LÉGCSAVAROK AEROINAMIKAI SZÁMÍTÁSÁNAK GYAKORLATI MÓSZEREI 1. BEVEZETÉS r. Gausz Tamás r. Gausz Zsanna BME Repülgépek és Hajók tanszék Ez a cikk a légcsavarok impulzus és lapelem elmélet valamint az örvény-elmélet alkalmazásán alapuló gyakorlati számítási módszerek áttekintésével illetve ezek konkrét alkalmazási lehetségeivel foglalkozik. A bemutatott számítási eljárások természetesen alkalmazhatók szélkerekek és tengelyirányú áramlásban mköd helikopter rotorok aerodinamikai vizsgálatára is. Összeállítjuk a légcsavar, illetve szélkerék lapátok mködésére vonatkozó, az impulzus tétel és a lapelem elmélet egyesítésén valamint az örvény-elmélet és a lapelem elmélet egyesítésén alapuló alapegyenlet rendszert. Ebben figyelembe vesszük a véges lapáthossz hatását és a leveg összenyomhatóságát is. Iterációs módszert mutatunk be, amellyel mindkét alapegyenlet rendszer megoldható, tehát a vizsgált lapát mködési paraméterei meghatározhatók. Konkrét példán mutatjuk be a lapát végességének és a leveg összenyomhatóságnak a hatását.. AZ EGYESÍTETT IMPULZUS ÉS LAPELEM ELMÉLET Az egyesített impulzus és lapelem elmélet hagyományos formában, a hazai szakirodalomban több helyen is olvasható egy teljes leírás [1]-ben található meg. A hagyományos forma azt jelenti, hogy a légcsavarlapát metszet mködését jellemz sebességi sokszögben az indukált sebességet tengelyirányú és érint irányú összetevre bontják fel. Ebben a cikkben, az egyesített impulzus és lapelem elmélet tárgyalása során egy másik lehetséges eljárást választunk: az ered indukált sebesség egyik összetevje a felhajtóer, a másik az ellenállás irányába mutat (1. ábra). Az 1-es ábrán bemutatott sebességek a légcsavarlapát metszet körül kialakuló áramlást jellemzik. Ezért ez a sebességkép érvényes lesz mind az impulzus és lapelem, mind az örvény-elmélet esetén, akkor is, ha az örvény-elmélet esetében a fentiekben hagyományosnak nevezett indukált sebesség összetevvel számolunk. Ez az, újnak nevezhet felbontás azért elnyös, mert megmutatja, hogy az indukált sebesség egy része a felhajtóer hatására, másik része az ellenállás hatására áll el, illetve ezért, els közelítésben ez a két összetev egymástól függetlennek tekinthet. Pontosabb vizsgálat esetén persze ez a feltétel nem áll meg. Ezt a sajátosságot az örvény-elméletnél használjuk majd ki.
1. ábra. Sebességi sokszög a lapelem elmélet esetében A felhajtó er a profil körüli áramlást jellemz ered sebességre (W ) merlegesen keletkezik. Ebben az esetben azonban az indukált ellenállással nem kell számolni, hiszen arra csak akkor lenne szükség, ha a felhajtó ert a zavartalan áramlás ered sebességére ( W ) merlegesen választanánk. Ebben a második esetben amely tárgyalásmód a merevszárnyú repülgépek szárnya körül kialakuló áramlás vizsgálatához hasonló szükség lenne az indukált ellenállásra, hogy végeredményben az általunk feltüntetett felhajtóert kapjuk. A légcsavarok vizsgálatában alkalmazott választás részben szükségtelenné teszi az indukált ellenállás alkalmazását, részben feleslegessé teszi a karcsúság fogalmának a bevezetését és végeredményben megengedi a profiljellemzk közvetlen használatát. Az itt következ számítási eljárást, kifejlesztje nyomán Schmitz-féle eljárásnak is nevezik. Határozzuk meg elször az állásszöget: α = ϑ β ; (1) Egyszer geometriai megfontolásból következen a felhajtóer irányába es indukált sebesség összetevt az alábbi módón számíthatjuk: ( ) v = W sin β β ; () L Az 1-es ábrán háromféle ered sebesség látható. A középs, index nélküli (W ) a profil körüli áramlás ered sebessége. Ezt ismét a légcsavar eltti, zavartalan áramlás légcsavarhoz viszonyított ered sebességének ( W ) segítségével fejezhetjük ki: ( β β ) W = W cos u ; (3)
Írjuk fel az 1-es ábrán látható légellenállás összetevt ( ) az impulzus tétel segítségével: ( ) ρ π sin β ( ) = m u = r rw u ; (4) Írjuk fel ugyanezt az er összetevt a lapelem elmélet segítségével. A lapátszám (jele: B) figyelembe vételével írható: ρ = B c W h r ; (5) A lapelem és impulzus tétel egyesítésének els kapcsolati egyenlete tehát a következképpen írható: ρ ρ π r rw sin β ( u ) = B c W h r ; (6) Fejezzük ki a (6) kapcsolati egyenletbl a légellenállás irányú indukált sebesség összetevt: u = B z c W 8π r sin β ; (7) Helyettesítsük be (7)-et (3)-ba, illetve fejezzük ki innen a zavartalan áramlás légcsavarhoz viszonyított ered sebességét ( W ): W = cos W ( β β ) 8π r sin β + hc B h 8π r sin β B h ; (8) Határozzuk meg a második kapcsolati egyenletet is. Ebben az esetben a felhajtóert írjuk fel az impulzus tétel és a lapelem elmélet segítségével: ρ L = m ( vl ) = ρ π r r W sin β ( vl ) = BcL W h r ; (9) A (9) kifejezés utolsó egyenlség jelének két oldalán látható a keresett kapcsolati egyenlet. Ebbl az egyenletbl, () felhasználásával, illetve a lehetséges egyszersítések elvégzése után az alábbi kifejezést kapjuk: W π r sin β W sin ( β β ) = B hcl ; (1) Helyettesítsük be (1)-be a zavartalan áramlás légcsavarhoz viszonyított ered sebességének ( W ) (8) szerinti alakját: 8π r sin β + hc W B h W π r sin β sin ( β β ) = B h cl ; (11) cos( β β ) 8π r sin β B h
A (11) kifejezés, a lehetséges egyszersítések elvégzése után az alábbi formában írható fel: h c L 8π r sin β + hc tan ( β β ) = B ; (1) Ez az egyenlet a számítás alap-egyenlete. Amennyiben (1)-be a megoldást jelent ( cl, β, c ) érték-hármast írjuk be, akkor a kifejezés értéke valóban nulla lesz. Ha azonban a megoldástól különböz értékekkel próbálkozunk, akkor nullától különböz értéket (reziduumot) kapunk: h c L 8π r sin β + hc tan ( β β ) = R B ; (13) Ez egy nemlineáris egyenlet, amelyben azonban a ( cl, β, c ) érték-hármas lényegében egyetlen ismeretlent jelent, hiszen a felhajtóer-tényez és az ellenállástényez értéke függ a β - szög értékétl. A numerikus számítást például a Newtoniteráció segítségével végezhetjük: β új = βrégi R ; (14) R β A tényleges számítás elvégzéséhez szükség van a felhajtóer-tényez és az ellenállás-tényez értékére. Ezek különböz változók függvényei (állásszög, Machszám, profilvastagság, lapát végessége miatt bevezetett tényez). Mivel a profiljellemzket mind a lapelem, mind az örvény-elmélet esetében azonosnak vesszük azért ezek a jellemzk leírása az örvény-elmélet tárgyalása után következik. 3. AZ ÖRVÉNY-ELMÉLET Ebben a cikkben az örvény-elmélet klasszikusnak, illetve legegyszerbbnek tekinthet változatával foglalkozunk. Az örvény-elmélet e változatát mind a mai napig elterjedten használják, st fejlesztik is (pl. [4]). A. ábrán az örvény-elméletben alkalmazott sebességi sokszög látható, olyan formában, hogy összehasonlítható legyen az 1. ábrán látható, lapelem elméletre vonatkozó sebességi sokszöggel. Az örvény-elméletben nem szerepel a légellenállás súrlódásból származó része, az indukált ellenállás viszont, a korábbiakban leírtak szerint jelen van a számításban. Az örvény-elméletben alkalmazott összefüggések ideális közegre érvényesek csak ezért nem szerepel az ábrán és persze a számítás els lépésében sem a súrlódási ellenállás. A súrlódási ellenállást azonban késbb figyelembe vesszük!
. ábra. Sebességi sokszög az örvény-elmélet esetében Az örvény-elmélet a súrlódástól eltekintve ugyanazt a fizikai jelenségkört írja le, mint a lapelem elmélet, csak a számítás konkrét technikája más: a [4]-ben leírt módon egy segéd-szöget (ψ ) vezetünk be és a tényleges számítást ennek segítségével hajtjuk végre. 3. ábra. Számítási segéd szög bevezetése
A 3. ábra alapján felírhatók a következ összefüggések: V W W ( ) ( ) a = V + v = + sin ψ, W = V + Ω r ; (15) Ω r W W t = Ω r u = + cos( ψ ) ; (16) ( ) W = W + W, illetve v = W V és u = Ω r W ; (17) a t a t Az örvény-elmélet általunk vizsgált, hagyományosnak nevezhet formájában a lapát valamely sugaránál ébred hordozó örvény ( Γ ) által keltett kerületi indukált sebességet az alábbi formában számíthatjuk: B π r u = Γ ; (18) A (18)-ban szerepl indukált sebességet a mai, gyakorlati számításokban egy korrekciós összefüggéssel számítják át a 3. ábrán látható, kerületi irányú indukált sebesség összetevre: azaz: u = u F 1+ ( 4λ ) w R π B r ; (19) B Γ 1 r Wa u =, ahol : λw = ; () 4π r F 1+ 4λ R π B r R Wt ( ) w A () egyenletben szerepel a légcsavar geometriai sugara ( R ); a lapáton Γ = Γ r ) intenzitása; a elhelyezked, a sugár függvényében változó hordozó örvény ( ( ) helyinek is nevezhet elrehaladási fok ( λ w ) és a Prandtl-féle lapátvég veszteségi tényez ( F ). A számítás alap-összefüggése az örvény-elmélet és a lapelem elmélet alábbi módon történ összekapcsolásával írható fel: W Γ hcl = ; (1) Ez az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha az egyes lapátmetszeteken keletkez, megfelel értéket helyettesítjük be. Ezeknek az értékeknek a megkeresése érdekében, a lapelem elméletnél alkalmazott módhoz hasonlóan vezessük be a reziduum értékét: W Γ hcl = R ; () A tényleges számítás ebben az esetben is valamely nemlineáris egyenlet megoldó eljárás segítségével történhet.
Az örvény-elmélet esetében ismét a Newton-iteráció alkalmazását javasoljuk: ψ új = ψ régi R ; R (3) ψ E számítás során tehát lényegében ugyanúgy járunk el, mint a lapelem elmélet esetében mindössze egy másik szög lesz az iterációs változó. Az örvény-elmélet esetében, a megoldás birtokában egy korrekciós lépés szükséges: a már ismert állásszög és egyéb értékeknek megfelelen, a profiljellemzkbl kiválasztjuk a súrlódási ellenállás-tényezt és az ered légert (1. ábra, R ) már ennek ismeretében határozzuk meg. A súrlódási ellenállás ilyen módon történ figyelembe vétele azért lehetséges, mert az 1. és. ábra alapján kijelenthet, hogy a súrlódásból származó indukált sebesség összetev ( u ) els közelítésben csak az ered sebesség (W) nagyságát befolyásolja, az irányát nem. Ez a közelítés elegenden jó, amikor az ellenállás tényez a felhajtóer tényezhöz képest elég kicsi. Vagyis a közelítés a lényegi, üzemi tartományban mködik. A számítás azonban a túl nagy, illetve túl kis állásszögek esetén már a bemutatott példaszámításból is láthatóan már jelentsebb hibát tartalmaz, mivel a közvetlen függetlenség nem jelent teljes függetlenséget a közvetett hatások akkor, azokban az üzemállapotokban, amikor a profil siklószáma nem elég jó, jelentsek. 4. A PROFILJELLEMZK MEGHATÁROZÁSA 4.1 A lapát végességének figyelembe vétele A léger-tényezk adott profil esetében függvényei a profil geometriájának, az állásszögnek, a profil körül kialakuló áramlás Reynolds- és Mach számának és a profil felületi érdességének. A mért vagy számított értékek azonban alapveten síkáramlásra igazak. A légcsavar (forgószárny) lapátok azonban, bár nagy karcsúságú szárnynak felelnek meg, véges hosszúságúak, ezért a körülöttük kialakuló áramlás térbeli, vagyis háromdimenziós.
A térbeli áramlás vizsgálatára az örvény-elméletek alkalmasak ezek részletes tárgyalása túllépi e cikk kereteit. Ludwig Prandtl fejlesztett ki egy viszonylag egyszer összefüggést, amelyet sok munkában mind a mai napig az eredeti formájában alkalmaznak. Ez az összefüggés megadja a kapcsolatot a sík és a térbeli áramlásban értelmezett felhajtóer-tényez között: ahol: c L = ; (3) F cl B R r 1 F = Arc cosexp ; (4) π R sin β Az F tényez értéke egynél kisebb, legfeljebb 1, a lapátvégen mindig nullára csökken. A lapátvég tartományban adódó változás jellegének jelents hatása van az e tartományban értelmezett mködési jellemzk alakulására. Néhány szerz a (4)-gyel analóg formulát vezet be a lapáttre is, azonban a lapáttben keletkez felhajtó-er általában nem számottev, ezért a lapátt-veszteséggel a következkben nem számolunk. A lapelem elmélet esetében szükség van ennek a tényeznek a β szög szerinti deriváltjára: B R r 1 cos β exp F B R r R sin β = ; (5) β π R B R r 1 sin β 1exp R sin β Az örvény-elmélet esetében a ψ szög szerinti deriváltra lesz szükség ezt azonban, az örvény-elméletnél megszokott módon összetett deriváltak segítségével számítjuk ki: Wt R Wa TSR 1 Wt R TSR ψ r ψ TSR = =, és = ; (5) λ W r ψ W w a a Válasszuk ki a Prandtl féle veszteség tényez függvénybl (4) a következ részt: 1 exp B R r f exp B R r = TSR R sin β R ; (6) Ekkor felírható: f B f 1 r = TSR R ; (7)
Illetve: F 1 = TSR π 1 f f ; (8) TSR Végül a keresett derivált: F F TSR = ; (9) ψ TSR ψ 4. Az összenyomhatóság hatása Az összenyomhatóság hatása már viszonylag kis Mach szám esetén is (.3.4 ) lényeges. Ugyanakkor errl a hatásról csak kevés ismeret áll rendelkezésre. Egy, a szakirodalomból származó képen (4. ábra) a NACA 1-es profil mérésébl láthatóan, kétféle hatással kell számolni: - a felhajtóer-tényez lineáris szakasz meredekségének növekedése; - a legnagyobb állásszög csökkenése. 4. ábra. Az összenyomhatóság hatása a NACA 1 profilnál
A felhajtóer-tényez egyenes szakasz meredekségének növekedése jól ismert jelenség, figyelembe vétele a Prandtl-Glauert szabály segítségével lehetséges: c α Lkompr = c α Linkompr 1 M ; (3) A másik hatás, a legnagyobb elérhet felhajtóer-tényez csökkenése, a kritikus állásszög változása mellett nem számítható ilyen egyszeren. Ezt a hatást a példa számításban becsléssel vettük figyelembe. A példában egyébként az [1]-ben található profil család szerepel. A légcsavar tulajdonságait az alkalmazott profil dönt mértékben befolyásolja. Nagyon fontos tehát többek között a profilok aerodinamikai tulajdonságainak a lehet legpontosabb ismerete. Nagyon sok esetben magyarázza az elmélet és a gyakorlat közti különbséget a profiltulajdonságok leírásában elkövetett kisebb-nagyobb hiba, illetve a kivitelezés során megvalósuló gyártási pontatlanság (a tényleges lapátprofil jelentsen tér el a tervezésnél figyelembe vett profilkontúrtól). 5. A TELJES LÉGCSAVAR JELLEMZINEK SZÁMÍTÁSA A teljes légcsavar számítása az egyes metszetek mködési viszonyainak ismeretében válik lehetvé. Határozzuk meg elször az egységnyi lapáthosszra es vonóert. Vegyük figyelembe rögtön a lapátok számát (B) is: T ρ ρ = B W h c = B W h c c r ( cos β sin β ) N L ; (31) A fentihez hasonlóan számítsuk ki a forgatáshoz szükséges, egységnyi lapáthosszra es nyomatékot: M Q ρ ρ = r = r W B hc = r W B h c + c r r ( sin β cos β ) Q L ; (3) Az egész légcsavar ered vonóereje, illetve a forgatáshoz szükséges teljesítmény a következ módon számítható: R ρ T = B W h c c dr ( L cos β sin β ) ; (33) R ρ P = Ω M = Ω B rw h c + c dr ( L sin β cos β ) ; (34)
Nagyon fontos a légcsavar hatásfoka, amelyet légcsavar esetében az alábbi módon számíthatunk: T V η = ; (35) P A propulziós hatásfok feletti hatásfok részt az alkalmazott lapát profil javításával emelhetjük. A szakirodalomban ugyan vannak különféle összefüggések, amelyek a legjobbnak tekinthet mködési viszonyok elérését célozzák, azonban a rendelkezésre álló adatok bizonytalansága miatt ezeket nem érdemes túl szigorúan venni. Végeredményben adott esetben, számítógéppel végzett légcsavar vizsgálat esetén a legjobbnak tekinthet geometriát valamilyen keresési algoritmussal érdemes megközelíteni. Az örvény-elmélet esetében a fent szerepl c tényez külön veend figyelembe, mivel az alapmegoldásból csak a felhajtóer-tényez és az állásszög adódik. Ez utóbbi ismeretében viszont, a légellenállás-tényez a profiljellemzk közül választható és így a számítás a súrlódási ellenállással kiegészíthet, illetve kiegészítend. 6. PÉLA SZÁMÍTÁS A fentiekben leírt módszerek teljesebb bemutatása, illetve összehasonlítása érdekében konkrét számítási példát dolgoztunk ki. Ebben a példában egy 3 méter átmérj, 3 lapátos légcsavart vizsgáltunk, melynek lapátprofiljai az [1]-bl 115 r s. A geometriai adatokat az 5. ábrán származnak. A légcsavar szögsebessége [ ] tüntettük fel: 5. ábra. A példa-légcsavar adatai
A példaszámítást elvégeztük mind az egyesített impulzus és lapelem, mind az örvény-elmélet segítségével. Az eredmények közül csak a leglényegesebbnek ítélhetket mutatjuk be. A 6. ábrán a kétféle módszerrel számított vonóert tüntettük fel. Mindenek eltt leszögezhetjük, hogy 3-tól 35 m/s sebességig a két görbe lényegében azonos. Ezek szerint, mivel legalább ezen a sebesség tartományon a két számítás eredménye nem különbözik, itt bármelyik módszer használható. Különbséget találunk a két módszer által szolgáltatott vonóer között, ha a sebesség kisebb, mint 3, vagy nagyobb, min 35 m/s. Ez a különbség a kisebb sebességek felé nagyobb. Ezekben az esetekben az örvény-elmélettel számított vonóer valamivel nagyobb, mint a lapelem elmélettel számítható vonóer. Véleményünk szerint az örvény-elmélet azért ad kissé nagyobb vonóert (vagy éppen jobb hatásfokot), mert a súrlódási ellenállást csak utólag vettük figyelembe és ezzel a súrlódási ellenállás közvetett hatásait elhanyagoltuk. 6. ábra. Vonóer a lapelem, illetve az örvény-elmélet alapján Az eltérés ott, ahol a súrlódási ellenállás kicsi a kedvez állásszög tartományban alig vehet észre. A túl kis állásszögeknél (nagy repülési sebesség) valamelyest ismét megnövekszik a két görbe eltérése. A nagy, esetleg kritikusnál nagyobb állásszögek esetében biztosan nagy, vagy igen nagy lesz az ellenállás-tényez, közvetett hatásának hiánya jól észlelhet a magasabban haladó, örvény-elmélettel számított görbén.
Ezek alapján levonható az a következtetés, hogy a két, lényegében azonos módszer közül az impulzus és lapelem egyesítésén alapuló eljárás alkalmazása célszerbb, mivel a tervezett mködési tartománytól távolabbi állapotokban is a valóságoshoz közelebbi eredményt szolgáltat. Ez a következtetés természetesen csak az általunk vizsgált örvény-elmélet típusra vonatkozik. Ennél ma már korszerbb eljárások is mködnek, de azok számításigénye messze meghaladja az általunk ismertetett módszerek számításigényét. Az ismertetett módszer szerinti, viszonylag gyors számolás teheti lehetvé valamilyen szempontból legkedvezbb kialakítás keresését ilyen optimum keresése korszernek tekinthet CF módszerrel még ma sem igazán lehetséges. A 7. ábrán az összenyomhatóság hatását mutatjuk be. Az összenyomhatóság hatása láthatóan még ennél, a mérsékelt sebesség tartományban mköd légcsavarnál is lényeges. 7. ábra. Az összenyomhatóság hatása Nagyobb eltérést érdekes módon a kisebb sebességeknél találunk ez minden bizonnyal arra vezethet vissza, hogy az állásszög növekedésével a legnagyobb felhajtóer-tényez érték is csökken. A sebességnövekedésével az eltérés értéke csökken. A két görbe a felhajtóer tényez értékének csökkenésével közeledik egymáshoz. A görbék az átlagosan nulla felhajtóer tényez értéknél metszik egymást.
A példaszámítás egy légcsavarok számára kifejlesztett profil-család jellemzinek felhasználásával, illetve ezen jellemzk szükséges kiterjesztésével készült. A következtetések bizonyosságát fokozná ha mód lenne olyan profil-családdal dolgozni, melynek minden szükséges jellemzje rendelkezésre áll. Megjegyzend, hogy a légcsavar lapátok gyakorlati kivitelezése során a profilhségre nagyon kell ügyelni. A tervezésben alkalmazott profilkontúrtól való jelentsebb eltérés egy másik (eltér) profil alkalmazását jelenti. Adott esetben amikor ez az eltérés jelents a tényleges jellemzk jelentsen eltérhetnek a számított jellemzktl. Megfelel minség profiljellemzk alkalmazása és elegenden gondos gyártás esetében véleményünk szerint a cikkben ismertetett számítási eljárások a gyakorlattal jól egyez, ténylegesen használható eredményeket adnak. FELHASZNÁLT IROALOM [1] ALEKSZANROV, V. L.: Légcsavarok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1953 [] BITTNER, W.: Flugmechanik der Hubschrauber, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 5 [3] OMMASCH,. O.: Elements of Propeller and Helicopter Aerodynamics, Pitman & Sons, London, 1953 [4] RELA, M.: QPROP Formulation, MIT Aero & Astro, 6 [5] GASCH, R TWELE, J.: Windkraftanlagen, Teubner Verlag, Wiesbaden, 5 [6] GAUSZ, T.: Helikopterek, BME Mérnöki Továbbképz Intézet, Budapest, 198 [7] GAUSZ, T.: Szárnyprofil, szárny és légcsavar vizsgálata, BME Repülgépek és Hajók Tanszék kiadványa, 1995 [8] GLAUERT, H.: ie Grundlagen der Tragflügel- und Luftschraubentheorie, Springer Verlag, Berlin, 199 [9] GRÚBER, J. BLAHÓ, M.: Folyadékok mechanikája, Tankönyvkiadó, Budapest, 1971 [1] LARRABEE, E, E.: Propellers for Human-Powered Vehicles, Human Power, Vol. 9. No.. 1984 [11] LEISHMAN, J. G.: Principles of Helicopter Aerodynamics, Cambridge University Press, [1] RÁCZ, E.: A repülés mechanikája, Tankönyvkiadó, Budapest, 1953 [13] REISSNER, H.: A Generalised Vortex Theory of the Screw Propeller and its Application; NACA TN 75, 194 [14] WAL, Q. E.: The aerodynamics of propellers, Scienceirect, 6