Intelligens irányítások Fuzzy halmazok Ballagi Áron Széchenyi István Egyetem Automatizálási Tsz.
Arisztotelészi szi logika 2
Taichi Yin-Yang Yang logika 3
Hagyományos és Fuzzy halmaz Egy hagyományos halmaz Egy fuzzy halmaz 4
Hagyományos és Fuzzy halmaz 5
A hagyományos halmazok A={a, a 2, a 3,, a n } Egy elem halmazba tartozása egyértelműen megállapítható. Ha beletartozik, úgy ezt egy logikai igaz, ha nem azt egy logikai hamis értékekkel jellemezzük. Az, hogy egy elem beletartozik-e A-ba 0 vagy értékkel jelemezhető. 6
A hagyományos halmazok - pl Magas emberek halmaza: A = { x X x 80 } ={ karakterisztikus függvény : χ A (x) ha x 80 0 ha x < 80 χ A (x) 80 x [cm] 7
A határozatlans rozatlanság g formái Sztochasztikus: kocka dobás,... Lingvisztikus: magas ár, alacsony kor,... Információs: őszinteség, hitelesség,... Hagyományos halmazok segítségével nem vagy csak nagyon nehezen reprezentálhatók. 8
Fuzzy Logika A fuzzy logika alkalmazása lehetővé teszi a mindennapi életben megszokott, korábban igen nehezen kezelhető nyelvi fogalmak (pl. magas, alacsony, öreg, fiatal) matematikai kezelését. A fuzzy logika a többértékű logikák sorába tartozik, tehát ellentétben a kétértékű logikával, ahol az érték vagy igaz vagy hamis köztes állapot nincsen, itt az igaz és hamis közti értékeket is meg tudunk különböztetni (pl. talán igaz). A fuzzy logika műveletei fuzzy halmazokra épülnek 9
Történeti áttekintés 965 L.A Zadeh: a fuzzy halmazok első leírása (a fuzzy időszámítás kezdete) 973 L.A. Zadeh: az első fuzzy következtető rendszer fuzzy algoritmusok 974 E.H. Mamdani: az első működő fuzzy vezérlés (gőzgép vezérlése) 985 Megjelenik a fuzzy chip (Bell Labs) 988 Az Omron elkezdi árulni fuzzy szabályozó rendszerét 0
Fuzzy halmazok Két értékű 0 80 Magasság [cm] 70 cm 90 cm Fuzzy "elég magas ember" ( μ = 0.8 ) "nem túl magas ember" μ ( = 0.3 ) 0 80 Magasság [cm]
Fuzzy halmazok Az X univerzumon értelmezett A fuzzy halmaz az x elemek és az ezekhez tartozó tagsági értékek által alkotott rendezet számpárok halmaza, {(, μ ( )) } A = x x x X diszkrét elemű halmaz esetén: folytonos elemű halmaz esetén: A A = μ( xi) x A hozzárendelést tagsági függvénynek nevezzük, mely egy A fuzzy halmaz esetén: n i= A = μ ( x) x u i μ A : X [0,] 2
Fuzzy halmazok A={[a,µ A (a )],[a 2,µ A (a 2 )],, [a n,µ A (a n )]} Minden A halmazbeli a k elemhez hozzárendelünk egy számot, általában 0 és (néha - és között), ami jellemzi az elem halmazba tartozásának mértékét. A fuzzy tagsági függvény megmutatja, hogy egy adott a k elem mennyire tartozik bele a halmazba: nagyon, kissé, kevésbé, vagy egyáltalán nem. 3
Fuzzy halmazok pl. Testmagasság univerzum: Magas emberek halmaza: X : 0 x 270 μ magas : X [0,] μ x magas μ 80 = 0.6 70 90 20 80 testmagasság (cm) 4
A tagsági gi függvf ggvény formái μ(x) Trapéz: <a,b,c,d> μ(x) Gauss görbe: N(m,s) s 0 a b c d x Háromszog: <a,b,b,d> μ(x) 0 m x Singleton: (a,) and (b,0.5) μ(x) 0 a b d x 0 a b x 5
Fuzzy halmazok: az α - vágat Valamely adott A fuzzy halmazhoz az A α α vágat minden α [0,] értékre az A α { x A( x) α} = μ x 70 90 20 α = 0.5 6
Fuzzy halmazok: a hordozó Az X univerzumon értelmezett A fuzzy halmaz hordozója (support) S(A) halmaz, mely tartalmazza az X univerzum összes olyan elemét amelynek tagsági értéke nem nulla: μ x { μ } S( A) = x X ( x) > 0 A 70 90 20 supp 7
Fuzzy halmazok: a mag Az X univerzumon értelmezett A fuzzy halmaz magja (core) az a C(A) halmaz, mely tartalmazza A minden olyan elemét, melynek tagsági értéke egy: μ x { μ } C( A) = x X ( x) = A 70 90 20 core 8
Fuzzy halmazok: a magasság A fuzzy halmaz magassága (height) hgt(a) a halmazban levő legnagyobb tagsági függvényérték: μ x hgt( A) = max ( μ ( x)) x A 70 90 20 height Normalizált a fuzzy halmaz, ha a magassága egységnyi: hgt( A ) = 9
Fuzzy halmazok jellemzői A,B és C legyenek az X univerzumon értelmezett fuzzy halmazok.. kommutatív A B= B A A B= B A 2. asszociatív A ( B C) = ( A B) C A ( B C) = ( A B) C 3. disztributív A ( B C) = ( A B) ( A C) A ( B C) = ( A B) ( A C) 4. idempotenciális A A= A és A A= A 20
Fuzzy halmazok jellemzői A,B és C legyenek az X univerzumon értelmezett fuzzy halmazok. A 0 = A és A X = A 5. identitás 6. tranzitív ha A 0= 0 és A X = X akkor A B C A C 7. involució A = A Fuzzy halmazok esetén is alkalmazhatók a DeMorgan szabályok: A B= A B A B= A B 2
Fuzzy halmazok jellemzői Figyelem! A A X μ x 70 90 20 A A 0 μ x 70 90 20 22
Fuzzy halmazműveletek Komplemens definiálható bármely olyan c függvény segítségével, amely megfelel a következő axiomának: μ [ ] [ ] c :0, 0, ( x) c( μ ( x)) A = : c(0)= és c()=0 [ ] A x X 2: ab, 0,, ha a<b, akkor ca ( ) cb ( ) (c monoton nem növekvő) 23
Zadeh-féle standard komplemens μ A( x) = μa( x) x X μ x μ ( x A ) 70 90 20 x 24
Fuzzy halmazműveletek Fuzzy t-norma (metszet) definiálható bármely olyan t függvény segítségével, amely megfelel a következő axiómáknak: t :[ 0,] [ 0,] [ 0,] [ ] μ A B( x) = t μa( x), μb( x) x X : t(,)= t(0,)=t(,0)=t(0,0)=0 (határfeltétel) 2: t(a,b)=t(b,a) (kommutatív) 3: ha a a és b b akkor tab (, ) tab (, ) (monoton) 4: t(t(a,b),c) = t(a,t(b,c)) (asszociatív) 25
Zadeh-féle metszet A Yager-féle t-norma speciális esete [ μ μ ] lim t Y w( a, b) = min( a, b) = min A( x), B( x) x X w μ x μ A μb 70 90 20 ( ) μ x A B x 26
Fuzzy halmazműveletek Fuzzy s-norma (t-conorma, unió) definiálható bármely olyan s függvény segítségével, amely megfelel a következő axiómáknak: s : 0, 0, 0, : s(0,0)=0 s(0,)=s(,0)=s(,)= [ ] [ ] [ ] ( x) s[ ( x), ( x) ] μ A B = μa μb x X (határfeltétel) 2: s(a,b)=s(b,a) (kommutatív) 3: ha a a és b b akkor sab (, ) sa (, b ) (monoton) 4: s(s(a,b),c) = s(a,s(b,c)) (asszociatív) 27
Zadeh-féle unió A Yager-féle s-norma speciális esete [ μ μ ] lim s Y w( a, b) = max( a, b) = max A( x), B( x) x X w μ x μ A μb 70 90 20 ( ) μ x A B x 28
Számol molás s fuzzy számokkal Összeadás: μ A+B (x) = max{μ A (y), μ B (z) x=y+z} μ(x) μ A (x) μ B (x) μ A+B (x) 0 x 29
Számol molás s fuzzy számokkal Szorzás: μ A B (x) = max{μ A (y), μ B (z) x=y z} μ(x) μ A (x) μ B (x) μ A B (x) 0 x 30
Fuzzy reláci ció Az n darab A, A2,,An halmaz fuzzy relációja az X X 2 X n univerzumon értelmezett fuzzy halmaz, ahol A i az X i univerzumon értelmezett halmaz és az a direkt (Descartes) szorzat jele: 3
Fuzzy kompozició A fuzzy kompozíció általános alakja az s- és t-normával leírva (s-t kompozíció): ( ) μpstq, (,) x z s = t μp(, x y), μq(,) y z yy x X, z Z Zadeh-féle max-min kompozíció: μpq( x, z) = maxmin μp( x, y), μq( y, z) y Y x X, z Z 32
Köszönöm m a figyelmet! Kérdések? 33