Diplomamunka. Szabó Anett

Diplomamunka Intracelluláris Ca 2+ -dinamika vizsgálata Szabó Anett Témavezet : dr. Tóth János docens Budapesti M szaki és Gazdaságtudománi Egetem Matematika Intézet Analízis Tanszék BME 2010

TARTALOMJEGYZÉK 1 Tartalomjegzék 1. Bevezetés 2 2. A sejt mint kompartmentek (rekeszek) rendszere 3 3. A citoszolikus Ca 2+ -koncentráció szabálozása 4 4. Ca 2+ -oszcilláció 6 4.1. Ca 2+ -oszcilláció a kísérletez szemszögéb l............. 6 4.1.1. Az oszcilláció mechanizmusa................. 7 4.2. Az oszcilláció matematikai modellezése............... 10 4.2.1. Determinisztikus modellek.................. 11 5. Két gakran idézett modell 14 5.1. De Young és Keizer modellje..................... 14 5.2. Determinisztikus Li-Rinzel modell.................. 19 6. Matematikai háttér 22 6.1. Autonóm egenletek, dinamikai rendszerek............. 22 6.2. Stabilitáselmélet, bifurkációk..................... 25 7. A determinisztikus LiRinzel modell 27 7.1. Egensúli pontok.......................... 27 7.2. Periodikus pálák........................... 35 7.2.1. Hogan változik az oszcilláció frekvenciája és amplitúdója a paraméter függvénében?................. 39 8. A Ca 2+ -oszcilláció szerepe az ovuláció szabálozásában 41 8.1. Biológiai háttér............................ 41 8.2. A módosított modell......................... 43 8.2.1. Az egenletrendszer...................... 43 8.2.2. IP 3 -pulzus........................... 44 8.2.3. Következtetések........................ 44 9. Összegzés 47 10.Függelék 49 1.4. Sztochasztikus modellek................... 49 10.. Ca 2+ -hullámok........................ 50

1 BEVEZETÉS 2 1. Bevezetés A sejten belüli Ca 2+ -koncentrációban bekövetkez változások számos élettani folamatot szabáloznak, íg például a génexpressziót, a sejtciklust, a kemotaxist, a mirigsejtek szekréciós aktivitását és a szinaptikus ingerületátviv anagok (neurotranszmitterek) felszabadulását. A sejtek ingerlése hormonokkal vag neurotranszmitterekkel a citoszolikus Ca 2+ -koncentráció oszcillálásához vezet, ami nagon változó lehet a frekvencia, amplitúdó és térbeli terjedés szempontjából. Ebben a változatosságban rejlik az oszcilláció információtartalma a különböz jelátviteli folamatokban. Íg, ha sikerül meghatároznunk eg-eg adott modellben ezeket a jellemz ket, lehet ségünk nílik a kívánt módon befolásolni a fent említett mechanizmusokat. A kémiai és biológiai folamatok viselkedését igen gakran dierenciálegenletek, dierenciálegenlet-rendszerek segítségével szokás leírni, melekben szerepl paramétereket mérési adatok szolgáltatják. Az il módon kapott dinamikai rendszerek kvalitatív vizsgálata lehet vé teszi, hog gelemmel kísérjük, hogan reagál az adott (pl. biológiai) rendszer viselkedése eg (vag akár több) paraméter változtatására. A dolgozatban különböz folóiratokban bemutatott modelleket elemeztem. A munka jelent s részét ezen modellek és a folamatok biológiai hátterének felkutatása és rendszerezése képezte. A számolásokat saját elgondolásaim alapján kiviteleztem. Az alábbi célkit zések vezéreltek: betekintést nújtani az intracelluláris Ca 2+ -homeosztázisba, különös hangsúlt fektetve a dolgozatban tárgalt modellek szempontjából fontos aspektusokra, valamint összefoglaló képet adni a citoszolikus Ca 2+ -oszcilláció mechanizmusáról és jelenleg ismeretes modelljeir l, a Ca 2+ -oszcilláció két gakran idézett és számos újabb modell kiindulópontjaként szolgáló modelljét szimbolikusan és numerikusan tárgalni, melben különös fontossága lesz a paraméter (pl. hormon-koncentráció) változására bekövetkez kvalitatív változásoknak, végül pedig, eg konkrét élettani folamat (a Ca 2+ -oszcillációnak az emberi menstruációs ciklus szabálozásában betöltött szerepe) kapcsán rávilágítani a tárgalt mechanizmusok alkalmazási jelent ségére.

2 A SEJT MINT KOMPARTMENTEK (REKESZEK) RENDSZERE 3 2. A sejt mint kompartmentek (rekeszek) rendszere Az él sejteket az ún. sejtmembrán (vag plazmamembrán) határolja, amel elválasztja és egben össze is köti a sejten belüli (intracelluláris) teret a sejten kívüli körnezettel, az ún. extracelluláris térrel. A sejten belüli teret a sejtmag körül a sejtplazma (citoplazma) tölti ki, amel két részb l áll: a citoszolból, mel vízben oldott szerves és szervetlen anagokból épül fel és a citogélb l, amelben az enzimek és a sejtváz fehérjéi rendezetten helezkednek el. A citoplazmában találhatóak a különböz sejtalkotók (sejtorganellumok), meleket szintén membrán határol, elválasztva belsejüket a citoszoltól. Eg ilen sejtalkotó az endoplazmás retikulum (ER), mel a legkiterjedtebb membránrendszer az intracelluláris térben (1. ábra). 1. ábra. A sejt felépítése. A sejtplazmában látható a kiterjedt membránrendszerrel rendelkez endoplazmás retikulum. Az említett membránok szelektíven átjárhatóak a különböz vegületek számára, ezáltal képesek szabálozni, hog mi léphet be a sejtbe, illetve a sejtorganellumba, és mi haghatja el azt. Ez vonatkozik a különböz ionokra, többek között a Ca 2+ ionra is.

3 A CITOSZOLIKUS CA 2+ -KONCENTRÁCIÓ SZABÁLYOZÁSA 4 3. A citoszolikus Ca 2+ -koncentráció szabálozása A Ca 2+ ionok a sejtek m ködéséhez elengedhetetlenek, az eges, membránnal határolt kompartmentek közötti áramlásuk az alapja a sejten belüli jelátviteli folamatoknak. A legszélesebb körben alkalmazott intracelluláris másodlagos hírviv k. A koncentrációjukban bekövetkez változások számos élettani folamatot szabáloznak, íg például a génexpressziót, a sejtciklust, a kemotaxist, a mirigsejtek szekréciós aktivitását és a szinaptikus ingerületátviv anagok (neurotranszmitterek) felszabadulását. Ismert, hog a tartósan magas Ca 2+ -koncentráció sejtkárosodáshoz, illetve sejtpuszuláshoz vezet, ezért nagon fontos, hog a sejtek korlátozni tudják az intracelluláris Ca 2+ -koncentráció növekedésének mértékét. A citoplazma szabad Ca 2+ - koncentrációját az ott található Ca 2+ - köt molekulák (ún. kalciumpuerek) és a plazmát határoló membránok Ca 2+ szállító fehérjéi szabálozzák (2.ábra). Ezen szabálozás eredméneként a citoszol szabad Ca 2+ -koncentrációja a sejtek nag részében 50 és 200 nm között van. Ez a koncentráció eg-két nagságrenddel alacsonabb mind az extracelluláris tér ( 1mM), mind pedig a sejten belüli sejtorganellumok (pl. ER-ban >1mM) Ca 2+ -koncentrációinál, a szabálozáshoz tehát nagon hatékon rendszerek szükségesek. Ilen koncentrációviszonok mellett a citoszol Ca 2+ - szintjének emelése leggazdaságosabban ioncsatornákon keresztül érhet el, csökkentése pedig aktív Ca 2+ -transzporterek segítségével történhet. Ca 2+ els sorban az extracelluláris térb l és az endoplazmatikus hálózatból, vag annak specializált részeib l áramlik be (2.ábra). Ez utóbbi képezi eml s sejtekben a gorsan reagáló Ca 2+ -raktárat, mel a citoszol Ca 2+ - koncentrációjának szabálozott, gors változtatásaiért felel s.

3 A CITOSZOLIKUS CA 2+ -KONCENTRÁCIÓ SZABÁLYOZÁSA 5 2. ábra. A sejt Ca 2+ -háztartásának vázlata. A citoplazma kapcsolatban áll az extracelluláris térrel és a különböz sejtalkotókkal, melek közül az endoplazmás retikulum (ER) bír a legnagobb jelent sséggel a Ca 2+ szempontjából. A citoszol Ca 2+ -koncentrációját a plazmamembrán, illetve ezen sejtalkotók membránjainak ioncsatornái és a Ca 2+ -köt molekulák szabálozzák (Ca- B: Ca 2+ és Ca 2+ -köt molekula komplexe). Az endoplazmás retikulum esetében a fent említett aktív Ca 2+ -transzporter az endoplazmás retikulum Ca 2+ -pumpája (SERCA, sacro(endo)plasmic reticulum Ca 2+ -ATPase), melen keresztül a Ca 2+ -t ATP-igénes aktív transzport segítségével felveszi, majd bizonos (pl. hormonális, lásd kés bb) ingerek hatására a Ca 2+ az ún. Ca 2+ -release csatornákon keresztül felszabadul, ezzel növelve a citoszol Ca 2+ -koncentrációját (3. ábra). Ezek a release csatornák két különböz családba sorolhatók, elnevezésük pedig az ket aktiváló másodlagos hírviv (IP 3 : inozitol- 1,4,5-trifoszfát) illetve a hozzájuk köt d növéni alkaloida (rianodin) alapján rendre IP 3 receptor (IP 3 R), illetve rianodin receptor (RYR). A dolgozatban bemutatott modellek az IP 3 R m ködésére fókuszálnak. 3. ábra. Az ER membránján keresztüli Ca 2+ -áramlás vázlata. Az ER-ból a Ca 2+ a sejtszervecske membránjában található IP 3 R-on (csatornán) keresztül szabadul fel, ezzel növelve a citoszol Ca 2+ -koncentrációját. A kiáramlott Ca 2+ -t az ER Ca 2+ -pumpája szállítja vissza annak belsejébe, ezzel újra feltöltve a raktárat.

4 CA 2+ -OSZCILLÁCIÓ 6 4. Ca 2+ -oszcilláció 4.1. Ca 2+ -oszcilláció a kísérletez szemszögéb l Ahhoz, hog a Ca 2+ önmagában több folamatot tudjon egmástól függetlenül szabálozni, szükséges, hog az eges specikus jeleket ne pusztán a Ca 2+ -szint kódolja, hanem annak térbeli és id beli változása is információt hordozzon. Az él szervezetek az egensúltól távol m köd nitott termodinamikai rendszerek, m ködésükhöz nagfokú rendezettség kialakítása és fenntartása szükséges. Az id beli rendezettség elérésének egik legkézenfekv bb módja a sejteknek vag azok csoportjainak szinkronizált m ködtetése. Az él szervezetekre ezért általánosan jellemz ek a ritmikus folamatok. Az intracelluláris Ca 2+ -koncentráció több sejtben id beli periodikusságot mutat, oszcillál. A jelenséget kezdetben a periodikus összehúzódásokat produkáló izomsejtekben és a neuronokban ismerték, mígnem a nolcvanas évek közepén nem-ingerléken sejtekben is felfedezték, íg például a fertilizáció kapcsán petesejtekben is. Bár a Ca 2+ szabálozó szerepe már régóta ismert, az 1980-as évek elejéig nem állt rendelkezésre megfelel módszer kisméret egedi sejtek citplazmatikus Ca 2+ -szintjének megbízható és reprodukálható mérésére. Ezért a különböz hatásokra a sejt szintjén bekövetkez változásoknak kinetikáját csak ezután lehetett felderíteni. A köztudatba els ként Woods és munkatársai [Woods et al., 1986] 1986-ban, a Nature-ben közölt meggelései vonultak be, valójában azonban már néhán évvel korábban is megjelentek hasonló közlemének [Cutherson, Cobbold, 1985], [Ueda et al., 1983], az els már 1980-ban [O'Dohert et al., 1980] (melnek szerz i szabadkoznak is a számukra is hihetetlen meggelés miatt). 1986 után sorozatosan jelentek meg különböz sejtekben lejátszódó Ca 2+ -oszcillációkról szóló beszámolók, majd az oszcillációk biokémiai mechanizmusának felderítése is elkezd dött.

4 CA 2+ -OSZCILLÁCIÓ 7 4.1.1. Az oszcilláció mechanizmusa Bár Ca 2+ -oszcillációkat mára már nagon sok sejtben leírtak, szinte nem találhatunk két olan sejttípust, melben azok jellemz i (pl. frekvencia, amplitúdó) megegeznének (4a.ábra). S t, uganazon sejt különböz ingerlésre különböz típusú oszcillációval válaszol (4b.ábra). a b 4. ábra. Az oszcilláció jellemz i. a: Különböz típusú sejtek különböz jellemz kkel rendelkez oszcillációval válaszolnak uganazon ingerlésre. A fels paneleken a uoreszcens Ca 2+ -jel látható, az alsókon az eges Ca 2+ -tüskék között eltelt idöintervallumok hossza (ISI). b: Az astrocta a különböz anagokkal történ ingerlésre (glutamát, ATP, hisztamin), különböz jelleg oszcillációval válaszol. Ez is mutatja, hog mennire komplex mechanizmussal állunk szemben, melnek felderítése azonban elengedhetetlen az ismétl d Ca 2+ -jeleket alkalmazó jelátviteli út m ködési rendellenességeinek orvoslásához. A folamat bonolultságából és a vizsgálandó rendszer sérülékenségéb l adódóan azonban ennek a jelenségnek a molekuláris háttere még koránt sincs feltárva. A legtöbb sejttípusban az oszcillációkban feltételezhet en az IP 3 R játszik kulcsfontosságú szerepet. Ennek mind az IP 3, mind a Ca 2+ általi szabálozása nagon bonolultnak t nik, aminek molekuláris részletei még nincsenek kell en tisztázva.

4 CA 2+ -OSZCILLÁCIÓ 8 Az IP 3 R-ok nag ( 1200 kda), homotetramer (nég azonos alegséggel rendelkez ) szerkezet fehérjék. Az eges alegségek nég transzmembrán doménb l állnak, köztük eg, a citoplazmába núló amino-terminális doménnel és eg, a karboxi-terminális végen elhelezked, hat darab membránt átér régióból álló integrális Ca 2+ -csatornával (5a.ábra). Három izoformájuk ismert, mindhárom érzéken Ca 2+ -ra és IP 3 -ra. Az IP 3 amino-terminális véghez való beköt dése eges feltételezések szerint konformációváltozást okoz a fehérjében, melnek következtében Ca 2+ -köt hel alakul ki annak felszínén. Ha ide Ca 2+ köt dik, kinílik a csatorna (5.ábra). a b 5. ábra. Az IP 3 R (csatorna). a: Az ábrán az IP 3 R nég molekulája közül három látható (különböz színekben), középen IP 3 -csatornát alkotva. b: A csatorna nitása. Az IP 3 beköt dése által okozott konformációváltozás következtében Ca 2+ -köt hel alakul ki a csatorna felszínén. Ha ide Ca 2+ köt dik kinílik a csatorna (kialakul a receptor ún. szélmalom formája). Bár IP 3 szükséges a csatorna-nitáshoz, az IP 3 R-k aktiválása összetett folamat, és a nitás valószín sége függ a körnez Ca 2+ -koncentrációtól. Az IP 3 R- on végzett kísérletek szerint, az oszcilláció kialakulásában szerepet játszhat a receptor Ca 2+ -nal való gátlása is. Kb. 500 nm-os értékig a Ca 2+ az IP 3 -mal egüttm ködve aktiválja az IP 3 R-t, míg magasabb koncenrtáció esetén a Ca 2+ gátolja a csatorna nitását. Feltételezhet ezek alapján, hog a receptor rendelkezik eg másik Ca 2+ -köt hellel is, amelhez köt d Ca 2+ a csatorna inaktiválódását okozza ([Bezprozvann et al., 1991], [Finch et al., 1991], [Moraru et al., 1999], [Parker, Ivorra, 1990], [Iino, 1990]).

4 CA 2+ -OSZCILLÁCIÓ 9 Az intracelluláris oszcillációnak mára ez az ún. IP 3 -függ Ca 2+ -indukált Ca 2+ felszabadulás az egik legelfogadottabb modelleje. Ennek alapja tehát az a kísérleti meggelés, hog az IP 3 R-t a Ca 2+ mind aktiválni mind pedig inaktiválni képes. A modell szerint az oszcilláció lefutása a következ. Küls (kémiai) inger hatására megn a citoplazma IP 3 -koncentrációja. Mivel az IP 3 viszonlag gorsan köt dik az IP 3 R-hoz, az IP 3 -t kötött receptorok száma viszonlag goran beáll eg egensúli értékre. Ezek a receptorok már aktiválhatóak, eg kis részükhöz már a nugalmi állapotban kis koncentrációban jelen lév Ca 2+ -ok is tudnak köt dni, ezáltal a csatornák nitását eredménezik. Íg az endoplazmatikus retikulumból lassú Ca 2+ -áramlás indul meg, mel kezdetben a citoszol szabad Ca 2+ -szintjének lassú emelkedését okozza (mivel a 3.1 fejezetben említett pumpák visszaszállítják a Ca 2+ -k eg részét az ER-ba, illetve eg részüket megkötik a citoplazmában található fehérjék, az ún. kalciumpuerek), majd ez a lassú emelkedés újabb receptorok nitását eredménezi. Ez tehát eg öner sít folamat, amel addig tart, amíg a Ca 2+ -k a gátló helekre is beköt dnek. Ekkor bezárulnak a csatornák, nem áramlik több Ca 2+ a citoszolba és mivel onnan a 3.1 pontban említett aktív Ca 2+ - transzporterek folamatosan eltávolítják a Ca 2+ -t, annak szintje ott csökkenni kezd. Az inaktiválódott receptorokról a Ca 2+ disszociál, ami szintén lassú folamat, íg a Ca 2+ -szint átmenetileg az egensúli érték alá sülled. Miután a Ca 2+ disszociált a gátló helr l, a receptor újra aktiválható lesz, íg indulhat az újabb ciklus. Mindez tehát azt jelenti, hog az IP 3 által kiváltott Ca 2+ -felszabadulás kezdetben eg pozitív visszacsatolást indukál (CICR, Ca 2+ -induced Ca 2+ release), majd ezt, miután a citoszolikus Ca 2+ -koncentráció eléri a néhán száz nanomólos értéket, negatív visszacsatolás követi. Ezt a mechanizmust el ször De Young és Keizer [DeYoung, Keizer, 1992] írta fel matematikai formában.

4 CA 2+ -OSZCILLÁCIÓ 10 4.2. Az oszcilláció matematikai modellezése A kísérleti tapasztalatokat már a nolcvanas évek elején próbálták matematikai modellekkel leírni (6.ábra). A CICR jelensége több, mint 20 éve ismert, a kezdeti modellek ezen mechanizmus egszer bb leírásával próbálkoztak. Az igazi áttörést a kilencvenes évek elején De Young és Keizer modellje [DeYoung, Keizer, 1992] jelentette, melet ennek számos egszer sített változata követett, többek között Li és Rinzel által [Li, Rinzel, 1994], ezt a kés bbiekben részletesen bemutatjuk. 6. ábra. Az eges években megjelent új modellek száma. 2005 után a korábbaiknál is több, els sorban sztochasztikus modellt alkottak. Eg matematikai modellel szemben alapvet elvárás, hog legen annira egszer, amennire lehet és annira komplex, amennire szükséges. Ca 2+ -oszcilláció modellezése során két fontos ténez r l nem szabad megfeledkeznünk: Minden sejttípus különböz. Az oszcilláció hátterében álló mechanizmus sejttípusonként eltér lehet és általában az is. Mégis, sok hasonlóság is felfedezhet, ezért általánosításokra is lehet ségünk van. Óvatosan. Viszonlag egszer feladat olan egenletrendszereket felírni, amelek oszcillációt produkálnak. Szintén nem nehéz a modellt addig módosítgatni, amíg az adatokra hasonlítani fog. Sokkal nehezebb azonban a modell segítségével valami újat, érdekeset mondani az oszcilláció alapját képez élettani folamatokról.

4 CA 2+ -OSZCILLÁCIÓ 11 A Ca 2+ -oszcilláció modelljei a már ismertetett, sejtben lezajló alapvet áramlási folamatokra (7.ábra), kísérleti úton meggelt mechanizmusokra építenek. A 3.1 fejezetben leírtakat összefoglalva: a citoplazma kapcsolatban áll az extracelluláris térrel és a különféle sejtalkotókkal, melek közül az endoplazmás retikulum az egik legjelent sebb a Ca 2+ szempontjából. Az áramlási folamatok közül itt az endoplazmás retikulumból, az annak membránjában található IP 3 -függ Ca 2+ - csatornákon keresztüli Ca 2+ -áramlásra fókuszálunk. * 7. ábra. A sejtben lejátszódó alapvet Ca 2+ -áramlási folamatok részletesebb ábrázolása, ( )-al jelölve az ER membránján keresztül történ Ca 2+ -kiáramlást. 4.2.1. Determinisztikus modellek Gakori feltételezés a sejtben lezajló folamatok modellezése során, hog a sejt eg jól kevert reaktorként m ködik, vagis minden kémiai komponens koncentrációja mindenhol uganakkora a sejten belül (homogén sejtmodell). Matematikai szempontból ez közönséges dierenciálegenletrendszereket eredménez. A tartós (self-sustained) Ca 2+ -oszcilláció leírható viszonlag egszer, ún. minimalista" modellekkel (de ha pl. a Ca 2+ -release csatornák részletes karakterisztikáját is jellemezni szeretnénk, szélesebb kör elemzésre van szükségünk (lásd pl. [DeYoung, Keizer, 1992])). Ilen típusú oszcilláció kinetikai egenletrendszerrel való szimulálásakor legalább két változó szükséges is. A szabad citoszolikus Ca 2+ -koncentrációt érdemes választani az egik dinamikus változónak, mert ez a leggakrabban mért menniség.

4 CA 2+ -OSZCILLÁCIÓ 12 A minimalista modellek abban az értelemben minimálisak, hog mindössze eg további változót tartalmaznak. Ezen változók szerint három osztálba sorolhatóak: (Ca 2+ ct, Ca 2+ ER), (Ca 2+ ct, IP 3 R), (Ca 2+ ct, fehérje). Itt Ca 2+ ct jelöli a citoszolikus Ca 2+ -koncentrációt, Ca 2+ ER a Ca 2+ koncentrációt az endoplazmás retikulumban és IP 3 R az IP 3 -receptorok állapotát. Az ilen modellek esetében csak a citoszolikus Ca 2+ -koncentráció (c) dinamikájára fókuszálunk, gelmen kívül hagva a plazmamembránon keresztüli áramlást ("zárt sejtmodell"). Általános alakjuk a következ : ċ(t) = Jrelease (Y (t), c(t), t) + J leak (c(t), t) J uptake (c(t), t) Ẏ (t) = f(y (t), t) ahol J release és J leak rendre az ioncsatornákon keresztüli Ca 2+ -felszabadulást, illetve a bels Ca 2+ -raktárakból szivárgó Ca 2+ -áramot jelöli, J uptake pedig a Ca 2+ felvételét a citoszolból ezen raktárakba. A dolgozatban bemutatott modellek a (Ca 2+ ct, IP 3 R) típusú modellek családjába tartoznak. Ezekben Y az IP 3 R-ok eges állapotainak aránát jelöli (tehát pl. x 000, x 001, stb.). A kétdimenziós modellek analízise a kísérleti meggelésekkel összhangban azt mutatja, hog tartós oszcilláció csak akkor következik be, ha valamelik változó rendelkezik önmagára való aktiváló hatással, kémiai kifejezéssel élve a modellben autokatalitikus lépés is van. Mint említettük, az egik legismertebb ilen visszacsatolási hurok a Ca 2+ pozitív visszacsatolása a Ca 2+ -ra (CICR, 4.1.1). Íg ezt a ténez t mindhárom típusú minimalista modell tartalmazza. A 4.1.1-es pontban leírt gátló mechanizmust, nevezetesen, hog az oszcilláció kialakulásában szerepet játszhat az IP 3 R Ca 2+ -nal való gátlása is, mel a receptor konformációváltozásán keresztül jön létre, több kétdimenziós modellben is tanulmánozták [Atri et al., 1993], [Poledna, 1991], [Poledna, 1993].

4 CA 2+ -OSZCILLÁCIÓ 13 Eg részletesebb, alaposabb nolcdimenziós modellt alkotott De Young és Keizer [DeYoung, Keizer, 1992], melet Li és Rinzel [Li, Rinzel, 1994] kétdimenzósra egszer sített (a különböz id skálákra alapozva). Mind a bonolultabb, mind pedig az ezek egszer sítése során nert (Ca 2+ ct, IP 3 R) típusú modellek szerkezete a HodgkinHuxle-egenletek alakjára emlékeztet. Az utóbbi két modellt mutatjuk be részletesen, az utóbbinak elemzéséb l pedig gakorlati következtetéseket is levonunk.

5 KÉT GYAKRAN IDÉZETT MODELL 14 5. Két gakran idézett modell 5.1. De Young és Keizer modellje De Young és Keizer IP 3 -függ Ca 2+ -oszcillációt leíró modellje abból a feltételezésb l indul ki, hog minden IP 3 R három független alegségb l épül fel, és ezek mindegike három domént tartalmaz: eg IP 3 -aktivációs, eg Ca 2+ -aktivációs és eg Ca 2+ -inaktivációs domént. Mindegikhez a nevének megfelel ion vag molekula kapcsolódhat. 8. ábra. Az IP 3 R-on található domének: Ca 2+ -aktivációs, Ca 2+ -inaktivációs és IP 3 -aktivációs domén. Biokémiai kísérletek és elektronmikroszkópos felvételek azt mutatják, hog az IP 3 R nég alegségb l épül fel (ahog ez az ábrán is látszik, illetve lásd 3.1 fejezet) és ahhoz, hog a csatorna nitott állapotban legen, szükséges, hog a nég alegségb l legalább három aktivált állapotban legen (lásd lejjebb). Mivel minden domén lehet szabad vag foglalt, eg alegségnek nolcféle állapota létezik. A 9. ábrán az eges alegségek állapotait S ijk -val jelöltük, ahol i, j és k 0 vag 1 értéket vesz fel, attól függ en, hog az adott domén szabad-e (0) vag foglalt (1). Az indexek az alábbi doméneket jelölik: i: IP 3 -aktivációs domén j: Ca 2+ -aktivációs domén k: Ca 2+ -inaktivációs domén Az alegségek közötti kölcsönhatásokra vonatkozó kinetikai paraméterek hiánában feltételezték, hog ahhoz, hog eg IP 3 -függ Ca 2+ -csatorna (IP 3 R) nitott állapotban legen, szükséges, hog mindhárom alegség esetében mindkét aktivációs domén foglalt, míg az inaktivációs domén szabad legen. A fenti jelöléseket használva ennek az S 110 állapot felel meg. Jelölje az S ijk állapotban lév alegségek hánadát x ijk. Ekkor a csatornanitás valószín sége x 110 3 -el arános.

5 KÉT GYAKRAN IDÉZETT MODELL 15 (Biokémiai kísérletek és elektronmikroszkópos felvételek azt mutatják, hog az IP 3 R nég alegségb l épül fel és ahhoz, hog a csatorna nitott állapotban legen, szükséges, hog a nég alegségb l legalább három aktivált állapotban legen. Ebben az esetben a csatornanitás valószín sége 4x 110 3-3x110 4. Ez azonban a modell viselkedését lénegesen nem befolásolja.) Az állapotok között a 9. ábrán látható átmenetek lehetségesek: k- 2 S 100 k 5c k -5 k- 2 k 2c S 110 S 101 k- 1 k 1p k 2c k 5c k -5 k- 3 S 111 k 3p k 1p k- 1 k- 4 k S 5c 010 k 4c k- 5 k- 3 k 3p k- 4 S 000 S 001 k 4c k 5c k- 5 S 011 9. ábra. Kinetika. A De Young-Keizer-modellben deniált állapotok közti lehetséges átmenetek. c jelöli a Ca 2+ -koncentrációt, p az IP 3 -koncentrációt. Bár a teljes modell 24 sebességi állandót tartalmazna, De Young és Keizer a következ egszer sít feltételezések mellett tízre csökkentette ezek számát: a sebességi állandók függetlenek a Ca 2+ -aktivációs domén állapotától, a Ca 2+ - aktiváció sebességi állandója független a Ca 2+ -inaktivációtól és az IP 3 -tól. Végül pedig a Ca 2+ -inaktiváció független a Ca 2+ -aktivációtól. Íg tehát tíz darab sebességi állandó maradt: k ±1,k ±2,k ±3,k ±4,k ±5. Az S ijk állapotban lév receptorok x ijk hánadára vonatkozó dierenciálegenletek tömeghatás kinetikára épülnek, íg a következ alakban írhatók fel:

5 KÉT GYAKRAN IDÉZETT MODELL 16 dx 000 dt dx 001 dt dx 011 dt dx 101 dt dx 010 dt dx 100 dt dx 110 dt dx 111 dt = (k 1 x 100 k 1 px 000 ) + (k 4 x 001 k 4 cx 000 ) + (k 5 x 010 k 5 cx 000 ) = (k 3 x 101 k 3 px 001 ) + (k 4 cx 000 k 4 x 001 ) + (k 5 x 011 k 5 cx 001 ) = (k 3 x 111 k 3 px 011 ) + (k 4 cx 010 k 4 x 011 ) + (k 5 cx 001 k 5 x 011 ) = (k 2 cx 100 k 2 x 101 ) + (k 3 px 001 k 3 x 101 ) + (k 5 x 111 k 5 cx 101 ) = (k 1 x 110 k 1 px 010 ) + (k 4 x 011 k 4 cx 010 ) + (k 5 cx 000 k 5 x 010 ) = (k 1 px 000 k 1 x 100 ) + (k 2 x 101 k 2 cx 100 ) + (k 5 x 110 k 5 cx 100 ) = (k 1 px 010 k 1 x 110 ) + (k 2 x 111 k 2 cx 110 ) + (k 5 cx 100 k 5 x 110 ) = (k 2 cx 110 k 2 x 111 ) + (k 3 px 011 k 3 x 111 ) + (k 5 cx 101 k 5 x 111 ) Ezen egenletek közül eget elhaghatunk és felírhatjuk helette a megmaradási törvént, mel szerint: ijk [0,1] 3 x ijk = 1 Vagis mindegik recepor valamelik x ijk hánadhoz tartozik és a receptorok száma állandó. Általában a Ca 2+ -koncentráció nem konstans, ezért x ijk -ra nem kapunk zárt megoldást. Az állandósult állapothoz tartozó x ijk értékeket (stationar value) azonban ki tudjuk számolni szimbolikusan: ˆx 000 = d 1 d 2 d 5 ω 1 ˆx 010 = d 1 d 2 ĉω 1 ˆx 011 = d 3 ĉ 2 ω 1 ˆx 110 = d 2 ĉpω 1 ˆx 100 = d 2 d 5 pω 1 ˆx 001 = d 3 d 5 ĉω 1 ˆx 101 = d 5 ĉpω 1 ˆx 111 = ĉ 2 pω 1

5 KÉT GYAKRAN IDÉZETT MODELL 17 ahol ω 1 1 = (ĉ + d 5 )(d 1 d 2 + ĉd 3 + ĉp + d 2 p), illetve d i = k i /k i. Az alábbi táblázat a De Young és Keizer eredeti cikkében szerepl sebességi állandókat tartalmazza: k 1 = 400(µMs) 1 k 2 = 0.2(µMs) 1 k 3 = 400(µMs) 1 k 4 = 0.2(µMs) 1 k 5 = 20(µMs) 1 d 1 = 0.13µM d 2 = 49µM d 3 = 943.3nM d 4 = 144.5nM d 5 = 82.34nM Ebb l pedig az állandósult állapothoz tartozó csatornanitási valószín ség: ˆp 0 = ˆx 3 110 = (d 2 ĉpω 1 ) 3 melet ábrázolva a Ca 2+ -koncentráció függvénében eg harang alakú görbét kapunk: P0 0.20 10Μm 0.15 0.10 5 1Μm 5 log Ca 0.10 0 0 5.00 10 10. ábra. Csatornanitási valószín ségek a Ca 2+ -koncentráció függvénében. A színskála elemei az IP 3 -koncentráció értékeit mutatják. Az ábráról leolvasható, hog alacson Ca 2+ -koncentráció esetén annak növekedése szignikáns növekedést eredménez a csatornanitási valószín ségben, míg ha a Ca 2+ -koncentráció túlságosan magas lesz, további növekedése csökkenti a csatornanitás valószín ségét. Látható továbbá az is, hog minél magasabb az IP 3 - koncentráció, annál nagobb valószín séggel nit ki a csatorna. Mindez összhangban van a 4.1.1 -es pontban leírt kísérleti tapasztalatokkal.

5 KÉT GYAKRAN IDÉZETT MODELL 18 Nég fontos kvalitatív következtetés vonható le DeYoung és Keizer számolásaiból. A modell alátámasztja, hog az IP 3 -csatorna kísérleti úton történ citoplazmatikus Ca 2+ -al való aktivációja és inaktivációja elengedhetetlen az intracelluláris Ca 2+ -oszcilláció kialakulásához. A teljes mechanizmus egetlen bels Ca 2+ -raktárként az ER-t használja, amel csak részben ürül ki eg Ca 2+ - pulzus alkalmával, és újratölt dik a Ca 2+ -ATP-áz segítségével. Ez volt az els olan modell, amel az oszcillációt egedül az IP 3 R-ra és egetlen Ca 2+ - raktárra alapozva írta le. Ebben a mechanizmusban az oszcillációt állandó IP 3 -koncentráció mellett gelhetjük meg. Ez fontos lehet olan kísérletek esetében, amikor az IP 3 puerelését nemhidrolizálható IP 3 analógokkal végzik. Ennek a mechanizmusnak a kombinálása a Ca 2+ IP 3 termelésre ható pozitív visszacsatolásával fokozza az éles Ca 2+ -tüskéket, emlékeztetve az ún. relaxációs oszcillációra, ahol minden tüskét eg hosszú, ún. refraktér periodus követ, amelben a Ca 2+ -koncentráció alacson. Korábbi kísérletekkel összhangban úg találták, hog oszcilláció csak akkor jöhet létre, ha az ingerlés mértéke eg meghatározott intervallumon belül marad, és az ingerlés fokozásával növekszik a Ca 2+ -tüskék frekvenciája. Ezt a modellt számos újabb modell megalkotásánál tekintették kiindulási pontként.

5 KÉT GYAKRAN IDÉZETT MODELL 19 5.2. Determinisztikus Li-Rinzel modell Li és Rinzel DeYoung és Keizer nolcváltozós modelljét a különböz id skálákra való tekintettel, nevezetesen, hog a Ca 2+ -aktiváció és az IP 3 -aktiváció sokkal gorsabban meg végbe, mint a Ca 2+ -inaktiváció, olan kétváltozós modellre egszer sítette (elhagva az említett két dinamikai ténez t), amelben a szabad inaktív domének hánadát egetlen egenlet írja le. Íg eg, a Hodgkin Huxle-egenletekhez hasonló alakú rendszert kaptak. Ez a modell gelmen kívül hagja a sejtmembránon keresztüli Ca 2+ -áramlást és feltételezi, hog a különböz sebességi egütthatók függetlenek egmástól. Ez a modell összhangban van a gonadotróp sejtekben meggelt Ca 2+ -oszcillációval [Sherman et al., 2002]. Sherman és mtsai. modelljét a következ nemlineáris autonóm dierenciálegenletrendszer írja le: ċ = f i V i (( [( ) ( λ c L + P λ + K i c + K a ẏ = A (K d (1 ) c), ahol az állapotváltozók: c : citoszolikus szabad Ca 2+ koncentráció, : szabad Ca 2+ inaktivációs domének hánada. λ : a vizsgált paraméter, az IP 3 -koncentrációt jelöli. ) ] ) 3 (CT ( σ c 1 + 1 )) ) V sc 2 σ c 2 + Ks 2 Az egenletben szerepl konstansokat, melek gonadotróp sejteken mért eredménekb l származnak, az alábbi táblázat tartalmazza:

5 KÉT GYAKRAN IDÉZETT MODELL 20 Jelölés Leírás Tipikus érték c intracelluláris szabad Ca 2+ -koncentráció változó [µm] szabad Ca 2+ -inaktivációs domének hánada változó λ IP 3 -koncentráció változó [µm] f i puerhez nem kötött intracelluláris Ca 2+ -koncentráció 1 V i citoszol térfogata 4pL L Ca 2+ -szivárgás az ER membránján keresztül 0.37pL/s P az IP 3 -függ Ca 2+ -csatorna maximális vezetése 26640pL/s C T teljes Ca 2+ -koncentráció a sejtben a citoszoliks térfogat hánadában 2[µM] σ eektív ER-térfogat és eektív citoszolikus térfogat arána 0.185 V S Ca 2+ pumpálásának maximális sebessége 400 amol/s K S c azon értéke, amelnél a pumpálás sebessége fele a maximálisnak 0.2[µM] K d Ca 2+ -nak a Ca 2+ -inaktivációs doménre vonatkozó disszociációs konstansa 0.4[µM] K a Ca 2+ -nak a Ca 2+ -aktivációs doménre vonatkozó disszociációs konstansa 0.4[µM] K i IP 3 -nak az IP 3 -aktivációs doménre vonatkozó disszociációs konstansa 0.4[µM] A ẏ id skálája /s

5 KÉT GYAKRAN IDÉZETT MODELL 21 Mint láttuk, a citoszolikus szabad Ca 2+ -koncentráció változása az endoplazmás retikulum membránján keresztüli Ca 2+ -áramlás következméne. Ezen áramlás három ténez egüttes hatásának eredméneképpen jön létre: áramlás IP 3 -függ Ca 2+ -csatornán keresztül, szivárgás, Ca 2+ -pumpa (SERCA), amel a Ca 2+ -t visszajuttatja a citoszolból az endoplazmás retikulumba. A fenti táblázat adatai alapján értelmezhetjük a fenti egenlet jobb oldalán szerepl ténez ket: 3 f ( ) ( ) i L + P λ c V }{{} i λ + K } {{ i c + K } } {{ a } 1 } 2 {{ 3 } 4 1. eektív citoszolikus térfogat, 2. kötött IP 3 -aktivációs domének arána, 3. kötött Ca 2+ -aktivációs domének arána, ( ( CT σ c 1 + 1 )) σ } {{ } 5 V sc 2 c 2 + Ks } {{ 2 } 6 4. nitott Ca-csatornák arána (Mivel eg IP 3 -függ Ca 2+ -csatorna akkor van nitott állapotban, ha mindhárom alegségének kötött IP 3 -, illetve Ca 2+ -aktivációs doménje van, a nitott Ca-csatornák aránát ez a képlet adja. Ha ezt a kifejezést megszorozzuk a csatorna maximális vezet képességével, P-vel, megkapjuk az IP 3 -függ Ca 2+ -csatorna vez képességét), 5. szivárgást és IP 3 -függ Ca 2+ -csatornán keresztül történ áramlást reprezentáló tag (HodgkinHuxle-alakú), 6. Hill-függvén, a Ca 2+ -pumpát (SERCA) reprezentálja, amel a Ca 2+ -t a citoszolból visszapumpálja az endoplazmás retikulumba, ezért ez negatív el jellel szerepel az egenletben.

6 MATEMATIKAI HÁTTÉR 22 6. Matematikai háttér 6.1. Autonóm egenletek, dinamikai rendszerek A különböz tudománterületeken felmerül modellek, amelekben eg folamat id beli változását vizsgáljuk, igen gakran az ún. autonóm dierenciálegenletek osztálába tartoznak. Ezek olan dierenciálegenletek, melek jobb oldala nem függ az id t l, a megoldást küls hatások nem befolásolják, továbbá a folamat jöv je csak a jelenlegi állapoton keresztül függ az id t l. Formálisan: 1. Deníció. Legen M R N tartomán, f : M R N a lokális Lipschitzfeltételnek eleget tev függvén. Az ẋ(t) = f(x(t)) (1) dierenciálegenletet autonóm dierenciálegenletnek nevezzük. Ezen dierenciálegenletek egik legfontosabb tulajdonsága az id eltolással szembeni invariancia. A kezdeti feltételhez csak az ismeretlen függvén kezdeti értékének megadása szükséges, a kezdeti id ponté nem. Vagis, ha uganabból a kezdeti értékb l indítunk eg-eg megoldást különböz id pillanatokban, akkor a két megoldásra uganaz az egenlet fog vonatkozni, íg a két megoldás lénegében azonos lesz, csupán az értelmezési tartománok lesznek egmásnak a kezdeti id pontok különbségével vett eltoltjai. Az autonóm egenletek másik fontos jellemz je a csoporttulajdonság, amel azt a látszólag triviális tént fejezi ki, hog ha a p pontból induló megoldás s id alatt a q pontba jut, és a q pontból induló megoldás t id alatt az r pontba jut, akkor a p pontból induló megoldás a t + s id alatt az r pontba jut. 1. Állítás (Csoporttulajdonság). Legen p M; t, s R pedig olan, amelekre t, s, t + s I(p). Ekkor ϕ(t + s, p) = ϕ(t, ϕ(s, p)). Az autonóm egenletek ezen tulajdonságainak absztrahálásával jutunk el a dinamikai rendszer fogalmához.

6 MATEMATIKAI HÁTTÉR 23 2. Deníció. Legen M R N tartomán. A ϕ : R M M foltonos függvént dinamikai rendszernek nevezzük az M fázistéren, ha rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal: ϕ(0, p) = p, minden p M esetén ϕ(t + s, p) = ϕ(t, ϕ(s, p)), minden p M és t, s R esetén. Az M fázistér a rendszer állapotainak halmaza, a R M (t, p) ϕ(t, p) függvén pedig azt adja meg, hog melik állapotba kerül a rendszer a p állapotból indulva t id múlva. Az autonóm egenlet tehát olan folamatokat modellez, amelekben a rendszer pillanatni állapota (kezdeti érték) meghatározza, hog az id múlásával (vag akár a múltban) milen állapotokon meg (vag ment) keresztül a rendszer. Az ilen típusú, determinisztikus rendszereket nevezik dinamikai rendszereknek. 3. Deníció. Legen ϕ : R M M dinamikai rendszer és p M tetsz leges pont. A {φ(t, p) : t R} = R φ(.,p) görbét a p pont pálájának (trajektóriájának) nevezik. 4. Deníció. A p M pont egensúli vag stacionárius pont, ha minden t R számra ϕ(t, p) = p, periodikus pont, ha van olan T R + szám (melet periódusnak hívunk), hog bármel t R számra φ(t + T, p) = φ(t, p). Ha T a legkisebb olan pozitív szám, amelre ez az egenl tlenség fennáll, akkor T alapperiódus, vag minimális periódus. A periodikus pont páláját periodikus pálának hívjuk. 2. Állítás. Periodikus pont pálájának minden pontja uganakkora alapperiódussal periodikus. 1. Tétel. Ha a p M pont pálája metszi önmagát, akkor p vag egensúli pont, vag periodikus pont. A következ tétel az autonóm egenletek és dinamikai rendszerek kapcsolatát fogalmazza meg, mel szerint dinamikai rendszerek és dierenciálegenletek egmásnak megfeleltethet ek. [Tóth, Simon, 2005]:

6 MATEMATIKAI HÁTTÉR 24 2. Tétel. Legen N N, M = R N, és legen f : R N R N foltonosan differenciálható függvén. Ekkor létezik olan dinamikai rendszer, melnek pálái megegeznek az ẋ = f x dierenciálegenlet páláival. Valamint megfordítva, bármel kétszer foltonosan dierenciálható ϕ : R R N R N dinamikai rendszerhez van olan f : R N R N foltonosan dierenciálható függvén, amelre az ẋ = f x dierenciálegenlet megoldásai a kiindulási dinamikai rendszert adják. Eg autonóm dierenciálegenlet megoldásai dinamikai rendszert határoznak meg, ha minden teljes megoldás az egész R halmazon értelmezve van. Ez a tulajdonság ugan nem teljesül minden dierenciálegenletre, de minden dierenciálegenlethez megadható eg olan dierenciálegenlet, melnek teljes megoldásai az egész R halmazon értelmezve vannak, pálái, és rajtuk az iránítás is megegezik az eredetiével, vagis eg autonóm dierenciálegenlethez mindig van olan dinamikai rendszer, melnek pálái megegeznek a dierenciálegenlet páláival. 5. Deníció. Azt mondjuk, hog x 0 R N az (1) rendszer egensúli pontja, ha f(x 0 ) = 0. Azt mondjuk, hog az x 0 egensúli pont hiperbolikus egensúli pont, ha f Jacobi-mártixának x 0 -ban nincsen nulla valós rész sajátértéke. A következ kben megadjuk a kétdimenziós egensúli pontok osztálozását. 6. Deníció. Írjuk fel a x 0 egensúli pont eg U körnezetében a megoldásokat polárkoordinátákban. Az x 0 pont stabilis fókusz, ha van olan U körnezet, hog az abból induló összes megoldásra teljesül lim + r = 0, lim + ϕ = + ; instabilis fókusz, ha van olan U körnezet, hog az abból induló összes megoldásra teljesül lim r = 0, lim ϕ = + ; stabilis csomó, ha van olan U körnezet, hog az abból induló összes megoldásra teljesül lim + r = 0, lim + ϕ < + ; instabilis csomó,ha van olan U körnezet, hog az abból induló összes megoldásra teljesül lim r = 0, lim ϕ < + ; nereg, ha létezik két olan pála U-ban, ameleken a megoldás t + esetén az x 0 ponthoz tart, létezik két olan pála U-ban, meleken a megoldás t esetén az x 0 ponthoz tart, és a többi pontból induló trajektória t + és t esetén is elhagja az U halmazt. örvénpont (centrum), ha x 0 valamel körnezetében minden pála periodikus.

6 MATEMATIKAI HÁTTÉR 25 7. Deníció. Ha eg periodikus pálának létezik olan körnezete, melben nincs másik periodikus pála, akkor ezt a periodikus pálát határciklusnak nevezzük. 6.2. Stabilitáselmélet, bifurkációk 8. Deníció. Legen t 0, p 0 Ω! A t Φ(t, t 0, p 0 ) megoldást stabilisnak nevezzük, ha [t 0, + ) I(t 0, p 0 ) és minden ε R + és t 1 [t 0, ) számhoz létezik olan δ R +, hog (t 1, q) Ω, q Φ(t 1, t 0, p 0 ) < δ esetén [t 1, + ) I(t 1, q) és Φ(t, t 1, q) Φ(t, t 0, p 0 ) < ε (t > t 1 ). A megoldást instabilisnak nevezzük, ha nem stabilis. A megoldást aszimptotikusan stabilisnak nevezzük, ha stabilis és a fenti (t 1, q) Ω mellett lim Φ(t, t 1, q) Φ(t, t 0, p 0 ) = 0 t Bifurkációnak nevezzük azt a jelenséget, amikor eg rendszer kvalitatív viselkedése a rendszer paramétereit foltonosan változtatva ugrásszer en megváltozik. Íg például stacionárius pont vag periodikus pála keletkezik, t nik el, stabilissá vag instabilissá válik. A bifurkációkat három csoportba sorolhatjuk: stacionárius pontok lokális bifurkációi, periodikus pálák lokális bifurkációi, globális bifurkációk. Legen adott az ẋ(t) = f(x(t), u) rendszer, ahol x : R R, f : R n R k R n foltonosan dierencálható függvének, u R k paraméter. Legen x 0 az f(, u) vektormez nek stacionárius pontja a u 0 paraméternél, azaz f(x 0, u 0 ) = 0. A kérdés az, hog az u paramétert változtatva megmarad-e a stacionárius pont, és ha igen, akkor stabilitása hogan változik. Látni fogjuk, hog ez a vektormez (x 0, u 0 ) pont beli derivált mátrixának sajátértékeit l függ. Jelölje x f(x, u) a x f(x, u) függvén derivált mátrixát.

6 MATEMATIKAI HÁTTÉR 26 3. Tétel. Ha a x f(x 0, u 0 ) mátrixnak a 0 nem sajátértéke, akkor van az u 0 pontnak olan U R k körnezete, és olan x : U R n függvén, hog x(u 0 ) = x 0 és f(x(u), u) = 0 minden u U esetén, azaz az u 0 eg körnezetében minden paraméterértékhez eg stacionárius pont tartozik. A stacionárius pontban tehát bekövetkezhet min ségi változás, ha az nem hiperbolikus, azaz a derivált mátrixnak van 0 valós rész sajátértéke. Ha eg nulla sajátértéke van, akkor tipikusan nereg-csomó bifurkáció következik be. (Ilenkor két egensúli pont összeolvad, majd elt nik.) Ha eg tiszta képzetes sajátértékpárja van, akkor AndronovHopf-bifurkáció. (Ebben az esetben eg egensúli pont stabilitása megváltozik, miközben eg határciklus jön létre vag t nik el.) Pontosan megfogalmazva: 4. Tétel. (nereg-csomó bifurkáció) Legen a kiindulási egenletben n=k=1. Az általánosság megszorítása nélkül feltehet, hog x 0 = u 0 = 0, azaz az f(, 0) vektormez nek a 0 stacionárius pontja. Most tegük fel, hog a 0 nem hiperbolikus stacionárius pont, azaz x f(0, 0) = 0, továbbá u f(p, u) 0 és ( x f(0, 0)) 2 0. Ekkor u > 0 esetén nincs az f(, u) vektormez nek stacionárius pontja az origó eg körnezetében, u < 0 esetén pedig eg stabilis és eg instabilis stacionárius ponja van. 5. Tétel. (AndronovHopf-bifurkáció) Legen a kiindulási egenletben n=2, k=1. Tegük fel, hog 1. f(p 0, u 0 ) = 0 2. x f(p 0, u 0 ) mátrixnak két tisztán képzetes sajátértéke van: λ(u 0 ) = ±iβ 3. Reλ(u 0) u 0 0. Ekkor u 0 -ban megváltozik a p 0 stacionárius pont stabilitása és születik eg határciklus.

7 A DETERMINISZTIKUS LIRINZEL MODELL 27 7. A determinisztikus LiRinzel modell A következ kben bemutatjuk azokat az alapvet módszereket, amelekkel eg nemlineáris autonóm rendszer fázisképe vizsgálható. 7.1. Egensúli pontok A legegszer bb pálák az egensúli pontok, amelek eleget tesznek eg algebrai egenletrendszernek. Az egensúli pontok körnezetében meghatározható a fáziskép a linearizálás módszerével. Ezt nevezik az egensúli pontok körüli lokális vizsgálatnak, melnek lénege, hog az egensúli pont kis körnezetében az egenlet jobb oldalát adó függvént a lineáris részével közelítjük (f ként hiperbolikus egensúli helzetek esetében m ködik jól). Ezzel olan lineáris rendszerhez jutunk, melnek fázisképe meghatározható. Meg lehet mutatni, hog a linearizálással kapott fáziskép bizonos feltételek mellett olan, mint az eredeti rendszer fázisképe az egensúli pont megfelel en kis körnezetében. Az egensúli pontok stabilitásának vizsgálatában a következ tétel lesz a segítségünkre: 6. Tétel.. 1. Ha az A = f (x 0 ) (Jacobi-) mátrix minden sajátértékének negatív a valós része, akkor x 0 aszimptoikusan stabilis egensúli pontja az (1) dierenciálegenletnek. 2. Ha az A = f (x 0 ) (Jacobi-) mátrixnak van pozotív valósrész sajátértéke, akkor x 0 instabilis egensúli pontja az (1) dierenciálegenletnek. Vizsgáljuk meg, hog a ċ = f i V i (( [( ) ( λ c L + P λ + K i c + K a ẏ = A (K d (1 ) c), ) ] ) 3 (CT ( σ c 1 + 1 )) ) V sc 2 σ c 2 + Ks 2 rendszernek hán pozitív egensúli pontja van a vizsgált (λ) paraméter függvénében.

7 A DETERMINISZTIKUS LIRINZEL MODELL 28 Mivel c és menniségeket jelölnek, csak pozizív értékeket vehetnek fel. Ennek megfelel en csak a pozitív egensúli helzetekkel foglalkozunk. Az egenlet bonolultságából adódóan az egensúli helzetek nem fejezhet ek ki analitikusan a paraméter függvénében, annak diszkrét értékeinél azonban kiszámolhatóak. λ-t csak a [0;] intervallumon tekintjük, mert ennél magasabb koncentráció már káros lenne a sejt számára. Poz. eg. h. Poz. eg. h. 3.0 3.0 2.5 2.5 2.0 2.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 Λ ΜM 0.695 0.700 0.705 0.710 0.715 0.720 Λ ΜM Azt kaptuk, hog a [0.6912; 0.7185] intervallumon 3 pozitív egensúli helzet van, ezen kív l pedig 1. Ennek megfelel en az intervallum két végpontjában a rendszer kvalitatív viselkedésének változásásra számítunk. Az alábbi táblázatban szerepl paraméterértékek mellett vizsgáltam a rendszer kvalitatív viselkedésében bekövetkez változásokat. Megkerestem az egensúli helzeteket és megvizsgáltam azok stabilitását. Számolásaimat a Mathematica program segítségével végeztem. (A paraméterértékek kiválasztása a fentiek, illetve [Tien et al., 2005] nomán történt.)

7 A DETERMINISZTIKUS LIRINZEL MODELL 29 λ[µm] Poz. egensúli helzet Jacobi-mátrix sajátértékei Típus 0 (199802, 0.952426) -0.98529, -0.20999 aszimp. stabilis 0.6911 (33407, 0.92292) -0.188387+0.158777i, -0.188387-0.158777i aszimp. stabilis 0.6912 (334229, 0.922886), (0.120437, 0.768584), (0.131164, 0.753064) 0.71645 (417501, 0.905489), (531698, 0.882671), (0.234385, 0.630532) 0.7165 (418011, 0.905385), (530751, 0.882856), (0.234506, 0.630411) 0.71655 (418529, 0.905279), (529797, 0.883042), (0.234627, 0.630291) 0.71815 (443528, 0.900186), (491199, 0.890631), (0.238447, 0.62652) 0.7182 (444965, 0.899895), (489349, 0.890998), (0.238565, 0.626405) 0.7183 (448258, 0.899229), (48523, 0.891816), (0.2388, 0.626174) 0.7185 (459396, 0.896982), (472448, 0.894365), (0.239269, 0.625714) -0.188056+0.158835i,-0.188056-0.158835i, 1.24881, -0491696 1.35089, 0493635-403403+0.124153i,-403403-0.124153i, 0.278375, -592681 1.69761, 0.107207-395612+0.123572i,-395612-0.123572i, 0.276024, -590792 1.69737, 0.107371-387712+0.122975i,-387712-0.122975i, 0.273646, -588834 1.69714, 0.107536-020602+851716i,-020602-851716i, 0.165772, -432576 1.68904,0.112815-0003085+82224i,-0003085-82224i, 0.159733, -418518 1.68877, 0.112981 0458866+749344i,0458866-749344i, 0.145795, -383 1.68823, 0.113312 199081+399263i, 199081-399263i, 953731, -208024 1.68714, 0.113976 aszimp. stabilis, instabilis, instabilis aszimp. stabilis, instabilis, instabilis aszimp. stabilis, instabilis, instabilis aszimp. stabilis, instabilis, instabilis aszimp. stabilis, instabilis, instabilis aszimp. stabilis, instabilis, instabilis instabilis, instabilis, instabilis instabilis, instabilis, instabilis 0.7186 (0.239503, 0.625485) 1.68659, 0.114308 instabilis 1.1428 (0.637227, 0.385643) 000489741+4266i,000489741-4266i instabilis 1.2671 (0.69679, 0.364701) -0.120536+9268i,-0.120536-9268i aszimp. stabilis

7 A DETERMINISZTIKUS LIRINZEL MODELL 30 A táblázatból az következ k olvashatóak le: 1. λ = 0 esetén eg aszimptotikusan stabilis egensúli helzet van a Ca 2+ - koncentráció alacson értéknél. 2. λ = 0.6912 értéknél megjelent még két instabilis egensúli helzet, az egik magas Ca 2+ -koncentrációnál. 3. λ = 0.7182 esetén megjelenik eg közelít leg tisztán képzetes (komplex konjugált) sajátértékpár. Az aszipmtotikusan stabilis egensúli helzet elveszti stabilitását. Itt tehát Andronov-Hopf-bifurkáció történt. 4. λ = 0.7185 esetén még 3 instabilis egensúli helzet van, míg λ = 0.7186 értéknél ezek száma egre csökken, az alacson Ca 2+ -koncentrációhoz tartozó egensúli pont elt nik. Nereg-csomó bifurkáció. 5. λ = 1.1428 értéknél ismét van eg tisztán képzetes (komplex konjugált) sajátértékpárunk, ami Andronov-Hopf-bifurkációt jelent. 6. λ = 1.2671 esetén eg aszimptotikusan stabilis egensúli helzet keletkezik magas Ca 2+ -koncentráció értéknél. Az alábbi ábrák a trajektóriákat és egensúli helzeteket szemléltetik a λ különböz értékeinél: Λ 0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 c ΜM 0.94 0.92 0.90 0.88 19980 19985 19990 19995 c ΜM 11. ábra.

7 A DETERMINISZTIKUS LIRINZEL MODELL 31 0.9 Λ 0.6911 0.92293 0.92292 0.8 0.7 0.6 0.92291 0.4 0.92290 0.3 c ΜM 33404 33405 33406 33407 33408 33409 c ΜM 12. ábra. 0.92290 Λ 0.6912 0.92289 0.9 0.8 0.7 0.92288 0.6 0.92287 0.4 0.3 c ΜM 0.92286 33420 33421 33422 33423 33424 c 13. ábra. 0.92 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 Λ 0.71645 0.91 0.90 0.89 0.3 c ΜM 0.88 36 38 40 42 44 46 48 c 14. ábra.

7 A DETERMINISZTIKUS LIRINZEL MODELL 32 0.90 Λ 0.7165 0.9 0.85 0.8 0.7 0.6 0.80 0.4 0.3 c ΜM 0.75 3 4 5 6 7 8 c 15. ábra. 0.9 Λ 0.7182 0.8 0.9 0.7 0.8 0.7 0.6 0.6 0.4 0.3 c ΜM 0.4 4 6 8 0.10 c 16. ábra. 0.9 0.9 0.8 Λ 0.7185 0.8 0.7 0.7 0.6 0.4 0.6 0.3 c ΜM 0.4 4 6 8 0.10 c 17. ábra.

7 A DETERMINISZTIKUS LIRINZEL MODELL 33 0.9 Λ 0.7186 0.8 0.9 0.7 0.8 0.7 0.6 0.6 0.4 0.3 c ΜM 0.4 4 6 8 0.10 c 18. ábra. 0.8 Λ 1.1428 0.7 0.9 0.8 0.6 0.7 0.6 0.4 0.4 0.3 c ΜM c 19. ábra. 0.8 0.9 0.8 Λ 1.2671 0.7 0.6 0.7 0.6 0.4 0.4 0.3 c ΜM c 20. ábra.

7 A DETERMINISZTIKUS LIRINZEL MODELL 34 0.8 0.9 0.8 Λ 1.2673 0.7 0.6 0.7 0.6 0.4 0.4 0.3 c ΜM c 21. ábra. 0.36149 0.9 Λ 1.29 0.36148 0.8 0.7 0.6 0.4 0.36147 0.36146 0.3 c ΜM 0.70645 0.70650 0.70655 0.70660 0.70665 0.70670 c 22. ábra. A 16. ábrán láthatjuk, hog λ = 0.7182 értéknél már megjelent eg periodikus pála is. Ez rögtön el is vezet a következ fontos kérdéshez, hiszen esetünkben a periodikus pála jelenléte a Ca 2+ -koncentráció oszcillálását fogja jelenteni.

7 A DETERMINISZTIKUS LIRINZEL MODELL 35 7.2. Periodikus pálák Az egensúli pontok után a legfontosabb speciális struktúrájú trajektóriák a periodikus pálák. Ezek már globálisabb jelleg ek, nem találhatóak meg olan egszer en, mint az egensúli pontok. Kétdimenziós esetben azonban vannak viszonlag egszer módszerek periodikus pálák keresésére. Periodikus megoldás létezésést az alábbi kritériumokkal lehet kizárni: 7. Tétel (Bendixson-kritérium). Ha E R 2 olan egszeresen összefügg nílt halmaz, amelen a divf = 1 f 1 + 2 f 2 függvén állandó el jel, és legfeljebb véges sok sima egszer zárt görbe pontjaiban t nik el, akkor az (1) rendszernek nincs teljesen az E halmazban haladó periodikus pálája. 8. Tétel (Bendixson-Dulac-kritérium). Legen E R 2 egszeresen összefügg nílt halmaz, és legen B : E R olan dierenciálható függvén, melre a div(bf) függvén állandó el jel, és legfeljebb eg görbe pontjaiban t nik el. Ekkor az (1) rendszernek nincs teljesen az E halmazban haladó periodikus pálája. Alkalmazzuk a Bendixson-kritériumot rendszerünkre. Vizsgáljuk λ diszkrét értékeinél, hog a rendszer Jacobi-mátrixának noma hol vált el jelet. Ehhez a Mathematica program "ContourPlot" nev parancsát hívtam segítségül. Az ábrán a nulla szintvonalak látszanak különböz λ paraméterértékek mellett. 0.79 1.3 0.6 0.25 0.250.3 1 0.8 0.3 0.6 0.4 0.6 0.79 1.3 1 0.2 2.0 c 23. ábra. A téglalapban szerepl számok λ értékeit jelzik.

7 A DETERMINISZTIKUS LIRINZEL MODELL 36 λ = 0.217 értékig nincs nulla szintvonalunk, tehát λ [0, 0.217]-re nem létezik periodikus pála. Ezen érték felett, ha létezik periodikus pála, annak metszenie kell a nulla szintvonalat. A fentiekben λ = 0.7182 értéknél talált periodikus pála valóban metszeni fogja: Λ 0.7182 0.8 0.6 0.4 0.2 2.0 c 24. ábra. Periodikus megoldás biztosan lesz Andronov-Hopf-bifurkáció esetén. Az egensúli helzetek stabilitásának vizsgálatánál két olan paraméterértéket is kaptunk, ahol Andronov-Hopf-bifurkációt gelhettünk meg: λ 1 = 0.7182 és λ 2 = 1.1428. Ábrázoljuk a trajektóriákat ezen paraméterértékek, valamint két további kitüntetett paraméterérték mellett:

7 A DETERMINISZTIKUS LIRINZEL MODELL 37 Λ 0.6912 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 x, 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0.3 0 50 100 150 200 t 0.9 1.4 Λ 0.7182 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 x, 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 50 100 150 200 t Λ 1.1428 0.9 0.8 0.7 0.6 x, 0.4 0.3 0 50 100 150 200 t Λ 1.2673 0.9 0.8 0.7 0.6 x, 0.4 0.3 0 50 100 150 200 t Látszik, hog λ 1 és λ 2 esetén valóban oszcillál a rendszer, míg λ = 0.6912 mellett nincs oszcilláció, λ = 1.2673 értéknél pedig éppen kezd elt nni.

7 A DETERMINISZTIKUS LIRINZEL MODELL 38 Szemléltessük mindezt több paraméterérték mellett: x t 2.0 Λ 0 x t Λ 0.716 2.0 x t Λ 0.7165 2.0 2.0 2.0 2.0 t t t 0 0 0 50 t 50 t 50 t 100 100 100 Λ 0.7175 2.0 Λ 0.729 2.0 Λ 0.9155 2.0 x t x t x t 2.0 2.0 2.0 t t t 0 0 0 50 t 50 t 50 t 100 100 100 x t Λ 1.254 2.0 x t Λ 1.267 2.0 x t Λ 1.2675 2.0 2.0 2.0 2.0 t t t 0 0 0 50 t 50 t 50 t 100 100 100 x t Λ 1.268 2.0 x t 2.0 Λ 1.27 x t Λ 1.402 2.0 2.0 2.0 2.0 t t t 0 0 0 50 t 50 t 50 t 100 100 100 25. ábra. Az egenlet megoldásainak viselkedése a λ paraméter értékének változtatása mellett. Itt x(t) jelöli a Ca 2+ -koncentrációt (c).

7 A DETERMINISZTIKUS LIRINZEL MODELL 39 A 25. ábrán jól látszik, hog λ = 0.716 értéknél még nincs oszcilláció, λ = 0.7165-nél viszont már megjelent eg periodikus pála (a (c(t), (t) síkon)), és ennek megfelel en (a másik két síkon) az oszcilláció is (λ = 0.7165 -ben nereg-csomó bifurkáció következett be). λ = 1.267-ben még látható oszcilláció, λ = 1.2675-ben viszont kezd elt nni a periodikus pála és ennek megfelel en az oszcilláció is. 7.2.1. Hogan változik az oszcilláció frekvenciája és amplitúdója a paraméter függvénében? Ahhoz, hog eg biológiai oszcillációt jobban megértsünk, célszer elemeznünk, hog a frekvencia és az amplitúdó hogan változik bizonos paraméterek (mint pl. a hormonkoncentráció) függvénében. Ez segíthet megmagarázni az oszcilláció dinamikájának szerepét az információ közvetítésében. Az el z pontban kaptunk tehát az IP 3 -koncentráció értékeire eg olan tartománt, amel oszcillációt idéz el a citoszolikus Ca 2+ -koncentrációban. Jelölje ezt [λ 0, λ 1 ]. Nézzük most meg, hog mi történik ezen intervallumon belül. Ábrázoljuk ehhez c és értékét az id függvénében (26). 40 c, 20 40 c, 20 40 c, 20 0 0 0 0 20 t 40 0 20 t 40 0 20 t 40 26. ábra. A citoszolikus szabad Ca 2+ -koncentráció és a szabad Ca 2+ -inaktivációs domének hánada az id függvénében három különböz λ [λ 0, λ 1 ]-érték mellett. Jól látható, hog λ értékének növelésével n a Ca 2+ -tüskék frekvenciája is. Meggelhetjük továbbá azt is, hog adott λ érték mellett a szabad Ca 2+ -inaktivációs domének arána a Ca 2+ - koncentráció meredeken növekv szakaszán éri el maximumát, ezzel alátámasztva azt a tént, hog a Ca 2+ -csatorna nitásához szabad inaktivációs doménre van szükség.