Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor és skis kkor teljesülhet, h négyszög húrnégyszög. Ptolemios Kludios (Kr.u 00-69) Fő műve: lmgeszt Geoentrikus világnézet kitrt Kopernikuszig. Ngyon pontosn kiszámolt szályos 70 oldlú sokszög egy oldlánk hosszát. 7 π,46! 0 Dr. Lévárdi László Sin Márton : Mtemtik történeti feldtok Tihnyi Miklós: Ptolemios tétele húrötszögen / KöML 94. már. 5 / Mihlovis Sándor: Ptolemios tételéhez kpsolódó megjegyzések Sklrszkij-senov-Jglom: Válogtott feldtok és tételek / Reimn István: Nemzetközi Mtemtiki Diákolimpiák 959-994 Eri Weisstein Mtemtiki eniklopédiáján z ide vontkozó tételek: http://mthworld.wolfrm.om/seystheorem.html http://mthworld.wolfrm.om/fuhrmnnstheorem.html http://mthworld.wolfrm.om/purserstheorem.html Feldtok P.0. izonyítsuk e Ptolemios-tételt. P.. izonyítsuk e, hogy h M z szályos háromszög köré írt körének (rövideik) íven lévő pontj, kkor MM+M. P.. Mutssuk meg, hogy h P pont z D négyzet köré írhtó kör rövideik D ívén fekszik, kkor P(P+P)P(P+PD). P.. dott z D prlelogrmm és egy z ponton átmenő olyn kör, mely z oldlt P-en, z átlót Q-n, z D oldlt pedig R pontn metszi. Mutssuk meg, hogy ekkor P + R D Q. P.4. z egyenlőszárú háromszögen. háromszög köré írt körének -t nem trtlmzó ívén vegyük fel P pontot. izonyítsuk e, hogy h D -ől Pre osátott merőleges tlppontj, kkor P+PPD. P.5. Jelölje O z háromszöge írt kör középpontját. z háromszög köré írt kört z, ill. súsól induló szögfelező rendre z F,F, F pontn metszi. O O O izonyítndó, hogy + + OF OF OF P.6. Jelölje R ill. r háromszög köré, ill. háromszöge írt kör sugrát, d,d,d pedig körülírt kör középpontjánk háromszög oldlitól vett távolságit. Mutssuk meg, hogy h háromszög hegyesszögű, kkor d + d + d R+ r. Hogyn módosul z összefüggés, h háromszög nem hegyesszögű?
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok P.7. izonyítsuk e, hogy minden hegyesszögű háromszögen M+M+M(R+r), hol M háromszög mgsságpontj, r eírt, R pedig körülírt kör sugr. P.8. z háromszög súsól induló szögfelezője háromszög köré írhtó kört -en metszi. izonyítsuk e, hogy h háromszög oldl felezi z szkszt, kkor +. P.9. Egy szályos kilenszög átlói növekvő sorrenden e,e,e. izonyítsuk e, e e hogy ekkor + + e e e e P.0. z DE szályos ötszög köré írhtó kör rövideik E ívének egy pontj legyen P. izonyítsuk e, hogy ekkor P+P+PEP+PD. P.. Legyen,,..., n egy pártln oldlszámú szályos sokszög, M pedig sokszög köré írhtó kör n ívének egy pontj. izonyítsuk e, hogy z M pontot pártln sorszámú súsokkl összekötő szkszok együttes hossz egyenlő páros sorszámú súsokkl összekötő szkszok együttes hosszávl. P.. Megdhtó-e síkon 004 pont úgy, hogy ármely három ne legyen egy egyenesen, és ármely kettő távolság rionális szám legyen.
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok sey-tétel / John sey (80-89) ír mtemtikus/: H k, k, k, k D körök elülről érintik k kört olyn,,,d pontokn, melyek egy konvex négyszöget htároznk meg, kkor két-két kör közös külső érintőszkszi között fennáll z lái összefüggés ( d( k i,k j) jelölje k i j körök közös külső érintő szkszánk hosszát): d k,k d k,k + d k,k d k,k d k,k d k,k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D D Megengedjük null sugrú köröket is. H mindegyik kör nullkör, kkor húrnégyszögekre ismert Ptolemios tételt kpjuk. Feldtok.0. izonyítsuk e sey-tételt... Tekintsük z egyenlőszárú háromszöget és köré írhtó kört (). Legyen k egy olyn kör, mely érinti köré írt kört (-t nem trtlmzó íven) és t. Jelölje t -ől k -hez húzott érintőszksz hosszát. Mutssuk meg, hogy t nem függ k válsztásától... Két különöző sugrú kör elülről érinti egymást. ngyo sugrú köre szályos háromszöget írunk. háromszög súsiól érintőket húzunk kise sugrú körhöz. Mutssuk meg, hogy leghossz érintőszksz egyenlő másik kettő összegével... dott egy k kör, nnk egy tetszőleges húrj, s rá merőleges D átmérő. Tekintsünk egy olyn k kört, mely érinti z húrt és k-t -t trtlmzó íven, vlmint egy k kört, mely D pontn érinti elülről k-t. Mutssuk meg, hogy k körök közös külső érintő szkszánk hossz független k kör válsztásától dott k kör esetén..4. dott egy k kör és nnk átmérője. Tekintsük első pontn z -re merőleges húrt. Messe ez k kört z M ill. N pontokn. Htározzuk meg z ill. átmérőjű körök közös külső érintőinek hosszát!.5. dott egy k kör, vlmint három - k-t elülről érintő - zonos sugrú kör, melyek páronként kívülről érintik egymást. Mutssuk meg, hogy k kör egy tetszőleges M pontjáól k, k, k körökhöz húzott érintőszkszok egyike másik kettő összegével egyenlő..6. dott z (R) átmérőjű k kör, vlmint z -t és k-t (elülről) érintő k kör. z -n lévő érintési pontot jelölje M. Htározzuk meg k kör sugrát, h Mm..7. dott z háromszög köré írhtó körével együtt. Tekintsük zt k kört, mely elülről érinti k-t, vlmint z és oldlkt, ill. pontokn. Fejezzük ki szksz hosszát háromszög oldlink segítségével. Htározzuk meg k kör sugrát is háromszög dtivl.
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.8. dott z átmérőjű k kör. z átmérő hrmdoló pontjit jelölje M és N. Legyenek k k-t elülről érintő körök, melyek érintik -t z M illetve N pontn, s két kör közös első érintője. Htározzuk meg k körök közös külső érintő szkszánk hosszát k kör R sugránk függvényéen..9. dott z egyenlőszárú háromszög () köré írt körével(k) együtt. Jelölje k, k, k zokt köröket, melyek k-t elülről érintik ( hrmdik súsot nem trtlmzó íven), vlmint érintenek egy-egy oldlt felezőpontján. Mutssuk meg, hogy k, k, k körök páronként vett közös külső érintő szkszánk hossz megegyezik..0. dott síkn z ", melynek körülírt körét kívülről érinti k kör. k kör érinti egyúttl z és félegyeneseket is, mégpedig P és Q pontokn. Mutssuk meg, hogy PQ szksz felezőpontj egyeesik z " oldlához hozzáírt körének középpontjávl. / Kürshák József Emlékverseny 004/.feldt / 4
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok D P. megoldások P.0. Ptolemios-tétel H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor és skis kkor teljesülhet, h négyszög húrnégyszög. izonyítás: lklmzzuk D" -re zt körüli forgtv nyújtást, mely átviszi "-e (rány :). Ekkor e. Vegyük észre, e D δ e hogy ekkor z " D", hiszen $ D$ és f d β δ e ;, így hsonlóság rány: k, így D e e f. z háromszögre háromszög-egyenlőtlenség: d f +, melyől dódik z + d e f egyenlőtlenség. Egyenlőség kkor és sk kkor áll fenn, h β +δ 80, zz négyszög húrnégyszög. P.. izonyítsuk e, hogy h M z szályos háromszög köré írt körének (rövideik) íven lévő pontj, kkor MM+M. izonyítás: Írjuk fel Ptolemios-tételt z M-re: M + M M / : M + M M P P.. Mutssuk meg, hogy h P pont z D négyzet köré írhtó kör rövideik D ívén fekszik, kkor P(P+P)P(P+PD). izonyítás: Ptolemios-tétel PD-re: PD + P P / : Ptolemios-tétel P-re: P P + P / : Szorozzuk össze két egyenletet: P(P+PD)P(P+P) P.. z egyenlőszárú háromszögen. háromszög köré írt körének -t nem trtlmzó ívén vegyük fel P pontot. izonyítsuk e, hogy h D -ől Pre osátott merőleges tlppontj, kkor P+PPD. M d ' izonyítás: Ptolemios-tétel z PQR-re: Q PR P RQ + R PQ PQ QR PQ QR Másrészt: PQR" ". PQ PR PQ PR Írjuk e ezeket fenti egyenlősége: R D Q P 5
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Q PQ P PQ + R PQ / PQ Q P + R. Felhsználv, hogy D: P + R D Q P.4. z egyenlőszárú háromszögen. háromszög köré írt körének -t nem trtlmzó ívén vegyük fel P pontot. izonyítsuk e, hogy h D -ől P-re osátott merőleges tlppontj, kkor P+PPD. izonyítás: Ptolemios-tétel P-re: P + P P PD PD Másrészt: PD" F", ezt ehelyettesítve: P P P+PPD. P F D P.5. Jelölje O z háromszöge írt kör középpontját. z háromszög köré írt kört z, ill. súsól induló szögfelező rendre z F,F, F pontn metszi. izonyítndó, hogy O O O + + OF OF OF.izonyítás: s EO" FF ". Másrészt nem triviális, de F F O F O + + OF F F (*), így átlkítv:. nlóg O OF módon: s- E O + OF O + OF Így z állítás ekvivlens következővel:? + + + + +? + + + + + 6 % % %.izonyítás: Ptolemios-tétel: ( ) O + + OF Így z állítás: O + OF OF ( + ) (felhsználtuk (*) ot) 6
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok + + +? + +? + + + + + 6? + + + + + 6 % % % P.6. Jelölje R ill. r háromszög köré, ill. háromszöge írt kör sugrát, d,d,d pedig körülírt kör középpontjánk háromszög oldlitól vett távolságit. Mutssuk meg, hogy h háromszög hegyesszögű, kkor d + d + d R+ r. Hogyn módosul z összefüggés, h háromszög nem hegyesszögű? izonyítás: Ptolemios-tétel FF K -r: K FF F d + F d. Tudv, hogy K R; FF ; F ; F z előző egyenlet: R d + d / R d + d. nlóg: R d + d R d + d. Írjuk fel T t kétféleképp : d + d + d r( + + ) Σ : d + d + d + + R+ r + + /: + + ( )( ) ( )( ) ( ) d + d + d R+ r d K d d Megjegyzés: Könnyen eláthtó (osinus tételek és háromszögterület összefüggésekkel): r os α+ osβ + os γ + / R R R os α+ R osβ + R os γ R + r Rosα : előjeles távolság. d + d + d R+ r d előjele ttól függ, hogy húr elválsztj súsot és köré írt kör középpontját, vgy nem. i Ennek lklmzásár egy szép feldt: Legyen n ontnk. Igzoljuk, hogy háromszögeke eírt körök sugrink összege nem függ felontástól.,,..., tetszőleges húrsokszög, melyet egymást nem metsző átlói (n-) d háromszögre P.7. izonyítsuk e, hogy minden hegyesszögű háromszögen M+M+M(R+r), hol M háromszög mgsságpontj, r eírt, R pedig körülírt kör sugr. 7
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.izonyítás: Ugynúgy, mint z előző feldtn..izonyítás: z előző feldt eredményére lklmzzunk egy S középpontú (-)-szeres középpontos hsonlóságot. P.8. z háromszög súsól induló szögfelezője háromszög köré írhtó kört -en metszi. izonyítsuk e, hogy h háromszög oldl felezi z szkszt, kkor P + P + PE P + PD. izonyítás: Ptolemios-tétel -re: y + y x y( + ) x y( + ) y x + L" L" + x y + y + x L y x + y P.9. Egy szályos kilenszög átlói növekvő sorrenden e,e,e. izonyítsuk e, e e hogy ekkor + + e e e e izonyítás: e? e + + / e e e e e e e? + + e(e e) e(e e) Írjunk fel két Ptolemios-tételt: 4 5:e+ e ee Vegyük hánydosukt: 4 5 6 :e+ e ee e+ e e e + e e e(e+ e) e(e + e) 4 e e 5 9 e e e 6 7 8 P.0. z DE szályos ötszög köré írhtó kör rövideik E ívének egy pontj legyen P. izonyítsuk e, hogy ekkor P+P+PEP+PD. izonyítás: Írjunk fel Ptolemios-tételeket: P P : P + P P PD : P D P PD + PDE : P + PE PD E PDE : D PE P + PD E D PE : P E + PE P E E 8
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok : E D E D: P+ P P D P + PD P+ PE PD PE P + PD E P + PE P E Σ :( + )(P + P+ PE) ( + )(P + PD) P + P + PE P + PD P.. Legyen,,..., n egy pártln oldlszámú szályos sokszög, M pedig sokszög köré írhtó kör n ívének egy pontj. izonyítsuk e, hogy z M pontot pártln sorszámú súsokkl összekötő szkszok együttes hossz egyenlő páros sorszámú súsokkl összekötő szkszok együttes hosszávl. izonyítás: Legyen M d,m d,..., Mn dn. z oldlk hosszát jelölje, legrövide átló hosszát pedig jelölje. lklmzzuk Ptolemios tételét z M, M 4,...,Mn n,mnhúrnégyszögekre (joról írjuk páros számml jelölt szkszokt, lról pártlnnl jelölteket): (d+ d ) d d (d d 4) M + n (d + d 5) d 4... dn + d d n 4 d+ dn d Σ : ( + )(d+ d +... + d n) ( + )(d + d 4 +... + d n ) d + d +... + d d + d +... + d n 4 n n- i i j P.. Megdhtó-e síkon 004 pont úgy, hogy ármely három ne legyen egy egyenesen, és ármely kettő távolság rionális szám legyen. i j j izonyítás: Vegyük reltív prím Pitgorszi számhármsokt(ezekől végtelen sok vn) és osszuk el -vel. Ekkor ;, '. Minden ilyen számhárms meghtároz egy i derékszögű háromszöget z átmérőjű kören. Ekkor ármely i j távolság is rionális szám, hiszen Ptolemios-tétel szerint j i i j+ i j. Mivel, j i i j ' i j ' 9
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.megjegyzés: síkon mindig megdhtó n számú pont úgy, hogy közülük egyik három se legyen egy egyenesen, de közülük ármely kettő távolság egész szám legyen..megjegyzés: síkn nem dhtó meg végtelen sok pont úgy, hogy ne legyenek egy egyenesen, de ármely kettő távolság egész legyen. 0
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok. megoldások.0. sey-tétel: H k,k,k,k D körök elülről érintik k kört olyn,,,d pontokn, melyek egy konvex négyszöget htároznk meg, kkor két-két kör közös külső érintőszkszi között fennáll z lái összefüggés ( d( k i,k j) jelölje k i j körök közös külső érintő szkszánk hosszát) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) d k,k d k,k d k,k d k,k d k,k d k,k D D D r O R-r d( k ; k ) γ O R-r r-r O izonyítás: ( ) ( ) ( )( ) OO R r + R r R r R r osγ R R + R RRosγ osγ R ( ) ( ) + ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) R d k ;k R r R r R r R r r r... R r R r d k ;k R r R r R ( ) ( )( ) Hsonlón töi párr is felírhtjuk ezt z összefüggést: ( ) ( )( ) d k ;k R r R r R d( k ;k ) ( R r )( R r ) R D d( k ;k ) ( R r)( R r ) D R D d( k ;k ) ( R r)( R r ) D R d( k ;k ) ( R r )( R r ) R D ( ) ( )( ) D d k ;k R r R r R R D d k ;k d k ;k R r R r R r R r D 4 R D d k ;k d k ;k R r R r R D 4 R D d k ;k d k ;k R r R r R r R r D 4 R ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( r )( R r ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) d k,k d k,k d k,k d k,k d k,k d k,k D D D R Kiegészítés tétel érvényen mrd kkor is, h z,,,d pontokn kívülről érintő köröket rjzolunk k körhöz, s ezek külső érintőit nézzük. Ekkor d( k ;k ) ( R + r )( R + r ). R
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.. Tekintsük z egyenlőszárú háromszöget és köré írhtó kört (). Legyen k egy olyn kör, mely érinti köré írt kört (-t nem trtlmzó íven) és t. Jelölje t -ől k -hez húzott érintőszksz hosszát. Mutssuk meg, hogy t nem függ k válsztásától. Írjuk fel sey-tételét z, k,, körökre: M + M t ( ) M + M t / : ( 0) t t K M k D.. Két különöző sugrú kör elülről érinti egymást. ngyo sugrú köre szályos háromszöget írunk. háromszög súsiól érintőket húzunk kise sugrú körhöz. Mutssuk meg, hogy leghossz érintőszksz egyenlő másik kettő összegével. izonyítás: sey-tétel D-re: d(;k) d(;k) + d(;k) d(;k) d(;k) + d(;k).. dott egy k kör, nnk egy tetszőleges húrj, s rá merőleges D átmérő. Tekintsünk egy olyn k kört, mely érinti z húrt és k-t -t trtlmzó íven, vlmint egy k kört, mely D pontn érinti elülről k-t. Mutssuk meg, hogy k körök közös külső érintő szkszánk hossz független k kör válsztásától dott k kör esetén. sey-tétel,k,,k körökre: M d(;k ) + M d(;k ) d(k ;k ). szimmetri mitt: d(;k ) d(;k ) : d(; k ) ( M + M) d(k ; k ) ()*)+ d(;k ) d(k ;k ) d ( k ; k ) k M D k
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.4. dott egy k kör és nnk átmérője. Tekintsük első pontn z -re merőleges húrt. Messe ez k kört z M ill. N pontokn. Htározzuk meg z ill. átmérőjű körök közös külső érintőinek hosszát!. megoldás: sey-tétel k, M, k, N körökre: d(k ;k ) MN % N M + M % N M d(k ;k ) % MN M M d(k ;k ) M M.. megoldás: szelőtétel segítségével kifejezhető körök sugrávl is közös külső érintőszksz hossz: % % % N M R r M M d(k ;k ) Rr k N M k.5. dott egy k kör, vlmint három - k-t elülről érintő - zonos sugrú kör, melyek páronként kívülről érintik egymást. Mutssuk meg, hogy k kör egy tetszőleges M pontjáól k, k, k körökhöz húzott érintőszkszok egyike másik kettő összegével egyenlő. sey-tétel k,k,k, M körökre: e d(k ;k ) + e d(k ;k ) e d(k ;k ). Felhsználv, hogy d(k ;k ) d(k ;k ) d(k ;k ) kpjuk, hogy e+ e e k M k k.6. dott z (R) átmérőjű k kör, vlmint z -t és k-t (elülről) érintő k kör. z -n lévő érintési pontot jelölje M. Htározzuk meg k kör sugrát, h Mm. Legyen k k tükörképe -re. Ekkor sey-tétel z,k,k, körökre: M % d(;k ) + M % d(;k ) r ()*)+ ()*)+ m R m m R m m(r m) r R k k' M
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.7. dott z háromszög köré írhtó körével együtt. Tekintsük zt k kört, mely elülről érinti k-t, vlmint z és oldlkt, ill. pontokn. Fejezzük ki szksz hosszát háromszög oldlink segítségével. Htározzuk meg k kör sugrát is háromszög dtivl. sey-tétel z,,,k körökre: + e % ( ) + ( ) ( + + ) + + s r k β/ k Htározzuk meg k kör sugrát is háromszög dtivl: β β r tg tg s sin β t t Másrészt t β β sinβ sin os β t sin r t Így r Mivel r β β β β sin os os s os s r r Végül r os β + os β.8. dott z átmérőjű k kör. z átmérő hrmdoló pontjit jelölje M és N. Legyenek k k-t elülről érintő körök, melyek érintik -t z M illetve N pontn, s két kör közös első érintője. Htározzuk meg k körök közös külső érintő szkszánk hosszát k kör R sugránk függvényéen. sey-tétel z,k,,k körökre: M % N % + N % M % R % d(k ; k ) R R 4R 4R R 0 9 R 0 d(k ;k ) R R 9 M k k N 4
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.9. dott z egyenlőszárú háromszög () köré írt körével(k) együtt. Jelölje k, k, k zokt köröket, melyek k-t elülről érintik ( hrmdik súsot nem trtlmzó íven), vlmint érintenek egy-egy oldlt felezőpontján. Mutssuk meg, hogy k, k, k körök páronként vett közös külső érintő szkszánk hossz megegyezik. Jelölje : szimmetriáól d(k ;k ) d(k ;k ) sey-tétel z k,k, k, körökre: d(k ;k ) + d(k ;k ) d(;k ) d(k ;k ) ()*)+ ()*)+ d(k ;k ) (.feldt) d(k ;k ) d(k ;k ) k k k 0. feldt: (Kürshák József Emélkverseny 004/.feldt) dott síkn z ", melynek körülírt körét kívülről érinti k kör. k kör érinti egyúttl z és félegyeneseket is, mégpedig P és Q pontokn. Mutssuk meg, hogy PQ szksz felezőpontj egyeesik z " oldlához hozzáírt körének középpontjávl. lklmzzuk sey-tételét z,, és hozzáírt körre: P P + Q P (P ) + (P ) P( + ) P + s S s s OE" SP" S P Írjuk e fent P O O kpott eredményt: s- s S () I s O O α/ Másrészt: O α α α γ β β ; O 80 + 80 90 90 + O O O" O " O O O O O ( II) (I) és (II)-ől dódik, hogy: S O S O α/ Q O R S E P O 5