Dr. Balogh Albert: A statszta adatfeldolgozás éháy érdeessége
Kérdése:. Hogya becsüljü a tapasztalat eloszlásfüggvéyt? 2. M az a redezett mta? 3. M az a medá rag és mlye becslése vaa?. Hogya becsüljü a hbaaráy 50%-os felső ofdeca határát? 5. Mért tér el az Excel és Mtab vartlsszámítása? 2
.A tapasztalat eloszlásfüggvéyt redszert a Webull és a ormáls eloszlás esetébe grafus módszerrel becsül. Eor a becsléseet például Gauss(Webullpapíro ábrázolva ormáls eloszlás esetébe egy egyeest apu. 2.A tapasztalat eloszlásfüggvéyt a redezett mtaeleme eloszlásáa jellemzőből határozzu meg. x < x <... < x <... < x Legyee 2 a redezett mtaeleme agyság szert övevő: Eor az ezehez tartozó y F(x értée s redezett övevő mtát ada. y <y 2 < <y < <y.. 3
Normáls eloszlásfüggvéy 09 Öaazegzett eloszlás függvéy 08 07 06 05 0 03 02 y 07 ( x y 0 μ 0 x 0 0 2 6 8 0 2 6 8 Megfgyelt x értée. ábra A ormáls eloszlásfüggvéy
y Φ( u Φ x μ σ u x μ σ y Med ( y Φ(0 05 x y ( μ x x Med ( x Kérdés: mvel becsüljü az. 2 -ed mtaelemhez tartozó y y2... y t Egyees Gauss-papíro ábrázolva
3. M az a medá rag? Az x <x 2 < <x <x redezett mtaeleme sorszáma a rag. Az ezehez tartozó y eloszlásfüggvéy-értée s redezett mtát alota azaz y <y 2 < <y < <y s redezett mta eze sorszáma s rag. Az y redezett mtaelem (ragja a [0] tervallumba egyeletes eloszlású valószíűség változó amelye sűrűségfüggvéye:! g( y y..( y ;(0 y. (!(! Ee az eloszlása az eloszlásfüggvéye az y medá helye vesz fel a 05 értéet. sorrede száma (-db elem sebb vszge -ed elem sfv-e (- db elem agyobb vszge Agol: meda ra. Magyar: a rag medája. 6
3.A tapasztalat eloszlásfüggvéy szoásos becsléset részbe y eloszlásából származtatjá. A szoásos becslése egy része gyaorlat meggodoláso alapjá a övetező: ϕ ( ϕ2(. 2 ϕ3 (. (Motgomery ( ϕ Ez y eloszlásáa várható értée. ϕ5( ϕ6( 03. 0 03 < < 0 g( y G ( y! y ( (!(! < 2 y ;(0 y. ( ( ( y ( y y ( y Ez y eloszlásáa módusa. Ez y eloszlásáa özelítő medája vagys a medá rag. ha Ez y sűrűségfüggvéyeebből G (y: y ( y G ( y 0 7
8 A medá rag özelítő épletée származtatása: ( ( ( 0 ( ( ( ( ( y G y y y y y y y G G (yg - (-y.. ( ( ϕ ϕ 05 ( G y. b a b a b-2a ( 5 0 2 2 0 a a a a Ha aor a fet éplet az (-a paraméterű Posso eloszlással özelíthető és apju hogy a jó özelítéssel 03. Keressü a becslést alaba. b a ϕ( 0 03 2 ( a a ϕ
y ϕ ϕ 5 6 03 y 0 yf(x Adatsor2 ϕ y05 x x F ( 03 0 x A három becslés módszer ábrázolása 9
A becslése tulajdosága és összehasolításu:.az /( becslés az esetee több mt felébe az egyees alatt va. 2.Az (-/(- becslés az esetee több mt felébe az egyees felett va. 0 5 03 3. Mvel > > erre s teljesül a fet megállapítás. 0 2. Az (-03/(0 becslés özel azoos számú esetbe va az egyees alatt és felett. 5. A 2. és 3. esetbe alábecsül a ormáls eloszlás szórását az. esetbe pedg túl agy szórást becsüle. Ez azért va mert az egyees meredesége fordította aráyos a szórással. Az egyees 05 ordátájú potjához tartozó x érté becsül a várható értéet az egyees meredesége pedg a szórás recpro értée. 0
N(35;5 (-05/ 2
N(35;5 3
2 E l o s z l á s f v. 5 N(05;2 5 6 7 8 9 0 2 3 ( 05/ ( 03/(0 0 05 5 2 25 ( /( Sorozato Sorozato2 Sorozato3 Sorozato Sorozato5 N(05;2 /( ( /( ( 05/ ( 03/(0 Leárs (Sorozato Leárs (Sorozato2 Leárs (Sorozato3 Leárs (Sorozato Leárs (Sorozato5 3 Mtaeleme megfgyelt értée
N(05;2 E l ( 03/(0 05 o s 0 z 5 6 7 8 9 0 2 3 l 05 á( 05/ s f v. 5 2 5 2 25 ( 0/( Sorozato Sorozato2 Sorozato3 Sorozato Sorozato5 N(05;2 /( ( /( ( 05/ ( 03/(0 Leárs (Sorozato Leárs (Sorozato2 Leárs (Sorozato3 Leárs (Sorozato Leárs (Sorozato5 3 Mtaeleme megfgyelt értée 5
.A hbaaráy 50%-os felső ofdeca határa: C U 0 ( p ( p 00%. Bomáls eloszlásból számítva. pˆ pˆ ( 03 0 ( 2 22 2 F 0 50 07 0 A fet épletből adód a potos éplet. Ez a özelítő éplet a medá ragból. Értéelés mód Mta Gyaorlat megfotolás 25 % 50 % 75 % Excel (-/(- 25 % 50 % 75 % Mtab program(/( 56902 6 0 5 60 95 6 0 6925 75 2 5 75 25 325 75 275 25 % 50 % 75 % Motgomery ( 05/ 25 50 75 % % % 5 6 975 75 2 5. Kvartlse és a medá százaléos értéee összehasolító táblázata
Kvartlse számítás éplete: Az Excel a ( ; pˆ épletből dul és így p/ eseté Ee a száma egész részét ell ve ezt a sorszámú tagot ell duló értée tete és ehhez hozzá ell ad ee a száma a törtrészée és övetező mtaelemtől való távolságáa szorzatát. p3/ eseté hasoló az eljárás. A Mtab a pˆ épletből dul és így p/-re /(; ezt övetőe az eljárás azoos. 05 pˆ eseté. ha p/ aor (/. 05 ezutá az eljárás azoos. Ee megfelelőe az Excel éplete a 25 és 75%-os vartlsere ahol [x] x egész része{x} x törtrésze: X0 25 X[ ] { ' } ( X[ ] [ ]; 075 [ ' 3 ] { ' 3} ( ' X ' X X ' X[ ' 3 ] X[ ' 3 ] X A Mtab éplete: { }( X[ ] X[ ]; X075 X[ ] { 3} X[ ] X[ ] 0 25 X[ ] ( 3 3 3 7
8 { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } excel tab tab ha tab ha tab ha tab ha excel ha excel ha excel ha excel ha ; 05;m ; 3;m 0 2;m 075 ; ;m 05 ; ;m 025 ; ; 0 ; ; 075 ; 3; 05; ' ; 2; 025; ' ' ' '
p- vatls mtabel becslése p becslése értée p vatls p/( (p x p x [] {}(x [] x [] p( /( ( p x p x [] {}(x [] x [] p( 05/ p05 x p x [] {}(x [] x [] p( 03/(0 (0p03 x p x [] {}(x [] x [] Jelölése: [] egész része; {} tört része; F(x p p. 9