1. Bevezetés a Matlab Használatába

Átírás

1 eveeté a Matlab Hanálatába Hetthéy Jen, arruth, arta ndrá, 4 eveeté a Matlab Hanálatába Hetthéy Jen, arruth, arta ndrá, 4. eveeté a Matlab Hanálatába Matlab egy interaktív progracoag tudoányo é érnöki áítáok, iulációk é grafiku adategjeleníté elvégéére. Matlab er hátteret bitoít átrix algebra, differenciálegyenletek é á ateatikai probléák egoldáára. Matlab elterjedtége é élekör alkalaáa abból adódik, hogy a Matlab utaítákélete kiterjethet toolboxok egítégével toolbox tulajdonképpen egy függvénykönyvtár, ait különféle akterületek táogatáára fejletettek ki. Ilyen akterületek például a jelfeldolgoá Signal Proceing Toolbox, a abályoátechnika Control Syte Toolbox, a képfeldolgoá Iage Proceing Toolbox, a neuráli hálóatok alkalaáa Neural Network Toolbox, tb. Ennek a beveetének a célja, hogy inél gyorabban el leheen jutni egy olyan intre, ai ükége a alapprobléák egoldáára. Réleteebb inforációt a Matlab felhanálói egédletek tartalanak. Elektroniku forában eek a atlab/help könyvtárban találhatók eg. Egy online úgó i a felhanáló rendelkeéére áll.» helpdek help utaítá nyújt egitéget a egye utaítáok hanálatárol, például:» help qrt Matlab utaítáokból egy kript fájlt i létre lehet honi. E egy text fájl. kiterjetéel. E a kript új utaítáként hanálható kiterjeté nélkül. Váltoó nevek: váltoók nevének érete axiálian 3 karakter lehet betk, áok é a _ karakter. el karakter ne lehet á. ki é nagybetk ne aonoak. caeen utaítá egváltotatja et a ködéi ódot aa aonoá teheti a ki é nagybetket, de ennek hanálata ne ajánlott. Minden vátoó egy átrix. Egy kalári váltoó egy egyer egye átrixnak tekinthet. datbevitel: Matlab áo adattíput hanál, de eeket ne kell egadni, autoatikuan deklarálja ket. Integer:» k= Ha a utaítá pontovevel végdik, akkor a eredény ne jelenik eg.» J=4; Való:» =3.6» F=.6e5 oplex:» =3+4*i» r=5*expi*pi/3 i=qrt váltoó, a egyég képete vektor elre eghatároott. Ehelyett aonban á váltoó i hanálható, például:» j=qrt Vektor:» x=[,, 3] % orvektor, a eleeket vevel vagy üre karakterrel pace kell elválatani» q=[4; 5; 6] % olopvektor, a eleeket pontovevel kell elválatani orvektorból a tranponálá veletével i képehet olopvektor:» v=[4, 5, 6] % ugyana int q Megjegyé: tranponálá koplex váltoók eetén a tranponált vektor koplex konjugáltját képei.» i.i Mátrix:» =[7, 8, 9; 5, 6, 7] % egy x3a átrix,» MTRIX=[row; row;... ; rown]; Speciáli vectorok é átrixok:» u=:3; % létrehoa a v=[ 3] vektort,» u=tart:top» w=::; % létrehoa a w=[ ] vektort,» =tart:increent:top» E=eye4 E=» =eye3,4 =» C=ero,4 C=» D=one3,5 D= Váltoó értékek: váltoó nevének beíráa kijeli a váltoó értékét.» = », 3 an = 7 el index a or áát jeli, a áodik pedig a olop oráát adja eg. válat a an váltoó vei fel. Egy átrix vagy vektor egy eleének egváltotatáa után a váltoó öe elee látható a képernyn, kivéve ha a utaítá pontovevel végdik.» v= 6 v= Indexelé Subcripting: kettpont : egítégével a átrix több elee i hoáférhet egyerre. Többféleképpen i hanálható e a operátor. edeti index : vég index egy átrix egy rééhe enged hoáférni : a kettpont a öe eleet jelöli ki egy adott orban vagy olopban. Vektorok eetén: v=[v v... vn] Mátrixok eetén: M=[M,...M,; M,...M,;... ; Mn,...Mn,] Ha egy 8x8 átrix, akkor

2 eveeté a Matlab Hanálatába Hetthéy Jen, arruth, arta ndrá, 4 eveeté a Matlab Hanálatába Hetthéy Jen, arruth, arta ndrá, 4 :5,3 egy olopvektor, [,3;,3; 3,3; 4,3; 5,3] :3,4:5 egy átrix [,4,5; 3,4 3,5] :,3 a átrix indegyik orát é haradik olopát, aa a haradik olopot jelenti,: a átrix áodik orát jelenti :3,: a átrix el háro orát jelenti.»,: % a átrix áodik orának el é áodik eleét jelöli ki» :, % a átrix áodik olopát jelöli ki Munkaterület Workpace: hanált váltoók a workpacenek neveett eória területen helyekednek el. workpace a követke utaítáokkal jeleníthet eg:» who» who % kiírja a váltoó éreteit i váltoók éreteit a length é a ie utaítáal lehet egadni. Vektorok eetén:» lng=lengthv lng= 3 Vektorok é átrixok eetén:» [,n]=ie = 4 % a orok áa n= 4 % a olopok áa workpacet el lehet enteni, betölteni é kitörölni:» ave % elenti a workpacet a default atlab.at fájlba.» ave filenae.at % elenti a workpacet a filenae.at fájlba.» clear % kitörli a öe váltoót.» load % betölti a workpacebe a atlab.at fájl tartalát» load filenae.at % betölti a workpacebe a filenae.at fájl tartalát ritetikai operátorok: Öeadá é kivoná:» =[ ; 3 4];» = ;» C=+; C= 5 5 8» D= D=» x=[ ] ;» y=x Vegyük ére, hogy a vektor indegyik elee egváltoott! y= Sorá: Vektor oráa kalárral:» *x an= 4 Mátrix oráa kalárral:» 3* an= Skalári orat:» =x *y = 4» y *x an= 4 Diadiku orat átrixot eredénye:» M=x*y M= 4» y*x an= 4 Mátrix oráa vektorral:» b=m*x b= 4 8 Otá:» C/ Mátrixok eetén: / egfelel nek \ egfelel nek Hatványoá: ^p, ahol egy négyete átrix é p egy való kontan például invere : ^, vagy eel egyenérték inv Mveletek koplex áokon:» r r= i» realr» iagr an=.5 an=

3 eveeté a Matlab Hanálatába Hetthéy Jen, arruth, arta ndrá, 4 eveeté a Matlab Hanálatába Hetthéy Jen, arruth, arta ndrá, 4» abr» angler an= 5 an=.47 ög fokokban» 8/pi*angler an= 6. Töbök eleein végett veletek: töbök eleein végett aritetikai veletek a veletek fonto coportját alkotják. Ha a aritetikai veletet egeli egy pont, akkor e a velet a váltoók eleeire vonatkoik..* velet öeoroa a váltoók egfelel index eleeit. Például orvektorok eetén: a.*b=[a*b, a*b,..., an*bn]. váltoók éretének eg kell egyenie. Például:» a=[ 4 6]» b=[5 3 ]» a.*b an= 6 eleenként végend veletek érteleeren á operátorokra i alkalahatók, például otá é hatványoá eetén:./,.^ lapvet ateatikai függvények: egye függvények hanálatát a help utaítá utatja eg ab abolute value or agnitude of coplex nuber qrt quare root real real part iag iaginary part conj colplex conjugate round round to nearet integer fix round toward ero floor round toward infinity ceil round toward +infinity ign ignu function re reainder in ine co coine tan tangent ain arcine aco arccoine atan arctangent atan four quadrant arctangent inh hyperbolic ine coh hyperbolic coine tanh hyperbolic tangent exp exponential bae e log natural logarith log log bae beel eel function rat rational approxiation exp atrix exponential log atrix logarith qrt atrix quare root. Például:» help qrt» g=qrt Grafiku kienet: legegyerbb grafiku utaítá a plot.» plot,3 % kirajolja a x=, y=3 pontot Egyerre több pontot i ki lehet rajolni, ha a koordináta értékeket egy vektorban tároljuk el.» x=[,,3]» y=[,,]» plotx,y % a pontok öe vannak kötve egyeneekkel» plotx,y, * % így a utaítá cak a pontokat rajolja ki Eel a óderrel bonyolultabb görbék i kirajolhatók. Például:» t=:.5:4*pi;» y=int;» plott,y» title Sine function,xlabel Tie,ylabel int,grid; ahol a title, xlabel, ylabel é grid utaítáok opcionáliak. Egyerre több görbe i kirajolható:» y=3*in*t;» plott,y, r,t,y, b ; % rred piro, bblue kék kirajolá ínét é típuát a követke forátuban lehet egadni:» jelenti a vonal típuát: folytono aggatott : pontvonal. pontok + plu * cillag o kör x xjel é # jelenti a ínt: r red, piro g green, öld b blue, kék w white, fehér y yellow, árga Polinook: Matlabban a polinookat együtthatóikkal adhatjuk eg. Például a Px=4x 4 6x 3 +9x 5 polinoot egadhatjuk egy vektorral, ainek a eleei a polino együtthatói.» v=[ ] polino gyökeit, aa a Px= egyenlet egoldáait a root utaítá áolja ki.» p=rootv p = i 5 6

4 eveeté a Matlab Hanálatába Hetthéy Jen, arruth, arta ndrá, i polino p, p,..., p n gyökeibl kiáolhatjuk a Px=x p x p...x p n polino együtthatóit.» v=polyp v = poly utaítá a legnagyobb hatványú együtthatót egynek vei norálja. Ha via akarjuk kapni a eredeti polinoot, akkor eg kell oroni a öe együtthatót a el együtthatóval, a i eetünkben 4gyel.» v=4*polyp v = Vegyük fel a követke átrixot:» M=[3 5 ; 7 ] M átrix ajátértékeit a eig utaítá határoa eg.» e=eigm e = ajátértékeket egy polino gyökeinek tekintve a poly utaítáal egy polino eghatároható:» polye an = 38 fenti polino, aa x x38 a M átrix karakteritiku polinoja, ai a detxim egyenlettel határoható eg. karakteritiku polino a M átrixból követlenül i kiáítható:» polym an = 38 Látható, hogy okor egy utaítá többféleképpen i eghívható. Matlab help egy utaítá valaennyi eghívái lehetégét egadja. eveeté a Matlab Control Syte Toolbox Hanálatába Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4. eveeté a Matlab Control Syte Toolbox Hanálatába Tekintünk egy egybeenet, egykienet folytono lineári rendert, aely átviteli függvényével adott: ut Y S nu yt H U U den Y Állítuk el a Matlab egítégével a H render áteneti függvényét, aa a yt 4 kienetet egyégugrá beenet eetén. átviteli függvényt a áláló é a neve polino felvételével határouk eg. Egy polinoot a együtthatóival adhatunk eg, így a fenti példában nu, den 4.» nu= Step repone» den=[ 4].7 Általáno eetben a együtthatókat cökken foká erinti.6 orrendben kell egy vektorba gyjteni. áteneti függvényt a.5 Matlab tep utaítáával lehet egjeleníteni:.4» tepnu,den; Ugyanet követlenül i eg lehet adni:.3» tep,[ 4];. Vegyük ére, hogy a idkálát a Matlab autoatikuan. válatotta. ennyiben tárolni kívánjuk a kiáított áteneti függvény értékeit, akkor a tep függvényt bal oldali arguentual annak a váltoó nevének egadáával, aelyben tárolni kívánjuk a kiáított függvényértékeket kell eghívnunk:» [y,x,t]=tepnu,den vagy egyerbben» y=tepnu,den Látható é érdee egjegyeni, hogy a Matlab függvényhíváoknak jelleje, hogy a arguentuok áa váltoó lehet indkét oldalon. fenti háro bal oldali váltoót egjelöl függvényhívában a y a kienjel értékeit, a x a render bel állapotváltoóinak értékeit é a t a áítáok idpontjainak értékeit tartalaa. Vegyük ére, hogy ebben a eetben grafiku ábráolá ne történt. Ha pontovet teünk a or végére, akkor a adatokat e írja ki a Matlab. értékek kiírhatók a váltoó nevének beíráával.» y Látható, hogy egy olopvektort kaptunk, aelynek eleei a intavételeéi pontokban felvett értékek. intavétel teréete, hien ne analóg áítógéppel dolgounk, így caki dikrét idpontokban várhatjuk a iuláció eredényét. érdé, hogy ilyen idfelbontáal dolgotunk. ábrából látható, hogy a Matlab autoatikuan a t 6 idtartoányt válatotta ki a áteneti függvény egjelenítéére. Matlab a render dinaikai tulajdonágai éruai, póluai alapján válatja eg a idvektort. y vektor eleeinek áából így ár via tudunk követketetni a intavételi idre.» n=lengthy n = 9» T=6/n T =.55 áított intavételi id: T=6/9=.55 ec. help utaítá egutatja a utaítá rélete hanálati ódjait:» help tep 7

5 eveeté a Matlab Control Syte Toolbox Hanálatába Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 Teréeteen átalan ódon variálható a fenti iuláció futtatá. utaítá egy fonto alakja, aikor ne kívánjuk a Matlab autoatiku iuláció idköét é idtartaát válatani, hane et rögíteni kívánjuk a iuláció végrehajtáa eltt, pl. ecig eretnénk látni a áteneti függvényt, égpedig. ec felbontái idvel. djuk eg elör a tól ig terjed intervalluot.e lépéköökkel»t=:.: ajd jelenítük eg a áteneti függvényt:» y=tepnu,den,t kienjelet grafikuan egjeleníthetjük a plot utaítáal:» plott,y; könnyebb értelehetég érdekében egy koordináta hálót i rajolhatunk a ábrára a grid utaítáal.» plott,y,grid; plot utaítá a pontok köött lineári interpolációt alkala, aa öeköti a pontokat egy egyeneel. egye pontok öekötée cak a viuáli egjelenítét végül i folytono render folytono kienetét eretnénk látni olgálja, valójában ninc pontoan kiáított inforációnk a kienjel két iuláció pont köötti vielkedéét illeten. Et a interpolációt elhagyhatjuk, ha pontokkal ábráoljuk a intavételi értékeket.» plott,y,'.'; Eeket a y értékeket további áítáokra i fel lehet hanálni. áteneti függvény axiáli értékét egkaphatjuk a ax függvény híváal.» y=axy y =.585 Stacionáriu értékét a dcgain utaítá adja eg.» y=dcgainnu,den y =.5 áaléko túllüvét eekbl ki tudjuk áolni.» yovrht=yy/y* yovrht = 6.97 Inver Laplace Tranforáció: nalitiku vigálatokho ükége a inver Laplace tranforáció áítáa. óder lényege, hogy a függvény Laplace tranforáltját olyan tagok öegére bontjuk fel, aelyeknek inver tranforáltját ár ierjük. leggyakrabban elforduló tagok: L k k t r L pt re p r L pt rte p Et a alakot rélettörtekre bontáal lehet eghatároni, ait a reidue utaítáal lehet végrehajtani. Legyen a feladat a Y= ++3 való törttel a Laplace tartoányban leírt jel viatranforáláa a idtartoányba, aa yt analitiku eghatároáa. Elör adjuk eg a jel Laplace tranforáltját áláló é neve polinojával:» nu=[3 3 6];» den=poly[3 3 ]; rélettörtekre való bontá: eveeté a Matlab Control Syte Toolbox Hanálatába Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4» [r,p,k]=reiduenu,den r =. 4.. p = k = [] eredény a Laplace tartoányban koplex frekvencia tartoányban: r r r3 4 Y k p p p3 3 3 é a idtartoányban: 3t 3t t y t e 4te e, t Figyeljük eg a kett pólunak egfelel truktúrát ind a r é p vektorban, ind a rélettörte Laplace tranforált alakban, ind pedig a idtartoánybeli kifejeében. analitiku kifejeé alapján teréeteen el tudjuk állítani a idfüggvényt:» t=:.5:6;» y=r*expp*t+r*t.*expp*t+r3*expp3*t; áodik kifejeében a t elletti pont at jelöli, hogy a veletet ne a vektorra, hane annak eleeire érteleük. Ugyanet egyerbben i eg lehet határoni nuerikuan.» yi=ipulenu,den,t;» plott,[y,yi],grid; LTI odell truktúra y: egyerbb hanálat érdekében a Control Syte Toolbox beveeti a LTI adattruktúrát Linear Tie Invariant yte. Egy LTI truktúrában egy lineári rendert hároféle alakban lehet egadni. Átviteli függvény alak: H b... b bb a a... a aa 3 tf n n n n... Zérupólueríté alak: Hpk k p p... p x=x+u 3 Állapottere alak:,,, y=cx+du = C D.. Matlabban a tf, pk é utaítáokkal lehet egadni egy lineári rendert LTI y truktúrában. Legyen a render átviteli függvénye H.» nu=» den=[, 3, ]» H=tfnu,den Tranfer function: ^ vagy követlenül:» Htf=tf,[, 3, ] többi odell haonlóan adható eg: n

6 eveeté a Matlab Control Syte Toolbox Hanálatába Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 eveeté a Matlab Control Syte Toolbox Hanálatába Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4» Hpk=pk[],[, ], Zero/pole/gain: ++» =[3, ;, ]; =[; ]; C=[, ]; D=;» H=,,C,D; odellek átkonvertálhatók egyába.» Hpk=pkHtf» H=Htf» Htf=tfH odellek áo paraétert propertie foglalnak agukban. Eeket a get utaítáal néhetjük eg.» gethtf» gethpk» geth LTI odell paraétereket egkaphatjuk a tfdata, pkdata, data utaítáokkal. 'v' flag ükége, hogy vektor alakban kapjuk eg a paraétereket.» [nu,den]=tfdatahtf,'v' nu = den = 3» [,p,k]=pkdatahpk,'v' odell paraéterek követlenül i elérhetk a nevükön keretül:» nu=htf.nu{} nu = LTI adattruktúra néhány paraétert ún. cell array típuban tárol, hogy több beenet, több kienet MIMO, ulti input ultioutput renderek eetén i hanálható legyen. cell array egy olyan átrix, elynek eleei átrixok. Egy cell array például a követkeképpen adható eg.» ca={, [,],[,,3]} ca = [] [x double] [x3 double]» ca{} an = {} jelöléel hivatkounk a cell array el eleére. Egy beenet, egy kienet SISO ingleinput ingle output renderre indig {} jelölét kell hanálni, ivel cak a el ele léteik. nu, den,, p paraéterek cell array forátuban adottak. get utaítáal lehet egnéni a paraéterek típuait. többi odell paraéter haonló ódon érhet el:» Hpk.k=; Hpk.=[]; Hpk.p=[, ];» Hpk k: : [] p: [ ]» H.a an = 3. Sibóliku adatbevitellel tovább egyeríthet a adat egadá. a Laplace tranforáció váltoó.» =tf''» H=/+*+ ritetikai veletek i alkalahatók a LTI truktúrákra. leggyakrabban hanálato veletek: +,,*, /, \, ', inv, ^. Például egy árt render ered átviteli függvénye kiáítható követlenül a alábbi ibóliku öefüggéel:» Hcl=H/+H LTI y truktúrák egy hierarchiku orrendben helyekednek el: tf > pk >. Ha egy utaítában vagy áítában különbö odellek erepelnek, akkor a eredény indig a agaabb hierarchiájú odell forájában keletkeik. Például a» Htf*Hpk utaítá eredénye pk alakban jelenik eg. Idtartoánybeli vigálat: Control Syte Toolbox több utaítát tartala, aelyek egítégével a lineári renderek idtartoánybeli vielkedéét lehet vigálni. Vigáljuk iét a követke rendert: H 4» H=/^+*+4 Vegyünk fel egy idtartoányt:» t=:.:; Áteneti függvény tep repone: áteneti függvény a render kienjele egyégugrá tep beenjel eetén. tep utaítá elekben tárgyalt alakjai ellett a alábbi alak i hívható:» teph; Súlyfüggvény ipule repone: úlyfüggvény a render kienete Diracdelta beenet eetén.» ipuleh;» yi=ipuleh,t;» plott,yi edeti feltétel initial condition: render vielkedée kedeti feltétel eetén a initial utaítá egítégével vigálható. Cak állapottere repreentációra alkalaható e a utaítá.» H=H ode Diagra Fro: U» x=[, ]» [y,t,x]=initialh,x;» plott,y,grid Vegyük ére, hogy a x váltoó egy átrix, aelynek annyi 3 olopa van, ahány állapotváltoója van a rendernek 4 ebben a eetben. Sorainak áa egegyeik a 5 idvektor eleeinek áával. Ellenriük:» iex 5 an = 9 render állapottrajektóriáját i tudjuk vigálni. x átrix el olopa tartalaa a el állapotváltoót, a Frequency rad/ec áodik pedig a áodikat. : kiválatja a adott vektor inden egye eleét. állapottrajektória a egyik állapotváltoót a áik állapotváltoó függvényében ábráolja.» x=x:,; x=x:,;» plotx,x Tetlege beenet: render kienetét tetlege beenet eetén i ki lehet áítani. Határouk eg a kienetet ut= in3t beenet eetén.» uin=*in3*t;» yin=lih,uin,t; Ábráoljuk a beenjelet piro, a kienjelet pedig kék görbével.» plott,uin,'r',t,yin,'b', grid; Phae deg; Magnitude d To: Y

7 eveeté a Matlab Control Syte Toolbox Hanálatába Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 eveeté a Matlab Control Syte Toolbox Hanálatába Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 Frekvenciatartoánybeli vigálat: render vielkedée a frekvenciatartoányban i vigálható. ode diagra render ode diagraját a bode utaítáal áíthatjuk. Sáo ódon alkalahatjuk et a utaítát. Egy egadott frekvencián kiáolhatjuk a render erítéét é fáiögét. Sáítuk ki a erítét a =5 frekvencián.» w=5;» [gain,phae]=bodeh,w; eredény: gain =.86, phae = áítá egiételhet különbö frekvenciákon. bode utaítá aonban eghívható úgy i, hogy egyidejleg több frekvencián i kiáítja a frekvenciafüggvény abolút értékét é fáiögét. ode diagra követlenül grafikuan i egjeleníthet. Ebben a eetben a Matlab autoatikuan felve egy frekvenciatartoányt a render dinaiku tulajdonágai alapján a tep utaítáho haonlóan.» bodeh,grid frekvencia pontok logaritiku kálán helyekednek el, ivel e eléleteebb, nagyobb frekvenciatartoányt átfogó egjelenítét bitoít. frekvencia vektor követlenül i eghatároható:» w=logpace,,; logpace utaítá létreho egy pontból álló logaritikuan egyenl távolágra elhelyeked pontokból álló frekvencia vektort a. and köti frekvenciatartoányban. Eel a ode diagra értékei ár kiáíthatók é ábráolhatók.» [gain,phae]=bodeh,w; Nyquit diagra : render erítéét é fáitoláát ábráoljuk a koplex íkon úgy, hogy a frekvencia váltoik.» nyquith; Margin : e a utaítá kiértékeli a frekvenciafüggvény jelleit, kiáítja a tabilitára jelle utatókat.» arginh; Fro: U Zéruok, póluok:.6 karakteritiku polino a átviteli függvény neveje.4 gyökei. a render póluai.» [nu,den]=tfdatah,'v';» pole=rootden;. éruok a átviteli függvény álálójának a gyökei..4» ero=rootnu;.6 éruok é póluok egkaphatók követlenül a pk odellbl: Real xi» [,p,k]=pkdatah,'v'; éruok é póluok ábráolhatók a koplex íkon.» ubplot;» paph; dap utaítá egadja a öe pólut é koplex pólupár eetén a cillapítái tényet é a ajátfrekvenciát i:» daph; render DC egyenáraú erítée eghatároható:» =dcgainh; LTI Viewer: Iaginary xi To: Y Nyquit Diagra Egy lineári render egyeren vigálható a LTI Viewer egítégével. LTI Viewer egy grafiku felület egy render id é frekvenciatartoánybeli tulajdonágainak vigálatára. Több render egyerre i vigálható a különbö enpontok é a jobb egér billenty egítégével.» ltiview vagy konkrétabban,» ltiview'bode',h; Siulink: Siulink egy grafiku progracoag, aely blokk diagraon alapuló iuláció végrehajtáára képe. Egy Siulink iuláció két lépébl áll. Elör létrehouk a odellt, ajd futtatáokat végünk a kívánt paraéterbeállítáok ellett. Siulinkben egy dinaiku rendert blokk diagraal lehet egadni. render definiáláa a blokk diagra egrajoláát jelenti. blokkokat ne kell külön elállítani, egy könyvtárból ki lehet ket áolni. könyvtár blokkjai ködéük erint külön alkönyvtárakban helyekednek el. Siulink blokk könyvtár egnyitható a Matlabból a iulink utaítáal, vagy a Siulink ikonnal. Egy új odellt létre lehet honi File > New en aktíváláával. E létreho egy új ablakot, aelybe a blokkok ár beáolhatóak a könyvtárból. egér bal gobjának lenyova tartáával lehet a könyvtári blokkokat áthúni a fájlunkba. blokkokat öe tudjuk kötni a egér bal gobjával, ráklikkelünk a blokkok beenetére vagy kienetére, ajd a vonalat odahúuk a kívánt helyre. Egy blokk duplikálható a jobb egér billenty klikkeléével. blokkokat éreteni é elforgatni i lehet. blokk paraétereit dupla klikkeléel lehet egváltotatni. új fájl elenthet a File>Save enponttal. iuláció elindítható a Start > Siulation envel, vagy a Run ikonnal. iuláció beállítái paraéterei egváltotathatók. futtatái eredényeket a Scope blokkal lehet egvigálni vagy a To Workpace blokkal viaküldeni a Matlab felületre. Siulink a odellek iulációját köönége differenciálegyenletek integráláával végi. Siulink áo integrálái óder hanálatát tei lehetvé. Ponto eredények eléréére a egfelel óder kiválatáa i egy fonto epont lehet. Siulink ködéének egierée céljából vegyünk egy egyer példát. Hounk létre egy új fájlt é áoljuk be a különféle blokkokat. blokkok paraétereit váltotauk eg a kívánt értékre. Állítuk be a enbl a Siulation >Paraeter >Stop tie paraétert 5re. Siulink a Matlabban definiált váltoókat hanálja. Clock Step Input t tie.5 Gain Tranport Delay y output Scope H: Control Syte Toolbox >LTI yte : H ülönbégkép: Siulink >Math >Su: + élelteté, holtid: Siulink >Continuou >Tranport Delay: Eríté: Siulink >Math >Gain:.5 Step input: Siulink >Source >Step Scope: Siulink >Sink >Scope Clock: Siulink >Source >ClockOutput, tie: Siulink >Sink >To Workpace: y,t H LTI SyteP

8 eveeté a Matlab Control Syte Toolbox Hanálatába Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 Váltotauk a Gain paraéter értékét.5 é köött. Állapítuk eg, a paraéter ilyen értékénél lépnek fel a renderben állandóult lengéek. frekvenciafüggvény Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 3. frekvenciafüggvény Stabili lineári renderek egy alapvet tulajdonága, hogy inuo beenjelekre állandóult állapotban, a tranienek lecengée után a beenjel frekvenciájával egegye frekvenciájú inuo jelekkel válaolnak. Legyen ut uin t u t eetén a renderünk beenete. kienjel yt yállandóult t ytranien t kienjel állandóult kváitacionáriu állapotban y t in t állandóult y y ut uin t u in H yt t y y y tranien frekvenciafüggvény a y / u aplitúdó arány é a y u fáikülönbég frekvenciafüggéét leíró függvény. Mivel a frekvenciafüggvény iultán ódon két renderjelle tulajdonág frekvenciafüggéét kívánja repreentálni, ne eglepõ, hogy a frekvenciafüggvény koplex függvény. ebionyítható, hogy forailag a frekvenciafüggvényt a átviteli függvénybl a =j helyetteítéel lehet áratatni. j H j H M e j frekvenciafüggvény kifejeéében M a aplitúdófüggvény a frekvenciafüggvény abolút értéke, pedig a fáifüggvény: M y H j argh j u frekvenciafüggvény többféleképpen i egjeleníthet. M é függvényeket különkülön ábráolhatjuk egy kijelölt frekvenciatartoányban. E a technika a ode diagraot eredényei. frekvenciakála léptéke renderint logaritiku. Nyquit diagra a frekvenciafüggvényt a koplex áíkon ábráolja. kiválatott frekvenciatartoány inden egye értékére a koplex íkban a M é értékpárnak egfelel pontot adhatunk eg. E pontok kontúrral való öekötée eredényei a Nyquit diagraot. Nyquit diag ra ábráoláakor a frekvenciát renderint nulla é végtelen köött váltotatjuk. Példa: Legyen egy render átviteli függvénye H Határouk eg a render kienjelét, ha beenjele ut= *in3*t.» nu=;» den=[,, ];» H=tfnu,den;» t=:.5:;» u=*in3*t;» yl=lih,u,t; Ábráoljuk a render beenjelét é kienjelét egy diagraban beenjel: piro red, kienjel: kék blue: y u

9 frekvenciafüggvény Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 frekvenciafüggvény Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4» plott,u,'r',t,yl,'b', grid; Állandóult állapotban, a tranien lecengée után a kienjel inuo, frekvenciája egegyeik a beenjel frekvenciájával, aplitudója é fáiöge függ a beenjel frekvenciájától. aplitudó é a fáiög kiáítható a H j frekvenciafüggvénybl. Matlabban a bode utaítá alkalaható een értékek kiáítáára egy adott frekvencián vagy egy adott frekvenciatartoányban. Például a 3 frekvencián:» [gain,phae]=bodeh,3; Vigáljuk a render válaát a alábbi beenjelekre: ut= in t,,, 3 5, 4.» w=; w=; w3=5; w4=;» u=inw*t; u=inw*t; u3=inw3*t; u4=inw4*t;» y=lih,u,t; y=lih,u,t; y3=lih,u3,t;» y4=lih,u4,t;» plott,y,'r',t,y,'g',t,y3,'b',t,y4,'', grid; Sáítuk ki a aplitudót é a fáiöget a egadott frekvenciákra:» [gain,phae]=bodeh,w;» [gain,phae]=bodeh,w;» [gain3,phae3]=bodeh,w3;» [gain4,phae4]=bodeh,w4; éítünk tábláatot a fenti frekvenciák, aplitudók é fáiögek értékeivel. aplitudó é fáiértékek egyerbben áíthatók, ha a frekvenciákat vektorban adjuk eg. Hounk létre egy lineári frekvencia vektort.» w=:.:;» [gain,phae]=bodenu,den,w; aplitudó é a fáidiagraok egyidejleg a képerny különbö ablakaiban jeleníthetk eg a ubplot paranc egítégével. ubplot paranc x ablakot ho létre a képernyn é eek köül a elre hivatkoik.» ubplot, plotw,gain» ubplot, plotw,phae E két görbe alkotja a render ode diagraját.» ubplot % viaállítjuk a egy ablako ábráolát. Nyquit diagra a koplex áíkon ábráolja a frekvenciafüggvény pontjait.» clf % clear figure, törli a el ábrát.» re=realgain.*expj*phae*pi/8;» i=iaggain.*expj*phae*pi/8;» plotre,i adott frekvenciavektor pontjaiho a frekvenciafüggvény való é képete réei követlenül i áíthatók a nyquit paranccal.» [re,i]=nyquitnu,den,w» plotre,i frekvenciafüggvényt követlenül i ábráolhatjuk. Megjeleníté: Ha a bode parancot bal oldali váltoók egadáa nélkül hívjuk eg, a diagra egjelenik a képernyn, de a áított adatok ne rdnek eg.» clf % törli a ábra ablakot.» bodeh,grid Figyeljük eg, hogy ind a frekvencia, ind pedig a aplitúdó léptéke logaritiku. Haonlóan a Nyquit diagra a alábbi utaítá eghíváával jeleníthet eg:» nyquith frekvenciafüggvény pontjait eleteen kiáíthatjuk, ajd aután ábráolhatjuk. Sáítá: aplitudó é fáiértékeket követlenül kiáíthatjuk, ha a utaítáokat bal oldali váltoók egadáával hívjuk eg. áítáho a átviteli függvényt áláló é neve polinojaival adjuk eg nu,den, ivel a LTI truktúra egy 3dienió elrendeét array ho létre.» [gain,phae,w]=bodenu,den Ebben a eetben a Matlab áítja a frekvenciavektort i. Egy Matlab utaítában a jobb oldali váltoók beeneti, a bal oldali váltoók kieneti váltoók. Ábráoljuk a aplitúdót kétereen logaritiku léptékben a Matlab loglog utaítáának eghíváával. E a utaítá haonló a plot utaítáho, de a egjelenítéhe ind a x, ind a y tengelyen logaritiku kálát hanál.» loglogw,gain,grid lkalauk iét a ubplot utaítát a aplitúdó é a fáiög egjelenítééhe.» ubplot» loglogw,gain» ubplot» eilogxw,phae Logaritiku frequencia vektort követlenül a logpace utaítáal hohatunk létre.» w=logpace,, E a utaítá logaritikuan ekviditán pontot áol a =. é = aló é fel frekvenciaértékek köött. lapérteleében, a haradik váltoó egadáa nélkül a utaítá 5 pontot áol. Eel a frekvenciavektorral áítuk újra a ode diagraot.» [gain,phae]=bodenu,den,w» ubplot» loglogw,gain Vegyük ére, hogy a frekvenciatartoány eltér a elbbitl. Feladat: render átviteli függvénye: H=/^++5 beenjel: ut=*int+ phae, t kienjel kváitacionáriu állapotban: yt=5*int+ phae Határouk eg a é phae paraéterek értékeit alkalauk a bode utaítát. Nyquit diagra alakja jellei a rendert. n aliálva a Nyquit diagraot a render fonto tulajdonágairól kaphatunk képet. ode diagra egyik elnye renderek oro eredi frekvenciafüggvényeinek áítáakor utatkoik. oro ered a frekvenciafüggvények öeoráával kapható eg. logaritiku lépték iatt a ode diagraok egyeren öeadódnak. ode diagra áik elnye, hogy renderint jól köelíthet aiptotáival. köelít diagraok jellegébl é törépontjaiból a render tulajdonágairól gyor értékelét adhatunk. alábbi példa elélteti, hogy a köelít ode aplitúdó diagra éle frekvenciatartoányban valóban jól köelíti a ponto görbét. Ponto é köelít ode diagra: Határouk eg a alábbi átviteli függvénnyel adott render ponto é köelít ode aplitúdó diagraját. H 3

10 frekvenciafüggvény Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 Lineári Render Eleei Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 render H átviteli függvénye ún. idállandó forában adott. Határouk eg erítéérupólu alakban i. H..» =pk» H=/*+*+**+*» [nu,den]=tfdatah, v» p=rootden render póluai:,.,.,. póluok a negatív eljel nélkül adják a köelít ode diagra törépontjait. Veeük be a alábbi frekvenciatartoányokat: w:..; w:.;w3:4» w= logpace log.,,;» w=logpace,,;» w3=logpace,log4,; telje frekvenciatartoányt a rétartoányok egyeítéével képeük:» w= [w w w3];. Sáítuk ki a köelít aplitúdó értékeket a tényere.» gain=./w;. Határouk eg a köelít aplitúdó értékeket a. tényere. töréponti frekvenciánál kiebb frekvenciákra kifrekvenciá köelíté a tag a kontanal köelíthet. törépont felett. nagyfrekvenciá köelíté a tag a átviteli függvénnyel köelíthet. 4» wl=w; wh=[w w3];» gainl=./.+*wl.^;» gainh=./wh.^;» gain=[gainl gainh]; 3. Haonlóan adjuk eg a köelít aplitúdó értékeket a» w3l=[w w]; w3h=w3;» gain3l=*w3l+; gain3h=./w3h; 4» gain3=[gain3l gain3h]; telje render erítée:» gainappr=.*gain.*gain.*gain3; Sáítuk ki a ponto ode diagra aplitúdó értékeit.» gainexact=bodenu,den,w; Ábráoljuk a két görbét egy diagraban.» loglogw, gainexact, b,w,gainappr, r,grid Látható, hogy a köelíté elfogadható, a aiptoták jól köelítik a ponto aplitúdó görbét. legnagyobb a eltéré a. frekvencián, ai egy kett póluho tartoó törépont. Megjegyeük, hogy a eltéré jóval nagyobb lehet gyengén cillapított konjugált koplex póluok eetén Lineári Render Eleei Egy lineári render ún. idállandó alakban általánoan a alábbi átviteli függvénnyel adható eg: c d j j j j k TD H e i e f T T T j j j j ahol k a átviteli vagy erítéi ténye, i a integrátorok áa, T D a holtid, é T idállandók, a paraéterek a cillapítái tények. alábbiakban a legfontoabb eleek id é frekvencia tartoánybeli tulajdonágait vigáljuk. Eek a eleek a arányo, integráló, differenciáló, holtid é tároló jelleg tagok, illetve eek oro kapcoláával adódó eredk.. rányo P tag: H k erítéi ténye k, a fáiög pedig éru inden frekvencián. k. Integráló I tag: H i=, a aka egyetlen integráló hatát tartala. További idállandó tagok nincenek. integráló tag eória tulajdonágú, kienetén a jel akkor lehet kontan, ha beenetén a jel értéke éru. kienjel aktuáli értéke a últbeli beenjel értékeitl függ. Vigáljuk a k átviteli függvénnyel adott tita integráló tag vielkedéét k é k 5 erítéi tények ellett. 5 H, H» clear % törlünk inden korábban definiált váltoót.» =pk % definiáljuk a iboliku váltoót pk alakban.» H=/» H=5/ áteneti függvény egyégugrára adott vála:» figure, teph, r,h, g, grid ode diagra:» figure, bodeh, r,h, g, grid Nyquit diagra:» figure3, nyquit H, r,h, g,grid áteneti függvény végértékei:» yinf=dcgainh» yinf=dcgainh Látható, hogy a áteneti függvény végértéke végtelen. frekvenciafüggvény aplitúdója kifrekvencián végtelen, íg fáiöge inden frekvencián 9º. k 3. Egytároló arányo PT tag: H T djuk eg a alábbi tag áteneti függvényét, ode é Nyquit diagraját. 4

11 Lineári Render Eleei Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 Lineári Render Eleei Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 Definiáljuk a rendert.» H=/+* illetve» H=tf,[, ] áteneti függvény:» t=:.:5;» y=teph,t;» plott,y,grid vagy egyeren» teph k H T piro, öld, 3 kék» H=/+**+*» H3=/+**+**+.* Áteneti függvények:» figure, teph, r,h, g,h3, b,grid ode diagraok:» figure, bodeh, r,h, g,h3, b, grid Nyquit diagraok:» figure3, nyquith, r,h, g,h3, b,grid Megjegyeük, hogy a görbék kijelölt rée egnagyítható a figure ablakban aktiviált oo paranccal. Vigáljuk a k é T paraéterek jelentéét, hatáát a render válaaira. kienjel állandóult értéke, yt a Laplace tranforáció végértéktételével áítható. y t li Y li H U ahol U a beenjel Laplace tranforáltja. Egyégugrá beenjel eetén y t li H U li H li H Ha H H, yt Matlab egítégével:» yinf=dcgainh Vigáljuk a T idállandó hatáát a tranien vielkedére. Iételjük eg a» y=tep,[t ],t; Matlab utaítát különbö T értékekre. aka átviteli függvénye egadható érupólu alakban i: k p. H=. p.. ahol k p, kp T T pólu abolút értéke egadja a köelít aplitúdófrekvencia diagra törépontját arokfrekvencia. áteneti függvény állandóult értéke yt li H egegyeik a aplitúdófrekvencia függvény kifrekvenciá értékével. tag ode é Nyquit diagraja:» bodeh;» nyquith; Haonlóan vigáljuk a alábbi egytároló, kéttároló é hárotároló arányo PT, PT, PT3 tagok áteneti é frekvenciafüggvényeit: H ; H ; H3. k 4. Integráló tároló IT tag: H T H, H, H3 integráló tagho orbakapcolt tároló tagok catlakonak.» H=/» H=/*+*» H3=/*+**+* Áteneti függvények:» figure, teph, r,h, g,h3, b,grid ode diagraok:» figure, bodeh, r,h, g,h3, b,grid, Nyquit diagraok:» figure3, nyquit H, r,h, g,h3, b,grid 5. éttároló leng tag: H T T Vigáljuk a alábbi rendert: H 9 T T ahol a teréete körfrekvencia é a cillapítái ténye T 3, =/3. T» nu=;» den=[9,, ]» H=tfnu,den render póluai a root utaítáal áolva» rootden illetve a dap utaítáal:» daph két konjugált koplex pólu egadható a alábbi alakban: p a jb, p a jb áteneti függvény v t túllövée a követkeképpen áítható: a a a b,, v b t e e b

12 Lineári Render Eleei Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 Lineári Render Eleei Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 lengéi körfrekvencia: b p áteneti függvény el axiuának idpontja cúcid:» eta=/3» vt=expeta *pi/qrt eta * eta áteneti függvény:» [y,t]=teph;» plott,y, grid áteneti függvény axiáli értéke:» y=axy Állandóult értéke:» y=dcgainh túllövé értéke áképp áítva:» yo=yy/y T p. b Vigáljuk a áteneti függvényeket, a ode é a Nyquit diagraokat különbö cillapítái tények ellett. =.3,.7,.» eta=.3, eta=.7, eta3=» T=3» H=/**T*T+*eta*T*+» H=/**T*T+*eta*T*+» H3=/**T*T+*eta3*T*+ áteneti függvények:» figure, teph, r,h, g,h3, b,grid ode diagraok:» figure, bodeh, r,h, g,h3, b,grid Nyquit diagraok:» figure3, nyquith, r,h, g,h3, b,grid póluéru konfigurációk:» paph» paph» paph3 Látható, hogy.3cillapítái ténye ellett a áteneti függvény a leglengbb, a túllendülé a legnagyobb, é a ode aplitudó diagra kieelée i a legnagyobb. Nyquit diagra etéke a iagináriu tengellyel ennél a cillapítánál a legnagyobb. póluok iagináriu értéke, ai a lengéi körfrekvenciát eghatároa intén itt a legnagyobb. ode aplitudó diagra kieelée öefüggében van a áteneti függvény túllendüléével. Ha el akarjuk kerülni a idtartoányban a nagy túllendülét, ne engedünk eg a frekvenciatartoányban nagy aplitúdó kieelét. =.7 cillapítái ténye kedve vielkedét, gyor beállát é ki túllendülét utat. Sabályoái renderek tervehetk ilyen dinaiku vielkedére. 6. Differenciáló D é DT tag: H Td H Td, H, H3, H4. djuk eg iét a tag áteneti függvényét, ode é Nyquit diagraját.» H=* p» H=*/+*» H3=* /+**+*» H4=* /+**+**+* H áteneti függvénye:» figure, teph Matlab ne tudja kiértékelni a render vielkedéét, ivel a tag ne realiálható, álálója agaabbfokú a nevejénél. áteneti függvény Dirac delta. Áteneti függvények:» figure, teph, r,h3, g,h4, b,grid ode diagraok:» figure, bodeh, r,h3, g,h4, b,grid, Nyquit diagraok:» figure3, nyquith, r,h3, g,h4, b,grid k éruok hatáa: H M D Vigáljuk a éru hatáát a áteneti függvényre é a frekvenciafüggvényre a alábbi átviteli függvény eetén: H, a áláló idállandója a éru értéke / 4 é 4 értékek köött váltoik. Poitív a koplex áík jobb oldalán lév éru eetén a tagot neiniufáiúnak neveük.» =tf''» tau=[4 4];» D=5**+*+;» for i=:5,» Hi=*taui+/D» end» t=:.:6;» Y=tepH,t; Y=tepH,t; Y3=tepH3,t;» Y4=tepH4,t; Y5=tepH5,t;» plott,[y,y,y3,y4,y5],grid,hg Megjegyeük, hogy a neiniufáiú renderek okatlan vielkedét utathatnak, például egy jobb oldali éru eetén a áteneti függvény kedetben a állandóult értékével ellentéte irányban indul el, ajd irányt váltva éri el végül állandóult értékét. éru beiktatáa gyorítja a rendert. ode diagraok:» figure» bodeh, r,h, g,h3, k,h4, y,h5, b,grid Nyquit diagraok:» figure» nyquith, r,h, g,h3, k,h4, y,h5, b,grid Értékeljük a éru hatáát a frekvenciatartoányb an a ode é a Nyquit diagraok alakuláára! D 8. Holtid tag: H e T holtid tag leíráa a id é a Laplace operátor tartoányban: yt yt T D D Y Y e T átviteli függvény:

13 Lineári Render Eleei Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 Lineári Render Eleei Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 TD HD H e frekvenciatartoányban: jtd jtd e, arge T D eríté: H HD fáiög: arg H arg H T D Vigáljuk a alábbi átviteli függvény tagok frekvenciafüggvényeit: H, H e holtid tag aplitúdója é fáiöge: H H, gain=gain arg H arg H TD, phae= phae TD D» Td=» nu=» den=[, ] ode diagra áítáakor ot a nu, den áláló é nevepolinoal adott alakot kell hanálni. Elör houk létre a frekvenciavektort.» w=logpace,,» [gain,phae]=bodenu,den,w» delay=8/pi*td*w' % a holtid tag TD radiánról fokra áítjuk át. aplitúdó é a fáiög a holtid figyelebe vételével:» gain=gain» phae=phaedelay» ubplot,loglogw, gain, r,w, gain, b,grid;» ubplot,eilogxw, phae, r,w, phae, b,grid fáiög linearitáa jól látható, ha ábráoláára a eilogx utaítá helyett a lineári lépték plot utaítát hanáljuk.» figure,ubplot,plotw, phae, r,w, phae, b,grid Ábráoljuk a Nyquit diagraot. Sáítuk ki el ör a való é a képete értékeket.» h= gain.*expj*phae*pi/8» h= gain.*expj*phae*pi/8» plotrealh,iagh, r, realh,iagh, b nagyfrekvenciá vielkedé jobban vigálható, ha nagyobb frekvenciatartoányt jelölünk ki a logpace utaítáal. idtartoánybeli vielkedé Siulink blokkdiagra egépítéével é a progra futtatáával követhet a legjobban, ivel a holtid tag a Siulink progra építelee.» H=tfnu,den» [nupade,denpade]=padetd,5» Hdeadtie=tfnupade,denpade» H=H* Hdeadtie áteneti függvény:» figure, teph, r,h, g,grid ode diagra:» figure, bodeh, r,h, g,grid Nyquit diagra:» figure3, nyquith, r,h, g,grid Feladat: Vigáljuk a Pade köelíté jóágát a fenti egytároló holtid tag eetén. Építünk egy Siulink prograot a tranport delay blokk, illetve a Pade köelít ötödfokú racionáli törtfüggvénnyel. Haonlítuk öe a áteneti függvényeket. k 9. ett integrátor: H H, H, H, H 3 4. Feladat: Határouk eg a egadott tagokra a áteneti függvényeket valaint a ode é a Nyquit diagraokat. Öefoglalá: áteneti függvény értéke állandóult állapotban t é a frekvenciafüggvény aplitúdója értéknél egegyeik. arányo jelleg tita arányo tagot é tároló tagokat tartalaó eleek Nyquit diagraja értéknél a koplex áík való tengelyének egy poitív pontjából indul, e a érték a aka átviteli tényeje. Integráló jelleg eleek Nyquit diagraja a iagináriu tengely negatív végtelen irányából indul. kétereen integráló eetleg tároló tagokat i tartalaó ele Nyquit diagraja a negatív való tengely végtelen irányából indul. Differenciáló jelleg eleek Nyquit diagraja a koplex áík origójából indul a poitív iagináriu tengely irányába. Tároló tagok eetén éruok nélkül a Nyquit diagra annyi íknegyeden halad át, ae nnyi a tárolók áa. fáiög a frekvenciával onoton ódon váltoik. éruok eltorítják a fáiög onoton váltoáát, eghatároott frekvenciatartoányokban a görbén behor padáokat okonak. rányo jelleg tagok ode aplitudó diagraja a frekvencia tengellyel párhuaoan indul, éru fáieltoláal. Egy integrátort tartalaó render ode aplitudó diagraja d / dekád eredekéggel indul 9 fáiöggel, íg a kett integrátort tartalaó render ode aplitúdó diagraja 4 d / dekád eredekéggel indul 8 fáiöggel. tároló tagok a törépontokban d / dekád eredekéggel váltotatják a aiptotiku ode aplitúdó görbe eredekégét. éruok egjelenée d / dekád eredekégváltoát oko. holtid tag átviteli függvénye ne racionáli törtfüggvény, a Matlab progra cupán köelíteni tudja egy neiniufáiú racionáli törtfüggvénnyel, a ún. Pade köelítéel. holtid átviteli függvény é a Pade köelíté Taylor orának el eleei egegyenek. Minél agaabbfokú a törtfüggvény, annál jobb a köelíté. köelít áteneti függvény éru helyett + vagy értékb l indul. Matlabban a pade utaítá olgál a köelíté egadáára. Pade köelíté eléltetéére alkalaunk ötödfokú köelítét. TD H e deadtie

14 Viacatolá Vigálata Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 5. Viacatolá Vigálata abályoátechnika alapvet truktúráli elee a viacatolá. árt körben a egye jelek köötti ered átviteli függvények pl. a abályoott jelle é a alapjel köötti ered átviteli függvény könnyen kiáíthatók. ered frekvenciafüggvények egyeren áratathatók a átviteli függvényekbl =j helyetteítéel. MTL követlenül táogatja a tipiku blokkdiagraalgebrai truktúrákat, a oroan kapcolt illetve a viacatolt körök átviteli függvényeinek áítáát. E függvényhíváok rövid öefoglaláára tekintük a alábbi árt abályoái kört C abályoó, P folyaat, F viacatolá: rt R et ut yt C P E U Y F abályoái körben a alábbi ered átviteli függvények áíthatók: felnyitott kör átviteli függvénye hurokátviteli függvény: L C PF árt abályoái kör ered átviteli függvényei, a hibajel, a beavatkoójel, illetve a kienjel abályoott jelle alapjelre vonatkoó ered átviteli függvényei: E U C Y C P W, W, T e u R L R L R L elreveet ág átviteli függvénye: E=CP:» E=erieC,P; vagy» E=C*P; hurokátviteli függvény: L=CPF=EF» L=erieE,F; vagy» L=C*P*F; árt körban a kienjelnek a alapjelre vonatkoó ered átviteli függvénye:» T=feedbackE,F,; Egyégnyi viacatolá eetén F= a árt kör ered átviteli függvénye a cloop utaítáal áítható:» T=cloopE,; ered átviteli függvény követlenül a LTI truktúrával ibólikuan i áítható:» T=C*P/+C*P*F inreal utaítá eghíváával kiejthetk a egegye éruok é póluok.» T=inrealT egyerítéhe tolerancia i egadható. tolerancia értéke alapérteleében qrtep=.49e8.» T=inrealT,. Eeetben a egyeríté akkor történik eg, ha a póluok é éruok értékének különbége kiebb.nél. átviteli függvényekbl eután a bode vagy a nyquit függvényhíváal áítható illetve jeleníthetõ eg a frekvenciafüggvény. frekvencia függvény: Vigáljuk a felnyitott é a árt render frekvenciafüggvényeinek kapcolatát, a árt abályoái kör áteneti függvényét é annak kapcolatát a frekvenciafüggvénnyel. Viacatolá Vigálata Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4. Példa. felnyitott kör átviteli függvénye: L T Egyégnyi negatív erev viacatolát alkalaunk. árt kör ered átviteli függvénye: T T T ered áodrend leng tag, aely általánoan a alábbi alakban írható fel: T T együtthatók öehaonlítáával: T T, T Ábráoljuk a felnyitott é a árt render ode aplitúdó diagrajait egy ábrában T=, é =. valaint = 4 eetén. Sáítuk ki a felnyitott kör frekvenciafüggvényének jellegete pontjait.» =tf''» T=» =.» =4» L=/*+» L=/*+ kienjel é a alapjel köötti ered átviteli függvény a alábbi öefüggéel áítható: nu L nu L, T den L nu den» T=L/+L» T=inrealT % kiejti a aono póluéru párokat. vagy» T=feedbackL,» T=feedbackL, djuk eg a áteneti függvényeket, határouk eg a felnyitott é a árt kör frekvenciafüggvényeit.» figure» tept,'r',t,'y'» figure» bodel,'b',l,'c',t,'r',t,'y' Egyégnyi erev viacatolá eetén a árt render ode aplitudókörfrekvencia diagraja a kifrekvenciá tartoányban köel egyégnyi nagy kifrekvenciá eríté eetén, a nagyfrekvenciá tartoányban köelíten egybeeik a felnyitott render aplitúdó enetével. felnyitott render diagrajából áított vágái körfrekvencia környékén nagy értékeknél a árt render aplitúdó diagrajában nagy kieelé lehet. Megfigyelhetjük, hogy inél nagyobb a árt render frekvenciafüggvényének kieelée, annál nagyobb a áteneti függvény túllendülée.

15 Viacatolá Vigálata Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 Határouk eg a árt render cillapítái tényejét.» dapt Eigenvalue Daping Freq. rad/.3e.e+.3e 8.87e.e+ 8.87e» dapt Eigenvalue Daping Freq. rad/ 5.e +.94e+i.5e.e+ 5.e.94e+i.5e.e+ Tárolhatjuk a a cillapítái tényet é a frekvencia értékét váltoókban i.» [w,eta]=dapt» [w,eta]=dapt különbö erítéi tények lényegeen eltér vielkedét eredényenek. el eetben a póluok valóak, íg a áodik eetben konjugált kolexek, aelyek a idtartoányban leng vielkedét eredényenek.. Példa. Egy render hurokátviteli függvénye: k L 5 5 Vigáljuk a felnyitott é a árt render vielkedéét.» =pk''» L=/+*5*+» T=feedbackL, Határouk eg a felnyitott é a árt kör áteneti függvényeinek állandóult értékeit. Laplace tranforáció végértéktétele erint egyégugrá alapjel eetén rt, t R yt li RH li H li H felnyitott kör é a árt kör áteneti függvényeinek állandóult értéke: y t li L k nyitott ynyitott t k yárt t li T y t k hiba értéke állandóult állapotban: et ynyitott t k Ábráoljuk a felnyitott é a árt kör áteneti függvényeit:» tepl, r,t, b állandóult értékek leolvahatók a görbékrl vagy kiáíthatók a dcgain utaítáal.» yo=dcgainl» yc=dcgaint Jelenítük eg a felnyitott é a árt kör ode diagrajait egy ábrán.» bodel, r,t, b Határouk eg a állandóult hiba értékét k=,, eetére. nyitott Stabilitávigálat Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 6. Stabilitávigálat Egy render tabili, ha kitéríté után a agára hagyott render viatér nyugali állapotába, tranienei lecengenek. tabilitá egy áik egfogalaáa erint egy render tabili, ha korláto beenet eetén a kienet i korláto. Tekintük a alábbi hatáválattal egadott abályoái kört. felnyitott render átviteli függvénye L. renderben erev egyégnyi negatív viacatolát alkalaunk: rt et ut yt L E U Y árt render ered átviteli függvényét a követkeképpen áolhatjuk: L T L rt T. Stabilitávigálat a árt render póluai alapján: render tabilitáa eghatároható a árt render póluai alapján. render tabili, ha póluai a koplex bal félíkra enek, aa öe póluának a való rée negatív.. Példa Egy árt render ered átviteli függvénye: T yt Y Állapítuk eg, hogy a render tabilie. Megoldá: Vigáljuk eg a póluok elhelyekedéét.» nu=[, 5]» den=[, 3, 4,, 5, ]» T=tfnu,den» pole=rootden pole = i.5.65i i i.7348 vagy áképpen» [,p,k]=pkdatat,'v' render labili, ivel vannak poitív való ré póluai. pap utaítá grafikuan jeleníti eg a póluok elhelyekedéét:» papt Látható, hogy a render labili, ivel vannak póluai a koplex áík jobb oldali réén.

16 Stabilitávigálat Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4. Nyquit tabilitái kritériu alkalaáa: árt render tabilitáa eghatároható a felnyitott render frekvenciafüggvénye alapján i. a. egyerített Nyquit kritériu akkor hanálható, ha a felnyitott rendernek ninc labili poitív való ré pólua. árt render tabili, ha a felnyitott render Nyquit diagraja ne vei körül a +j pontot. b. általánoított Nyquit kritériuot kell hanálni akkor, ha a felnyitott rendernek van labili pólua. árt render tabili, ha a felnyitott render Nyquit diagraja annyior vei körül a +j pontot a órautató járáával ellentéte poitív irányban, ahány labili pólua van a felnyitott rendernek.. Példa felnyitott kör átviteli függvénye L. Negatív erev viacatolát alkalaunk. Nyquit kritériu alapján határouk eg, hogy a árt render tabilie.» =tf''» L=/+**+» [,p,k]=pkdatal,'v' Vane labili poitív való ré pólua a nyílt rendernek? Ninc, tehát a egyerített Nyquit kritériu hanálható.» nyquitl,grid örülveie a Nyquit diagra a +j pontot? Ne, tehát a render tabili. Stabili arade a render, ha a e erítét a álálóban egnöveljük? Ellenriük a tabilitát a árt render póluainak vigálatával. feedback utaítában a a erev egyégnyi, a pedig a negatív viacatolát jelenti. elhagyható, ert a alapérteleé a negatív viacatolá» T=feedbackL,, vagy» T=L/+L; T=inrealT inreal utaítá elvégi a lehetége egyerítéeket, kiejti a köö éruokat é póluokat.» [,p,k]=pkdatat,'v' Ábráoljuk a árt render póluait:» papt Láthatjuk, hogy a render truktúrálian tabili. Nyquit diagra ne vei körül a +j pontot ég egnövelt eríté eetén e. 3. Példa felnyitott render átviteli függvénye 5 L.. Negatív erev viacatolát alkalaunk. Nyquit kritériu alapján határouk eg, hogy a árt render tabilie?» L=5/**+.*» [,p,k]=pkdatal,'v' Vane labili pólua a felnyitott rendernek? Igen, p.» nyquitl Milyen irányban kerüli eg a görbe a +j pontot? órautató járáával ellentéte irányban Stabilie a árt render? Igen Ellenriük a eredényt a árt render póluainak kiáítáával. Stabilitávigálat Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4» T=feedbackL,» tept» [,p,k]=pkdatat,'v'» papt Vigáljuk eg a render tabilitáát, ha a póluok eljelét egváltotatjuk. 5 L. Milyen irányban kerüli eg a Nyquit diagra a pontot? Stabilie a árt render? 4. Példa Egy felnyitott render átviteli függvénye L k..5 Negatív erev viacatolát alkalaunk. Határouk eg a k paraéter aon értékeit, aelyekre a árt render tabili le. a. k= értéket feltételeünk:» L=/+*+.5*» [,p,k]=pkdatal,'v' Vane labili pólua a felnyitott rendernek? Ninc, tehát a egyerített Nyquit kritériu hanálható» nyquitl,grid Határouk eg at a pontot, ahol a görbe eti a való tengelyt.666. oo utaítá vagy a oo enpont é a egér egítégével a Nyquit diagraról leolvahatjuk et a értéket. Ha egy render erítéét kval egorouk, akkor a Nyquit diagraját koroára nagyítjuk. render akkor van a tabilitá határhelyetében, ha a etépont a értékre eik. Tehát a render erítéét ég egnövelhetjük k=/.666=.5 értékkel. render tabili, ha teljeül, hogy < k<.5 poitív kra b. k= értéket feltételeünk:» nyquitl, grid Határouk eg iét at a pontot, ahol a görbe eti a való tengelyt. Tehát a render tabili, ha k>>. Tegyük öe a két feltételt. árt render tabili, ha <k<.5 tabilitá eghatároható a rlocu utaítáal i, aely egadja a render gyökhelygörbéjét, vagyi a árt render póluainak váltoáát a k paraéter függvényében.» help rlocu» rlocul» rlocfindl rlocfind utaítáal é a egér egítégével a gyökhelygörbe egy pontjáho eghatárohatjuk a erítét. Fáitartalék fáitöbblet, erítéi tartalék: Egy render tabilitávigálatánál necak a a fonto, hogy a render tabilie, hane a i, hogy ilyen ee van a tabilitá határhelyetétl. fáitartalék é a erítéi tartalék fejeik ki eeket a jelleket. fáitartalék at adja eg, hogy a vágái körfrekvenciánál a render fáiögét ég ennyivel lehet egnövelni, hogy a render a tabilitá határhelyetébe 8 kerüljön. fáitartalékot eghatárohatjuk a vágái körfrekvencián felvett fáiög értékébl. c 8 c

17 Stabilitávigálat Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 Stabilitávigálat Hetthéy Jen, ar Ruth, arta ndrá, 4 c a a frekvencia, ahol a felnyitott render frekvenciafüggvényének abolút értéke. c : L j c Ha a fáitartalék poitív, a render tabili. Például, ha a render fáiöge a vágái körfrekvencián, akkor a fáitartalék 886, aa a render tabili. erítéi tartalékkal a render erítéét egorova a render a tabilitá határhelyetébe kerül. g, L ahol : 8 a a frekvencia, ahol a fáiög 8. Ha a erítéi tartalék nagyobb int egy, akkor a render tabili. fáitartalék eléltethet a Nyquit é a ode diagraon i. argin utaítá egítégével egyeren kiértékelhetk é ábráolhatók. értékébl lehet kiáolni. p=86.6=73.4. vágái körfrekvencia w=wc=.559. erítéi tartalék a 8 ho tartoó eríté reciproka le, g=/.=4.5. így áolt értékek pontoágát a tábláat felbontáa korlátoa. 5. Példa Egy felnyitott render átviteli függvénye L..5 Negatív erev viacatolát alkalaunk. Határouk eg a fáitartalékot, a erítéi tartalékot é a felnyitott render vágái körfrekvenciáját.» L=/.5+*^+*+» [g,p,wg,wc]=arginl g gain argin a erítéi tartalék, p phae argin a fáitartalék, wc cutoff frequency a vágái körfrekvencia é wg a a körfrekvencia, ahol a fáiög értéke 8º. Grafikuan i eg lehet jeleníteni een értékek elhelyekedéét:» arginl; grafiku egjeleníté eetén a G érték decibelben adott, G=*logg eríté, fái é frekvencia értékek tábláatban i egjeleníthetk.» w=logpace,,;» [nu,den]=tfdatal,'v'» [ag,phae]=bodenu,den,w;» Tabl=[ag, phae, w ] ag phae w wc wg fáitartalék kiolvaható a tábláatból.. eríté értékhe tartoó fáiög Phae deg; Magnitude d ode Diagra G=3.64 d at.44 rad/ec, P=7.7 deg. at rad/ec 3 Frequency rad/ec