A biomatematia alapjai és a apcsolódó feladato megoldása számítógép segítségével Aboyi-Tóth Zsolt, 2005-2006 Miért fotos a valószíűségszámítás és a statisztia? Mert el szereté dötei, hogy egy-egy orét esetbe szerecsé volt-e, pechü volt-e, vagy épp a várható módo törtét mide. o Ahogy odaértü a megállóba, fél perce belül jött a busz. o Öt percet ellett váru a megállóba a buszra. észült Haros Adrea, Reiczigel Jeő zoológus előadásaia valamit Fodor Jáos és Solymosi Norbert taayagaia a felhaszálásával Mert el szereté dötei, miért meyit érdemes ocáztati. o Mide másodi telefoáló 500 Ft-os öyvutalváyt ap. A szerecsés yertes pedig millió forittal lesz gazdagabb. A hívás díja 800 Ft + ÁFA. o Melyi az a légitársaság, amelyiel a legolcsóbba juto el Lodoba úgy, hogy em ésem le a ocertet? Mert el szereté dötei, elhiggyü-e valamit, amit olvasu, vagy hogy észrevegyü, hol va bee a hiba. o A megérdezette 40%-a egyetért az Öormáyzat dötésével, 45%-a ellezi azt, 0%-u pedig em yilatozott a érdésről. o Az itelligeciateszte sorá a gyeree mide megyébe jobb eredméyt érte el az országos átlagál. o A vizsgálati eredméye em álla elletmodásba azzal a feltételezéssel, hogy az új és a hagyomáyos módszer eseté azoos a gyógyulási aráy. Mert a vizsgálatai alapjá olya állításoat szereté megfogalmazi, amelye megfelele a valósága. o Hatásosabb-e az éppe tesztelt új gyógyszer? o Javítja-e a cuorbeteg utyá állapotát a vizsgált táplálé-iegészítő? o A májezimszite vizsgálatával előre megadható, hogy az állat reagál-e a gyógyszeres ezelésre? alószíűségszámítás So egyformá valószíű imeetel eseté a imeetele számától függ egy eseméy valószíűsége. edvező esete / összes esete (éha em éppe edvező ) Példá: ocadobás : 6 szám, mid egyformá valószíű mide 6 a valószíűsége ét oca: 6 6 36 számpár midegyie 36 a valószíűsége ét ocá a ét szám összege 0, aa 36 3 a valószíűsége (4+6, 5+5, 6+4) o Miért va a 4+6 és a 6+4 így is, úgy is, és az 5+5 csa egyszer?! tételhúzás (I. rész 9, II rész 8 tétel): 9 8 72 pár mide pára a valósz. 72
alószíűségi modelle Modelle evezzü azoa a feltételezésee az együttesét, amelye a eretet adjá egy valószíűségszámítási vagy statisztiai probléma megoldásához, vagyis amelyee a számoláso alapula. Ezeet gyara csa hallgatólagosa feltételezzü (azoba helyesebb, ha imodju). Példa: Meyi a valószíűsége, hogy égy ővér özül először a legidősebb megy férjhez, másodszor a másodi legidősebb, és így tovább? Hallgatólagos feltételezés: mide lehetséges sorred egyformá valószíű A feltételezése alapuló megoldás: 24 Példa: Meyi a valószíűsége, hogy egy pézérmével egymás utá égy fejet dobu? Hallgatólagos feltételezése: az érme szabályos, azaz a fej valószíűsége mide egyes dobásál 2 az egyes dobáso eredméye egymástól függetle A feltételezésee alapuló megoldás: 2 2 2 2 6 Realisztius? Elfogadható? Ha már megva a modell, a számításo em eheze (egy matematius is segíthet), ehezebb egy valósághű modellt találi (abba a matematius sem soat tud segítei). A legfotosabb modell-típuso (hallgatólagos feltételezése) A lasszius valószíűségi modell Feltesszü, hogy va éháy véges so olya eseméy (atom, imeetel, elemi eseméy), amelyeből a ísérlettel apcsolatos összes eseméy felépíthető, feltesszü továbbá, hogy eze mid egyelőe valószíűe. Lásd a feti példáat (ocadobás, tételhúzás, sorred). Gyara szimmetria-megfotoláso alapjá választju ezt a modellt. Itt az esete összeszámlálására a ombiatoria módszereit és eredméyeit haszálju: lasszius ~ elemi ~ ombiatorius valószíűségszámítás. A tapasztalati (empirius) valószíűségi modell Soszor megfigyeljü a törtéést vagy soszor megismételjü a ísérletet, és az egyes eseméyehez a megfigyelt relatív gyaoriságu szerit redelü hozzá valószíűségeet. Szubjetív valószíűsége Ha sem a lasszius modell em haszálható (mert semmi ou ics feltételezi, hogy egyelő valószíűségű elemi eseméye leée a vizsgált folyamatba), sem pedig ismételt megfigyelésre ics módu (ilye helyzete például: tőzsdei dötése, állás elyerésée, háború itörésée esélyei stb.) aor jobb híjá iidulhatu az esélye szubjetív megítéléséből is.
Kombiatoria éges so objetum (em midig egy halmaz elemei, éha egyelő is lehete özöttü!) özül bizoyosa iválasztása és/vagy sorba redezése. Midig godolhatju úgy, hogy az objetumo természetes számo (hisze megszámozhatju őet). Permutáció (csa sorba redezés, az összes objetumot felhaszálju) Ismétlés élüli a permutáció, ha az objetumo mid ülöböző. Ismétléses a permutáció, ha az objetumo özött vaa azoosa. Példá: Az, 2, 3, 4, 5 számo egy permutációja: 2,, 5, 3, 4 (ismétlés élüli) Az,, 2, 3, 4, 4 számo egy permutációja:, 2, 4,, 3, 4 (ismétléses) Kombiáció (csa iválasztás, sorba redezés élül) Ismétlés élüli a ombiáció, ha mide objetumot csa egyszer választhatu i. Ismétléses a ombiáció, ha ugyaazt az objetumot többször is iválaszthatju. Példá: az, 2,..., 0 számo egy harmadosztályú ismétlés élüli ombiációja:, 5, 8 o az, 5, 8, az, 8, 5, az 5,, 8, az 5, 8,, a 8,, 5 és a 8, 5, ugyaaz a ombiáció (mert ugyaazo a számo vaa iválasztva) egy ötödosztályú ismétléses ombiációja: 3, 3, 6, 6, 9 o ugyaaz pl. a 3, 6, 9, 6, 3 is (ugyaazo a számo, mid ugyaayiszor) ariáció (iválasztás és a iválasztotta sorba redezése, vagy sorba egymás utái iválasztás) Ismétlés élüli a variáció, ha mide objetumot csa egyszer választhatu. Ismétléses a variáció, ha ugyaazt az objetumot többször is iválaszthatju. Példá: az, 2,..., 0 számo egy harmadosztályú ismétlés élüli variációja:, 5, 8 o az, 5, 8, az, 8, 5, az 5,, 8, az 5, 8,, a 8,, 5 és a 8, 5, mid ülöböző variáció (bár a iválasztás ugyaaz, a sorba redezés más) egy ötödosztályú ismétléses variációja: 3, 3, 6, 6, 9 o a 3, 6, 9, 6, 3 em azoos vele (ugyaazo a számo, de más a sorred) FIGYELEM! Az agol szóhaszálat más, ott a variációat is permutációa evezi, és em említi az ismétléses változatoat. elem összes ismétlés élüli permutációia száma P! (ituitív, matematiailag em teljese precíz a övetezőre is ugyaez érvéyes): Az első elem számára hely özül választhatu, a másodi elem számára bármelyiet is választottu elsőre a megmaradó - hely özül,... végül az -i elem számára már csa egyetle szabad hely marad. elem összes ismétléses permutációia száma, ha az eleme özött azoos, 2! szité azoos, de az előzőetől ülöböző, stb. található: P, 2, L,! 2! K! Ha mid az elem ülöböze, aor! számú permutációju vola. Azoba most midazo a permutáció megegyeze, ahol azoos eleme egymás özött vaa permutálva, eze száma pedig! 2!.
elem összes -adosztályú ismétlés élüli variációia száma:! ( )! elem összes -adosztályú ismétlés élüli ombiációia száma! ( )!! Az első helyre az elem bármelyiét választhatju, a másodi helyre a megmaradó - elem bármelyiét,... végül a -i helyre ( +) elem özül választhatu. i elem összes -adosztályú ismétléses variációia száma:,,, P, hisze a variáció azt jeleti, hogy iválasztu elemet és sorba redezzü őet. A zsebszámológépee helyett eressü -t vagy r -t! Ha sorba egymás utá -szor választu, és az ismételhetőség miatt mid a alalommal mid az elem választható, aor az összes lehetősége száma. Nyilvávaló, hogy P,. A zsebszámológépee (mert a yelvü agol) helyett P, sőt, még gyarabba P vagy Pr szerepel., P, Modellezzü az elem özül darab iválasztását úgy, hogy sorba felírju az elemet, és midegyi alá + vagy jelet íru, aszerit, hogy választju, vagy em. Tehát db + jelet és ( ) db jelet haszálu. Például: 2 3 4 ( ) + + + Láthatóa egy ilye jelsorozat ölcsööse egyértelműe megfelel egy iválasztása (a megfeleltetés oda-vissza egyértelmű). a lehetséges iválasztáso, P, a jelsorozato száma, tehát egyelő. elem összes -adosztályú ismétléses ombiációia száma i, +, Bizoyítás vázlata: Mide ismétléses ombiációa megfeleltetü egy db jelből és db jelből álló jelsorozatot, például ha 5 (az eleme, 2, 3, 4, 5) és 8, aor 224445 ~ 2234444 ~ 44444444 ~ stb. Ez ölcsööse egyértelmű megfeleltetés, tehát ugyaayia ell, hogy legyee.
Biomiális együttható Egy mási megszoott jelölés és elevezés a biomiális együttható Az elevezés hátterébe a biomiális tétel áll: ( a+ b) 0 a b -ra: (olvasd: alatt a ), Excel! FAKT() P ARIÁIÓK(;) R ARIÁIÓK(;) KOMBINÁIÓK(;)! factorial() P factorial() Számítógép factorial()/factorial(-) factorial()/(factorial(-)*factorial())