a 11 a a 1n a n1 a n2... a nm b 2, x :=

ËÞ ÓÐ ÓÞ Ø Ä Ò Ö Ð Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ø Ö Ñ ÓÐ ØÒ Ö Å Ø Ñ Ø Ð ÑÞ Þ Ö ÒÝ Ì Ñ Ú Þ Ø Ö Á ØÚ Ò Ø Ò Þ Ú Þ Ø Ý Ø Ñ Ó Ò Ð ÐÑ ÞÓØØ Ò Ð Þ ËÞ Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ì Ò Þ ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö ¾¼¼

Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º Ú Þ Ø ¾º Ö Ø Ñ Þ Ö ¾º½º Ù ¹ Ð Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º Ð Ñ Ú Ð ÞØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º Ä͹ Ð ÓÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÓРݹ Ð ÓÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁØ Ö Ñ ÓÐ Ñ Þ Ö ½½ º½º Ø ÓÒ Ö Ù Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½º Â Ó ¹ Ø Ö Ù ¹Ë Ð Ø Ö º º º º º º º º º º ½ º½º¾º ËÇÊ¹Ñ Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º º Þ Ý Þ Öò Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Ø ÓÒ Ö Ù Ø Ö ÓÒÚ Ö Ò Þ ÑÑ ØÖ Ù Þ Ó¹ Ö Ò ÔÓÞ Ø Ú Ò Ø ÞÔ µ Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ò º º º º º º º º º º º ½ º¾º½º Â Ó ¹ Ø Ö ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º¾º¾º ËÇÊ¹Ñ Þ Ö ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º º Þ Ý Þ Öò Ø Ö ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º ¾ º º Ú¹ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½º Ú ÔÓÐ ÒÓÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾º Ú¹ Ø Ö Ô Ö Ñ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ÁØ Ö Ð Ö Ó Å¹Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Þ Ó Ð Ð ¾

½º Þ Ø Ú Þ Ø Ä Ò Ö Ð Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÒ Ò Ú ÞÞ Þ a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x m = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x m = b 2 º a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + a nm x m = b m ½º½µ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ ÓÐ a ij,b i x i (i = 1,...,n,j = 1,...,m) ÓØØ Ú Ð Þ ÑÓ (i = 1,...,n) Ñ Ö ØÐ Ò Ú Ð Þ ÑÓ º Þ a ij Þ ÑÓ Ø Þ ½º½µ Ý ÒРع Ö Ò Þ Ö Ý ØØ Ø Ò Ò Ú ÞÞ b i Þ i¹ Ý ÒÐ Ø Þ Ø º Þ ½º½µ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ ÓÑÓ ÒÒ Ò Ú ÞÞ b 1 =... = b m = 0 ÐÐ Ò Þ Ø Ò Ò ÓÑÓ ÒÒ ÑÓÒ Ù º Þ ½º½µ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ Þ ÐÝÓ Ò Ò Ú ÞÞ m = n Þ Þ Þ Ý ÒÐ Ø Þ Ñ Ö ØÐ Ò Þ Ñ Ý ÒÐ º  РРa 11 a 22... a 1n º A := º º º Þ Ý ØØ Ø Ñ ØÖ ÜÓØ b := a n1 a n2... a nm b 1 b 2 º, x := x 1 x 2 º b m x m

Þ Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖÓ Øº ÓÖ Þ ½º½µ Ö Ò Þ Ö Ø Ñ Ö Ò Ax = b Ð Ò Ö Ø Ðº Ä Ò Ö Ð Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö ÑÓ ÐÐ Þ Þ ÑÓ Ø Ö Ð Ø Ò Ð Ø ÞÒ Ô Ð ÙÐ Ñ Ò Ò Ú ÐÐ ÑÓ Ø Ò Ò Þ¹ Ð ÑÞ ÓÖ Ò Ø º Ñ Ø Ñ Ø Ò Ý Ö Ò Ø Ð Ð ÓÞÙÒ ÓÐÝ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ð Ñ ÐÝ ÐÝ Ò Ö Ò Þ Ö Ñ ÓÐ Ö Ú Þ Ø Ø Ú Þ Ô Ð ÙÐ Ò Ñ Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ÒÙÑ Ö Ù Ñ ÓÐ ÒØ ÖÔÓÐ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÓ µº ½º Ì Ø Ðº Ì Ý Ð Ó Ý A R n n b R n º ÓÖ Ñ ÓÐ ÔÓÒØÓ Ò Ý ÖØ ÐÑò det(a) 0 Þ Þ Ð Ø Þ A 1 Ñ ØÖ Ü Ö ÙÐ Ö µº Ý Ð Ø Ñ ÓÐ Ñ Þ Ö Ö Ñ Ö¹ Þ ÐÝ Â Ð Ð A j ÞØ Ñ ØÖ ¹ ÜÓØ Ñ ÐÝ Ø Ö ÙÐ Ö A Ñ ØÖ Ü Ð Ý ÔÙÒ Ó Ý j¹ Ó ÞÐÓÔ ÐÝ Ö b Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖØ Ø Þ º ÓÖ x j = det(a j) det(a), j = 1,...,n. Ý ÓÖÐ Ø Þ ÑÔÓÒØ Ð Þ Ð Ö Ð Ð ÐÑ Þ Ø Ñ ÖØ Ò Ý ÑòÚ Ð Ø ¹ ÒÝò Þ Ö Ð Ñ Ö Øò Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ò Ö Ñ ÞÒ ÐÒ º Ö Ñ Ö¹ Þ ÐÝ ÒÙÑ Ö Ù Ò Ò Ñ Ø Ð Þ Þ Ñ Ò ØÓ Ø Ð Ñ ÓÐ Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Òº Ð Ô Ú Ø ÐÑ ÒÝ Ý Ñ ÓÐ Ñ Þ ÖÖ Ð Þ Ñ Ò Ó Ý ÓØØ ÔÓÒØÓ Þ Ð Ø Ñ ÓÐ Ñ Ò Ð Ú ÑòÚ Ð ØØ Ð Ð Ý Ò Ñ ¹ Ø ÖÓÞ Ø ÒÙÑ Ö Ù Ñ Þ Ö Ø ÓÒÝ µº

Ð Ò Ö Ð Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ø Ñ ÓÐ Ð Ö Ó Ø Ò Ý Ó¹ ÔÓÖØ ÓÖÓÐ Ø Ö Ø Ø Ö Ñ Þ Ö º Ñ ÓÐ Ñ Þ Ö ¹ Ú Ð ÞØ Ð Ò Þ ÓØØ Ñ ØÖ ÜØ Ð º Þ ÓÐ ÓÞ Ø Ð Ö Þ Ò ÑÙØ ØÒ Ö Ø Ñ Þ Ö Ø Ö ÞÐ Ø Ò Ñ ÖØ ØÒ Þ Ø Ö Ñ Óй Ð Ø Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ö Ú Ð Ø Ò Ð ÒÝ Ö ØÐ ØÖ ÒÝ Ö Ö Ø Ñ Þ Ö Ð Þ ÓÒÐ ØÚ º

¾º Þ Ø Ö Ø Ñ Þ Ö Á Ø ÖØÓÞ Ù ¹ Ð Ñ Ò Ø Ð ¹ Ö ÞÐ Ð Ñ Ú Ð ÞØ Ä͹ Ð ÓÒØ ÓРݹ Ð ÓÒØ º Ö Ø Ñ Þ Ö Ð ÐÑ Þ Ú Ð ÔÓÒØÓ ØÓ Ø ÐØ Ø Ð ÞÚ Þ Ñ Ø Ó Ø ÔÓÒØÓ Ò ÐÚ ÞÚ Ú Ó ÑòÚ Ð ØØ Ð ÔÓÒØÓ Ñ ÓÐ Ñ Ø ÖÓÞ Ø Ö Ø Ø Ý ÐÑ Ò Ú Ð ÝÚ µº ¾º½º Ù ¹ Ð Ñ Ò Þ Ax = b Ö Ò Þ Ö ÓÐ A R n n ÓØØ Ñ ØÖ Ü b R n,x R n Ø Ò Þ Ð Ñ Ò Ñ Þ Ö Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ö Ðº À a 11 0 ÓÖ Þ Ð Ý ÒÐ Ø l i1 := a i1 a 11 ¹ Þ Ö Ø ÚÓÒ Ù Þ i¹ (i > 1) Ý ÒÐ Ø Ðº Þ Þ Ð Ð Ö º Â Ð Ð Þ A Ñ ØÖ Ü Ð Ñ Ø a ij = a (1) ij ÚÓÒ ÓÖ Ò i > 1 Ø Ò Ð ØÖ Ú Ð Ñ Ø Ô a (2) ij ÓÐ a (2) ij := a (1) ij l i1 a (1) 1j, j = 1,...,n b (2) i := b (1) i l i1 b (1) 1, j = 2,...,n. Þ Ð Ð Ô ÙØ Ò Ú Ø Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ Ô Ù a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 +... + a (1) 1nx n = b (1) 1 a (2) 22 x 2 +... + a (2) 2nx n = b (2) 2

º a (2) n2x 2 +... + a (2) nnx n = b (2) n. Å Ó Ð Ô Ò ÐØ Þ Ó Ý a (2) 22 0º Å ÓÒÐ Ò ÖÙÒ Ð Þ Ð ÓÖ Ð ØØ (n 1) (n 1)¹ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÖ Ðº ÓÐÝØ ØÚ Þ Ð Ñ Ò Ø Þ Ð Ö Ò Þ Ö Þ ÙØÙÒ ÐØ Ú Ó Ý a (k) kk a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 +... + a (1) 1nx n = b (1) 1 a (2) 22 x 2 +... + a (2) 2nx n = b (2) 2 º a (n) nnx n = b (n) n 0 Ñ Ò Ò k = 3,...,n 1¹Ö º À Þ ÙØÓÐ Ý ÒÐ Ø Ò a (n) nn 0 ÓÖ x n ÖØ Ø ÒÒÝ Ò Ñ Ø Ù Þ x n = b(n) n Þ Ðº Å ÓÖ ØÓØØ ÓÖÖ Ò Ò Ð Ú Ú Þ ÐÝ Ø¹ a nn (n) Ø Ø Ð x n 1,...,x 1 Ù Ý Ò Ý º Þ Ð Ð Ö Ø Ø Ô Ù Ò a (i) ii = 1 ÓÖÑ Ò Ø Ù Ú Ö º ¾º Ì Ø Ðº Ù ¹ Ð Ñ Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Þ Ø Ð Þ ½º½µ Ý Ò¹ Ð ØÖ Ò Þ Ö Ñ ØÖ Ü Ò Þ Þ Ð Ð Ñ ÒÓÖ Ò ÑÞ ÖÙ a 11... a 1k det º ººº 0, k = 1,...,n. a k1... a kk Þ Ð n 1 ÐØ Ø Ð ÞØÓ Ø Ù ¹ Ð Ñ Ò Þ Ð Ö Þ Ò Ú Ö Ø Ø Ø Þ ÙØÓÐ Ô Ú Þ ÐÝ ØØ Ø Ò Ø Øº ¾º¾º Ð Ñ Ú Ð ÞØ Þ Ð Ñ Ò ÓÖ Ò Ð ÑÒ Ò Ú ÞÞ ÞØ ØÐ Ð Ð Ñ Ø Ñ ÐÝ Ð ÔÔ Ò ÐÓ ÞØ Ù Þ ØÙ Ð ÓÖغ Þ Ð Ñ Ò Ø Ð Þ Ð Ò ÝÓ ÞÓÐ Ø ÖØ ò Ð Ñ Ñ ØÖ Ü Òº Ê ÞÐ Ð Ñ Ú Ð ÞØ Ø Ú Þ Ò

Þ ØÙ Ð ÓÖ Ð Ú Ý Þ ØÙ Ð Ó ÞÐÓÔ Ð Ú Ð ÞØ Ù Ð Ò ¹ ÝÓ ÞÓÐ Ø ÖØ òøº Ì Ð Ð Ñ Ú Ð ÞØ Ø Ò Þ Þ Ñ ØÖ Ü Ò Ö Ð Ò ÝÓ Ð Ñ Øº ÓÞ Ó Ý Ú Ð ÞØÓØØ Ð Ñ ØÐ Ö Ð Ò ÓÖ Ó ÞÐÓÔ Ö Ø ØÙÒ Ú Ö Ñ ØÖ Ü Òº Å Ò Ø Ø Ö Þ¹ Ð Ø Ð µ Ð Ñ Ú Ð ÞØ Ò Ð Þ Ø Ð Ñ ÓÐÝ Ò Ó ÞÐÓÔ Ò ÓÖ Ò ÐÐÒ Ñ ÐÝ Ø Þ Ð Ñ Ò Ñ Ò Ñ ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ú Ý ÒÙÐÐ ÞÓØØ º Å Ð Ð Ò Ò Ý Þ ÑÓØ Ú Ð ÞØÚ ÞÓÖÞ Ò ÖÑ ÐÝ ÓÖ Ð Ñ Ð Ð ¹ Ø Ð Ñº ¾º º Ä͹ Ð ÓÒØ Þ Ä͹ Ð ÓÒØ ÓÖ Ò Þ Ax = b Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ò Þ Ö ÔÐ A Ñ ØÖ ÜÓØ Ð ÓÒØ Ù A = LU ÞÓÖÞ ØÖ ÓÐ L Ð ÖÓÑ Þ U Ô Ý Ð ÖÓÑ Þ Ñ ØÖ ÜÓØ Ð Ðº º Ì Ø Ðº Þ A R n n Ñ ØÖ ÜÒ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Ø Þ Ý ÖØ ÐÑò Ä͹ Ð ÓÒØ det(a i ) 0, (i = 1,...,n 1)º 1 0... 0 l 21 1 º L = º º ºº 0 l n1... l nn 1 1 u 11 u 12... u 1n 0 u 22 º U = º º º º un 1n 0... 0 u nn L U Ñ ØÖ Ü Ð Ñ Ò Þ Ñ Ø Ú Ø Þ ÔÐ Ø Ø Ú Ð Ø Ö¹ Ø Ò i 1 u ij = a ij l ik u kj i j j = i,...,n k=1 [ ] l ij = 1 j 1 a ij l ik u kj u jj k=1 i > j i = j + 1,...,n.

Þ Ä͹ Ð ÓÒØ Ø Ú Ð Ax = LUx = L(Ux) = b Ñ ÓÐ ÓÞ Ly = b, Ux = y Ñ ÓÐ Ö Ú Ò Þ º Ø Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ Óй ØÖ Ú Ð º Þ Ly = b Ñ ÓÐ i 1 y i = b i l ik y k k=1 i = 1,...,n. Å Ux = y Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ [ ] x i = 1 y i u ik x k u ii k=i+1 i = n,..., 1. À Ù ¹ Ð Ñ Ò Þ Ð Ö Þ ÓÖ Ò Ñ Ö ÞÞ Þ l ik ÞÓÖÞ Ø ÓÖ Þ Ð Ö Ú Ò Ñ Ô Ù L U Ñ ØÖ ÜÓØ Ø Ø Þ Ä͹ Ð ÓÒØ Ø º ÁÐÝ Ò ÖØ Ð Ñ Ò Þ Ä͹ Ð ÓÒØ Ú Ú Ð Ò Ù ¹ Ð Ñ Ò Þ Ð Ö Þ Ú Ðº ¾º º ÓРݹ Ð ÓÒØ ÓРݹ Ð ÓÒØ Ò Þ Ø Ò Ð Ø Þ Þ A Ñ ØÖ Ü Þ ÑÑ Ø¹ Ö Ù ÔÓÞ Ø Ú Ò Øº Ò º Þ A R n n Ñ ØÖ Ü ÔÓÞ Ø Ú Ò Ø x T Ax > 0 Ø Ð Ð Ñ Ò¹ Ò x R n,x 0 Ú ØÓÖ Ø Òº À A Þ ÑÑ ØÖ Ù ÔÓÞ Ø Ú Ò Ø Ñ ØÖ Ü ÓÖ Ð Ö Ø A = L L T Ð ¹ Òº Þ Ñ ØÖ Ü ÓРݹ Ð ÓÒØ º Þ L Ñ ØÖ ÜÓØ Þ Ä͹ Ð ÓÒØ Ð Ô Ø Ù Ñ ÓÐ D = diag( u ii ). A = LU, L = LD, ÓРݹ Ð ÓÒØ Ñ Ø Þ Ä͹ Ð ÓÒØ Ò Ð Ð Ý Ò ÒØ Þ ÑÓÐ Ù Þ A = L L T Ñ ØÖ Ü Ð Ñ Ø l 11 = i 1 a 11, lii = aii l ik 2, li j = a ij i 1 k=1 l ikljk, j = 1,...,i 1. l jj k=1

Ä Ø Ø Ó Ý ÒØ Ú Ý Þ Ô Ñ Ö Øò Ñ ØÖ ÜÓ ÐÐ ØÚ Ø Ð Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ò Ö Ñ Ö Ø Ð Ö Ø Ú Ð ÞØ Ò º Ñ Ò Ý Ð Ò Ö Ý ÒРع Ö Ò Þ Ö Ø Ñ ÓÐ Ñ Þ Ö Ð Þ Ø Ö Ñ ÓÐ Ñ Þ Ö º ½¼

º Þ Ø ÁØ Ö Ñ ÓÐ Ñ Þ Ö Ý ÓÖÐ Ø Ð ØÓ Ò Ð Ñ Ð Ø Þ Ö Ò ÝÑ Ö Øò Ö Ø Ñ ØÖ Ü Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ø Ð ÒØ Ö Ø Ñ Þ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ý Ø Ö Òݺ Å ÐÐ ÓÒ ÓÐÒ Ö Ñ ¹ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÐ Ø Þ Ñ Ø Ò Ö Ø ¹ Ø Ð ÐØ ÒØÚ µ Þ Ò ÐØ Ð Ò Ñ ØÖ Ü Ó ÓÐ Ð Ú ØÓÖ º ÞØ Ð Ò Ø Ñ ÓÖ Ö Ø Ð Ö ÓÖ Ò ÓÐÝ Ò ÐÝ Ò Ð Ø Þ Ò ÑÞ ÖÙ Ð Ñ ÓÐ Ö Ø Ð ÒÙÐÐ ÐÐØ ÐØ ÐØ Ò Ò Ú ÞÞ º Ö Ø Ñ Þ Ö ÐØ Ð Ò ÐØ ÐØ Ø Ö Ñ ÒÝ ÞÒ º Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÒØ Ò Ú Ð Ø Ö ¹ ÒÝØ Þ Ò ÒÙÐÐ Ð Ñ Ø Ò Ñ Ø ÖÓÐ Ù Ú Ý ÐÝ Ø ÐÐ ÞØÓ Ø Ò Þ ÓÒÒ Ò Ð Ø Þ ØØ Ð Ñ Ò º Ã Ú Ú ÚÑ ØÖ ÜÓ Ø ÓÐ ØÐ Ö Ð ÓÒ Ð ÚÓÒ Ú Ð ÒÙÐÐ Ð Ñ ÐÐÒ Ö Ø Ñ Þ Ö Ð ÐÑ Þ ÓÖ Ò Ú Þ Ð Ñ Ñ Ö º Þ Ø Ö Ð Ö Ó Ð Ð ÒÝ Ò Ý¹ Ñ Ö Øò Ö Ò Þ Ö Ö Ø ÖØ Ò Ð ÐÑ Þ Ø Ù º Ê Ø Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ò Ø Ö Ø ÞÒ ÐÙÒ º Ê Ø Ñ ØÖ ÜÖ Ð Þ Ð Ò Ò ÑÞ ÖÙ Ð Ñ Ö ¹ ÒÝ Ý Þ ÖÞ Ò Ð º ¾¼ Þ Þ Ð µ n 2 ¹ Þ Ô Ø ÓÐ n Þ A Ñ ØÖ Ü Ö Ò Ø Ð Ð º Þ Ax = b Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ ÓÖ Ò Ø Ö ÒÝØ ¹ ÒØ Þ ÐØ Ð Ó Ý A Ò Ñ ÒÙÐÐ Ð Ñ Ø Ò Ñ Ø ÖÓÐ Ù º Þ Ø Ö Ñ Þ Ö ØÖ ÒÝ Ð Ø Þ ØÐ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ù Ý Ò Ý ÓÐÝ Ò Ú ØÓÖ ÓÖÓ¹ Þ Ø Ð ÐÐ Ø Ø Ð ÒØ Ñ ÐÝ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÐ ÓÞ ÓÒÚ Ö Ðº Þ ÝÐ Ô Ø Ö Ñ Þ Ö ÐØ Ð ÒÓ Ð x (m+1) = S m x (m) + f, m = 0, 1,..., º½µ ½½

ÓÐ S m R n n,f R n º Þ Ø Ò ÓØØ Ø Ø Þ Ð x (0) Ú ØÓÖ Ð Ò ÙÐÚ Ø ÖÓÞÞÙ Ñ ÓÖÓÒ Ú Ø Þ x (m) ÖØ Ø Þ Ø Ú Ð ¹ ÐÚ Ö Ò Þ Ö Òع ÝÖ Ó Ò Ñ Þ Ð Ø Þ Ax = b Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓРغ ÐÑ Ö Ð Ö ÀÓ Ý Ò Ú Ð ÞÙ Ñ Þ x (0) Þ Ø Ú ØÓÖØ Å ÓÖ Ý Ù Þ Ø Ö Ø Ñ Ð ÐÐ Ö Ø Ö ÙÑ ÃÓÒÚ Ö Ò ¹ Þ Ø Ö À Ò ÓÚ Ø ÖØ Ñ ÓÖ Ø ÖØ Þ Ax = b Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ ÓÞ Ý ÓÖÐ Ø Ò Þ Ø Ú ØÓÖÒ ÒÙÐÐÚ ØÓÖØ Ú Ð ÞØ Ý x (1) = fº ýð¹ Ø Ð Ò Ò Ñ Ö Ñ Þ Ø Ú ØÓÖ Þ Ñ Ø Ø ÑÙÒ Ø Ø ØÒ Ñ ÒØ Ñ ÒÒÝ Ý Ø Ö Ð Ô Ö Ðºµ ÓÒØÓ ÐÑ Ð Ø Ö ÓÒÚ Ö¹ Ò º Þ Þ Ú Ò Ð Þ Ö Ø Ñ Ó ÐÓÑ Ø ÞØ Þ Ö º½µ Ø Ö Ø ÓÒ Ö Ù Ð Ö x (m+1) = Sx (m) + f, º¾µ ÓÐ º½µ ÔÐ Ø Ò Þ Ö ÔÐ S m Ñ ØÖ Ü Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Ñ Ò Ò Ø Ö Ð ¹ Ô Ò Ð S Ñ Ö º Ò º Þ X Ð Ò Ö Ø Ö Ø Ð Ò Ö ÒÓÖÑ ÐØ Ø ÖÒ Ò Ú ÞÞ Ð Ø Þ d : X R Ð Ô Þ ÝÒ Ú Þ ØØ ÒÓÖÑ d(x) 0 Ñ Ò Ò x X¹Ö d(x) = 0 x = 0 d(αx) = α d(x) d(x + y) d(x) + d(y)º Ò º Ò ¹Ø Öµ Ý X ÒÓÖÑ ÐØ Ø Ö Ø Ò ¹Ø ÖÒ Ò Ú Þ Ò Ø Ð Þ Þ Ñ Ò Ò X¹ Р٠ݹ ÓÖÓÞ ØÒ Ð Ø Þ Ø Ö ÖØ X¹ Òº ½¾

Ì Ý Ð Ó Ý Þ Ø Ö Þ X Ò ¹Ø Ö Ò ÓØØ Þ Þ f,x (0) X S Þ X¹ Ø Ø Ñ Ô Þ Ð º Ò º º¾µ Ø ÓÒ Ö Ù Ø Ö ÓØØ x (0) Þ Ø Ú ØÓÖ Ñ ÐÐ ØØ ÓÒÚ Ö Ð Þ {x (m) } ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Þ X Ò ¹Ø Ö ÒÓÖÑ Ò ÒÓÖÑ ÐØ Ø Ö Ò Ò d(x)µº À Þ Ø Ø Þ Ð x (0) ¹Ö Ø Ð Ð ÓÖ Þ Ø Ö Ð Ö Ø ÓÒÚ Ö Ò Ò Ò Ú ÞÞ º ÓÒÚ Ö Ò Ð ÐØ Ø Ð Ø Ú Ø Þ Ø Ø Ð º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò X Ò ¹Ø Ö S : X X Ð Ô Þ Ñ Ò Ò x 1,x 2 X Ø Ò Ð Ø Ø Þ Sx 1 Sx 2 q x 1 x 2 ÐØ Ø ÐÒ ÓÐ q [0, 1) Ö Þ Ø ØØ ÓÒ Ø Ò º ÓÖ Þ x (m+1) = Sx (m) +f Ø Ö Ú Ð Ð ÐÐ ØÓØØ { x (m)} ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò º Ø Ø Ð Ð Ú Þ Ø Þ ½ ¹ ÖÓ ÐÓÑ Ò Ñ ÒØ Þ ½º½ º Ì Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Þ Ö Ô Ðº Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ À x (m) x ÓÖ ÒÝ ÐÚ Ò x = Sx + f, Þ Þ x Þ (I S)x = f Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ º Þ ÖØ I S = A, ÓÖ x (m) Þ Ax = f Ð Ø Ñ ÓÐ ÓÞ Ø Öغ º½º Ø ÓÒ Ö Ù Ø Ö Þ ÝÐ Ô Ø Ö ÐØ Ð ÒÓ Ð B m+1 x (m+1) x (m) τ m+1 + Ax (m) = b, ½

ÓÐ B m+1,a R n n b R n ÓØØ B m+1 Ñ ØÖ Ü Ö ÙÐ Ö τ m+1 R Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖÓÞ Ø º Þ Ø Ö Ø ÓÒ Ö Ù B m+1 = B τ m+1 = τ Ú Ý B ØÐ Ò m ÖØ Ø Ð B x(m+1) x (m) τ + Ax (m) = b. º µ º µ Ø Ö Ð Ö Ø x (m+1) = (I B 1 Aτ)x (m) + τb 1 b Ð Òº ÓÖ S = I B 1 Aτ f = τb 1 b. Ý º µ Ø Ö ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ A = I S = B 1 Aτ f = τb 1 b Ñ ØØ B 1 Aτx = τb 1 b Ax = f Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ ÓÞ Ø Öغ ÓÒÚ Ö Ò Þ Ð ÐØ Ø Ð º Ì Ø Ðº Ø ÓÒ Ö Ù Ø Ö Ð Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò ρ(s) = max λ(s) < 1 Þ Þ ρ(i B 1 Aτ) < 1º ρ(s) Þ Ð Þ S Ñ ØÖ Ü Ô ØÖ Ð Ù Ö Ø Ð Ð º Þ Ø Ø Ð Ý ÓÖÐ Ø Þ ÑÔÓÒØ Ð ÓÒØÓ Þ Ò Ú ÞÓÒÝÐ ÒÒÝ Ò ÐÐ Ò ¹ Ö Þ Ø ÐØ Ø ÐØ ÓÒÚ Ö Ò Ö º º¾µ Ø ÓÒ Ö Ù Ø Ö Ò Þ Ö ÔÐ S Ñ ØÖ Ü Þ f Ú ØÓÖ Ñ Ö Ý ÐØ Ð ÒÓ Ð Ø Ú Ø Þ ½

A = K Q ÓÐ K Ö ÙÐ Ö Ñ ØÖ Üº ÓÖ b = Ax = Kx Qx, Kx = Qx + b Ý ÐÐ ØÚ Kx (m+1) = Qx (m) + b x (m+1) = Sx (m) + f, S := K 1 Q, f := K 1 b º ýðð Ø º À S < 1 Þ Ð ÐØ Ø Ð Þ º Ø Ø Ð Ò Þ Ö ÔÐ ÐÐ Ø ¹ Ò µ ÓÖ x (m+1) = Sx (m) + f Ø Ö ÓÒÚ Ö Ò º Þ Ò ¹ ÜÔÓÒØ Ø Ø Ð Ú Ø ÞÑ ÒÝ Þ Ò x = ϕ(x) Ð Þ Ý ÒÐ Ø ϕ : R n R n ϕ(x) = Sx + f ÓÒØÖ ϕ(x) ϕ(y) = S(x) S(y) = S(x y) S x y. Þ Ø Ö Ø K(x (m+1) x (m) )+Ax (m) = b Ð Ò Ð Ö Ø Ù K¹Ø ÔÖ ÓÒ¹ ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÜÒ Ò Ú ÞÞ º K 1 Ñ ØÖ ÜÓØ ÐØ Ð Ò Ò Ñ Þ Ñ Ø Ù ÐÝ ØØ Ú Þ K LU¹ Ú Ý LDU¹ Ð ÓÒØ Øº ÍØ Ø Ò L Þ A Ñ ØÖ Ü Ð U Ð ÖÓÑ Þ Ö Þ ÓÒ Ð Ò Ð Ð D := diag(a)º K = D Â Ó ¹ Ø Ö Ø K = L+D Ø Ô Ù ¹Ë Ð Ø Ö Ø º º½º½º Â Ó ¹ Ø Ö Ù ¹Ë Ð Ø Ö ÐØ Þ Ó Ý A ÒÚ ÖØ Ð Ø deta 0µ Ð Ø Þ P ÝÒ Ú Þ ØØ Ô ÖÑÙØ Ð Ñ ØÖ Ü Ó Ý PAx = Pbº Ä Ý Ò PA = à Pb = bº ÓÖ Ð Ö Ø Ó Ý Ã ÓÒ Ð Ò Ò Þ Ö Ô Ð Ò ÒÙÐÐ Ð Ñ Ú Ý a ii 0 Ñ Ò Ò i = 1,...,n Ø Òº a i1 x 1 +a i2 x 2 +...+a ii 1 x i 1 +a ii x i +a ii+1 x i+1 +...+a in x n = b i i = 1,...,n º µ ½

ÓÖ a ii 0 Ñ ØØ º µ Ý ÒÐ Ø Ð x i Þ Ø ( ) x i = 1 i 1 a ij x j a ij x j + b i. a ii j=1 Ð Ô Ø Ø Ý Ø Ö ÓÐ x (m) i Ð Þ Ò Ú Ø Ö ( x (m+1) i = 1 i 1 a ij x (m) j a ii j=1 j=i+1 Þ i¹ Ñ Ö ØÐ Ò m¹ Þ Ð Ø º j=i+1 Þ Â Ó ¹ Ø Ö ÓÓÖ Ò Ø Ð Þ x (0) i a ij x (m) j + b i ) i = 1,...,n. Þ Ú ØÓÖ Ø Ø Þ Ð Ö ¹ Þ Ø Øغ Ñ ØÖ ÜÓ Ð Ñ Ø ÖÓÞ ÓÞ A = L + D + U Ð ÓÒØ Ö Ð Þ Þ º Ax = b Ð Ö Ø (L + D + U)x = b Ð Ò ÒÒ Ò Dx = Lx Ux + b¹ø Ô Ù Ñ Ú Ð D ÒÚ ÖØ Ð Ø Þ Ò A ÓÒ Ð Ð Ðе Þ ÖØ x Þ Ø x = D 1 Lx D 1 Ux + D 1 b. ÓÖ Â Ó ¹ Ø Ö Ñ ØÖ ÜÓ Ð x (m+1) = D 1 Lx (m) D 1 Ux (m) + D 1 b, Dx (m+1) + (L + U)x (m) = b, D(x (m+1) x (m) ) + Dx (m) + (L + U)x (m) = b, D(x (m+1) x (m) ) + Ax (m) = b. Ù ¹Ë Ð Ø Ö Ñ ØÖ ÜÓ Ð Ñ ÐÝ ØÖ Ò ÞÚ Þ Ø Ö Ý Ð Ö Ø (D + L)x (m+1) + Ux (m) = b, (D + L)(x (m+1) x (m) ) + (D + L + U)x (m) = b. (D + L)(x (m+1) x (m) ) + Ax (m) = b ½

Ð Òº Ä Ø Ø Ó Ý Ø Ñ Þ Ö º µ Ø ÓÒ Ö Ù Ø Ö Ô Ð Ø B m+1 = D, τ m+1 = 1 Ú Ð ÞØ Ð Â Ó B m+1 = L + D τ = 1¹Ö Ô Ù ¹Ë Ð Ø Ö Ø Ô Ù º ÆÙÑ Ö Ù Ô Ð Å Ú Þ Ð Ù Ó Ý Â Ó Ú Ý Ù ¹Ë Ð Ø Ö Þ Ð Ø¹ ÝÓÖ ¹ Ò Þ Ax = b Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ñ ÓÐ ÓÞº Ä Ý Ò 5 2 3 1 7 1 3 1 1 A := 2 1 6 2, b := 4 9 ÓÖ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÐ 0 1 2 3 1 1 x := 1 Þ Ð Ø Ö Ð Ô ÙØ Ò Ö Ñ ÒÝ 1.400 x (1) jacobi = 1.333 1.500, 2.000 1 x(1) gauss = 6 1.400 0.866 1.177 0.925 Ä Ø Ø Ó Ý Ù ¹Ë Ð Ø Ö Ý Ð Ô ÙØ Ò Ó Ò Þ Ð Ø ÔÓÒØÓ Ñ ÓРغ Ò Ý Ø Ö Ð Ô Ø Ø ÒØÚ 0.846 1.009 x (4) jacobi = 0.876 0.825, 1.025 x(4) gauss = 1.016 0.808 0.980 Å Â Ó Ñ Þ Ö Ø Ò Ø Ø Þ ÒÝ ÐØ Ö Ø Ô ÞØ Ð Ø Ù ¹Ë Ð Ø Ö Ò Ð Þ ÐØ Ö Þ Þ Ó Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ö ¹ Ð Ô ÙØ Ò ÞÖ ÔÓÒØÓ Ð Þ Ð Ø Ñ Ñ ÓÐ Ø Ñ Â Ó Ñ Þ Ö Ñ ÓÖ Þ Þ Ó Ð ÐØ Öº Ì Ø Ù ¹Ë Ð Ø Ö Ò Þ Ø Ò ÝÓÖ Ò ÓÒÚ Ö Ð Þ Ax = b Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ ÓÞº ½

º½º¾º ËÇÊ¹Ñ Þ Ö Ù ¹Ë Ð Ñ Þ Ö (D + L)(x (m+1) x (m) ) + Ax (m) = b Ð ÓÖ ØÑÙ Ý ω Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Þ Ø Ú Ð Ð Ø Ð ÒÓ Ø Ø (D + ωl) x(m+1) x (m) ω + Ax (m) = b. º µ º µ Ø Ö Ø ËÇÊ¹Ñ Þ ÖÒ Ò Ú ÞÞ ω = 1 Ø ÔÓÒØ Ù ¹Ë Ð Ñ Þ ÖØ µº Ñ ØÖ ÜÓ ÓÓÖ Ò Ø Ð Ñ (D + ωl)x (m+1) (D + ωl)x (m) + ω(l + D + U)x (m) = ωb, (D + ωl)x (m+1) (Dx (m) ωdx (m) ) + ωux (m) = ωb, (D + ωl)x (m+1) = [(1 ω)d ωu] x (m) + ωb. (D + ωl) Ñ ØÖ Ü ÒÚ ÖØ Ð Ø Ñ ÖØ Ð ÖÓÑ Þ Ñ ØÖ Ü ÓÒ ¹ Ð Ò Ò Ñ ÒÙÐÐ Ð Ñ ÐÐÒ º Þ ÖØ x (m+1) Þ Ø (E + ωd 1 L)x (m+1) = [ (1 ω)e ωd 1 U ] x (m) + ωd 1 b, Þ Þ x (m+1) i = (1 ω)x (m) i + ω i 1 ( a ii j=1 a ij x (m+1) j j=i+1 a ij x (m) j + b i ), i = 1,...,n m = 0, 1,.... ÁØØ Ö Ù ¹Ë Ð Ø Ö Ò Ð Þ Ú Ò a ii 0 Ø Ð Ð Ö Ø Ø¹ Þ Ð ¹Ö º º½º º Þ Ý Þ Öò Ø Ö Þ Ø Ö Ý Þ Öò x (0) ÓØØ Ax = b Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ Ø x (m+1) x (m) τ + Ax (m) = b m = 0, 1... ½

Ð Ò Ö º Þ Ð Ö Ø Ö Ð Ü ÐØ Â Ó Ñ Þ ÖÒ Ú Ñ ÖØ A = D 1 A b = D 1 b ÐÝ ØØ Ø Ð τ = 1 Ø Ò ÔÔ Ò Â Ó Ø Ö Ø Ô Ù º ÓÒÚ Ö Ò Ò Ú Ð Ø τ ÓÔØ Ñ Ð Ñ Ú Ð ÞØ Ú Ð Þ A Ñ ØÖ Ü Ô Ð Ð º º Ì Ø Ð Þ Ý Þ Öò Ø Ö ÓÔØ Ñ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö µº Ä Ý Ò 0 < a λ(a) b A Ñ ØÖ Ü Þ ÑÑ ØÖ Ù Þ ÓÖ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ò Øº ÓÖ Þ Ø Ö Ò Ú Ò Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØØ ÓÔØ Ñ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ú Ð Þ Ý Þ Öò Ø Ö Ð Ø Ð ÝÓÖ Ò ÓÒÚ Ö Ð ÔÓÒØÓ Ñ ÓÐ ÓÞ Ñ ÓÖ τ = 2 a + b. º¾º Ø ÓÒ Ö Ù Ø Ö ÓÒÚ Ö Ò Þ ÑÑ ØÖ Ù Þ ÓÖ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ò Ø ÞÔ µ Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ò Ò º A R n n Þ ÓÖ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ò Ø ÞÔ µ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò δ > 0 Ó Ý (Ax,x) δ(x,x) Ø Ð Ð Ñ Ò Ò x R n ¹Ö x 0µº Å ÑÙØ Ø Ø Ó Ý Ö ÙÐ Ö Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ò ÔÓÞ Ø Ú Ò Ø ÞÔ Ó ÐÑ Ý Ò º À A ÞÔ Ñ ØÖ Ü ÓÖ A > 0 Ð Ð Ø ÞÒ Ð Ù º B x(m+1) x (m) + Ax (m) = b º µ τ  РРx Þ Ax = b Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓРغ Þ e m = x (m) x Ú ØÓÖ ÓÖÓÞ ØÓØ Ú ØÓÖÒ Ú Ù º º µ Ø Ö ÓÒÚ Ö Ð Þ Ax = b Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ ÓÞ lim e m = 0. m º µ º ýðð Ø º Ì Ý Ð Ó Ý A Þ ÑÑ ØÖ Ù ÞÔ Ñ ØÖ Üº À B 0.5τA > 0, º µ ½

ÓÖ º µ Ø Ö ÓÒÚ Ö Ò º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò J m := (Ae m,e m ) ÓÖ J m 0 Ñ ÖØ A ÞÔ Ñ ØÖ Üº º µ¹ Ý ÒÐ Ø Ð ÐÐ B e m+1 e m τ + Ae m = 0 m = 1, 2,... º µ B x(m+1) x (m) τ + Ax (m) = b º½¼µ B x x τ º½¼µ º½½µ Ð Ò Òغ Ð Ú Ø Þ Ó Ý + Ax = b º½½µ B m+1 = (B τa)e m, e m+1 = (E τb 1 A)e m, Ae m+1 = (A τab 1 A)e m, (Ae m+1,e m+1 ) = ( (A τab 1 A)e m, (E τb 1 A)e m ), (Ae m+1,e m+1 ) = (Ae m,e m ) τ(ab 1 Ae m,e m ) τ(ae m,b 1 Ae m )+τ 2 (AB 1 Ae m,b 1 Ae m ). Å Ú Ð A Ñ ØÖ Ü Þ ÑÑ ØÖ Ù Þ ÖØ (AB 1 Ae m,e m ) = (B 1 Ae m,ae m ) = (Ae m,b 1 Ae m ) J m+1 = J m 2τ(Ae m,b 1 Ae m ) + τ 2 (AB 1 Ae m,b 1 Ae m ) y m := B 1 Ae m e m := A 1 By m J m+1 = J m 2τ(Ae m,y m )+τ 2 (Ay m,y m ) = J m 2τ(AA 1 By m,y m )+τ 2 (Ay m,y m ) J m+1 = J m 2τ(By m,y m ) + τ 2 (Ay m,y m ) = J m 2τ ((B 0.5τA)y m,y m ). B 0.5τA > 0 Ý Ð Ö ÞÓÖÞ Ø ((B 0.5τA)y m,y m ) 0º ÓÖ J m+1 J m (J m ) ÓÖÓÞ Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò J m 0 Þ ÖØ Ð Ø Þ Ø Ö ÖØ lim J m = J. m ¾¼

J m+1 = J m 2τ ((B 0.5τA)y m,y m ) Þ Ò ØÙ Ù Ó Ý J m+1 J m Ý Ö ÒØ Ø ÖØ J¹ Þº Þ ÖØ lim ((B 0.5τA)y m,y m ) = 0. m Å Ö ÞØ ÞÖ Ó Ø Ø ÐØ Ð ÐÑ ÞÚ Þ Ò Ú Ø Þ Ð Þ Ö lim y m 2 = 0, m ((B 0.5τA),y m ) δ y m 2 0. Ð ÐÑ ÞÚ Ö Ò Ö¹ ÐÚ Ø Þ e m = A 1 By m Ð ÑÖ ÖÚ ÒÝ 0 e m A 1 B y m Ð ÓÐ y m ¹Ö Ð ØÙ Ù Ó Ý Ø ÖØ ÒÙÐÐ ÓÞº Ú ØÓÖÓ ÓÖÓÞ Ø ¹ Ò Ø Ö ÖØ lim e m = 0, m Ø Ø º µ Ø Ö Ò Þ Ö ÒØ ÓÒÚ Ö Ð Þ Ax = b Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ ÓÞº ¾½

º¾º½º Â Ó ¹ Ø Ö ÓÒÚ Ö Ò º ýðð Ø º Ä Ý Ò A R n n Ñ ØÖ Ü Þ ÑÑ ØÖ Ù Þ ÓÖ Ò ÓÒ Ð Ò ÓÑ Ò Ò Þ Þ a ii > a ij i = 1,...,n. º½¾µ j=1,j i ÓÖ Â Ó ¹Ñ Þ Ö ÓÒÚ Ö Ò º ÞÓÒÝ Ø º Ð Ø Ò º µ Ð Ô Ò D 0.5A > 0 Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ÖØ Â Ó ¹ Ø Ö Ø Ò B = D τ = 1º Å Ú Ð D 0.5A > 0 2D > A ÐØ Ø ÐØ Ð ÒØ Þ ÖØ (2Dx,x) (Ax,x) ÐÐ Ø Ð Ð Ò Ñ Ò Ò x¹ö º ØÓÚ ÓÞ Þ Ú Ò Ú Ø Þ Ð Ö a ij x i x j a ij x i x j a ij 1 2 ( x i 2 + x j 2 ) = a ij 1 2 (x2 i + x 2 j). ÓÖ (Ax,x) = a ij x i x j a ij 1 2 (x2 i +x 2 j) = 1 a ij x 2 i + 1 a ij x 2 j = 2 2 i,j=1 i,j=1 = 1 2 a ij x 2 i + 1 2 i,j=1 Þ A Ñ ØÖ Ü Þ ÑÑ ØÖ Ñ ØØ (a ij = a ji ) = 1 2 = a ij x 2 i + 1 2 i,j=1 i,j=1 a ji x 2 i. i,j=1 a ij x 2 i = a ij x 2 i = i,j=1 ( ) a ij x 2 i = i=1 j=1 = = x 2 i i=1 ( x 2 i i=1 a ii + ( a ii + ¾¾ x 2 i i=1 j=1,j i j=1,j i i,j=1 ( ) a ij = j=1 ) a ij = ) a ij. i,j=1

Þ º½¾µ Þ Ö ÒØ x 2 i i=1 ( a ii + ) a ij j=1,j i x 2 i(a ii + a ii ) = i=1 = 2 a ii x 2 i = 2(Dx,x) = (2Dx,x) i=1 Ý 2D > A ÓÐ (Dx,x) = i a iix 2 i º º¾º¾º ËÇÊ¹Ñ Þ Ö ÓÒÚ Ö Ò ½¼º Ì Ø Ð Òµº Ä Ý Ò A Þ ÑÑ ØÖ Ù ÞÔ Ñ ØÖ Üº ÓÖ ω (0, 2) Ø Ò ËÇÊ¹Ñ Þ Ö ÓÒÚ Ö Ò º ÞÓÒÝ Ø º B = D + ωl, τ = ω, A = L + D + U Å Ú Ð A Þ ÑÑ ØÖ Ù U = L T º ÓÖ B 0.5τA = (D + ωl) 0.5ωA > 0 ÞÓРк (Ax,x) = ((L + D + U)x,x) = (Lx,x) + (Dx,x) + (Ux,x) = = (Lx,x) + (Dx,x) + (x,lx) = 2(Lx,x) + (Dx,x) ((B 0.5τA)x,x) = ((D + ωl)x,x) 0.5ω(Ax,x) = = (Dx,x) + ω(lx,x) 0.5ω (2(Lx,x) + (Dx,x)) = = (Dx,x) + ω(lx,x) ω(lx,x) 0.5ω(Dx,x) = (1 0.5ω)(Dx,x) > 0. Í Ý Ò ω (0, 2) ÓÖ 1 0.5ω > 0 Ý Þ Ð Þ Ó Ý B 0.5τA > 0º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Ù ¹Ë й Ø Ö ÞÔ Ñ ØÖ ÜÓ Ö ω = 1 Ú Ð ÞØ Ø Ò ÓÒÚ Ö Ò º ¾

º¾º º Þ Ý Þ Öò Ø Ö ÓÒÚ Ö Ò Þ Ý Þ Öò Ø Ö Ð Ò Ö Ø Ðº x (m+1) x (m) τ + Ax (m) = b º½ µ ½½º ýðð Ø º À Þ A Ñ ØÖ Ü ÞÔ Ñ ØÖ Ü ÓÖ τ < 2 λ max ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð Ø Ò º½ µ Ø Ö ÓÒÚ Ö Ò º ÞÓÒÝ Ø º º µ Þ Þ Ö ÒØ B 0.5τA > 0 ÐØ Ø Ð ÐÐ Ò ÖÞ Ö Ð Þ Þ ¹ º ÅÓ Ø B = E Ø Ø Ú Ð Ò E 0.5τA > 0¹Ø ÐÐ Ð ØÒ º ÐØ Ø Ð Ó Ý Þ E 0.5τA Ñ ØÖ Ü Ø ÖØ Ò ÝÓ Ð Ý Ò ÒÙÐÐ ¹ Ò Ðº Ä Ý Ò A Ñ ØÖ Ü Ø ÖØ Ú Ø Þ 0 < λ 1 (A) λ 2 (A)... λ n (A). Å Ò ÔÓÞ Ø Ú Ñ ÖØ A Þ ÓÖ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ò Ø Ñ ØÖ Üº  РРG Þ E 0.5τA Ñ ØÖ ÜÓØ ÓÖ G Ñ ØÖ Ü Ø ÖØ λ i (G) = 1 0.5τλ i (A) i = 1,...,n. Þ Ð Ö ÑòÚ Ð Ø ØÚ Ø Ñ ÖØ ÒØ Ñ ØÖ ÜÓ ØÚ ØÓÖ Ñ Ý Þ¹ Ò º ÓÖ Ð ÞÓÐÒ Ó Ý min λ i (G) > 0, Þ Þ min λ i (G) = 1 0.5 maxλ i (A) = 1 0.5λ max, º½ µ ÓÐ λ max = λ n (A)º º½ µ Þ Ø ØÖ Ò ÞÚ Ô Ù 0.5τλ max < 1, Ú Ý Ý Þ ÐÐ Ø Ø Ð ØØÙ º τ < 2 λ max. ¾

½¾º ýðð Ø º τ < 2 λ max ÐØ Ø Ð Þ ÐØ Ø Ð º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò Aµ n = λ n µ n Ú Ð ÞÙ Þ Ø Ú ØÓÖÒ Þ x (0) := x µ n Ú ØÓÖغ Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý ÓÖ x (m+1) x (m) τ + Ax (m) = b º½ µ Ø Ö Ú Ö Ò º ÃÓÖ Ò Ð ØØÙ Ó Ý e m = x x (m) Ö e m+1 e m τ + Ae m = 0. º½ µ Þ x (0) Ñ Ú Ð ÞØ Ñ ØØ e 0 = x x (0) = µ n º ÓÖ º½ µ ØÖ Ò Þ Ú Ð e m = (E τa)e m 1 = (E τa)(e τa)e m 2 = (E τa) 2 e m 2 = (E τa) m e 0 e m = (E τa) m µ n. º½ µ Ø Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò º µ ÐØ Ø ÐÒ Ð Ø Ø Þº (E τa)µ n = µ n τaµ n = µ n τλ n µ n = (1 τλ n )µ n (E τa) 2 µ n = (E τa)(e τa)µ n = (E τa) ((1 τλ n )µ n ) = = (1 τλ n )(E τa)µ n = (1 τλ n )(1 τλ n )µ n = (1 τλ n ) 2 µ n ÓÖ Ð Ø Ø Ó Ý (E τa) m µ n = (1 τλ n ) m µ n e m = (1 τλ n ) m µ n. Ì Ø lim m e m = 0 1 τλ n < 1º Å Ú Ð λ n > 0 Þ ÖØ 1 τλ n > 1 ÐØ Ø Ð τ 2 λ max Ø Ò Ò Ñ Ø Ð Ð Ý τ < 2 λ max Ú Ð Ò Þ ÐØ Ø Ð ÓÒÚ Ö Ò Ò º ¾

º º Ú¹ Ø Ö Ú Ø Ö ÓÐÝ Ò Ò Ñ Ø ÓÒ Ö Ù Ø Ö Ð Ö Ñ ÐÝ Þ Ý Þ Öò Ø Ö Ú Ð m Ð Ô Ø Ø Ú Ö Ñ Ò Ò Ð Ô Ò Ñ Ø Ö Ô Ö Ñ Ø ÖØ ÞÒ Ð x (m+1) x (m) + Ax (m) = b. º½ µ τ m º½ µ Ø Ö Ø Þ Ö Ð Þ ÑÑ ØÖ Ù Þ ÓÖ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ò Ø Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ò Ð ÐÑ ÞÞÙ º º º½º Ú ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ú ÔÓÐ ÒÓÑ Ý Ú Ð x 1,x 2,...,x m Ð ÔÔÓÒØÓ Ø Ø ÖÓÞÙÒ Ñ Ñ ÐÝ Ø ÒØ ÖÔÓÐ ÐÚ L m (x) ÒØ ÖÔÓÐ ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ Ü Ñ Ð Ð ¹ Ø Ð º Þ f(x) Ú ÒÝØ Þ Ö ØÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ú Ð Þ Ð Ø Ò ÓÐ L m (x) Ä Ö Ò ÒØ ÖÔÓÐ ÔÓÐ ÒÓѺ L m (x i ) = f(x i ), [ ] min max f(x) L m (x) [ 1,1], º½ µ ÇÐÝ Ò Ñ¹ Ó ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ø Ö Ò Ñ ÐÝ Ò ÒÙÐÐ Ø Ð Ú Ð ÐØ Ö Ñ Ò Ñ Ð º Å Ú Þ Ð Ù Ó Ý Ð Ø Þ ¹ ÐÝ Ò ÔÓÐ ÒÓѺ  РРR m (x) Ú Ø Þ ÔÓÐ ÒÓÑÓØ À α := arccosx ÓÖ R m (x) := cos(m arccos x) cos((m + 1)α) + cos((m 1)α) = = (cos(mα) cos α sin(mα) sin α) + (cos(mα) cos α + sin(mα) sin α) = = 2 cos(mα) cos α. Î Ý Þ R m+1 (x)+r m 1 (x) = 2xR m (x) Þ Ð Ô Ò R m (x) Ú Ð Ò ÔÓÐ ÒÓѺ ¾

Å Ú Ð R 0 (x) = 1, R 1 (x) = x Þ ÖØ R 2 (x) = 2x 2 1,... R m (x) ÔÓÐ ÒÓÑ Ò x m Ý ØØ Ø 2 m 1 Ð Þº Ò º ÓÖ T m (x) = R m(x) 2 m 1 = 1 2 m 1 cos(m arccos x) = 21 m cos(m arccos x) ÔÓÐ ÒÓÑÓØ Ú ÔÓÐ ÒÓÑÒ Ò Ú ÞÞ º Ù Ñ Ú ÔÓÐ ÒÓÑ Ý Ø [ 1, 1] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ T m (x) = 0 1 cos(m arccos x) = 0 2m 1 m arccos x = 2k + 1 π 2 ( ) 2k + 1 x k = cos 2m π k = 0, 1,...,m 1. º½ µ Ú Ø Þ ÐÐ Ø ÞÓÒÝ Ø ÓÖ Ò Ð Ø Ù Ó Ý Ú ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ¹ Ø Ø Þ º½ µ ÔÐ Ø Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØØ ÐØ Ø ÐÒ º ½ º ýðð Ø º Ä Ý Ò Q P m Ø Ø Þ Ð ÔÓÐ ÒÓѺ ÓÖ max Q m(x) max T m(x) = 1 [ 1,1] [ 1,1] 2m 1, º¾¼µ Þ Þ T m (x) Ø Ö Ð Ð Ú ÒÙÐÐ Ø Ðº ÞÓÒÝ Ø º ÁÒ Ö Ø Ø Ý Ð Ó Ý max [ 1,1] Q m (x) < max T m (x) = 1 [ 1,1] 2 m 1 Ì ÒØ H m (x) = T m (x) Q m (x) ÔÓÐ ÒÓÑÓغ Ø Ø Ð Ð m 1¹ Ó ÔÓÐ ÒÓѺ ÓÖ H m (x) P m 1 sgnh m ( `x k ) = sgn(t m ( `x k ) Q m ( `x k )) = sgn(( 1) k 1 2 m 1 Q m( `x k )) = sgn( 1) k H m (x) ÔÓÐ ÒÓÑ [ 1, 1] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ m¹ Þ Ö Ú ÐØ Ð Ð Ø Ñ ÔÔ Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý m Ö Ý Ú Òº Þ ÐÐ ÒØÑÓÒ Þ Ò H m (x) P m 1 º ¾

Ì Ý Ð Ó Ý ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ñ [ 1, 1]¹ Ò Ò Ñ Ý Ø Ø Þ Ð [a,b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ú Ò ÖØ ÐÑ ÞÚ º Ì ÒØ Ú Ø Þ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÐØ Ø ( ) 2 t = x b + a b a b a. ÓÖ T m (t) ÔÓÐ ÒÓÑ Þ [a,b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ [ 1, 1]¹Ö Ô Þ Ð º T m (t) = 1 ( ( )) (b a) m 2x (b + a) cos m arccos = 2 m 1 2 m b a ( ( )) (b a)m 2x (b + a) = cos m arccos 2 2m 1 b a Ú ÔÓÐ ÒÓÑ Ý ÓÐ T m (t) [ 1, 1]¹ Ò ÖØ ÐÑ Þ ØØ ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ø Ð Ð Ø Ø x k = a + b 2 + b a 2 ( ) b a x = t + a + b 2 2 ( ) 2k + 1 cos 2m π k = 0,...,m 1. ÓÖ Ú ÔÓÐ ÒÓÑ ÒÙÐÐ ÐÝ Ñ Ý ÞÒ Þ ÒØ ÖÔÓÐ ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ Ö ÔÓÒØ Ò ÐÝ Ú Ðº º º¾º Ú¹ Ø Ö Ô Ö Ñ Ø Ö º½ µ Ø Ö Ý ÒÐ Ø Ö Ñ Ø Ú Ø Þ Ø Ö ÔÐ Ø e 1 = (I τ 1 A)e 0 º e m = (I τ m A)e m 1 e m = (I τ m A)(I τ m 1 A)...(I τ 1 A)e 0 = p m (A)e 0. Ä Ý Ò p m (λ) := m i=1 (1 τ iλ)º p m (λ) Ø Ð Ø p(0) = 1 ÒÓÖÑ Ð Þ ÐØ Ø Ðغ Ì Ý Ð Ó Ý Ñ Ò Ò λ = λ(a) Ø ÖØ Ú Ð ÐÐ ØÚ Ñ ÖØ Ø ÖØ Ø Ö a λ b. ¾

Î Ý ÞÖ Ó Ý p m (λ) p m (A) Ñ ØÖ Ü Ø ÖØ º ÓÖ p m (A) Ñ ØÖ Ü Ô ØÖ Ð Ù Ö Ð ρ(p m (A)) = max λ=λ(a) p m(λ) max a λ b p m(λ). p m (λ) ÔÓÐ ÒÓÑ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØØ m Ö Ý p m (0) = 1 ÒÓÖÑ Ð Þ ÐØ Ø Ð ÐØ Ðº ÐØ Ø ÐØ Ø Ð Ø º Ñ Þ Ö ÓÒÚ Ö Ò º µ Þ ÖØ Þ Þ m¹ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Þ Ð Ö ÞØ Ñ ÐÝÖ ( ) max p m(λ), º¾½µ a λ b min p m P m ÓÐ P m Ð Ð m¹ Ó ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ó ÞØ ÐÝ º º¾½µ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð Ø τ i Ñ Ð Ð Ñ Ú Ð ÞØ Ú Ð ØÙ Ù Ð ÖÒ º º¾½µ Ð Ø Ñ ÓÐ R m (x) ÔÓÐ ÒÓÑ Ø Ú Ð Ø ÖØ Ò ÓÐ ÓÖ R m Ö ÙÑ ÒØÙÑ Ò ( b+a 2λ ) p m (λ) = R m b+a ( R b+a ), º¾¾µ m b a R m (x) = (x + x 2 1) m (x x 2 1) m. º¾ µ 2 x = b + a 2λ b a Ð Ô Þ Þ [a,b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ [ 1, 1]¹Ö Ô Þ Ð º º¾ µ ÔÐ Ø Ö ÞÐ Ø Ð Ú Þ Ø ÖÓÑ Ø Ö ÙÖÞ Ý ÐØ Ð ÒÓ Ð p m+1 = (α m x β m )p m γ m p m 1. ÅÓ Ø Ð Ý Ò α m = α,β m = β,γ m = γ Ñ Ò Ò m¹ö º Ö ÙÖÞ Ñ ÓÐ Ø p m = cρ m Ð Ò Þ Ö ØÒ Ò Ñ ÔÒ º Ý ÒÐ Ø ρ 2 (αx β)ρ + γ = 0. ÓÖ ρ¹ö Ð Ö Ø Ñ Ó Ó ¾

ÁÒÒ Ò Ý ρ 1,2 = 1 2 ( αx β ± ) (αx β) 2 4γ. º¾ µ ýðø Ð Ò α 0 ρ 1 ρ 2 Î Ø ¹ ÓÖÑÙÐ Ð Ô Ò ρ 2 = γ ρ 1 º Ñ Ó Ó Ö ÙÖÞ Ñ ÓÐ Ñ Ø c 1 ρ m 1 c 2ρ m 2 Ð Ò Ö ÓÑ Ò ÒØ p m = c 1 ρ m 1 + c 2 ρ m 2. º¾ µ Þ m = 0, m = 1 Ø Ø Ø ÒØÚ ÁÒÒ Ò Þ Ø c 1,c 2 ÓÒ Ø Ò Ó p 0 = c 1 + c 2, p 1 = c 1 ρ 1 + c 2 ρ 2. c 1 = p 0γ p 1 ρ 1 γ ρ 2 1 Å ÑÙØ ØØÙ Ó Ý R m (x) ÔÓÐ ÒÓÑÖ Ø Ð Ð, c 2 = p 1ρ 1 ρ 2 1p o. γ ρ 2 1 R 0 (x) = 1, R 1 (x) = x, R 2 (x) = 2x 2,... Ñ ÐÐ ØØ R m+1 (x) = 2xR m (x) R m 1 (x) (m 1)º Å Ú Ð R m (x) Ý ØØ Ø 2 m 1 º¾ µ Ý ÒÐ Ø Þ Ö ÒØ ρ 1 = x + x 2 1, ρ 2 = 1 ρ 1. Þ Ð Ô Ò ÓÒ Ø Ò Ó c 1 = 1 x(x + x 2 1) 1 x(x + x 2 1) = 1 x(x + x2 1) 2 2(1 x 2 x x 2 1) = 1 2. ÓÖ R 0 (x) = c 1 + c 2 = 1, c 2 = 1 2. º¾ µ Þ Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð Ö ØØ Þ R m (x) = (x + x 2 1) m (x x 2 1) m. 2 ¼

Þ ÓÔØ Ñ Ð τ m Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Ø ÖÓÞ ÓÞ Þ Ú Ò p m (λ) ÔÓ¹ Ð ÒÓÑ Ý ÐÝ Ò Ñ Ö º Ê Þ Ø ØØ m Ø Ò º½ µ Ð Ô Ò R m (x) ÔÓÐ ÒÓÑ Ý ( ) 2k + 1 x k = cos 2m π k = 0, 1,...,m 1. ÁÒÒ Ò Ñ Ö ÒÒÝ Ò Ñ Ô Ù Ñ Ð Ð λ i ¹ Ø Ý ÒÐ Ø Ø ÐÐ Ñ ÓÐ ÒÙÒ º x i = b + a 2λ i b a Ã Þ Ø ÞÓ λ i Þ ÑÓ Ö Þ Ø ØØ m Ñ ÐÐ Øص Ñ ÐÝ Ñ ÐÐ ØØ p m (λ) ÒÙÐÐ ÖØ Ø Ú Þ Ðº Ð ÐÐ ØÓØØÙ Þ ÞÓ¹ ÒÓ Ò ÒÙÐÐ Ú ÒÝØ Ð Ó Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð p m (λ) ÔÓÐ ÒÓÑÓغ ØÓÚ ¹ Ò Ñ ÞÓÐÒ ÐÐ Ó Ý p m (λ) = m i=1 (1 τ iλ) ÔÓÐ ÒÓÑ ÞÓÒÓ º¾¾µ ÔÓÐ ÒÓÑÑ Ðº Þ Ð Ñ Ú Ø ÐÒ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ Ý Ò Ý ¹ Ø ÐÐ ØÚ ÔÓÐ ÒÓÑÓ ÒÓÖÑ ÐØ Øº Å Ú Ð p m (λ) ÔÓÐ ÒÓÑ Ý Ñ Ö Ñ ÖØ λ i ¹Ú Ð Ý ÒÐ m i=1 (1 τ iλ) ÔÓÐ ÒÓÑ Ô Ð Ò Ö Ø ÒÝ Þ ÞÓÖÞ Ø ÒØ ÓØØ Ý τ i = 1 λ i Ú Ð ÞØ Ø Ò m i=1 (1 λ λ i ) ÔÓÐ ÒÓÑÓØ Ô Ù Ñ ÐÝÒ Ý Ý Ò p m (λ) ÔÓÐ ÒÓÑÑ Ðº Ø ÔÓÐ ÒÓÑ ÖØ Ñ Ý Þ λ = 0 ÐÝ Ò º Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý m i=1 (1 λ λ i ) Ø Ð Ò Ý p m (λ) ÔÓÐ ÒÓÑÑ Ð Ý λ = λ i ÔÓÒØÓ Ò Ú ÒÒ º p m (λ) = m i=1 (1 τ iλ) ÞÓÖÞ Ø Ø ÒÝ Þ Ø ÒÙÐÐ Ú Ð Ý ÒÐ Ú Ø Ú τ i Ô Ö ¹ Ñ Ø Ö Ý Þ Öò Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ø τ i = 2 b + a (b a)x k = 2 b + a (b a) cos ( 2k+1 2i π ) i = 1,...,m. Þ Ú¹ Ø Ö ÓÔØ Ñ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö τ i = 1 λ i Ø Òº ½

º º ÁØ Ö Ð Ö Ó Å¹Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ò Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ø Ö Ø Ú Ñ ÓÐ Ò Ð ÓÒØÓ Þ Ö Ô Ø Ô Þ Å¹Ñ ØÖ ÜÓ Ó ÞØ ÐÝ º Ò º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý A Ñ ØÖ Ü Ò ÑÒ Ø Ú Ñ ØÖ Ü a ij 0 Ñ Ò Ò i,j¹ö º  РРA 0º Ò º Þ A Ñ ØÖ Ü Ò ÝÓ Ú Ý Ý ÒÐ Ñ ÒØ B Ñ ØÖ Ü A B 0 Þ Þ A Bº Ò º Þ A R n n Ñ ØÖ ÜÓØ Å¹Ñ ØÖ ÜÒ Ò Ú ÞÞ a ij 0 Ñ Ò Ò i,j¹ö (i j) Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò g R n Ú ØÓÖ Ó Ý g > 0 Ag > 0º Ý Ó ÐÓÑ Ú Þ Ø Ö Ú Ò Þ ÓÞ Ó Ý Þ Ø Ö Ð Ö Ó ÓÒÚ Ö Ò Ø Å¹Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ò Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞÞÙ Ò º Ä Ý Ò A = P Q ÓÐ P Ö ÙÐ Ö P 1 0 Q 0º P Q Ñ ØÖ Ü Þ A Ñ ØÖ Ü Ö ÙÐ Ö Ð ÓÒØ ρ(p 1 Q) < 1 ÐØ Ø Ð Ø Ð Ðº À A¹Ò P Q Ö ÙÐ Ö Ð ÓÒØ ÓÖ Þ ºØ Ø Ð Ð Ô Ò º¾µ ÔÐ Ø Ò Þ Ö ÔÐ Ø ÓÒ Ö Ù Ø Ö ÓÒÚ Ö Ò º ½ º Ì Ø Ð Ê ÙÐ Ö Ð ÓÒØ Ð Ø Þ µº Ä Ý Ò Þ A Ñ ØÖ Ü Å¹Ñ ØÖ Üº ÓÖ A Ö ÙÐ Ö Ð Ø Þ ÒÚ ÖÞ º Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Þ ½ ¹ ÖÓ ÐÓÑ Ò Ø Ð Ð Ø Þ ½º Ð ÑÑ Ð Ú Þ Ø ¹ Òغ ½ º Ì Ø Ð Ê ÙÐ Ö Ð ÓÒØ Ð Ø Þ µº Ä Ý Ò Þ A Ñ ØÖ Ü Ò a ij 0 Ñ Ò Ò i,j¹ö (i j)º Þ A Ñ ØÖ ÜÒ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Ø Þ Ö ÙÐ Ö Ð ÓÒØ A Ý Å¹Ñ ØÖ Üº Ø Ø Ð Ð Ú Þ Ø Þ ½ ¹ ÖÓ ÐÓÑ Ò Ñ ÒØ Þ ½º¾¼º Ä ÑÑ ÞÓÒÝ Ø Þ Ö Ô Ðº ½ º Ì Ø Ð Å¹Ñ ØÖ ÜÓ Ö ÙÐ Ö Ð ÓÒØ µº Ä Ý Ò A Ý Å¹Ñ ØÖ Ü A = P Q P Ö ÙÐ Ö P 1 0 Q 0º ÓÖ P Q Þ A Ñ ØÖ Ü Ö ÙÐ Ö Ð ÓÒØ º ÞÓÒÝ Ø º ÞØ ÐÐ Ð ØÒ Ó Ý P 1 Q Ñ ØÖ ÜÖ ρ(p 1 Q) < 1 ÐØ Ø Ð Ø Ð Ðº ¾

Ä Ý Ò e := (1,..., 1) T º Å Ú Ð A Ý Å¹Ñ ØÖ Ü Þ ÖØ g > 0 Ø Ò Ag > 0º  РРG := diag(g i ) ÓÖ PGe = Pg > Qg = Qge 0 e > G 1 P 1 QGe 0. ÁÒÒ Ò Ú Ø Þ Ó Ý 1 > G 1 P 1 QGe ( ) = G 1 P 1 QG ( ) ρ(g 1 P 1 QG) = ρ(p 1 Q). Ì Ø ρ(p 1 Q) < 1 ÞÞ Ð Ø Ø ÐØ Ð ØØÙ º ½ º Ì Ø Ðº Ù ¹Ë Ð Ø Ö Ñ Ò Ò Å¹Ñ ØÖ ÜÖ ÓÒÚ Ö Ò º ÞÓÒÝ Ø º À A Ý Å¹Ñ ØÖ Ü ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò g Ó Ý g > 0 Ag > 0º A Ñ ØÖ ÜÓØ A = L + D + U Ð ÖÚ L + D Ñ ØÖ Ü Å¹Ñ ØÖ Ü Ð Þ (L + D)g Ag > 0, U 0. ÓÖ Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ú Ð ÞØ Ù Ñ A = P Q, P = L + D, Q = U, ÓÐ P 1 = (L + D) 1 0, Q = U 0. ÁÒÒ Ò Ú Ø Þ Þ ÐÐ Ø ½ º Ì Ø Ð Ø Ú Ðº ½ º Ì Ø Ðº À A Ñ ØÖ Ü Å¹Ñ ØÖ Ü 0 < ω 1 ÓÖ ËÇÊ¹Ñ Þ Ö (D + ωl) x(m+1) x (m) ω + Ax (m) = b ÓÒÚ Ö Ò º

ÞÓÒÝ Ø º ËÇÊ¹Ñ Þ Ö Ñ ØÖ ÜÓ Ð (D + ωl)(x (m+1) x (m) ) + ωax (m) = ωb := f Ú Ý ÓÐ Px (m+1) = Qx(m) + f P := D + ωl Q := D(1 ω) ωu. º¾ µ ÞØ ÐÐ Ð ØÒ Ó Ý P 1 0 ÓÑÔÓÒ Ò Ò ÒØ 0 < ω 1º ÓÖ Q Ò ÑÒ Ø Ú Ø Ð Ø Ø º¾ µ ÔÐ Ø Ðº P Þ Ö Þ ω ÖØ Ö Å¹Ñ ØÖ Üº À A Å¹Ñ ØÖ Ü a ij p ij 0, (i j) 0 < a ii < p ii, ÓÖ P Å¹Ñ ØÖ Üº Í Ý Ò P Ñ ØÖ Ü Ð Ð ÐÓ ÞÐ Ñ Ð Ð º ÌÙ Ù Ó Ý P A g > 0 Ø Ò Ag > 0 Ð Ú Ø Þ Ó Ý Pg Ag > 0. Å Ú Ð P Q = ωa Þ ÔÓÞ Ø Ú ω¹ö Å¹Ñ ØÖ Ü Þ ÖØ Þ ÐÐ Ø ½ º Ì Ø Ð Ð Ú Ø Þ º Þ Å¹Ñ ØÖ ÜÓ Ó ÞØ ÐÝ Ô Ð Ñ ØÖ ÜÓ ÞØ Ðݺ Ä Ý Ò A Ñ ØÖ Ü Ö ÙÐ Ö ÒÚ ÖÞ Ò ÑÒ Ø Ú ÓÖ Ag = e Ñ ÓÐ ÔÓÞ Ø Úº À g Ú ØÓÖÒ Ð ÒÒ ÒÙÐÐ ÓÑÔÓÒ Ò ÓÖ A 1 Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ Ý ÙÔ ÒÙÐÐ ÓÖغ ÓÖ A Ð Ð ÐÓ ÞÐ Ñ Ý Þ Þ Å¹Ñ ØÖ ÜÓ Ú Ð ÓÖ A Ú Ð Ò Å¹Ñ ØÖ Üº A¹Ú Ð Ý ØØ A T Å¹Ñ ØÖ Üº À ÞÒÓ ØÙÐ ÓÒ Ñ ØÖ ÜÓ Ò Ó Ý Ð Ø Þ Ä͹ Ð ÓÒØ Þ Ù ¹ Ð Ñ Ò Ú Ð Ð ÐÐ Ø Ø º

º Þ Ø Þ Ó Ð Ð Ð Ò Ö Ð Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ Ö Ø Ø Ö Ñ ¹ Þ Ö Ð Ý Ö ÒØ Ð Ø º Þ Ø Ö Ð Ö Ó Ð ÒÝ Ð Ø Ø Þ ÓÐÝ Ò Ax = b Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ Ò Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ ØÖ Ü Ò Ý¹ Ñ Ö Øò Ö Ø º ÓÖ Ö Ø Ñ Þ Ö Ò Ð Ò Ý Ø Ö ÒÝ Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Øº Ý ÓÖÐ Ø Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ö Ò ÝÑ Ö Øò Ö Ø Ñ ØÖ ÜÓ Ð Ú Ð Þ ÑÓÐ Ø ÒÝ Ðº Þ Ø Ö ØÖ ÒÝ ÐØ Ð Ò Ð ÓÒÚ Ö Ò Þ Ò Ñ Þ Ö ÓÖ Ò ÓÐÝ Ò Ú ØÓÖ ÓÖÓÞ ØÓØ ÐÐ ØÙÒ Ð Ñ ÐÝ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÐ ÓÞ ÓÒÚ Ö Ðº Ð Ý Þ Öò Ø Ò Þ Ø Ö Ð Ö x (m+1) = Sx (m) + f, m = 0, 1,... Ð Ò Ø Ñ º ÔÐ Ø Þ Ø Ò ÓØØ Ø Ø Þ Ð x (0) Þ Ø Ú ØÓÖ Ø Ú Ð Ñ Ø ÖÓÞÞÙ x (m) ÖØ Ø ÝÖ Ó Ò Þ Ð ØÚ Þ Ax = b Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓРغ Þ S Ñ ØÖ Ü Ø Ö Ô Ö Ñ Ø ÖØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ø Ñ Ð Ð Ò Ñ Ú Ð ÞØÚ Þ Ø Ö ÝÓÖ Ø Ø º

ÁÖÓ ÐÓÑ ÝÞ ½ ËØÓÝ Ò ÖØ Ì Ð Ò ÆÙÑ Ö Ù Ñ Þ Ö Áº ÌÝÔÓØ Ü Ù ¹ Ô Ø ¾¼¼ µ ¾ º Áº Å Ö Ù Ô Ñ Ø Ñ Ø ÒÙÑ Ö Ù Ñ Þ Ö Åò¹ Þ Ã ÒÝÚ Ù Ô Ø ½ µ Ö Á ØÚ Ò Ð ÐÑ ÞÓØØ Ò Ð Þ Áº ÄÌ Þ Ö Ø º ÖÑ Ò Êº º ÈÐ ÑÑÓÒ ÆÓÒÒ Ø Ú Ñ ØÖ Ò Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ò Ñ ÈÖ Æ Û ÓÖ ½ µ Ê Ö Ëº Î Ö Å ØÖ Ü Ø Ö Ø Ú Ò ÐÝ Ð ½ ¾µ ÈÖ ÒØ À ÐÐ Ò Ð ÛÓÓ