Markó Zoltán GIMNÁZIUMI MATEMATIKA
Írta: Markó Zoltán E-mail: marzol89@gmail.com
TARTALOM Tartalom... 5 Fontosabb matematikai jelek, jelölések... 18 A görög ábécé beti... 21 Eltagok (prefixumok)... 21 GONDOLKODÁSI MVELETEK... 22 Halmazok... 22 Alapfogalmak, halmaz megadása... 22 Mveletek halmazokkal... 26 Unióképzés... 26 Metszetképzés... 27 Különbségképzés... 29 Szimmetrikus differencia... 30 Komplementerhalmaz... 31 Két halmaz Descartes-féle szorzata... 32 Halmazok számossága... 33 Ekvivalencia... 34 Véges és végtelen halmazok... 34 Kontinuum-számosságú halmazok... 34 Logikai szita formula kett és három halmazra... 34 Logika... 37 Fogalmak, jelölések... 37 Logikai mveletek és értéktáblázatok... 37 Negáció... 38 Konjukció... 38 Diszjunkció... 39 Antivalencia... 40 Implikáció... 40 Ekvivalencia... 41 Mveleti azonosságok... 41 Matematikai bizonyítások... 44 Direkt bizonyítás... 44 Indirekt bizonyítás... 44 Skatulyaelv... 45 Teljes indukció... 45 Kvantorok... 46 Univerzális kvantor... 46 Egzisztenciális kvantor... 46 Kvantorok tagadása... 46 Kombinatorika... 47 A kombinatorikában használatos fogalmak... 47 Faktoriálisok... 47 Binomiális együtthatók... 47 Binomiális tétel... 49 Pascal-háromszög... 49 Permutáció... 50 Ismétlés nélküli permutáció... 50 Ismétléses permutáció... 51 Ciklikus permutáció... 51 5
Variáció... 52 Ismétlés nélküli variáció... 52 Ismétléses variáció... 52 Kombináció... 53 Ismétlés nélküli kombináció... 53 Ismétléses kombináció... 54 Gráfok... 55 A gráfelméletben használatos fogalmak... 55 Hurok, többszörös él, fokszám... 55 Út, vonal, séta, kör... 57 Izomorf gráfok... 59 Euler-vonal... 59 Hamilton-út, Hamilton kör... 61 Dirac tétele... 62 Fagráfok... 62 ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET... 63 Számhalmazok... 63 Természetes számok... 63 Alapmveletek a természetes számok körében... 63 Összeadás... 63 Kivonás... 63 Szorzás... 64 Osztás... 64 Egész számok... 65 Alapmveletek az egész számok körében... 65 Összeadás, kivonás... 65 Szorzás... 66 Osztás... 66 Racionális számok... 67 Alapmveletek a racionális számok körében... 67 Összeadás... 67 Kivonás... 67 Szorzás... 68 Osztás... 68 Irracionális számok... 70 Alapmveletek az irracionális számok körében... 70 Összeadás... 70 Kivonás... 70 Szorzás... 70 Osztás... 70 Valós számok... 71 Alapmveletek a valós számok körében, mveleti tulajdonságok... 71 Kommutativitás... 71 Asszociativitás... 71 Disztributivitás... 71 Szám reciproka... 71 Ellentett... 71 Abszolút érték... 72 Normálalak... 72 A számhalmazok kapcsolata... 73 6
Számelmélet... 74 Oszthatóság a természetes számok körében... 74 Prímszámok, összetett számok... 74 A számelmélet alaptétele... 75 Oszthatósági szabályok... 75 Legnagyobb közös osztó... 76 Relatív prímek... 76 Legkisebb közös többszörös... 76 Maradékos osztás... 77 Osztók száma, osztók összege... 77 Oszthatóság az egész számok körében... 78 Oszthatósági szabályok... 79 Hatványozás... 80 A hatványozás azonosságai... 80 Azonos alapú hatványok... 80 Azonos kitevj hatványok... 81 A hatványfogalom kiterjesztése... 82 Gyökvonás... 84 A négyzetgyök fogalma... 84 A négyzetgyökvonás azonosságai... 84 Az n-edik gyök fogalma... 86 A gyökvonás azonosságai... 87 Azonos alapú gyökök... 87 Azonos kitevj gyökök... 87 Logaritmus... 89 A logaritmus definíciója... 89 A logaritmus azonosságai... 90 Azonos alapú logaritmusok... 90 Kapcsolat különböz alapú logaritmusok között... 92 Polinomok, algebrai törtek... 94 Algebrai kifejezések... 94 Egytagú, többtagú kifejezések... 94 Fokszám... 94 Polinom... 95 Az x változó n-ed fokú polinomja... 95 Algebrai tört... 95 Racionális kifejezések... 95 Egész és tört kifejezések... 96 Értelmezési tartomány, alaphalmaz, értékkészlet... 96 Nevezetes azonosságok... 97 Szorzattá alakítás... 99 Mveletek algebrai törtekkel... 100 Parciális törtekre bontás... 102 Számrendszerek... 103 Arányosság... 105 Egyenes arányosság... 105 Fordított arányosság... 106 Százalékszámítás... 107 Egyenletek... 109 Alapfogalmak... 109 7
Ekvivalens átalakítások... 109 Megoldási módszerek... 110 Algebrai módszer... 110 Grafikus módszer... 110 Értelmezési tartomány vizsgálata... 112 Értékkészlet-becslés... 112 Egyismeretlenes egyenletek... 113 Lineáris egyenletek... 113 Paraméteres lineáris egyenletek... 114 Másodfokú egyenletek... 116 Megoldóképlet... 116 Gyöktényezs alak... 118 Viète-formulák... 119 Paraméteres másodfokú egyenletek... 121 Magasabb fokú egyenletek... 123 Másodfokúra visszavezethet egyenletek... 123 Egyéb módszerrel megoldató egyenletek... 124 Gyökös egyenletek... 128 Abszolútértékes egyenletek... 130 Exponenciális egyenletek... 132 Logaritmikus egyenletek... 134 Trigonometrikus egyenletek... 136 Trigonometrikus egyenletek megoldásánál használt összefüggések... 136 Egyenletrendszerek... 141 Lineáris egyenletrendszer... 141 Paraméteres lineáris egyenletrendszerek... 145 Másodfokú egyenletrendszer... 146 Exponenciális egyenletrendszerek... 149 Logaritmikus egyenletrendszerek... 151 Trigonometrikus egyenletrendszerek... 154 Szöveges feladatok... 158 Egyenltlenségek... 165 Egyenltlenség megoldása... 165 Egyenltlenségek átalakítása... 165 Elsfokú egyenltlenségek... 166 Másodfokú egyenltlenségek... 166 Gyökös egyenltlenségek... 168 Abszolútértékes egyenltlenségek... 169 Exponenciális és logaritmikus egyenltlenségek... 172 Trigonometrikus egyenltlenségek... 176 Törtes egyenltlenségek... 178 Egyenltlenség-rendszerek... 180 Közepek... 181 Számtani közép... 181 Súlyozott számtani közép... 181 Mértani közép... 182 Négyzetes közép... 183 k-adik hatványközép... 184 Harmonikus közép... 184 A közepek között fennálló nevezetes egyenltlenségek... 185 8
FÜGGVÉNYTAN, ANALÍZIS... 195 Függvények elemi vizsgálata... 195 Függvények megadása... 195 Függvények jellemzése... 196 Lineáris függvények... 202 Elsfokú függvények... 202 Nulladfokú függvények... 203 Másodfokú függvények... 204 Magasabb fokú függvények... 207 Racionális törtfüggvények... 209 Gyökös függvények... 212 Exponenciális függvények... 213 Logaritmusfüggvények... 215 Abszolútértékes függvények... 217 Egészrész-, törtrész-függvény... 218 Eljelfüggvény... 220 Trigonometrikus függvények... 220 Szinuszfüggvény... 220 Koszinuszfüggvény... 221 Tangensfüggvény... 222 Kotangensfüggvény... 223 Trigonometrikus inverzfüggvények... 226 Konstansszoros, összeg-, szorzat- és hatványfüggvények... 229 Összetett függvények... 237 Függvénytranszformációk... 239 A függvényérték transzformációi... 239 A változó transzformációi... 240 Számsorozatok... 245 Sorozatok megadása, jelölések... 245 Számtani sorozatok... 248 Az n-edik elem... 248 Az els n elem összege... 249 Mértani sorozatok... 252 Az n-edik elem... 252 Az els n elem összege... 253 Kamat, járadék, törlesztés... 256 A Fibonacci-sorozat... 261 Az n-edik elem... 261 Az els n elem összege... 263 n 3 sorozatok els n elemének összege... 264 Az { 2 } n és az { } Sorozatok jellemzése... 266 Korlátosság, monotonitás... 266 Konvergens sorozatok... 268 Sorozatok határértéke... 268 Mveletek konvergens sorozatokkal... 272 Rendr-elv... 276 n 1 Az 1+ sorozat... 278 n 9
A { q n } sorozat... 279 Mértani sorok... 281 Egyéb sorok... 283 Differenciálszámítás... 285 Függvény határértéke... 285 sin x Az f : R \{ 0} f ( x) = függvény határértéke a 0 helyen... 288 x Függvények határértékére vonatkozó tételek... 290 Függvény folytonossága... 293 Görbe érintje... 294 A parabola érintje... 295 Differenciahányados, differenciálhányados... 296 Az x f ( x) differenciálható függvény görbéjének érintje a ( ; ) P x y pontban 298 0 0 0 Elemi függvények derivált függvényei... 298 Az f ( x) = x 2 ; x R függvény deriváltja... 298 Az f ( x) = x 3 ; x R függvény deriváltja... 299 1 = ; R \ 0 függvény deriváltja... 300 x f x = x x > függvény deriváltja... 302 Az f ( x ) x ( ) Az ( ) ; 0 Hatványfüggvény deriváltja... 302 Az f ( x) = sin x; x R és az f ( x) = cos x; x R függvények deriváltja... 304 Deriválási szabályok... 306 Konstansfüggvény deriváltja... 306 Konstansszoros függvény deriváltja... 306 Összegfüggvény deriváltja... 307 Szorzatfüggvény deriváltja... 309 Hányadosfüggvény deriváltja... 311 Összetett függvények deriváltja... 313 x f x = e x R és az exponenciális függvény deriváltja... 316 Az ( ) ; Az f ( x) = ln x; x > 0 és a logaritmusfüggvény deriváltja... 319 A függvény és a derivált függvény kapcsolata... 321 Integrálszámítás... 329 Egymásba skatulyázott zárt intervallumok... 329 A Cantor-féle axióma... 329 Határozott integrál... 330 A parabolikus háromszög területe... 330 A határozott integrál fogalma, tulajdonságai... 332 A határozott integrál tulajdonságai... 334 Határozatlan integrál... 336 Az integrál, mint a fels határ függvénye... 337 Primitív függvény... 339 A határozatlan integrál tulajdonságai... 341 Parciális integrálás... 342 f ( x) Az alakú függvények integrálása... 343 f x ( ) 10
Az f ( x) f ( x) n alakú függvények integrálása... 344 Newton-Leibniz-formula... 344 Területszámítás a határozott integrállal... 347 GEOMETRIA... 351 Elemi síkgeometria... 351 Alapfogalmak... 351 Térelemek kölcsönös helyzete... 351 Pont-pont... 351 Pont-egyenes... 351 Pont-sík... 352 Egyenes-egyenes... 352 Egyenes-sík... 353 Sík-sík... 353 Szögek... 353 Szögek fajtái... 354 Nevezetes szögek, szögpárok... 356 Hajlásszög, térelemek szöge... 357 Két egyenes hajlásszöge... 357 Egyenes-sík hajlásszöge... 357 Két sík hajlásszöge... 358 Forgásszög... 358 Illeszkedési axiómák... 359 Távolság... 359 Pont-pont... 359 Pont-egyenes... 360 Egyenes-egyenes... 360 Pont-sík... 361 Egyenes-sík... 361 Sík-sík... 361 Ponthalmazok távolsága... 361 Nevezetes ponthalmazok a síkon... 362 Kör, körlap, nyílt körlap... 362 Szakaszfelez merleges... 362 Szögfelez egyenes... 363 Parabola... 365 Ellipszis... 366 Hiperbola... 366 Alakzatok... 367 Háromszögek... 367 Háromszögek csoportosítása... 368 Háromszög egyenltlenség... 368 A háromszögek bels és küls szögei... 369 Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között... 370 A háromszög nevezetes pontjai és körei... 371 Oldalfelez merleges, körülírt kör... 371 Szögfelez, beírt kör, hozzáírt kör... 372 Súlyvonal, súlypont... 374 Magasságvonal, magasságpont... 376 Középvonalak... 377 11
Euler-egyenes... 378 Feuerbach-kör... 380 Pitagorasz tétele... 381 Szögfelez tétel... 386 Kerület... 388 Terület... 388 Terület kifejezése egy oldal és a hozzá tartozó magasság segítségével... 388 Trigonometrikus területképlet... 389 Terület kifejezése a beírt és hozzáírt kör sugara segítségével... 390 Terület kifejezése a körülírt kör sugara segítségével... 391 Héron képlete... 391 Négyszögek... 394 A négyszögek csoportosítása... 395 A négyszögek bels és küls szögei... 396 Négyszögek középvonalai... 396 Általános négyszög területe... 397 Húrnégyszögek... 398 Húrnégyszögek tétele... 398 Ptolemaiosz-tétele... 399 Kerület... 400 Terület... 400 Érintnégyszögek... 402 Érintnégyszögek tétele... 402 Kerület... 403 Terület... 403 Trapézok... 404 Szimmetrikus trapéz... 404 Kerület... 406 Terület... 406 Paralelogrammák... 406 Kerület... 407 Terület... 407 Deltoidok... 408 Kerület... 408 Terület... 409 Rombuszok... 409 Kerület... 409 Terület... 409 Téglalapok... 410 Kerület... 410 Terület... 410 Négyzetek... 412 Kerület... 412 Terület... 412 Kör... 412 Két kör kölcsönös helyzete... 413 Thalész tétele... 415 Kerületi és középponti szögek tétele... 416 Látószög, látókörív... 419 Apolloniosz tétele... 420 12
Húrdarabok szorzatára vonatkozó tétel... 421 Kerület, terület... 422 Körcikk... 424 Kerület... 424 Terület... 424 Körszelet... 424 Kerület... 424 Terület... 425 Ellipszis... 425 Kerület... 425 Terület... 426 Sokszögek... 427 Konvex sokszögekre vonatkozó összefüggések... 427 Kerület... 428 Terület... 429 Szabályos n-szög... 429 Bels szögek... 429 Kerület... 429 Terület... 429 Geometriai transzformációk a síkon... 430 Alapfogalmak... 430 Egybevágósági transzformációk... 431 Egybevágóság... 431 Háromszögek egybevágóságának alapesetei... 431 Tengelyes tükrözés... 432 Középpontos tükrözés... 433 Pont körüli forgatás... 434 Eltolás... 434 Szimmetria... 436 Tengelyes szimmetria... 436 Középpontos szimmetria... 436 Forgásszimmetria... 437 Hasonlósági transzformációk... 437 Hasonlóság... 438 Háromszögek hasonlóságának alapesetei... 439 Párhuzamos szelk tétele... 440 Befogótétel, magasságtétel... 441 Befogótétel... 442 Magasságtétel... 442 Körérint és szel közötti összefüggés... 443 Merleges vetítés a síkon... 444 Elemi térgeometria... 445 Alapfogalmak... 445 Nevezetes ponthalmazok a térben... 445 Gömb, gömbtest, nyílt gömbtest... 445 Szakaszfelez sík... 445 Három ponttól egyenl távolságra lév pontok halmaza... 446 Testek... 446 A testek csoportosítása... 446 Euler-féle poliédertétel... 448 13
Téglatest... 449 Felszín... 449 Térfogat... 450 Hasáb... 451 Felszín... 452 Térfogat... 452 Paralelepipedon... 454 Felszín... 454 Térfogat... 454 Forgáshenger (körhenger)... 454 Felszín... 455 Térfogat... 455 Gúla... 456 Felszín... 456 Térfogat... 457 Csonkagúla... 459 Felszín... 459 Térfogat... 459 Forgáskúp (körkúp)... 461 Felszín... 461 Térfogat... 462 Csonka forgáskúp (csonka körkúp)... 463 Felszín... 463 Térfogat... 465 Gömb... 465 Felszín... 466 Térfogat... 466 Gömbsüveg, gömbszelet... 467 Felszín... 467 Térfogat... 468 Gömbcikk... 468 Felszín... 468 Térfogat... 469 Gömböv, gömbréteg... 469 Felszín... 469 Térfogat... 470 Ellipszoid... 471 Térfogat... 471 Forgástestek térfogata... 472 Szabályos testek... 473 Tetraéder... 474 Felszín... 474 Térfogat... 474 Hexaéder (kocka)... 475 Felszín... 475 Térfogat... 475 Oktaéder... 475 Felszín... 475 Térfogat... 476 Dodekaéder... 476 14
Felszín... 476 Térfogat... 477 Ikozaéder... 478 Felszín... 478 Térfogat... 478 Geometriai transzformációk a térben... 478 Egybevágósági transzformációk... 479 Középpontos tükrözés... 479 Síkra való tükrözés... 479 Egyenesre való tükrözés... 479 Egyenes körüli forgatás... 480 Eltolás... 480 Merleges vetítés a térben... 480 Vektorok... 481 Jelölések, fogalmak... 481 Vektormveletek... 481 Vektorok összeadása... 482 Vektorok különbsége... 483 Vektor szorzása skalárral... 483 Két vektor skaláris szorzata... 484 Vektor felbontása összetevkre... 485 Trigonometria... 487 Szögfüggvények fogalma, nevezetes azonosságai... 487 Szögfüggvények derékszög háromszögben... 487 Tetszleges forgásszög szögfüggvényei... 488 Összefüggések egy szög különböz szögfüggvényei között... 490 Összefüggések két szög szögfüggvényei között... 492 Addíciós tételek... 492 Két szögfüggvény összegének szorzattá alakítása... 496 Többszörös szögek szögfüggvénye... 499 Félszögek szögfüggvénye... 501 Háromszögekre vonatkozó trigonometrikus tételek... 503 Szinusztétel, általános szinusztétel... 503 Általános szinusztétel... 505 Koszinusztétel... 505 Tangenstétel... 508 Koordinátageometria... 510 Koordinátarendszerek... 510 A számegyenes... 510 A Descartes-féle derékszög koordinátarendszer... 510 Térbeli koordinátarendszerek... 511 Vektorkoordináták... 511 Helyvektor, szabadvektor, bázisvektor... 511 Vektor hossza... 512 Vektor 90 -os elforgatottjának koordinátái... 512 Vektorok összegének koordinátái... 513 Vektorok különbségének koordinátái... 513 Vektorok skalárszorosának koordinátái... 514 Koordinátáival adott vektorok skaláris szorzatának kiszámítása... 515 Pontok, szakaszok, egyenesek... 516 15
Két pont távolsága... 516 Osztópont koordinátái... 517 Háromszög súlypontja... 518 Egyenes irányvektora, normálvektora, irányszöge és iránytangense... 520 Egyenes egyenlete... 521 Adott ponton átmen adott normálvektorú egyenes egyenlete... 521 Adott ponton átmen adott irányvektorú egyenes egyenlete... 522 Adott ponton átmen, adott iránytangens egyenes egyenlete... 522 Két adott ponton átmen egyenes egyenlete... 523 Egyenesek párhuzamosságának és merlegességének feltételei... 524 Egyenesek metszéspontja... 525 Pont és egyenes távolsága... 525 Egyenesek hajlásszöge... 526 Egyenesek távolsága... 528 Kör egyenlete... 529 A kör egyenlete és a másodfokú kétismeretlenes egyenlet... 530 Kör és egyenes közös pontjai... 532 Körhöz adott pontjában húzott érint egyenlete... 533 Két kör metszéspontjai... 533 Körhöz küls pontból húzott érint egyenlete... 534 Parabola egyenlete... 536 A parabola egyenlete és a másodfokú függvény... 541 Ellipszis egyenlete... 542 Hiperbola egyenlete... 545 Hiperbola aszimptotája... 547 A hiperbola és a fordított arányosság függvénye... 548 Kúpszeletek... 549 Tartományok... 549 STATISZTIKA, VALÓSZÍNSÉG... 551 Statisztika... 551 Alapfogalmak... 551 Mintavétel... 552 Adatok ábrázolása... 552 Grafikonok típusai... 552 Oszlopdiagram... 552 Hisztogram... 553 Sávdiagram... 553 Vonaldiagram... 553 Kördiagram... 554 Statiszikai jellemzk... 555 Helyzetmértékek... 555 Módusz... 555 Medián... 555 Átlag... 555 Szóródási mértékek... 556 Terjedelem... 556 Átlagos abszolút eltérés egy a számtól... 556 Átlagos négyzetes eltérés egy a számtól... 556 Empirikus szórás... 556 Grafikus manipulációk... 557 16
Osztályba sorolás... 558 Valószínségszámítás... 560 Események, mveletek eseményekkel... 560 Események... 560 Mveletek eseményekkel, eseményalgebra... 560 Események szorzata... 560 Esemény összege... 561 Események különbsége... 561 Esemény ellentettje... 561 Gyakoriság, relatív gyakoriság... 562 Valószínség... 563 A valószínség klasszikus modellje... 563 Geometriai valószínség... 564 Feltételes valószínség... 565 Valószínségi változó és eloszlás... 565 Valószínségi változó... 565 Valószínségi eloszlás... 566 Várható érték, szórás... 566 Nevezetes diszkrét valószínség-eloszlások... 567 Egyenletes eloszlás... 567 Binomiális eloszlás, visszatevéses mintatétel... 568 Hipergeometriai eloszlás, visszatevés nélküli mintatétel... 569 Geometriai eloszlás... 571 A nagy számok (Bernoulli-féle gyenge) törvénye... 572 17
FONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK Szim- Jelentése, neve Olvasása Példa bólum N Természetes számok halmaza + N Pozitív egész számok halmaza Z Egész számok halmaza Q Racionális számok halmaza * Q Irracionális számok halmaza R Valós számok halmaza C Komplex számok halmaza Üres halmaz ;{ } { ; ; ; } Halmaz elemeinek felsorolása { 1;2;3;4 } + Pozitív szám eljele Összeadás plusz plusz, meg +7 7+3 Negatív szám eljele Szám ellentettjének a jele Kivonás mínusz mínusz mínusz, -ból 7 (2) 25 6 ± Összeadás vagy kivonás plusz-mínusz a ± b Abszolútérték abszolútérték x Halmaz elemeinek a száma halmaz számossága Vektor hossza H 3, 24 [ ] Egészrész szám egészrésze [ ] { } Törtrész szám törtrésze { 3, 24 } sgn Eljel szignum sgn x ( ; ) Legnagyobb közös osztó és legnagyobb ( 5;10) = 5 közös osztója ; pont ( a; b ) Pont koordinátája ; Legkisebb közös többszörös [ ] és legkisebb közös többszöröse [ 4;7 ] Zárt intervallum [ 2; + 4] ; Nyílt intervallum ] 5; + 12[ ] [ [ ; [ Balról zárt, jobbról nyílt [ 6;9 [ intervallum ] ; ] Balról nyílt, jobbról zárt intervallum ] 2;68 ], Tizedesvessz 7,89 Felsorolás folytatása és így tovább 0, 1, 2, 3, % Százalék százalék 14 % Ezrelék ezrelék 234 Univerzális kvantor minden n Egzisztenciális kvantor van olyan n Végtelen végtelen Elemének lenni eleme -nak a H Részhalmazkapcsolat részhalmaza A H Valódi részhalmazkapcsolat valódi részhalmaza A B Egyesítés unió A B 18
Közös rész metszet A B \ Különbség mínusz A \ B Direkt (Descartes-féle) szorzat Vektoriális szorzat kereszt kereszt A B a b,, Halmaz komplementere komplementere A Szorzás -szor 3 4; 3 4; 3 4 :,, / Osztás per, -ban 4 : 3; 4 3; 4 / 3 Oszthatóság osztója a b k a k-adik hatvány a -dikon 3 2 n n-edik gyökvonás n-edik gyök n a log Tízes alapú logaritmus log100 = 2 lg n nalapú logaritmus lg n n 1 ln Természetes (e alapú) logaritmus e ln a = 1 = Egyenlség egyenl a = b Egyenlség tagadása nem egyenl a b := Definiáló egyenlség legyen egyenl a : = b < Kisebb kisebb mint 3 < 4 Kisebb vagy egyenl legfeljebb x 8 > Nagyobb nagyobb mint 4 > 3 Nagyobb vagy egyenl legalább x 4 Közelítleg egyenl körülbelül, kerekítve x 4,33 f : x Hozzárendelés f: xhez hozzárendelünk f : x 2( x 3) 2 + 4 f ( x ) Függvényérték f-x egyenl ( ) ( ) 2 f x = 2 x 3 + 4 Szög ARD Egybevágóság egybevágó ABC DEF Hasonlóság hasonló ABC DEF Párhuzamosság párhuzamos e f Merlegesség merleges e g Negáció (tagadás) nem P Konjukció és P Q Diszjunkció vagy P Q Antivalencia, kizáró vagy vagy vagy P Q Implikáció Ha akkor -bl P Q következik Ekvivalencia ekvivalens, akkor és csak P Q akkor K Kerület T Terület A Felszín V Térfogat AB Szakasz, távolság AB szakasz AB AB ; a Irányított szakasz, vektor AB vektor, a vektor AB; a 0 Nullvektor abcd Szám Háromszög ABC 19
,, Szögmértékek fok, perc, másodperc 34 34' 23"! Faktoriális faktoriális 4! = 1 2 3 4 n Binomiális együttható n alatt a k k x Átlag x felülvonás σ Szórás szigma p Valószínség P ( A ) Az A esemény valószínsége Összegzés szumma n a Szorzás produktum lim Határérték limesz lim a n i= 1 n i= 1 x Integrál integrál f ( ) i a i x dx 20
A GÖRÖG ÁBÉCÉ BETI Alfa Béta Gamma Delta Epszilon Zéta Éta Théta! " # Ióta Kappa Lambda M N Kszi Omikron Pí $ % & ' ( ) * +, -. / 0 1 2 3 Ró Szigma Tau Üpszilon Fi Khi Pszi Omega EL4TAGOK (PREFIXUMOK) Eltag Jele Neve Értéke yotta- Y Kvadrillió 24 1000000000000000000000000 = 10 zetta- Z Ezertrillió 21 1000000000000000000000 = 10 exa- E Trillió 18 1000000000000000000 = 10 peta- P Ezerbillió 15 1000000000000000 = 10 tera- T Billió 12 1000000000000 = 10 giga- G Milliárd 9 1000000000 = 10 mega- M Millió 6 1000000 = 10 kilo- k Ezer 3 1000 = 10 hekto- h Száz 2 100 = 10 deka- d Tíz 1 10 = 10 Egy 0 1 = 10 deci- d Tized 1 0,1 = 10 centi- c Század 2 0,01 = 10 milli- m Ezred 3 0,001 = 10 mikro- Milliomod 6 0,000001 = 10 nano- n Ezermilliomod 9 0,000000001 = 10 pico- p Billiomod 12 0,000000000001 = 10 femto- f Ezerbilliomod 15 0,000000000000001 = 10 atto- a Trilliomod 18 0,000000000000000001 = 10 zepto- z Ezertrilliomod 21 0,000000000000000000001 = 10 yocto- yo Kvadrilliomod 24 0,000000000000000000000001 = 10 21