikus módszerek csak a múltbeli hibát minimalizálják (pl. PI) Autóvezetés csak a visszapillantó tükröt használva Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 6 / 29
Áttekintés Modell-Prediktív Szabályozók 1 Bevezetés 2 Modell-Prediktív Szabályozók Célfüggvény Szabályozási algoritmus levezetése 3 Dinamikus Mátrix Szabályozás 4 Esettanulmány - hőcserélő Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 7 / 29
Modell-Prediktív Szabályozók Modell-Prediktív Szabályozók A modell-prediktív szabályozók minden típusánál megtalálható az alábbi három elem Célfüggvény Szabályozási algoritmus levezetése A fenti elemek különböző megválasztása különböző szabályozó típushoz vezet Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 8 / 29
Modell-Prediktív Szabályozók Folyamat modell jövőbeli ŷ(t + k t) kimenetek meghatározására Zavarás modell mérhető zavarás hatása nem mérhető bemenetek hatása Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 9 / 29
Folyamat modell Modell-Prediktív Szabályozók Impulzusválasz függvény y(t) = h i u(t i) i=1 Stabil, integrátort nem tartalmazó folyamat esetén elég ez első N minta N ( y(t) = h i u(t i) = H(z 1 )u(t) = h 1 z 1 + + h N z N) u(t) i=1 Előny: ki lehet mérni Hátrány: általában N = 40 50, sok paraméter! ŷ(t + k t) = N h i u(t + k i t) = H(z 1 )u(t + k t) i=1 Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 10 / 29
Folyamat modell Modell-Prediktív Szabályozók Lépésválasz függvény, stabil és integrátort nem tartalmazó folyamatokra N y(t) = y 0 + g i u(t i) = y 0 + G(z 1 )(1 z 1 )u(t) i=1 u(t) = u(t) u(t 1) A konstans y 0 elhagyható, így a prediktív modell alakja N ŷ(t + k t) = g i u(t + k i t) = H(z 1 )u(t + k t) i=1 Kapcsolat az impulzusválasz függvénnyel h i = g i g i 1, g i = i j=1 Előny/hátrány: mint az impulzusválasz függvénynél Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 11 / 29 h j
Folyamat modell Modell-Prediktív Szabályozók Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 12 / 29
Folyamat modell Modell-Prediktív Szabályozók Átviteli függvény A(z 1 )y(t) = B(z 1 )u(t) A(z 1 ) = 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + + a na z na B(z 1 ) = b 1 z 1 + b 2 z 2 + + b nb z n b A prediktív modell alakja ŷ(t + k t) = B(z 1 ) A(z 1 u(t + k t) ) Előny: instabil rendszerekre is alkalmazható, és kevés paraméterrel leírható Hátrány: az A és B polinomok a priori ismerete szükséges Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 13 / 29
Zavarás modell Modell-Prediktív Szabályozók CARIMA (Controlled Auto-Regressive and Integrated Moving Average) n(t) = C(z 1 )e(t) D(z 1 ) véletlenszerű időpontban véletlen változás (pl. anyagminőség-változás) leírására Brown mozgás szerű zavarás leírására becslése ˆn(t + k t) = F k (z 1 )n(t) ARIMA (Auto-Regressive and Integrated Moving Average) DMC-nél használatos becslése ˆn(t + k t) = n(t) n(t) = e(t) 1 z 1 Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 14 / 29
Modell-Prediktív Szabályozók Szabad- és kötött válasz A bemeneti jelsorozat szétbontása két sorozatra Szabad bemenetek u f (t) Kötött bemenetek u c (t) u(t) = u f (t) + u c (t) u f (t j) = u(t j), j = 1, 2,... u f (t + j) = u(t 1), j = 0, 1, 2,... u c (t j) = 0, j = 1, 2,... u c (t + j) = u(t + j) u(t 1), j = 0, 1, 2,... A becsült kimenet is felbontható két részre Szabad kimenet y f (t): a becsült kimenet, ha a bemenet u f (t) Kötött kimenet y c (t): a becsült kimenet, ha a bemenet u c (t) Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 15 / 29
Modell-Prediktív Szabályozók Szabad- és kötött válasz Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 16 / 29
Célfüggvény Modell-Prediktív Szabályozók Célfüggvény Általában a cél, hogy a jövőbeli y kimenet egybeessen a w referenciával, ugyanakkor a szabályozó energiát büntessük Általános alak: N 2 N u J(N 1, N 2, N u ) = δ(j) [ŷ(t + j t) w(t + j)] 2 + λ(j) [ u(t + j 1)] 2 j=n 1 j=1 Paraméterek: N 1 - minimum predikciós horizont N 2 - maximum predikciós horizont N u - szabályozási horizont δ(j), λ(j) súlytényező, általános alakja δ(j) = α N2 j α (0, 1) - a jelenhez közelebbi hibákat büntetjük α > 1 - a későbbi hibákat büntetjük Korlátozások: beavatkozó jelek és deriváltjaik végesek u min u(t) u max, t du min u(t) u(t 1) du max, t y min y(t) y max, t Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 17 / 29
Modell-Prediktív Szabályozók Szabályozási algoritmus levezetése Szabályozási algoritmus levezetése Keresendő az az u(t + k t), amely minimalizálja J-t Ehhez a jövőbeli ŷ(t + k t) kimenetet kell kifejezni múltbeli bemenetek és kimenetek segítségével. Analitikus megoldás négyzetes célfüggvény, lineáris modell esetében, korlátozások nélkül lehetséges Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 18 / 29
Áttekintés Dinamikus Mátrix Szabályozás 1 Bevezetés 2 Modell-Prediktív Szabályozók 3 Dinamikus Mátrix Szabályozás Mérhető zavarások Szabályozási algoritmus 4 Esettanulmány - hőcserélő Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 19 / 29
Dinamikus Mátrix Szabályozás Egységugrás válasz függvény modell y(t) = g i u(t i) ŷ(t + k t) = = i=1 g i u(t + k i) + ˆn(t + k t) = i=1 k g i u(t + k i) + i=1 g i u(t + k i) + ˆn(t + k t) i=k+1 Konstans zavarást feltételezve ˆn(t + k t) = ˆn(t t) = y m (t) ŷ(t t) k ŷ(t + k t) = g i u(t + k i) + g i u(t + k i) + y m (t) i=1 g i u(t i) = i=k+1 k g i u(t + k i) + f (t + k) i=1 i=1 Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 20 / 29
Dinamikus Mátrix Szabályozás A rendszer f (t + k) szabad válasza f (t + k) = y m (t) + (g k+i g i ) u(t i) Aszimptotikusan stabil rendszer esetén valamely N után feltehető, hogy g k+i g i 0, i > N, ezért N f (t + k) = y m (t) + (g k+i g i ) u(t i) i=1 i=1 m (= N u ) szabályozási lépést feltételezve kiszámíthatók a predikciók a horizonton (k = 1,..., p) ŷ(t + 1 t) = g 1 u(t) + f (t + 1) ŷ(t + 2 t) = g 2 u(t) + g 1 u(t + 1) + f (t + 2). ŷ(t + p t). =. p i=p m+1 g i u(t + p i) + f (t + p) Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 21 / 29
Dinamikus Mátrix Szabályozás Mátrixba rendezve (dinamikus mátrix) az együtthatókat g 1 0... 0 g 2 g 1... 0. G =..... g m g m 1... g 1...... g p g p 1... g p m+1 A predikciós egyenletek mátrixos alakja ŷ = G u + f Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 22 / 29
Mérhető zavarások Dinamikus Mátrix Szabályozás Mérhető zavarások A mérhető zavarások rendszerbemenetként adhatók a predikciós egyenletekhez: ŷ d = D d + f d ŷ d - mérhető zavarás hatása a kimenetre D - hasonló mátrix, mint G d - zavarás megváltozásainak vektora f d - a kimenet zavarástól nem függő komponense Abban az esetben, ha mérhető és nem mérhető zavarások is vannak, a szabad válasz az alábbi alakban írható fel f = f u + D d + f d + f n f u - a bemenetre adott válasz D d - a mérhető zavarásra adott válasz f d - a nem mérhető zavarásra adott válasz f n - a folyamat aktuális állapotára adott válasz A predikciós egyenlet így ŷ = G u + f alakba írható Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 23 / 29
Dinamikus Mátrix Szabályozás Szabályozási algoritmus Szabályozási algoritmus Cél: a kimenet a lehető legközelebb kerüljön a referenciához, esetleg a bemenetbeli változások büntethetők A legkisebb négyzetes célfüggvény alakja, ha csak a jövőbeli hibát nimimalizáljuk... p J = [ŷ(t + j t) w(t + j)] 2 j=1...és ha a bemenetbeli változásokat is büntetjük p m J = [ŷ(t + j t) w(t + j)] 2 + λ [ u(t + j 1)] 2 j=1 Abban az esetben, ha nincs korlátozás (bemenet, vagy kimenet), az analitikus megoldás j=1 u = (G T G + λi ) 1 G T (w f ) Az u vektornak csak az első eleme van valójában ráadva a rendszerre Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 24 / 29
Dinamikus Mátrix Szabályozás Szabályozási algoritmus Szabályozási algoritmus - korlátozások A megoldást jelentősen bonyolítja Bemeneti és kimeneti korlátozások az alábbi alakban adhatók az optimalizációhoz N C yiŷ(t j + k t) + C j ui u(t + k i) + cj 0, j = 1,..., N c i=1 Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 25 / 29
Áttekintés Esettanulmány - hőcserélő 1 Bevezetés 2 Modell-Prediktív Szabályozók 3 Dinamikus Mátrix Szabályozás 4 Esettanulmány - hőcserélő Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 26 / 29
Vízmelegítő Esettanulmány - hőcserélő Hőcserélő rendszer víztartály ki- és befolyással kimeneti hőmérséklet mérése szabályozható gázégő Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 27 / 29
Esettanulmány - hőcserélő Folyamat modell - lépésválasz függvény Lépésválasz függvény kimérése Egységugrás bemenet (gázszelep) A hőmérséklet válasz rögzítése Aszimptotikusan stabil rendszer (konvergál a kimenet) Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 28 / 29
Esettanulmány - hőcserélő Matlab - dmc.m függvény Szintaxis: p=dmc(p) p - struktúra bemenetek p.sr - egységugrás válasz p.u - aktuális bemenet p.v - korábbi bemenetek p.g - dinamikus mátrix p.f - mátrix a szabad válasz kiszámításához p.k - DMC erősítés p.r - referencia bemenet p.p - predikciós horizont p.m - szabályozási horizon p.y - aktuális kimenet p.la - a bemeneteket súlyozó λ faktor kimenetek p.u - a következő lépésbeli bemenet p.f - frissített szabad válasz Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 november 29 / 29