Sámítógép irányítálmélt 8. Dikrét idjű analíi Ebbn a fjtbn néány különön fonto dikrét idjű analíil kapcolato témát tárgyalunk, mint a irányítatóág, mgfigyltőég, tabilitá, lképé íkból íkba é a mintavétlé atáa a mintavétltt rndr tabilitáára... Irányítatóág é mgfigyltőég Dinamiku rndrkkl kapcolato két alapvtő kérdé a irányítatóág é a mgfigyltőég. A irányítatóág gy rndr adott kdti állapotából gy ttőlg máik állapotba vérltőégénk ltőégét vigálja. A mgfigyltőég at írja l, ogyan lt gy dinamiku rndr állapotára kövtkttni a bmntk é kimntk mgfigylééből. Egy állapottér modlljévl mgadott dinamiku rndrr irányítatóági é mgfigyltőégi mátriok íratók fl. A irányítatóág illtv a mgfigyltőég kkl a mátriokkal jllmtő. A kövtkőkbn mind folytono é dikrét idjű rndrkr mgadjuk a dfiníciókat. Tlj állapotirányítatóág (állapot-viacatoláo abályoá trvéé): & A Bu állapot vktor (na mértű vktor) u bmnti jl (kalár) A na*na mértű (kontan) mátri B na* mértű (kontan) mátri [ k ] Φ [ k] Γ u[ k] Φ na*na mértű mátri Γ na* mértű mátri A rndr tljn állapot irányítató, a a irányítatóági mátri, W c, kilégíti a kövtkő fltétlkt rank na ( W ) rank[ B A B... A B ] na c folytono idjű rndrr, Illtv rank na ( W ) rank[ Γ Φ Γ... Φ Γ ] na c dikrét idjű rndrr.
Sámítógép irányítálmélt 9 Mátri rangja A A n k-a mátri rangja a mátri linárian függtln olopainak maimáli áma. Igaolató, ogy gy jól dfiniált trmét ám é mggyik a mátri linárian függtln orainak maimáli ámával (a orrang tát gynlő a olopranggal). Tát a rang: rang (A) dim a,..., { } a k aol a,,a k a A mátri olopai, mint vktorok. Tlj kimnt irányítatóág (kimnti jl viacatoláo abályoá trvéé): & A B u y C y kimnti jl vktor (nb mértű vktor) C nb*na mértű mátri [ k ] Φ [ k] Γ u[ k] [ k] C [ k] y y nb mértű vktor C nb*na mértű mátri A rndr tljn kimnt irányítató, a a irányítatóági mátri, W c, kilégíti a kövtkő fltétlkt illtv rank rank na ( W ) rank[ C B C A B... C A B ] nb c folytono idjű rndrr, na ( W ) rank[ C Γ C Φ Γ... C Φ Γ ] nb c dikrét idjű rndrr.
Sámítógép irányítálmélt Tlj állapot mgfigyltőég: & A B u y C állapot vktor (na mértű vktor) u bmnti jl (kalár) A na*na mértű kontan mátri B na* mértű kontan mátri C nb*na mértű kontan mátri y [ k ] Φ [ k] Γ u[ k] [ k] C [ k] Φ na*na mértű mátri Γ na* mértű mátri C nb*na mértű mátri A rndr tljn állapot mgfigyltő, a a mgfigyltőégi mátri, W o, kilégíti a kövtkő fltétlkt rang( W ) rank * * * * na * o C A C... ( A ) C na folytono idjű rndrr, illtv rang( W ) rank * * * * na * o C Φ C... ( Φ ) C na dikrét idjű rndrr. Aol A * jlölé a A mátri konjugált tranponáltját jlnti, lád a fjt függlékébn. Ha A nm tartalma kompl lmkt, akkor A * A T (tranponált).. példa: Vigáljuk mg a kövtkő folyamatok irányítatóágát a) Y() U() 5/ 6 / 6 b) [ Γ Φ Γ] 3 3 3 c) [ k ] [ k ].6 [ k] [ k] u.8 [ k]
Sámítógép irányítálmélt Mgoldá: a) Y() U() 5/ 6 / 6 [ k ] u[ k] 5/ 6 y[ k ] / 6 y[ k] [ k] y[ k] [ k] [ k ] y [ k ] 5/ 6 [ k] / 6 [ k] u[ k] [ k ] [ k ] / 6 5/ 6 [ k] [ k] u [ k] rang / 6 rang 5/ 6 5/ 6 dt 5 / 6 -> (tlj) rang rang na -> tljn géébn állapot irányítató! b) ( Γ Φ Γ ) dt Γ Φ Γ 3 3 3 3 3 3 5 4 3 3 3 rang 3 ( na 3 ) -> tljn géébn állapot irányítató a rndr.
Sámítógép irányítálmélt c).8 dt.8.64 ( Γ Φ Γ) Γ Φ Γ.64.64 rang ( ) -> a rndr NEM állapot irányítató.
Sámítógép irányítálmélt 3 3. példa: Vigáljuk mg a kövtkő folyamatok mgfigyltőégét a.) [ ] y u & & b) [ ] y u 3 3 & & c) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k k k y k u / k k k k
Sámítógép irányítálmélt 4 Mgoldá: a) [ ] y u & & [ ] rang rang A C rang C * * * dt -> tlj rang -> mgfigyltő! b) [ ] y u 3 3 & & [ ] 3 rang 3 rang A C rang C * * * 3 dt -> tlj rang -> mgfigyltő!
Sámítógép irányítálmélt 5 c) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k k k y k u / k k k k [ ] Φ rang rang C rang C * * * dt -> tlj rang -> mgfigyltő!
Sámítógép irányítálmélt 6 4. példa: Irányítatóág, mgfigyltőég vigálata Matlab függvényk gítégévl (ctrb.m, obv.m, rank.m): A folyamatmodll: y.7895.757 [ k ] [ k] u[ k] [ k] [ ] [ k].8566.8.96 n Irányítatóági mátri: Wc [ B A B A B... A B ], n rang(a) T n Mgfigyltőégi mátri: W [ C C A C A... C A ] Mgoldá: o A rndr mgadáa: Irányítatóági mátri:» A[.7895 ;.757.8566];» B[.8;.96]; C[ ]; D;» Wcctrb(A,B) Wc.8.9.96.747 Irányítatatlan állapotok áma:» uncolngt(a)-rank(wc) unco Irányítatóági mátri rangja:» rank(wc) an Mgfigyltőégi mátri:» Woobv(A,C) Wo..757.8566 Mgfigylttln állapotok áma:» unoblngt(a)-rank(wo) unob
Sámítógép irányítálmélt 7.. Dikrét idjű rndrk tabilitáa Linári, időbn állandó (LTI Linar Tim-Invariant) folytono idjű viacatolt rndrk tabilitáa a viacatolt rndr póluainak íkbli llykdéévl jllmtő (lád 3. ábra). 3. ábra S ík, folytono idjű LTI rndrk tabilitáa. Mivl a é kompl váltoók a kapcolat alapján (aol a mintavétléi priódu) öfüggnk, a éruok é póluok llykdé a íkban öfügg aok íkbli llykdéévl. Eért a LTI rndr tabilitáa mgatároató a póluok é éruok íkbli llykdééből. Éppn ért, a LTI dikrét rndr tabilitáa mgállapítató a rndr póluainak é éruainak íkbli llykdééből. Mindamlltt a folytono rndr líráa gyértlmű. A dikrét idjű rndr dinamiku vilkdé függ a mintavétléi priódutól, aa a póluok é éruok llykdé i függ a mintavétléi priódutól. Mivl a kompl váltoó flírató való é képt tag ögként: σ jω, a kompl váltoó: ( σ jω) σ j( ωπk ) ; mindaok a póluoknak é éruoknak, amlyknél a frkvncia π/ gé ámú többöröibn különböik a íkbli llykdéük ugyana. a ík bal oldali félíkja, aol σ ngatív, a < -nk fll mg,
Sámítógép irányítálmélt 8 a íkbli j ω tngly a íkbli gyégkörnk fll mg. A jω tngly gy pontját vév, é aal j ω -ból j ω -flé aladva, a ög, ω, -π é π π köött váltoik ω.éppn ért; ω - é köötti váltotatáa a gyégkör végtln ámú körbjáráát jlnti. Ebből kövtkik, ogy a bal oldali félík lődlg, é kigéítő ávokra otat, lád a 4. ábrát. A íkban okáoan anált vonalak a íkba a kövtkők rint képtők l: kontan cillapítáo tartoó gyn, σ kontan, íkbli kép gy kör, σ mlynk ugara ; a σ σ gyntől balra lévő trült, mly a 4/ σ -nél kibb bállái időö tartoik, a íkbli kör által atárolt trültnk fll mg, lád 5. ábrát, a kontan frkvnciáo, ω ω, tartoó íkbli gyn kép a íkban radiáli gyn, mlynk ög ω (radiánban), lád 6. ábrát, kontan cillapítáoko é frkvnciáko tartoó gynkkl atárolt trült lképé a 7. ábrán látató, a kontan cillapítái arány, ζ, a íkban gy radiáli félgyn, a íkbli kép pdig gy pirál, lád 8. ábra. A ζ > ζ -nk mgfllő trült a 9. ábrán látató. A kontan cillapítáo é kontan frkvnciáo tartoó lyk aonló lképél a tartományba tranformálatók, lád 3 é 3. ábrák. 4 9 ábrák forráa: Ogata (995).
Sámítógép irányítálmélt 9 4. ábra Lképé íkból íkba σ 5. ábra Kontan cillapítának mgfllő gyn é 4/σ -nél kibb bállái időnk mgfllő trült 6. ábra Kontan frkvnciáo tartoó gynk a é íkokban.
Sámítógép irányítálmélt ( σ jω ) σ σ 7. ábra Korláto trült. ( σ jω ) 8. ábra Kontan cillapítái arány a é íkokban. 9. ábra ζ > ζ-o tartoó trült a é íkokban.
Sámítógép irányítálmélt 3. ábra Haonlóági lképé. π 3. ábra Egyégugarú kör, N prióduonkénti mintavétlék áma N ; ω forrá: Pillip (99).
Sámítógép irányítálmélt... Stabilitá: A Y() R() G() { G H}() impulu-átvitli függvénnyl lírt rndr tabilitáát, aol G a lőrcatoló ág, H a viacatoló ág impulu átvitli függvény, a árt urok póluai adják, aa a { G H }() karaktritiku gynlt gyöki. A tabilitái jllmők rövidn a kövtkőképpn ögtők: Ao, ogy a rndr tabil lgyn, a íkban a ö pólunak a gyégugarú körön blül kll lnni. Ha a rndrnk van a gyégugarú körön kívül ő pólua van, akkor intabil működéű! A linári rndr aimptotikuan tabil, a gynúlyi állapotának (gy kdti) mgavaráa után oda viatér. A rndr tabilitáa kritiku, a gytln pólua, vagy gytln pár kompl konjugált pólua a gyég körön lykdik l. Ha a rndrnk több árturkú pólua (pólu-párja) lykdik l a gyég ugarú körön, akkor a rndr intabil működéű! A árturkú rndr éruai a tabilitát nm bfolyáolják! A póluok lképé. A kompl póluok íkból a íkba képé a 3. ábrán látató. A gy póluoknak mgfllő tranin válaok a 33. ábrán látatók. A 34. é a 35. ábra gy máodrndű dikrét rndr tranin vilkdéét mutatja b, mlynk póluai: ± ( ) [ ] i ω co( ω ) ± in( ω ) α, α, α ξω, ω ( ξ ) ω, aol ξ a cillapítá é ω a trmét frkvncia. A 33. ábrából mgállapítató, ogy gy olyan folyamat vilkdé, mlynk gy ngatív való pólua van, ocilláló jllgű. Ocilláló jllgű vilkdé folytono időbn cak máod-, vagy magaabb rndű modllkkl írató l. Ebből a kövtkik, ogy a olyan rndrnk, amlynk gy ngatív való pólua van tartományban, ninc folytono idjű mgfllőj.
Sámítógép irányítálmélt 3 3. ábra Kompl póluok lképé. [Carl Pillip (99): Digital Control Sytm Analyi] 33. ábra Kompl tartománybli póluokkal rndlkő dikrét rndr impulu bmntr adott válafüggvényi. [Carl Pillip (99): Digital Control Sytm Analyi]
Sámítógép irányítálmélt 4 34. ábra Való póluokkal rndlkő máodrndű dikrét idjű rndr gyégimpulu bmntr adott válaai. [Irmann (98): Digital Control Sytm] 35. ábra Kompl póluokkal rndlkő máodrndű dikrét idjű rndr gyégimpulu bmntr adott válaai. [Irmann (98): Digital Control Sytm].
Sámítógép irányítálmélt 5 Dikrét idjű rndrk gyégimpulu bmnti jl atáára létrjövő tranin vilkdé a 34. é a 35. ábrákon látató, lkülönítv a való illtv kompl póluokkal rndlkő rndrkt. Ngatív való, vagy ngatív való réű kompl pólual rndlkő rndrkr jllmő a ún. bang-bang vilkdé, a kimnti jl lőjl mindn mintavétlé alkalmával váltoik. Egy máik pciáli vilkdéi mód a 34 ábrán figyltő mg, amikor i a pólu a origóba ik, a dad-bat vála. Ilyn tbn a kimnt annyiadik lépébn éri l a véglg értékét, aányad rndű (n) a rndr (példánkban n). A éruok lképé. Sámo abályoótrvé a pólu/éru kijté tcnikán alapul (kijté abályoó, pólu-éru llykdé abályoó, tb.) Ek a ljáráok nm működnk a a folyamatnak intabil éruai vannak. Sajno a m iga, ogy tabil folytono időbli éruok (bal oldali félík a tartományban) mindn tbn tabil dikrét idjű éruokként képődnk l (a gyégkörön blülr). Eért a éru kijté ljáráok bionyo mintavétléi frkvncia tén működnk, míg máok tén nm. A alább lírt probléma forrácikk: Åtröm, Hagandr & Strnby (98): Zro of Sampld Sytm. IEEE. Néány példán krtül bmutatjuk a mintavétléi priódu atáa a mintavétltt rndr éruainak tabilitára. A invr intabil rndr líráa: a gy átvitli függvény invrét vük, a póluokból éruok, a éruokból póluok lnk. Amnnyibn a rndr tartalma gy intabil érut, a invrtálá után intabil póluként jlnik mg. A olyan rndrt, amlynk van gy intabil érua, invr intabil rndrnk ívjuk. Dmontráció példa : Vgyük a kövtkő invr-tabil folytono idjű rndrt: G ( ) 3. A mintavétltt rndr impulu átvitli függvény (nulladrndű tartórvt, ZOH, alkalmava) (): ( ) H 3 4, 6 ( ) 3 ami nm invr tabil, mivl a éruok, ugarú körön. 3.77.679,, gyik kívül ik a gyég
Sámítógép irányítálmélt 6 Dmontráció példa : Vgyük a kövtkő invr-tabil folytono idjű rndrt: G ( ). ( ) 3 A mintavétltt rndr átvitli függvény ZOH-t alkalmava (): ( ) H b b - ( ) 3 b 3. A éruok a mintavétléi idő függvényként a alábbi ábrán látatók. Kiámítató, ogy < <.8399 mintavétléi priódura a mintavétltt rndr invr intabil, aa van gy intabil érua. r o o f -.5 - a m p l d y t m -.5 - -.5-3 -3.5.5.5.5 3 3.5 4 ampling tim
Sámítógép irányítálmélt 7..3 Mintavétltt rndr dinamiku vilkdé Általában a a cél, ogy a rndr válaa mintavétlé után (mintavétltt rndr) ugyana lgyn, mint a rdti folytono idjű rndr válaa. E at jlni, ogy a mintavétlé atáának lanyagolatónak kll lnni. Mindamlltt a mintavétlénk íntabiliáló atáa van. A magyaráat lőtt dfiniáljuk a kapcolatot a folytono idjű é a mintavétltt rndr dinamiku vilkdé köött. A máodrndű rndr általáno alakját alapul vév: ( ) ω ( ) ζ ω ω U Y. A rndr tranin válafüggvény a kövtkő mnnyiégkkl jllmtő: a maimáli túllndülé, a ronán cúcérték, é a fáitartalék (lád 36. ábra), mlyk a kövtkőképpn íratóak fl: Maimáli túllndülé (pak ovroot): Sáaléko túllndülé (prcnt ovroot): ζπ ζ M p, M ζπ ζ %, Cúcérték léréé tartoó idő (tim-to-pak): Tp, ω π ζ Flfutái idő (%-tól 9%-ig) (ri tim): Bállái idő (ttling tim): T T T r.6ζ.6 ω (.3 ζ.8) 4 ζ ω 3 ζ ω (% ibáo) (5% ibáo) M p y( ).9. T r 5 T p T 36a ábra Máodrndű folytono idjű rndr válaa gyégugrá bmnti jlr.
Sámítógép irányítálmélt 8 Bod Diagram log M r -3 db ω r ω B Frquncy (rad/c) 36. ábra Folytono idjű rndr dinamiku vilkdé (frkvncia függvény) Lngéi cúcérték (ronant pak valu): Mr, Ronancia frkvncia (ronant frquncy): ω ζ ζ r ω ζ ω, B.96ζ. 85 ω Sávélég (bandwidt): ( ) (.3 ζ.8) Fáitartalék (pa margin): φ m ( ) ζ tan 4 4ζ ζ /, A fáitartalékot gyakran a φm ζ öfüggél kölítik. A Mp, Mr, φ m é a cillapítái tényő köötti kapcolat a 37. ábrán látató. Nm a máodrndű rndr okáo alakjával jllmtt rndrk tén a 38. ábra análató a túllndülé mgjlnítéé.
Sámítógép irányítálmélt 9 8 8 M % 7 6 Φ m 7 6 9 8 7 5 M r 5 6 4 4 5 3 3 4 M p 3...3.4.5.6.7.8 ζ...3.4.5.6.7.8 ζ 37. ábra Mp, Mr é φ m a ζ függvényként. 38. ábra Túllndülé (áaléko) a ζ függvényként. Kövtkő lépéként a folytono idjű é a dikrét póluok köötti öfüggét vtjük l. Kéőbb t a mintavétlé atáának vigálatakor fogjuk flanálni. A máodrndű rndr általáno alakját análva a póluok a tartományban a kövtkők:, ζ ω ± j ω ζ. A é köötti ponnciáli kapcolat, idjű póluokat, aol ζω ± jω ζ ζω ζω r ζω ± jω ζ, gítégévl mgatároatjuk a dikrét ( co( ω ζ ) jin( ω ζ ) ζω ω ζ ) j in( ω ζ ) rcoθ jrinθ r ± θ ζω θ ω - ζ.
Sámítógép irányítálmélt 3 A dikrét é folytono idjű cillapítái tényő é a trmét frkvncia köött a kövtkő öfüggé nyrtő: ω ω ζ ln( r) ζ θ é ζ ln( r) ln (r) θ ω ln, (r) θ. Mivl a dikrét rndr dinamiku vilkdé mggyik a folytono idjűévl (légégn kici mintavétléi priódut fltétlv), a dikrét rndr cillapítái tényőj é trmét frkvnciája: é ζ SAMPLED, ln ln r (r) θ ω ln (r) θ SAMPLED. E nyílturkú rndrkr iga, d mlltt gy mintavétltt rndr viacatoláával kapott rndrr a mintavétlé dtabiliáló atáal van. Vigáljuk mg t a problémát! 3. Bmutató példa: A mintavétlé dtabiliáló atáa. Vgyük a kövtkő folytono idjű máodrndű rndrt: ( ) U Y ( ) ( ) G. Ha n a folytono idjű rndrn ngatív viacatolát alkalmaunk a rdmény: ( ) G( ) ( ) G G CL, aol ζ. 5 é -ζ π -ζ ω, * 6% túllndülé.
Sámítógép irányítálmélt 3 A máodrndű rndr impulu átvitli függvény, é a rdő árturkú impulu átvitli függvény, -t é ZOH t alkalmava G ( ) ( ).3679.64.3679.3679 G ( ).3679 G( ).63.64 G CL. A árturok karaktritiku gynlt:.63, amly mgadja a póluokat:.5 ± j.68., A mintavétltt rndr cillapítái tényőj, trmét frkvnciája é áaléko túllndülé kből a kövtkőképpn ámítató:,.5 ± j.68 r co( θ) j r in( θ) r ± θ r co( θ).5 r in( θ).68 tan( θ) r.795 é. 89 A rdményk θ. ln r ζ.5 SAMPLED ln r θ, ω SAMPLED ln r θ.99. -ζ π - Túllövé áaléka SAMPLED 44%. ζ.68.5 További ámítái rdményk különböő mintavétli prióduokra,.5 é., a alábbi tábláatban találatók. A imulációk rdményi a 39. ábrán látatók. Egyr kibb mintavétléi prióduokat alkalmava a áaléko túllndülé gyr kibb l. A (folytono idjű viacatolt rndrénél) nagyobb túllndülénk gyrű oka van. A lőrmutató ágban találató mintavétlé é tartá (lád 4. ábra), Kéllttét vi a rndrb. Kélltttt jlk viacatoláa kvébé tabil (nagyobb lngékkl bálló) viacatolt rndrt rdmény.
Sámítógép irányítálmélt 3 Sabályoáok trvéénél t a járuléko kéllttét i figylmb kll vnni. c.5 c. c G().3679.64.65.9.48.46.3679.3679.665.665.948.94 ( ) G( ) G.3679.64.63.65.9.5.6967.48.46.9.995,.5 ± j. 68.75 ± j. 3664.95 ± j. 838 ζ.5.37.47 ω.99.978.999 %-o túllndülé 44% 8% 8%.4. r g.8 b,c.6.4. bk 4 6 8 4 t () 39. ábra Mintavétltt rndr dinamiku vilkdé: öaonlító imuláció. Alapjl (piro), folytono idjű rndr (világokék), mintavétltt, (lila), mintavétltt,5 (öld), mintavétltt, (kék).
Sámítógép irányítálmélt 33 A Matlab program a kövtkő:» num;dn[ ]; yctf(num,dn);» ;opndcd(yc,) Tranfr function:.3679.64 ---------------------- ^ -.368.3679 Sampling tim:» clodfdback(opnd,) Tranfr function:.3679.64 ----------------- ^ -.63 Sampling tim:» [numd, dnd]tfdata(clod,'v') numd.3679.64 dnd. -..63» poldroot(dnd) pold.5.68i.5 -.68I» omgaatan(.68/.5), r.5/co(omga) omga.897 r.795» damping(-og(r))*(log(r)^omga^)^-.5 damping.493» natfrq(/)*(log(r)^omga^)^.5 natfrq.998» ovrootp(-damping*pi/(- damping^)^.5) ovroot.4464 Stp R() G() ampling ZOH. G() ampling Mu grapic window ampling ZOH.5 G() ampling.36788.644 -.3679.36788 G() 4. ábra Simulink modll.
Sámítógép irányítálmélt 34..4 Folytono idjű rndr kölíté mintavétl rndrrl A lőő fjtkbn mintavétltt rndrkt tanulmányotunk, dikrét idjű jlk é rndrk lőállítáát vigálva. Átvitli függvénnyl mgadott folytono idjű rndrk tébn kívánato, ogy találjunk gy olyan algoritmut, amllyl a digitáli rndr nnk a G()-nk a kölítő alakja l. A kövtkőkbn néány kölítő ljárát fogunk tárgyalni. Vgyük a kövtkő átvitli függvényt G() 5 E a kövtkő diffrnciál gynltnk fll mg: y dy dt ( t) y(t) 5 u(t) ( t) dy y(t) 5 u(t), p y(t) dt. A nnk mgfllő diffrncia gynlt a drivált kölítéévl kapató (oprátoro lírái mód) vagy p y(t) p y(t) dy(t) dt dy(t) dt y(t ) y(t) q y(t) y(t) y(t ) (forward diffrnc (Eulr ) mtod) q y(t) backward diffrnc mtod. A diffrncia kölíték kompl váltoókat análva a kövtkők ltnk:, Eulr ljárá (lőrlépé kölíté), Tutin kölíté, (trapé ljárá), Backward diffrnc (vialépé ltéré)
Sámítógép irányítálmélt 35 A impulu átvitli függvényt G()-t úgy kapjuk mg, a lyér a G() átvitli függvénybn a kövtkő kifjék gyikét blyttítjük. ' ' ', Eulr ljárá (lőrlépé kölíté), Backward diffrnc (vialépé kölíté), Tutin kölíté (trapé kölíté) A íkbli tabilitái trült R () < lképé a íkba: a forward diffrnc kölítél ltég, ogy tabil folytono idjű rndr intabil tartománybli pontba i lképődt; a backward diffrnc kölítő ljárá tén, tabil folytono idjű rndr mindnképpn tabil dikrét idjű rndrré képődik l, llnbn vannak olyan intabil folytono idjű rndrk, amik intén tabil dikrét idjű rndrkké képődnk l; a Tutin kölítét alkalmava tabil folytono idjű rndr mindnképpn tabil dikrét idjű rndrként képődik l, intabil rndr lképé pdig mindig intabil tartományba ik. forward diffrnc (lőrlépé kölíté) backward diffrnc (vialépé kölíté) Tutin kölíté (trapé kölíté)
Sámítógép irányítálmélt 36..4. A kölítő ljáráok é a Z tranformáció Intgrátor abályoó (I) példáján krtül vigáljuk a folytono idjű modllt kölítő ljáráokkal é a Z tranformációval kapott rdményk köötti különbégt. A gyégnyi intgrálái idjű abályoó átvitli függvény: H() A backward diffrnc kölíté ljárá idjű abályoót adja H() y u [ k] [ k] -, amly inkrmntáli alakban [ k ] y[ k] u[ k ] y ' lyttíté a kövtkő dikrét Vagy -vl történt lotá után kapott alakban y H() u [ k] [ k] - -, amly inkrmntáli alakban y [ k] y[ k -] u[ k] A abályoó Z tranformált alakja nulladrndű tartórvvl: H() inkrmntáli alakban: vagy y y Z, [ k ] y[ k] u[ k] [ k] y[ k -] u[ k -] -
Sámítógép irányítálmélt 37 A mintavétl rndrt aal íratjuk l, aogy a jlk új értéki ogyan kltknk a múltbli é jlnlgi értékkből. E at i jlnti, ogy a mintavétl rndrk rndlknk gy öröklött kéllttél. Ebből at a kövtkttét vonatjuk l, ogy a Z tranformáció adja a lgpontoabb dikrtiált alakot, mivl a jlnlgi bmnti jl érték u[k] a kimnti jlnk, y[k], cak a kövtkő értékét bfolyáolja. Egy má módja a átvitli függvényk -ből tartományba lképéénk a éruok é póluok tranformáláa. E a úgynvtt muláció tcnika a kövtkőkbn gy abályoó trvéi példán krtül krül bmutatára...4. Frkvncia lőtorítá A kölítéi tcnikák gyik ibája, ogy a frkvnciakálát torít(at)ják. Vigáljuk mg gy Tutin kölítő módrévl kapott dikrét idjű rndr frkvncia válaát. j ω j A frkvnciaválat folytono időbn a G( ) G( ω) jω jω időbn a G( ) G ( ) app átalakítáal, míg dikrét átíráal kapjuk. Így a Tutin kölíté: jω jω jω / jω / jω jω jω / jω / jω / jω / j ω tan. G()-t a Tutin kölítő ljáráal kölítv a kövtkő rdményt kapjuk ω G ( jω) j tan ω ω ω tan. G app, Látató, ogy a ω, vagy a ω kici, akkor ninc frkvncia torítá. A torítá magaabb frkvnciákon a kövtkő ábrán látató ω rad c, c é ω ω tan.9rad c o ω 63.66 é o ω 6.. 6
Sámítógép irányítálmélt 38 jω jω kölíté ω A torítát gyrűn ki lt küöbölni a módoított (lőtorítát tartalmaó) Tutin kölítél: ω ω tan jω Viont így G( j ) G( ). ω cak ω frkvncián ad ponto értékt, má frkvnciákon torítá kltkik. A frkvnciatorítá bionyo frkvnciákon ümlő űrők dikrtiáláakor oko való problémát.
Sámítógép irányítálmélt 39..4.3 Vála invariancia kölítéi tcnikák A bb a coportba tartoó kölítéi tcnikák alapgondolata, ogy a mintavétléi pillanatokban ponto értékkt adjanak, aa a való é a kölíttt jlk értéki a mintavétléi pillanatokban mggynk. a) Impulu invariancia ljárá: E a ljárá impulujl bmntk tén bitoítja a dikrét é a folytono idjű jlk értékink mggyőégét. A dikrét idjű mgfllő a kövtkőképpn ámítató: G app ( ) Z{ g[ k ] } Z{ g( t) } G( ). b) Stp (lépcő) invariancia ljárá: Ha a bmnti jl a mintavétléi időpillanatok köött állandónak tkinttő, akkor a tp invariancia ljárát a kövtkőképpn alkalmaatjuk: G app G ( ) ( ) ( ) ( ) Z G Z Mgjgyük, ogy a lv ugyana, mint nulladrndű tartórv alkalmaáa tén. Mgjgyé: a lv ugyana, mint a nulladrndű tartórv alkalmaáa tén. E a ljárá jól análató ámítógép irányító rndrk tén, aol a létroott jlk a mintavétlék köött kontan értékűk.. c) Ramp (ljtő) invariancia ljárá: Folytono idjű jlkkl dolgova, a jlk mintavétlék köötti állandóágára vonatkoó kölíté nm túl jó. A bmnti jlt gy a mintavétlék köött linárian váltoó jlalakkal kölítv annak alakja nagyobb pontoággal kövttő. A kölítét a állapottér mgkölítét análva vtjük l. A folytono idjű állapottér modllt & A B u y C D u dikrtiáljuk at a fltétlét alapul vév, ogy a bmnti jl a mintavétléi pillanatok köött linárian váltoik:
Sámítógép irányítálmélt 4 u τ k [ k ] ( u[ k ] u[ k ] ) Ek alapján: k τ k A A( k τ) [ k ] [ k] *B u[ k] ( u[ k ] u[ k] ) dτ k A A( k τ) [ k ] [ k] *B u[ k] k k k A k dτ ( k τ) *B[( τ k) ( u[ k ] u[ k] )] dτ [ k ] Φ [ k] Γ u[ k] Γ ( u[ k ] u[ k] ) Φ A A Γ dτ B ( τ) A Γ dτ B A impulu átvitli függvényt a állapottér modll Z tranformációjával kapjuk a kövtkőképpn: vagy X X( ) ( I Φ) Γ Γ Γ U( ) Y ( ) Φ X( ) Γ U( ) Γ ( U( ) U( ) ) ( ) C X( ) D U( ) ( ) C ( I Φ) Γ Γ Γ U( ) D U( ) Y ( ) ( ) Y G ( ) C U ( I Φ) Γ Γ Γ D app.
Sámítógép irányítálmélt 4 ( ) G G ( ) ( ) app Z. d) Pólu-éru lképéi ljárá: A dikrét idjű rndrt a folytono idjű rndr póluainak é éruainak tartományból tartományba lképéévl i mgkapatjuk. A lképé alapja a é köötti. öfüggé: a. a. Amnnyibn a folytono idjű rndrnk ninc vég értékű érua, akkor gy végtln értékű érua van, tát a nnk mgfllő tartománybli éru -. Továbbá a dikrét idjű rndr rőítéénk gynlőnk kll lnni a folytono idjű mgfllőjévl. Bmutató példa: Határouk mg a a kövtkő folytono idjű rndr dikrét idjű impulu átvitli függvényét: ( ) G Mgoldá:,. c. a) Eulr módr:. G app ( ). b) Backward diffrnc ljárá:
Sámítógép irányítálmélt 4 ( ).. G app c) Tutin kölíté: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.. G app d) Impulu vála ljárá: ( ) ( ) G G app ( ).368 Z Z G app ) Lépcőfüggvény vála ljárá: ( ) ( ) ( ) G G app Z ( ) ( ) ( ) ( ) Z Z G app ( ) ( ) ( ) Z Z.368.63.368.368 f) Ramp vála ljárá: ( ) ( ) ( ) app G G Z ( ) ( ) ( ) ( ).. Z Z G app
Sámítógép irányítálmélt 43... ( ) ( ). ( ) ( ). ( ). ( ). ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ).... ( )...... *. *...368.64 *. ( ). 368. g.) Pólu-éru lképéi ljárá: Eért G A folytono idjű rndrnk van gy pólua a - bn, é gy végtlnbli érua, a tatiku rőíté G ( ) app G app G app.. 368 p ( ) K K.368 ( ) ( ) p.63 K K K. 36.368.63.36..368.
Sámítógép irányítálmélt 44 5. példa: Emuláció tcnika: A folytono idjű abályoó lyttíté a dikrét idjű mgfllőjévl, antnnaforgató rvóajtá abályoójának trvé A antnna ögkövtő mcanimuára a kövtkő modll jllmő (a folytono aka átvitli függvény) G() ( ) A abályoáal mbn támatott kövtlményk ugrárűn váltoó bmnt atáára ma. 6% túllndülé, % ibáo tartoó bállái idő kibb, mint máodprc,. rad/c mrdkégű bégugrá bmntr. radiánnál kibb kövtéi iba lgalább mintavétlé a flfutái idő alatt. Mgoldá: A fáiitttő kompnátor trvé a kövtkő. A túllövéi kritérium btartáa ζ. 5 cillapítái tényőt igényl. A bállái idő kövtlmény a gyökök ( σ ± jω, ω d ωo ζ a cillapított rndr aját-körfrkvnciája) való ré σ 4.6/. 46 ( ( ζω ) 4.6/, általáno abály) σ A állandóult állapotbli ibára vonatkoó o t bállái. kövtlmény a tatiku rőítér név a kövtkő kényrt jlnti: K v. A. árt rndr póluainak ltég íkbli tartománya a 4/b. ábrán látató. Ek alapján a kövtkő kompnátorra tt a válatá. D() d
Sámítógép irányítálmélt 45 4/a. ábra A D() átvitli függvény Bod diagramja 4/b. ábra A ltég működéi tartomány
Sámítógép irányítálmélt 46 A Matlab program: A antnna rvóajtá átvitli függvényénk mgadáa: A abályoó mgadáa:» num;dn[ ]; anttf(num,dn) Tranfr function: ---------- ^» nc[ ];dc[ ]; ladtf(nc,dc) Tranfr function: -------- A nyílturok átvitli függvény: A rndr gyöklyi: A póluok é éruok lyi K tén, ami a K v bég kontannak fll mg: póluok: -.5.866i -.5-.866i éruok: -.» yollad*ant Tranfr function: ------------------- ^3 ^» rlocu(yol), old on» prlocu(yol,), rlocu(yol,) p -.5.866i -.5-.866i -. A folyamat (aka) átvitli függvényénk dikrét idjű alakja, ZOH-t fltétlv
Sámítógép irányítálmélt 47 G() Z -. Z (.)..., A Z tranformáció tábláat gítégévl (vagy a Matlab análatával) a kövtkő alakot kapjuk G() ( ). (. ). ( -) ( ( ) (. ). -. -.. ) G().987.974 ( ) (.98). A dikrét idjű abályoó D() K p a folytono idjű abályoó D() dikrtiáláával kapató. E kivitltő a abályoó folytono idjű póluainak é éruainak íkból íkba lképéévl. Trmétn a folyamatnak vannak mintavétléi é tartái lmi i, lád 4. ábra. 4. ábra A folytono idjű abályoái rndr dikrtiált alakja. Előör a mintavétléi priódut,, atároatjuk mg a lgalább mintavétlé gy flfutái idő alatt kritériumnak mgfllőn. A flfutái időt a kövtkőképpn bcültjük t ri.8 ω.
Sámítógép irányítálmélt 48 A trmét frkvncia a kérdé póluba mutató vktor oa, aa ért p σ ± ωn i.5±.866i, ω.5.866. o Mindmlltt a ronanciafrkvncia a σ ζωo, ζ. 5 gynltkből i mgatároató. A mintavétléi priódut,, a kövtkőképpn vük fl.8.8 tri ω.8,. c. A dikrét idjű érut é pólut a folytono idjű párjaikból ámítjuk (., ) p (. )*(.).98 ( ) *(.) p.887. : A dikrét idjű é a folytono idjű abályoó rőítéénk gynlőnk kll lnni: lim D() lim D(), p bből lim D() lim.98 K.887 Amly K 9.5 t rdmény. Végül a dikrét idjű abályoó D().98 9.5.887.
Sámítógép irányítálmélt 49 5/a példa: A dikrét idjű átvitli függvény mgatároáa Matlab gítégévl. A Matlab program: A átvitli függvény mgadáa: Rndr alkotá: * A dikrét idjű rndr (, c):.987.974 G() ( ) (.98).987.974 G().98.98» num;dn[ ];» ytf(num,dn) Tranfr function: ---------- ^» ydcd(y,.) Tranfr function:.987.974 --------------------- ^ -.98.98 Sampling tim:.
Sámítógép irányítálmélt 5 5/b példa: A Simulink modll paramétrink bállítáa é a imuláció futtatáa..4..8.6.4. 5 5 Tim (Scond) 43. ábra Folytono é mintavétltt viacatolt rndrk dinamiku vilkdé: folytono rndr (piro), mintavétltt rndr (kék).
Sámítógép irányítálmélt 5 5/c példa: A abályoó trvé lvégé má mintavétléi prióduokra. A dikrét idjű rndrk ajátoága, ogy a póluok é éruok (így a rndr tabilitáa i) a mintavétléi priódu függvény. Határouk mg a dikrét idjű abályoót t alkalmava, a ámítáok lvégéé análjunk Matlabot. A új paramétrkkl futtauk l újra a Simulink imulációt. A Matlab program: A mintavétléi priódu mgadáa A abályoó érua A abályoó pólua A abályoó rőítéénk mgatároáa pk(ro,pol,gain,).948 lim D() lim.55.3679» ; p(-.).948» pp(-) p.3679» ypk(,p,,) Zro/pol/gain: (-.948) ---------- (-.3679) Sampling tim:» dcgain(y) an.55 K K / lim D()» K/an K 6.645 A irányított aka impulu átvitli függvényénk mgatároáa.4837.4679 G().948.948» num;dn[ ];» ytf(num,dn);» ydcd(y,) Tranfr function:.4837.4679 ---------------------- ^ -.95.948 Sampling tim:
Sámítógép irányítálmélt 5 _c.6.4..8.6.4. 3 4 Tim (Scond) 44. ábra Folytono é mintavétltt viacatolt rndrk dinamiku vilkdé: Folytono rndr (piro), mintavétltt rndr (kék). A példa at mlélttt, ogy má mintavétléi priódut alkalmava a árturkú rndr által adott vála i különböő l. Fonto, ogy a óban forgó rndr árturkú! Nyílt urok tén a folytono idjű jlk mintavétlékor flvtt értéki, é a mintavétltt jl értéki ugyanaok, függtlnül a mintavétléi priódutól. Zárt urok tén aonban má a lyt. A mintavétléi é tartái funkció (ami a dikrét idjű jlk é függvényk lőállítááo ükég) gy kéllttéi időt vi a abályoá lőrmutató ágába. A viacatolt ágon krtül nnk a kélltténk tabilitát rontó atáa van aonlóképpn, mint bármly kélltttt rndr
Sámítógép irányítálmélt 53 viacatoláa tén.. Dikrét idjű analíi... 8.. Irányítatóág é mgfigyltőég... 8.. Dikrét idjű rndrk tabilitáa... 7... Stabilitá:.....3 Mintavétltt rndr dinamiku vilkdé... 7..4 Folytono idjű rndr kölíté mintavétl rndrrl... 34..4. A kölítő ljáráok é a Z tranformáció... 36..4. Frkvncia lőtorítá... 37..4.3 Vála invariancia kölítéi tcnikák... 39