Irányítástechnika PE MIK MI VI BSc 1

Átírás

1 Mintavétl rndrk Irányítátchnika PE MIK MI VI BSc

2 Jlk otályoáa értékkélt rint: - folytono - dikrét (akao) időbli lfolyá rint: - folyaato - dikrét / intáott ghatároottág rint: - dtrinitiku - tochatiku gjlnéi fora rint: - analóg - digitáli Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/2

3 Jlk otályoáa folyaato időbli lfolyá rint intáott f(t) f(t) értékkélt r int dikrét fo olytono f(t) t f(t) t f(t) Irányítátchnika MI VI BSc t t Mintavétl_rndrk/3 t

4 Bvté Mintavétl abályoá áítógép folyaatirányítá gyéb rndrk kritériu: a folyaat időállandói é a intavétléi idő öérhtőég Mintavétlő ljáráok otályoáa linári, rögíttt lfolyáú intavétlé nlinári, jltől függő intavétlé véltlnrű, tatitikai intavétlé Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/4

5 Bvté időtarta alapján vég idjű pillanatrű pillanatrű, linári intavétlét tárgyaljuk, aal a gkötél, hogy ha több intavétlő van gy körbn, akkor aok inkronban űködnk (gyrr történik a intavétlé) Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/5

6 Mintavétlé értlé f(t) f( ) fiikai intavétlé atatikai intavétlé Irányítátchnika MI VI BSc 2 3 n t i Mintavétl_rndrk/6

7 Mintavétlé értlé Öfoglalva: intavétlő ljárá ipulu oroat aplitúdó odulációja Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/7

8 Mintavétlé értlé bntn a érndő váltoó folytono időfüggvény f ( t) f ( t), ha t < a oduláló jl a gyégipulu oroat i ( t) δ ( t n ) n a kinő jl a odulált ipuluoroat f ( t) f ( t) i ( t) Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/8

9 f Dikrét Laplac-tranforáció a kinő jl réltn flírva ( t) f ( t) δ ( t n ) n ( t) δ ( t ) f ( t) δ ( t ) K f ( t) δ ( t n ) K f iután δ függvény a tn hlyt kivév indnhol f t f n δ t n Laplac-tranforálva Irányítátchnika MI VI BSc F n f ( n ) n n dikrét Laplac-tranforált Mintavétl_rndrk/9

10 -tranforáció vük b a kövtkő váltoót így gkapjuk a intavétltt f (t) függvény -tranforáltját F f ( n ) n n a tranforálhatóág fltétl f αn n M ha n n M, α,n > Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/

11 -tranforáció ténylgn F F ln gyrű alak, d végtln or, a ögképlt flíráa n indig könnyű létnk á tranforáció képltk i: általáno árt képlt (riduu-tétl) árt alakú képlt gyr póluokra Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/

12 -tranforáció tranforáció képlt gyr póluokra F ahol Irányítátchnika MI VI BSc F p i P F F ' p F ( p ) i ( p ) P ' i Fp i F F p ( ) ( p ) F i ( p ) i df p d p i p i p i a Laplac tranforált racionáli törtfüggvény alakban gy pólu póluok áa áláló polinoja a p i hlyn nvő polinojának driváltja a p i hlyn Mintavétl_rndrk/2

13 -tranforáció Fonto! A -tranforált cak a intavétléi időpontokban áll kapcolatban a rdti folytono függvénnyl! kövtkényk: a intavétléi időpontokban aono értékt flvvő függvényknk aono a -tranforáltjuk a invr -tranforáció cak a intavétléi időpontokbli értékkt adja via Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/3

14 -tranforáció Invr -tranforáció F f ( t) Laplac-tranforáció c j t dt f ( t) F t d 2πj c j invr Laplac-tranforáció F f ( n ) n n f 2πj ( n ) F Γ n d Irányítátchnika MI VI BSc -tranforáció invr -tranforáció Mintavétl_rndrk/4

15 -tranforáció invrtálái lhtőégk koplxfüggvénytani út törtfüggvény-alakra hoá A Irányítátchnika MI VI BSc, α ( α ) A ( α ) β ( α ) β A 2, 2 2 ajd tábláat alapján a viatranforálá lőny: árt alakú képlt, ttőlg intavétli időpontho tartoó érték kövtlnül ghatároható hátrány: a flbontá lvéghtőég Mintavétl_rndrk/5

16 -tranforáció ngatív kitvő hatványorba fjté: f n ( t) f ( n ) δ ( t n ) f ( ) δ ( t ) f ( ) δ ( t ) K f ( n ) δ ( t n ) K F n n a a a K a K n n lőny: racionáli törtfüggvény alakban rndlkér álló kifjéknél polinootáal könnyn lőállítható hátrány a krtt időpontig valannyi értékt g kll határoni n Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/6

17 -tranforáció -tranforáció tétli öadá, kontanal való orá ( f ( k ) ± f ( k )) F F Z( f ( k )) α F Z 2 ± 2 időbli ltolá kdti érték végérték li k cillapítá, konvolúció α n ( f ( k n ) ) F ( ) Z Z k ( f ( k )) F f ( k ) li f k f k k li F li F ( k ) Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/7 pólu llnőré!

18 Dikrtiálá folytono időtartoányban a líró odll I/O odll diffrnciálgynlt alakban dikrét időtartoányban a líró odll I/O odll diffrnciagynlt alakban diffrnciálhányado kölíté diffrnciahányadoal vagy a drivált értékénk kölíté a intavétléi időpontokban ért értékkkl: dx dt x Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/8

19 Dikrtiálá dfiníció alapján dx dt li t x ( t t) x( t) t li t x ( t) x( t t) t Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/9

20 dx dt Dikrtiálá lőrflé vtt diffrnciák vagy Eulr ódr x ( t ) x( t) x ( k ) x( k ) x( ( k ) ) x( k ) X at jlnti, hogy X ( t) dx L dt X X Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/2

21 dx dt Dikrtiálá viaflé vtt diffrnciák x ( t) x( t ) at jlnti, hogy x ( k ) x( k ) x( k ) x( ( k ) ) X X X ( t) dx L dt X X Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/2

22 Dikrtiálá bilinári kölíté (utin ódr) a nuriku intgrálánál hanált trapé ódr alapján 2 / 2 / 2 Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/22

23 Dikrét I/O odll diffrnciálgynltk átíráa diffrnciagynltté folytono odll a ( n ) ( n ) ( ) ( t a y t K a y t a y t b u ) ( t) K b u( t) n y n lőrflé vtt diffrnciák alapján c n y (( k n) ) cn y( ( k n ) ) K c y( ( k ) ) c y( k ) d u( ( k ) ) K d u k off lin alkalahatóág, viaflé kövtktté Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/23

24 Dikrét I/O odll viaflé vtt diffrnciák alapján ( k ) y( ( k ) ) K y( ( k n ) ) y( ( k n) ) y n n (( k d ) ) f u( ( k d ) ) f K u d a bnt kélltté a kinth képt d n, on lin alkalahatóág, lőr kövtktté Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/24

25 Dikrét I/O odll indkét odll LI, aa linári, időinvarián: gyütthatók kontanok kdti fltétlk: y(- ),, y(-n ) n db adat okági abály itt i érvény: n lgyn k3 a aktuáli intavétléi időpont: ( 4 ) a y( 3 ) b u( 5 ) b u( 4 ) b u( ) a y 2 3 lőrflé vtt diffrncia gy. ( 3 ) a y( 2 ) b u( 4 ) b u( 3 ) b u( ) a y 2 2 viaflé vtt diffrncia gy. n gvalóítható tk! Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/25

26 Ipuluátvitli függvény átvitli függvény (folytono időtartoány) Y U.k. f. a rndr oprátor tartoánybli odllj függtln a konkrét bnttől gítégévl adott bntr kapott vála ghatároható Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/26

27 Ipuluátvitli függvény dikrét idő tartoányban u(t) a folytono bnő jl u (t) a intavétltt bnő jl h(t) a tag úlyfüggvény y(t) a folytono kinő jl y (t) a intavétltt kinő jl a intavétléi idő, inkron űködé Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/27

28 Ipuluátvitli függvény bnt kint viony a n -dik időpontban Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/28

29 Ipuluátvitli függvény úlyfüggvény: u(t) δ(t) y(t) h(t) a t k időpontban u(k )δ(t-k ) bnt l nnk hatáára a tag kintén u(k )h(t-k ) folytono jlötvő jlntkik nnk érték gy t n (n > k) időpontban u(k )h(n -k ) valannyi jlötvő ögv Irányítátchnika MI VI BSc y ( n ) h( n k ) u( k ) k Mintavétl_rndrk/29

30 Ipuluátvitli függvény folytono időtartoányból irt tétl: y ( t) h( t τ ) u( τ ) dτ öhaonlítva a ot kapott alakkal: y ( n ) h( n k ) u( k ) k a folytono é a dikrét időtartoány köötti haonlóág é különbég Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/3

31 Ipuluátvitli függvény a intavétltt kinő jl dfiníció rint: y n ( t) y( n ) δ ( t n ) y(n)-r bhlyttítv n k h lgyn n k n-k aa n n k k, így n k k k ( n k ) u( k ) δ ( t n ) h ( n ) u( k ) ( t n k ) k δ k Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/3

32 Ipuluátvitli függvény Et a kifjét dikrét Laplac-tranforálva iután h(n k ), ha n k <, így a két ögé étbontható: k n k k n k k k k u n h Y Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/32 étbontható: a két tag a átvitli függvény é a bnő jl dfiníció rinti dikrét Laplac-tranforáltja: k k n k k n k k u n h U Y

33 Ipuluátvitli függvény a bhlyttítél Y n k h nk u k n k k k U bből a ipuluátvitli függvény Y éru kdti fltétlk U lltt! cak a intavétléi időpontokban áll kapcolatban a rdti folytono rndrrl Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/33

34 Ipuluátvitli függvény racionáli törtfüggvény alakban a a a a b b b b U Y n n n n K K Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/34 ahol d n - n n n n d d d d a a a a b b b b K K

35 Nyílt rndrk rdő ipuluátvitli fv.- intavétlő kinő jl intavétlé: L{ u( t) } Z{ u ( t) } U U Y U Y Z{ U } U jl. Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/35

36 Nyílt rndrk rdő ipuluátvitli fv.- bnő jl intavétlé Y U bnő, kinő jl intavétlé Y U Y U Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/36

37 Nyílt rndrk rdő ipuluátvitli fv.- orbakapcolt tagok, kötük intavétlő van X X U U Y Y 2 X X 2 Irányítátchnika MI VI BSc Y Y 2 U U 2 2 Mintavétl_rndrk/37

38 Nyílt rndrk rdő ipuluátvitli fv.- orba kapcolt tagok, kötük intavétlő ninc Y Irányítátchnika MI VI BSc Y X U Y 2 2 L { } U 2 jl. Z{ 2 } U 2 U 2 Mintavétl_rndrk/38

39 Zárt rndrk rdő ipuluátvitli fv.- viacatolt kör két taggal é két intavétlővl Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/39 Y W Y W E E Y o E Y o Y W E Y W Y o o W Y o o

40 Zárt rndrk rdő ipuluátvitli fv.- -tranforálva Y W o o aa, ha indn tag lőtt é után van intavétlő, akkor a rdő átvitli függvény a folytono th haonlóan áratatható Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/4

41 Zárt rndrk rdő ipuluátvitli fv.- viacatolt kör két taggal é gy intavétlővl Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/4 dikrét Laplac-tranforálva E Y Y o E W Y W Y W E o { } E L W E o { } L W E o

42 Zárt rndrk rdő ipuluátvitli fv.- bhlyttítv -tranforálva { } W L W E Y o o o o o Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/42 { } W Z W Y o o o o W Y o o

43 Erőíté ghatároáa Folytono idjű rndrk I/O odll tacionáriu állapotban a driváltak ltűnnk : t u b t u b t y a t y a t y a t y a n n n n K K Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/43 a rőíté a átvitli függvényből t u b t y a a b K a a a a b b b b n n n n K K K

44 Erőíté ghatároáa végérték tétl alkalaáával gyégugrá bnt lltt tabil rndrk tén U li y ( t ) li Y ( ) li ( ) U ( ) li ( ) t b b li n n an an K K b b a a K Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/44

45 Erőíté ghatároáa Dikrét idjű rndrk a I/O odll: ( k ) a y( ( k ) ) K an y( ( k n ) ) an y( ( k n) ) b u( ( k d ) ) K bu( ( k d ) ) y kontan (gyégugrá) bnt lltt tabil rndrk a kintk i állandó értékt vnk fl: ( k ) y( ( k ) ) y( ( k n ) ) y( ( k n) ) y y a bnt: (( k d ) ) u( ( k d ) ) u k Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/45

46 Erőíté ghatároáa így állandóult állapotban a I/O odll a kövtkő alakra gyrűödik: a innn a kint, y : ( i ) b y a y K an y an y b K általánoítva a rőíté: Irányítátchnika MI VI BSc y b a b K b b i i a K an an K y u i n j i k d, K,k d b a i j Mintavétl_rndrk/46

47 Erőíté ghatároáa végérték tétl alapján li U li Y li k y li k b b b b K U Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/47 K a a a a b b b b li n n n n K K

48 artórvk ddigi vigálatoknál: aa a aka bntér gy ipuluoroat krült pl. a abályó a abályott tag flé ipuluokat küld ki Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/48

49 artórvk gy lhtég goldá: a kövtkő intavétléi időpontig aradjon ugyana a jl nulladrndű tartórv Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/49

50 artórvk líráa f ( t) f ( n ) ( ( t n ) ( t ( n ) )) n Laplac-tranforálva F f ( n ) n n ( n ) f n n n F F F(), aa f(t) dikrét Laplactranforáltja Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/5

51 artórvk nnk alapján a nulladrndű tartórv átvitli függvény h F F Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/5

52 artórvk a tlj rndrt tkintv a rdő átvitli függvény L Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/52 ipulu átvitli függvény L p h Z p h Z p Z p p Z p

53 Dikrét idjű rndrk tabilitáa Df.: Dikrét BIBO tabilitá Egy linári intavétlő rndrt BIBO tabilitáúnak nvünk, ha korláto bnő ipuluoroat hatáára kltkő kinő ipuluoroat i korláto. Labili, ha korláto bnő jloroat tén a kinő jloroat n korláto. Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/53

54 Dikrét idjű rndrk tabilitáa BIBO tabilitá fltétl a vigálandó rndr a ipulu átvitli függvénynél lírtak rint: y ( n ) h( k ) u( n k ) k indkét oldal abolút értékét vév y ( n ) h( k ) u( n k ) k Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/54

55 Dikrét idjű rndrk tabilitáa y ha u(t) korláto: u akkor ( n ) k M ( n ) h( k ) u( n k ) h( k ) u( n k ) k k M k h ( k ) aa y(n ) (vagy y(t)) korláto k h ( k ) M < 2 A linári intavétlő rndr BIBO tabilitáának légég fltétl, hogy a árt rndr úlyfüggvényénk intavétléi időpontokban vtt abolút értékiből alkotott végtln or korláto. Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/55

56 Dikrét idjű rndrk tabilitáa E n cak légég, han ükég fltétl i: Lgyn u(k ) olyan, hogy u n k > é u(n -k ) é h(k ) lőjli gynk g. Így y n ( n ) h( k ) u( n k ) h( k ) k k aa ha Σ h(k ) n korláto, időn n, akkor y(n ) l korláto n Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/56

57 Dikrét idjű rndrk tabilitáa Öhaonlítva a folytono rndrkkl ( t) dt < a BIBO tabilitá fltétl h A dikrét BIBO tabilitá ldöntééh végtln orok konvrgnciáját kll vigálni. Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/57

58 Dikrét idjű rndrk tabilitáa Df.: Aiptotiku tabilitá Linári intavétlő rndrt aiptotikuan tabilnak nvünk, u(k ) bnti oroat é y(- ), y(-2 ),, y(-(n-) ) kdti fltétlk tén a kinti oroat nulláho tart: li y n ( n ) Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/58

59 Dikrét I/O odllk tabilitáa étl: Aiptotiku tabilitá a) Egy intavétltt rndr akkor é cak akkor aiptotikuan tabil, ha a rdő ipulu átvitli függvényénk valannyi póluának abolút érték -nél kibb: a rndr tabil p : p < aa a koplx íkon ábráolva a póluokat valannyi a origó köéppontú, gyég ugarú körön blül van. i i Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/59

60 Dikrét I/O odllk tabilitáa tabilitá tartoánya x x x x x x Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/6

61 Dikrét I/O odllk tabilitáa b) ha van(nak) a rndr rdő ipulu átvitli függvényénk olyan pólua(i), aly(k)nk a abolút érték, d tlgn létő indn á pólu abolút érték -nél kibb, akkor a rndr a tabilitá határán van: ( i k) : p a rndr tabilitá határán van p : p, p < aa a koplx íkon ábráolva a póluokat, van(nak) olyan(ok) ai gyég ugarú kör körívén van(nak), a tlgn létő többi pdig a körön blül van. k k i i Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/6

62 Dikrét I/O odllk tabilitáa tabilitá határa x x x x x x Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/62

63 Dikrét I/O odllk tabilitáa c) ha van a rndr rdő ipulu átvitli függvényénk lgalább gy olyan pólua, alynk a abolút érték -nél nagyobb, akkor a rndr intabil: a rndr intabil p : p > aa a koplx íkon ábráolva a póluokat, van(nak) olyan(ok) ai gyég ugarú körön kívül van(nak), a többi pólu lhlykdé lénygtln. i i Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/63

64 Dikrét I/O odllk tabilitáa intabilitá tartoánya x x x x x x x x x x Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/64

65 Dikrét I/O odllk tabilitáa Stabilitái tartoányok öhaonlítáa folytono idjű rndr dikrét idjű rndr I j - R -j Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/65

66 Dikrét I/O odllk tabilitáa kölítő ódrk alkalaáának hatáa lőrflé vtt diffrnciák aa ai intabil volt a dikrtiálá lőtt, a a i arad, ai tabil volt dikrtiálá lőtt a vagy tabil l, vagy intabil l Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/66

67 Dikrét I/O odllk tabilitáa viaflé vtt diffrnciák aa ai tabil volt a dikrtiálá lőtt, a a i arad, ai intabil volt dikrtiálá lőtt a vagy tabil l, vagy intabil l Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/67

68 Dikrét I/O odllk tabilitáa utin ódr I / / j -j R aa ai tabil volt a dikrtiálá lőtt, a a i arad, (d a tranin jllg váltohat!) ai intabil volt dikrtiálá lőtt a intabil i arad Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/68

69 Dikrét I/O odllk tabilitáa Póluok lhlykdéénk hatáa való póluok Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/69

70 Dikrét I/O odllk tabilitáa Póluok lhlykdéénk hatáa koplx póluok Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/7

71 Dikrét I/O odllk tabilitáa A folytono é a dikrét rndrk tabilitáa köötti kapcolat dfiníció: intavétléi idő: koplx váltoó flbontáa: dfiníció átíráa: 2π ω σ jω π ω 2 ( σ jω ) Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/7

72 Dikrét I/O odllk tabilitáa. pont I /2 I j R - R - /2 -j 2π ω Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/72

73 Dikrét I/O odllk tabilitáa 2 átnt : jω / 2 I 2 /2 I j-2-2 R 2 - R - /2 ω 4ω -j Irányítátchnika MI VI BSc 2π ω jω ( 2π / 4) j in( 2π / 4) j 4 co co ( π / 2 ) in( π / 2) Mintavétl_rndrk/73

74 Dikrét I/O odllk tabilitáa 2. pont jω / 2 I 2 /2 I j-2-2 R 2 - R - /2 ω 2ω -j 2π ω jω 2 co ( 2π / 2) j in( 2π / 2) Irányítátchnika MI VI BSc co ( π ) in( π ) Mintavétl_rndrk/74

75 Dikrét I/O odllk tabilitáa 3. pont jω / 2 I j R -j ( σ jω / ) 2π ω 2 2πσ ω πj Irányítátchnika MI VI BSc x Mintavétl_rndrk/75

76 Dikrét I/O odllk tabilitáa 4. pont jω / 2 3 I 2 I j /2 R R 4 - /2 ( σ jω / ) 2π ω 2 2πσ ω πj -j Irányítátchnika MI VI BSc x Mintavétl_rndrk/76

77 Dikrét I/O odllk tabilitáa 5. pont jω / 2 3 I 2 /2 I j R R /2 -j 2π ω jω 2 co ( 2π / 2) j in( 2π / 2) Irányítátchnika MI VI BSc co ( π ) in( π ) Mintavétl_rndrk/77

78 Dikrét I/O odllk tabilitáa A tabilitái tartoányok köötti öfüggé 3 I 2 I j /2 R R /2 -j Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/78

79 Dikrét I/O odllk tabilitáa Stabilitái tartoányok öhaonlítáa folytono idjű rndr dikrét idjű rndr I /2 I j /2 - /2 R - R -3 /2 -j Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/79

80 Dikrét I/O odllk tabilitáa Stabilitávigálati ódrk Jury tt w-tranforáció Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/8

81 Jury-tt Dikrét I/O odllk tabilitáa lgyn a például vigálandó rndr rdő ipulu átvitli függvény a ( ) a 4 a3 2 a a a tt a nvő a i gyütthatóinak vigálatán alapul Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/8

82 Dikrét I/O odllk tabilitáa a tt nt a a a 4 a a 3 a a 2 a a a a Irányítátchnika MI VI BSc a a α a a a 3 a 2 a 4 a 2 a 3 a4 a' 3 4 a 3 a 2 a' 4 a a a a a 3 a 4 a a a4 a a i ai α 4 a4i α a i ai α3 a4 i a α a a α a4 2 a i i 2 i α a i ai α a4 i 3 i 4, 3, 2, 4, 3, 2 a rndr tabil, ha valannyi bkrttt érték poitív i i 4,3 i 4 Mintavétl_rndrk/82

83 w-tt Dikrét I/O odllk tabilitáa bilinári tranforáció: w w a tranforált átvitli függvényn Hurwitódr alkalaáa Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/83

84 Dikrét PID algoritu folytono PID algoritu Arányo, intgráló é driváló tagok párhuao kapcoláa ahol K a köö rőíté I a intgrálái időállandó D a driválái időállandó Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/84

85 Dikrét PID algoritu I/O odll: u átvitli függvény t d dτ d I dt ( t) K ( t) ( τ ) K D I ( t) Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/85

86 Dikrét PID algoritu a folytono algoritu dikrtiáláa tagonként a időtartoánybli odll alapján a átvitli függvényből tábláattal arányo tag: (t) (k ), aa a hibajl érték a adott intavétléi időpontban intgráló tag: aa a intgrálát a téglány abály alapján uááal kölítjük Irányítátchnika MI VI BSc t I ( τ ) dτ ( i) I i k (t)... k-k i Mintavétl_rndrk/86

87 Dikrét PID algoritu driváló tag D d dt ( t) ( k ) ( ( k ) ) D aa a driválát két ponto különbégképél kölítjük létnk á, pontoabb, d bonyolultabb goldáok a intgráló illtv a driváló tagok kölítéér Irányítátchnika MI BSc Mintavétl_rndrk/87

88 Dikrét PID algoritu a dikrét PID algoritu I/O odllj: a ún. poíció algoritu, ly gadja, hogy hova álljon b a végrhajtórv (pl. hány %-ra k k i k K k u D k i I Irányítátchnika MI BSc Mintavétl_rndrk/88 hova álljon b a végrhajtórv (pl. hány %-ra nyion). -tranforálva E E E K U D I

89 Dikrét PID algoritu a ipulu átvitli függvény K E U D I DPID Irányítátchnika MI BSc Mintavétl_rndrk/89

90 Dikrét PID algoritu Vannak olyan bavatkoó rvk, alyk bntér a pillanatnyi hlyth képti gváltoát kll bnő adatként gadni. Et olgáltatja a bég algoritu. Lvtéh írjuk fl a poíció algoritut a k-dik Irányítátchnika MI BSc Mintavétl_rndrk/9 Lvtéh írjuk fl a poíció algoritut a k-dik é k--dik intavétléi időpontra: k k i k K k u D k i I 2 2 k k i k K k u D k i I

91 Dikrét PID algoritu kivonva gyából a két gynltt t a gynltt a kövtkő alakban oká gadni: 2 2 k k k k k k K k u k u D I Irányítátchnika MI BSc Mintavétl_rndrk/9 gadni: ahol 2 2 k q k q k q k u k u K q D 2 K q D I 2 K q D

92 Dikrét PID algoritu ipulu átvitli függvény E q E q E q U q q q U DPID Irányítátchnika MI BSc Mintavétl_rndrk/92 E DPID

93 Dikrét PID algoritu Dikrét PID algoritu bállítáa akahahi rint paraétrk intavétléi idő a abályott aka időállandója h a abályott aka holtidj K a abályó rőíté I intgrálái időállandó D driválái időállandó lgyn Irányítátchnika MI BSc h Mintavétl_rndrk/93

94 Dikrét PID algoritu bállítandó paraétrk rőíté K. 2, 3 h h 2 ( / ) 2 intgrálái időállandó, 6 I K ( / 2) 2 h driválái időállandó D, 5 K Irányítátchnika MI BSc Mintavétl_rndrk/94

95 Dikrét PID algoritu a példa iulációja Irányítátchnika MI BSc Mintavétl_rndrk/95

96 Dahlin algoritu Cél: adott átvitli függvénnyl rndlkő, holt idő akat tartalaó, intavétl árt abályoái körhö abályoó illté A abályoái rndr aló intjén lgyn a abályó kör rdő átvitli függvény: h τ ahol τ a árt kör időállandója, h a aka holtidj Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/96

97 Dahlin algoritu A folyaato űködéű abályoó kör c p h h c p τ λ ahol λ /τ hangolái tényő Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/97

98 Dahlin algoritu A intavétlé abályoái kör c c p p ahol intavétléi időállandó Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/98

99 Dahlin algoritu Fladat: határouk g a abályoó ipulu átvitli függvényét ( c ()) adott árt kör ipulu átvitli függvényh ( ()), ha irjük a aka ipulu átvitli függvényét ( p ()). c p Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/99

100 Dahlin algoritu A árt kör átvitli függvényénk kölíté: h λ d λ λ Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/ λ d h

101 Dahlin algoritu Lgyn a aka átvitli illtv ipulu átvitli függvény: h p K Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/ d d p a b K d h

102 Dahlin algoritu Bhlyttítv a () é p () ipulu átvitli függvénykt a abályoóra kapott öfüggéb: c d d λ λ λ ahol Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/2 d p c d K λ λ d b a λ λ λ h d K b, a

103 Dadbat algoritu Vég bálláú abályoái algoritu Cél: a abályoott jllő vég, lőr ghatároott áú intavétléi priódu után érj l a állandóult állapotot adott, lőírt váltoáú alapjl vagy avaró jl tén a aló intű kör a flő int utaítáait iniáli idő alatt tljít Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/3

104 Dadbat algoritu A intavétltt, árt abályoái kör: a rdő ipulu átvitli függvény: y r c c p p Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/4

105 Dadbat algoritu a abályoó ipulu átvitli függvény: c p Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/5

106 Dadbat algoritu lgyn a alapjl: ( t) ( t) r r ( k), k k < a kint: y (... ) 2 ( ) y y y 2... Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/6

107 Dadbat algoritu A gfllő y(k) kinő jl oroatot cak olyan u(k) bavatkoó jl oroat hohatja létr, aly intavétléi cikluidő alatt intén tacionáriu értékr áll b: u (...) 2 ( ) u u u 2... u Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/7

108 Dadbat algoritu A árt körr vonatkoó öfüggé: y r ( ) 2 ( ) y y y( 2)... (...) 2 ( ) ( ) ( y ( 2 ) y ( ) )... ( y ( ) ) ( )... y P y() 2 p p... p 2 y() y() Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/8

109 Dadbat algoritu Haonló ódon írjuk fl a kövtkő öfüggét:... u... u u u r u 2 2 u u... u u u u u 2 2 Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/9 q... q q q Q 2 2

110 Dadbat algoritu Blátható, hogy y y... y y y y y p i i Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/ 2 u u... y u u u u u q i i i i b a K u y K

111 Dadbat algoritu Blátható, hogy P ( ) r ( ) P ( ) Q így a abályoó ipulu átvitli függvény: y u y p u r c p Q P P P Q P Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/

112 Dadbat algoritu polino alakban ahol a gyütthatók c p... p q... q q P Q u b q i aa Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/2 q b p q a q b q p a q q b i M M B q A q c

113 Dadbat algoritu Probléa: u b i aa a lő bavatkoó jl n raliálható. Mgoldá: korlátouk nnk értékét, d kkor a bállái idő gy priódual nő. yakorlati abályok: u u u() n lgyn kibb, int u() 8,, ha ninc korlát u()-ra ha van korlát u()-ra 95 95%-o bállái idő Irányítátchnika MI VI BSc Mintavétl_rndrk/3