Draskóczy András VASBETONSZERKEZETEK PÉLDATÁR az Eurocode előírásai alapján

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építészmérnöki Kar SZILÁRDSÁGTANI ÉS TARTÓSZERKEZETI TANSZÉK Draskóczy András VASBETONSZERKEZETEK PÉLDATÁR az Eurocode előírásai alapján LEMEZEK OSZLOPOK, FALAK KÜLÖNBÖZŐ VASBETON SZERKEZETEK ÉS RÉSZLETEK HASZNÁLHATÓSÁGI HATÁRÁLLAPOTOK ELLENŐRZÉSE KÖZELÍTŐ MÉRETMEGHATÁROZÁS Gyakorló eladatok megoldása Terveladatok Gyakorló vizsgaeladatok Budapest, 008. 1

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építészmérnöki Kar SZILÁRDSÁGTANI ÉS TARTÓSZERKEZETI TANSZÉK Draskóczy András VASBETONSZERKEZETEK PÉLDATÁR az Eurocode előírásai alapján Budapest, 008.

Lektorálták: Dr. Dulácska Endre Dr. Hamza István Papanek Zsolt proesszor emeritusz egyetemi adjunktus egyetemi adjunktus Dr. Draskóczy András egyetemi adjunktus, 008. A példatár szerzői jogi védelem alatt áll, másolása csak a kiadó engedélyével történhet! 3

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építészmérnöki Kar SZILÁRDSÁGTANI ÉS TARTÓSZERKEZETI TANSZÉK VASBETONSZERKEZETEK PÉLDATÁR az Eurocode előírásai alapján TARTALOM oldal Bevezető...7 1. ejezet:.....8 1.1. Négyszögkeresztmetszet ellenőrzése hajlításra....8 1.. Túlvasalt négyszögkeresztmetszet ellenőrzése hajlításra..9 1.3. Négyszögkeresztmetszet hajlítási vasalásának tervezése..10 1.4. Háromtámaszú tartó.1 1.5. Fejlemezes gerenda...17 1.6. Kéttámaszú konzolos alulbordás ödém gerendája...18 1.7. Kéttámaszú gerenda nyírási méretezése....0 1.8. Nyírási vasalás tervezése kengyelezés és elhajlított acélbetétek alkalmazásával... 1.9. Tartóvég ellenőrzése 4 1.10. Kéttámaszú gerenda nyírási méretezése 45 oknál kisebb nyomott beton rácsrúd dőlésszög mellett...4 1.11. Csavarási vasalás tervezése.7 1.1. Monolit vasbeton gerenda tervezése kis θ nyomott beton rácsrúd dőlésszög mellett..30 1.13. Kéttámaszú konzolos gerenda tervezése a nyomatéki és nyíróerő ábra burkolásával 37 1.14. Többtámaszú tartó...45 1.15. Előregyártott vasbeton gerendás béléstestes ödém 49 Gerendák. Gyakorló eladatok és kérdések...51. ejezet: LEMEZEK....53.1. Hajlított lemezkeresztmetszet ellenőrzése...53.. Hajlított lemezkeresztmetszet tervezése..54.3. Konzolosan kinyúló lépcsőlemez keresztmetszet tervezése 55.4. Harántalas épület két- és többtámaszú monolit vasbeton ödémlemeze 55.5. Kétkarú vasbeton lépcső- és pihenőlemez tervezése...61.6. Kétirányban teherhordó, peremein szabadon eltámaszkodó, de sarkainál elemelkedésben gátolt vasbeton lemezek...63 A -al megjelölt eladatok a Vasbetonszerkezetek 1 tárgy tematikájához kapcsolódnak. 4

a) 1: oldalarányú lemez b) Négyzetes lemez c) Optimális oldalarányú lemez d) Kör alaprajzú lemez.7. Kétirányban teherhordó, sarkainál elemelkedésben nem gátolt vasbeton lemez..68.8. Kör alaprajzú, a peremén szabadon elekvő lemez 69.9. Kétirányban teherhordó többtámaszú monolit vasbeton lemez....70.10. Pontokon megtámasztott síklemez ödém....74 74 Vasbeton lemezek. Gyakorló eladatok és kérdések..89 3. ejezet: OSZLOPOK, FALAK.....9 3.1. Központosan nyomott oszlop tervezése. 9 3.. Központosan nyomott oszlop ellenőrzése...93 3.3. Központosan nyomott oszlop ellenőrzése külpontosság növekményekkel...94 3.4. Spirálkengyeles oszlop...95 3.5. Földszintes csarnoképület külpontosan nyomott oszlopának ellenőrzése...97 3.6. Adott külpontosság mellett működő legnagyobb nyomóerő számítása....100 3.7. Külpontosan nyomott keresztmetszet közelítő teherbírási vonala pontjainak pontos számítása...101 3.8. Vasbeton keretvázas épület oszlopelemének ellenőrzése..10 3.9. Földszintes csarnoképület oszlopának tervezése...106 3.10. Vízszintes terhelés elosztása a alrendszer elemei között......110 3.11. Külpontosan nyomott vasbeton teherhordó és merevítő al tervezése.......113 Oszlopok, alak. Gyakorló eladatok és kérdések....118 4. ejezet: KÜLÖNBÖZŐ VASBETON SZERKEZETEK ÉS RÉSZLETEK.... 10 4.1. Rövidkonzol...10 4.. Kéttámaszú altartó.. 1 4.3. Ívtartó...15 4.4. Vonórúd....17 4.5. Külpontosan terhelt vasbeton alaptest... 130 4.6. Támal.. 133 4.7. Pecsétnyomás...136 4.8. Koncentrált teher elüggesztése.. 137 4.9. Zsaluzópalló és monolit vasbeton lemez kapcsolata...139 4.10. Keretsarok....141 5. ejezet: HASZNÁLHATÓSÁGI HATÁRÁLLAPOTOK ELLENŐRZÉSE.....145 5.1. Lemez lehajlásának egyszerűsített ellenőrzése. 145 5.1.1. Egyirányban teherhordó kéttámaszú vasbeton lemez lehajlásának egyszerűsített ellenőrzése 5.1.. Kétirányban teherhordó többtámaszú lemezszerkezet lehajlásának egyszerűsített ellenőrzése 5.. Gerenda lehajlásának egyszerűsített ellenőrzése......149 5.3. Lemez lehajlásának meghatározása....151 5.4. Gerenda lehajlásának meghatározása.....154 5.5. Lemez repedéstágasságának közelítő ellenőrzése...157 5.6. Gerenda repedéstágasságának közelítő ellenőrzése....158 5.7. Lemez repedéstágasságának meghatározása..159 5.8. Gerenda repedéstágasságának meghatározása...161 5.9. Külpontosan húzott vasbeton lemez repedéstágasságának meghatározása a zsugorodás hatásának igyelembe vételével...16 6. ejezet: A SZERKEZETI ELEMEK KERESZTMETSZETÉNEK KÖZELÍTŐ MÉRET- MEGHATÁROZÁSA...166 5

6.1. Kéttámaszú lemez 167 6.. Többtámaszú lemez...171 6.3. Lépcsőlemez...170 6.4. Síklemez ödém...173 6.5. Kéttámaszú négyszögszelvényű gerenda...174 6.6. Többtámaszú négyszögszelvényű gerenda....175 6.7. Többtámaszú ejlemezes gerenda.. 177 6.8. Központosan nyomott beton pontalap..178 6.9. Központosan nyomott vasbeton pontalap közelítő méretei és vasalása...179 6.10. Külpontosan nyomott vasbeton pontalap...181 6.11. Központosan nyomott oszlopkeresztmetszet...18 6.1. Külpontosan nyomott oszlopkeresztmetszet - kiskülpontos nyomás.....185 6.13. Külpontosan nyomott oszlopkeresztmetszet - nagykülpontos nyomás..187 6.14. Vasbeton alak minimális vastagsága.190 FÜGGELÉKEK....191 I. A Gerendák című ejezet gyakorló eladatainak megoldása. 19 II. Terveladatok. 01 1. Terveladat. Terveladat Mintarajzok III. Gyakorló vizsgaeladatok..05 1. Műugró trambulin...05. Részlegesen előregyártott kereskedelmi épület tartószerkezetei.11 IV. A Deák György Draskóczy András Dulácska Endre Kollár László Visnovitz György : Vasbetonszerkezetek, Tervezés az Eurocode alapján című kiadvány (Vasbetonszerkezetek segédlet (VS.)) táblázatai..17 Jelölések. 3 Hivatkozott szakirodalom..5 Megjegyzés: A eladatmegoldások számos hivatkozást tartalmaznak a Tanszéken kidolgozott Vasbeton segédletre (VS,, a szakirodalom jegyzékben: [1]), az oldalszám, esetleg ejezetszám megjelölésével. Az oldalszámok a segédlet 007. évi kiadására vonatkotnak, korábbi kiadású példányban az oldalszám eltérhet! 6

Bevezető A Vasbetonszerkezetek példatár elsősorban egyetemi hallgatók elkészülését hivatott szolgálni, de az Eurocode előírásaival ismerkedő gyakorló mérnökök részére is hasznos segítőtárs lehet. A eladatmegoldásokhoz űzött megjegyzések a könnyebb megértést, az adott témában való elmélyülést szolgálják. Megelelő tudásszint elérése után javasoljuk a eladatok önálló megoldását, majd annak ellenőrzését. Az első három ejezet végén található gyakorló eladatok és kérdések is ezt a célt szolgálják. A példatár első három ejezetébe oglalt eladatok többségét a BME Építészmérnöki Karon olyó képzés Vasbetonszerkezetek I. tárgya keretében a hallgatók gyakorlati oktatásához ejlesztettük ki a Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszéken. A 4. ejezetbe olyan eladatokat oglaltunk, amelyek az oktatási törzsanyagba idő hiányában nem tudtak bekerülni, de a gyakorló tervezőmunkához segítséget nyújthatnak. Az 5. ejezet a magasépítésben leggyakrabban alkalmazott vasbeton szerkezeti elemek használhatósági határállapotokra alakváltozás- és repedéskorlátozásra való közelítő és pontosabb ellenőrzését mutatja be. A ejezet anyaga a Vasbetonszerkezetek II. tárgy gyakorlati oktatását is segíti. A 6. ejezet a leglényegesebb vasbeton szerkezeti elemek gazdaságos méretmeghatározására mutat be módszereket. Ezek a eladatok a tervezési tárgyak keretében és a gyakorlati tervezőmunkában is hasznosan alkalmazhatók. A példatár olyamatosan tartalmaz hivatkozásokat a Tanszék munkatársai által készített "Vasbetonszerkezetek, Tervezés az Eurocode alapján" (. kiadás, 007., Springer Media Magyarország Kt.) [1] című kiadványra, mint Vasbeton Segédletre (VS.), amelynek használata a eladatok megoldásához nélkülözhetetlen. A példatár korlátozottan önálló használata érdekében ugyanakkor egyik üggelékeként a szerzők és a kiadó hozzájárulásával összeoglaltuk a Segédlet leggyakrabban használt táblázatait a legontosabb értelmező szövegrésszel együtt. A eladatok összeállítása és a megoldások kidolgozása során arra törekedtünk, hogy a pédatár használói megismerjék a vasbeton mint szerkezeti anyag viselkedését, jártasságot szerezzenek a kiviteli tervek készítésének gyakorlatában és elsajátítsák a biztonságos és egyben gazdaságos szerkezeti méretek meghatározásának módszereit. A példák kidolgozottságának szintje eltérő. Egyes eladatok csupán egy-egy részprobléma pl. a nyírási vagy csavarási méretezés bemutatását szolgálják, néhány eladatnál viszont (pl. 1.11.,.10.) az ellenőrzési illetve méretezési számítások mellett a használhatósági határállapotok ellenőrzésére és a kiviteli tervkészítés legontosabb részleteire is kitértünk. A Függelékben megadtuk az 1. ejezet gyakorló eladatainak megoldását. A Vasbetonszerkezetek I. tárgy keretében elkészítendő két terveladat kiírásához egy-egy mintatervet is mellékeltünk. A terveladatok önálló elkészítésével a hallgatók a éléves képzés végére képessé válnak arra, hogy a vizsgaírásbelin egy vázlatosan bemutatott vasbeton szerkezetű épület vagy építmény egyes tartószerkezeti elemeire vonatkozó ellenőrzési vagy méretezési eladatok megoldását el tudják készíteni. Ez magas szintű térlátó képességet és igyelemösszpontosítást igényel. A Függelékben két vizsgaeladatot is közreadtunk, amelyek jól példázzák az itt leírtakat. Végezetül ismételten szeretném hangsúlyozni, hogy példatárunk közös munka eredménye. Itt elsősorban a Vasbeton Segédletet [1] kidolgozó szerzői team tagjaira, Dr Deák György proesszor emerituszra, korábbi tárgyelőadóra, Dr Dulácska Endre proesszor emerituszra, az egyik jelenlegi tárgyelőadóra, Dr Kollár László egyetemi tanárra, a másik jelenlegi tárgyelőadóra, az 1-3. ejezet számos eladatának (1.1-9., 3.1-3., 3.5., 3.7., 3.9.) ötletadójára és a Segédlet legelmélyültebb alkotómunkát igénylő részeinek kidolgozójára és Dr Visnovitz György egyetemi docensre gondolok, aki a Segédlet végső, igényes ormába rendezését magára vállalta. Köszönöm a lektorok, Dr Dulácska Endre proesszor emeritusz, Dr Hamza István és Papanek Zsolt egyetemi adjunktusok koncepcionális és apró hibákra egyaránt érzékeny munkáját. Utóbbiak a Vasbetonszerkezetek I. tárgy állandó gyakorlatvezetőiként is olyamatosan segítettek észrevételeikkel a eladatok csiszolgatásában. Az olykor bonyolult képletek és szövegek számítógépre vitelében Béldi Anna tanszéki adminisztrátor kitartó munkával működött közre, amiért külön köszönet illeti. Végül, de nem utolsó sorban köszönöm Kreisz Brigitta építészmérnök hallgatónak, hogy áradhatatlan volt a példatár ábráinak gépi rajzolásában és javításában. Előre is köszönök minden hibákra és hiányosságokra vonatkozó észrevételt. Kérem, hogy ezeket a kiadón keresztül, vagy közvetlenül a drasko.sil@silver.szt.bme.hu e-mail címre juttassák el. Budapest, 008. március a Szerző 7

1. ejezet: 1.1. Négyszögkeresztmetszet ellenőrzése hajlításra Feladat Ellenőrizze az ábrán adott vasbeton gerendát hajlításra! Az állandó teher (amely tartalmazza a gerenda önsúlyát is) g k 3.7 kn/m, a hasznos teher q k 1 kn/m. (A terhek jelének "k" indexe arra utal, hogy karakterisztikus értékükkel adottak, azaz biztonsági tényezővel még nem megszorzottak,) C0/5-3/KK 1 B 60.50 c nom : 0 mm (betonedés) 0,35 l e 3.5+min 3.76 m 0,6 A terhek tervezési mértékadó értéke: p Ed γ G g k + γ Q q k 1.35 3.7+1.5 1 50.0 kn/m (VS. 11. oldal szerint γ G 1. 35 ; γ Q 1. 5 ) A mértékadó nyomaték (a nyomaték tervezési értéke): l e 3,76 M Ed p Ed 50 88.36 knm 8 8 A keresztmetszetben a kis átmérőjű nyomott ( szerelő ) vasalást elhanyagoljuk. Mint később látni ogjuk, ha a kengyelezés nem elég sűrű, nem is szabad igyelembe venni. A s 94 mm (VS 8. o.) A hatékony magasság: d 350 0 8-0/ 31 mm A vasalás mennyiségére vonatkozó szerkesztési szabályok ellenőrzése (VS. 51. o.) A húzott vashányad %-ban kiejezve: ρ 100A s /bd 100 94/(50 31) 1.1% ρ nagyobb mint a minimális vashányad: ρ 0.13 min % (VS 51. o.), ezért a keresztmetszet vasbeton keresztmetszetként számítható. A s,max 0,04A c 0,04 50 350 3500 mm > > A s,3ø0+ø8 94 + 101 1043 mm rendben! A határnyomaték (M Rd ) számítása 1 Itt 3 az adalékanyag maximális szemnagyságát jelenti mm-ben (d g 3 mm), KK a konzisztenciára utal: kissé képlékeny. 007. 8

0 0 cd 13. 3 N/mm 500 500 yd 435 N/mm x c 0,8x γ c 1.5 γ s 1.15 Ha x c nagy x nagy ε s kicsi az acél rugalmas állapotú. Ha x c kicsi x kicsi ε s nagy az acél megolyik: σ s yd. Ennek számszerűsített eltétele az, hogy az x c /d ξ c viszonyított érték ne haladja meg a ξ co határértéket (lásd VS. 6. oldal táblázat). Tegyük el, hogy az acél olyási állapotban van (ξ c < ξ c0 eset)! 94 435 Vetületi egyenlet ( ΣN 0 ): N c N s cd x c b A s yd x c 13 mm 50 13.3 xc 13 Acél olyásának ellenőrzése: ξ c 0. 394 < ξ 49 d c0 31 0. (VS. 7. o.) vagyis az acél valóban megolyik (amit úgy is mondhatunk, hogy a gerenda normálisan vasalt, a eltételezés helyes volt). Nyomatéki egyenlet a nyomóeszültségek súlypontjára ( ΣM c 0 ): xc 13 M Rd N s z A s yd z z d 31 51 mm 6 M Rd 94 435 51 10.66 10 Nmm 10.66 knm > M Ed 88.36 knm, megelel! 1..Túlvasalt négyszögkeresztmetszet ellenőrzése hajlításra Határozza meg az előző példában adott vasbeton gerenda határnyomatékát, ha a húzott vasalás 3φ 5! A s 1473 mm d 309 mm A 1473 ρ s1 1.9% 50 309 bd > ρ min 0.13% ΣAs 1473 + 101 100 100 1,8% Ac 50 350 < ρ max 4,0% Tegyük el, hogy az acél olyási állapotban van! ΣN 0 : N c N s cd x c b A s yd x c 19 mm 19 Ellenőrzés: ξ c 0.61 > ξc0 0. 49 vagyis az acél rugalmas állapotú marad, nem lehet a teljes 309 szilárdságát kihasználni, csak ún. redukált a Hook törvény alapján számított eszültséggel számolhatunk. 560 ΣN 0 : N c N s cd x c b A s σ s A s ( 700) (VS 17. o.) Ebből ξ d helyettesítéssel: c x c / ξ c 007. 9

700As 560As d xc + xc 0 cdb cdb Ax c + Bx c + C 0 A másodokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva: B + B 4AC xc x c 16 mm A Megjegyzés: a gyökjel előtti előjel csak + lehet, mert x c nem lehet negatív érték. Ellenőrzés: ξ c xc / d 16 / 309 0.55 > ξc0 0. 49 valóban teljesül, az acélbetétben igyelembe vehető eszültség ezért: 560 560 σ s 700 700 368 N/mm (< yd 435 N/mm ) ξc 0,55 xc 16 z d 309 8 mm 6 ΣM 0 : M Rd Asσ sz 1473 368 8 10 13. 57 knm M Rd üggése A s -től ( ρ-tól): Túlvasalt keresztmetszetek tervezését kerülni kell, mert egyrészt gazdaságtalan (lásd az ábrát: túlvasalt keresztmetszet esetén a ρ vashányad növelésével M Rd alig változik ) másrészt ridegen (nem duktilisan) viselkedik: a tönkremenetel hirtelen a beton összeroppanásával - következik be, nem előzik meg nagy, képlékeny alakváltozások, minthogy az acélbetét nem olyik meg. A határesethez tartozó vashányad a ΣN0: ξ c0 dbcd ρbd yd egyenletből: cd 13,3 ρ ξco 0,49 0,015 1,5% yd 435 Az e vashányadhoz tartozó nyomatéki ellenállás: 0,49 309 M Rd0 ξcodbcd ( d ξcod / ) 0,49 309 50 13,3 (309 ) 6 117,45 10 Nmm 117,45kNm 1.3.Négyszögkeresztmetszet hajlítási vasalásának tervezése Feladat Határozza meg az 1.1. eladatban adott tartó szükséges hajlítási vasalását! Tételezze el, hogy a húzott vasalásként φ0 -as vagy φ16 -os acélbetéteket alkalmaz! Az 1.1. példából: M Ed 88.36 knm és d 31 mm (A példa szerint a 3φ 0 -as vas megelel, de lehet, hogy kevesebb acél is elegendő.) Megoldás Határozzuk meg azt a nyomatékot, amely ahhoz az acélmennyiséghez tartozik, amelynél az acélok a nyomott szélső betonszál tönkremenetelekor éppen olyási állapotba kerülnek. Ekkor: x c x co ξ d 0.49 31 153 mm co x co 153 M Rdo cd bx co ( d ) 13.3 50 153 (31 ) 10 6 119. 8 knm > M Ed 007. 10

vagyis kevesebb acélt kell elhelyezni, mint amennyi M Rd0 -hoz tartozik, ekkor a húzott acélbetétek a keresztmetszet tönkremenetelekor biztosan olyási állapotban lesznek. Ezt mindig ellenőriznünk kell a ξ c < ξ co eltétel vizsgálatával. A gyakorlati méretezési számítások során M Rd0 meghatározása csak akkor szükséges, ha a ξ c < ξ co eltétel nem teljesül (erre később mutatunk be példát). Hajlított négyszögszelvény tervezésének általános lépései: 1. lépés: x c számítása a ΣM s 0 egyensúlyi eltételből: xc N c z M Rd M Ed : x c bcd ( d ) M Ed /: b cd A másodokú egyenlet megoldóképlete szerint: x c d d M b cd d 1 M 1 bd Ed Ed cd Erre a képletre gyakran lesz szükségünk a továbbiakban, de,,gondolkodás nélkül,, csak akkor használjuk, ha már biztonsággal le tudjuk vezetni és tudjuk, hogy hajlított négyszögszelvényre vonatkozóan a ΣM 0 egyensúlyi eltételt ejezi ki.. lépés: a vasalás meghatározása: s (a) ΣN 0 A s yd bx c cd A s xc M vagy (b) Σ M 0 M Ed As yd( d ) As ydz As z A (b) egyenlet nem érzékeny az x c -ben esetleg elkövetett hibára, ezért kézi számításhoz ezt használjuk! 6 88,36 10 A példa adatait behelyettesítve: x c 31 (1-1 ) 10 mm 50 31 13,3 Figyeljünk a mértékegységek egyeztetésére! 1 knm 10 6 Nmm ξ 10 / 31 0,33 < ξ co rendben! c -a húzó-nyomó belsőerők karja: zd - x c / 31 10/ 61 mm -a szükséges vaskeresztmetszet: 6 M Ed 88,36 10 A s 778 mm ydz 435 61 50 31 >A smin 1,3 100 mm 1000 R! (Itt is igyeljünk a mértékegységek egyeztetésére!) Lehetséges vasalás (VS 7. o.): 3 φ 0 A 94 mm vagy 4 φ 16 A 804 mm s Az utóbbi megoldás gazdaságosabb. Ez esetben d-t elvileg újra kellene számolni, de mivel nőni og, változása növeli a határnyomatékot, a biztonság javára tévedünk. Ha a számítást dokumentálni kell, akkor nem elegendő a vasalást megtervezni, az M Rd -t is meg kell meghatározni az adott vasaláshoz, és az M Rd M Ed eltétel teljesülését kell kimutatni. A élév során ezt nem ogjuk megkövetelni. -A vasalás megtervezésekor igyelembe kell venni a szerkesztési szabályokat, amelyeket VS. 51. oldalán oglaltunk össze: φ a 0 mm a 3 + 5 37 mm d g + 5 mm Ellenőrizzük, elér-e 4Ø16 vas egy sorban! (0 + 8) + 4 16 + 3 37 31 mm < 50 mm R! Ed yd s M Rd M Ed, mert kihasznált keresztmetszetet tervezünk. 007. 11

1.4. Háromtámaszú tartó keresztmetszeteinek tervezése hajlításra, a lehajlás egyszerűsített ellenőrzése 1.4.1. eladat Határozza meg az alábbi ábrán látható vasbeton gerenda támasz- és maximális mezőnyomatékait (a) rugalmas számítással, tehersémákkal, (b) képlékeny számítással (helyettesítő teherrel)! g k 43 kn/m γ G 1.35 q k 18 kn/m γ Q 1.5 Az állandó teher, g k a gerenda önsúlyát is tartalmazza. Megoldás A teher maximális értéke: p Edmax 43 1,35 + 18 1,5 85,1 kn/m A teher minimális értéke: p Edmin 43 1,35 + 0 58,1 kn/m (Ha az állandó teher csökkentené a nyomatékot, akkor γ G 1-et kellene igyelembe venni) Elméleti támaszköz: min(0.3;0.5) l e 6.5 + + (a) A maximális támasznyomaték (VS. 1. o.) min(0.5;0.5) 6.78 m l e 6,78 M B p dmax 85,1 488 knm 8 8 Maximális mezőnyomaték (Csak a végeredményt adjuk meg, utalva a VS. 1. oldalára!) 007. 1

l e M B (p Edmax + p Edmin ) 16 411,4 knm A mezőben: M m A p Ed maxle A ped max - M l e B 304 knm A szélső nyomatéki értékek burkolóábrája: 8 kn (b) A helyettesítő teher (VS. 13. o., az alkalmazhatósági eltételek teljesülnek, a 6.1.. pontban oglaltak közül a képlékeny csukló elordulási képességének igazolására itt most nem térünk ki): p Ed γ G g k + 1.5 γ Q q k 1,35 43 + 1,5 1,5 18 98.55 kn/m l e M B M m p Ed 390 knm 11.6 (Vagyis M B kb. 100 knm rel -~ 0%-kal csökken, M m pedig ~ 90 knm-rel nő.) Az alábbi M-ábrán együtt mutatjuk be a rugalmas és a képlékeny nyomatékátrendeződés utáni nyomatékokat: 1.4.. eladat Tervezzük meg a vasbeton gerenda nyomatéki vasalását a rugalmas alapon számított nyomatékokat igyelembe véve! 0C5/30-4/KK c nom : 0 mm d g 4 mm B.60.50 φ 5 mm φ kengyel 8 mm cd 5 16.7 N/mm 1.5 yd 500 435 N/mm 1.15 Megoldás (a) Támasznyomaték: M Ed M B 488 knm ξ co 0.49 ξ co.11 (VS. 7. o.) 5 d 500 0 8-459 mm A nagy hajlítónyomaték egyensúlyozásához várhatóan nyomott vasalásra is szükség lesz. Először ezúttal ezt próbáljuk igazolni: x co 0,49 459 5 mm xco 5 M Rdo x co b cd (d- ) 5 360 16.7 (459- ) 4.687 10 8 Nmm 468,7 knm < M B 488 knm valóban, 007. 13

nyomott acélt is terveznünk kell. (Nem engedjük meg, hogy x c > x co legyen, azaz hogy a húzott acél ne olyjék meg.) Egyenletek: ΣN 0, ΣM 0 Ismeretlenek:, A s1, A s, (x c x co ) d 1 d 459 mm d 0 + 8 + 0/ 38 mm z s d 1 d 41 mm M Rd M Rd0 + Δ M M Rd M Ed ΔM M Ed - M Rdo 488 468,7 19,3 knm Megolyik-e a nyomott acél? ξ c x c (Gerendáknál, ha x c x co ez várható: ξ c x co /d is nagyra adódik) d 5 5.9 > ' ξ co, 11 38 (VS. 7.o.) rendben! ΔM yd A s z s A s 6 19.3 10 105.4 mm 435 41 A s1 A s + M Rdo x d1 ) co yd( 105.4 + 6 468,7 10 435(459 113) 30 mm 7φ 5 A s1 3436 mm ρ 1 > ρ min 1,3 φ 0 A s 68 mm (a mezőben alkalmazott acélbetéteket várhatóan hasznosíthatjuk a támasznál nyomott vasként ld. a (b) pontban) Megjegyzendő, hogy a méretezett nyomott vasalás esetén a kengyeltávolságot korlátozni kell. (s s 1φ min, VS. 54. o.) A 7 acélbetét nem ér el egy sorban. A vasak közti távolság legalább 0mm a max φ 9 mm kell legyen! d g + 5mm A első sorban 5 acélbetét ér el: 5 5 + 4 9 + (0+8) 97 mm < 360 mm Ez a keresztmetszet nem biztos, hogy megelel, mert a hatékony magasság, d 1 kisebb mint amekkorát eltételeztünk. y s 55 7 15,7mm d1 500 0 8 5/ - 15,7 444 mm z s d 1 d 444 38 406 mm Ellenőrzés (M Rd meghatározása) 007. 14

Σ N 0 (eltételezzük, hogy az acélbetétek megolynak): bx c cd + A s yd A s1 yd 360 x c 16,7 + 68 435 3436 435 x c 03 mm 03 ξ c1 0.46 < ξco 0,49 444 03 ξ c 5.34 > ξco,11 a húzott és nyomott acélok egyaránt valóban olyási állapotban 38 vannak. Σ M 0: M Rd A s yd z s + x c b cd z (68 435 406+03 360 16.7 341) 10-6 57.1 knm > M Ed ahol z d 1 - x c 444-03 34 mm, megelel! A keresztmetszetbe lényegesen több nyomott acélbetétet tettünk, mint a számított, ez az oka annak, hogy a d 1 csökkenése ellenére a keresztmetszet megelel. (b) Mezőnyomaték: M Ed 304 knm Részletek nélkül: x c 17 mm A s 1757 mm d 46 6 φ 0 A s,prov 1885 mm (elér egy sorban) 1.4.3. eladat Határozzuk meg az 1. és. eladatban adott vasbeton gerenda nyomatéki vasalását a helyettesítő teherrel, képlékeny alapon meghatározott igénybevételekre! Megoldás M Ed M B M m 390 knm < M Rd0 468,7 knm Ha csak a húzott vasalást tervezünk, a ΣM s 0 eltételből ξ c 0.375 adódik. A képlékeny igénybevétel átrendeződés miatt azonban teljesülnie kell a ξ c < ξ c,pl eltételnek, ahol ξ c,pl 0,36 (VS. 18. o.). Legyen tehát ξ c ξ c,pl 0,36, és határozzuk meg, mekkora nyomott vaskeresztmetszet szükséges ehhez 3 : xc,pl 0,36 459 6 M Rd, ξ x ( ) 0,36 459 360 16,7 (459 ) 10 373,9 knm, c,plbcd d c pl ΔM M Ed M Rd, ξ 390,0 373,9 16,1 knm c,pl 6 ΔM 16,1 10 mm As 88 yd zs 435 (459 38) Ez a nyomott vasmennyiség a keresztmetszet sarkaiban végigvezetendő acélbetétekkel biztosított, de emellett gondoskodni kell a megelelő kengyelsűrűségről (s s 1φ min, VS. 54. o.) is. M Rd, ξ 6 c,pl 373,9 10 As As + 88 + 88 + 83 371mm 5 φ5 ξc,pl d1 0,36 459 435 (459 ) yd( d1 ) 3 Az előírások szerint a képlékeny csukló elordulási képességét is igazolni kell (VS. 18. o.), de ezzel itt most nem oglalkozunk. 007. 15

A s,prov 454 mm, elér egy sorban. Vessük össze a két változat húzott vasalására kapott eredményeket! Rugalmas M Képlékeny M Támasz 7 φ 5 (3436 mm ) 5 φ 5 (454 mm ) Mező 6 φ 0 (1885 mm ) 5 φ 5 (454 mm ) Megállapíthatjuk, hogy a képlékeny igénybevétel átrendeződés igyelembe vétele a tervezés során a vasalás egyenletesebb eloszlását eredményezi. Ugyanakkor, ha igyelembe vesszük hogy esetünkben két mezőről és egy támaszról van szó, és hogy a húzott mezővasalást szinte az egész tartón végigvezetjük, a támasz ölöttinek viszont csak kis részét, akkor belátható, hogy vasalást nem takarítunk meg a képlékeny nyomatékátrendeződés igyelembe vételével (ΣA s,el 3436 + 1885 706 mm < ΣA s,pl 454 + 454 736 mm ). 1.4.4. eladat Ellenőrizzük a 1.4.. eladat szerinti kialakítású háromtámaszú tartót lehajlásra! Megoldás A követelmény: a lehajlás nem lehet nagyobb, mint a támaszköz 50-ed része, amit az l / K α( l / d) eng eltétel teljesülésével ellenőrzünk (VS. 4. o.). d A baloldalon álló kiejezés a tényleges karcsúságot jelenti: a nyomatéki 0-pontok közötti közelítő távolság és a hatékony magasság aránya. A eladat esetében l l e 6,78 m, K 1,3 (többtámaszú gerenda szélső mezője, VS 43. o.), d 46 mm, így l / K 6780 /1,3 11,3 d 46 A jobboldalon álló kiejezés a karcsúság határértéke, ami a betonminőségtől, a ajlagos terheléstől, a tartós terhek arányától és a kihasználtságtól ügg. a) Közelítően tegyük el, hogy α 1 p Ed 85.1 36 kn/m b 0. 36 VS 43. oldal táblázatából interpolációval: (l/d) eng 13.3 > 11.3 a gerenda lehajlásra megelel. b) Pontosítás a tényleges terheket igyelembe véve A eltétel jobboldalán álló α módosító tényező: 1 p M Ed Rd 500 α β (VS 39. o.), ahol β vagy közelítően: p M qp Ed yk β A A s, prov 500 Itt is közelítésként β1 helyettesíthető, mert az acélkeresztmetszet realizálási többlet nem jelentős 4 és yk 500 N/mm. Az α érték meghatározásához: p Ed 85.1 kn/m A teher kvázi állandó értéke (VS. 9. o.): p qp g k + Ψ q k 43+0.3 18 48.4 kn/m s,requ yk A terhek aránya: p Rd /p qp p Ed /p qp 85,1/48.4 1.76 4 1885 A mezőben rugalmas igénybevétel számításnál β 1, 07, képlékeny igénybevétel-átrendeződés 1757 454 igyelembe vételével β 1, 035 volt. (A lehajlás szempontjából a mezőben alkalmazott vasmennyiség 371 a mező merevsége a lényeges, ami képlékeny igénybevétel-átrendeződés esetén előnyösebb. 007. 16

1 α 1 1.76 0,94 p Ed 85.1 36 kn/m (mint a)-nál) b 0. 36 VS 43. oldal táblázatából interpolációval: (l/d) eng 13.3 (mint a)-nál) α(l/d) eng 0.94 13.3 1.4 > 11.3, a gerenda lehajlásra megelel! 1.5. Fejlemezes ödémgerenda keresztmetszeteinek tervezése hajlításra Feladat Az 1.4. eladatban adott gerendát egybeépítették a vasbeton lemezzel, a mellékelt ábra szerint. Terhek, anyagjellemzők megegyeznek a korábbiakkal. Határozzuk meg a gerenda vasalását hajlításra a rugalmas igénybevételek mellett, és ellenőrizzük a tartót lehajlás korlátozásra! Megoldás Az igénybevételek számítása megegyezik az 1.4.eladat szerinti rugalmas igénybevételekével. Nyomatéki vasalás a középső támasznál: A negatív nyomatékra tervezett húzott vasalás egy része az összes vasmennyiség kb. 0-0%-a - a gerincen kívül is elhelyezhető, ezért a szükséges vasalás elér egy sorban, és így a belső erőkar nagyobb lesz. Emiatt 10 db φ0 húzott vasalás elégséges (3436 mm helyett csak 3140 mm ). Az alsó sarkokban végigutó φ0 vasbetét, mint nyomott vasalás igyelembe vételével: (3140 68) 435 ΣN0: x c 18 mm 360 16,7 d 1 500-0 8 0/ 46 mm x 18 c 0, 39 < d1 46 ξco 0,49 d 38 mm (mint 1.4.-ben) x 18 c 4, 79 > d 38 ξc0,,11, azaz mind a húzott, mind a nyomott vasalás megolyik a keresztmetszet törésekor: M Rd (3140-68) 435 (46-18/) 10-6 + 68 435 (46-38) 10-6 405,4 + 115,8 51, knm M Ed 488 knm 007. 17

Nyomatéki vasalás a mezőben: T-keresztmetszetet kell igyelembe venni négyszög szelvény helyett (VS. 18. o.) l o 0.85 l e 0.85 6.78 5,76 m b 1 b,0 m b1 / b /,0 / 0,l0 1,15 b e1 b e min 0.776 m 0.1b 1 + 0.1lo 0.776 6t 6 0.15 0.9 b e b w + b e1 0.36 + 0.776 1.91 m Tételezzük el, hogy x c < t! Ebben az esetben a méretezést úgy végezhetjük, mint egy b e szélességű négyszög szelvényű gerendáét. A részletek mellőzésével (M Ed 304 knm): x c 1. mm (< t ) ξ c 0.0458 < ξ co, az acélbetétek olyási állapotban vannak, A s 1550 mm 5 φ 0 acélbetét esetén A s,prov 1571 mm Ellenőrzés: M Rd 308. knm > M Ed Figyeljük meg, hogy a nagyobb belső erőkar miatt a vasak száma 6-ról 5-re csökkent! Lehajlás korlátozás ellenőrzése: p Alulbordás ödém megengedett l/d aránya VS. 40. o. táblázata szerint Ed 85,1 44, 51 kn/m esetén: b 1,91 (l/d) eng > 16.0 l e / K Ez lényegesen nagyobb mint 11.3, vagyis a gerenda a merevségi követelménynek megelel, mérete d merevségi szempontból akár csökkenthető is lenne. e 1.6. Kéttámaszú konzolos alulbordás ödémgerenda keresztmetszeteinek tervezése hajlításra Feladat Határozzuk meg az alábbi alulbordás ödém bordájának nyomatéki vasalását! 007. 18

Megoldás g k 7 kn/m q k 5 kn/m C16/0 φ 18 mm ϒ G 1.35 ϒ Q 1.5 B 60.40 φ k 8 mm c nom 0 mm l e 7,5 + 0,3 7,8 m (mező) l e,k + A bordára jutó teher: p Ed,max b(ϒ G g k + ϒ Q q k ) (1,35 7 + 1,5 5) 33.9 kn/m p Ed,min b ϒ G g k 1,35 7 18.9 kn/m min(0,45;0,3),15 m (konzol) A tartó statikailag határozott nem szabad képlékenyen számolni a nyomatékokat! I. terhelési eset: +M max, A max M B p Ed,min 43.7 knm l e, k 18.9.15 A p Ed, maxle - M l e B 17 kn II. terhelési eset: M Bmax, B max M m A p Ed,max 17 33.9 36.4 knm l e, k M B p Ed,max.15 33.9 78.4 knm (a) Keresztmetszet tervezése a mezőben A pozitív nyomatékra igénybevett szakaszon a gerenda a ejlemezzel együttdolgozik. Az együttdolgozó ejlemez szélesség számításához (VS. 18. o.) ismernünk kell a nyomatéki 0-pontok távolságát (l o ). Konzolos gerenda esetén ez pontosabb számítást igényel: 33,9 l o 36,4 knm l o 7,47 m 8 (> 0,85l e 0,85 7,8 6,63 m!) b 1 (b-b w ) 1.75 m b e1 b e b1 / 0,875 0.lo 0, 7,47 1,49 min 0,7 m 0,1l 0 + 0,1b 1 0,747 + 0,175 0,9 6t 6 0,1 0,7 b e b w + b e1 + b e 1.69 m Tegyük el, hogy a nyomott zóna a első övben a lemezben alakul ki, és az acélok olyási állapotban vannak! Ekkor a vasalás tervezése úgy történik, mintha egy b e szélességű gerendát terveznénk! 007. 19

A részletek mellőzésével: cd 16 400 10.7, yd 348 1.5 1.15 d 413 mm x c 33.0 mm < 10 mm ξ c 0.08 < ξ co 0.53 Vagyis az acél megolyik, és a nyomott zóna a első övben van! A s 1716 mm 7 φ 18 A s,prov 1781 mm ρ As b d w 17,3 > ρ min 1,3 7 acélbetét nem ér el egy sorban! Ellenőrzés (a részletek mellőzésével) d 396.7 mm, x c 34.5 mm M Rd 35. knm M Ed 36.4 knm (0,5% hiány megengedhető) (b) Vasalás tervezése a támasznál A húzott zóna elül van, ezért olyan mintha a ejlemez ott se lenne! b w 0.5 m szélességű gerendaként tervezzük! M Ed 78.4 knm A részletek mellőzésével: d 413 mm, x c 78.6 mm ξ c 0.19 < ξ co, A s 60.8 mm 3 φ 18 A s,prov 763.4 mm 1.7. Kéttámaszú gerenda nyírási méretezése Feladat Határozzuk meg az alábbi ábrán látható vasbeton gerenda kengyelezését, ha a hosszvasakat nem hajlítjuk el! A kengyelátmérőt vegyük el 8 mm-nek, ha szükséges, ezt módosítjuk! p Ed 55kN/m c nom 0mm (betonedés) C5/30 beton B60.50 betonacél 007. 0

cd 5 16,7 N/mm 1.5 yd 500 435 N/mm 1,15 ctd 1, N/mm d 413 mm A s 17mm ρ 10,3 > ρ min 1,35 R! Megoldás A beton által elvehető nyíróerő: V Rd,c cbd ctd Biztonság javára történő közelítésként a húzott hosszvasalás kedvező hatását elhanyagoljuk, és a c értékek táblázatából (VS.o.) a ρ l 0 értékhez tartozó első sor adatait használjuk, valamint d szerint lineáris interpolációt végzünk: c 0,33 V Rd,c 0,33 300 413 1, 48000 N 48,0 kn < 145,8 kn Ellenőrzés: V Rdc < V Ed,max, ezért szükséges méretezett nyírási vasalás! A nyomott beton rácsrúd teherbírásához tartozó határnyíróerő (V Rd,max ) (VS. 4.o.) (Nyírási vasalással megelelhet-e a gerenda, azaz vasalható-e a gerenda?) Hajlítási méretezés nélkül z értéke közelítőleg: z 0,9d 0,9 413 37mm, ν 0,6 (1- ck 5 ) 0,6 (1- ) 0,54 50 50 V Rd,max 0,5bz ν cd 0,5 300 37 0,54 16,7 10-3 503,kN > V Ed,max a gerenda nyírásra vasalható! A üggőleges síkokban elhelyezett kengyelek által elveendő nyíróerő (V Rds ) ( VS 4.o. ) V Rds V Ed,max (A nyírási vasalást a teljes nyíróerőre méretezzük) z Asw 3 ywd 37 101 435 10 V Rd,s A sw ywd V Ed,max s req z 11,1 φ 8/100 s VEd,max 145,8 (a támasztól, ill. a gerenda végétől beelé) A enti összeüggésben A sw 101mm két φ8 kengyelszár keresztmetszeti területe (VS. 7. oldal 1. táblázat), ugyanis a erde nyírási repedés a kengyel két üggőleges szárát keresztezi.. Maximális kengyeltávolság (VS 55. o.): s max 0,75d 310 mm φ 8/300 A minimális nyírási vashányad ellenőrzése a maximális (300 mm-es) kengyeltávolság esetén: ρ w Asw s b max w 101 300 300 1,1 > ρ w,min 0,8 ( VS. 55. o.), rendben! A tartó hossza mentén -éle kengyelezést ogunk alkalmazni: s 1 100 mm, s 300 mm, ez utóbbit a gerenda azon szakaszán, ahol V Ed < V Rds, Ø8/300. V Rd,s300 z s A sw ywd 37 101 435 10 3 54,4 kn > V Rd,c 300 z V Rd,s100 A sw ywd 37 101 435 10 3 163,4 kn s 100 V Rd max ( V Rd,s ; V Rd,c ) Meddig szükséges a alsíktól számítva a sűrített kengyelezést alkalmazni? 007. 1

VEd,max max( VRd, c, VRd,s300) 145,8 54,4 l w ai 0,15 1, 51m ped 55 A két szakaszhoz tartozó határnyíróerők burkolóábrája és a tervezett kengyelosztás: *A kengyelezést a támasz ölött is olytatjuk! 1.8. Nyírási vasalás tervezése kengyelezés és elhajlított acélbetétek alkalmazásával Feladat Határozzuk meg az előző példában adott vasbeton gerenda kengyelezését, ha a támasznál két, 45 okban elhajlított φ18 acélbetétet alkalmazunk, az ábrán bemutatott geometria mellett. A szélső elhajlított acélbetét a támasz belső síkján érkezik el, a következő pedig ott, ahol az előző vízszintes irányba ordul - egyszeres eltolású rácsozás, lásd VS 7. o. ábráját! Megoldás A nyomott rácsrúd töréséhez tartozó határnyíróerő (VS 3. o., a táblázat 4. oszlopa): V Rd,max 0,75b w z ν cd 0,75 300 37 0,54 16,7 10-3 75,8 kn > V Ed,max 145,8 kn nyírásra vasalható Az Eurocode szerint a nyíróerőnek legalább a elét kengyelekkel kell egyensúlyozni, a elhajlított vasak tehát legeljebb a nyíróerő elét vehetik el. Vizsgáljuk meg a megadott elhajlított acélbetéteket ebből a szempontból: A elhajlított acélbetétek osztástávolsága: 18 s b 450-(0+8+ ) 376 mm 007.

A elhajlított acélbetétek által elvileg elvehető nyíróerő (VS. 4.o. ): b z V A Rds sw yd s b 37 54 435 3 10 376 154,7 kn > V Ed,max, tehát elegendő de egyben szükséges is - a nyíróerő elét kengyelezéssel kell elvenni (VS 54. o.). A szükséges kengyelosztás az elméleti támasznál: s req za sw 0,5V ywd Ed,max 37 101 435 3 0,5 145,8 10 3 mm φ8/00 A elhajlított acélbetétekkel tervezett tartószakasz határán V Ed V Ed,max p d 0,90 96,14 kn Itt már a teljes nyíróerőt kengyelezéssel kell egyensúlyozni, ezért az itt alkalmazandó kengyeltávolság: s req za sw ywd 169 mm φ 8/150 96,14 Ezt az intenzitást a támasz irányában az alábbi ábrán balra - is megtartjuk. Az alkalmazott kengyeltávok s 1 150 mm s 300 mm A sűrűbb kengyelezést ugyanolyan hosszan kell (beelé) a mező irányában tervezni, mint az előző eladatban. V Rd,s150 z s A sw ywd 37 101 435 10 3 108,8 kn 150 Mivel a elhajlított acélbetétekkel legeljebb a nyíróerő ele egyensúlyozható, a elhajlításokkal tervezett tartószakaszon a nyírási teherbírás ennek kétszerese. A szélső φ18-as elhajlított acélbetét lehorgonyzásának ellenőrzése: -kihasználtság: l b cφ 40 18 70 mm (VS. 5. o.) V V Ed,max Rd, s150 b VRd,s 145,8 108,8 0,4, azaz 4%-os 154,7 -a szélső támasznál a első öv sem húzottnak, sem nyomottnak nem tekinthető,ezért a elhajlított vas lehorgonyzási hosszát (0,7l b + 1,3l b ) 0,5 l b -nek tekintjük (VS. 54. o.) - a lehorgonyzási hossz számítási értéke kampózás miatt: l b,eq α a l b α a 0,7 (VS. 5. o.) -mivel a gerenda 300 mm-nél magasabb, a rossz tapadási eltételek miatt a lehorgonyzási hosszat 43%-kal meg kell növelni a első vasakra vonatkozóan (VS 5. o.). A entiek alapján végezzük el az ellenőrzést: l bd 1,43 0,4 0,7 1 70 173mm < 70mm, megelel! -a minimális lehorgonyzási hossz ellenőrzése (VS. 5. o.): l b,min max{ 10φ ; 100 mm} 180 mm < 70 mm, megelel! 007. 3

1.9. Tartóvég ellenőrzése Feladat Ellenőrizzük az 1.8. eladat húzott hosszvasalásának tartóvégi lehorgonyzását! Megoldás A lehorgonyzandó húzóerő közelítő értéke ( VS 5.o. ): : F Ed 0,9V Ed 0,9 145,8 131, kn Amennyiben a el nem hajlított alsó 3φ18 vasat a támaszig vezetjük, és a tartóvégen kampózzuk: l b,eq 0,7 70 504 mm A gerenda elekvésének kezdetétől (a belső alsíktól) lehorgonyzáshoz rendelkezésre álló hossz: l b,tám 70mm Az l b,tám 70 mm hosszon a három kampózótt Ø18-as acélbetéttel lehorgonyozható húzóerő: lb,tám 70 F Rd A s yd 3 54 435 10-3 177,6 kn > F Ed megelel! α alb 0,7 70 1.10. Kéttámaszú gerenda nyírási méretezése 45 oknál kisebb nyomott beton rácsrúd dőlésszög mellett 5 Feladat a) Határozzuk meg az 1.7. eladatban tárgyalt vasbeton gerenda kengyelezését arra az esetre, ha a nyomott beton rácsrudak dőlésszögét 45 helyett θ 30 -osra választjuk, és hosszvasakat nem hajlítunk el! A kengyelátmérőt vegyük el 8 mm-nek, ha szükséges, ezt módosítjuk! b) Hasonlítsuk össze a vasszükségletet az 1.7. eladat szerintivel! p Ed 55kN/m c nom 0mm (betonedés) C5/30 beton B60.50 betonacél 5 Az Eurocode által megngedett ún. változó (45 -nál kisebb) rácsrúd dőlésszög melletti nyírási méretezés eltételeinek meghatározása céljából a szerző végzett kísérleteken alapuló kutatást [6] 007. 4

cd 5 16,7 N/mm 1.5 yd 500 435 N/mm 1,15 ctd 1, N/mm d 413 mm A s 17mm ρ 10,3 > ρ min 1,33 R! Megoldás a) A beton által elvehető nyíróerő: V Rd,c 48,0 kn < 145,8 kn (változatlan) Ellenőrzés: V Rdc < V Ed,max, ezért szükséges méretezett nyírási vasalás! A nyomott beton rácsrúd teherbírásához tartozó határnyíróerő (V Rd,max ) (VS. 3.o.) z 0,9d 0,9 413 37mm, ν 0,6 (1- ck 5 ) 0,6 (1- ) 0,54 50 50 cot α + cotθ 0 + 1,73 3 VRd,max bw zν 300 37 0,54 16,7 í0 435,8 kn > V cd Ed,max 1+ cot θ 1+ 1,73 a gerenda nyírásra vasalható! A enti összeüggésben θ30 a nyomott rácsrúd dőlésszög, α90 a nyírási vasalási elemek vízszintessel bezárt szöge. A üggőleges síkokban elhelyezett kengyelek által elveendő nyíróerő (V Rds ) ( VS 4.o. ) V Rds V Ed,max (A nyírási vasalást a teljes nyíróerőre méretezzük) z V Rd,s Asw ywd( cotα + cotθ ) sinα s 3 Asw ywd 37 101 435 10 s req z (cotα + cotθ ) sinα (0 + 1,73) 1 194, φ 8/175 VEd,max 145,8 (a támasztól, ill. a gerenda végétől beelé) Minimális kengyelezés (1.7. eladat szerint): φ 8/300, amelyre teljesül az előírt minimális nyírási vashányad. A tartó hossza mentén -éle kengyelezést ogunk alkalmazni: s 1 175 mm, gerenda azon szakaszán, ahol V Ed < V Rds, Ø8/300. 54,4 kn s 300 mm, ez utóbbit a Megjegyezzük, hogy a minimális kengyelezés teherbírását 45 -os rácsrúd dőlésszögnek megelelő összeüggésből számítottuk (átvettük az 1.7. eladatból), mert a tartó belső szakaszán most is ezt eltételezzük, biztonságos közelítésként. V Rd,s300 z s A sw ywd 37 101 435 10 3 54,4 kn > V Rd,c 300 z V Rd,s175 A sw ywd (cot α + cotθ ) sinα 37 101 435 1,73 10 3 161,7 kn s 175 V Rd max ( V Rd,s ; V Rd,c ) Meddig szükséges a alsíktól számítva a sűrített kengyelezést alkalmazni? VEd,max max( VRd, c, VRd,s300) 145,8 54,4 l w ai 0,15 1, 51 m p 55 Ed 007. 5

A két szakaszhoz tartozó határnyíróerők burkolóábrája és a tervezett kengyelosztás: A tartóvég vizsgálata 45 -nál kisebb rácsrúd dőlésszög eltételezése esetén a tartóvég vizsgálata elengedhetetlen, mert a lehorgonyzandó húzóerő cotθ-szoros, azaz akár,5-szeres lehet, esetünkben cot30º1,73-szörös! A VS. 6. o. szerint a tartóvégen a húzott hosszvasalással lehorgonyzandó erő: M al + ai FEd VEd, ahol z z 1 a l z( cotθ cotα ) 0,5 0,9 413 (1,73 0) 31,9 mm, az M-ábra eltolás mértéke a í 0,5 300 150 mm, a él elekvési hossz Behelyettesítve: F Ed 31,9 + 150 145,8 145,8 1,7 185, kn 0,9 413 Amennyiben mind az 5 db φ 18-as vasat a tartó végéig vezetjük kampózás nékül, a eltámaszkodás belső élétől rendelkezésre álló 70 mm-es hosszon a VS. 5. o. táblázat adatának elhasználásával (l b 40 18 70 mm) a lehorgonyozható húzóerő: 3 F Rd 70 5 54 435 10 07, kn > 185, kn, rendben! 70 b) θ30 nyomott rácsrúd dőlésszög eltételezése esetén tartóvégenként 8-8 db kengyellel kevesebb szükséges. Ha az 5φ 18-as vasat 45 -os rácsrúd dőlésszög esetén is a tartó végéig vezetik a gyakorlatban általában ez történik, mert a tartóvég vizsgálatot nem végzik el, 8 16 kengyel tiszta vasmegtakarítás érhető el a laposabb rácsrúd dőlésszög melletti tervezéssel, ami esetünkben kb. 9%-os vasmegtakarítást jelent. Arra itt nem o cot 45 térünk ki, hogy a hosszvasak egy részének (az 5 közül maximum 5, 89, azaz leelé kerekítve -nek) o cot 30 a tartóvég előtti lehorgonyzásával a 9%-os megtakarítás valamennyivel csökkenthető. Ha a gerendák nagy sorozatban készülnek például előregyártás, akkor természatesen néhány % vasmegtakarításnak is nagy jelentősége van. Felhívjuk még a igyelmet a tartóvégi elekvési hossz ontosságára, ami példánk esetében 007. 6

viszonylag nagy, 300 mm volt. A eltámaszkodáshoz 00 mm is elég lett volna, de a gerenda a tartóvég vizsgálatnál a húzott vasalás tartóvégi lehorgonyzásának ellenőrzésénél nem elelt volna meg, a lehorgonyzást például kampózással javítani kellett volna. 1.11. Csavarási vasalás tervezése Feladat Az alábbi ábra szerinti kiváltógerendában az előtető terheléséből jelentős csavarónyomaték is ébred, ha a konzollemez első vasalását valamilyen okból pl. előregyártott ödémszerkezet miatt nem tudjuk a csatlakozó ödémszakaszba bevezetni, és így a konzollemez terhét a mérlegegyensúly elvén a kiváltógerendára közvetíteni.. Beton: C0/5-3/KK, betonacél: B60.50, betonedés: c nom 0 mm. ALAPRAJZ: Az előtető terhelésének tervezési étéke: p Ed,e 5 kn/m, a kiváltógerenda terhelése önsúlyból és a rá terhelő ödémről átadódóan p Ed, 40 kn/m. Határozzuk meg a kiváltógerenda hosszvasalását és kengyelezését! Megoldás l e 3,0 + 0,3 3,3 m * A ped,e teher a gerenda tengelyéhez képest e 0,8/ + 0,1 + 1,8/ 1,14 m-es külpontossággal működik, így abban csavarónyomatékot ébreszt. Igénybevételek: M V T Ed Ed Ed (40 + 9) 3,3 66,7kNm 8 (40 + 9) 3,3 80,85kN 9 1,14 3,3/ 16,93kNm Nyírás- csavarás, a kengyelezés méretezése 8 mm-es kengyelátmérő és 16 mm-es alsó hosszvas átmérő eltételezésével: d 300 0 8 16/ 64 mm 007. 7

A VS. o. táblázatból interpolációval c 0,39 V Rd,c 0,39 80 64 1,0 10-3 8,97 kn A csavart négyszögkeresztmetszet adatai (VS 5. o.): b k 80 - (0 + 4) 3 mm h k 300 - (0 + 4) 5 mm A 80 300 t e max (, a) max ( ; (0 + 4)) max(7,4; 48) 7,4 mm u (80 + 300) A k 3 5 58464 mm u k (3 + 5) 968 mm T Rd,c A k ctd t e 58464 1,0 7,4 10-6 8,46 knm V T + V T θ 45 esetén: 80,85 8,97 Ed Ed + Rd,c Rd,c 16,93 >1, tehát szükséges a nyírási illetve csavarási vasalás. 8,46 V Rd,max 1 bw z ν cd 1 80 0,9 64 0,55 13,3 10-3 44, kn > V Ed rendben! ν 0,6 (1- ck 0 ) 0,6 (1- ) 0,55 50 50 T Rd,max ν cd A k t e sin θ cos θ 0,55 13,3 58464 7,4 0,707 0,707 10-6 31,07 knm>t Ed R! A nyíróerő egyensúlyozásához szükséges kengyeltávolság φ 8 kengyelek esetén: s s,v 0,9 64 101 435 10 80,85 3 19 mm A csavarónyomaték egyensúlyozásához szükséges kengyeltávolság φ 8 kengyelek esetén: s s,t A k Asw cot θ 58464 yd T Ed 101 435 1 10-6 303 mm 16,93 A nyírási és csavarási kengyelezés összegezése: s s 1000 1000 1000 + s s s,v s,t 1000 19 1000 1000 + 303 90,3 mm φ 8/75 A enti összeüggésben a nevezőben a kétéle igénybevétel elvételéhez szükséges kengyelek darabszáma szerepel 1 m gerendahosszra vonatkozóan. Szerkesztési szabályok: s s 0,75 d 0,75 64 198 mm 101 ρ w. 1000 1,8 >0,7 R! 00 80 φ 8/00 még elogadható Mivel V V Ed Rd,c T > Ed, a nyírás határozza meg, meddig szükséges 00 mm-nél sűrűbb kengyelezést alkalmazni. T Rd,c 007. 8

V Rd,s,φ 8/00 0,9 64. 101. 435.10-3 5, kn 00 5, l w 1,65-1, 65 0,58 m 80,65 ( a alsíktól 0,43 m) Kengyelkiosztás: Hajlítás - csavarás a hosszvasalás méretezése Hajlítás: 6 x c 64 66,7 10 1 1 80 64 13,3 z 64 40 4 mm 80 mm < x co 0,49. 64 A s 6 66,7 10 684 mm > A s min 1,3 4 435 80 64 96 mm 1000 Csavarás: T R l d A k ΣAsl yd,l T Ed u cotθ k l u Σ A sl T k cotθ E d 16,93.10 6 968 1 3 mm Ak yd,l 58464 435 amit a kerület mentén egyenletesen kell elhelyezni. Felül helyezzünk el ΣA sl 3 161 mm φ 1 ( 6) vasat, alul pedig az elméletileg szükséges A s 684 + 161 845 mm t realizáljuk φ 14 (308) + 3φ 16 (603) vasalással: 007. 9

1.1. Monolit vasbeton gerenda tervezése kis θ nyomott beton rácsrúd dőlésszög mellett Egy 7,8 m támaszközű kéttámaszú monolit vasbeton ödém esetében alulbordás megoldást választunk, mert tömör vasbeton lemezzel az alakváltozások korlátozása miatt a ödém már nem elel meg. A gerendák tengelytávolsága legyen 3 m, a lemezvastagság az alakváltozási korlát igyelembe vételével 1 cm! A gerenda keresztmetszetét vegyük el 300/500 mm-re (így l e /d 17, alakváltozásra várhatóan megelel). A tartóvég kialakítása és a gerenda keresztmetszete az alábbi ábra szerinti: ALAPRAJZ Megjegyzés Az 1 m-nél kisebb méretek Itt cm-ben adottak! TARTÓVÉG 6 N c A ödém átlagos ajlagos súlya 5,5 kn/m, az átlagos válaszalterhelést 1,5 kn/m -rel vesszük igyelembe, a hasznos terhelés 4 kn/m, azaz g k 7 kn/m, q k 4 kn/m A hasznos teher 30%-a tartós: ψ 0,3 Beton: C5/30-16/KK, betonacél: B60.50, A környezet száraz belső tér, a betonedés: c nom 0 mm c min 10 mm. A repedéstágassági korlát: w max w k,eng 0,3 mm 6 Az ábrán θ az Eurocode szerinti nyomott rácsrúd dőlésszög a gerenda belső szakaszán (ún. B-zóna), θ A a rácsrúd modell dőlésszöge az A-támasznál (ún. D-zóna). Összeüggésüket ld. A 30. o. lábjegyzetében. 007. 30

cd 5 16,7 N/mm 1.5 yd 500 435 N/mm 1,15 ctd 1, N/mm Feladatok a) Határozzuk meg a G jelű gerenda vasalását úgy, hogy hosszvasakat nem hajlítunk el és a nyírási méretezést akkora a lehető legkisebb - θ beton rácsrúd dőlésszög mellett végezzük el, hogy a tartóvégig vezetett húzott vasbetétek a erde rácsrúd nyomóerő vízszintes komponensét éppen egyensúlyozni tudják! A húzott hosszvasak átmérőjét vegyük el 16 mm-re, a kengyelátmérőt 8 mm-re, ha szükséges, ezeket módosítjuk! Ellenőrizzük a gerendát a használhatósági követelményekre is! b) Hogyan változik a vasszükséglet, ha θ 45º lenne? Megoldás a) Méretezés a lehető legkisebb θ beton rácsrúd dőlésszög mellett A gerenda terhelése: p Ed 3 (1,35g k + 1,5q k ) 3 (1,35 7 + 1,5 4) 46,4 kn/m Igénybevételek: M Ed p Ed l e 46,4 7,8 35,5 knm 8 8 A V Ed,max 3,9 46,4 181,0 kn Hajlítás Együttdolgozó lemezszélesség: b1 / b /,7 / 0,l0 0, 7,8 1,56 b e1 b e min 0,7 m 0.1b 1 + 0.1l o 0,1,7 + 1,1 7,8 1,05 6t 6 0.1 0.7 b e 0,7 + 0,30 1,74 m Ø16 hosszvas átmérőt és Ø8 kengyelátmérőt eltételezve: d 500 0 8 8 464 mm M Ed 35,5 10 ΣM s 0: x c d(1 1 ) 464 (1-1 ) 6, 9 mm < 10 mm és < x c0 0,49 464 R! b d 1740 464 16,7 e cd zd - x c / 464 13,5 450,5 mm 6 M Ed 35,5 10 ΣM c 0: A s 1799 mm >A smin 1,35 b d t 300 464 1,35 z 435 450,5 1000 1000 188 mm R! yd < A smax 0,04A c 0,04 300 500 6000 mm 9Ø16 (1809 mm nem érne el egy sorban, ezért tervezzünk két sorban elhelyezett 7+ 3 10 db Ø16 vasat: A s 010 mm és ellenőrizzük! A vasak közötti minimális tiszta távolság: a d g + 5 mm 16 + 5 1 mm (0 +8) + 7 16 + 6 1 94 mm < 300 mm, azaz a 7 db vas elér egy sorban. A húzott vasak súlypont távolsága az alsó szélső száltól: 3 (16 + 1) d 1 0 + 8 + 16/ + 47 mm 10 d h d 1 500 47 453 mm Ellenőrizzük, hogy a 11 mm-rel kisebb hatékony magasság mellett is megelel-e a tervezett vasalással a keresztmetszet! 010 435 ΣN 0: x c 30, 1mm z 453 15,05 437,95 mm 1740 16,7 M Rd 010 435 437,95 10-6 38,9 knm > M Ed 35,5 klnm, rendben! Mivel a második sorban levő vasak és a első sarokvasak közötti távolság nagyobb, mint 400 mm, a gerendák élmagasságában Ø8 hosszbetétet kell elhelyezni. A nyomott vasalás minimális keresztmetszetét az Eurocode 6 007. 31

nem szabályozza. Az MSz150/7-86 szerinti 0,1% elhelyezése javasolható, és a tartóvégeken ellenőrizni kell, a részleges beogásból keletkező -0,15M Ed,max nyomaték egyensúlyozását. 300 500 A s min 150 mm Ø10 (157 mm ) 1000 A Ø10 vassal lehorgonyozható erő, amennyiben végeiket kampózzuk: l b, e F Rd A s yd, ahol lb,e a 1 c nom 80 060 mm a rendelkezésre álló lehorgonyzási hossz és lbd l bd α 6 cø a teljes lehorgonyzáshoz szükséges hossz, α 6 0,7 (90º-os kampó miatt), a c paraméter a VS. 5. oldaláról táblázatból c40, így l bd 0,7 40 10 80 mm. Behelyettesítve: 60 5 F Rd 157 435 10 63,4 kn 80 Az egyensúlyozandó húzóerő közelítően a mezőközépen ébredő vas húzóerő 15%-a: F Ed 0,15N sd 0,15 1799 435 10-3 117,4 kn A két végigmenő és kampózott Ø10-es acélbetét mellett további db kampózott Ø10-es pótvas szükséges, ekkor: 3 F Rd 4 78,5 435 60 10 16,8 kn, > 117,4 kn, megelel! 80 A vasvezetés tervezése 7 Vezessük végig az összes húzott vasat, és határozzuk meg, mekkora lehet a θ rácsrúd dőlésszög, ha a rácsrúd nyomóerő lehorgonyzandó vízszintes komponense (F sa ) megegyezik a végigvezetett húzott acélbetétekkel lehorgonyozható erővel (F Rd ). σ cd 1, 1,4 cd cotθ értékét korlátozó eltételek: 1 cotθ min Vc, ahol a első kiejezés szerinti korlát a DIN 1 V Ed,red 1,75 1045-1 (001) ajánlása, az 1,75-ös korlát Magyar Mérnöki Kamara ajánlása (008. III.), σ cd eszítésből, külső 1/ 3 σ cd erőből ébredő átlagos normáleszültség a betonban, esetünkben σ cd 0, V c βctη1 0,1 ckl (1 + 1, bwz, cd β ct,4, η 1 1 (normál kavicsbeton), a tartóvégen z 0,9d.. Behelyettesítve: V c,4 0,1 5 1/3 300 0,9 453 10-3 85,74 kn 7,8 0,8 V Ed,red 46,4 ( 0,45) 153,6 kn σ cd 1, 1,4 cd 1,, 71, azaz cotθ min(,71; 1,75) 1,75 Vc 1 85,7 1 VEd, red 153,6 F sa Acotθ A, ahol cot θ A 1 a1 d 1 + ( 1 + ) cotθ, z 0,9d z z l b, e F Rd A s yd, ahol l b,e a 1 c nom + d 1 cotθ a rendelkezésre álló lehorgonyzási hossz és l b cø a lb teljes lehorgonyzáshoz szükséges hossz, a c paraméter a VS. 5. oldaláról táblázatból vehető, az adott beton és acél esetén c 40. Elvégezve a behelyettesítéseket: 7 A vasvezetés tervezésénél elhasználjuk a K.H.Reineck által bemutatott rácsrúd modell szélső támaszponthoz beutó rácsrúdjának θ A dőlésszögére megadott összeüggést (Betonkalender 005., 53. o.): cot θ A 1 a1 d 1 + ( 1 + ) cotθ, ahol a 1 gerenda eltámaszkodási hossza, d 1 a húzott vasalás súlypontjának távolsága az alsó szélső z z száltól. 007. 3

z 0,9 453 408 mm 1 80 47 1 cot θ A + ( + ) cotθ 0,343 + 0,615cotθ 408 408 l b,e 80 0 + 47 1,5 330,5 mm (Itt cotθ 1,5 közelítést alkalmaztunk, ami a végeredményt igen kis mértékben beolyásolja) l b 40 16 640 mm 3 F Rd 010 435 330,5 10 640 451,5 kn F sa F Rd : 181,0 (0,343 + 0,615cotθ ) 451,5 451,5 1 cotθ ( 0,343) 3,50 > (cotθ) max 1,75! 181,0 0,615 A megengedett leglaposabb rácsrúd dőlésszög eléréséhez tehát nem szükséges mind a 10 db Ø16-os húzott vasat végigvezetni, elegendő csupán n θmin db-ot, amire elírható: n θ min 451,5 1 ( 10 0,343) 1,75 181,0 0,615 n θmin 5,69, azaz ha a 10 vasból csak 6-ot vezetünk végig, a rácsrúd dőlésszög eléri a megengedett minimumot. A végigvezetett vasak keresztmetszete: A sa 6 01 106 mm A θ dőlésszög pontosítása: 3 F Rd 106 435 330,5 10 640 70,9 kn F sa F Rd újra: 181,0 (0,343 + 0,615cotθ ) 70,9 cotθ 1,87 > 1,75!, ezért legyen cotθ1,75! θ θ min arccot1,75 9,74º cot θ A 0,343 + 0,615cotθ 0,343 + 0,615 1,75 1,4 θ A 35,º Ellenőrzés l b,e pontosításával: F sa Acotθ A 181,0 1,4 57,0 kn l b,e 80 0 + 47 1,75 34 mm 3 F Rd 106 435 34 10 640 80, kn > F, rendben! sa A pontosítás alapján akár csökkenthetnénk is egyel a végigvezetett vasak számát (6-ról 5-re), de azzal a lehetőséggel most nem élünk. Másrészt megjegyezzük,. hogy a 10 db vas egyharmadát, azaz min. 3 db-ot a szerkesztési szabályok értelmében egyébként is végig kellene vezetni, többletvasalásként csak a támaszok közelében a nyomatéki ábra burkolásának megelelően elhagyható további három acélbetét nagyobb hossza jelentkezik. d 1 értékét a három vas támasz előtti lehorgonyzása miatt nem módosítottuk, hatása nem jelentős. Nyírás 7,8 0,8 Nyíróerő a alsíktól d távolságra: V Ed,red 46,4 ( 0,47) 15,6 kn A betonkeresztmetszettel egyensúlyozható nyíróerő: V Rd,c cb w d ctd, ahol c a betonszilárdság, a hatékony magasság és a vashányad üggvényében táblázatból vehető (VS. 3. o.). A tartóvég közelében a lehorgonyzás részleges, közelítően ρ l 0 t veszünk igyelembe: c 0,315 V Rd,c 0,315 300 450 1, 10-3 51,03 kn < V Ed,red, azaz méretezni kell a nyírási vasalást. 1 1 V Rd,max b 300 0,9 450 0,54 16,7 10 3 w zν cd 47, 0 kn > V Ed,red, a cotθ + tanθ 1,75 + 0,57 gerenda nyírásra megvasalható. z V Rds Asw ywd cotθ VEd, red s 007. 33