Eötvös Loánd Tudományegyetem Temészettudományi Ka Tossenbege Tamás Algoitmusok kvantum-infomációelméletből BSc Alkalmazott Matematikus Szakdolgozat Témavezető: d. Mosonyi Milán Analízis Tanszék, BME Matematika Intézet Belső konzulens: d. Fenkel Péte Algeba és Számelmélet Tanszék Budapest, 07
Köszönetnyilvánítás Ezúton szeetném megköszönni témavezetőmnek, hogy segített egy számoma előzőleg ismeetlen teület alapjainak megétésében, és a matematikai hátteének és leíásának elsajátításában. Valamint köszönöm mindazoknak, akik meghallgattak valamit a szakdolgozatom témáiból, és kédéseikkel ávilágítottak a kiemelendő és lényeges észeke.
Tatalomjegyzék. Előkészületek öviden 7.. Matematikai jelölések és a kvantummechanika matematikai modellje.... 7.. Kvantum áamköök.............................. 9. Egyszeű kvantumalgoitmusok 4.. Szupesűű kódolás............................... 5.. Kvantum telepotáció.............................. 7 3. Sho-algoitmus 9 3.. Kvantum Fouie-tanszfomáció........................ 0 3.. Sajátéték becslés................................ 7 3.3. Rendszámítási pobléma............................ 35 3.4. A faktoizációs pobléma visszavezetése a endszámítási poblémáa.... 44 4. Gove-algoitmus 49 4.. Az algoitmus leíása.............................. 50 4.. Geometiai intepetáció............................ 54 3
Bevezetés és felhasznált iodalom Godon E. Mooe 960-ban azt jósolta, hogy az adott méetű integált áamköökbe helyezhető tanzisztook száma köülbelül 8 hónaponként kétszeesée nő. Ez a jóslat Mooe-tövény néven vált közismetté, és a mai napig igaznak is bizonyult. Azonban ez az exponenciális fejlődés nem tatható a végtelenségig, a dolgozat íásako, 07-ben má csupán 0 nm széles tanzisztookat is léte tudunk hozni; azonban váható, hogy a közeljövőben, aká má a következő évtizedben a tanzisztook lényeges méetbeli csökkentése alapvető fizikai tövények miatt lehetetlen lesz, és a Mooe-tövény elveszti évényességét. Ez viszont nem jelenti azt, hogy az embeiség ezek után ne tudná növelni a számítási képességét, csupán azt jelenti, hogy ehhez alapvetően új fajta számítógépeke és számítási módszeeke lesz szükségünk. Jelenlegi tudásunk szeint ennek a feladatnak kvantumszámítógépek eleget fognak tenni, és a közeljövőben egyes poblémákat a legjobb klasszikus számítógépeknél is gyosabban fognak megoldani különös számolási módjuknak köszönhetően, amely lehetővé teszi egyes számítási feladatok nagyságendileg gyosabb megoldását. A dolgozat a kvantumszámítógépeke íódott alapvető algoitmusokat és azok elemzését mutatja be, valamint ávilágít ezen algoitmusok lényegi ötletée, és igyekszik átadni a dolgozatíó kialakult szemléletét, hogy az olvasó mélyen megéthesse az alapvető kvantumalgoitmusok működési elvét, és aká eddigi előismeetekkel nem endelkező olvasó is gondolkozhasson ezen algoitmusok alkalmazásain, illetve módosításain, új kvantumalgoitmusok létehozásához. Az első fejezetben a felhasznált fogalmakat és a kvantum áamköök elméletének alapvető eedményeit mutatjuk be öviden. Ez a fejezet [] -3. fejezetének és []-nek a témahoz kapcsolódó észeit foglalja össze a teljesség igénye nélkül; ha az olvasó mélyebben kívánja tanulmányozni a kvantumalgoitmusok elméletét, vagy a kvantum-infomációelmélet egyéb ágait, ezen hivatkozásokban észletesebb képet kaphat az alapokól. A második, hamadik és negyedik fejezet [] alapján készült, ezen fejezetek [] tematikáját használják, azonban az egyes észletek legtöbbszö ezzel eltéően lettek kidolgozva, mate- 4
matikai pecizitással, és a hivatkozásban hiányzó feladatokat és bizonyításokat kipótolva, hibáit javítva. A szakiodalom feldolgozásán és összeszedésén kívül a dolgozat 3. fejezetében kidolgoztuk []-nek az 5.-es, az 5.5-ös, az 5.7-es, az 5.8-as, az 5.-es, az 5.-es, illetve az 5.3 bizonyítós feladatait, illetve egyéni eedmény a 3.3.5 tétel és az ehhez tatozó 3.3.4 állítás, amelyek helyettesítik [] 5.3 szekciójában leít megfelelő hibás állításokat melyek a Sho-algoitmus felépítésée nem alkalmasak, azonban ezek alapötletét felhasználtuk; a dolgozat 4. fejezetében pedig bizonyítottuk [] 6.-es feladatának állítását, valamint a Gove-iteáció áamköét észletesebben kidolgoztuk, és igazoltuk annak helyességét. Ezeket a kidolgozott feladatokat beleépítettük a dolgozat stuktúájába, valamint az []-ben lévő hibákat és pontatlanságokat kijavítottuk. Illetve a kvantum Fouietanszfomációhoz és a szupesűű kódoláshoz egy-egy konkét kvantumáamköt konstuáltunk meg és futtattunk az IBM 5 qubites kvantumszámítógépén. Valamint a dolgozat készülése soán kialakult szemléletet átadva, legtöbbszö megjegyzések fomájában, igyekszünk egy teljes képet adni az olvasónak a dolgozat kvantum algoitmusaiól. A második fejezetben az alapvető kvantumalgoitmusokat tágyaljuk, mint a kvantum telepotációt, és a szupesűű kódolást. Ezek önmagukban is nagyon édekes és egyszeű algoitmusok, amelyek bemutatják a kvantumalgoitmusok legfőbb működési elveit, ezzel segítve a következő két fejezetben tágyalt jóval összetettebb kvantumalgoitmusok megétését. A hamadik és negyedik fejezet pedig a két legfontosabb kvantumalgoitmust tágyalja, a Sho-algoitmust, mely segítségével kvantumszámítógépen exponenciálisan kisebb lépésszámban tudunk faktoizálni, mint a mai legkisebb lépésszámú klasszikus algoitmusokkal; illetve a Gove-keesőalgoitmust, ami lényegesen felgyosítja bizonyos keesési poblémák megoldását. A dolgozat ezen túl emélhetőleg eloszlatja a engeteg tévhitet a kvantumszámítógépek működését illetően mint hogy a kvantumszámítógépek NP-teljes poblémákat tudnának megoldani polinom lépésszámmal; vagy hogy a kvantumszámítógépek úgy működnének, hogy a lépésszámban exponenciálisan sok eset mindegyikét le tudják ellenőizni, és bemutatja, hogy milyen típusú poblémáknál lehet jobb egy kvantumszámítógépet alkalmazni egy klasszikusnál. Továbbá megmutatjuk azt is, hogy néhány kvantumalgoitmus legegyszeűbb eseteit mai kvantumszámítógépeken aká tesztelhetjük is. Konkétan az IBM 5 qubites, mindenki számáa online eléhető, kvantumszámítógépén megépítünk és kipóbálunk egy-egy kvantum áamköt, melyek a kvantum Fouie-tanszfomáció egy speciális 5
esetét, és a szupesűű kódolást mutatják be. Sajnos a dolgozat többi algoitmusának legegyszeűbb eseteihez is legalább 3 kontoll-qubite, vagy méés utáni kapuhasználata lenne szükségünk, azonban jelen időpontban ezen a számítógépen ez nem megvalósítható. A dolgozat íása idejében jelentette be az IBM, hogy váhatóan 07. nyaáa egy új, 6 qubites kvantumszámítógépük minden édeklődő számáa online hozzáféhető lesz. 6
. fejezet Előkészületek öviden Ebben a fejezetben a matematikai alapokat, alapvető fogalmakat, és a további fejezetekhez szükséges jelöléseket, illetve állításokat sooljuk fel. Feltételezzük, hogy az olvasó játas a lineáis algeba beleétve a tenzoszámítás elméletét, a funkcionálanalízis, a számítástudomány alapjaiban, így csak azokat a jelöléseket definiáljuk, amelyek egy matematikus hallgató számáa nem feltétlenül egyételműek... Matematikai jelölések és a kvantummechanika matematikai modellje Matematikusok számáa nem feltétlenül ismet a baket-jelölés, azonban a kvantummechanikában ez a bevett jelölésendsze, és így a dolgozat is ezzel a jelölésendszeel dolgozik.... Definíció. Adott H Hilbet-tében x H-a jelölje x LinH; C azt az opeátot, amelye y H-a x : y x, y.... Definíció. Adott H Hilbet-tében x H-a jelölje x LinC; H a x opeáto adjungáltját. Azaz x = x. Könnyen látható, hogy ekko λ C-e x : λ λx. A dolgozat soán és általában a kvantummechanikában kissé pontatlanul x H vektot x helyett gyakan x -szel jelöljük, így kontextustól függően x egy opeátot, illetve a H Hilbet-té egy elemét is jelölheti. x H-a x x = x x LinC; C opeátot öviden x y -nal jelöljük. Megmutatható, hogy λ C-e x y : λ λ x, y. Valamint z H-a y x : z x, z y. További elemi azonosságok találhatóak []. fejezetében. 7
..3. Megjegyzés. Vegyük észe, hogy ez a jelölésendsze a lineáis algebai lineáis opeátook leíásának jelölésendszeével úgy függ össze, hogy x H-a x opeáto az x vekto adott bázisbeli felíásával való szozás opeátoa, valamint x opeáto ezen vekto adjungáltjával való szozás opeátoa. Az alábbiakban a kvantummechanika matematikai modelljét íjuk le a kvantummechanika négy posztulátumán keesztül. Megjegyzendő, hogy az állapotvektoos jelölésendszet fogjuk használni, nem pedig a sűűségopeátoosat, mivel a kvantumalgoitmusok tágyalása soán ezen jelölésendsze használata az egyszeűbb. A kvantummechanika posztulátumai:. Minden fizikai endszehez endelhető egy H Hilbet-té, amelyet a endsze állapotteének hívunk, és a endszet teljesen leíja ezen Hilbet-tének egy egységvektoa, melyet a endsze állapotvektoának hívunk.. Minden zát kvantumendszehez endelhető egy Ut t : H H unité opeáto család, amely t, t időponta ψ H, ψ =, t időpontbeli kezdeti állapotot az t időponta Ut t ψ állapotba viszi. Tehát a endsze állapotváltozása leíható egy unité opeáto családdal, amely egyes tagjai az egyes t t időkülönbségek. A 3. {M m } n m=0 H H opeátohalmazt a méési opeátook halmazának nevezzük az n m = 0,,..., n lehetséges méési étékek mellett, ha M m M m = I. Ekko m {0,,..., n }-e P m = ψ M m M m ψ annak a valószínűsége, hogy m a méés eedménye, ha közvetlenül a méés előtt a endsze állapotvektoa ψ volt; és ekko közvetlenül a méés után a endsze állapotvektoa m=0 M m ψ ψ M m M m ψ = Mm ψ P m. 4. Egy n kvantummechanikai endszeből alkotott összetett kvantummechanikai endsze állapottee H = H H H n Hilbet-té, ahol j {0,,..., n }- e a H j Hilbet-té a j-edik endsze állapottee; és ha j {0,,..., n }-e ψ j az j-edik endsze állapotvektoa, akko az összetett endsze állapotvektoa ψ = ψ ψ ψ n. Abban az esetben, amiko csak a méés eedményének valószínűségeloszlása lényeges számunka, és a endsze méés utáni állapota nem, akko az egyszeűség kedvéét E m = M m M m úgynevezett POVM pozitív opeátookat szokás használni, ame- 8
lyeke teljesül n m=0 E m = I. Ekko P m = ψ E m ψ egyszeűbb alakot kapjuk. Valamint M m = E m helyettesítéssel láthatjuk, hogy minden n elemű {E m } n m=0 POVM - hez tatozik egy {M m } n m=0 méési opeátohalmaz, amelye m {0,,..., n }-e E m = M m M m, és n m=0 M m M m = I. Egy qubites endsze állapottee egy dimenziós Hilbet-té, amely egy otonomált bázisát jelöljük 0, -gyel. Mivel a kvantumalgoitmusok qubites endszeekből alkotott többqubites összetett endszeeket használnak, ezét mindig véges dimenziós Hilbetteekkel fogunk foglalkozni. És ekko egy k qubites összetett endsze állapottee izomof C k -val, ezét pongyola módon egy k qubites endsze állapotteét C k -val jelöljük, de a kitevőből a kontextus alapján mindig világos lesz, hogy ez melyik k qubites endsze állapotteét jelöli éppen. Így egy k qubites endsze állapotteének egy otonomált bázisát { j j j k } j,j,...j k {0,}, ezt az otonomált bázist nevezzük a k qubites endsze számítási bázisának. Ezen bázis egy j j j k elemét öviden j; k -val jelöljük, ahol j az a temészetes szám, amely kettes számendszebeli felíása j = j k +j k + +j k 0 = j j... j k. Egy k qubites endsze számítási bázisáa való méés alatt pedig azt a méést étjük, ahol az egyes POVM -ek m {0,,..., k } méési étékeke E m = m; k m; k. A dolgozat soán csak ilyen mééseket fogunk végehajtani. Könnyen igazolható, hogy egy k qubites endsze számítási bázisáa való méés ebben a modellben ekvivalens azzal, mintha az egyes qubites endszeek számítási bázisaia ménénk közvetlenül egymás után. Ez a tulajdonság a kvantumalgoitmusok elméleti elemzése soán nem lényeges, azonban fizikai megvalósításuk soán nagyon fontos, mivel az egyes qubiteke tudunk csak méést végezni... Kvantum áamköök A kvantum áamköök egy k qubites kvantumendsze állapotvektoát módosítják kvantumkapuk felhasználásával, ahol a kvantumkapuk l < k kvantumbites észendsze állapotteén ható unité opeátook. A kvantumalgoitmusok elmélete szempontjából a legfontosabb kvantumkapuk közé tatoznak H, S, T X, Y és Z egy qubites kapuk, illetve c-not, és SWAP két qubites kapuk. Ezek mátixos felíása a 0,, illetve a 9
0;, ;, ;, 3; számítási bázisokban: [ ] [ ] [ ] H = 0 0, S =, T =, 0 i 0 e i π 4 illetve [ ] [ ] [ ] 0 0 i 0 X =, Y =, Z =, 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 c-not = 0 0 0 0 0 0, SWAP = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ez alapján az opeátook baket-jelölésendszeben való felíását az olvasóa bízzuk. Tehát X, Y, és Z qubites opeátook mátixai a számítási bázisban éppen a Pauli-mátixok, H pedig a nomált Hadamad-mátix. Valamint j, j {0, }-a c-not: j j j j j, ahol a mod összeadást jelöli, azaz báziselem inputa pontosan akko változtatja meg a második bitet, ha az első bit kontoll-bit, innen eed ezen kapu elnevezése. A SWAP kapu elnevezése pedig onnan eed, hogy j, j {0, }-a SWAP: j j [ j ] j, azaz báziselem inputa megcseéli a két bitet. A továbbiakban pedig I = az qubites identitás opeátot jelöli. 0 0 Mivel a kvantum áamköök leíása a Boole-hálózatok ábázolásához hasonló, ezét ahelyett, hogy túlbonyolítva, teljesen pecízen definiálnánk, inkább egy példán szemléltetjük: 0 X H 0 X Ez a kvantum áamkö egy qubites endszeen dolgozik, amely a 0 0 kezdőállapotban van az áamkö alkalmazása előtt. Első lépés után a qubites endsze állapota A második lépés után X I 0 0 = 0. H X 0 = 0. 0
A hamadik lépésben egy c-not kaput alkalmazunk, úgy, hogy az első qubit legyen a kontoll-qubit, azaz a hamadik lépés után a endsze állapota 0 c-not 0 0.3 A negyedik lépésben pedig egy SWAP kaput alkalmazunk az első és második qubit közt, azaz a negyedik lépés utána a endsze állapota 0 0 SWAP 0 0.4 Végül pedig az első qubit számítási bázisáa méünk, azaz E 0 = 0 0 I és E = I POVM -eket használjuk, és így annak az valószínűsége, hogy a mét éték 0 P 0 = 0 + és annak az esélye, hogy a mét éték =.5 P 0 = + 0 =.6 Bővebb leíás [] 4. fejezetében [ található. ] u0,0 u 0, Bevezetjük qubites U = mátixú unité opeátook kontollált változatát is: c-u-val jelöljük azt a qubites opeátot, amely mátixa c-u = 0 0 0 u,0 u, 0 0 0 0 0 u 0,0 u 0,. 0 0 u,0 u, Vegyük észe, hogy ekko j, j {0, }-e a c-u kaput egy qubites endszeen végehajtva úgy, hogy az első qubit a kontoll-qubit j j c-u j U j j, tehát báziseleme a második qubiten végehajtja U-t ha az első qubit, máskülönben identitást hajt vége. Vegyük észe, hogy így c-x azonos c-u -tal. Belátható, hogy H, T, c-not kapuk halmaza valamely ételemben univezális, így ezeket nevezzük elemi kapuknak.. Egy n qubites endsze H állapotteén ható tetszőleges U unité opeáto felíható U = U, U,..., U k alakban, ahol k N és U j -szintű unité opeátook, azaz j {,,..., k}-a létezik H-nak egy dimenziós A k altee, mely a számítási bázis vektoa által kifeszített alté, és U identitásként hat az A altéen.
. Egy n qubites endszeben minden kétszintű unité opeáto felíható On daab c-not kapuval, és egy qubiten ható kapuval amely ezen -szintű unité opeáto megszoítása a hozzá tatozó legfeljebb dimenziós A altée. 3. Minden qubites unité opeáto tetszőlegesen jól közelíthető véges sok qubites elemi kapu alkalmazásával. Tehát ε > 0-a létezik olyan U qubites unité opeáto, melynek áamköe felíható véges sok elemi kapuval, és U U < ε. Így tehát egy n qubites opeáto is tetszőleges pontossággal közelíthető az elemi kapukkal, ezt nevezzük az univezalitási tulajdonságnak. Azonban ez nem jelenti azt, hogy ezek a közelítések effektívek, olyan ételemben, hogy kevés elemi kaput használnak fel, sőt megmutatható ee ellenpélda, lásd [] 4.5.4-es szekcióját.... Megjegyzés. Az S kaput is gyakan az elemi kapuk közé soolják a kvantumhibajavításban betöltött fontos szeepe miatt, de mivel S = T, ezét ez a kapu az univezalitáshoz nyilván nem szükséges. Viszont az előbb említett okból kifolyólag édemes ezt a kaput is megalkotni egy kvantumszámítógép építéseko. Egy kvantumalgoitmus lépésszámán a kvantum áamköében felhasznált elemi kapuk számát étjük. Egy kvantumalgoitmushoz nyilván nem egyetlen áamkö, hanem egy áamköcsalád tatozik például az algoitmus inputjának méete alapján. Így azt is fontos kikötnünk, hogy ez az áamköcsalád Tuing-géppel geneálható legyen, habá ez a feltétel a gyakolatban mindig tiviálisan teljesül ha adunk egy konstukciót az áamköcsaláda. Továbbá n lépésnek tekintjük egy n qubites endsze állapotának beállítását 0 n állapota, és így egy kvantum áamkö lépésszámán n-nek és elemi kapuszámának összegét étjük, ami a tiviális esetektől eltekintve nagyságendileg az elemi kapuszámmal azonos.... Megjegyzés. Ekko 0 n állapot helyett a számítási bázis bámilyen másik elemét is elő tudjuk állítani n lépésben, és legfeljebb n daab X kapu felhasználásával, így aká azt is feltehetjük, hogy minden báziselemet elő tudunk állítani On lépésszámmal, így ezeket is elfogadhatjuk az egyes áamköök inputjaként. [ ] 0 A Sho-algoitmusban használjuk továbbá az R k = kapukat, melyek Ok 0 e πi k elemi kapuval pontosan előállíthatóak lásd [] 4. fejezetét. Speciálisan R = S és R 3 = T. Valamint kihasználjuk, hogy egy elemi kapukból álló áamkö invezét is felíhatjuk konstansszo pontosan 7-sze annyi elemi kvantumkapuval, mivel H és c-not kapuk
önadjungáltak, valamint T 7 = T, és mivel egy áamkö egy unité opeátot hajt vége mivel unité opeátook tenzoszozata és kompozíciója unité, ezét az áamkö inveze az áamkö adjungáltja, az áamkö adjungáltját pedig megkapjuk az egyes elemi kapuk adjungálásával, és a kapuk hoizontális soendjének megfodításával. Ismet, hogy klasszikusan minden Boole-hálózat helyettesíthető egy csupán Toffoli kapukból álló klasszikus evezibilis hálózattal, amelynek felhasznált bitszáma, és kapuszáma nagyságendileg azonos a Boole-hálózatéval. Helyettesítés alatt azt étjük, hogy ha a Boole-hálózatnak n inputbitje, és k outputbitje van, akko az ezt helyettesítő Toffoli kapukból álló evezibilis hálózatnak az első n inputbitjét a Boole-hálózat inputjáa állítva és a többi inputbit étékét az inputtól független módon meghatáozva, ezen evezibilis hálózat outputjának első k bitje a Boole-hálózat outputja. A Toffoli kapu univezális opeátoa való kitejesztését tehát azt az 3 qubites opeátot véve amely j, j, j 3 {0, }-e a j j j 3 báziselemet o o o 3 báziselembe viszi pontosan akko, ha a Toffoli kapunak j, j, j 3 inputa o, o, o 3 az outputja felíhatjuk elemi kvantumkapuk áamköeként. Ebből következik, hogy minden Boole-hálózat helyettesítő egy nagyságendileg ugyanakkoa táhelyű és kapuszámú kvantum áamköel. A Toffoli kapu ezen felíása, és egyéb gyakan használt kvantumkapuk elemi kvantumkapukkal töténő felíása megtalálható [7] hivatkozásban. 3
. fejezet Egyszeű kvantumalgoitmusok Ebben a fejezetben két kvantumalgoitmust mutatunk be, amelyekkel az összefonódottságot kihasználva olyasmit éhetünk el, aminek klasszikus megfelelője nem megvalósítható. Például a szupesűű kódolás tágyalásában megmutatjuk, hogyan lehet bizonyos előkészületek mellett qubit elküldésével klasszikus bitnyi infomációt közölni ugyanez klasszikus bit elküldésével nyilvánvalóan lehetetlen. Valamint megmutatjuk, hogy a kvantum telepotáció ennek valamilyen ételemben a fodítottját hatja vége, azaz szintén bizonyos előkészületek mellett két klasszikus bit elküldésével el tudunk küldeni egy qubitet. Ez alatt pontosan azt étjük, hogy egy másik qubit állapotát a küldendő qubit állapotáa állítjuk. Fontos megjegyezni, hogy eközben a küldendő qubit állapota megváltozik sőt, igazolható, hogy egy qubit állapotát nem lehet lemásolni úgy, hogy a lemásolt qubit állapota ne változzon. Mivel a szupesűű kódolás és a kvantum telepotáció is a Bell-állapotokkal dolgozik, ezét még ezen algoitmusok tágyalása előtt megmutatjuk ezen állapotok néhány alapvető tulajdonságát. A 4 Bell-állapot egy qubites endsze egyes állapotai, mégpedig a β 0,0 = 0 0 +. és a β 0, = β,0 = β, = 0 + 0. 0 0.3 0 0.4 4
állapotok. Megjegyzendő, hogy ezek a qubites állapotok könnyen láthatóan otonomált bázist alkotnak a endsze állapotteén. Valamint látható, hogy a Bell-állapotok egyszeűbben is felíhatóak az alábbi képlettel: Valamint j, j j, j {0, }: β j,j = 0 j + j j.5 {0, }-e az alábbi kvantum áamkö outputja β j,j. A következő áamkö által meghatáozott qubites unité opeátot B-vel jelöljük. j H j Ekko j, j {0, }-e B j j = β j,j, mivel H I j j = 0 j + j j.6 és így B j j = 0 j + j j = β j,j.7 Továbbá az. fejezetben tágyaltak alapján B áamköe: H Valamint mivel B unité opeáto, ezét j, j {0, }-e B β j,j = B B j j = j j.8.. Szupesűű kódolás Anna klasszikus bitnyi infomációt szeetne eljuttatni Balázsnak, mégpedig úgy, hogy csak qubitet küld el Balázsnak. Ennek megvalósítását nevezzük szupesűű kódolásnak. Előkészületként Anna és Balázs egy qubites endszet mely qubitjei kezdetben kellően közel vannak egymáshoz egy c-not kapu alkalmazásához β 0,0 állapotba hoz, mint azt előbb láttuk, ezt megtehetik úgy, hogy a 0 0 állapotú endszee alkalmazzák B unité opeáto áamköét. A endsze β 0,0 állapota hozása után Anna megtatja a endsze. qubitjét, Balázs pedig a.-at és ezek után tetszőlegesen eltávolodhatnak egymástól. Ezt követően Anna a következő algoitmus szeint já el: 5
. Ha a 0, 0 biteket kívánja továbbítani, akko az. qubite identitást alkalmaz azaz nem csinál vele semmit, ekko a qubites endsze állapotváltozása β 0,0 I I β 0,0.9. Ha a 0, biteket kívánja továbbítani, akko az. qubite az X kaput alkalmazza, ekko a endsze állapotváltozása β 0,0 X I β 0,.0 3. Ha az, 0 biteket kívánja továbbítani, akko az. qubite a Z kaput alkalmazza, ekko a endsze állapotváltozása β 0,0 Z I β,0. 4. Ha az, biteket kívánja továbbítani, akko az. az X kaput alkalmazza, ekko a endsze állapotváltozása β 0,0 Y I i β,. Így ha ezek után Anna elküldi az. qubitet Balázsnak, és mindkét qubit bitokában Balázs végehajtja a endszeen B opeáto áamköét, akko a.8 egyenlet alapján a endsze ende a 0 0, a 0, a 0 vagy a i 0 0 állapotban lesz aszeint, hogy Anna a 0, 0, a 0,, az, 0 vagy az, két bitnyi infomációt kívánta közölni Balázzsal. Tehát ha ezek után Balázs a számítási bázisa mé, akko mind a négy esetben valószínűséggel megkapja az Anna által közölni kívánt klasszikus bitnyi infomációt a méés eedményeként. Az IBM 5 qubites kvantumszámítógépén megkonstuáljuk ezen folyamat áamköét abban az esetben, ha Anna, 0 infomációt kívánja közölni Balázzsal: 6
Ekko elméletben valószínűséggel kapnánk az, 0 méési eedményt, pesze a gyakolatban csak azt váhatjuk, hogy -hez közeli étéket kapjunk. Alább láthatjuk 04 futtatás után egyes méési kimenetelek tapasztalt elatív gyakoiságát. Itt a méési adatok fodított soendben vannak felíva, mint ahogy dolgozatban használt konvenció szeint lennének, így ez esetben azt vájuk, hogy 0000 méési eedmény elatív gyakoisága -hez közeli legyen, ez pedig valóban fennáll... Kvantum telepotáció Anna egy ψ állapotvektoú qubit állapotát szeetné továbbítani Balázsnak pontosabban Balázs egyik qubitjét kívánja ebbe az állapotba hozni, mégpedig úgy, hogy előzetes előkészületek mellett mindössze bitnyi klasszikus infomációt továbbít Balázsnak. Ennek megvalósítását nevezzük kvantum telepotációnak, mivel ezzel az eljáással qubitet tudunk telepotálni Annától Balázsnak mindössze klasszikus bit átküldésével. Elsőe meglepő lehet, hogy véges sok bit elküldésével léte tudunk hozni tetszőleges ψ C, ψ = állapotvektot, mivel az ilyen vektook halmaza kontinuum számosságú pesze má az is elég, hogy végtelen. Azonban nem a vektot meghatáozó komplex számokat kívánjuk elküldeni mivel ezeket nem is tudnánk kinyeni a qubitből, hanem fizikailag akajuk Balázs egy qubitjének állapotát ψ -e hozni, amihez mint látjuk nem szükséges ismeni ψ állapotot.. qubitnek nevezzük a másolandó ψ állapotú qubitet, illetve. és 3. qubitnek azon qubites endsze egyes qubitjeit, amelyet előkészületként Anna és Balázs a β 0,0 állapota állít. Ezen 3 qubit kezdetben itt is kellően közel vannak egymáshoz. Ezek után Anna megtatja a endsze. és. qubitjét, Balázs pedig a 3.-at, majd tetszőlegesen eltávolodhatnak egymástól. Ezt követően Anna végehajtja B opeátot a bemutatott 7
áamkö segítségével az. és. qubiten, majd pedig ezen qubites észendsze számítási bázisában méünk, így kapva m = m m méési eedményt. Tehát eddig a pontig az alábbi áamkö íja le az eljáást: ψ H m β 0,0 m Egyszeű számolással kapjuk, hogy ψ = α 0 + β ahol α, β C felíás mellett, közvetlenül a méés előtt a 3 qubites endsze állapota 00; α 0 + β + 0; α + β 0 + 0; α 0 β + ; α β 0 +.3 tehát a méés után ende α 0 + β, α + β 0, α 0 β vagy α β 0 lesz a 3. qubit állapota ha a méés eedménye m = 00, m = 0, m = 0 vagy m =. Így ha Anna továbbítja Balázsnak a méés eedményét leíó m és m biteket, akko Balázs a 3. qubiten X m, majd Z m kapukat végehajtva a 3. qubitet α 0 + β = ψ állapota hozza.... Megjegyzés. Temészetesen sem a szupesűű kódolással, sem pedig a kvantum telepotációval nem tudunk a fénysebességnél gyosabban infomációt küldeni. A kvantum telepotáció végehajtásako Balázsnak meg kell vánia az Annától ékező klasszikus bitet; a szupesűű kódolásnál pedig az. qubit elküldése közben a endsze má minden infomációt tatalmaz, viszont Balázs csak a. qubithez fé hozzá amíg az. qubitet meg nem kapja Annától, és megmutatható, hogy Balázs csupán a. qubitből nem nyehet ki infomációt Anna által küldött küldeni kívánt bitől. 8
3. fejezet Sho-algoitmus A kvantum algoitmusok keesése soán legfőbb célunk olyan algoitmusokat konstuálni, melyek egy adott poblémát vagy poblémaköt lényegesen gyosabban oldanak meg, mint az ee a feladata ismet legjobb klasszikus algoitmus; ezalatt a lépésszámban polinomiális vagy exponenciális gyosítást étünk. Exponenciális gyosítást é el pl. Pete Sho 994-ben publikált algoitmusa, mely a pímtényezőke bontás poblémáját oldja meg: egy n bites pozitív egész számot O n 3 elemi kvantumkapuval faktoizál tetszőlegesen kicsi pozitív hibával ezzel igazolva, hogy a faktoizációs pobléma BQP-beli, szemben a dolgozat íásának idejében ismet kellően nagy számoka leggyosabb klasszikus faktoizáló algoitmussal, az általános számtest-szitával GNFS, melynek lépésszáma exp Θ n 3 log 3 n. Ez viszont nem jelenti azt, hogy a későbbiekben nem találhatunk polinomiális klasszikus faktoizáló algoitmust. Általánosan igaz, hogy még nem ismet olyan kvantum algoitmus, amely megcáfolná az eős Chuch hipotézist. A Sho-algoitmus különösen édekes számunka mivel a mostani leggyakabban használt titkosítási módszet, az RSA-eljáást könnyedén fel lehetne töni ha meg tudnánk oldani nagy számok faktoizálását polinomiális lépésszámban. Hogy ezt kvantum számítógépekkel meg tudjuk valósítani csak az gátolja meg, hogy jelenleg nem tudunk olyan kvantumszámítógépet építeni, melyen a gyakolatban előfoduló hatalmas számokat tudnánk faktoizálni. Ez viszont a közeljövőben megváltozhat, és akko át kell ténünk egy biztonságosabb titkosítási eljáása. Ebben a fejezetben tágyaljuk soa a kvantum Fouie-tanszfomációt, a sajátéték becslés algoitmust, a endszámítási poblémát, és végül a faktoizációs pobléma visszavezetését a endszámítási poblémáa, melyek együtteséből megkapjuk a Sho algoitmust. 9
3.. Kvantum Fouie-tanszfomáció A diszkét Fouie-tanszfomáció DFT a gyakolatban sokat használt klasszikus algoitmus, szükség van á például kép- és hangtechnikában, valószínűségszámításban, statisztikában, illetve egyes kombinatoikai poblémák megoldásában is hasznosnak bizonyult. A leggyosabb ismet kiszámítási módja a gyos Fouie-tanszfomáció FFT, amely Θ n n aitmetikai műveletet használ, ha azt egy C N -beli vektoon szeetnénk elvégezni, ahol n = logn. Ezzel szemben a kvantum Fouie-tanszfomáció QFT Θ n kvantumkapuval vagy O n 3 elemi kvantumkapuval végehajtható. Tehát a QFT lépésszáma exponenciálisan kisebb, mint az FFT lépésszáma, ez viszont koántsem akkoa eedmény, mint amilyennek elsőe tűnik. A QFT nem helyettesíti a DFT klasszikus kiszámítását, mivel mint azt később látjuk, habá megkonstuáljuk valamilyen fizikai fomában az inputvekto tanszfomáltját amely szintén egy C N -beli vekto, ebből a endszeből általános esetben nem nyehető ki a vekto mind az N koodinátája. Előszö a DFT -t mutatjuk be: Adott x = x 0 x. x N k {0,,..., N }-e legyen C N vekto, és előállítandó y = j=0 y 0 y. y N C N vekto úgy, hogy y k = N x j e πijk N 3. N azaz ugyanezt lineáis tanszfomációként leíva legyen y 0 y y = ω ω ω N ω ω 4 ω N. N....... ω N ω N ω N y N x 0 x x. x N 3. ahol ω = e πi N. Ezt az x y lineáis tanszfomációt nevezzük diszkét Fouietanszfomációnak. Közvetlenül mátixszozás végehajtásával kiszámolva y -t egy O n lépésszámú algoitmust kapnánk, ennél gyosabb a FFT algoitmus elvégzése, melynek futásideje csak On n de még ez is exponenciális az inputban. A FFT észletes leíását és elemzését megtalálhatja az olvasó a [4]-es hivatkozás alatt. 0
A QFT tágyalásához előszö két kikötést kell tennünk:. Legyen x =.. Tegyük fel, hogy N = n. Láthatjuk, hogy egyik kikötés sem kolátozza az x -ek halmazát, amelyeke y fizikailag előállítható, mivel DFT lineáis, illetve mivel N < n esetén n N daab 0-val kiegészítve x vektot a 0-kat az utolsó koodinátáka íjuk be és a kiegészített vektoa végehajtva DFT -t, könnyen végiggondolhatjuk, hogy a kapott eedményből y -t kapjuk az utolsó n N koodináta levágásával, és az így kapott vekto nomálásával. A kvantum Fouie-tanszfomációt a következőképpen végezzük el: N A célunk, hogy egy n qubites x k k; n a számítási bázisban felít állapotú endszet N k=0 k=0 y k k; n állapotú endszebe vigyünk, ezzel fizikailag előállítva y koodinátáit x koodinátáiból. Megmutatjuk, hogy ez megvalósítható, és ezt a tanszfomációt fogjuk kvantum Fouie-tanszfomációnak nevezni. Jelölje a számítási otonomált bázist 0; n, ; n,..., N ; n, és definiáljuk QF T : C N C N lineáis opeátot a számítási bázisa vett hatásával, azaz legyen j {0,,..., N }-e ebből pedig QF T N j=0 QF T j; n = N e πijk N k; n 3.3 N x j j; n = Azaz ha egy n qubites endsze állapotát N j=0 k=0 = N N = = N k=0 N k=0 N k=0 N x j N j,k=0 k=0 N N y k k; n e πijk N k; n 3.4a x j e πijk N k; n 3.4b j=0 x j e πijk N k; n 3.4c 3.4d x k k; n -a állítjuk be ami elvileg lehetséges,
N mivel x =, majd alkalmazzuk á a QF T opeátot, akko a endszet y k k; n állapotba juttattuk, ezzel fizikailag előállítva az y vekto koodinátáit. Ahhoz viszont, hogy elvi esélyünk legyen QF T áamköét létehozni, be kell látnunk, hogy QF T unité opeáto. 3... Lemma. Az előbb definiált QF T opeáto unité. k=0 Bizonyítás. Jelölje ε N = e πi N az első N-edik egységgyököt. Ismet, hogy ekko j Z-e N k=0 ε jk N = I j N N 3.5 ahol I j N a j N esemény indikátofüggvénye. Ez az állítás N Z + -a igaz, nem csak kettőhatványoka. Ekko j, j {0,,..., N }-e QF T j ; n, QF T j ; n = QF T j ; n QF T j ; n 3.6a N N = e πij k N k ; n e πij k N k ; n N N = N = N = N N k =0 k,k =0 N k,k =0 N k =0 k =0 3.6b ε j k j k N k ; n k ; n 3.6c ε j k j k N δ k,k 3.6d ε j j k N 3.6e = N I j j N N 3.6f = I j j N 3.6g = δ j,j 3.6h Így tehát a QF T opeáto a 0; n, ; n,..., N ; n otonomált bázist a QF T 0; n, QF T ; n,..., QF T N ; n otonomált bázisba viszi, vagyis QF T valóban unité opeáto.
3... Megjegyzés. Hamaosan konstuálunk egy kvantum áamköt, amely a QF T opeátot hajtja vége, így ez konstukció is bizonyítást ad aa, hogy QF T unité opeáto mivel az áamköi elemek egy-egy unité opeátot hajtanak vége, és két unité opeáto szozata ha ételmes és tenzoszozata is unité opeáto, tehát a teljes kvantum áamkö is egy unité opeátot hajt vége. j {0,,... N } egyételműen felíható j = j n + j n + + j n 0 alakban, ahol k {0,,... n }-e j k {0, }, azaz legyen j k a j szám kettes számendszebeli alakjának k-adik jegye, és ez alapján vezessük be a j = j j... j n = j n + j n + + j n 0 jelölésmódot, valamint hasonlóan a j alakú számoka vezessük be a n j = 0, j n j... j m = j + j + + jm m {,,..., n}-e amie létezik ez a felíás m jelölésmódot. A következő tétellel megmutatjuk, hogy QF T j; n felbomlik az egyes qubitek állapotteein tenzoszozatként. 3..3. Tétel. j {0,,..., N }-e j = j j... j n felíás mellett teljesül 0 + e QF πi0,jn 0 + e πi0,j n j n 0 + e πi0,j j...j n T j; n = Bizonyítás. QF T j; n = n = n = n = n = n = n n k=0 πijk exp n n πijk exp k=0... k =0 k =0... k =0 k =0 n k; n 3.7 3.8a k k... k n ; n 3.8b n exp πij k l l k k... k n ; n 3.8c k n=0 n k n=0 l= n e πijk l l k l l= n l= k l =0 0 + e πij l l= e πijk l l k j 3.8d 3.8e 3.8f 3
= n = = n n 0 + exp πij j j... j n l + 0, j n l+ j n l+... j n l= n l= 0 + e πij0,j n l+j n l+...j n 0 + e πi0,jn 3.8g 3.8h 0 + e πi0,j n j n 0 + e πi0,j j...j n 3.8i 3..4. Megjegyzés. A 3.7 azonosság a DFT kiszámításában is fontos szeepet játszik: a FFT algoitmus ezen felíás alapján hajtja vége a DFT -t ekuzív módon, a tenzoszozásokat balól jobba elvégezve az -es szozókat előe kiemelve, és figyelembe véve, hogy így 0 együtthatója minden tényezőben. A klasszikus esettel ellentétben a QFT elvégzéséhez nem kell kiszámolnunk a tenzoszozatokat, ha az egyes qubiteket a megfelelő nemösszefonódott állapotba hozzuk, a tenzoszozást maga az univezum végzi el pontosabban: a kvantum mechanika szabályai szempontjából nem számít, hogy a endsze egy állapotát milyen módon állítjuk elő ha a két előállítás a matematika modellünkben ekvivalens. Megmutatjuk, hogy az alábbi áamkö a j; n = j j... j n inputa valóban az ábán jelzett 0 +e πi0,j j...jn 0 +e πi0,j j 3...jn 0 +e πi0,jn, és így ezután n daab SWAP-kapu alkalmazásával k {,,..., n }-e a k-adik és n k+-edik qubit páa az n qubites endsze a 3.7 állapotba keül. j H R R n R n o j H R n R n o.. j n H R o n j n H o n ahol k {,,..., n}-e o k = 0 +eπi0,j k j k+...jn. Valóban, az első kapu hatását vizsgálva j j... j n H 0 + e πi0,j j j 3... j n 3.9 4
tegyük fel, hogy egy k {,,... n }-e a k-adik kapu után a endsze állapota 0 +e πi0,j j...j k j j 3... j n, ekko a k + -edik kapu hatását felíva 0 + e πi0,j j...j k j j 3... j n c R k+ 0 + e πi0,j j...j k+ j j 3... j n 3.0 tehát teljes indukcióval láthatjuk, hogy az első n kapu hatása 0 + e πi0,j j...j n j j... j n j j 3... j n 3. Vegyük észe, hogy az első n kapun kívül a többi kapu az első qubite identitásként hat, az utolsó n qubite pedig pont úgy hat, mint a teljes áamkö n helyett n -es változata. Így teljes indukcióval kapjuk, hogy a teljes áamkö hatása valóban 0 + e πi0,j j...j n 0 + e j j... j n πi0,j j 3...j n 0 + e πi0,jn 3. Így tehát a fenti áamkö, és az említett n daab SWAP-kapu együttes hatása valóban a QF T opeáto. Ezzel tehát megmutattuk, hogy a kvantum Fouie-tanszfomáció elvégezhető n+n + + + n = n + n = O n daab kvantumkapu felhasználásával. Viszont c-r k kvantumkapuk k =, 3,..., n előállításához nem elég k-tól független konstansnyi elemi kvantumkapu ez nyilvánvaló számossági megfontolásokból, Ok elemi kvantumkapuval viszont má előállítható c-r k kvantumkapu lásd [], és így láthatjuk, hogy összesen O n 3 elemi kvantumkapua van szükségünk a kvantum Fouie-tanszfomáció áamköének megvalósításához. 3..5. Megjegyzés. Láttuk, hogy a kvantum Fouie-tanszfomáció végehajtása exponenciálisan gyosabb, mint a klasszikus diszkét Fouie-tanszfomáció kiszámolásáa ismet bámely algoitmus. Viszont szemben a FFT -val, a QFT a keesendő tanszfomáltnak csak egy fizikai előállítását adta meg, de ebből általános esetben nem tudjuk az összes együtthatót kiolvasni. Így a kvantum számítógépek fejlődésével sem lesz helyettesíthető a QFT a klasszikus változatával. Később láthatjuk, hogy a sajátéték becslés kvantumalgoitmusnál úgy használjuk fel az invez-qft -t, hogy a méés előtti endszeünk állapotának a számítási bázis egyik eleméi vonatkozó amplitúdója -hez közeli lesz, így ha a számítási bázisa méünk, -hez közeli legalább az amplitúdó nomanégyzete 5
valószínűséggel megmondhatjuk, hogy a magas amplitúdó melyik bázishoz tatozott. Tehát a QFT -t csak speciális esetekben tudjuk hatékonyan alkalmazni, és ennek megfelelő algoitmusok konstuálása nagy kihívást jelent, ezen algoitmusok közül a dolgozatban csak a sajátéték becslést mutatjuk be. 3..6. Megjegyzés. A QFT nagyban különbözik az eddig látott kvantumalgoitmusoktól: A. fejezetben bemutatott kvantumalgoitmusok az összefonódottságot használták ki, hogy olyasmit tudjanak megvalósítani, ami a klasszikus esetben lehetetlen. Ezzel ellentétben a QFT gyosasága mint azt má 3..4 megjegyzésben említettük abból eed, hogy 3.7-ben látott tenzoszozást a kvantum számítógépnek nem kell elvégeznie, elég ha az egyes qubiteket az egyes tényezők állapotáa hozza. Az n = speciális esetben a SWAP kapukat leszámítva megteveztük és az IBM 5 qubites kvantumszámítógépée megkonstuáltuk a kvantum Fouie-tanszfomáció áamköét: Viszont mivel 0 DF T 0, ezét a 0 0 inputa azt kapnánk, hogy az 0 egyes méési eedmények köülbelül azonos elatív gyakoisággal endelkeznek. Viszont az ellenkező iány nem teljesül. Tehát édemes inkább 0; + ; + ; + 3; inputa futtatni az algoitmusunkat, amit két H kapu beiktatásával tehetünk meg, mivel ekko ha elméleti elatív gyakoisággal kapnánk a méés eedményeként 0-át, akko biztosak lehetünk abban, hogy ee az inputa valóban 0 0 output állt elő. A használt áamkö tehát: 6
És valóban, 04 futtatás után 00000 méési eedmény tapasztalt elatív gyakoisága közel van -hez: 3.. Sajátéték becslés A sajátéték becslés kvantumalgoitmussal egy adott véges dimenziós Hilbet-tében ható U unité opeáto egy fizikailag előállított azaz esetünkben kellően sok qubites endsze egy tiszta állapotaként előállított u nomált sajátvektoához tatozó sajátétékének agumentumát becsüljük meg d pontossággal, legfeljebb ε hibavalószínűséggel, tetszőleges előe adott d Z + és ε > 0-a. Ez az algoitmus az oákulumos algoitmusok közé tatozik, mint a koábban látott: feltesszük, hogy adott egy oákulum, amely lehetőleg gyosan vége tudja hajtani a c-u j opeátookat j Z + 0 -e a endsze állapotteén később láthatjuk a pontos követelményeket. Tehát ha egy U unité opeáto egy u sajátvektoához sajátétékének agumentumát szeetnénk hatékonyan közelíteni a sajátéték becslés algoitmussal, akko két poblémát is meg kell oldanunk előbb: hatékonyan elő kell hogy állítsuk vagy esetleg közelítsük a c-u j opeátookat, így U opeátonak speciálisnak kell lennie; illetve u állapotba kell vinnünk egy észendszet. De később mutatunk egy ügyes tükköt a második pobléma megkeülésée. Megmutatjuk továbbá ebben a 7
szekcióban, hogy hogyan valósítható meg hatékonyan az algoitmus adott oákulum, és előállított u állapotvekto mellett az algoitmusséma az invez-qft alkalmazásával. Előszö is néhány egyszeű megállapítást téve:. Mivel U unité opeáto, ezét tetszőleges sajátétéke felíható e πiϕ alakban, ahol ϕ [0;.. Jelölje K annak a Hilbet-tének a dimenzióját, amin U opeáto hat, és legyen k = log K a K bitszáma-. Ha K < k, akko U opeátot kitejeszthetjük U : C k C k leképzéssé úgy, hogy az új báziselemeken identitásként hasson, és ekko ha u sajátvektoa U opeátonak, és u C k -t úgy kapjuk u -ból, hogy a az új báziselemes koodinátái 0-ák legyenek bázisbeli felíása, akko könnyen látható, hogy az u -hoz tatozó sajátéték U opeátoa ugyanaz, mint az u -höz tatozó sajátéték U opeátoa. Tehát a továbbiakban feltesszük, hogy K = k. 3. A sajátéték becslés algoitmus soán az invez-qft -t fogjuk alkalmazni. Mivel QF T unité opeáto, ezét az invez-qft -t leíó opeáto QF T = QF T is unité opeáto, és áamköét úgy kapjuk QF T áamköéből, hogy a kapuk hoizontális soendjét megfodítjuk és minden kaput az adjungáltjával helyettesítjük mint azt láttuk az. fejezetben, ez csak konstansszo konkétan legfeljebb 7-sze annyi elemi kapuval való felíást eedményez. Valójában a gyakolatban QF T áamköét nem feltétlenül kell külön megkonstuálnunk, mivel a jelenlegi megvalósításokban a kvantumkapuk gyakan evezibilisek, így egyszeűen használhatjuk QF T áamköét "visszafelé". Legyen adott k qubiten u nomált sajátvekto, amelyhez e πiϕ sajátéték tatozik. Ekko vizsgáljuk az alábbi kvantum áamköt, amelyben az input első egiszteében t Z + daab qubit van 0 állapota állítva, a második egiszteében pedig k daab qubit van, 8
melynek együttes állapota u. 0 H o 0 H o.. 0 H o t 0 H o t u / U 0 U U t U t u t l ahol l {,,..., t}-e o l = 0 +eπi ϕ. Ahhoz, hogy belássuk, hogy valóban ez az áamkö outputja, előbb igazoljuk, hogy a fenti áamköből az első ütem elhagyásával tehát a H kapuk elhagyásával kapott áamkö valóban az az opeáto, amely j {0,,..., t }-e és v C k nomált vektoa j; t v j; t U j v tanszfomációt hajtja vége ez nyilván definiálja is az opeátot. Valóban, l {0,,..., t } : j {0,,..., t } : w C k -a j; t w = j j... j t ; t w c U l jt l j j... j t ; t U l w, tehát a c-u l kapuk együttes hatása j; t v j; t t U j t l l v l=0 3.3a = j; t U j v 3.3b És így 3.3 egyenletbe v = u -t helyettesítve és kihasználva, hogy U u = e πiϕ u a c-u l kapuk együttes hatása. j; t u j; t e πijϕ u 3.4a = e πijϕ j; t u 3.4b Az teljes áamkö első ütemének azaz a H kapuknak az együttes hatása a 0; t u inputa 0; t u H t I k 0; t u 3.5a 9
= t t j; t u j=0 3.5b Így 3.4 és 3.5 egyenletekből kapjuk a lineaitást kihasználva, hogy a teljes áamkö hatása a 0; t u inputa valóban 0; t u t = t = = = t t l= t j=0 t j=0 t l= e πijϕ j; t u 3.6a e πijϕ j; t u 3.6b 0 + e πit lϕ u 3.6c 0 + e πit lϕ u 3.6d t o l u l= 3.6e 3... Megjegyzés. Első ánézése meglepő lehet, hogy a fenti áamköben az első t t 0 + daab qubit együttes állapota az outputban nem = t j; t, mivel a kontoll qubitek állapota nem változik a kontollált kapu alkalmazásako. Azonban 3.4 egyenlet levezetésében láthatjuk, hogy az eltéés oka egy abszolútétékű tag átvitele a tenzoszozás másik oldaláa, és így egy sokkal szebb tenzoszozatos felíását kaptuk az outputnak. A fenti áamkö alkalmazása után az első t qubit endszeée alkalmazzuk az invez- QFT -t, azaz QF T áamköét az utolsó k qubit endszeée pedig az identitást, majd méjünk az első t qubit endszeének számítási bázisáa azaz 0; t, ; t,..., t ; t bázisa. Ezt az eljáást nevezzük a sajátéték becslés algoitmusnak, met mint azt nemsokáa látjuk, a méés eedményével közelíthető a becsülendő sajátéték agumentuma. Tehát a sajátéték becslés algoitmus áamköe sematikusan: 0; t / H j; t l= QF T t j=0 u / U j u 30
3... Megjegyzés. Ha ϕ felíható a kettedesvessző után legfeljebb t hosszú kettedestötként, azaz ϕ = 0, ϕ ϕ... ϕ t, akko t t 0 + e πit lϕ t 0 + e πiϕ ϕ...ϕ t+0,ϕ t l+ ϕ t l+...ϕ t o l = = l= l= = t l= l= 0 + e πi0,ϕ t l+ϕ t l+...ϕ t QF T ϕ ϕ... ϕ t ; t 3.7 azaz a méés eedményéből valószínűséggel megkapjuk a ϕ kettes számendszei felíásának pontos alakját. Ebből azt gondolhatjuk, hogy ha ϕ-t nem íhatjuk fel ilyen alakban, akko is kis hibával meg tudjuk becsülni az előbbihez hasonlóan, még ha nem is valószínűséggel, de tetszőlegesen kicsi hibavalószínűséggel. Ezt fogjuk a továbbiakban igazolni. 3..3. Tétel. A sajátéték becslést t = d + log + -e alkalmazva ahol d Z+ ε és ε 0; ] adottak, akko a méési eedményt m = m m... m t -vel jelölve legalább ε valószínűséggel teljesül ϕ m t d, azaz a méési eedményből legalább ε valószínűséggel megkapjuk ϕ-nek egy legfeljebb d hibájú közelítését. Bizonyítás. Legyen b = ϕ ϕ... ϕ t, valamint δ = ϕ b t. Ekko b t = 0, b b... b t, és δ [0; t. A sajátéték becslést alkalmazva az első t qubit endszeének állapota közvetlenül a méés előtt: QF T t t j=0 e πijϕ j; t = t = t t j=0 t j=0 = t t j,l=0 = t t l=0 = t b t l= b = t b t l= b e πijϕ QF T j; t e πijϕ t exp πij t j=0 t j=0 t l=0 exp πijl l; t t ϕ l t l; t exp πi ϕ l j l; t t 3.8a 3.8b 3.8c 3.8d exp πi ϕ b + l j b + l mod t ; t t exp πi t ϕ b + l exp πi ϕ b+l t b + l mod t ; t 3 3.8e 3.8f
t b exp πi t δ l = t exp πi b + l mod t ; t 3.8g δ l t l= b Az egyszeűség kedvéét vezessük be a l = t expπi t δ l expπiδ l t jelölést b + l mod t ; t amplitúdójáa, és a moduláis szimmetia miatt tejesszük ki a jelölést minden l Z indexe mod t ételmezve. Legyen ɛ Z + a hibatoleancia, azaz azt szeetnénk, hogy nagy valószínűséggel m b ɛ teljesüljön. 3.8 egyenletből kapjuk, hogy annak a valószínűsége, hogy m b > ɛ A háomszög-egyenlőtlenségből P m b > ɛ = ɛ+ l= t + a l + t l=ɛ+ a l 3.9 exp πi t δ l 3.0 Ismet, hogy θ [ π; π]-e e iθ θ, és mivel l π [ t + ; t ] esetén l t [ ; ], azaz δ l [ ; ], és így π δ l t t [ π; π]-e alkalmazva az előbbi t azonosságot az alábbi egyenlőtlenséget kapjuk: πi δ exp l t π δ π l 3.a t = 4 δ l 3.b t És így 3.0 és 3. egyenlőtlenségekből kapjuk, hogy a l = t+ δ l t 3.a l t δ 3.b Így tehát P m b > ɛ 4 4 < 4 ɛ+ l= t + ɛ+ l= t + ɛ l= t + 3 l t δ + l + t l=ɛ+ t l + l=ɛ t l l=ɛ+ δ l l 3.3a 3.3b 3.3c
= < = t l=ɛ t ɛ ɛ l l dl ɛ l dl Ekko ɛ = t d és t = d + log + választással ε P m b > t d < 3.3d 3.3e 3.3f 3.3g t d = ε 3.4 log+ ε azaz ϕ m P d P ϕ b t t + b m t t d b P m t t d t = P m b t d > ε 3.5 Mint azt má említettük a sajátéték becslés algoitmus alkalmazásának nehézségeinél, nem csak akko kapunk használható eedményt, ha pontosan u állapotba állítjuk a második egisztet ellenkező esetben az algoitmus a gyakolatban használhatatlan lenne. Ennek kaakteizációjaként szolgál az alábbi lemma. 3..4. Lemma. Az előbbiek szeint legyen t = d+ log + ε. Jelölje U unité opeáto egy otonomált sajátbázisát u, u,..., u K, melyekhez tatozó sajátétékek agumentuma ende ϕ, ϕ,..., ϕ K és jelölje j {,,..., K}-a I j = [ϕ j d ; ϕ j + d ] az intevallumot, amelye m t bizonyítottan legalább ε valószínűséggel esik, ha a második egiszte állapotát u = u j -e állítva elvégezzük a sajátéték becslés algoitmust. Legyen K ψ C K tetszőleges nomált vekto, és így ψ felíható ψ = c j u j alakban ahol j {,,..., K}-a c j C, és j= K c j =. Azt állítjuk, ekko ψ -e állítva a második j= egiszte állapotát u helyett, és így végehajtva a sajátéték becslést, m j {,,..., K}: P j I c t j ε 3.6 33
Bizonyítás. Jelölje j {,,..., K}-a és v C K nomált vektoa P m = j v annak a valószínűségét, hogy a második egiszte állapotát v -e állatva a sajátéték becslést végehajtva j-t méünk. Jelölje j {,,..., K}-a α j C t C K, α j = a t + k qubites endsze állapotát közvetlenül a méés előtt, ha a második egisztet u j állapota állítva hajtjuk vége a sajátéték becslést. Ekko a koábbiakból tudjuk, hogy j {,,..., K}-a α j = β j u j alakban előáll, ahol β j C t, β j =. Továbbá az első t qubit számítási bázisában méünk, azaz a használt POVM {E j } K j=, ahol j {,,..., K}-a E j = j; t j; t I k. Tehát j, l {,,..., K}-a P m = l u j = α j E l α j = β j u j l; t l; t I k β j u j = l; t β j 3.7 és így a 3..3 tételből j {,,..., K}-a m ε P I t j u j = P m = l u j = l; t β j 3.8 l t I j Z l t I j Z Továbbá mivel a sajátéték becslés a méés nélkül opeátoa lineáis, ezét l {,,..., K}-a K K P m = l ψ = c j α j E l c j α j 3.9a j = K = j,j = K = j,j = K = j,j = K = = j,j = j = c j c j α j E l α j 3.9b c j c j β j u j l; t l; t I k β j u j 3.9c c j c j β j l; t l; t β j u j u j 3.9d c j c j β j l; t l; t β j δ j,j 3.9e K c j l; t β j 3.9f j= És így a 3.8 és 3.9 egyenletekből p {,,..., K}-a 34
m P I t p ψ = l t I p Z j= ami éppen a lemma állítása volt. K c j l; t β j l t I p Z = c p l t I p Z c p l; t β p l; t β p c p ε 3.30 3..5. Megjegyzés. Láthattuk, hogy az algoitmus vizsgálata soán mind az invez- QFT áamköének hozzácsatolásako, mind a 3..4 lemmában fő szeepet játszott az a tulajdonság, hogy a második egiszte állapotát U egy sajátétékée állítva a második egiszte állapota megfelelő felíásban nem változik. Így ez tekinthető az algoitmus alapjának. 3..6. Megjegyzés. A dolgozat a sajátéték becslés algoitmus alkalmazásai közül csak a endszámítási poblémával foglalkozik, de a legtöbb ismet kvantumalgoitmus, amely exponenciálisan kisebb lépésszámú, mint a leggyosabb ismet klasszikus algoitmus a poblémáa, a sajátéték becslés algoitmust használja. A [5]-ös cikk algoitmusa többek között a sajátéték becslés szubutint alkalmazva fizikailag előállítja egy egyenletendsze megoldását polinomiálisan sok kapuval, így a megoldás egyes globális tulajdonságai exponenciálisan gyosabban kinyehetőek, mint a klasszikus esetben. 3.3. Rendszámítási pobléma Ebben a szekcióban a sajátéték becslés algoitmusséma alkalmazásáa adunk egy példát: a endszámítási poblémát oldjuk meg vele, azaz x Z, N egész, 0 x < N elatív pímeke szeetnénk meghatáozni x-hez tatozó modulo N-beli maadékosztály endjét szeetnénk meghatáozni vagy ezzel ekvivalens megfogalmazással: x Z N elem csopotbeli endjét, melyet o N x-szel jelölünk a későbbiekben az N alsó indexet elhagyva, ha végig ugyanazzal a modulussal dolgozunk. Tehát ügyesen megválasztjuk U unité opeátot, hogy összesen OlogN 3 elemi kvantumkapuval szimulálható legyen az összes c-u j opeáto j = 0,,..., t, és a U néhány sajátétékének agumentumáa kapott becslésből gyosan, és nagy biztonsággal meghatáozható legyen = ox; továbbá meg kell tudnunk oldanunk a második egiszte kezdőállapotának poblémáját is, amit a 3..4 lemma, és egy, az U opeáto sajátétékeie fennálló, speciális azonosság tesz lehetővé. 35
Legyen n = logn az N bitszáma-, és definiáljuk az U : C n C n lineáis opeátot a 0; n, ; n,..., n ; n bázison vett hatásával: legyen j {0,,..., N }: U j; n = jx mod N; n 3.3 illetve j {N, N +,... n }: U j; n = j; n 3.3 Ugyanúgy, mint QF T opeátoa, U opeátoa is édemes megmutatni, hogy unité opeáto, mielőtt továbbmegyünk. Valóban, mivel lnkox, N =, ezét j = 0,,... N - e a jx-eknek megfelelő maadékosztályok teljes maadékendszet alkotnak modulo N. Így tehát {j} N j=0 = {0,,..., N } = {jx mod N}N j=0, azaz 3.3 egyenletből { j; n }N {U j; n } N j=0, és 3.3 egyenletből { j; n }n j=n j=0 = = {U j; n }n j=n, azaz { j; n }n j=0 = {U j; n } n j=0. Tehát létezik olyan Cn -beli bázis, amelyet U lineáis opeáto egy C n -beli bázisba visz mégpedig a számítási bázist önmagába, az első N báziselemet pemutálva, azaz U opeáto unité. 3.3.. Állítás. j {0,,..., }-e u j = e πijk x k mod N; n C n vekto sajátvektoa az U opeátonak, e πij k=0 hozzátatozó sajátétékkel ahol = ox. Bizonyítás. Mivel x = = x 0, ezét j {0,,..., N }-e U u j = e πijk x k mod N x mod N; n k=0 k=0 3.33a = e πijk x k+ mod N; n 3.33b = = e πij = e πij = e πij = e πij k= e πijk x k mod N; n 3.33c k= e πijk x k mod N; n 3.33d k= e πijk x k mod N; n x 0 mod N; n + k=0 k= + x mod N; n e πijk x k mod N; n 3.33e 3.33f e πijk x k mod N; n 3.33g 36
= e πij u j 3.33h Így tehát ha valamely j {0,,..., }-e az u j vektoa alkalmaznánk a sajátéték becslés algoitmust, akko e πij agumentumáa, azaz j -e kapnánk egy közelítést. Ebből kellően pontos becsléssel, és j-t ismeve, meg tudnánk hatáozni -et. Azonban mégsem így fogunk eljáni, mivel ehhez a sajátéték becslés alkalmazásako a második egiszte állapotát u j -e kellene állítanunk, ami nemtiviális feladat. Ehelyett az alábbi azonosságot pontosabban annak egy következményét használjuk ki. 3.3.. Lemma. l {0,,..., }: e πijl u j = x l mod N; n 3.34 j=0 Bizonyítás. A 3.5 azonosságot felhasználva e πijl u j = j=0 = j=0 j,k=0 e πijl k=0 e πijk x k mod N; n 3.35a e πijl k x k mod N; n 3.35b = x k mod N; n k=0 j=0 = x k mod N; n k=0 j=0 e πijl k ε jl k = I l k x k mod N; n k=0 = I l k x k mod N; n k=0 3.35c 3.35d 3.35e 3.35f = x l mod N; n 3.35g 3.3.3. Következmény. Az előbbi lemmából l = 0-a kapjuk a következő azonosságot j=0 u j = ; n 3.36 37