max := max det(b r) det(b) : sgn(det(b r )) = sgn(det(b)),

ØÔÙ ÔÚÓØ ÐÓÖØÑÙ Ó ÔÚÓØ ÐÒ Ö ÓÔØÑÐÞ Ð Ò Ý ÓÐÔÖ ÐÐÑÞ ÞÑ ÓÐØ ÓØÓÖ ÖØÞ ØÞ ÌÑÚÞØ ÁÐÐ ÌÓÖ È ÝØÑ ÓÒ ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙÓÑ ÒÝÝØÑ ÅØÑØ ÁÒØÞØ ÓØÓÖ Á ÓÐ ÓØÓÖ ÓÐ ÚÞØ ÄÞÓÚ ÅÐ ÝØÑ ØÒ Ö ÅÝÖ ÌÙÓÑ ÒÝÓ Ñ Ø ÐÐÑÞÓØØ ÑØÑØ ÓØÓÖ ÔÖÓÖÑ ÔÖÓÖÑ ÚÞØ ÈÖÓÔ ÒÖ ÝØÑ ØÒ Ö ÅÝÖ ÌÙÓÑ ÒÝÓ Ñ Ø ØÞ Þ ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙÓÑ ÒÝÝØÑ ÇÔÖÙØØ ÌÒ ÞÒ ÞÐغ ÙÔ Ø ¾¼¼ ÂÒÙ Ö

ÚÞØ ØÞ ÞØ ÆÛ ÔÚÓØ ÑØÓ Ò ÐÒÖ ÓÔØÑÞØÓÒ Ò Ò ÔÔÐØÓÒ Ò Ø ÔØÖÓÐÙÑ ÒÙ ØÖÝ Ñò ÒÓÐ ÒÝÐÚò Ⱥ ÞÖØ ÖÑÒÝØ ÓÐÐ Þº ØÞ Þ ÐÐÑÞÓØØ ÑØÑØ È ÓÓÞØ Ñ ÞÖÞ Ò ÚØÐÑÒÝÒ Ö ÞÒØ ÞÐغ ÓÐÓÞØ ÐÒ Ö ÓÔØÑÐÞ Ð ÖÓÑ Ð ÞÙ ÔÖÓÐÑ Ò ÐÒ Ö Ñ¹ ÒØØ ÐÒ Ö ÔÖÓÖÑÓÞ ÐÒ Ö ÓÑÔÐÑÒØÖØ ÐØÒ ÔÚÓØ ÐÓÖØÑÙ¹ ÓÐ ØÖØÒ ÑÓÐ ÚÐ ÓÐÐÓÞº ÐÒ Ö ÓÔØÑÐÞ Ð Ý ÓÒØÓ ÔÖ Ð ÞÒ Ð Þ ÓÐÔÖ ÚÖ ÐÐØÚ ØÖÑÐ ØÖÚÞ ÐØ ÞÓÐ Ð ÐÐÑÞ ÔÐÒغ Þ ÐÑÐØ ÓÐÐ Ò ÓÐÓÞØ ÐÒ Ö ÓÔØÑÐÞ Ð ÔÚÓØ ÐÔ Ñ ÞÖÒ ØÖÐØÖÐ ØÖØÐÑÞ ÖÑÒÝغ ÞÒ ÖÑÒÝ ÝÖ ÞØ ÐÓÖØÑÙ Ó Ð ÞÙ ÐÓÖØÑÙ Ó ØÖ ÞØ ÚÝ ÑÖØ ÐÓÖØÑÙ ÓÐ Ô ÓÐØÓ ÐÑÞ ÖÑÒݺ Þ ÖÑÒÝ ØÐÒÝÓÑ Ö ÞØ ÓÐÓÞØÓ ØÖØÐÑÞÞ ÑÐÝ ØÑÚÞØÑÑÐ ÁÐÐ ÌÓÖÖÐ Þ ÑÙÒ º Þ ÐÓÖØÑÙ Ó Ñò Ò ÑÓÒ ØÖ Ð ÓÞ Þ ÓÐÔÖ ØÖÑÐ ¹ØÖÚÞ Ò ÐÑÖÐ ÑØÑØ ÔÖÓÖÑÓÞ ÔÖÓÐÑ ØÖÐØÖÐ Þ ÖÑÞ ÐØÓ ÞÓÐ ÐÒº Þ ÓÐÔÖ ÓÔ¹ Ö ÙØØ ÐØÓ ÒÙÑÖÙ Ò ÒÞº ÓÐÓÞØ Ø Ð ÓÖÒ ÒÐØÙ ØÖÙØÖ ÐÑÞ ÐÔ Ø ÑÙØØ ÑÐÝ ÞÒ ÐØ ÐÒØ ÑÖØÒ Ð Ø ÑÓÐÐ ÑÞØ Ø ÞÓ ØÓÒÝ ÑÓРغ Þ ÖÑÒÝ ÓÐÓÞØÓÒ ÐÔÙÐÒ ÑÐÝ ØÑÚÞØÑÑÐ ÁÐÐ ÌÓÖÖÐ ÆÝ ÅÖÒÒ ÓØÓÖÒÙ Þ Ø Ö ÑÑÐ Þ ÑÙÒº ØÞ ÞØ ÞÖØ ÐÔØ Ø ÚØ ÙÝÒÞÓÒ ÐÐ Ø ÞÒ ÐÚº Ò ØØÐ Þ ÑÓÞ ÑÝÞ ÞÖØ Þ ÑÓÞ ÚÐ ÚØØ ÖÒ ÞÖØ ¹ Ò ÞÒ ÐØ ÒÓÐ ÒÝÐÚò Þ ÑÓÞ Þ ÐÝØ ÐÐÑÞÞÙµº ÐÒ Ö ÔÖÓÖÑÓÞ ÐØ ÒÜÚ Ð ÞØ Þ ÐÝÓ ÊÚ ØÖØÒØ ØØÒØ ÞÖØ ÐÔØ Ò ÑÖØØ ÙØ Ò ÐÒ Ö ÑÒ¹ ØØ ÐØ ÒÓÒÙ Ð Ø ØÒØ Ax = b, x 0, ¾º½µ ÓÐ A R m n,b R m n m)º Þ ÐØÐ ÒÓ Ñ ÞÓÖØ ÒÐÐ ÐØØ ÓÝ ÖÒ(A) = mº ÄÝÒ I := {1,...,n}º ÑÓÒÓØÓÒ ÙÐعÙÔ ÞÑÔÐÜ ÐÓÖØÑÙ ÑÒØØ ÐØÓÖº Ò ØÖÖ ÌÖÐÝ ¾ ÑÓÒÓØÓÒ ÙйÙÔ Å͵ ÞÑÔÐÜ ÐÓÖØÑÙ Ð ÒÙÐÚ ¹ Ò ÐÙ ÒÒ ÐÒ Ö ÑÒØØ ÐØÓÖ ÚÓÒØÓÞ Ú ÐØÓÞØ Ø º Þ ÐÓÖØÑÙ ÐÐÑÞ µ Ú ÐØÓÞ ÑÒØØ Ø ÑÓÒÓØÓÒ ÑÓÒ ÐÐØ µ ÒÒ ÖÒ Ø ÐØ ÔÚÓØ ÔÓÞØ ÓÒÐØ Þ µ ÒÖ ÐØ ÐØÓ ØÒ Þ ÚÐÑÐÝÒ ¹ ÒÖ ÐØ ÐÐÒ ØÒ Ø Ôк ÑÒÑ Ð ÒÜ Þ ÐÝØ ÐÐÑÞÒ Úµ Þ ÐÓÖØÑÙ Þ ÓÖ Ó ÞØØ ÑÐÝ ÓÖ Ò ÑÒ Ý ÖÞØØØ ÒÑ ÑÒØØ ÝÒÚÞØØ ÚÞÖÚ ÐØÓÞ ÖØØ ½

ÓÐÝÑØÓ Ò ÒÚÐ ÑÒ Ñ Þ ÑÒØØ ÒÑ Ú Ð ÐÐØÚ Þ ÒÑ ÐØ Ý ØÖ ÞÓÖÑ Ð Ø Ð Ø ÓÝ ÐØ ÐÝÒº Þ ÐÓÖØÑÙ ÓÑØÖ ØÙÐÓÒ Ø Þ Ð Ò ÓÐÐØÙ Þº À ÓÒÐÒ Ö ¹ ÖÓ Ñ ÞÖÞ ½ Þ ÐÓÖØÑÙ ÞÓÑ ÞÓ ÒÑ ÑÒØØ Þ ÓÓÒ Ð Ö ÞØк À ÚÐÑÐÝ ØÖ ÓÖ Ò Þ ØÙ Ð Þ ÑÓÐ Ý ÓØØ ÐØØÐ ÐØÐ ÑØ ÖÓÞÓØØ ÔÖ ÑÒØØ ÓÐÐ Ö ÖÐØ ÓÖ ØÓÚ ØÖ Ò Ð ÐÐØÓØØ Þ ÑÓÐ Ó Ñ ÓÒ ÞÒ ÐØØÐ ÒÑ ÑÒØØ ÓÐÐ Ö ÖÐÒº Þ ÐÓÖØÑÙ ÐÑÞ Þ ÝÒÚÞØØ ÝÒ ÒÖ ÐÚÒ ÐÔÙк ÄÝÒ ÓØØ ÖÚ ÔÚÓØ Ø Ð T ÓÞÞ ØÖØÓÞ Þ ÑÓÐ xº ÄÝÒ K s = {i I : x i = 0,t is > 0}º Ò ¾º º B ÒÖ ÐØ Þ Ø ÐÓ Ð Ò ÝÒÒ ÒÖ ÐØÒ ÒÚÞÞ Þ s I Þ ÓÒ ÚÐ ÒÜÖ ÚÓÒØÓÞÒ K s = ÐÐØÚ ÐÓ Ð Ò Ö Ò ÒÖ ÐØÒ ÒÚÞÞ Þ s ÒÜÖ ÚÓÒØÓÞÒ K s º Þ ÐÓÖØÑÙ ÑÓÒÓØÓÒØ ÐÖ ÖÒ ÚØÞ ÞÑÐÐØ ÔØ Úغ ÃÚ Ð ÞØ Ý Þ ÓØØ ÑÓÐ Ò ÒÑ ÑÒØØ Ú ÐØÓÞØ ÑÐÝØ Þ ÐÚØÞ ØÖ ÓÖ Ò ÑÒØØ Ú Ò ØÒÒº ÅÒ Ñ ÞÒ Ú ÐØÓÞ ÑÒØØ ÒÑ Ú Ð ÞØ Ú ÐØÓÞØ ÚÞÖÚ ÐØÓÞÒ ÓÙ ÒÚÞÒº Þ x r ÚÞÖÚ ÐØÓÞ ÑÒØØ Ø ÑÓÒÓØÓÒ ÑÓÒ ÚØÙ ÝÒÚÞØØ x r ÒÚÐ Þ Ö Ø Úк ÅÑÙØØØÙ ÓÝ ÑÒÒÝÒ Þ ÐÓÖØÑÙ ÙÔ Ò ÒÑ ÒÖ ÐØ ÚÝ ÐÓ Ð Ò ÝÒÒ ÒÖ ÐØ Þ Ø Ð ÓÒ Ð ÓÖ Þ ÑÒ ÑØغ Ý ÓØØ ÔÚÓØ Ø Ð ØÒ Þ x r ÒÚÐ Þ Ö ÞÓÒÓ Ø ÖÒ Ú Ð ÞØÓØØ ÔÚÓØ Ó ÞÐÓÔÒ Ø ÒÝÓ Ø ÞØØ ÐÐ ÚÞÒº ÞÒ ÒÝÓ Ø ÞØ ÒÝ Ò Ú ÞÓÒÝ Ø ÖÓÞÞ Ñ ÓÝ ÚÞÖÚ ÐØÓÞ ÝØÐÒ ÐÔ Ò ÑÒØØ Øع ÚÝ Ø ÐÔ Ò ÐÐ ÒÒ ÖØØ ÒÚÐÒº ÃÚØÞÑÒÝ ¾º º½ Þ ÅÍ ÞÑÔÐÜ ÐÓÖØÑÙ ÑÒØØ ÐØÓÖ ÐÓ Ð Ò ÒÑ Ö Ò ÒÖ ÐØ Þ ÓÓÒ Ð ÓÖ ÑÒÒ ÐÔ Ò x r ÒÚÐ Þ ÖØ Ø ÚÖ ÚÞÖÚ ÐØÓÞÖ ÒÞÚ Ý Ú º ÄÔ Þ Ñ Ð º ÑÒØØ ÐØÖ Ò ÐØ ÅÍ ÐÓÖØÑÙ ÐÔ Þ Ñ Ø ÝÒ ÒÑ ÒÖ ÐØ ÐØÚ ÑÐÐØØ mk Ñ ÓÐ K ÐØ ØÐ Þ ÑØØ ÓÒ ØÒ m ÐØØÐ Þ Ñº K ÓÒ ØÒ ÐØ ÐÖ ÓÞ Þ Þ ÑØÔ Ø ÖÒÝÒ Þ ØÓ ØÓ Þ Ò Ý ÔÓÐÒÓÑ ÚÐ ÒÑ ÑÒ ÓÖÐ ØÓÞØ º Ò ÐÙ B is R m m Ñ ØÖÜÓØ ÓÐÝÑÓÒ ÓÝ Þ Ý ÓØØ B Þ Ð ÞÐ ÒÒ i.¹ Ó ÞÐÓÔ Ø ÖÐÚ Þ a s ÚØÓÖÖ ÓÒÐÒ B i Ñ ØÖÜ B i. Ó ÞÐÓÔ Ò b ÚØÓÖÖ ÖÐ ÚÐ ÐØÞº ÄÝÒ { } A := min det(b rs) det(b q ) det(b qs ) det(b) : B R n n Þ A ÖÙÐ Ö Ö ÞÑ ØÖÜ det(brs) < 0, det(bq) det(bqs) > 0 > 0 det(b) det(b) det(b) ¾

ÐÐØÚ { max := max det(b r) det(b) : sgn(det(b r )) = sgn(det(b)), B R m m Þ A Ý ÖÙÐ Ö Ö ÞÑ ØÖÜ ÓØØ Ò ÐÙ K := max A Þ ÑÓØ ÑÐÝÖ ÒÝÐÚ Ò K Nº } ýððø ¾º º ÌÝ Ð ÓÝ Þ ÐÓÖØÑÙ ÐÓ Ð Ò ÒÑ Ö Ò ÒÖ ÐØ Þ ÓÓÒ Ð Úº ÄÝÒ r I B Þ ØÙ Ð ÚÞÖÚ ÐØÓÞ Òܺ ÓÖ Þ ÐÓÖØÑÙ ÐÐ K Þ ÖØ ÚÞ ÑÐØØ ÚÞÖÚ ÐØÓÞ ÑÒØØ Ú Ð ÚÝ ÐÐ K Þ Ö ÐØØ ÑÙØØ ÓÝ ÑÒØØ ÐØÒ ÒÒ ÑÓÐ º Þ ÐÐØ Ð ÞÓÒÒÐ Þ ÐÓÖØÑÙ ØÐ ØÖ Þ Ñ Ö ÓÖРغ ÌØÐ ¾º º½ ÌÒØ ¾º½µ ÑÒØØ ÐØÓØ ØÝ Ð ÓÝ Þ ÐÓÖØÑÙ ÐÓ Ð Ò ÒÑ Ö Ò ÒÖ ÐØ Þ ÓÓÒ Ð Úº ÓÖ Þ ÅÍ ÞÑÔÐÜ ÐÓÖØÑÙ ÐÐ mk Þ ÖØ ÚÞ ÐØ ÑÓÐ ÓÖ Òº Ö Ò ÒÖ ÐØ ÐØÓº ËÒ ÐØÓ ÑÓÒ ÚÒÒ ÓÐÝÒ ÐØÓ ÑÐÝ ÔÖÑ Ð ¹ ÒÖ Ðغ ÞÞ ØÖØÓÞØ ÓÐÝÒ ÔÚÓØ Ø Ð ÑÐÝÒ ÒÒ x r ÒÚÐ ÔÚÓغ ÑÒÒÝÒ Þ ÐÓÖØÑÙ ÐÝÒ Þ Ø Ð ÓÞ Ö Ý ÝÒÚÞØØ ÈÖÓ ÒÖ ÐÐÒ Ð Ö Ø ÚÐ Ý ØÖÒ ÞÓÖÑ Ð Ø ÔÚÓØ Ø Ð Ø ÓÝ ÒÒ Ó ÓÐÐ ÒÑ Ú ÐØÓÞ ÞÓÒÒ ÝÒÒ ÒÖ ÐØØ ÚÝ ÒÑ ÑÒØØ Ú Ðº Þ s¹ñóòóøóò ÔÚÓØ Ð Þ ÐÝÓ ÓÒÔ ÞÖØ Ò ÞÖÔÐ Þ ÔÚÓØ ÐÓÖØÑÙ ØÒ ÒÖ ÞÐ Ú ÞØÓ ØØ Þ ÝÒÚÞØØ s¹ñóòóøóò ÔÚÓØ Ð Þ ÐÝÓ ÓÒÔ Ò Ø Úк ÞÒ Þ ÐÝ Ø ÚÐ Ô ÖÙÞÑÓ Ò ÐØ Ø ÒÜ Ú Ð ÞØ Þ ÐÝ Ú Ø ÞÓÒÝØÒº ÅÑÙØØØÙ ÓÝ Ð ÞÙ ÑÒÑ ÐÒÜ Þ ÐÝ ÑÐÐØØ Ø ÜÐ ÒÜ Ú Ð ÞØ Þ ÐÝ ÑÒØ ÔÐ ÙÐ ÄÁÇ Ä Ø¹ÁÒ¹Ö Ø¹ÇÙص ÅÇËÎ ÅÓ Ø¹ÇØÒ¹ËÐØ ÎÖе ÒÜ Ú Ð ÞØ Þ ÐÝ s¹ñóòóøóòº ÞÒ ÒÜ Ú Ð ÞØ Þ ÐÝÓ ÐÒÝ ÓÝ ÐÒØ Þ ÓØ ÞØÓ ØÒ Ð ÓÖÒ Þ ÐÓÖØÑÙ ÐÒµ Þ Ú ÐØÓÞ Ú Ð ÞØ ÓÖ Ò ÐØÚ ØÚ Ý ÔÐ ÙÐ ÒÙÑÖÙ ÞÑÔÓÒØÓ ÝÐÑÚØÐغ ÄÝÒ ÓØØ B 0,B 1,...,B k Þ ÓÖÓÞØ ÑÐÐÝÐ ÐÙØÓØØÙÒ Þ ØÙ Ð B k Þ ÓÞº Þ ÓÖÓÞØ ÑÒÒ Þ ÓÞ ÑØ Ý s N n ÚØÓÖº À ÓÒÐÒ ÓÞ ÓÝ ÐÒÞ ÔÚÓØ Ð Þ ÐÝÓÐ ÒÝÖØ s ÚØÓÖÓ ÙÝÒÝ ÓÝÒ Þ ÓÖÓÞØÓ ÐØÐ Ò ÐØÖ Þ s ÚØÓÖÓ ÐÒÞÒº ÐÒÞ ÔÚÓØ Ð ÐÓÖØÑÙ Ó Ú Ò Þ ÐÑÞ ÓÖ Ò ÓÒÐ Ñ ÞÖ ÐÐÑÞغ ÞØ ÞÖØÒÒ ÞÓÒÝÓ ØÙÐÓÒ Ó Ò Ð ÚÐ Þ ÖØ ÓÐÐÒº ÄÝÒ ÓØØ Ý ÔÚÓØ ÐÓÖØÑÙ ÚØÓÖÓ Ý s N n ÓÖÓÞØ ÑÐÝÒ ÓÓÖÒ Ø ÐØ Ú ÐØÓÞÓÞ ÚÒÒ ÖÒÐÚº

Ò ¾ºº½ Þ s N n ÚØÓÖ ÓÖÓÞØÓØ ÔÖÖÒ ÚØÓÖÒ ÒÚÞÞ ÑÒÒÝÒ ÒÒ ÖØ ÝÖØÐÑòÒ ÑØ ÖÓÞÞ ÓÝ Þ ÒÜ Ú Ð ÞØ Þ ÐÝ ÑÐÝ ÒÜ ÞÐ Ú Ð ÞØغ Þ ÒÜ Ú Ð ÞØ Þ ÐÝÓ ÞÐ ÓÐÝÒÓØ ÚÞ ÐÙÒ ÑÐÝ ÞÓÒÝÓ ÑÓÒÓØÓÒØ ØÙ¹ ÐÓÒ ÓÐ ÖÒÐÞÒº Þ ÒÜÚ Ð ÞØ Þ ÐÝÓ Ð ÓÝ Þ ÐÓÖØÑÙ ÓÖ Ò ÐÐÔ Þ ÓÓØ Ú ÞØÓ Ø ÓÞ Þ ÑÖØÒ ÒØ ÓÐÝÒ ØÒ ÑÓÖ Þ ÔÚÓØ Ø Ð ØÖÙØÖ ÒÑ Ø ÖÓÞÞ Ñ ÝÖØÐÑòÒ ÔÚÓØ ÔÓÞصº Ò ¾ºº¾ ÌÒØ Ò Ý s ÔÖÖÒ ÚØÓÖÖÐ ÐÐ ØÓØØ ÒÜ Ú Ð ÞØ Þ ÐÝغ ÔÖÖÒ ÚØÓÖÖ Þ Ð ÐÚ Ö ÓØ ÓÐÑÞÞÙ Ñ Þ s ½º Þ s ÚØÓÖ ÖØ Þ Ö ÓÖ Ò ÒÑ ÒÒ ÐÐØÚ Þ ÖÐ ÑÓÞ Ú ÐØÓÞ ÖØ Ú ÐØÓÞغ ÑÒÒÝÒ ÔÚÓØ Ð Þ ÐÝ Ø Ú ÐØÓÞ Þ ÐÐÔÓØ Ú ÐØÓÞ Ø ØÒÒ ÐØÚ ÓÖ ÑÓÞ Ú ÐØÓÞ ÒÜØ Þ s ÚØÓÖ ÑÜÑ Ð ÖØò ÐÑ ÞÐ ÐÐ Ú Ð ÞØÒº ¾º À ÔÚÓØ Ð ÓÖ Ò Ð ÐÐØÓØØ ÚÐÑÐÝ B k Þ Ö Ò ÒÖ ÐØ ÓÖ Þ s ÚØÓÖ ÞØÓ Ø ÓÝ ÚØÞ Ø Ø ÚÐÑÐÝ ÐÓÖÙÐÓÒ µ B k Þ ÙØ Ò Ú Ó ÐÔ Ò ÚØ Ö Þ ÐÓÖØÑÙ º µ À ÐØÞÒ ÓÐÝÒ Ú ÐØÓÞ ÑÐÝ B k Þ ÙØ Ò ÚØÐÒ Ó ÞÓÖ Ú ÐØÓÞØØÒ Þ ÐÐÔÓØÓØ Þ ÐÝÒ Ú ÐØÓÞ ÒÜÒ ÐÑÞ Ø ÐÐ I º B k Þ ÙØ Ò Ú Ó ØÖ ÚÐ ÐÙØÙÒ Ý ÓÐÝÒ B Þ ÓÞ ÑÐÝ ØÒ Þ s ÚØÓÖ ÞÖÒØ Ð ÖØò Þ ÓÒ ÚÐ Ú ÐØÓÞ ÝÖØÐÑò Þ I ¹Ö ÒÞÚº ÂÐÐ ÞØ Ú ÐØÓÞØ x l º º ÑÓÖ B k Þ ÙØ Ò Þ x l Ú ÐØÓÞ ÐÔ Þ ÓÖ ÐÔ ÙØ Ò Ñ Þ x l Ú ÐØÓÞ Ö Ø ÚÓÞ Þ Ð Þ ÓÝ ÞÓÒ Ú ÐØÓÞ s ÖØ ÑÐÝ Þ x l Ú ÐØÓÞ Þ ÐÔ Ø ÐÔØ Þ ÒÝÓ ÑÒØ Þ x l Ú ÐØÓÞ s ÚØÓÖ ÞÖÒØ Öغ ÞÓØ ÔÚÓØ Ð Þ ÐÝÓØ ÑÐÝÞ ØÖØÓÞ s ÚØÓÖÓÖ Þ ½¹ º ÐØØÐ ØÐ ÐÒ s¹ ÑÓÒÓØÓÒ ÔÚÓØ Ð Þ ÐÝÓÒ ÒÚÞÞº Þ s¹ñóòóøóò ÒÜ Ú Ð ÞØ Þ ÐÝÓ ÓÒÔ Ø Ð ÞÖ Þ ÅÍ ÐÓÖØÑÙ ÑÒ¹ ØØ ÐØÓÖ ÓÐÓÞÓØØ Ú ÐØÓÞØ Ò ÑÙØØÙ º ÌØÐ ¾ºº½ À Þ ÅÍ ÐÓÖØÑÙ s¹ñóòóøóò ÔÚÓØ Ð Þ ÐÝØ ÐÐÑÞ ÓÖ Ú Þ Ñ ÐÔ Ò ÑÓÐ ÐÒ Ö ÑÒØØ ÐØÓغ Ý ÖÙÖÞÚ Ð Ö ÒÖ ÐØ ÞÐ Ö ÒÖ ÐØ ÐÞ Ö Ý ÖÙÖÞÚ Ð Ö Ø ÑÙØØÙÒ º ÞÒ Ð Ö ÓÖ Ò ÒÑ Ö Ò ÒÖ ÐØ Ø Ð Ö ÑÓÐѹ ÞÓØØ ÅÍ ÐÓÖØÑÙ Ø ÐÐÑÞÞ Ö ÞÐØÓ ÑÓÐ Ö Ý Þ ÅÍ ÐÓÖØÑÙ Þ ÓÖ Ò ÞÓÐØ ØÙÐÓÒ ØÐ Ð Ö º

Ñ ÞÖØ ÚØÞÔÔ ÐØ ÞÓÐÐÒº ÑÒÒÝÒ Þ ÐÓÖØÑÙ Ö Ò ÒÖ ÐØ Ø Ð ÓÞ Ö Ð ÞòØ Þ Ð Ö Ø ÔÚÓØ Ø Ð Ý ÞÓÖÒ Ö ÞÖº ÞÒ Ö Þй ØÓÒ Þ ÐÓÖØÑÙ ÙÝÒÞÓØ ÔÚÓØ Ú Ð ÞØ ÐÚØ ÚØ ÑÒØ ÒÝÓ ÐØÓÒº Ö ÞÐØÓØ ÚÝ ØÐ ÞÒ ÑÓÐ ÚÝ ÞÓÒÓ Ø Ý Ö Ò ÒÖ ÐØ Ø Ð Ø ÑÐÝ ØÒ Ñ Ö ÞÐØÓØ Ò Ðº Ö ÞÐØÓ ÑÓÐ ÓÖ Ò ÒÒ ÑÒØØ Ò ÚÒÝÒ Þ ÝÐ ÒÝÓ Ø Ð ÚÝ ÝÒÒ ÒÖ ÐØØ Ú ÐØ ÚÝ ÒÒ ÒÑ ÑÒØØ Ø ÞÓÒÝغ Þ ÝÑ ÝÞÓØØ ÖÙÖÞ ÑÜÑ Ð ÑÐÝ ÑÒØ 2m º ÌØÐ ¾ºº½ ÖÙÖÞÚ ÒÖ ÐÐÒ Ð Ö Ø ÐÐÑÞ ÅÍ ÐÓÖØÑÙ Ú Þ Ñ ÐÔ ¹ Ò ÑÓÐ ÐÒ Ö ÑÒØØ ÐØÓغ ÆÙÑÖÙ ØÔ ÞØÐØÓº Þ ÐÓÖØÑÙ ÑÓÒ ØÖ Ð ÒÙÑÖÙ ÔÐ ÞØÓ Ø Ò ÖÒ Ý ÓÐÔÖÐ Þ ÖÑÞ ÚÖ ÐØÓØ ØÒØÒº ÅÑÙØØÙ ÓÝ Þ ÅÍ ÐÓÖØÑÙ Ý Ý ÞÖò ÑÔÐÑÒØ Ô ÚÖ ÐØÓØ ÑÓÐÒº À Ö Ú ÞÓÒÝÐ ÞÒ ÐØÒ ÑÒ Þ 96 ÓÖ 68 Ú ÐØÓÞ ÚÒµ ÒÙÑÖÙ Ò Ñ ÒÞ ÔÐ ÙÐ ÅØÐ rref ÚÒÝ ÐØÐ ØÐ ÐØ Þ ÐØÒ ÞÒÙÐ Ö ÅØÐ Ø rank ÚÒÝ ÞÖÒصº Þ ÑÔÐÑÒØ ÅØÐÒ ÞÐغ ÒÙÑÖÙ ØÔ ÞØÐØÓ ÐÔ Ò ÒÙÑÖ٠ѹ ÚÐ Ø ØÐØ ÐÒØ Ò ÒÚÐØ ÑÒÒÝÒ Ú ÐØÓÞ ÑÒØØ Ø Ý ÐÓ ÚØÓÖÖÐ ÖÙ Ð ÞÓ Ó ÒÙÑÖÙ ǫ¹ó ÞÒ ÐØ ÐÝØغ ÃÞØÒ Þ ÓÒ ÚÐ ÐÐØÚ Ý ÓØØ ÒÙÑÖÙ ÓÖÐ ØÒ Ð ÒÝÓ Ú ÐØÓÞØ ØÒØ ÑÒØØÒº Þ ÐÓÖع ÑÙ ÐÔØÐØØ ÚØÚ ÐÓ ÚØÓÖØ ÑÓÒÓØÓÒ ÑÓÒ ÞÐ ÚÝ ÑÒÒ Þ Ò ÑÒØØÒ ÐÖØ Ú ÐØÓÞØ ÒÒ ØÒØÒ ÒÙÑÖÙ ÖØØÐ ØÐÒк ÎÞÖÚ ÐØÓÞ Ú Ð ÞØ ÓÖ ÓÓÐÐ ÖØ ÒÙÑÖÙ ÚÞ ÐØ ÐÝØØ Ý ÐÓ ÚØÓÖ ÐØÐ ÒÑ ÑÒØØÒØ ÐÐÑÞØØ ÚØÓÖØ Ú Ð ÞØÙÒº ÆÝÓ ÐØÓ ØÒ ØÓÚ ÒÙÑÖÙ ØÖ Þ º ÐÐÑÞØ ÒÙÑÖÙ ÐÚØ ½ ÒÝÚ ÓÐÐ Þº ÄÒ Ö ÔÖÓÖÑÓÞ ÐÒ Ö ÔÖÓÖÑÓÞ ÐØ Äȵ Ý ÐÒ Ö ÐÚÒÝ ÑÒÑÐÞ Ð Ø ÚÝ ÑÜѹ ÐÞ Ð Ø ÐÒØ Ý ÐÒ Ö ÑÒØØ ÐØ ÑÓÐ ÐÑÞ ÐØغ Þ ÄÈ ØÒÖ Ð minc T x Ax = b, x 0, ÓÐ A R m n,c R n b R m º

ÄÔ Þ Ñ Ð º ÅÑÙØØØÙ ÓÝ Þ ÅÍ ÐÓÖØÑÙ Ö Ð ÞØØØ ÐÔ Þ Ñ Ð ÒÒÝÒ ÐØÐ ÒÓ ØØ Þ ÖØ ÐÒ Ö ÔÖÓÖÑÓÞ ÐØÓÖ Ð ÞØØØ ÅÍ ÐÓÖع ÑÙ Ö ÐÐØÚ ÞÑÔÐÜ ÐÓÖØÑÙ Ð Ñ Ó Þ Ö º Þ s¹ñóòóøóò ÔÚÓØ Þ ÐÝÓ ÞÒ Ðغ ÅÑÙØØÙ ÓÝ Þ s¹ñóòóøóò ÔÚÓØ Þ ÐÝÓ ÞÒ ÐØ ÚÐ ÞØÓ ØØ Ð ÞÙ ÞÑÔÐÜ ÐÓÖØÑÙ ÐÐØÚ Þ ÖØ ÅÍ ÐÓÖØÑÙ Ú º Þ ÖØ ÅÍ ÐÓÖØÑÙ ¾ ÓÒÐ ØÙÐÓÒ ÓÐ ÖÒÐÞ ÑÒØ ÑÒØØ ÐØÓÖ Ý ÞÖò ØØØ Ú ÐØÓÞغ ÞÒ ÐÐÑÞ µ Ù Ð Ú ÐØÓÞ ÑÒØØ Ø ÑÓÒÓØÓÒ ÑÓÒ ÐÐØ µ ÒÑ ÐØØÐÒÐ ÖÞ Ñ Þ ØÖ ÓÖ Ò ÔÖÑ Ð ÑÒØع Ø µ Ø ÐØ ÔÚÓØ ÔÓÞØ ÓÒÐØ Þ Úµ ÒÖ ÐØ ÐØÓ ØÒ Þ ÚÐÑÐÝÒ ÒÖ ÐØ ÐÐÒ ØÒ Ø Ôк ÑÒÑ Ð ÒÜ Þ ÐÝØ ÐÐÑÞÒ Úµ ÑÒÒݹ Ò ÐÖÓÒØ ÔÖÑ Ð ÑÒØØ Ø ÓÖ Þ Òº ÚÞØ Ú ÐØÓÞÒ ÚÐ ÔÚÓØ Ð ÓÖ ÔÖÑ Ð ÑÒØØ Ú Þ Ðк ÚÞÖÚ ÐØÓÞ Ó ÞÐÓÔ Ò ÚÞØØ Þ ÖØ ÚÞÖ ÔÚÓØÒ Ñ ÑÒÒ Ñ Þ ÖØ ÔÚÓØÒ ÒÚÞÒº Þ ÖØ ¾ ÐÜÓÖÙ ÑÒÑÙÑÓØ ÞÒ Ð Ú ÞØÓ Ø ÖÒº Ź ÑÙØØÙ ÓÝ Þ ÐÓÖØÑÙ s¹ñóòóøóò ÒÜ Ú Ð ÞØ Þ ÐÝ ØÒ Ú º ÒÒ ÖÒ Þ ÐÓÖØÑÙ ÑÐÝÖ Ø ÐÑÞ Ö ÚÒ Þ º ÄÑÑ º º¾ Þ ÐÓÖØÑÙ ÐØÐ ÝÑ ÙØ Ò ÚÖØÓØØ { Þ x r ÚÞÖÚ ÐØÓÞ ÑÒØØ ØØÐÒ ÖÒ ÚÞØØ ÔÚÓØÓ ÓÖÓÞØ ÓÖ Ò max bi t is b } i < 0 ÒÑ Òغ ÁÒÜÚ Ð ÞØ Þ ÐÝÓ ÐÐÑÞ ÒÐÐ Þ ÐÓÖØÑÙ ÐÞ ÐØÒº ÁÐÝÒ ÔÐ ØÒ ÚØÞ ØÙÐÓÒ Ó ÞÓÐغ ÄÑÑ º º Ý ÑÒÑ Ð ÐÞ Ð ÔÐ Ö ÚØÞ ØÙÐÓÒ Ó ØÐ ÐÒ ½º Þ ÐÓÖØÑÙ ÐØÐ Ð ÐÐØÓØØ Þ Þ Ù Ð ÒÖ ÐØ Ý ÚØÐÚÐ Þ Þ Ú ÐØÓÞÖº Þ Ú ÐØÓÞ ÙÝÒÞ ÑÖ Þ ÐÓÖØÑÙ ØÐ ÙØ ÐØØ Ó Ñ ÐÔ Þ º ¾º ÅÒÒ Ú ÐØÓÞ ÚØÐÒ Ó ÞÓÖ ÑÓÞÓ ÚÚ ÝØ ÑÐÝ Ó Ñ ÐÔ Þ º º Þ ÐÓÖØÑÙ ÒÑ ÚÞ ÚÞÖ ÔÚÓØÓغ º ÔÖÑ Ð ÒÝÓ Ø ÞØ ÖØ Þ Þ ØÖ ÓÖ Ò ÙÝÒÞ Þ ÖØ ØÓÚ Þ ÐÓÖع ÑÙ ÐØÐ ÒÖ ÐØ Þ Þ ØÒ ÚÞÖÚ ÐØÓÞ Ó ÞÐÓÔ Ö ÒÞÚ b i t ir ÞÓÒÓ Þ Þ ÓÐÝÒ i ØÒ ÑÐÝÖ t ir 0º ÒÝÓ ÖØ ÒØ ÐÑÑ Ø ÚÐ ÒÒÝÒ ÞÓÐØ ÓÝ Ý ÐÞ Ð ÔÐ ØÒ Þ ÐÓÖØÑÙ ÓÒÐ ØÙÐÓÒ ÓÐ ÖÒÐÞ ÑÒØ ÞÑÔÐÜ ÐÓÖØÑÙ º ÞÒ ÑÝÐ Ø ÚÐ ÞÓÐØ ÓÝ Þ s¹ñóòóøóò ÒÜ Ú Ð ÞØ Þ ÐÝÓ ÞØÓ Ø Þ ÐÓÖØÑÙ Ú Øº

ÌØÐ º º ÅÍ ÞÑÔÐÜ ÐÓÖØÑÙ s¹ñóòóøóò ÒÜ Ú Ð ÞØ Þ ÐÝ ÐÐÑÞ ØÒ Ú º ÆÙÑÖÙ ØÔ ÞØÐØÓº ÐÒ Ö ÑÒØØ ÐØÓ ØÒ ÞÒ ÐØ ÔÐ Ø ¹ ÞØ Þ ÒÔÙØ ÓÙØÔÙØ ÒÝÓ ÐØ ÚÐ ÞÒ ÚÐ Ñ Þ Ý ÒÝÖØ ÐÚÒÝ Ú ÐØÓÞØ ÞÓÐ Ð Ø ÞØ ÐØÒغ ØÔ ÞØÐØÓ ÐÔ Ò ÅÍ ÐÓÖØÑÙ Þ Ñ Ö ÑÒØØ ÐØÓ ØÒ ÚÞ¹ ØØØ ØÐÞ ØÒ ÒÑ ÐØØÐÒÐ Þ Ø Þ ÅÍ ÐÓÖØÑÙ ØÒº ÒÒ Ý ÐØ ÑÝÖ ÞØ ÓÝ ÐÚÒÝ ØÖÑ ÞØ ÖØÐ ÚÒÝÒØ ÞÓÐ Ð ÞÓÒÝÓ ÑÖØÒ ØÐÞ ÐÚ Þ ÐÓÖØÑ٠غ À Ö ÐÑÐØÐ ÒÑ ÐØ ÒÙÑÖÙ Þ ÑØ Ó ÓÖ Ò ÐÓÖÙÐØ ÓÝ ÚÞÖÚ ÐØÓÞ ÑÒØØ Ú Ð ÔÚÓØÓ ÓÖ Ò ÚÝ ÐÐ ÖØ ÒÙÑÖÙ ÒÙÐÐ ÓÖÐ Ø Ò Ð ÒÝÓ Ú Ðµº ÁÐÝÒ ØÒ Ö ÚÞÖÚ ÐØÓÞ Ñ Ö Ù Ð ÑÒØØ ÚÞÖ ÔÚÓØÓØ Ñ Ð ÐÐ ÚÞÒ ÒÒ ÖÒ ÓÝ ÔÖÑ Ð ÑÒØØ Ú Þ ÐÐÓÒ Þ ÐÓÖØÑÙ Ò ÐÞ ÐÓÒº ÄÒ Ö ÓÑÔÐÑÒØÖØ ÐØÓ ÐÒ Ö ÓÑÔÐÑÒØÖØ ÐØ Äȵ ÞÓ Ó Ð ÚØÞ Ö Ò ÓÐÝÒ u,v R n ÚØÓÖÓØ ÑÐÝÖ MÙ + Ú = Õ, Ù Ú = ¼, Ù, Ú ¼ ØÐ Ð ÓÐ M R n n q R n uv = (u 1 v 1,...,u n v n ) R n º Ö ¹ÖÓ ÐÓÖØÑÙ s¹ñóòóøóò ÒÜÚ Ð ÞØ Þ ÐÐÝÐ Ð Ñ ØÖÜÓÖº ÐÒ Ö ÓÑÔÐÑÒØÖØ ÐØÖ ÑÓÐÑÞÓØØ Ö ¹ÖÓ ÐÓÖØÑÙ Ø ÐØÐ ÒÓ Ø٠ܹ Ð ÒÜ Ú Ð ÞØ Þ ÐÝÓ ÑÐÐØØ Ð Ñ ØÖÜ ÐØÓÖ Þ s¹ñóòóøóò ÒÜ Ú Ð ÞØ Þ ÐÝÓ ÓÒÔ Ò Ð ÞÒ Ð Úк Þ Þ ÐÚ Ñ ØÖÜÓ ÞØ ÐÝ ÑÐÝÒ ÞÓ Ó Ö ¹ÖÓ Ñ ÞÖ Ú º ÑÙØØÓØØ ÐÓÖØÑÙ Þ ½ ÐÓÖØÑÙ Ò ÐØÐ ÒÓ Ø ÞÓÒÒ Ý ÞÖò ØØØ ÞÓÒÝØ Ðº ÓÒØÓ ÑÑÐØÒ ÓÝ Ö ÞÖØ Ò ÑÙØØÓØØ ÐÓÖØÑÙ ÐÓÖØÑÙ Ò Ñ ØÓÚ ÐØÐ ÒÓ Ø ÞÓÒÝØ Ó ÒÑ ÓÒÝÓÐÙÐغ Þ ÐÓÖØÑÙ Ú Ò ÞÓÒÝØ ÝÒ ÓÒ ØÖÙØÚ ÞÓÒÝØ ÙÙ ÌÖÐÝ ÄÈ ÙÐØ ØØÐÒ ½ º Ö ¹ÖÓ ÐÓÖØÑÙ ÙÐØ È¹ØØÐ ÓÖÑ Òº ÂÐÒ ØÙ ÙÒ ÞÖÒØ ÒÑ ÑÖØ ÓÐÝÒ ØÓÒÝ Ð Ö ÑÐÝ Ô ÐÐÒÖÞÒ ÓÝ Ý Ñ ØÖÜ Ð ¹ ÚÝ Ñº Þ ÐÓÖØÑÙ Ø ÖÐØ ÐØÐ ÒÓ ØÒ Þ È ØØÐ ÞÐÐÑÒ º Þ Ð È ØØÐ ÐÒ ÓØØ Ö ¹ÖÓ ÐÓÖØÑÙ Ð Ñ ØÖÜÓ ØÖ ½¼ ÓÐÓÞØÒ ØÐ Ðغ Þ ÐÓÖØÑÙ ØØ ÞÐ ÒÔÙØ Ñ ØÖÜ ÐØÓÒ ÐÙØØØØ ÒÐÐ ÓÝ ÖÑÐÝÒ ØÙй ÓÒ ÓØ Ò ÖÖÐ ÐÖ ÐØØÐÞÒ Ð Ø ÞÑØÖ Ø ÔÓÞØÚ ÒØ Øºµº Þ

ÐÓÖØÑÙ ÚØÞ ÖÓÑ Ø ÚÐÑÐÝÚÐ Ö ÚØ ÚÝ ÑÓÐ Þ ÄÈ ÐØÓØ ÚÝ ÑÓÐ Ù Ð ÐØÓØ ÚÝ ÔÓÐÒÓÑ ÑÖØò ÞÓÒÝØ Ø ÞÓÐ ÐØØ ÒÒ ÓÝ Þ ÒÔÙØ Ñ ØÖÜ ÒÑ Ð Ý Þ ÐÓÖØÑÙ ÐÞ ÐØÒ º Þ Ý ÑÓ ØÓØØ ÐÓÖØÑÙ Þ ÄÈ ÙÐ ØØÐÒ È ØØÐ Ð Ö Ý ÓÒ ØÖÙØÚ ÞÓÒÝØ Ø ÞÓÐ ÐØغ ÌØÐ ¾ºº½ ÖÑÐÝ M Q n n Ñ ØÖÜ q Q n ØÒ ÐÐ Þ Ý ØÐ Ð ½º ÔÖÑÐ ÐÒ Ö ÓÑÔÐÑÒØÖØ ÐØÒ ÚÒ (u,v) ÑÒØØ ÓÑÔÐÑÒØ Ö Ñ¹ ÓÐ ÑÐÝÒ ÓÐ ÑÖØ Þ M q ÓÐ ÑÖØÚÐ ÔÓÐÒÓÑ Ð Ò ÓÖÐ ØÓÞÓØØ ¾º Ù Ð ÐÒ Ö ÓÑÔÐÑÒØÖØ ÐØÒ ÚÒ (x,y) ÑÒØØ ÓÑÔÐÑÒØ Ö ÑÓй ÑÐÝÒ ÓÐ ÑÖØ Þ M q ÓÐ ÑÖØÚÐ ÔÓÐÒÓÑ Ð Ò ÓÖÐ ØÓÞÓØØ º Þ M Ñ ØÖÜ ÒÑ Ð ÒÒ ÚÒ ÓÐÝÒ ÞÓÒÝØ ÑÐÝÒ ÓÐ ÑÖØ Þ M ÓÐ ÑÖØÚÐ ÔÓÐÒÓÑ Ð Ò ÓÖÐ ØÓÞÓØغ Þ ÐÓÖØÑÙ ÐÔØÐØ ÓÝ ÞØÓ Ø ÑÒÑ Ð ÐÐ Ø Ð ØÐØÓØØ ÓÑÒ Ò ÓÖÙÐ Ò Ð ÝÑ Ø ÚØÒº ÞÒ Ð ÐÖ ÖÒ Ý Ý ÞÖò Ð Ø Ø ÞÒ Ð ÑÐÝÒ Ú ÐØÓÞ ÑÓÞ ÖÐ Ø ÖÓÐ ÒÓÖÑ Øº Ð Ø ÒÒØÖØ ÓÞ ØÐØÓØØ ÓÑÒ Ð¹ ÖÐ Ò ÞØÓ Ø ÓÞ ØÖ ÒÒØ O(n) ØÐØ ÐÔ Ö ØÐ ÐÓÖØÑÙ ÓÖ Ò Þ Ò n 2 Þ n 2 ÖÓÒ Ð Þ Ñ Ø ÖÓÐ ÚÐ ÚÚÐÒ Ø ÖÐÝÖ ÚÒ Þ º ÐÒ Ö ÔÖÓÖÑÓÞ ÐÐÑÞ Þ ÓÐÔÖÒ Ý ÚÐ ÐØÐ ÚØØ ÐÐÑÞ ÑÙØØ ÖÒ ÓÐÓÞØ ØØÒØ Þ ÓÐÔÖ ØÖÑÐ ¹ØÖÚÞ ÐØÓ ÓÖ Ò ÐÑÖÐ ÑØÑØ ÔÖÓÖÑÓÞ ÐØÓ Þ ÑÓ ÝÓÖ¹ ÐØ ÚÓÒØÓÞ ÔÖÓÐÑ Øº Þ ÓÐÔÖÒ ÐØÖØ ÑÓÐÐ ÞÓ ÑÓÐ Ñ ÞÖÒ Ý ØØÒØ Ø ½ º ÑÓÐÐ ÑÓÐÑÞ ÓÞ ÞÐ ÖÒ ÐØÖØ ÓÐÝÑ ÐÔ ÑÓÐÐØ ÐÐÑÞØÙ ÑÐÝÒ ÝØØØ ÐÒÞ ÚÖ ÞØØ ÓÐÝÑÖغ ÞÒ ÑÓÐÐ ØÒ Ö ÐØØÐ ÐÒØ Ö Þ ÐÒ Ö Ò ÐÖØ Þ ÓÐÒÓÑØ ÐÐÞØ ÚÖ ÑÐÝ ÐÒ Ö ÐØØÐÖ ÚÞغ Þ ÐÝÒ ÐØØÐÒ ÑÒ ÑÒÒݹ ÑÒ ÚÖ ÑÒ ÐÐÑÞ ÑÖØÐÒº ÐÒ Ö ÐØØÐ ÐØÓØ ÒÙÑÖÙ Ò ÒÞÒ ÞÐØÚ Ø Þº ØÔÙ ÑÓÐÐ ÐÐÑÞØ ÚØÞ ÖÒ ÞÖ Ö Ð maxc T x Nx + My d, F(x,y) f, x 0, y A

ÓÐ Ñ ØÖÜÓ ÚØÓÖÓ ÑÖØ ÓÐÝÒ ÓÝ ÐÐØ ÑòÚÐØ ÐÚÞØ ÐÝÒ F(,ȳ) ÐÒ Ö ØØ ÞÐ ÖÞØØØ ȳ ØÒ Ñ F( x, ) ÐÒ Ö ØØ ÞÐ ÖÞØØØ x ØÒ A ÓÒÚܺ ÅÝÞÞ ÓÝ ÞÓÒÝÓ ÒÝÓÐ ÒÑ ØÖÓØÒ ÒÑ ØÑÐ ÐÐ Þ ÑÓÐÒ ÑÐÝ Þ ÑÖØÐÒ òöò ÑÒ ÑØØ ØÖÐÒ Ö ÐØØÐÖ ÚÞØÒº ÑÓÐ ÝÓÖÐØ ØÓÚ Ð ÞØ º ÐÒÐ ÈÁÅË¹Ò ½½ ÐÔÙÐ ÑÓРѹ ÞÖØÒ ÑÖØØ ÙØ Ò ÑÓÐ ÓÖ Ò ÐÐÑÞÓØØ ÞØÖÙØÚ ÖÙÖÞÒ ½¾ ÒÚÞØØ Ô Ð ÞÚÒ Ð ÐÒ Ö ÔÖÓÖÑÓÞ ÑÞÐØ Ø ÑÖØØ Ñ ÑÙØØÙÒ Þ ÑÓ Ð Ö Ø ÑÐÝ ØÓÒÝÒ ÞÓÒÝÙÐØ ÑÓÐ ÝÓÖ Ø ÖÒ º ÈÁÅË ÐÒÐ Ú ÐØÓÞØ ÐØÐ ÞØÓ ØÓØØ ÖØÖÒ ÞÖØ ÐÑÞ Ö ÞÐ ÞØØØ º ÞÖØ ØÔ ÞØÐØ ÞÖÒØ Þ ÑÓÐ ÝÓÖÐØ ÐÐ ÞØØØ ÐÔ ÑÓÐÐ ÖÓÓ ÞØÙ Ø ÑÓÐ ØÓÒÝ Ø ÚØÓØØ º ÃÑÙØØØ Þ ÑØ Ó ÒÝÒ 30 40%¹Ó Ò º ØÐ ÐÑÞ Þ ÒÙÐ ÐÒ Ö ÔÖÓÖÑÓÞ ÐØÓÒ Þ ÖØ ÞÐ ÈÍËË ÖØÒ ÐÐØÚ Ú ÐÒÖÞ ÐØ ÑÓÐÐÒ ÐÔ Þ ÑÐÝØ ÈÁÅË ÑÓÐ ÓÖ Ò ÓÙÑÒØ Ðº ÓÐÓÞØÒ ÑÙØØÓØØ ØÐ ÐÑÞ ÅÇÄ ½ ÐØÐ ÞØÓ ØÓØØ ÑÓÐÐÒ ÐÔÙÐ Ý Î ÙÐ Ð ÞØÖÒÝÞØÒ ÞÐØ ÓØÛÖ ÚÞغ ÂÐÒÐ ÙØØ Óº ÙØØ ÚØÞ ÐÔ ÞØÖÙØÚ ÖÙÖÞ Ð ÔÓÒØÓ Ñ¹ ÞÖÐ ØÖØÒ ØÚÞ Ø ÐÓÞÞº ÐÒÐ ÑÔÐÑÒØ ØÒ ÈÁÅË ÒÓÙÐØÐÒÙÐ ÖÞÒÝ ÐÒ Ö ÓÔØÑÐÞ Ð ÐÓÖØÑÙ Ú Ð ÞØ Öº Å ÐØÐ Ò Ð ØÐ ØÒ ÞÑÔÐÜ ÐÔ Ñ ÞÖÐ Ð ÔÓÒØÓ Ñ ÞÖ ÐÐÑÞ ØÒ ÒÑ Ò ÑÓРغ ÙØØ Ð Ð ÔÓÒØÓ Ñ ÞÖÖ ÐÐÑÞ ÖÓÓ ÞØÙ ÐÐØÚ ÒÙÑÖÙ Ò ÚÞ ØÙÐÓÒ ÞÒ Ð ÝÓÖÐØÒº à ÞÒØÒÝÐÚ ÒØ º ËÞÖØÒÒ Ñ ÞÒÒ ÅÇÄ ËÅ ÓÔÓÖØ Ò ÚÞØÒ ÞÖØÒ Ø Ø ÑÐÐÝÐ ÐÒØ ÑÖØÒ ÓÞÞ ÖÙÐØ ÓÐÓÞØ ÐÐÑÞ Ö ÞÒ Ð ÞØ Þ ÅÇÄ ÙØØ ÞØÒ Ò ÙØØ Ó ÒÝ Ø ÑÓØ Öغ ÀÚØÓÞ Ó ½ º º Рĺ ÐÓ Ò Ìº ÁÐÐ º ÆÛ ÚÖÒØ Ó Ø Ö ¹ÖÓ ÑØÓ ÓÖ ÐÒ¹ ÖÐÝ ÓÒ ØÖÒ ÓÒÚÜ ÕÙÖØ ÔÖÓÖÑÑÒº ÙÖÓÔÒ ÂÓÙÖÒÐ Ó ÇÔÖØÓÒÐ Ê Ö ½ ½µ ¾¼¼º ¾ ú ź Ò ØÖÖ Ò Ìº ÌÖÐݺ ÑÓÒÓØÓÒ ÙйÙÔ ÑÔÐÜ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÐÒÖ ÔÖÓ¹ ÖÑÑÒº ÇÔÖØÓÒ Ê Ö ¾ µ½ ½º º ÙØ Âº ÖÑÖ Èº ÀÒ Ñ Ëº Ä Ð Ò Æº ÅÐÒÓÚº ÈÓÓÐÒ ÔÖÓÐÑ ÐØÖÒØÚ ÓÖÑÙÐØÓÒ Ò ÓÐÙØÓÒ ÑØÓ º ÅÒÑÒØ ËÒ ¼½ ¾¼¼º º ÐÒ º ÞÑ Ò Ìº ÁÐÐ º Ò ØÖÖ¹ØÖÐÝ ØÝÔ ÑÓÒÓØÓÒ ÑÔÐÜ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÐÒÖ ÐØÝ ÔÖÓÐÑ º ÐÓÚ ÇÔØÑÞØÓÒ ÅØÓ Ò ËÓØÛÖº

º ÐÒ º ÞÑ Ò Ìº ÁÐÐ º ÑÓÒÓØÓÒ ÐÐò ÞÑÔÐÜ ÐÓÖØÑÙ Ó ÐÑÞ ÑÒØØ ÐØÓ ØÒº ÐÓÚ ÐÐÑÞÓØØ ÅØÑØ ÄÔÓº ú ÑÖÓÒ Ò Âº ÑÓÒ º Ü ØÒØÐÐÝ ÔÓÐÝØÑ ØÓÖÑ º ÁÒ ÈÓÐÝÖÐ ÓÑÒØÓÖ ÅÓÖÖ ØÓÛÒ Æ ½µ ÚÓÐÙÑ ½ Ó ÁÅË ËÖº ÖØ Åغ ÌÓÖغ ÓÑÔÙغ ˺ Ô ½¼¼º ÑÖº Åغ ËÓº ÈÖÓÚÒ ÊÁ ½¼º º ÞÑ Ò Ìº ÁÐÐ º ÆÛ Ö ¹ÖÓ ØÝÔ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÐÒÖ ÓÑÔÐÑÒØÖØÝ ÔÖÓ¹ ÐÑ ÛØ ÙÒØ ÑØÖ º ÇÔØÑÞØÓÒ ÅØÓ ² ËÓØÛÖ ¾½ ¾µ¾¾ ¾¼¼º º ÞÑ Ìº ÁÐÐ Ò Åº Æݺ ÄÖ Ð ÐÒÖ ÓÔØÑÞØÓÒ Ò ÔÖØ ØÙݺ ÌÒÐ ÖÔÓÖØ ÅÇÄ ¾¼¼º º Ò ÀÖØÓ º ÊÓÓ Ò Ìº ÌÖÐݺ Ì ÐÒÖ ÓÑÔÐÑÒØÖØÝ ÔÖÓÐÑ ÙÒØ ÑØÖ Ò Ø Ö ¹ÖÓ ÑØÓº ÄÒÖ ÐÖ Ò Ø ÔÔÐØÓÒ ½½½ ½ º ½¼ ú Ù٠ź ÆÑ Ò º ÌÑÙÖº È ØÓÖÑ Ò ÐÒÖ ÓÑÔÐÑÒØÖØÝ ÔÖÓ¹ ÐÑ º ÖØ ÔÔÐ ÅØÑØ º ÓÑÒØÓÖÐ ÐÓÖØÑ ÇÔØÑÞØÓÒ Ò ÓÑÔÙØÖ ËÒ ½¹ µ½¼½½ ½º ½½ ÔÒÌ ÁÒº ØØÔ»»ÛÛÛº ÔÒغÓÑ»º ½¾ ĺ Ä ÓÒ Ò º ÂÓº Ì ÖÐØÓÒ Ô ØÛÒ ØÖÙØÚ ÖÙÖ ÓÒ Ò Ù Ú ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÒ Ò ÖÒÒ ÔÖÓÙØÓÒ ÔÐÒÒÒ ÑÓÐ º ÁÒ ÆÈÊ ÓÑÔÙØÖ ÓÒÖÒ ËØØÐ Ï ÒØÓÒ ½¼º ½ Áº ÅÖÓ º ÓÑÔÙØØÓÒÐ ØÒÕÙ Ó Ø ÑÔÐÜ ÑØÓº ÁÒØÖÒØÓÒÐ ËÖ Ò ÇÔÖØÓÒ Ê Ö ² ÅÒÑÒØ ËÒ ½º ÃÐÙÛÖ Ñ ÈÙÐ Ö Ó ØÓÒ Å ¾¼¼ º ÏØ ÓÖÛÓÖ Ý ÒÖ ÈÖÓÔº ½ ÅÇÄ Èк Ì ÀÙÒÖÒ ÇÐ ÓÑÔÒÝ ØØÔ»»ÛÛÛºÑÓкٻһÓÙØÑÓлº ½ ̺ ÌÖÐݺ ÓÒÚÖÒØ Ö ¹ÖÓ ÑØÓº ÇÔØÑÞØÓÒ ½ µ ¼ ½º ½ ̺ ÌÖÐݺ ÒØ Ö ¹ÖÓ ÑØÓ ÓÖ ÓÖÒØ ÑØÖÓ º ÂÓÙÖÒÐ Ó ÓÑÒØÓÖÐ ÌÓÖÝ ¾ µ ½ ¾ ½º ½ źº ÌÙÖº ÄÔ ÑÓÐÐÒ ¹ Ô Ø ÔÖ ÒØ Ò ÙØÙÖº ÌÒÐ ÖÔÓÖØ Ã ÚÒ ÌÒÓÐÓ ÁÒº ÀÓÙ ØÓÒ ÌÜ º ½¼