Elektronikus tananyag MATEMATIKA 0. osztály II. félév A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok A párhuzamos szelők tétele TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok hosszának aránya egyenlő a másik száron keletkező megfelelő szakaszok hosszának arányával. AB : CD = A'B' : C'D'. ábra Megjegyzés: A tétel érvényes akkor is, ha nem egy szög szárait, hanem a sík két tetszőleges egyenesét metsszük párhuzamosokkal (. ábra). A párhuzamos szelők tételének megfordítása TÉTEL: Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amelyek hosszának aránya mind a két száron ugyanaz, akkor a két egyenes párhuzamos.
. ábra A tétel a. ábra jelöléseivel: OA OA' Ha, akkor az a és b egyenesek párhuzamosak. OB OB' OA OA' Hasonló eredményre vezet az feltétel is. AB A' B' Párhuzamos szelőszakaszok tétele TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyenesekből a szárak által kimetszett szakaszok hosszának aránya megegyezik az egyenesek által a szögszárakból kimetszett szakaszok hosszának arányával.. ábra A tétel a. ábra jelöléseivel: AA' BB' OA' OB' OA OB
. A szögfelezőtétel TÉTEL: A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak hosszának arányában osztja két részre. 4.ábra A tétel a 4. ábra jelöléseivel: CD:DB=AC:AB. A középpontos hasonlósági transzformáció Az előző tanévben részletesen foglalkoztunk a síkbeli egybevágósági transzformációkkal (tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli elforgatás, eltolás). Megadtuk a transzformációk hozzárendelési utasítását, megvizsgáltuk tulajdonságaikat, és példákat mutattunk arra, hogy hogyan alkalmazhatók számítási és szerkesztési feladatok, problémák megoldása során. A most tárgyalandó középpontos hasonlósági transzformációval ( rövidebben középpontos hasonlósággal) is foglalkoztunk már korábbi tanulmányaink során, és találkoztunk vele a mindennapi életben is, gondoljunk csak a térképek készítésére, a fényképek kicsinyítésére-nagyítására,egy épület, egy lakás tervrajzának elkészítésére. A tér pontjainak halmazán értelmezett középpontos hasonlósági transzformáció definíciója: DEFINÍCIÓ: Adott egy O pont és egy λ ( 0) valós szám. A tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot a következőképpen: ha P = O, akkor P = P, ha P O, akkor P az OP egyenes azon pontja, amelyre az OP = OP, és ha λ > 0, akkor P az OP félegyenes pontja, ha λ < 0, akkor P-t és P -t O elválasztja egymástól (5. ábra). 5. ábra
Az O pont a transzformáció középpontja vagy centruma, λ a középpontos hasonlóság aránya. Ha λ <, akkor középpontos kicsinyítésről, ha λ >, akkor középpontos nagyításról beszélünk. A középpontos hasonlósági transzformáció tulajdonságai ) Ha λ, akkor a transzformáció egyetlen fixpontja az O,középpont. Ha λ =, akkor a tér minden pontja fixpont, azaz a transzformáció az identikus transzformáció. ) Az O középpontra illeszkedő egyenesek a transzformáció invariáns egyenesei. Ha λ, akkor más invariáns egyenes nincs. ) Bármely, az O középpontra nem illeszkedő egyenes képe az eredetivel párhuzamos, O-ra nem illeszkedő egyenes. 4) A fenti tulajdonságok alapján a középpontos hasonlóság szögtartó transzformáció, azaz bármely szög és a képe egyenlő nagyságúak. 5) A λ arányú középpontos hasonlóságnál bármely szakasz képének hossza az eredeti szakasz hosszának λ -szerese, azaz bármely A és B pontok esetén A ' B' AB. 6) A középpontos hasonlóság akkor és csak akkor egybevágóság, ha λ =. Ha λ =, akkor identitás, ha λ = -, akkor középpontos tükrözés. 7) A síkbeli középpontos hasonlóság irányítástartó. 4. A hasonlósági transzformáció DEFINÍCIÓ: A középpontos hasonlósági transzformáció és egybevágósági transzformáció egymás utáni végrehajtásával kapott transzformációkat hasonlósági transzformációknak nevezzük. A középpontos hasonlóság és az egybevágóságok tulajdonságaiból adódnak a hasonlósági transzformáció következő tulajdonságai: ) A hasonlósági transzformáció egyenest egyenesbe transzformál. ) A hasonlósági transzformáció szögtartó, azaz bármely szög és a képe egyenlő nagyságúak. ) A λ arányú hasonlósági transzformáció esetén bármely A, B pontokra és A, B A ' B' képeikre teljesül,hogy. AB Megjegyzés: Az egybevágósági transzformációk olyan hasonlósági transzformációk, amelyekre λ =.
5. Alakzatok hasonlósága; a háromszögek hasonlóságának alapesetei DEFINÍCIÓ: Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi. Azt, hogy egy A alakzat hasonló egy B alakzathoz, a következőképpen jelöljük: A ~ B. A definícióból közvetlenül adódnak a hasonlósági reláció következő tulajdonságai: ) Minden alakzat hasonló önmagához, azaz A ~ A. ) Ha A ~ B, akkor B ~ A. ) Ha A ~ B és B ~ C, akkor A ~ C. A háromszögek hasonlóságának alapesetei TÉTEL: Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha a következő feltételek egyike teljesül: ) megfelelő oldalaik hosszának aránya páronként egyenlő; ) két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek nagysága egyenlő; ) két-két szögük páronként egyenlő nagyságú; 4) két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a nagyobbikkal szemközt levő szögek nagysága egyenlő. Négyszögek, sokszögek hasonlósága TÉTEL: Két sokszög akkor és csak akkor hasonló, ha megfelelő oldalhosszaik aránya páronként egyenlő, és megfelelő szögeik páronként egyenlő nagyságúak. 6. A hasonlóság néhány alkalmazása A háromszög súlypontja TÉTEL: A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont mindhárom súlyvonalnak a háromszög megfelelő csúcsától távolabbi harmadolópontja. (6. ábra) (A háromszög súlyvonala egy csúcspont és a szemközti oldal felezőpontját összekötő szakasz.) 6. ábra A súlyvonalak metszéspontja a háromszög súlypontja. Jele: S.
Arányossági tételek a derékszögű háromszögben 7. ábra Vegyünk fel egy ABC derékszögű háromszöget, és húzzuk be az átfogóhoz tartozó CT magasságot (7.ábra). MAGASSÁGTÉTEL: Derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja. A tétel a 7. ábra jelöléseivel: m pq vagy m pq. BEFOGÓTÉTEL: Derékszögű háromszög befogójának hossza mértani közepe az átfogó és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete hosszának. A tétel a 7. ábra jelöléseivel: a cp vagy a cp, b cq vagy b cq. 7. Hasonló síkidomok területének aránya DEFINÍCIÓ: Két hasonló alakzat hasonlóságának aránya az egymásnak megfelelő szakaszok hosszának aránya. TÉTEL: Hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével T ' egyenlő ( ). T 8. Hasonló testek térfogatának aránya TÉTEL: Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő V ' ( ). V
Hegyesszögek szögfüggvényei. Hegyesszögek szögfüggvényei 8. ábra A definíciók megadásánál a 8. ábra jelöléseit használjuk. DEFINÍCIÓ: Az α hegyesszög szinusza az α-t tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó hosszának és az átfogó hosszának hányadosa. Jelölés: sinα. szöggel szemközti befogó hossza a sin. átfogó hossza c DEFINÍCIÓ: Az α hegyesszög koszinusza az α-t tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben a szög melletti befogó hosszának és az átfogó hosszának hányadosa. Jelölés: cosα. szög melletti befogó hossza b cos. átfogó hossza c DEFINÍCIÓ: Az α hegyesszög tangense az α-t tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó hosszának és a szög melletti befogó hosszának hányadosa. Jelölés: tgα. tg szöggel szemközti befogó hossza szög melletti befogó hossza a b. DEFINÍCIÓ: Az α hegyesszög kotangense az α-t tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben a szög melletti befogó hosszának és a szöggel szemközti befogó hosszának hányadosa. Jelölés: ctgα. ctg szög melletti befogó hossza szöggel szemközti befogó hossza A tangens és a kotangens definíciójából látszik, hogy egymás reciprokai, azaz b a. tg ctg.
. Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között Pótszögek szögfüggvényei a A 9. ábra jelöléseivel c Hasonlóan adódik, hogy sin cos 9. ábra, és mivel cos sin 90. 90, ezért a Ugyanilyen módon, mivel tg ctg, ezért tg ctg 90 és b A kapott azonosságok szavakkal megfogalmazva: sin cos 90. ctg tg 90. TÉTEL: Hegyesszög szinusza megegyezik pótszögének koszinuszával. TÉTEL: Hegyesszög tangense megegyezik pótszögének kotangensével. sin cos tg ctg cos 90 sin 90 ctg 90 tg 90 TÉTEL: Adott hegyesszög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege -gyel egyenlő. sin cos A tangens és a kotangens kifejezése szinusszal és koszinusszal Most is a 9. ábra jelöléseit használjuk. a tg a c sin b b cos, azaz c Hasonlóan adódik, hogy ctg cos sin tg sin cos
. Nevezetes szögek szögfüggvényei 0 45 60 sin cos tg ctg
Vektorok. Vektor fogalma; vektorok összege, különbsége, vektor szorzása számmal A vektor fogalma DEFINÍCIÓ: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. (0. ábra) 0. ábra DEFINÍCIÓ: Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort. Az A-ból B-be mutató irányított szakasz által meghatározott vektor jelölése: AB. A vektorokat szokás még egyetlen kisbetűvel (pl. félkövéren szedett kisbetűvel (pl. a,b) jelölni. a, b ), illetve nyomtatott szövegben DEFINÍCIÓ: A vektort meghatározó irányított szakasz hossza a vektor abszolútértéke. Jelölés: AB, a, a. DEFINÍCIÓ: Két vektor párhuzamos, ha az őket meghatározó irányított szakaszok egyenesei párhuzamosak. DEFINÍCIÓ: Az a és b vektorok egyirányúak, ha párhuzamosak, és ugyanabba az irányba mutatnak, azaz közös kezdőpontból felvéve egy a -t és egy b -t reprezentáló irányított szakaszt, azok egy egyenesbe esnek, és végpontjaik a közös kezdőpont által meghatározott ugyanazon félegyenesre illeszkednek. (. ábra). ábra
DEFINÍCIÓ: Két vektor ellentétes irányú, ha párhuzamosak, de nem egyirányúak. (. ábra). ábra DEFINÍCIÓ: Ha két vektor egyenlő abszolútértékű és ellentétes irányú, akkor a két vektor egymás ellentettje. (. ábra) Jelölés: az a ellentettje - a.. ábra DEFINÍCIÓ: Két vektor egyenlő, ha egyirányúak és abszolútértékük egyenlő. Vektorok összege DEFINÍCIÓ: Az a és b vektorok összege (jelölés: a b ) azon párhuzamos eltolás vektora, amellyel az a -ral és a b -ral meghatározott párhuzamos eltolások egymásutánja helyettesíthető. Rajzban két vektort a háromszög-szabály, vagy a paralelogramma-szabály alapján összegezhetünk. (4. ábra) 4. ábra
A vektorok összeadása: ) kommutatív művelet, azaz a b b a. ) asszociatív művelet, azaz a b c a b c a b c. Vektorok különbsége DEFINÍCIÓ: Az a és b vektorok különbsége (jelölés: a b ) az a b vektor. Rajzban két vektor különbségét a 5. ábrán látható módon szerkesztjük. 5. ábra DEFINÍCIÓ: Azt a vektort, amelynek abszolútértéke 0, nullvektornak nevezzük. (Jelölés: 0 vagy 0.) Megállapodás szerint 0 iránya tetszőleges, azaz bármely vektorral egyirányú. Vektor szorzása számmal DEFINÍCIÓ:. Ha a 0 és tetszőleges valós szám, akkor a olyan vektor, amelynek abszolútértéke a, és 0 esetén a -ral egyirányú, 0 esetén a -ral ellentétes irányú.. Ha a 0, akkor a 0 bármely valós szám esetén. Bizonyítható, hogy vektorok valós számmal (skalárral) való szorzására teljesülnek az alábbi azonosságok: ) a a a ; ) a a ; ) a b a b.
. Vektorok a koordináta-rendszerben, vektor koordinátái, műveletek koordinátákkal adott vektorokkal DEFINÍCIÓ: A derékszögű koordináta-rendszerben a P(x;y) pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. (6.ábra) 6. ábra DEFINÍCIÓ: A derékszögű koordináta-rendszerben egy vektor koordinátái megegyeznek origó kezdőpontú reprezentánsa végpontjának koordinátáival. Jelölés: a a ; a. A fenti két definícióból következik, hogy a koordinátasík bármely pontjának és a pont helyvektorának koordinátái megegyeznek. Bázisvektorok a koordináta-rendszerben Tekintsük az (;0) és a (0;) pontok helyvektorait, jelölje ezeket rendre i és j (7. ábra). Az i(;0) és j(0;) egységvektorokat választjuk a koordináta-rendszerben bázisvektoroknak. 7. ábra DEFINÍCIÓ: Ha a derékszögű koordináta-rendszerben koordinátája a, második koordinátája a. a a i a j, akkor az a első
Vektorok összegének koordinátái Ha adottak az a a ; a és b b ; b vektorok, akkor a b a b i a b j, azaz az összegvektor első koordinátája az összeadandó vektorok első koordinátájának, második koordinátája az összeadandó vektorok második koordinátájának összege. (8. ábra) 8. ábra Vektorok különbségének koordinátái Ha adottak az a a ; a és b b ; b vektorok, akkor a b a b i a b j, azaz a különbségvektor első koordinátája a megfelelő első koordináták különbsége, második koordinátája a megfelelő második koordináták különbsége.(9. ábra) Vektor számszorosának koordinátái 9. ábra Adott az a a ; a vektor és a valós szám. a a i a j, azaz vektor -szorosának koordinátái a koordináták -szorosai.