A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is létezi egy olya szabály, amit többé vagy evésbé humorosa- teveszabálya eveze És ez em vicc, mit láti fogju ez a szabály amilye egyszer, éppe olya haszos a matematiába Mieltt megmodaá, hogy mibl áll ez a szabály és alalmazá, azeltt iább rávilágítu az eredetére Tehát lássu, hoa is ered ez a szabály Nézzü a övetez mesés törtéetet: Va egy öreg, arab eresed Aa 3 fia és 9 tevéje Amior meghal az öreg, a végredeletébe tevéie felét a legidsebbre, egyedét a özépsre, és ötödét a legisebbre hagyta Már a 9 teve felezéséél megaadta a fiú, mivel em aarta tevét öli (Egy fél tevével ehéz zsáoat cipelteti) Godolozta eméye, de csa em tudtá megoldai a problémát Arra tevegelt egy irgalmas szamaritáus, ai egybl látta, hogy valami agy god szaadt a srácora Megérdezte, majd evetve özölte, hogy mi sem egyszerbb eél Fogta a saját tevéjét és bevezette a 9 teve özé (Így lett 0) Majd szólt a legidsebb fiúa, hogy csoportosítsa a tevé felét (0), a özépse, a egyedét (5), végül a legisebbe, hogy vigye el a tevé ötödét (4), és mivel 0+5+4=9 ezért az utolsó lépését fogta a sajátját és tovatevegelt Na persze, az osztozodás megtörtét, úgy ti, hogy még a végredeletet is betartottá, vagy mégsem? Hát persze, hogy em, hisze a 9 teve fele az mégis csa 9 9,5 és em 0 ahogya apta, a egyede az 9 4,75 és em 5 ahogya apta, és 4 az ötöde 9 3,8 és em 4 ahogya apta A fiu ellebe örvedhette, mert a tevé 5 feldarabolásával em volt vérotás Aa elleére, hogy a feladat megoldása em helyes, mégis va belle egy roppat egyszer taulság: a szamaritáus hozott tevét majd a végé el is vitte azt az tevét Hogy ez a téy mire jó? Nézzü csa a övetez matematiatörtéeti feladatot: feladat: Volt egyszer Idiába egy Shehrá ev irály, ai mideee uralodott, csa saját ualmá em Reggel, délbe, este, egész ap, folyto csa uatozott Ayira uta magát, hogy végül is belebetegedett az ualomba Ágya dlt, felaadt a szeme, mitha haldolaa Sessa eb Daher, az udvari bölcs, megsajálta urát és hogy ualmát elzze, feltalált egy játéot: a saot Ez a játé csodát mvelt Alig játszotta le a irály az els játszmát, máris felépült - Mit ívász jutalmul? - érdezte Shehrá - Tégy a satábla els ocájára egy búzaszemet, a másodira ettt, a harmadira égyet és így tovább, mide ocára étszer ayit, ameyi az eltte lév volt - modta Sessa eb
Daher - Ameyire a búzaszeme száma a duplázás folytá a 64 égyzetre, ayi búzaszem legye a jutalmam - Szeréy érés! - mosolygott a irály - Beszéded midazoáltal rejtvéyese hat - Fejtsd meg a rejtvéyt és megtudod, hogy találmáyom megfizethetetle! - válaszolt a bölcs még rejtélyesebbe Shehrá erre elhívatta tudósait, hogy oldjá meg a taláyt Azo ei is állta és iszámítottá, hogy ha a érést teljesítei aará, aor háy búzaszemet is ell adjaa Számítsu i, meyi is ez? Megoldás: Hamar belátju, hogy az össz búzaszem meyiség éppe 63 So feladat megoldásáál találozu azzal az ötlettel, hogy egy ifejezéshez adju hozzá valamit és voju is le ugyaazt, ezzel ugyais em változi a ifejezés értée, aárcsa az elbbi törtéetbe a szamaritáus a tevéel (teveszabály )! A iszámítadó összeghez adju hozzá -et és voju is i -et Redre ezt apju: 63 63 63 48 63 63 4486 4486 = és végül azt apju, hogy 63 63 63 64 Egy mási megoldás- ugyacsa teveszabállyal- az, hogy az egész mveletet átírju a -es számredszerbe, ott elvégezzü a mveletet, majd az eredméyt visszaírju a 0-es 63 számredszerbe: = 000 = 64 64szer 64szer 64darab 64 Tehát midét esetbe = 84467440737095565 búzaszem adódi! azaz 8 trillió 446 744 billió 73 709 millió 55 ezer 65 búzaszemet ellee Sessa eb Dahere adiu, olya hatalmas meyiség gaboát, amellyel 9 mm vastago beboríthatá az egész földgolyót Tehát a találmáy valóba megfizethetetle Ez az alalmazott ötlet, amilye egyszer, olya agyszer, mert a matematiába a feladato megoldása sorá agyo soszor alalmazzu azt, hogy egy adott ifejezéshez hozzáadju és ivoju ugyaazt a meyiséget (vagy fordított sorredbe) Ezt az egyszer eljárást hívjá teveszabálya A továbbiaba egy egész csoor olya feladatot mutatu be, amelyet a teveszabály élül talá meg sem tudá oldai! Eze a típusú feladato a matematia mide területé, és az 5- osztályos matematiai tevéeység sorá mideütt fellelhet feladat: 5678 43 Miért em lehet az a 34 8765 szám prímszám? Megoldás: Hozzu máris a tevét, vagyis adju hozzá -et és voju is i -et: 5678 43 5678 43 a 34 8765 = 34 8765 Mivel y M( y), ezért 5678 34 M(34 ) M33 M9, és mivel y M y 43 8765 M(8765 ) M8766 M9, tehát a M9 3 feladat: Ha a, N a ( a) a igazolju, hogy ( ), ezért Megoldás: Írju fel a övetezet: 3 a a a a a a és yilvávalóa ( a ) a Eleged és 3 szüséges is igazoli, hogy a a a a ( a) Most egy egész tevearavára lesz szüségü! Felírható a övetez: 3 3 a a a a ( a ) ( a ) ( a ) ( a) ( )
= M( a) M( a) M( a) M( a) M( a), tehát 3 a a a a a a ( ) ( ) 4 feladat: p q Határozzu meg azoat a p, q pozitív egész számoat amelyere az a 4 6 osztható 0-el Megoldás: a= páros, ezért máris osztható -vel Továbbá az y M( y) összefüggésbe az = a+b és y= b választással ( ab) Mab mide a, b N eseté p p p Eor 6 (6) (5) M5, és hasolóa felírható, hogy p p p p p 4 (4 ) (5 ) M 5 ( ), tehát a M5 ( ) és ez csais aor többszöröse 5-e, ha p páros szám, q pedig tetszleges pozitív egész szám 5 feladat: 5555 Igazolju, hogy az E 5555 szám osztható 7-tel Megoldás: Ezúttal egy teve em is lesz elég! Nézzü a övetezet: 5555 5555 5555 5555 E 5555 4 4 5555 4 4 5555 5555 5555 ( 4 ) (5555 4 ) (4 4 ) ab c Látható, hogy a M M M 5555 5555 4 ( 4) 6 7, továbbá b M M M 5555 4 (5555 4) 555 7, valamit 5555 3333 c4 4 4 (4 ) 4 (64 ) M(64) M7, tehát Aabc M7 6 feladat: Igazolju, hogy az 00 szám mide számredszerbe osztható -el! 4 Megoldás: Mivel 00 és, ezért azt ellee igazoli, hogy 4 Nos, most va szüség a tevére! Felírhatju, hogy: 4 4 4 ( ) ( ) ( )( ) 7 Feladat: 4 Miért em lehet az 64 szám prímszám, egyetle N eseté sem? Megoldás: Máris hozzu a tevét! Felírható, hogy: 4 4 6 64 6 6 ( 8) (4 ) ( 48)( 4 8) és az egyi szorzótéyez sem egyel -gyel 8 feladat: 4 Írju fel a övetez halmazt: AN, N Megoldás: Újból szüségü va a tevére! Felírható, hogy: 4 488 8 4 N, ha,, 4, 8 ahoa a természetes 0,,6 A 0,3,4 számo:, tehát 9 feladat: Számítsu i az S!!!! összeget, ha N Megoldás: Megit szüségü va az tevére! Mivel! ( )! ( )!! ( )!!, ezért S (!!) (3!!) (( )!!) ( )! Megjegyzés: Teljese hasolóa számolható i a övetez összeg is: S ( )! 3
0 feladat: Igazolju, hogy mide, y valós számra igaz, hogy y y Megoldás: Bizoyítai ell tehát, hogy y y y, vagyis y y () és y y () És máris hozzu a tevéet! A háromszög egyeltlesége alapjá felírható, hogy: ( y) y y y, illetve y ( y) y, ezzel az () és a () bizoyított feladat: Legye az ( a),( b) ét olya valós számoból álló sorozat, amelyre a a b b N eseté Igazolju, hogy aor mide, N eseté igaz, hogy a a b b Megoldás: Hát ezúttal egy egész tevearavát ell hozu! Ugyacsa a háromszög egyeltlesége alapjá felírható, hogy: a a ( a a ) ( a a ) ( a a ) ( a a ) 3 a a a a a a a a 3 b b b b b b a a b b b b 3 feladat: Hozzu aoius alara az f ( ) a b c, f : R R másodfoú függvéyt, ahol a, b, c valós számo, és a em ulla Megoldás: Most is szüségü lesz egy furcsa tevére! Megpróbálu erltetve is teljes égyzetet ialaítai: b c b c b c f ( ) a b c a a a a a a a a a b b b c b b c b a 4 4 a a a a a a a 4a a a 4a b a ahol b 4ac a 4a 3 feladat: si Egyszersítsü le a övetez törtet: T sicos Megoldás: Ezúttal eléggé álcázott tevére lesz szüség! Redre felírható, hogy: si cos si cos si cos sicos sicos si si si cos si cos si cos Tehát T sicos sicos 4 feladat: Legye ( ) pozitív számoból álló sorozat Igazolju, hogy S ( )( )( ) 4
Megoldás: Máris hozzu a tevét! Felírható, hogy ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) a a Ezért ( )( )( ) ( )( )( ) S ( a a) a ( )( )( ) 5 feladat: Az ( ) valós számoból álló számsorozat teljesíti a övetez reurziós összefüggést: és 0 Keressü meg az általáos tagot megadó épletet Megoldás: Megit szüségü va a tevére! Végezzü el a övetez mveleteet: ( ) ( ) ( ) Vezessü be N eseté Eor ( ) y y most az y jelölést mide y ahoa, ezért y ahoa y y y y ( ), y y ( ) mide N eseté Megjegyzés: Vegyü észre, hogy a teveszabállyal az a b; a,b R, a általáosabb alaú elsred lieáris reurzió általáos éplete is meghatározható, ha úgy eressü az valós számot, hogy a ( ) legye, ahoa b a 6 feladat: Számítsu i a övetez határértéet: L limsi Megoldás: A feladat alig ha oldható meg teveszabály élül, és a teve választás sem öy! Mivel si( ) si, ezért felírható, hogy: L lim si ) 7 feladat: Számítsu i a övetez határértéet: Llim ( 3 ) limsi ( ) limsi limsi Megoldás: Most agyo jól felhaszálható az, hogy a teve jö is, meg megy is! Redre felírható, hogy: Llim ( 3 ) lim ( 3 ) lim ( 3 ) ( ) 3 lim ( 3 ) lim ( ) l 3 l l 8 feladat: 3 Számítsu i a övetez határértéet: L lim Megoldás: Teve élül em is idíthatju el a feladatmegoldás! A feladatot az e-számra ell visszavezeti: 5
3 3 3 3 3 Llim lim lim 3 lim ( 3) lim ( ) 3 lim l3 l l 6 l 3 = e e e e e Megjegyzés: Majdem mide e-számmal megoldható feladatál alalmazu ell a teveszabályt, ugyais midig egy -essel ell ezddjö a éplet, ezért ell hozzáadi majd ivoi -et 9 feladat: si A l Hospital szabály élül számítsu i: L lim Megoldás: Itt is egy tevére lesz szüség! Figyelembe véve, hogy si( ) si si si( ) si( ( )) felírható, hogy: Llim lim lim 0 feladat: cos cos Számítsu i a övetez határértéet: L lim 0 Megoldás: Megit jól átgodolt tevére lesz szüség! Redre felírhatju, hogy: cos cos cos cos cos cos ( cos ) cos ( cos ) Llim lim lim 0 cos cos si si 3 lim lim cos lim lim 0 feladat: Vezessü le a tört deriválási szabályát, vagyis a övetez épletet: f f ( 0) g( 0) f( 0) g ( 0) ( 0) g g ( 0) Megoldás: Nagyo agy szüségü va egy jó tevére! Redre felírható, hogy: f( ) f( 0) f g ( ) g ( 0) f( g ) ( 0) f( 0) g ( ) ( 0) lim lim g 0 0 0 ( 0 ) gg ( ) ( 0 ) f( ) g( 0) f( 0) g( ) f( 0) g( 0) f( 0) g( 0) lim 0 gg ( ) ( ) 0 0 f( ) f( 0) g( ) g( 0) f ( 0) g( 0) f( 0) g ( 0) lim g( 0) f( 0) 0g( ) g( 0) 0 0 g ( 0) feladat: 3 Számítsu i a övetez itegrált: I d Megoldás: Felírhatju, hogy: 6
3 3 I d d d 3 d d 3I I Most az els itegrálba egy jól választott tevére va szüség! I d d d d d 4 4 4 4 4d 4 d I Tehát 4 4 3 3 I 3I I d arctg( ) C 4 4 8 3 feladat: Számítsu i a övetez itegrált: I d Megoldás: Vegyü észre, hogy az itegrál alatti függvéy már elemi tört, tehát em lehet tovább botai Valami mást ell csiálu Éspedig figyeljü meg, hogy ( ) Ebbl ifolyólag szüségü va egy életmet tevére! Felírható, hogy: I d d d d ( ) d ( ) d = l arctg ( ) C Ezzel befejezzü a példázódást, azzal a reméyel, hogy a iválasztott feladato elle soszíe, változatosa, érdeese és taulságosa volta Továbbá elgodolozhatu azo, hogy amíg a teve beötése, a számoláso elvégzése és a teve elvitele a feladata egy hibás megoldásához vezetett, addig a megoldott feladato sorá ugyaazo meyiség hozzáadása, és elvétele mégis helyes matematiai számításohoz vezetett Érdees, em de? 7