ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Fizika 11. osztály I. rész: Mechanikai rezgések és hullámok Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018
2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Mechanikai rezgések és hullámok.............. 3 1. Bevezetés, fizikai fogalmak ismétlése:...................... 3 2. A rezgőmozgás és jellemzői............................ 5 3. A harmonikus rezgés. A rezgő test kitérése................... 6 4. A harmonikus rezgőmozgás kinematikai leírása................. 7 5. A harmonikus rezgőmozgás grafikonjai..................... 8 6. A rezgőmozgás dinamikai leírása......................... 9 7. A fonálinga lengésidejének mérése........................ 11 8. A fonálinga lengésidejének összefüggései.................... 12 9. A rezgő rendszer energiája............................ 14 10. Kényszerrezgés, rezonancia............................ 16 11. Feladatmegoldás................................. 17 12. A hullámmozgás................................. 18 13. A hullámok visszaverődése............................ 20 14. A hullámok törése................................ 21 15. A hullámok interferenciája............................ 22 16. Az állóhullámok.................................. 23 17. A hullámok elhajlása............................... 24 18. Hangtan alapjai.................................. 25 19. Hangtani jelenségek................................ 26 20. Hangtan a hétköznapokban........................... 27 21. Feladatmegoldás................................. 28
1. óra. Bevezetés, fizikai fogalmak ismétlése: 3. 1. óra Bevezetés, fizikai fogalmak ismétlése: Skalár és vektor értelmezése: Vektorok összeadása, felbontása, vektorok skaláris szorzata: Newton I. törvénye: Newton II. törvénye: Newton III. törvénye: A szuperpozíció: A tömeg értelmezése: Az impulzus értelmezése: Az impulzusmegmaradás tétele: A sűrűség értelmezése: A rugalmas erőtörvény és a rugó direkciós állandója: Sebesség: Gyorsulás: Periódusidő: Szögsebesség: A kerületi sebesség: A centripetális gyorsulás: Energia:
4. 1. óra. Bevezetés, fizikai fogalmak ismétlése: A mechanikai energia megmaradás tétele: Munkatétel: Teljesítmény:
2. óra. A rezgőmozgás és jellemzői 5. 2. óra A rezgőmozgás és jellemzői Rezgés: A fizikában rezgésnek nevezünk minden olyan változást, amely valamilyen időbeli ismétlődést mutat.
6. 3. óra. A harmonikus rezgés. A rezgő test kitérése 3. óra A harmonikus rezgés. A rezgő test kitérése A vetület meghatározása
4. óra. A harmonikus rezgőmozgás kinematikai leírása 7. 4. óra A harmonikus rezgőmozgás kinematikai leírása Rezgőmozgást végző testekhez hozzárendelhetünk egy referencia körmozgást. Ennek a vetülete a rezgőmozgás. A körmozgás ω szögsebessége felírható: ω = 2π T A harmonikus rezgőmozgást végző test kitérés-idő függvénye: x(t) = A sin(ω t) A referencia körmozgás kerületi sebessége: v k = ω R = ω A A rezgőmozgás sebessége ennek a sebességnek lesz a vetülete, tehát: cos(ω t) = v v k A két összefüggésből kifejezhető a rezgőmozgás sebesség-idő függvénye: v(t) = A ω cos(ω t) A referencia körmozgás gyorsulása a centripális gyorsulás: a cp = v2 R = R ω2 = A ω 2 A rezgőmozgás gyorsulása ennek a gyorsulásnak lesz a vetülete, tehát: sin(ω t) = a a cp A gyorsulás a kitéréssel ellentés irányú lesz, ezért: a = A ω 2 sin(ω t) Vegyük észre, hogy a gyorsulásban szerepel a kitérés, vagyis a gyorsulás: a = ω 2 x
8. 5. óra. A harmonikus rezgőmozgás grafikonjai 5. óra A harmonikus rezgőmozgás grafikonjai 1. Feladat. Írjuk fel a harmonikus rezgőmozgás kitérés-idő, sebesség-idő és gyorsulásidő függvényeit! Legyen A = 1 cm és T = 2π s x(t) 1 0 1 v(t) 1 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 2 4π t(s) 0 1 a(t) 1 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 2 4π t(s) 0 1 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 2 4π t(s) 1. ábra. A harmonikus rezgőmozgást végző test kitérés-idő, sebesség-idő, gyorsulás idő grafikonjai. Vegyük észre, hogy ahol az egyik függvény szinte nem változik, az alatta lévő ugyanakkor nulla, ahol pedig növekedés van, ott az alatta lévő pozitív, ahol csökkenés van, ott az alatta lévő negatív. 2. Feladat. Mely nevezetes időpillanatokban nulla a sebesség illetve a gyorsulás? Mely időpillanatokban maximális a sebesség és a gyorsulás? Hol van ilyenkor a test? 3. Feladat. Adjuk meg a v max és a max értékét! 1. Házi feladat. Egy harmonikus rezgőmozgás amplitúdója A = 2 cm és a körfrekvenciája ω = 1 1. Adjuk meg a test kitérés-idő, sebesség-idő, gyorsulás idő grafikonjait! s 1. Szorgalmi. Egy harmonikus rezgőmozgás amplitúdója A = 3 cm és a körfrekvenciája ω = 2 1. Adjuk meg a test kitérés-idő, sebesség-idő, gyorsulás idő grafikonjait! s
6. óra. A rezgőmozgás dinamikai leírása 9. 6. óra A rezgőmozgás dinamikai leírása 4. Feladat. Milyen a test mozgása, ha nem hat rá erő, vagy ha állandó erő hat rá? Ha F = 0, akkor egyenes vonalú egyenletes mozgást végez (vagy nyugalomban van). Ha F = konstans, akkor egyenletesen fog gyorsulni az erő irányába 1. 5. Feladat. Mi a rezgőmozgás dinamikai feltétele? Egy test rezeg, ha a kitérítésével egyenesen arányos visszahúzó erő hat rá. Egyensúlyban a kitérítés nulla, és az eredő erő is. Ha kimozdítjuk a nyugalomból a testet, akkor a rugó miatt rá egy ellentétes, de a kihúzástól lineárisan függő erő hat. Az arányossági tényező a D, vagyis a rugóállandó 2. F = D x Ezt az erőtörvényet írhatjuk be Newton II. törvényébe, melynek általános alakja: n F i = m a i A gyorsulásba a kitérést tartalmazó összefüggést írhatjuk be, amit felismertünk 3. D x = m ω 2 x Az x vektor előtti skalárok meg kell, hogy egyezenek, ebből következik, hogy: D = m ω 2 ω = D m A körfrekvencia és a periódusidő közötti összefüggést felhasználva: ω = 2 π T T = 2 π ω A harmonikus rezgőmozgás periódusidejére a következő összefüggést kapjuk: T = 2 π m D Méréssel igazolható, hogy a test tömegéhez a rugó tömegének 1 -a is hozzáadódik. 3 6. Feladat. Mit jelent szemléletesen a kapott összefüggés? 1 Fontos megjegyezni, hogy a test nem feltétlenül mozog ténylegesen az erő irányába. 2 Ha például D = 42 N m, akkor a rugót 42 N erővel lehet 1 méterrel nagyobbra kihúzni. 3 A gyorsulásra felírt a = ω 2 x összefüggést használjuk fel.
10. 6. óra. A rezgőmozgás dinamikai leírása Szemléletesen ez az azt jelenti, hogy a nehezebb test nagyobb periódusidővel rezeg, ugyanis nagyobb a tehetlensége, továbbá az erősebb rugó pedig kisebb periódusidővel rezeg, hiszen gyorsabban visszahúzódik. De egyik összefüggés sem lineáris, hanem gyökös, tehát egy kilencszer nehezebb test periódusideje háromszor lesz nagyobb, egy huszonötször erősebb rugó pedig ötször hamarabb tesz meg egy rezgést. 7. Feladat. Fejezzük ki a rugóállandót az előbbi összefüggésből és lássuk be, hogy a mértékegység szempontjából is igaz-e a képlet! D = 4 π2 m T 2 8. Feladat. Mekkora a rugóállandója annak a rugónak, amelyen 20 kg tömegű test 2 másodperces periódusidővel rezeg. Mekkora a maximális sebesség és a maximális gyorsulás, ha a legnagyobb kitérés 8 cm? 2. Házi feladat. A korábban végzett tömeg-idő adatpárok alapján határozzuk meg a kísérletben felhasznált rugó direkciós állandóját! Átlagoljuk a kapott értékeket!
7. óra. A fonálinga lengésidejének mérése 11. 7. óra A fonálinga lengésidejének mérése 9. Feladat. Hogyan függ az inga lengésideje a kitértés nagyságától? Alkossunk hipotézist és végezzünk párban mérőkísérletet! 10. Feladat. Hogyan függ az inga lengésideje az ingára akasztott test tömegétől? Alkossunk hipotézist és végezzünk párban mérőkísérletet! 11. Feladat. Hogyan függ az inga lengésideje az inga hosszától? Alkossunk hipotézist és végezzünk párban mérőkísérletet! 12. Feladat. Ábrázoljuk az inga hosszának függvényében a lengésidő négyzetét!
12. 8. óra. A fonálinga lengésidejének összefüggései 8. óra A fonálinga lengésidejének összefüggései 13. Feladat. Írjuk fel az ingára ható erőket és határozzuk meg a periódusidőt! Az inga próbál visszatérni az egyensúlyi helyzetébe, tehát úgy viselkedik, mint egy rugó. Meghatározzuk a visszatérítő erőt és a kitérést, ebből kiszámítjuk a "rugóállandót", amit behelyettesítjük a rugóállanó összefüggésébe. α K Az ingára hat a K kötélerő, amely mindig a kötél irányába mutat, továbbá a lefelé mutató G nehézségi erő. A nehézségi erőt kötélirányú (radiális 1 ) és arra merőle- G r G α G r ges (tangenciális 2 ) komponensre bontjuk: G = G r + G t A visszatérítő erőt a nehézségi erő radiális komponensének tekintjük, a kitérést pedig közelítjük az egyensúlyi helyzettől mért vízszintes távolsággal. Ez a két állítás csak nagyon kis kitérés esetén, azaz kb. 5 foknál kisebb esetben használható. Ez után hasonló háromszöget keresve felírhatjuk a következő összefüggést: sin α = G t G G t = G sin α Az inga kitérése közelíthető az egyensúlyi helyzettől vízszintesen mért távolsággal: sin α = x l x = l sin α Ezek után felírhatjuk a "rugóállandót", mely az erő és a kitérés hányadosa: D = F x = G sin α l sin α = G l = m g l A lengésidőre a következő összefüggést kapjuk a behelyettesítés után: m m T = 2π D = 2π m g l = 2π m l m g T = 2 π l g Ebben nem szerepel a tömég és a maximális kitérítés, a kísérletekkel összhangban. 14. Feladat. Az olyan fonálingát, melynek a lengésideje 2 s, tehát oda és vissza is 1-1 1 azaz sugárirányú 2 azaz érintő irányú
8. óra. A fonálinga lengésidejének összefüggései 13. s alatt lendül át, másodpercingának szokás nevezni. Milyen hosszú a másodpercinga? 15. Feladat. Milyen hosszú lenne a másodpercinga a Holdon, ha ott a nehézségi gyorsulás a földi értéknek kb. a hatodrésze? 16. Feladat. Mennyi a lengésideje annak a fonálingának, amelynek 40 cm a hossza? 17. Feladat. Mekkora az előbbi ingának a lengésideje a Holdon? 18. Feladat. Mekkora a lengésideje egy 3 kg-os, 140 cm-es kötélen lógó testnek? 3. Házi feladat. Egy hosszú kötélre felkötött test 1 perc alatt 12 teljes lengést végez. Milyen hosszú kötélen függ a test? Milyen nehéz a test? 4. Házi feladat. Fejezzük ki a lengésidő összefüggéséből a g-t. A mérési eredményeink alapján határozzuk meg a nehézségi gyorsulás értékét! g = 4 π2 l T 2 2. Szorgalmi. Mennyi a g értéke ott, ahol a 4 m hosszú fonálinga 40 másodperc alatt végez 20 teljes lengést? Lehet-e ez a hely a Föld felszínén? 3. Szorgalmi. Gondolkodjunk el azon, hogy vajon mi a szerepe az ingán lógó test tömegének? Vajon tényleg nem befolyásol semmit a tömeg nagysága?
14. 9. óra. A rezgő rendszer energiája 9. óra A rezgő rendszer energiája Energia: A testeket, mezőket jellemző skalármennyiség, mely átadható, de a teljes mennyisége állandó. Mértékegysége Joule, Ha egy testet 1 N erő ellenében 1 méteren keresztül mozgatom, akkor 1 J energiát adok át neki. Kalória: Az energia másik mértékegysége a kalória (cal) és a kilokalória (kcal). Egy kalória egy gramm vizet 1 fokkal melegít fel, tehát egyenlő 4,2 Joule-lal. A víz fajhőjét kell felhasználni a számításhoz. Helyzeti energia: Más néven potenciális energia. Megmutatja, hogy mekkora munkát végez a nehézségi erőtér a benne mozgó testen: E pot = F x = m g h 19. Feladat. Egy doboz energiaitalban 45 kcal van. Hány méter magasra tudna felmenni egy 90 kg tömegű ember ennnyi energiát elhasználva? Mozgási energia: Más néven kinetikus energia. Megmutatja, hogy mennyi energiát kellett felhasználni, hogy a testet felgyorsítsuk egy adott sebességre: E kin = F x = 1 2 m v2 20. Feladat. Mekkora sebességgel csapódik be a földbe egy 20 m magasból leejtett 3,1415 kg tömegű test? Csak a nehézségi erőt vegyük figyelembe. Rugalmas energia: Más néven a rugóban felhalmozott potenciális energia:. Megmutatja, hogy mennyi munkát kell végezni a rugó összenyomásakor. Az energia nagysága egyenlő a görbe alatti területtel. E rug = F x = 1 2 k x2 F (N) 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 x(m)
9. óra. A rezgő rendszer energiája 15. 21. Feladat. Adjuk meg a kinetikus és rugalmas energiáját a szélső helyzetekben! E kin = 1 2 mv2 = 0 E rug = 1 2 Dx2 = 1 2 DA2 22. Feladat. Adjuk meg az energiáját az egyensúlyi helyzeten történő áthaladáskor! E kin = 1 2 mv2 = 1 2 mv2 max E rug = 1 2 Dx2 = 0 23. Feladat. Írjuk fel a teljes rezgő rendszer energiáját! E teljes = E kin + E rug = 1 2 mv2 + 1 2 Dx2 5. Házi feladat. Egy csúszli gumiszárait 60 N erővel 20 cm-esre nyújtották meg. Milyen magasra lehet fellőni vele egy 100 g tömegű kavicsot? 4. Szorgalmi. Bizonyítsuk be, hogy a rezgő rendszer energiája állandó! Írjuk be az rugóra vonatkozó kitérést és sebességet az energiára felírt összefüggésbe!
16. 10. óra. Kényszerrezgés, rezonancia 10. óra Kényszerrezgés, rezonancia Csillapítatlan rezgés: Az amplitudó nagysága nem csökken. A kezdeti 1 2 DA2 rugalmas energia átalakul 1 2 mv2 max kinetikus energiává, majd vissza. Az ilyen rezgést szabad rezgésnek is nevezik. Sajátfrekvencia: A szabad rezgés frekvenciája, mely a másodpercenkénti rezgéseket jelenti és csak a rendszer jellemzőitől függ. Jele: f 0 Csillapított rezgések: Az amplitudó nagysága idővel csökken. Az energia a súrlódás és a közegellenállás miatt disszipálódik 1 a rendszerből. A hangszálak rezgését csillapítja a levegő, cserébe a levegő jön rezgésbe. Közegellenállással csillapított rezgés: exponenciális függvényt rajzolnak ki. Az amplitudók csökkennek és egy csökkenő Súrlódással csillapított rezgés: Az amplitudók csökkennek és egy csökkenő lineáris függvényt rajzolnak ki. 24. Feladat. Hogyan tud egy rezgő rendszert f 0 -tól eltérő frekvenciával rezegni? Periodikus külső erő, más néven gerjesztőerő hat a testre, ami rezgésre kényszeríti a testet. Ezt a jelenséget kényszerrezgésnek nevezzük. Rezonanciagörbe: A gerjesztőfrekvencia függvényében ábrázoljuk az amplitudót. A legnagyobb amplitudó éppen a sajátfrekvencia estében várható. A maximum értéke függ a csillapítás mértékétől is. Csatolt rezgés: Két rezgő test között az energia oda-vissza áramlik, egymást hozzák rezgésbe. Egyenlő hosszúságú ingák esetén a változás szabályos, eltérő hossz esetén kevésbé. 6. Házi feladat. Mi okozta a Tacoma-híd tragédiáját? Hogyan lehetett volna elkerülni a rezonanciakatasztrófát? 1 Visszafordíthatatlanul hőenergiává alakul a test energiája
11. óra. Feladatmegoldás 17. 11. óra Feladatmegoldás 25. Feladat. Egy 40 cm hosszúságú rugót 60 cm-esre nyújtottunk 40 N nagyságú erővel. Mekkora sebességre gyorsul a 20 g-os test? Milyen magasra tudjuk fellőni ezt a lövedéket? 26. Feladat. Egy rugó 1 N nagyságú erő hatására 1 cm-rel ment össze. A rugóra egy 1 kg-os testet helyeztünk. Mekkora a rugó rezgésideje, rezgésszáma 1 és körfrekvenciája? 27. Feladat. Egy motor dugattyúja 3000 1 fordulatszámon jár és 10 cm-es lökethosszon. Mekkora a 10 dkg tömegű dugattyú rezgési min energiája? 28. Feladat. Egy rugóhoz erősített 10 dkg tömegű kiskocsi a vízszintes asztallapon súrlódásmentesen tud mozogni. János 0,72 J munkával 10 cm amplitúdójú rezégsbe hozta a kocsit. Mekkora a rugóállandó, a legnagyobb sebesség és a rezgésidő? 29. Feladat. Luca észrevette, hogy ha az egész család beül az autóba, akkor 1 cm-rel lejjebb süllyed az autó a lengéscsillapítók miatt. A család együttes tömege 300 kg, az üres autó tömege 3 tonna. Amikor kiszállnak, akkor harmonikus rezgőmozgást végez az autó. Mekkora ennek a rezgésideje? 30. Feladat. Jani szeretne építeni egy rugós pisztolyt, mely a 10 grammos lövedéket 10 m/s-mal tudja kilőni. Vett egy 10 cm hosszú rugót a boltban, melyen a következő felirat volt: direkciós állandó: 100 N/m. Hány centisre kell összenyomnia a rugót, ha szeretné elérni a 10 m/s torkolati sebességet? 7. Házi feladat. Egy rugós játékpisztolytban 3 cm-rel nyomjuk össze a rugót és 5 grammos lövedéket lövünk ki vele. A rugóállandó 300 N. Mekkora munkával tudjuk a m pisztolyt felhúzni? Mekkora sebességgel lövi ki a golyót 2 a pisztoly? 5. Szorgalmi. Az úttest 20 m-es betonlapokból van összerakva, melyek között pici hézag van. Az autóban lévő rugós játék rugóállandója 20 N és a figura tömege 0,155 m kg. Mekkora sebesség esetén kezd intenzív rezgésbe a játék? 1 Vagyis a frekvenciája 2 Akkor lövi ki a lövedéket a pisztoly, ha a rugóban megszűnt a deformáció.
18. 12. óra. A hullámmozgás 12. óra A hullámmozgás Hullám: Egy rendszer állapotának megváltozása (zavar) a térben tovaterjed. A terjedés irányába anyag nem, de energia mindig szállítódik előre. A hullámok csoportosítása a terjedő hatás típusa szerint: Mechanikai hullámok: Rugalmas közegben egy deformáció terjedhet tova, vagyis a részecskék rezgésállapota terjed a térben. Elektromágneses hullámok: A térerősség zavarai terjednek tova. Közeg sem kell hozzá, vákuumban is terjedhet, pl. a fény és az RTG-sugárzá is ilyen. Gravitációs hullámok: Einstein a gravitáció magyarázatára készített egy modellt, a téridőt. A téridő görbületének hullámszerű változását jósolta meg 1915- ben. Rengeteg kutatás után 2015. szeptember 14-én észlelték először. A hullámok csoportosítása a dimenziószám alapján: Vonal menti hullámok: Rugalmas pontsoron, kötélen, gumiszalagon, dróton, húron, bármilyen egy dimenziós közegben terjedő hullámok. Példa Felületi hullámok: A vízfelszín hullámai, a dob és a cintányér rezgései, bármilyen két dimenziós membrán rezgései. Példa Térbeli hullámok: A levegőben terjedő hanghullámok, pontszerű fényforrás által keltett gömbhullámok, síkhullámok, továbbá a földrengések. Példa A hullámok csoportosítása a rezgés iránya szerint: Transzverzális hullámok: A rezgés merőleges a terjedés irányára. Folyadékokban és gázokban nincsenek ilyen hullámok. Hullámhegyek és hullámvölgyek váltogatják egymást. Pl.: fény, a kötélen terjedő hullámok, mexikói hullám Longitudinális hullámok: A rezgés iránya megegyezik a terjedés irányával. Minden halmazállapotban létrejöhet. Sűrűsödések és ritkulások követik egymást. Pl.: hang, autók megindulása a zöld lámpánál. A kettő kombinációja: A víz hullámaiban a víz felszíni részecskéi körmozgást végeznek, csak fáziseltéréssel. Amplitúdó: A rezgőmozgás legnagyobb kitérésének nagysága. Jele: [A] = m
12. óra. A hullámmozgás 19. Hullámhossz: Két, legközelebbi azonos fázisú pont távolsága. [λ] = m Periódusidő: A változatlan hely körül rezgő részecske rezgésideje. A hullámban terjedő zavar ennyi idő alatt éppen λ nagyságú utat tesz meg. Jele: [T ] = s Rezgésszám: A hullámforrás rezgésszámával egyenlő. [f] = [ ] 1 = 1 T s = Hz Terjedési sebesség: Más néven a fázissebesség. Egy kiszemelt fázis sebessége. Jele: [c] = m s Kiszámítása: c = s t = λ T = λ f 31. Feladat. Értelmezzük a hullámtani fogalmakat egy transzverzális hullámon! 32. Feladat. Értelmezzük a hullámtani fogalmakat egy longitudinális hullámon! 8. Házi feladat. Tankönyv: 33. oldal 1,2,3
20. 13. óra. A hullámok visszaverődése 13. óra A hullámok visszaverődése Egydimenziós hullámok visszaverődése: Rögzített végről: A hullám ellentétes fázisban verődik vissza, mert amikor a hullám a rögzített véghez érkezik, akkor a gumikötél erőt fejt ki a falra, a fal ugyanilyen nagyságú, de ellentétes irányú erőt fejt ki a gumikötélre, mely erő ellentétes fázisba lendíti át. Szabad végről: Ekkor a hullám azonos fázisban verődik vissza, mert amikor a zavar elérkezik a szabad véghez, nem lép fel erő, amely fázisugrást okozna. Kétdimenziós hullámok leírásához használt fogalmak: Hullámfront: az azonos fázisban lévő pontok összessége, távolságuk λ. Körhullám: az azonos fázisú pontok koncentrikus körökön mentén találhatók Egyenes hullám: az azonos fázisú helyek párhuzamos egyeneseken vannak. Normális: hullámfrontra merőleges irányú egyenes, erre halad a hullám. Visszaverődési törvény: A bejövő hullám eléri a közeghatárt. Merőlegest állítunk a határra a beesési ponton át. Ehhez képest mérjük az α beesési szöget és a α visszaverődési szöget. A bejövő és visszaverődő hullám normálisai és a beesési merőleges egy síkban vannak továbbá α = α. A tükör-módszer: Egy körhullám vagy egyeneshullám a közeghatárra ér. Vegyünk fel egy fiktív hullámforrást úgy, hogy tükrözzük a valódi forrást a közeghatárra. Ekkor a fiktív pontból jövő hullámok adják a visszavert hullámot. Példa Háromdimenziós hullámok visszaverődése: Gömbhullám: Az azonos fázisban rezgő pontok egy gömbfelületen vannak, melyek középpontja a pontszerű forrás. A gömbfelületek távolsága λ. Síkhullám: A hullámfrontok egymástól λ távolságra lévő párhuzamos síkok. 9. Házi feladat. Hullámtanilag sűrű illetve ritka köteleket összeragasztunk. Mit mondhatunk a fázisváltozásról annak függvényében, hogy honnan indítjuk a hullámot? Fedezzünk fel minél több dolgot! 1. Ritkából sűrűbe. 2. Sűrűből ritkába. 6. Szorgalmi. Írj 1 oldalas esszét a földrengésekről!
14. óra. A hullámok törése 21. 14. óra A hullámok törése A közeg sűrűsége: Hullámtani értelemben ez a a benne haladó hullámok terjedési sebességével kapcsolatos. Sűrű 1 közegben a hullám gyorsabban tud a haladni. 2 33. Feladat. Milyen úton szaladjon, majd ússzon a vízben lévő labdáért Jancsi, ha szeretné labdáját minél hamarabb visszaszerezni? Snellius Descartes-törvény: A beeső hullám, a beesési merőleges és a megtört hullám egy síkban van. Azonos sűrűségnél nincs törés. Ha sűrűbb közegbe hatol be a hullám - vagyis ahol lassabban halad - a beesési szögnél kisebb lesz a törési szög. Relatív törésmutató: c 1 c 2 = sin α sin β = n 2:1 közeg elsőre vonatkozó 3 törésmutatója: n 2:1 = c 1 c 2 Ha hullám az 1. közegből a 2.-ba halad, akkor a második 34. Feladat. A hanghullám terjedési sebessége levegőben 340 m s, vízben 1490 m s. Mekkora szögben törik meg az a hanghullám, ha 10 fokos beesési szögben érkezik? 35. Feladat. Fénynél a víz levegőre vonatkoztatott törésmutatója n víz:levegő = 1, 33. Lehetséges-e, hogy a fény nem jut ki a vízből, mert a közeghatárra merőlegesen halad tovább a fénytörés során? Totálreflexió: Ha a hullám egy sűrűbb közegből egy hullámtanilag ritkább közeg határához érkezik, továbbá a beesési szög elég nagy, akkor a teljes hullám visszaverődik a határfelületről. Határszög: Azt határozza meg, hogy a hullám egy hullámtanilag sűrűbb közegből egy hullámtanilag ritkább közeg határához érkezve hogyan halad tovább: megtörik, vagy teljes visszaverődés történik. 10. Házi feladat. Mekkora a határszög a vízből levegőbe haladó fénysugár esetén? 7. Szorgalmi. Készits rövid PPT-t, vagy esszét a totálreflexió alkalmazásairól! 1 Nincs köze a hagyományos ρ = m v sűrűséghez 2 Két különböző közeg akár azonos sűrűségű is lehet, amennyiben bennük a fázissebesség azonos. 3 Ebből következik, hogy n 2:1 = 1 n 1:2
22. 15. óra. A hullámok interferenciája 15. óra A hullámok interferenciája Szuperpozíció elve: Hullámok találkozása: Interferencia jelensége: A tartós interferencia feltétele: Konstruktív interferencia: Destruktív interferencia: 36. Feladat. Írjuk fel a maximális erősítés illetve gyengítés feltételét! 11. Házi feladat. Rajzoljuk le a víz felszínén kialakuló két forrás által keltett hullámok interferenciaképét! 8. Szorgalmi. Egy 5 Hz frekvenciájú haladó hullámok 2 m/s sebességgel folyamatosan haladnak az Y alakú gumizsinór 1 m hosszú szárain. Hány hullámhossznyi hullámvonulat figyelhető meg a szárakon?
16. óra. Az állóhullámok 23. 16. óra Az állóhullámok Az állóhullám létrejötte: Interferenciajelenség jön létre két egymással szemben haladó, azonos amplitúdójú (és azonos frekvenciájú) hullám hatására. Duzzadó hely és csomópont: Duzzadó helyeknél az amplitúdó maximális, csomópontnál a pontok nyugalomban vannak, ezek felváltva követik egymást és távolságuk állandó. 2 csomópont között a fázis azonos és a pontok egyszerre haladnak át az egyensúlyi helyzeten. Egy csomópont két oldalán a fázisok ellentétesek. Szimmetrikus eset: A mindkét végén rögzített és a mindkét végén szabad rugalmas pontsoroknál az L hosszúságú hullámtér a hullámhossz felének egész számú többszöröse: L = λ 2 k ahol k N Aszimmetrikus eset: Egyik végén rögzített és a másik végén szabad rugalmas pontsornál az L hosszúságú hullámtér a λ negyedének páratlan számú többszöröse: L = λ 4 (2k + 1) ahol k N 37. Feladat. Egy 38 cm-es mindkét végén nyitott síp 440 Hz-es hangot bocsájt ki. a.) Ha befogjuk az egyik végét, mekkora lesz a hang frekvenciája? b.) Ha befogjuk a másik végét is, mekkora lesz a hang frekvenciája? c.) Ha kettévágjuk középen és mindkét végét nyitva hagyjuk? d.) Ha 2:3 arányban vágjuk szét és a kisebbik darab egyik végét lezárjuk? 38. Feladat. Mekkora frekvenciájú hullámforrást kelt az 1 méter hosszú kifeszített dróton 4 duzzadóhellyel rendelkező állóhullámot, ha a fázissebesség 6 m/s? 12. Házi feladat. Hasonlítsd össze a longitudinális és transzverzális állóhullámokat a következő szimuláció segítségével. Készíts rajzot az egyik olyan felharmonikushoz, mely nincs a szimulációban és határozd meg a hullámhosszát! 9. Szorgalmi. Adj kvalitatív magyarázatot a Chladni-féle porábrák mintázataira!
24. 17. óra. A hullámok elhajlása 17. óra A hullámok elhajlása Hullámelhajlás: A hullám egy réshez érve behatol az árnyéktérbe is. Minél kisebb a rés (a hullámhosszhoz képest) annál nagyobb a behatolás. Huygens-elv: Christiaan Huygens (1629 1695) szerint a hullámtér minden pontja elemi hullámok kiindulópontja és a később kialakuló hullámfront ezek burkolója. 39. Feladat. Magyarázzuk meg a hullámterjedést egyenes és körhullámok esetén, illetve a visszaverődés, a hullámtörés és a hullámelhajlás jelenségét is! A hullámtér pontjai kibocsájták a kis elemi körhullámokat és ezek hozzák létre a következő hullámfrontot. A hullámtörés esetén az új közegben más a hullámhossz. A visszaverődés során pedig a felületről indulnak ki az elemi hullámok. Elhajlás esetén a rés pontjaiből indul ki a hullám. Kísérlet. Irányítsunk lézersugarat egy rácsra. Mi történik? Huygens Fresnel-elv: Augustin-Jean Fresnel francia fizikus (1788-1829) a burkoló fogalmát interferenciára cserélte, ezzel magyarázva a kétrés-kísérlet eredményét. 40. Feladat. Adott d rácsállandójú rács és egy λ hullámhosszúságú hullám jut rá. Az erősítés feltétele, hogy az úthosszkülönbsége a λ egész számú többszöröse. sin α = s d = λ n d d = n λ sin α ahol n N 13. Házi feladat. Egy lézersugár 22,92 fokban hajlik el egy d = 1, 67 10 6 m rácsállandójú rácson. Milyen hullámhosszúságú a fény? 10. Szorgalmi. Írd fel a maximális kioltás helyeit egy d rácsállandójú rács, és egy λ hullámhosszúságú hullám esetén!
18. óra. Hangtan alapjai 25. 18. óra Hangtan alapjai Kísérlet. Telefon rezeg a kezünkben, majd az asztalon. Hallunk-e különbséget? A levegő részecskéi rezgésbe jönnek, nagyobb felület esetén több rezeg, így hangosabb. Kísérlet. Milyen mozgást végez a hangvilla? Egy késsel megmutathatjuk, hogy harmonikus rezgőmozgást végez. A rezgést láthatóvá tehetjük, ha a hangvillát végighúzunk kormozott üvegen, mert láthatjuk a hullámokat. Kísérlet. Pohár peremén végighúzzuk az ujjunkat. Mi történik? A pohár egésze rezgésbe jön, és egy szép hangot hallunk. Kísérlet. Fújjunk bele egy üvegbe. Mi történik? A nyomás bent megnő, a részecskék elindulnak kifelé, bent lecsökken a nyomás, ezért újra befelé mennek, végeredményben ide-oda mozognak, rezegnek, ezt halljuk hangként. Hang: Egy rugalmas közegben kialakuló mechanikai hullám (azaz a rezgésállapot tovaterjedése), mely longitudinális és az ember a fülével képes érzékelni. Hangmagasság: Magas vagy mély, fizikailag a rezgés frekvenciája. 20 Hz és 20 khz között észleljünk a hangot, alatta infrahangokról, felette ultrahangokról beszélünk. Hangteljesítmény és hangerősség: A hullám által szállított energia másodpercenként a hangteljesítmény, jele: P. Ha egy adott felületre meghatározzuk, kapjuk a hangerősséget, melynek jele: I. A hangerősség lehet hangos és halk. Az emberi hallásküszöb értéke egy 1000 Hz-es hangra: I 0 = 10 12 W/m 2, a fájdalomküszöb 1 W/m 2. Decibel: A megadott intenzitás és a referencia hányadosának lg-jének 10-szerese: L I = 10 log 10 ( I I 0 ) 41. Feladat. Hány decibelnek felel meg a fájdalomküszöb? 14. Házi feladat. Jancsi 100 db-el ordít és Julcsi is. Hány db-el ordítanak egyszerre? 11. Szorgalmi. Egy béka 60 db-el brekeg. 5 béka hány db-el brekeg?
26. 19. óra. Hangtani jelenségek 19. óra Hangtani jelenségek Hanglebegés: Két közel azonos frekvenciájú hanghullám találkozásakor kioltás és erősítés felváltva tapasztalható. A hangmagasság és az hangerőváltozás frekvenciája: f hang = f 1 + f 2 2 f beat = f 1 f 2 Doppler-effektus: Ha a forrás közeledik az észlelőhöz, a hullámok feltorlódnak, így magasabbnak tűnik a hang. Távolodás esetén mélyebb lesz, mert a hullámok ritkulnak. f = c + v észlelő c + v forrás f 0 Kísérlet. Mérjük meg a hang sebességét állóhullám segítségével! c = λ f = 4 L f Pontos érték: c = Diatónikus hangsor: ( ) t m 331, 5 + 0, 6 C s Bizonyos hangok együttes, vagy egymás utáni hangzása kellemes érzetet okoz, ez a konszonancia. Ellenkező esetben disszonanciáról beszélünk. Hangköz Elnevezés Arány Frekvencia c prím 1 264 Hz d szekund 9/8 297 Hz e terc 5/4 330 Hz f kvart 4/3 352 Hz g kvint 3/2 396 Hz a szext 5/3 440 Hz h szeptim 15/8 495 Hz c oktáv 2 528 Hz 19.1. táblázat. A természetes diatónikus hangskála hangközei. Kiegyenlített hangolás: A hangok mértani sorozatot alkotnak, ahol q = 12 2. Itt a hangközök a következők: c, cisz, d, eisz, e, f, fisz, g, gisz, a, aisz, h, c. Ezek nevei: prím, kis szekund, nagy szekund, kis terc, nagy terc, kvart, szűkített kvint, kvint, kis szext, nagy szext, kis szeptim, nagy szeptim és oktáv. 15. Házi feladat. Számítsuk ki a kiegyenlített hangolás esetén az egyes hangok frekvenciáját, ha az a hang 440 Hz-es! 12. Szorgalmi. Rajzold le a következő hangok amplitudóját az idő függvényében: tiszta zenei hang, négyszögjel, fűrészfogjel, zörej, dörej, összetett periódikus hang.
20. óra. Hangtan a hétköznapokban 27. 20. óra Hangtan a hétköznapokban Emberi hallás: Rezgésbe jön a dobhártya, melyhez belülről kapcsolódik a kalapács. Ez további hallócsontocskáknak adja tovább a rezgést, mely a folyadékkal teli csigába jut. A Corti-féle szervben lévő szőrszálak továbbítják az agyba az ingerületet. 42. Feladat. A bronzharang 78%-a réz és 22%-a ón. Ütéskor kiad egy rövid, fémes hangot, majd megjelenik a zúzóhang, melynek részei alaphang, alsó és felső oktáv, terc és kvint. Ábrázoljuk az egyes hangok intenzitását egy olyan harangnál, melynek az alaphangja 200 Hz és a magasabb hangjai halkabbak! A hangszín-spektrum: A hangforrás által kibocsájtott hangok és felhangok magasságának intenzitásának részletes megadása. Az ember esetében a különböző felhangok Hangrobbanás: A hangsebességnél gyorsabb forrás által kibocsájtott hangok konstruktívan összeadódnak. Például szuperszonikus repülő, csattanó ostor, dörgés hangja. A hanghatás mellett a nyomásnövekedés a levegőben lévő víz kicsapódását is okozhatja. v test = c sin α 16. Házi feladat. Add meg egy harang hangszín-spektrumát, ha alaphangja 300 Hz és 100 db és a magasabbak hangok az előzőhöz képest fele akkora intenzitásúak! 13. Szorgalmi. Keress filmekben, rajzfilmekben Mach-kúpot, mérd le a szöget és számíts ki az adott test sebességét!
28. 21. óra. Feladatmegoldás 21. óra Feladatmegoldás 43. Feladat. A tengervízben 1500 m/s-mal halad a hang. Egy 30 khz-es ultrahanghullám 3 másodperc alatt ér vissza a tengerfenékről. Milyen mély a tenger? Mekkora idő alatt érne vissza a hullám, ha a hajó 36 km/h-val halad? 44. Feladat. Egy hanghullám érkezik a vízfelszínre 34 fokos beesési szögben. Mekkora szögben törik meg? 45. Feladat. János mellett 72 km/h-val elhalad egy autó, miközben végig dudál. Jánosnak abszolút hallása van és megállapította, hogy milyen hangköznek felel meg a közeledő és a távolodó autó frekvenciájának aránya. Milyen hangközt hallott János? (c hang = 340 m/s) 46. Feladat. Mekkora egy 3 méter hosszúságú inga lengésideje a Holdon? 47. Feladat. Adjuk meg a gitár A 2 húrjának kitérését az idő függvényében, ha 3 mm a maximális kitérés! Ábrázoljuk grafikonon a sebességét és a gyorsulást is! 48. Feladat. Milyen gyorsan rezeg egy 10 másodperc rezgésidejű rugó az elindításától számított 3. másodpercben, ha az egyensúlyi helyzetéből indítottuk. 49. Feladat. Egy méhecske hangja 5 méterről 15 db hangerőnek felel meg. Micimackótól 5 méterre egy 45 db-el zümmögő méhkas van. Hány méhecske van ott? 50. Feladat. Egy 9 méter hosszú rugót másodpercenként 2-szer lendítünk meg és három teljes hullám fér rá a kötélre. Mekkora a fázissebesség a rugóban?