MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK KÖZÉPSZINTÛ FELADATSOROK. Feladatsor I. rész megoldások. ( + ).. A háromszög köré írható kör sugara,6 cm.. Körtébõl 9 kg-ot, almából 8 kg-ot, banánból pedig kg-ot adott el.. A hûtõszekrén, literes.. A bank 000 Ft kamatadót vont le. 6. 0000000. 7. ( ) +. 8. ( ) + ( ) = 0. 70 9. = 0,. 00 0. A nagváros lakossága év eltelte után haladja meg a 0 000 fõt.. a) Nem. b) Igen. c) Igen.. a = radián vag a»,9º.. Feladatsor II. rész / A megoldások. a) A cos = sin behelettesítéssel sin -re másodfokú egenletet kapunk: sin sin = + sin +, ahonnan sin = vag sin =. Mivel sin minden -re teljesül, ezért a sin = egenletnek nincsen megoldása. 7p p A sin = egenlet megoldásai: = + kp és = +kp, k ÎZ. 6 6 A kapott megoldások kielégítik az egenletet. b) Látható, hog az egenlet értelmezési tartomána a valós számok halmaza. Mivel eg szorzat pontosan akkor 0, ha valamelik ténezõje 0, ezért egenlõség csak akkor teljesülhet, ha + =, illetve + =. A második egenlet azonban egetlen -re sem teljesül, mivel a bal oldalon eg nemnegatív, míg a jobb oldalon eg negatív szám áll. Ebbõl adódóan Ellenõrzéssel meggõzõdhetünk arról, hog mindkét szám megoldása az egenletnek. 0 + = Þ =, ennek megoldásai: = és =.
KÖZÉPSZINTÛ ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK. a) A négzet középpontja az AC szakasz O felezõpontja, melnek koordinátái az A és C pontok ismeretében können számolhatók: O ˆ ;. Ê A BD átlót tartalmazó egenes merõleges az AC (; 9) vektorra, továbbá tartalmazza az O pontot, íg normálvektoros egenlete: + 9= + 9 Þ + = 0. D A O C B b) A négzet hiánzó csúcsai illeszkednek a BD egenesre, valamint az O középpontú, Ê ˆ Ê ˆ 90 OA = + + = sugarú körre. A négzet köré írt kör egenlete: Ê ˆ Ê ˆ. + = A BD egenes egenletébõl = 0, amit a kör egenletébe helettesítve: Ê ˆ Ê ˆ 0. + = Þ + = A fenti egenlet megoldásai: =és =, ebbõl pedig = és =7. A négzet hiánzó csúcsainak koordinátái B(7; ) és D( ; ).. a) A szépirodalmi könvek számát 7, az albumok számát alakban kereshetjük. A feltételek alapján a mûszaki könvek száma,8 ()=9. Ha a könvbõl minden polcra uganannit helezünk, akkor a polcokon rendre 7 +, +, illetve 9 + könv lesz, továbbá például (7 +):( +)=:. A felírt aránból =. Eszerint Kristófnak összesen szépirodalmi könve, albuma és mûszaki könve van. Az ellenõrzés mutatja, hog ekkor mûszaki könvbõl valóban,8-szer anni van, mint albumból, továbbá ha minden polcra könvet helezünk, akkor a könvek számának arána :: lesz. b) Kristóf Ê ˆ 00-féleképpen tud három albumot kölcsönadni Károlnak. = c) Ha Kristóf valóban megveszi a kiszemelt könvet, akkor összesen 0 könvet tárol majd a polcokon.. Feladatsor II. rész /B megoldások 6. a) Az doboz! = 0-féleképpen helezhetõ egmás mellé. b) Az elsõ germek -féle, a második -féle, a harmadik -féle színû lufit kaphat. Az esetek száma = 60. c) Az árus az elsõ órában összesen lufit adott el. A lufik átlagára euróban: +, +, +, + 9, =» 9,. Az árus átlagosan 9 centért adta a lufikat az elsõ órában. 0
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM d) A lufikból 9, az árus bevétele. A lufi beszerzési ára 0,, ez lufi esetén,6, ezért a lufis haszna,8. Ez körülbelül 6,%-os haszonnak felel meg. e) Az eladott lufi között vannak olanok, ameleket nem tudunk megkülönböztetni (az azonos színûek), íg a lufik ismétléses permutációjáról van szó. Az esetek száma:! 00.!!!!! = 7. a) A gerta tengelmetszetét az ábra mutatja. A csonka kúp m magasságát az ATD derékszögû háromszögbõl Pitagorasz tételével számolhatjuk: m = 8 cm. Mivel a csonka kúp alapkörének sugara cm, fedõkörének sugara pedig cm, ezért térfogata: 8p V = ( + + )» 9, 7. A gerta térfogata 9,7 cm. b) Ha a gertát az alapokkal párhuzamos síkkal két részre vágjuk, akkor két csonka kúp alakú rész keletkezik, ahol mindkét keletkezõ trapéz magassága cm, k éppen az ABCD trapéz középvonala, íg hossza a két alap számtani közepe, azaz k = cm. Ha V a kisebb, V a nagobb rész térfogatát jelöli, akkor aránukra: V = V A keletkezõ két rész térfogatának arána 8. a) A szintes lépcsõ eges szintjeit alkotó kockák száma felülrõl lefelé haladva számtani sorozatot alkot, amelnek elsõ tagja, különbsége. Ebbõl következik, hog a legalsó,. szinten található kockák száma + = 9. b) Az n szintbõl álló lépcsõ legfelsõ szintjén, legalsó szintjén pedig + (n )=n kocka található, ezért megépítéséhez összesen S n = + +... + n kocka szükséges. Az S összegben éppen az elsõ n páratlan szám összege áll, amit a számtani sorozat összegképletének alkalmazásával számíthatunk ki: n S = + n= n. Az n szintbõl álló lépcsõ megépítéséhez n darab kocka szükséges. Mivel Aladárnak 0 darab építõkockája van, ezért a legnagobb olan n egész számot keressük, amelre n 0 teljesül, azaz n»,, vagis Aladár építõkockáiból maimum szintes lépcsõt építhet. c) Aladár a következõ számú építõkockákat használhatja fel a lépcsõk építéséhez:,, 9, 6,, 6, 9, 6, 8, 00,,. Ha Aladár épít eg kétszintes, eg ötszintes, továbbá eg tizeneg szintes lépcsõt, akkor mind a 0 kockát felhasználja, íg eg sem marad felhasználatlan. 0 p p Ê Ê + + ˆ ˆ Ê Ê + + ˆ ˆ = 6 9 6 9.» 067,. D T 6 C 6 m D A A 6 k B B C
KÖZÉPSZINTÛ ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK. Feladatsor I. rész megoldások., 0 8.. Összesen 6 dolgozó volt már mindkét városban.. c). ʈ. 6 8 utazó csapat alakítható ki. Ê ˆ = =. f( ) =, f(0) = 0, f() = 0. 6. A ismert szám összege 77, amihez ha még 70-et adunk, akkor 7-et kapunk. Ehhez az ismeretlen számjeget hozzáadva 9-cel osztható számot kell kapnunk. Mivel a 7-nek a 9-cel való osztás során fellépõ maradéka, ezért még -öt kell hozzáadni, hog 9-cel osztható számot kapjunk, ezért az. nertes szám a 7. 7. a) Hamis. b) Igaz. c) Hamis. d) Igaz. 8. A tört nem értelmezhetõ, ha nevezõje 0, azaz ha sin = 0, vagis sin =. Az adott intervallumban ez az -ra és az = p = p -ra teljesül. Erre a két értékre a tört nem értelmezhetõ. 6 6 9. Az akváriumhoz 80 60 + 60 60 = 600 cm =,6 m üveget használtak fel. 00 000 0. A két térkép hasonló egmáshoz, az : 00 000 méretaránú térképet l = = aránú 00 000 hasonlósági transzformációval lehet átvinni az :00000 méretaránú térképbe. Ebbõl következik, hog az utóbbi térképen a Cegléd Szeged távolság,» 86, cm. Kiszámolhatjuk a két város valóságban mért távolságát is:, 00 000 = 0 0 000 cm, majd kiszámoljuk, hog ennek mekkora távolság felel meg az : 00 000 méretaránú térképen: 0 0 000 : 00 000» 8,6 cm.. + = 0.. A módusz és a medián egaránt.. Feladatsor II. rész / A megoldások. a) A négzetgökvonás miatt ³. A logaritmus értelmezése miatt + > 0, amibõl >. Az egenlet értelmezési tartomána > ³. Mivel log 9 =, valamint log =, ezért egenletünk log ( + ) = alakban írható. A logaritmus definíciójának alkalmazása, majd rendezés után a + = egenletet kapjuk. Mivel a jobb oldalán negatív, bal oldalán nemnegatív szám áll, íg az egenletnek nincs megoldása. 0
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM b) Az egenlet értelmezési tartomána a valós számok halmaza. A hatvánozás azonosságait használva = +. Mindkét oldalon -as alapú hatvánok állnak, amelek csak úg egezhet- nek meg, ha kitevõik is egenlõk, ezért =0. A kapott másodfokú egenletbõl: =6és =. Mindkét szám megoldása az egenletnek.. a) A befõttesüveg alapkörének sugara r = cm, magassága m = cm. Eg üveg térfogata: V = r pm» 7,98 cm, azaz közelítõen 7, dl. b) Az üvegek tárolására szolgáló kartondoboz felül nitott téglatest, amel alaplapjának oldalai cm és cm, magassága cm. A doboz hálójának kicsinített képe az ábrán látható (az adatok centiméterben vannak megadva). c) Mivel dobozba üveg fér, ezért nagmamának összesen dobozra van szüksége. Eg doboz térfogata V = = 0 cm, íg a doboz összesen 6 080 cm = 6,08 dm helet foglal el.. a) Az 00 -ból 00 %-os kamatlábbal kamatozik, íg erre a részre a bank kamatot fizet. A maradék 00 után % kamat jár, azaz 00 0,0 =. A bank a lekötött összeg után kamatot fizet. b) Mivel = 0, 06, ezért a bank által ténlegesen kifizetett kamat,6%. 00 c) Ha eurós betétnél legalább,8%-os kamatot fizet a bank, akkor + ( 00) 0,0 ³ 0,08, vagis ³ 000. Legalább 000 -t kell lekötnünk ahhoz, hog arra a bank legalább,8%-os kamatot fizessen. 7, 7, 7, 6 7,. Feladatsor II. rész /B megoldások 6. a) A függvén értékkészlete a [ ; ] intervallum. A függvén a maimumát az = helen veszi fel, a maimum értéke ; a minimumát az = helen veszi fel, a minimum értéke. b) A függvén grafikonjáról leolvasható, hog az egenlõtlenséget a [; ] intervallum számai elégítik ki. ½ ½+ c) Az ½ ½+ szabállal megadott függvén grafikonjának tengel alatti negatív részét tükrözzük az tengelre. ½ ½+ 7. a) Anna a három kockával összesen 6 = 6-féleképpen dobhat. A kedvezõ esetek számbavételénél hasznos lehet azokat a következõ módon csoportosítani: A dobott pontok száma 8, ha Anna minden kockával 6-ost dob. A dobott pontok száma 7, ha két 6-ost és eg -öst dob. Attól függõen, hog a piros, zöld vag kék kockával dobja az -öst, ez az eset -féleképpen következhet be. 06
KÖZÉPSZINTÛ ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK A dobott pontok összege 6, ha két -ös mellett eg 6-ost dobott (összesen eset), vag két 6-os mellett eg -est (szintén eset). A pontok száma 6-féleképpen lehet 6. A dobott pontok összege. A lehetséges dobások: két 6-os mellett eg -as ( eset), eg 6-os, eg -ös és eg -es ( = 6 eset), illetve három -ös ( eset). Ez összesen 0 eset. Anna tehát összesen + + 6 + 0 = 0-féleképpen dobhat úg, hog azzal a játékot megnerje, ezért nerésének valószínûsége 6 b) Anna a zöld és kék kockákkal összesen 6 különbözõ eredmént dobhat. Ha a piros kockával 6-ost dobott, akkor ahhoz, hog a játékot megnerje, a másik két kockával összesen legalább 9-et kell dobnia. A következõ esetek lehetségesek: A dobott pontok összege, ha a zöld és a kék kockával egaránt 6-ost dob. A dobott pontok összege. Ez kétféleképpen következhet be: zöld 6-os és kék -ös, vag fordítva. A dobott pontok összege 0. Ekkor vag két -öst dob ( eset), vag eg 6-ost és eg -est ( eset). A pontok összege -féleképpen lehet 0. A dobott pontok összege 9. Ekkor vag eg 6-ost és eg -ast dob ( eset), vag eg -öst és eg -est ( eset). Összesen esetben lehet a dobott pontok összege 9. Anna legalább 9-et + + + = 0-féleképpen dobhat, ezért nerésének valószínûsége: 0 6» 0, 778. 8. a) Az ABC háromszög szabálos. Számoljuk ki oldalainak hosszát: 0 ( )» 0, 096. AB =, AC = 0+ + ( 0) = =, hasonlóan BC =. Mivel a három oldal hossza megegezik, ezért az ABC háromszög valóban szabálos. b) A szabálos háromszög köré írt kör középpontja egbeesik a háromszög súlpontjával, sugara pedig a súlvonal hosszának kétharmada (ld. ábra). A C csúcsot az origóval összekötõ szakasz C az ABC è -nek egben súlvonala is, ezért a körülírt kör középpontja e szakasznak az origóhoz közelebbi harmadolópontja. O Vagis: O(0; ), sugara pedig OC =. A háromszög köré írt kör egenlete: +( ) A =. c) Két metszéspont van, ezek koordinátái: ( ; ), illetve (; ). B =. Feladatsor I. rész megoldások. Van, aki nem kiváló matematikából. Nem mindenki kiváló matematikából.. -dik hatván.. mérföld = 6 60 inch.. a ¹, a ¹, a tört: a.. A È B = [ 6; [ és A Ç B = [ ; ]. 07
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM 6. a p = 6. 7. Î ;. 8. = = 7. 9. 66º, 66º, 8º vag º, º, 7º. 0. Mindkét nelvet beszéli: 0,8 + 0,7 = 0,6, a lakosok 60%-a. A keresett valószínûség 0,6.. Értékkészlet: [ ; ]. ½ ½. Koszinusztétellel számolva a legnagobb oldallal szemközti szöget: g = 97,98º.. Feladatsor II. rész / A megoldások. a) Az értelmezési tartomán: ³ négzetre emelés után: = 7, =, mindkettõ megoldás. 7, b) Az egenletet -as alapú hatvánra átírva, majd rendezve: 7 + 9 = 0. Az egenlet -re másodfokú, megoldásai: = 9 és =, amibõl az eredeti egenlet gökei: =, =. 7. a) A kamatozott összeg mértani sorozatot alkot: = 0 000,0 = 69 78 Ft lesz a felvehetõ összeg. A haszon 9 78 Ft lesz. b) A kivehetõ összeg: 0 000,0 + 0 000,0 + 0 000,0 0 + + 0000,0. Ebbõl: 0000 0 0 0 0000 0 0, (, +, + +, ) =, = 0697 Ft. 0, Mivel összesen 0 000 = 800 000 Ft-ot fektetett be, a haszon 706 97 Ft.. a) A teljes gráfhoz 8 él hiánzik, enni kézfogás lesz. b) Nem, mert Antinak csak eg ismerõse van. c) Tibi két oldalára féle módon kerülhet eg-eg lán, a kimaradó emberrel egütt! a leülések lehetséges száma, tehát:! p = =. 6! 08
KÖZÉPSZINTÛ ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK. Feladatsor II. rész / B megoldások p r p, 6. csepp víz térfogata: V = =», mm. a) dl = 00 000 mm, ez,7 csepp víz, enni csepp» 6 perc» 8 óra 6 perc alatt csöpög le. b) év alatt 60 6 = 0 00 csepp esik le, ennek a térfogata kb. 9,7 liter. c) évben dl tisztítószer fog el, ehhez flakont kell megvenni, amelnek az ára: 900 Ft. 7. a) A piros, a zöld és a citromsárga részek területe: Tpiros = r p =, 0 cm, a Tzöld = Tcitrom = 6 = 9, cm. A narancssárga szabálos sokszög darab egenlõ szárú háromszögre bontható, a háromszög magassága: a m =»,. tgº Ebbõl adódik: a m Tnarancs = r p = 89, 96 cm. a m b) A p = p egenletbõl» 8 cm. c) A belsõ kör színezésére lehetõség van, a körülötte levõ részre színbõl választhatunk, és a külsõ háromszögeket a maradék két színnel csak egféleképpen színezhetjük ki. Tehát = különbözõ, a feltételeknek megfelelõ színezés lehetséges. 8. a) Az edzésformák heti összesítése: Összes idõ (perc) Középponti szög (fok) Lábizom-erõsítés 7 0 hát mell Mellizom-erõsítés 60 0 Hátizom-erõsítés 7 8 Hasizom-erõsítés 6 has kar 8 0 6 0 60 6 láb Karizom-erõsítés 90 60 pihenés Pihenés (összesen) 89 6 89 b) = 0,, tehát az idõ %-ában pihen. 0 c) A négféle edzéstípus lehetséges sorrendje!, amikor két kiválasztott egmás után van, a lehetõségek száma!. A feltételnek megfelelõ esetek száma a kettõ különbsége:!! =. 09
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM. Feladatsor I. rész megoldások. A Ç B = {6; 8}.. 0º, 0º, 80º vag 0º, 6º, 6º.. cos. a =. A tagadás a c).. log 6. 6 6 = = 6 6. Az elsõ szám a 6, a második a 6, ez a nagobb. 0, 88 + 9 0, 7. = 0,, az éves kihasználtság %-os. 8.,8 m, 6, m,, m. 9. Eg 0-ra, hiszen csak eg darab -es és -ös van a szorzatban. 0. Î 8 ;. f ( ). A függvén átalakításával: ( ) f() = ( + ).. Szinusztétellel számolva a 8º-kal szemközti oldalt: b =,6 cm.. Feladatsor II. rész / A megoldások. a) A 0 0 egenletbõl = =, tehát,67%-os oldatot kapunk. 00 00, 0 b) A = egenletbõl = 0,6, tehát 0,6 liter ecethez, liter vizet kell öntenünk. 00 00. A naponta elolvasott oldalak száma számtani sorozatot alkot, amelben a =. d a) Az Sn = 0 + ³ egenlõtlenség megoldása: d ³,79. Tehát ha naponta legalább oldallal növeli az elolvasott menniséget, be tudja fejezni a könvet a határidõre. b) Ha d =,S =, tehát az utolsó napra már nem marad olvasni való. Mivel S = 8, már a tizenkettedik napon is csak 8 oldalt kell elolvasnia.. a) Egetlen pontra teljesül: P(; 8). b) Az A középpontú egség sugarú kör egenlete: ( ) + ( ) =. Az AB szakasz felezõpontja: F(,;,), az AB szakaszfelezõ merõlegese: 7 = 0. A keresett pontok az egenes és kör metszéspontjai: P(; ) és Q(; ). 0
KÖZÉPSZINTÛ ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK. Feladatsor II. rész / B megoldások 6. a) Az ábra alapján számolható a PM távolság. Az MTP è -ben, Pitagorasz-tétellel: PM =, + 8,8, ebbõl PM» 9, m. Tehát a készülék érzékeli a macska mozgását. b) Az MRQ háromszögben szintén Pitagorasz-tétellel számítható az RQ szakasz hossza: RQ =0 7,, ebbõl RQ» 6,7 m. Az FQ =, + 6,7 = 9, m. Tehát ha a szemközti fára 9, méternél magasabb helre száll a bagol, akkor a készülék nem érzékeli. c) Készítsünk új ábrát. A keresett AB szakasz az ABT egenlõ szárú háromszögben található, melnek magassága FT = 7, m. A BT hossza az MTB è -ben Pitagorasz-tétellel számítható: BT =0,, ebbõl AT = BT = 9,68 m. Az ABT è alapja, szintén Pitagorasz-tétellel: BF = 9,68 7,, BF = 6, m, AB =BF =,8 m. Tehát a készülék a járda szélén eg,8 m hosszú szakaszt tart megfigelés alatt. Q 0 7, R M, P, F 6, T 0 0 M, B F T A 7. A szöveg alapján a következõ halmazábra készíthetõ el: ʈ 6 a) p = = 0, ; b) p = = = 0, 009. 6 Ê6ˆ 0 c) Az ábra alapján 0 olan tanuló jár az osztálba, aki csak eg nelvet tanul a fentiek közül. Arab 8 0 Kínai Japán 8. A vásárolt edén térfogata: m p V = ( R + R r + r )» 89,6 liter. Ebbe az edénbe 89, 6 7» 80,7 liter 090, földet kell vásárolni. a) Több megoldás is lehetséges, például eg 0 literes, eg 0 literes, eg 0 literes és eg literes csomag megfelel. b) Az elõbbiek ára összesen: 77 Ft, a legolcsóbb a két darab 0 literes virágföld, 0 Ft. c) Ebben az esetben 89,6 liter földet kell vásárolni, s ez most is többféleképpen lehetséges. Például nég 0 literes és eg 0 literes csomag. A legolcsóbb ebben az esetben is a két 0 literes csomag.
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM. Feladatsor I. rész megoldások. Normálalakban: a) A B = 0 ; b) A + B =, 0.. A síkon 8 különbözõ pont legfeljebb Ê8ˆ, azaz 8 egenest határoz meg.. A függvén a) értelmezési tartomána: Î[ ; ]; b) értékkészlete: Î[ ; ].. Az eredeti háromszög kerülete 0 cm.. A túra teljes hossza 0 km. 6. Az ábrán jelölt tartomán: C È (B \ A) vag (A È B È C)\(A\C). 7. A paralelogramma átlóinak metszéspontjából a csúcsokba mutató vektorok: a + b a + b a b b a,, és. 8. A háromszög két adott oldala által bezárt szög lehet 0º vag 0º. 9. A mondat tagadása B: Van olan erdész, akinek nincs zöld kalapja. 0. Az egenlõtlenség megoldása: Î] ; [ È ]; [.. A háromszög C csúcsának koordinátái C( ; ).. A valószínûség: P( 0-cal osztható ) = =, P( 0-cal nem osztható ) = = 8 6 6 6.. Feladatsor II. rész / A megoldások. a) Az egenlet bal és jobb oldala minden valós helen értelmezve van. A hatvánozás azonosságait alkalmazva, valamint az eponenciális függvén kölcsönös egértelmûsége miatt: 6 =, amibõl =. 7 Ez valóban göke az eredeti egenletnek. b) A logaritmusfüggvén értelmezési tartomána a pozitív valós számok halmaza, ezért: + + + > 0 Û Î ; È ;, > 0 Û Î ;. Az egenlet alaphalmaza: Î ;.
KÖZÉPSZINTÛ ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK A logaritmus azonosságai és a logaritmusfüggvén kölcsönös egértelmûsége miatt: + + = Þ = 0 Þ = és =. Az egenlet alaphalmazába csak = tartozik bele, és ez megoldása is az eredeti egenletnek.. Legen a derékszögû háromszög két befogójának hossza a és b. a) A szokásos jelölésekkel a hegesszögek koszinuszainak arána: a cosb. cosa = b = a a b b = Þ A Pitagorasz-tétel alapján a + b =. A két összefüggésbõl a =ésb = 0. A háromszög befogói cm és 0 cm hosszúak. b) Legen a háromszög beírt körének sugara r. A háromszög területét írjuk fel kétféleképpen: a b r a + b + c 0 + 0 + = Þ = r Þ r =. A háromszög beírt körének sugara r = cm. c) Eg háromszög belsõ szögfelezõje a szemben levõ oldalt a szomszédos oldalak aránában osztja. A kisebbik hegesszöggel szemben levõ oldal cm hosszú, és ezt a szögfelezõ 0 0: aránban osztja. Az ábrán az szakasz hossza:. f A szögfelezõ f hosszára felírható Pitagorasz-tétel: 0 f 0 Ê0ˆ 0 = + Þ f = 0», 08. A kisebb hegesszög felezõjének a háromszög belsejébe esõ szakasza hosszú.. a) Számítsuk ki 8, és legkisebb közös többszörösét: [8; ; ] = 68. A buszok a megállóból 68 percenként indulnak egszerre. Reggel -tõl délelõtt 0-ig 00 perc, -ig 60 perc telik el. Mivel 68 = 6, 0 és óra között van olan idõpont, amikor a megállóból egszerre indul mind a három járat, és ez az idõpont 0 óra 6 perc. b) Minden várakozó -féle buszra szállhat fel, ezért -féleképpen szállhatnak fel a buszokra. c) A 70-es buszra 0, = 7 ember, a 7-esre = 0, a 7-esre 7=8utas száll fel. A kedvezõ esetek száma ʈ 8 8 az összes eset a b) rész alapján. 7 Ê ˆ 0 Ê 7 ˆ 8, ʈ 8 8 7 Ê ˆ 0 Ê ˆ 8 A keresett valószínûség 0 008»,. d) A kiindulási pont K(0; 0), az elsõ megálló E( ; ), a második megálló M(; ), a harmadik H(; ). A kiindulási helétõl a harmadik megállóig megtett út: s= KE + EM + MH = ( ) + + ( ( )) + ( ) + ( ) + ( ) = = + 0 + = +» 0, km. a b 0 b a 0», 08 cm
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM. Feladatsor II. rész / B megoldások 6. A befektetni kívánt pénz legen a forint. a) Az () lehetõség szerint három év múlva a,08»,97a forintot kapunk. A () lehetõség szerint három év múlva a,0,08,»,a forintot kapunk. Takarékos Oszkár az elsõ befektetési forma esetén jut több pénzhez év letelte után. p b) Ha a bank negedévenként p százalékkal növeli a pénzünket, akkor év után a Ê p ˆ + 00 forinthoz jutunk. Legen + =. 00 a = a 08,, /: a ¹ 0 =, 08», 09. Negedévenkénti,9%-os kamat esetén kapunk anni pénzt, mint az () befektetési mód esetén. c) Tegük fel, hog n év múlva legalább 000 000 forint áll majd rendelkezésére. Ez akkor következik be, ha 0 6,08 n + 0 6,08 n ³ 0 6. Osztva mindkét oldalt 0 6 -nal és az egenlõtlenséget rendezve:, 08, 08n +, 08n ³,, 6, 08n ³, 08, n ³. 6, Mindkét oldal pozitív, íg vehetjük a tízes alapú logaritmusát: lg 08, n ³ lg, amibõl n ³ 696,. 6, Takarékos Oszkárnak hét évet kell várni hog év végén legalább 000 000 forintot vehessen fel. 7. a) A stadion eges soraiban levõ ülõhelek számai olan számtani sorozatot alkotnak, amelnek elsõ eleme 00, differenciája. Tegük fel, hog n sor van a stadionban. A számtani sorozat elsõ n elemének összegére vonatkozó összefüggés alapján: 00 + ( n ) 00 < n < 000. Az egenlõtlenség-rendszert rendezve: 00 < n ( 00 + ( n ) ) < 000, 70 < n + 99n< 6000. A sorok n számára teljesülnie kell, hog () 0 < n +99n 70 és () n +99n 6000 < 0. Az () egenlõtlenség megoldása: 99 80 99 + 80 n<» 0, 06 vag n>», 06. A () egenlõtlenség megoldása: 99 80 99 + 80,» < n <»,. Mivel n pozitív egész, a két feltételt csak n = teljesíti, tehát a stadionban sor van.
KÖZÉPSZINTÛ ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK b) Az összes lehetõség száma Ê8ˆ. Ha az elsõ három között nincs angol versenzõ, akkor versenzõ közül került ki a három dobogós helezett. A kedvezõtlen esetek száma ʈ. Annak a valószínûsége, hog valamelik dobogós helre angol futó került: ʈ p = =» 08,. Ê8ˆ 8 c) Az eladott jegek árainak átlaga: 70 0, 00 + 70 0, 000 + 70 0, 700 = 890 forint. 70 Az eladott jegek árainak módusza 00 forint, mediánja pedig 000 forint. 8. a) Elõször az alsó egenes csonka kúp alakú rész térfogatát számítjuk ki elõször., A csonka kúp alapkörének sugara R = 6, cm, fedõkörének sugara r =, cm. A kúp magasságát a tengelmetszetbõl számíthatjuk: m = m = cm. A csonka kúp térfogata: m R R r r Vcsonka kúp = ( + + ) p = 7p., A felsõ hengeres rész térfogata: V henger = r p m = 7p. A flaska teljes ûrtartalma: V = V csonkakúp + V henger = p» 766, cm. A 7, dl = 70 cm bort beleöntve a flaskába: 766, 70 = 6, cm térfogatni hel marad. Mivel ez kisebb, mint a felsõ hengeres rész térfogata, az üvegben a bor szintje a felsõ hengeres résznél van, felülrõl számítva a következõ magasságban: V h = hián r = 6,», p, p cm. b) Ha az üvegbõl annit kiöntünk, hog a bor szintje centiméterrel csökkenjen, akkor ez V* =, p», cm bor kiöntését jelenti. A bor alkoholtartalma eredetileg 70 0, cm. Az alkoholtartalom 70, 78, 79 minden kiöntés után = -szeresére változik. 70 70 78 79 A kínált bor alkoholtartalma végül 70 0 Ê, ˆ, 70 cm. 78 79 70 0 Ê, ˆ, 70 A vendégeket Vendel 00»,%-os borral kínálta. 70
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM 6. Feladatsor I. rész megoldások ( n + )!. Az egszerûsített tört: = ( n+ ) n. ( n )!. Kössük össze a haragosokat éllel. Az ábrán eg lehetséges megoldást látunk.. A szavazáson 7 0 000 fõ vehetett volna részt. () () (). A sorozat elsõ elemének összege. a) Igaz. b) Hamis. c) Igaz. 6. A focilabdát,7º-ban látjuk. 7. Az egenlet valós megoldásai a számegenesen láthatók. 8. Az ABC =º. 9. A fizetések átlaga 6 7 forint, módusza 90 000 forint, mediánja pedig 0 000 forint. 0. Az egenlet diszkriminánsa... A függvén grafikonja az ábrán látható.. Annak a valószínûsége, hog Ambrus Adri mellett ül:! =. 6! () () () 0 6. Feladatsor II. rész / A megoldások. a) Használjuk fel, hog cos = sin : A másodfokú egenlet megoldásai: sin =, ami nem lehet a szinuszfüggvén értékkészlete miatt, p p sin = Û = + kp, = + lp, k, lîz. 6 6 Az egenlet megoldásai: p p = + kp, = +lp, k, lîz, 6 6 amelek kielégítik az eredeti egenletet. b) Írjuk fel az egenlet jobb és bal oldalát hatvánaként. 6 ( sin ) + = sin, 0= sin + sin. + ½ + ½ =.
KÖZÉPSZINTÛ ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK Mivel az eponenciális függvén kölcsönösen egértelmû, a + + = egenletet kell megoldanunk. Ha ³, akkor + ( + ) = Þ =. Ha <, akkor + ( ) =, nincs megoldás. Tehát = ami az eredeti egenletnek valóban göke.,. Az elsõ nap a kuta (0 + 60) = 60 m utat tesz meg. A második nap (0 + 0) + 60 = 00 m utat tesz meg, mivel az elsõ háztömb szélességét, és még két háztömb közti távot kétszer kell megtennie az elõzõ napihoz képest. A harmadik nap (0 + 0 + 0 + 0) + 60 = 0 m utat tesz meg, az elõzõ napinál ismét (0 + 0) = 0 méterrel többet. A kuta által naponként megtett távolságok eg számtani sorozat tagjai. A sorozat elsõ tagja 60, differenciája 0. a) A kuta a hetedik napon a 7 = a + 6d = 60 + 6 0 = 000 méter utat tesz meg. a d b) Húsz nap alatt a kuta összesen S0 0 + = 9 = 9800 métert, azaz 9,8 km-t fut.. Az elsõ kép alapján az elsõ fájl %-a az összes másolás 7%-a, tehát az elsõ fájl az összes másolandónak 7 00 = 8%-a. Ezért és a második kép alapján a második fájl %-a az összes másolás 7% 8% = 9%-a. 9 A második fájl az összes másolandó anagnak 00 = 60%-a. A harmadik fájl mérete tehát az összesnek 00% 8% 60% = %-a. Ha a teljes másolás a 9%-ánál tart, akkor a harmadik fájlból akkora rész másolása történt meg, amenni az összes másolandónak 9% 8% 60% = %-a. A % a %-nak 00 = %-a. A harmadik fájl másolása során, ha a felsõ sávban 9% látható, akkor az alsó sávban %-ot láthatunk. 6. Feladatsor II. rész / B megoldások 6. a) Az átlagpontszám,9. Az átlagpontszámhoz Lewis Hamilton pontszáma van a legközelebb. b) Az adatsor módusza a Brawn Mercedes csapata, õk nertek legtöbbször futamot. Gôzelmek száma 0 8 6 0 Brawn Mercedes Red Bull Renault McLaren Mercedes Ferrari Gôztes csapat 7
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM c) Az összes helszín száma 7, ebbõl a két megszüntetendõ helszínt Ê7ˆ -féleképpen lehet kiválasztani, tehát az összes esetek száma Ê7ˆ. Ha Magarországot kiválasztanák, akkor a másik helszín a fennmaradó 6 másik közül kerülne ki, tehát a kedvezõ esetek száma 6. Annak a valószínûsége, hog Magarország a két kiválasztott közt lenne: 6 =» 0,. Ê7ˆ 7 d) Mivel Schumacher perc 0 másodpercenként körözi le a másik autót, enni idõ alatt Schumacher a pála hosszával, azaz 8 méterrel több utat tesz meg. Legen az autó sebessége v. Mivel perc 0 másodperc az óra, az s = v t összefüggés alapján a megtett utak különbsége: 8 99 v =, 8, ebbõl v= 0,. 8 8 A másik autó sebessége megközelítõleg 0». 7. Legen a szabálos hatszög alapú egenes hasáb alaplapjának éle a, magassága m hosszúságú. A szabálos hatszög hosszabb átlója az alapél kétszerese: a, rövidebb átlója eg a oldalú szabálos háromszög magasságának a kétszerese: a. Pitagorasz tételét felírva a testátlókat tartalmazó derékszögû háromszögekben: a m ( ) + = ( 9). ( a) + m = 0 Az egenletrendszer pozitív megoldásai: a =9és m =. A hasáb alapéle 9 cm, magassága cm. a) A hasáb térfogata: b) A hasáb felszíne: a V = Talap m= 6 m = 96» 00, 66 cm. a A= T + 6 a m= 6 + 6 a m= + 96» 76, 89 cm. 9 a a a 0 m m 8. Thalész tétele értelmében a derékszögû csúcs rajta van az átfogó mint átmérõ fölé írt körön. A kör középpontja AB felezõpontja, vagis O(;), sugara: A kör egenlete: 8 AB r = = ( 8 ( )) + ( ) ( ) + ( ) = 69. 6 = =.
KÖZÉPSZINTÛ ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK a) A körnek az tengellel való metszéspontját a (0 ) + ( ) = 69 egenlet megoldása adja: ( ) = 60, ½ ½= 60. Ebbõl a háromszög derékszögû csúcsának koordinátái lehetnek: b) A kör kerületén keressük meg azokat a pontokat, ameleknek elsõ koordinátája. Ehhez oldjuk meg a ( ) + ( ) = 69 egenletet: + ( ) = 69, ½ ½=. Az egenlet megoldásai: =6és =. Az E (; 6) és E (; ) érintési pontokban kell a körhöz érintõket húznunk. Mivel eg kör érintõje merõleges az érintési pontba húzott sugárra, az érintõk normálvektorait a kör középpontjából az érintési pontokba húzott vektorokkal adhatjuk meg. n = OE( ; ) Þ e: + = + 6 Þ + = 0, n = OE ( ; ) Þ e : + = ( ) Þ = 00. C ( ) ( ) 0 ; + 0 vag C 0 ; 0. Az érintõk egenletei: + = 0 és = 00. Az érintõk hajlásszögét normálvektoraik hajlásszögének segítségével adhatjuk meg, amelet a skaláris szorzatukkal számolhatunk: n cos j = n 9 = Þ j», º. n n Mivel a j szög hegesszög, az érintõk hajlásszöge,º.. 7. Feladatsor I. rész megoldások ( )( + ) =. ( + ) + n. 0 0 7n n 6 6 Legfeljebb 6 marcipános kerülhet bele. 0 + n <, ;, <, ; <,.. Két nem egbe esõ kör két pontban metszheti egmást. Minden újabb kör metszheti már az összes korábbit - pontban, íg a lehetséges metszéspontok száma + + + = 0.. Nolc elem mediánja a két középsõ elem számtani közepe. Ha X és Y is kisebb, mint, akkor a medián pontosan,. Ha csak X kisebb -nél, akkor a medián maimum,. Íg X, Y >, és X =, Y = 7. (Feltettük, hog X kisebb Y-nál, és a számok mind különbözõk.). T = sin 60º»,6 cm. + + + + 6. Az ötpontú teljes gráf éleinek száma = 0, az adott gráfnak = 6 éle van. Íg még élt kell berajzolni. 7. A keresett egenes egenlete e: + =. 8. Az egenlet két göke: =0és = 9. A megoldás: = 9. 9
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM 9. A megoldás: c), azaz = +. 0. 0º és 60º között két szög van, melekre sin 0º = sin 00º =. Közülük cos 0º < 0, ezért cos 0º =. n. Jelölje n a Berlinben jártakat. Ekkor 0 + =, ebbõl n = 8. Tehát fõ járt mindkét városban.. A logaritmus definíciója miatt > 0, azaz >, és ÎN. 7. Feladatsor II. rész / A megoldások 6 + 9 + 0 + 8 + X. a) = 8, vagis X = 7. + b) Az eges napokon, 0, 9, autó érkezett, a változások (+,, +) átlaga: =. Ennek alapján péntekre + = autó várható. c) Ha egik napon sem érkezett olan jármû, amelen egszerre végzik el a kétfajta beavatkozást, akkor a valószínûség. A legkisebb értéket pedig akkor kapjuk, ha minden nap a lehetõ legtöbb jármû vesz részt mindkét típusú beavatkozásban, azaz hétfõn (), kedden 9 (), szerdán 9 (), csütörtökön 8 (). Zárójelben azon jármûvek száma szerepel, ameleken csak az egik beavatkozást végzik el. Íg a kérdéses valószínûség: + + +» 06,. 7. a) 8 0 8± 8 8± ( ) + =, ( ), = =, ahonnan ( ) = 6 és ( ) =. A két megoldás: = log 6»,8 és =. b) A feladat értelmezési tartomána: > 0. Rendezve az egenlõtlenséget: 8 7 7 9< 0 Þ < 0 Û < vag >. + + 8 Az értelmezési tartomán miatt az egenlõtlenség megoldása: > 0.. a) Az egre növekvõ kerületû körök sugarai: r, r, r,,nr, (n ÎZ + ). A körök kerülete: K = r p, K = (r) p, K = (r) p,,k n = (nr) p, Számtani a sorozat, ha a szomszédos elemek különbsége állandó. Ez teljesül a kerületekre: K n + K n = [(n +) r] p (nr) p = r p = K = állandó. b) Jelölje a n az n-edik körgûrûbe került darabkák számát, ami arános a kerülettel. Mivel K n = K n + K, ezért a n = a n + a (ahol a = ), tehát: a+ ( n ) d = a+ ( n ) d + a, nd d = nd d +, d =. Íg a darabkák száma: S 0 = 80. Ha eg járólap 6 darabkát adott ki, akkor 0 járólapot kellett miszlikbe aprítaniuk. 0
KÖZÉPSZINTÛ ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK 7. Feladatsor II. rész / B megoldások 6. brázoljuk a megadott alakzatokat. Látjuk, hog ezek metszéspontjai adják a háromszög csúcsait. Két alakzat metszéspontját pedig a koordináta-geometriában egenletrendszerek megoldásaként kapjuk. + = a) A = b Ç c:, a megoldás: =, =. + 7= 9 Tehát A( ; ). A + = C B = c Ç k:. ( ) ( ) + = b: +7 = 9 Fejezzük ki c egenletébõl -t, kapjuk az 0 = 0 egenletet, ahonnan =. Az egik megoldás éppen A, a másik: =, = 7. Tehát B(; 7). ( ) + ( ) = C = b Ç k:, a megoldás: =, =. Tehát C(; ). + 7= 9 b) K = d(ab) + d(ac) + d(bc) = 80 + 0 + 90», egség. c) Mivel BC a legnagobb oldal, a vele szemben levõ a szög a legnagobb. Például a koszinusztételt felírva: 90 = 80 + 0 80 0 cosa, ebbõl a» 7,6º. 7. Képzeletben vágjuk el a tölcsért és a fagit középen eg függõleges síkkal. A metszetet rajzoljuk le. a) A rajzon kiemelt két háromszög hasonló. (A tölcsér alkotójának hosszát kiszámíthatjuk a Pitagorasz-tétellel, értéke,6 0 cm.) Felírva az aránokat:,8,8 R/ R R 96, R R 0 =, ahonnan R»,8 cm. R 8, 9,6 9,6 0 Íg a fagi térfogata: Vfagi = R p» 6, cm. Kerekítve, a gombóc térfogata 6 cm. b) Ha elolvad a fagi, és az olvadt csoki kitölti a kúp alakú tölcsért, akkor szintén találunk két hasonló háromszöget: m 96, = =, innen m= r. r r 8, 7 7 9,6 Feltételezzük, hog a fagi térfogata nem változott (illetve a változástól eltekintünk), ezért: r m r r r Volvadt csoki = p p = = 7 8 p = 6, 7 amibõl r»,8 cm és m» 8,86 cm. B c: + =,8 m 9,6 R
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM 8. Minden esetben megfelelõ módon kell behelettesítenünk a megadott képletbe. a) m L b) T = ( s), a= 8, 8, = p Þ L =» 0, 0 ( m). s 98, 88, p 8. Feladatsor I. rész megoldások. A végzõdés lehet,,, 7, 9, tehát X lehet,,, 7, 9.. A külsõ pontból a körhöz húzott érintõ merõleges az érintési pontba húzott sugárra. A Pitagorasztételbõl + 6 = 0, ebbõl = 8.. Az elsõ állítás megfordítása igaz. A második állítás megfordítása igaz. A harmadik állítás megfordítása hamis, mert az önmagával és -gel is osztható, mégsem prím.. Az intervallumok az ábrán láthatók.. m 0, p L = cm= 0, m, a= 0, 8, T = p = ( s). s 9, 8 0, 8 p m c) T = s, L = m. = p Þ a = 98,», 98, a 9 s. Ê0ˆ 0 0 9 8 7 00!! = = ( 0 )! =. 0 6 7 8 9 0 J\ I I\ J 6 8 n + + + 6. 00 80 00 80 + 77, + 8 +, n = ³ 06,, innen n ³ 7,6. 00 Ha a tanár csak egész pontokat ad, akkor legalább 7 pontost. 7. Mivel egmás reciprokai, a kotangens értéke is negatív. 8. ] ; ]-on monoton növõ az f(). 9. Ha eredetileg árú az áru, akkor a vásárt követõ csökkentés után, 0,6 = 0,8 az ára, s ez az eredeti árnál kisebb. Mégpedig 6%-kal. 0. Az egenletbõl a k kör középpontja O k ( ; ), sugara r =. A két kör középpontjának távolsága: Ha nincs közös pont, akkor: R < d(ok) r = = vag R > d(ok) + r = + = 8.. log = log ( ) = log + log = log + p = + p.. A valószínûség a területek arána. A keret és a kép konkrét nagsága nem számít, tekintsük a kör sugarát egnek, íg: T képkeret = és T körkép = p. A találati valószínûség: dok ( ) = ( + ) + ( ) =. p = p» 0, 78. J I
KÖZÉPSZINTÛ ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK 8. Feladatsor II. rész / A megoldások. Az értelmezési tartomán: + ³ 0. A második egenletbõl =. Visszahelettesítve az elsõ egenletbe, eg várhatóan másodfokú egismeretlenes egenlethez jutunk: A gökjel alatt nevezetes szorzatot találunk, mégpedig ( ) -t, ezért az egenlet: = +. 0 Az abszolút értékes egenletnek eg megoldása van, =, íg =. Ellenõrizzük.. a) A három házaspár összesen hat fõ. Ha valakinél elvágjuk a kört és kiterítjük az ülésrendet, akkor az eredmén! = 0. b) Most az egik pár elsõ tagjánál vágjuk el a sort és kiterítjük az ülésrendet, akkor -féle módon lehet a másik két párt leültetni, illetve minden páron belül --féleképpen a házastársakat. Íg az eredmén = 6. c) Képzeljük el a hat személt, mint eg gráf hat pontját. A gráf élei azt reprezentálják, hog két személ egmás között kicserélte a salátástálat (az mindeg, hog ki kinek adta). Ekkor az fokú pont minden más ponttal szomszédos, tehát a hatodik pont fokszáma is legalább. A fokú pontból tudunk éleket rajzolni csak a többi ponthoz, illetve a leendõ két fokú pontot összekötve fokszámuk lesz. Tehát az utolsó pont minimális fokszáma. Másodszorra kössük össze a fokú pontot a hatodik ponttal és a két fokú ponttal. Végül kössük össze a fokú pontot is a hatodik ponttal. Íg a hatodik pont fokszáma lesz. Tehát enni információ birtokában csak annit állíthatunk, hog a hatodik személ az asztalnál legalább egszer, legfeljebb ötször adta-vette a salátástálat.. a) Ha eg = f() függvén áthalad az ('; ') ponton, akkor teljesül rá, hog f(') = '. Azaz f()= + c = 6, innen c =. b) Az f() függvén pontosan ott metszi az tengelt, ahol = f() = 0. Azaz + =0. A másodfokú egenletnek nincs megoldása, hiszen D = = = 7 < 0. Mivel normál állású parabola, eszerint végig az tengel felett halad, nem metszi azt. c) Ha az tengel felett halad, akkor függõlegesen lefelé kell elmozgatni, hog érintse a tengelt. Ezt pozitív konstans elvételével érhetjük el. I. megoldás. Az érintéshez a diszkriminánsnak 0-vá kell válnia: D = 8( p) = 7 + 8p = 0, ahonnan p = II. megoldás. Alakítsuk a függvént teljes négzetté: f() = + = ( ) + = +. Ê ˆ Ê ˆ 7 + = +. () () () () () () () () () 8 8 Innen látható, hog az utolsó tag elhagása, azaz a görbe 0,87 egséggel való lefelé mozdítása után már érinti az tengelt. 7 8 = 0, 87. ()
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM 8. Feladatsor II. rész / B megoldások 6. Készítsünk a hotelszobákról eg összefoglaló táblázatot. Eg szinten található azonos típusú Összesen a hotelben szobák közülük konhával rendelkezik szoba konhával személes 7 9 6 személes 8 0 6 6 személes 6 6 Összesen 0 6 60 78 a) A 8 párnak kétszeméles szobákat utalnak ki a hotel 9 szobájából valamilen sorrendben. 9! Erre -féleképpen kerülhet sor. A kétgermekes pároknak négszeméles szobákra van ( 9 8)! 0! szükségük, ezért számukra lehetõség adódik. (A szobákat és a párokat is megkülönböztetjük.) A kérdésre a válasz ezek szorzata, hiszen függetlenek: ( 0 )! 9! 0 ( 9 8)!! ( 0 )!. b) A felsõ öt emeleten összesen 8 = 0 négszeméles szoba van. Hog pont ilenbe kopog be 0 az illetõ, annak valószínûsége P =. Az alsó nolc emeleten 8 = 0 hatszeméles szoba 60 0 van, íg utóbbi P = valószínûsége megegezik az elõbbivel. 60 c) Mivel a feladat szövege tartalmazza a legalább szót, érdemes megvizsgálni a komplementer eseménre való áttérés lehetõségét. 9 szobát választunk ki összesen, közülük legalább eg konhával rendelkezik: akkor rendelkezhet azzal,,, stb. Ez nagon sok lehetõség, megéri áttérni a komplementer eseménre! Ha a kiválasztás után nincs konhás szoba, akkor szintenként a kétszemélesek közül, a háromszemélesek közül 6, a hatszemélesek közül szoba jöhet szóba valószínûséggel. 6 7 8 Ê 6 ˆ Uganez érvénes mind a szintre, tehát az ellentett esemén valószínûsége 7 8. Ê 6 ˆ Magának a kérdezett eseménnek pedig a valószínûsége. 7 8 7. Jelölje S a szépirodalmat, K a képregéneket, U az újságot olvasó tanulók halmazát. A feladat szövege szerint: () ½S½+½K½ ½S Ç K½= ; () ½K½+½U½ ½K Ç U½= 7; () ½S½+½U½ ½S Ç U½= 8; () ½S½=½S Ç K½; () ½K½ 6 =½K Ç U½; (6) ½S Ç U½= ; (7) ½S Ç U Ç K½=. ()-et ()-be helettesítve: ½S½+½K½=. ()-öt ()-be helettesítve: ½U½=.
KÖZÉPSZINTÛ ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK (6)-ot ()-ba helettesítve: ½S½+½U½=, ebbõl ½S½= 0, és íg ½K½= 0. Ekkor ()-bõl ½S Ç K½=, ()-bõl ½K Ç U½=. Tehát 0 (½S½+½K½+½U½ ½S Ç K½ ½S Ç U½ ½K Ç U½+½S Ç U Ç K½) = = 0 (0 + 0 + + ) = 0, azaz 0-en nem olvassák egiket sem. Mivel 0:0» 0,, ez a tanulók,%-át jelenti. 8. A következõ ábrát rajzolhatjuk fel: Felírva a szinusztételt az APB és QAB háromszögekben, kiszámíthatjuk AP és AQ hosszát: AP sinº AQ sin60º = és =, 0 sin9º 0 sinº P 9 ahonnan AP» 0,9 m és AQ»,86 m. Alkalmazzuk a koszinusztételt APQ háromszögben: 6 PQ = AP + AQ A AP AQ cosº», amibõl PQ» 7,7 m. Nag Papucsnak közelítõleg 7,7 m hosszú szárogatókötelet kell sodornia. 9. Feladatsor I. rész megoldások. + ³ 0, azaz ³. Négzetre emelve, s rendezve az egenlõtlenséget: + > 0, amibõl > vag <. Mivel a jobb oldalon nemnegatív szám áll, ezért a bal oldalon is annak kell (sõt pozitívnak a > jel miatt), tehát a megoldás: >. 80. log 80 log0 + log8 = log + = log 8+ = + = 7. 0. A rombusz átlói felezik egmást, és merõlegesek is egmásra. Pitagorasz tétele szerint a rombusz oldala egség, íg kerülete 0 egség. Q 0 m 9 B. A forgáskúp tengelmetszete az ábrán látható. ( ) A kúp felszíne: A = p +p =p.. A b szög a következõ nég érték lehet: º, 9º, 9º, 689º. 6. A kedvezõ esetek száma (prímszámok:,, ), az összes esetek száma 6, íg a prímszám dobásának valószínûsége: =. 6
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM 7. Ha a sorozat ötödik tagja a és a differencia d, akkor a következõ összeget kell kiszámítanunk: d + d + d + d + + + d + + d + + d + + d = 9 = 7. 8. Az = + egenletû egenes meredeksége, ezért a rá merõleges egenes meredeksége, íg az egenlete: = ( ), vag más alakban: = +. 9. Az elsõ egenletbõl =, ezt a másodikba helettesítve, majd rendezve az egenletet, kapjuk, hog: + = 0. Ennek gökei: =, =, a megfelelõ értékek: =, =. 0. A függvén legnagobb értéke, ezt az = helen, a legkisebb értéke pedig 0, ezt az = és az = heleken veszi fel. ( ). Az -tõl 00-ig terjedõ egész számok között 0 db osztható -vel, db osztható -mal, és 6 db osztható -vel is meg -mal is, tehát 6-tal. Íg 0 + 6 = 67 olan szám van, amel vag -vel, vag -mal osztható, tehát olan van, amel nem osztható sem -vel, sem -mal.. Alkalmazzuk azt a területképletet, amel szerint a háromszög területe két oldalának és a közbezárt szög szinuszának szorzata osztva -vel: 8 sin0º t = = 6. 9. Feladatsor II. rész / A megoldások = ½ ½. Az ábrán a sugarú, origó középpontú kört és a másik kör középpontját O(; ) rajzoltuk meg. Az O és az origó távolsága, íg r lehetséges értékei: = és + = 7. A két kör érintési pontjain a középpontjukat összekötõ egenes P O halad át, ennek egenlete: középpontú sugarú kör metszéspontjai: Ezek lesznek az érintési pontok. 6 = Az egenes és az origó. Ê6 8ˆ Ê 6 8ˆ P ;, Q ;. illetve. A háromszög területe: 0 sina t = = 0 sin a, ahol sin a a két oldal által bezárt szög. Mivel 0 < a < 80º, sin a, és vele egütt t is akkor a legnagobb, ha a = 90º, azaz a közbezárt szög derékszög. Ekkor sin a =, tehát a terület 0 cm. Q
KÖZÉPSZINTÛ ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK. Jelölje az A-ból B-be induló galogos emelkedõn megtett útját kilométerben, a vízszintes utat, z a lejtõn megtett utat kilométerben mérve. Visszafelé természetesen z km lesz az emelkedõ és km a lejtõ hossza. Íg a következõ egenleteket írhatjuk fel: z z () + + z=,; () + + = 9,; () + + =,. 8 8z A () és () megfelelõ oldalait összeadva kapjuk: + + = 6. Az ()-bõl + z =,, ezt az elõzõ egenletbe helettesítve -ra egismeretlenes egenletet kapunk. Ebbõl = km, tehát a vízszintes út km hosszú volt. 9. Feladatsor II. rész / B megoldások 6. Az ábrán az eges háromszögek területét tüntettük fel. Használjuk fel, hog ha két háromszög magassága egenlõ, akkor C területük arána az alapok aránával egenlõ. Ezek szerint a POQ è területe egség. t Hasonlóan adódik, hog az ABP è és a PBC è területének arána P Q ugananni, mint az AQP è és a PQC è területének arána: 6 t + 9 t = ebbõl t = cm. 6, O A B 7. Az egenlõtlenséget íg írhatjuk: ( +) +. Azok a P(; ) pontok, amelek ezt az egenlõtlenséget kielégítik, eg ( ; 0) középpontú, sugarú körlemezt alkotnak. Az = + a egenlet eg egenes egenlete. Akkor lesz eg megoldás, ha az egenes érinti a kört. Ez a = és a = esetben következik be. Megoldások tehát: az E (0; ) és E ( ; ) pontpár. E ( ; 0) E 8. Az összes kétjegû szám összege: 0 + 99 0 + + + + 99 = 90 = 90. Ebbõl kell kivonni a -mal vag -tel osztható kétjegû számok összegét. A -mal oszthatók összege: + 99 + + + 99 = 0 = 66. Az -tel oszthatók összege: 0 + 9 0 + + + 9 = 8 = 9. A -mal és -tel, azaz -tel oszthatók összege (ezek mindkét utóbbi összegben szerepelnek): + 0 + + 60 + 7 + 90 =. Tehát a keresett összeg: 90 (66 + 9 ) = 60. 7
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM 0. Feladatsor I. rész megoldások. Az egenlet íg írható: cos =, tehát a megoldások: p p = + kp, = +np, kn, ÎZ.. A logaritmus azonosságait és a definíciókat felhasználva: 96 log 796 log 7 sin 70º = log 7 ( ) = log 79+ = + =.. A négzetgöknek csak akkor van értelme a valós számok körében, ha ³ 0, azaz ³. Mivel a bal oldalon nemnegatív kifejezés áll, a jobb oldalon is annak kell állnia, sõt pozitívnak, hiszen ez az oldal a nagobb. Ezért > 0, ebbõl az értelmezési tartomán: > Az átalakítás. után kapott +>0egenlõtlenség akkor igaz, ha < vag >, tehát a megoldás: < < vag >.. A dobott számok összege vag lehet. -et úg lehet dobni, hog egik kockán -öst, a mási- kon 6-ost dobunk, ennek valószínûsége -t csak úg, hog mindkét kockán 6-ost dobunk, ennek valószínûsége tehát a keresett valószínûség: 6, 6. 6 + 6 = 6 =.. A két keresett szög mértéke 6 és 7, ezek összege: 6 +7 = 0º. Ebbõl = 0, tehát a két szög nagsága 60º és 70º. 6. A gömb sugarát jelölje r, akkor a térfogata: A gömb felszíne: r p 9 7 = p Þ r = Þ r =. 8 r p = 9 p = 9p. 7. Az ábrán az adott három vektor a, b, c. A keresett testátló vektor: d = a + b + c. d c a A b 8. A függvén grafikonja az ábrán látható. 9. A 78 prímténezõs felbontása: 78= 7. A pozitív osztók száma: (+) ( + ) =. 6 8
KÖZÉPSZINTÛ ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK 0. A háromszög magassága Pitagorasz tételével kiszámítható: m = = = cm. A háromszög területe: 0 t = = 60 cm. m. A szám 70%-a a szám 0,7-szerese, tehát 07, a =, amibõl a = 0. 0. talakítva a hozzárendelési szabált: Ê ˆ (, ) 0,. = A függvén legnagobb értéke 6, ezt a 0 és a 6 helen veszi fel. A legkisebb értéke a parabola tengelpontjában, =,-nél van, ez = 0,. 6 =(,) 0, 0. Feladatsor II. rész / A megoldások. A függvén legnagobb értéke 7, ezt az = -nál, a legkisebb értéke, ezt esetén veszi fel. = + +. Azt használjuk fel, hog hasonló háromszögek területének arána a megfelelõ oldalak aránának négzetével egenlõ. A kis háromszögek mindegike hasonló az ABC eredeti háromszöghöz, íg ha az ABC è területe t, akkor: z + + z = t + + z = t + + z =,,. t A három egenletet összeadva ezt kapjuk: 6 =, tehát t = 6 területegség. t A C P 9 z z B 9
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM n +. Az n ¹, átalakítás mutatja, hog a tört csak akkor lehet egész, ha n + n+ = + n+ osztója -nek, azaz n + értéke,,, lehet. Íg n értéke,, 0, lehet. n + 7 A másik törtbõl n ¹, = +, azaz n + osztója 7-nek, vagis n + értéke n+ n + 7,,, 7 lehet. Íg n értékére ezt kapjuk:,,,. A két szóba jöhetõ n értékrendszerben n = a közös. Ez jó is, mert ekkor az elsõ tört értéke 0, a másodiké 9, mindkettõ egész szám. 0. Feladatsor II. rész / B megoldások 6. Az + átalakítása után: Ê + ˆ 9. Az elsõ egenlõtlenségbõl. Mivel az alapú eponenciális függvén szigorúan nõ, ebbõl, azaz. A második egenlõtlenség íg írható: + 0, ez pedig esetén teljesül. Mindkét egenlõtlenséget a valós számok elégítik ki. 7. Az A csap eg óra alatt a medence egötöd részét, a B csap eg óra alatt az eg tizenötöd részét tölti meg. Íg eg óra alatt a két csap egütt + = részét tölti meg a medencének. Tehát összesen óra, azaz óra perc alatt tölti meg a két csap egütt a medencét. 8. Jelölje s az A és B közti távolságot kilométerben mérve. Ekkor a teherautó útja A-ból B-be s óráig, B-bõl A-ba óráig tartott, íg az átlagsebessége: 00 s = =7 km s s + + h volt. 60 00 60 00 0 + s 60 0