Azon pontok halmaza a térben, melyek koordinátái kielégítik az egyenletet, ahol feltételezzük, hogy az a, b, c, d, e, f együtthatók egyszerre nem tűnnek el. Minden másodrendű felülethez hozzárendelünk egy szimmetrikus, 4 4-es mátrixot: Másodrendű felületek mátrixalakban: M 33 Egy másodrendű felület elfajuló, ha det(m)=0 nem elfajuló, ha det(m)0 (gömb, ellipszoid, egy- és kétköpenyű hiperboloid, elliptikus- és hiperbolikus paraboloid )
det(m 33 )0 Nemelfajuló felületek ellipszoid (gömb) hiperboloid Elfajuló felületek kúp det(m 33 )=0 paraboloid henger
Ellipszoid (gömb) Minden pontban elliptikus. (azaz bármely pontjában az érintősíknak határozottan az egyik oldalán van a felület) Metszetei ellipszisek és körök (gömb esetén csak körök) x a y b z c 1
Egyköpenyű (hiperbolikus) hiperboloid Minden pontban hiperbolikus. (azaz bármely pontjában az érintősík belemetsz a felületbe) Teljes egyeneseket tartalmaz. (Minden felületi ponton két alkotó halad át.) Metszetei: kör, ellipszis, parabola, hiperbola, metsző vagy párhuzamos egyenespár x a y b z c 1
Egyköpenyű (hiperbolikus) hiperboloid Az alkotók két osztályba sorolhatók: Az azonos osztálybeliek mindig kitérőek egymáshoz képest, bármely két, különböző osztályhoz tartózó metszi egymást (ezzel felfeszítve egy érintősíkot).
Erőmű hűtőtornya, Lingen
Víztorony, Oroszlány
Oroszlányi víztorony építés közben (196)
Kétköpenyű (elliptikus) hiperboloid Minden pontban elliptikus. x a y b z c 1 Nem tartalmaz egyeneseket! Metszetei: kör, ellipszis, parabola, hiperbola
Elliptikus paraboloid Minden pontban elliptikus. Nem tartalmaz egyeneseket! x a y b z Metszetei: kör, ellipszis, parabola
Hiperbolikus paraboloid Minden pontban hiperbolikus. Teljes egyeneseket tartalmaz. (Minden felületi ponton két alkotó halad át.) Metszetei: parabola, hiperbola, metsző egyenespár (az egyikük lehet a végtelen távolban) Minden síkmetszetnek van végtelen távoli pontja! x a y b z
Hiperbolikus paraboloid Az alkotók két osztályba sorolhatók: Az azonos osztálybeliek mindig kitérőek egymáshoz képest, bármely két, különböző osztályhoz tartózó metszi egymást (ezzel felfeszítve egy érintősíkot).
Paraboloidok előállítása Egymásra merőleges síkokban adott két párhuzamos tengelyű parabola. Az egyiket rögzítjük, a másikat a csúcspontjánál fogva végigtoljuk rajta. Ugyanabba az irányba szétnyíló parabolák esetén elliptikus paraboloidot kapunk. Különböző irányba szétnyíló parabolák esetén hiperbolikus paraboloidot kapunk.
Debreceni autóbusz-állomás
Elliptikus henger ellipszis vezérgörbéjű henger Minden pontban parabolikus tulajdonságú, azaz bármely pontban vett érintősík további felületei pontokat is tartalmaz, de nem metszi át a felületet. Teljes egyeneseket tartalmaz. (Minden felületi ponton egy alkotó halad át.) Metszetei: ellipszis, kör, párhuzamos egyenespár x a y b 1
Hiperbolikus henger hiperbola vezérgörbéjű henger Minden pontban parabolikus. Teljes egyeneseket tartalmaz. (Minden felületi ponton egy alkotó halad át.) Metszetei: hiperbola, párhuzamos egyenespár Minden síkmetszetnek van végtelen távoli pontja! x a y b 1
Parabolikus henger parabola vezérgörbéjű henger Minden pontban parabolikus. Teljes egyeneseket tartalmaz. (Minden felületi ponton egy alkotó halad át.) Metszetei: parabola, párhuzamos egyenespár (egyike lehet a végtelen távolban). Minden síkmetszetnek van végtelen távoli pontja! y px
Másodrendű kúp Minden pontban parabolikus. Teljes egyeneseket tartalmaz. (Minden felületi ponton egy alkotó halad át, kivéve a csúcspontot.) Metszetei: kör, ellipszis, parabola, hiperbola, metsző egyenespár x a y b z c 0
Másodrendű kúp metszetei Parabola A metsző sík egy alkotóval párhuzamos Ellipszis, kör A metsző sík minden alkotót metsz. Hiperbola A metsző sík két alkotóval párhuzamos.