Matematikai statisztika elıadás. éves elemzı szakosokak 0. elıadás Többdimeziós ormális eloszlás Kétdimeziós ormális eloszlás sőrőségfüggvéye ( ( x µ ) ρ ( y ν ) f x, y) ex + ( x µ )( y ν ) ) πσς ρ σ σς ς ahol az elsı koordiáta (µ,σ), a második edig (ν,ζ) araméterő ormális eloszlású. <ρ< edig a komoesek közötti korreláció. Ez az a kivételes eset, amikor ρ0 elégséges is a függetleséghez. 0.5 korrelációjú, stadard ormális eloszlású változók együttes sőrőségfüggvéye 0.9 korrelációjú, stadard ormális eloszlású változók együttes sőrőségfüggvéye - - 0 - - 0 - - 0 - - 0-0.75 korrelációjú, stadard ormális eloszlású változók együttes sőrőségfüggvéye Általáosítás - - 0 Legye X dimeziós, függetle komoeső, komoesei stadard ormális eloszlások A: x dimeziós emsziguláris mátrix, m -dimeziós vektor YAX+m: -dimeziós ormális eloszlás. EYm E(Y-m)(Y-m) T )AA T :C (elevezés: kovariaciamátrix) - - 0
Tulajdoságok A sőrőségfüggvéy: f ( x) ex A ( x m) / (π ) A T ex ( x m) C ( x m) / / (π ) C A koordiáták otosa akkor függetleek, ha a kovariaciamátrix diagoális X otosa akkor többdimeziós ormális, ha a komoeseiek bármely lieáris traszformáltja dimeziós ormális eloszlású Paraméterbecslés A araméterek maximum likelihood becslése (ha C em elfajuló): m ˆ X, Cˆ ( Xk X )( Xk X ) k A várható érték becslése torzítatla és kozisztes A kovariaciamátrix becslése aszimtotikusa torzítatla és kozisztes T Táblázatok elemzése Táblázatelemzés/ A számokat legjobba osztással tudjuk összehasolítai. (Figyelem: külöbség-, illetve összegkézés csak akkor értelmes, ha ez a halmazokra is értelmes). Mérıszámok tíusai (százalékba csak a hasoló ismérvekbıl számított háyadosokat értelmes kifejezi): 00*Részhalmaz/teljes halmaz (ık aráya, havi bevétel részaráya) Hasoló ismérvekre: 00*(ismérv A)/(ismérv B) Példák: társasutazáso résztvevık/ egyéi utazók, adózás utái eredméy/adó. Külöbözı ismérvek háyadosa: egy fıre esı gékocsik száma, GDP/fı stb. Mérıszám-sorozatok: Bázisidex: idısor számait ugyaahhoz a bázisidıothoz hasolítjuk (egyszerő súlyozatla idex) Bi 00 Lácidex: idısor egymás utái számait hasolítjuk egymáshoz Li 0 Mérıszám-sorozatok, élda Év Bázisidex Lácidex A táblázat harmadik oszloa az éves áremelkedést mutatja. Ez egy lácidex, mert a bázis midig más. A. oszlo a bázisidex, ahol midig 995 a viszoyítási ala. 995 00.0 8. 996 8. 3.6 997 58.5 8.3 998 87.5 4.3 999 4.3 0 000 35.7 09.8 00 58.8 09. 00 8.6 05.3 003 97.6 04.7 004 3.6 06.8 Bi 0 j ( Li /00) j j j j Egy kokrét táblázat Magyarországi adatok Adjuk éldát külöbözı aráyszámokra! 970 980 990 000 Néesség (Millió) 0,35 0,70 0,37 0,7 Születésszám (ezer) 5 49 6 97 Autók száma (Millió) 0,03 0,30,96
Egy aradoxo Megoldás: Stadardizálás vállalkozás adatai Hol keresek jobba az alkalmazottak? Adjuk meg midkét cégél az átlagkereseteket! Tehát óvatosak kell leük a kevert oulációkál. B Bak G Gyár Nık Férfiak Nık Férfiak Havi fizetés 50 350 00 300 Szám 90 0 0 90 A hatásokat el kell külöítei: BsjVj V A részhalmazok adatai közötti Bsj eltérés hatása: B s : stadardsúlya (gyakorisága) az osztályokak V: megfigyelt értéke osztályokét A részhalmazok megoszlásáak eltérésébıl adódó hatás: BjVsj B: eloszlás osztályokét, V s : V stadard értékek Bj osztályokét. B sj j0 V(90*50+0*350)/00- -(90*00+0*300)/00 50 ezer Ft Bj0Vsj Bj0 V(90*50+0*350)/00- -(0*50+90*350)/00-80 ezer Ft B V sj dexszámok dexszámok: Két hasoló ismérv adatát osztjuk el egymással. Egyszerő idexek A kacsolódó számok közvetleül a táblázatból származak, valódi meyiségekrıl szólak. (Összetett) idexszámok A hasolítadó értékek számok, amiket súlyozott átlagkét kauk meg. Összetett idexek Összetett iacok idıbei változását jellemzik (átlagos ár- és meyiségváltozás) A súlyok léyegesek, mert a termékek eltérı részt kéviselek a forgalomba. Két lehetıség:. Laseyres idex : súlyok a bázisévbıl. Paasche idex : súlyok a beszámolási idıszakból Példa a saját taasztalatukból Heti kiadás, 0: mozijegy, 4 zsemle, 3 hamburger. Összár (érték): 800+4*50+3*300400 Ft Heti kiadás, 0: 0,5 mozijegy, 0 zsemle, 7 hamburger. Összár (érték): 0,5*00+0*60+7*3003300 Ft, tehát egy 37,5%(00*3300/400)-os emelkedés. Ez egy értékidex, az ár- és meyiségi változásokat em külöítettük el. Folytatás: árösszehasolítás Egy idexet keresük, emcsak egyszerő összehasolításokat akaruk (50%,0%,0% az árukéti árváltozás). A vásárlói kosár valódi összetételét kell figyelembe vei. A 009-es meyiségek alajá: 00*(*00+4*60+3*300)/ (*800+4*50+3*300)00*940/400,5%, tehát,5%-os áremelkedés. A 00-es meyiségek alajá: 00*(0,5*00+0*60+7*300)/ (0,5*800+0*50+7*300)00*3300/30000l%, tehát 0%-os volt az áremelkedés ebbe az esetbe. Alacsoyabb, mert kevesebbet fogyasztottuk a drágábbá vált áruféleségekbıl. 3
Folytatás: meyiségek összehasolítása Figyelembe kell vei a fogyasztói kosár elemeiek árait. A 0-es árak alajá: 00*(0,5*800+0*50+7*300)/ (*800+4*50+3*300)00*3000/4000%, tehát 0%-kal ıtt a meyiség ebbe az esetbe. A 0-es árak alajá : 00*(0,5*00+0*60+7*300)/ (*00+4*60+3*300)00*3300/940%, tehát %-kal ıtt a meyiség ebbe az esetbe. Alacsoyabb, mert kevesebbet fogyasztottuk a megdrágult árukból. Példa Belföldi csoortos utak Külföldi csoortos utak Utazási iroda adatai 0-bıl és 0-bıl. Év Meyyiség 009 00 3 Meyyiség 00 3 8 Átlagár ( ezer Ft) 009 5 08 Átlagár ( ezer Ft) 00 5 40 Egyéi utak (meetjegyek) 88 9 74 80 Laseyres-féle áridex L 00(500+403+8088)/(500+083+7488) 570/57680,3 Tehát 0,3%-os áremelkedés volt eze a iaco 0-be 0-hez kéest, ha a súlyok a bázisévbıl (0) származak. Laseyres-féle meyiségi idex M, L 00(5 3+08 8+74 9)/(5 00+08 3+74 88) 548/57680,3 Tehát,3%-os meyiségi övekedés volt eze a iaco 0-be 0-hez kéest, ha a súlyok a bázisévbıl (0) származak. Paasche féle áridex P 00(53+408+809)/(5 3+08 8+74 9) 57676/5480,0 Paasche-féle meyiségi idex M, P 00(53+408+809)/(500+403+8088) 57676/5700,0 Tehát 0%-os áremelkedés volt eze a iaco 0-be 0-hez kéest, ha a súlyok a beszámolási évbıl (0) származak. Tehát %-os meyiségi övekedés volt eze a iaco 0-be 0-hez kéest, ha a súlyok a beszámolási évbıl (0) származak. 4
Tulajdoságok Midkét idex a miimális és maximális (ár, illetve meyiségi) változás-aráy között helyezkedik el. Emelkedés dex > 00% Ha mide ár/meyiség ugyaúgy változik, akkor az idex is ezt a háyadost adja. dıbei változást em tudjuk az idexek szorzatával megkai, haem csak idexsorokat tuduk kiértékeli. (egyszerőbb a Laseyres-idexre). Tulajdoságok Laseyres idex Egyszerőbb számoli Alkalmas idexsorok elıállítására Hajlamos a túlbecslésre Paasche idex Ár/meyiség-aktuális Hajlamos alulbecslésre Komromisszum: Fischer-féle ideális idex: geometriai közé a Paasche és a Laseyres idexbıl. M, F 0, M, P M, L 0, F 0, P L 0, Értékidex 00(53+408+809)/(5 00+08 3+74 88) 57676/5768,4 Azt jeleti, hogy a iaco forgalmazott összértékbe,4%-os övekedés volt megfigyelhetı 0-be 0-hez kéest. Vegyes kacsolat Nomiálskálá és aráyskálá értelmezett ismérv kacsolata. Példák: Mukahely vs. fizetés Turisták emzetiség vs. ai költésük Nem vs. magasság stb. Ábrázolás: otok osztályokét Példa x-tegely: aráyskálá mért ismérv y-tegely: omiális skálá mért változó Az adatok (eft-ba) Kisegítı: 70,80,00,0,30,40 Admi. 0,50,60, 00,50,30,360,380 Vezetı: 80,300,450,50,600,750 Arbeitsty Leiter Admi. Hilfskraft Moatsgehalt i der Firma XSY 00 00 300 400 500 600 700 TFt 006.Ja. Vegyes kacsolat szorosságáak mérıszáma: H Részátlag az i-edik osztályra: ( i : megfigyelések száma az i-edik osztályba i,...,k) Vezetı: 466,67 TFt xi, + xi,+...+ xi, Admi.: 4,5 TFt x i i Kisegítı: 06,67 TFt i Fıátlag: 69 TFt. Négyzetösszegek az osztályokba: Vezetı: 33 Admi.: 70950 Sw, i ( xi, xi ) + ( xi, xi ) +... + ( xi, i xi ) Kisegítı: 3933 Négyzetösszeg az osztályok között: S b 39863 H S b /(S b + S w ) 0,58 S H0,763 b x x ) + ( x x) +... + k ( xk ( x) 5