Matematika 8. osztály

ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály III. rész: Függvények Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018

2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III. rész: Függvények............................ 3 28. Az egyenes arányosság............................. 3 29. A függvény fogalma............................... 4 30. A lineáris függvények.............................. 5 31. Az abszolútérték-függvény........................... 6 32. Függvények jellemzése............................. 7 33. Gyakorlás.................................... 8 34. Másodfokú függvények............................. 9 35. Gyakorlás.................................... 10 36. A fordított arányosság............................. 11 37. Összefoglalás.................................. 12 38. Témazáró dolgozat megírása.......................... 13

28. óra. Az egyenes arányosság 3. 28. óra Az egyenes arányosság Állítás. Az x és y változók között egyenes arányosság van, ha létezik egy a szám, melyre y = a x. Az a neve arányossági tényező. Megjegyzés. Ez úgy is értelmezhető, hogy a két szám hányadosa állandó. 1. Feladat. 28. Házi feladat. 28. Szorgalmi feladat.

4. 29. óra. A függvény fogalma 29. óra A függvény fogalma Def (Függvény). Legyen X és Y nemüres halmaz. Ha X minden eleméhez egyértelműen hozzárendeljük Y valamilyen elemét, akkor a hozzárendelést függvénynek nevezzük. Jele: X Y Def. Az X az értelmezési tartomány, Y a képhalmaz. A képhalmaznak azon részhalmazát, amelynek elemi szerepelnek a hozzárendelésben, értékkészletnek hívjuk. Példa. Az osztályban mindenkihez rendeljük hozzá testvéreinek számát! Def (Szám-szám függvény). Az É.T. és a képhalmaz is számhalmaz. Példa. Minden számhoz rendeljük hozzá az ellentettjét! Állítás. Függvények megadása többféleképpen lehetséges: a. ) Formulával: f : N N; x 3x + 5 b. ) Utasítással: u : R R; x x számjegyeinek összege c. ) Táblázattal d. ) Grafikonnal 2. Feladat. Adjuk meg a következő függvényeket és ábrázoljuk is őket! a. ) Minden természetes számhoz ötöt rendel. b. ) Minden egész számhoz a szám háromszorosát rendeli. c. ) Minden természetes számhoz önmaga kétszeresénél egyel többet rendel. d. ) Minden valós számhoz a szám négyzetét rendeli. e. ) Páros számokhoz egyet, páratlan számokhoz nullát rendel. 29. Házi feladat. Adjunk meg 4 különböző függvényt! 29. Szorgalmi feladat. Adjunk meg egy függvényt, mely racionális számokhoz 1-et, irracionális számokhoz 0-át rendel.

30. óra. A lineáris függvények 5. 30. óra A lineáris függvények Def (Lineáris függvény). Az x a x + b alakban megadott függvény. 3. Feladat. Határozzuk meg a függvények grafikonját értéktáblázat segítségével! a. ) g : R R; x 3 b. ) f : R R; x 2x + 1 c. ) g : R R; x 4x Def. A lineáris függvényeket a 0 esetén elsőfokú függvényeknek hívjuk, és a = 0 esetben konstans függvényeknek. Megjegyzés. Az egyenes arányosságok olyan elsőfokú függvények, melyekre b = 0. 4. Feladat. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket grafikonját! a. ) h : R R; x 3x + 6 b. ) i : R R; x 2x 4 c. ) j : R R; x 5 3 x d. ) k : R R; x 4 2 5 x Megjegyzés. Az a neve meredekség, a b neve y tengelymetszet. 5. Feladat. Add meg a hozzárendelési szabályt a következő függvények esetén! a. ) A függvénygrafikon az origón halad át, és meredeksége 2. b. ) A függvénygrafikon áthalad az origón és 2-őt jobbra lépve 3-at emelkedik. c. ) A függvénygrafikon áthalad a (0;4) ponton és 3-at jobbra lépve 5-öt süllyed. d. ) A függvénygrafikon áthalad az (5;2) ponton és 1-et jobbra lépve 2-őt süllyed. e. ) A függvénygrafikon áthalad az (3;1) és (6;2) pontokon. 30. Házi feladat. Add meg a hozzárendelési szabályt, ha a függvény által leírt egyenes áthalad a (-9;6) és (4;-7) pontokon! 30. Szorgalmi feladat. Ábrázold következő a függvényt: x 4x 10 2x 5

6. 31. óra. Az abszolútérték-függvény 31. óra Az abszolútérték-függvény Def. Az x szám abszolút értéke a következőt jelenti: x, ha x 0 x = x, ha x < 0 6. Feladat. Számítsuk ki a következő abszolútértékeket! a. ) 5 7 c. ) 5 1 2 b. ) 5 7 d. ) 4 + 3 5 + 4 7. Feladat. Ábrázoljuk értéktáblázat segítségével az alábbi függvényeket! a. ) x d. ) x + 3 b. ) x + 1 e. ) x 4 c. ) x 2 f. ) x 5 + 6 8. Feladat. Ábrázoljuk értéktáblázat segítségével az alábbi függvényeket! a. ) 2 x d. ) x + 3 + 4 b. ) x c. ) 5 3 x + 1 e. ) 0, 75 x 2 f. ) x + 3 2 31. Házi feladat. Ábrázoljuk az alábbi függvényt! f : R R; x 3 x 1 + 4 2 31. Szorgalmi feladat. Ábrázoljuk az alábbi függvényt! f : R R; x 4 3 x 3 2 + 1

32. óra. Függvények jellemzése 7. 32. óra Függvények jellemzése Értelmezési tartomány: A függvény változójának összes lehetséges értéke. Értékkészlet: Az összes lehetséges értékének halmaza. Zérushely: Az ÉT azon részhalmaza, amelyhez a függvény 0 értéket rendel. Menete: Az f : X Y ; x f(x) függvény az [x, y] X intervallumon értelmezve van és az intervallum minden pontjára teljesül, hogy x < y esetén f(x) f(x), akkor a függvény monoton nő. f(x) f(x), akkor a függvény monoton csökkenő. f(x) < f(x), akkor a függvény szigorúan monoton nő. f(x) > f(x), akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő. Szélső érték: Az f : X Y ; x f(x) függvénynek x 0 X helyen globális maximuma van, ha x X esetén f(x 0 ) f(x) globális minimuma van, ha x X esetén f(x 0 ) f(x) lokális maximuma van, ha x 0 közelében lévő x-ek esetén f(x 0 ) f(x) globális minimuma van, ha x 0 közelében lévő x-ek esetén f(x 0 ) f(x) 9. Feladat. Jellemezzük korábban megrajzolt függvényeket! 32. Házi feladat. Jellemezzünk a 31. Házi feladat függvényét! 32. Szorgalmi feladat. Jellemezzünk a 31. Szorgalmi feladat függvényét!

8. 33. óra. Gyakorlás 33. óra Gyakorlás 10. Feladat. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! a. ) f : R R; f(x) = 3x 4 b. ) g : [ 6; 6[ R; g(x) = x 2 + 3 c. ) h :] 8; 8] R; h(x) = x + 2 6 d. ) i : [ 2; 2] R; i(x) = 2x + 4 33. Házi feladat. Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényt: e : [ 1; 5] R; e(x) = 2 x 2 6 33. Szorgalmi feladat. Adjuk meg a hozzárendelési szabályát annak a függvénynek, mely a pozitív számokhoz 1-et, a negatívokhoz -1-et, 0-hoz pedig nullát rendel. Ábrázoljuk és jellemezzük!

34. óra. Másodfokú függvények 9. 34. óra Másodfokú függvények 11. Feladat. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! a. ) f : R R; f(x) = x 2 c. ) h : R R; h(x) = (x + 2) 2 b. ) g : R R; g(x) = x 2 + 1 d. ) i : R R; i(x) = (x 3) 2 4 12. Feladat. Ábrázold az alábbi függvényeket a valós számok halmazán! a. ) f(x) = 2 x 2 c. ) h(x) = 3 (x 5) 2 3 b. ) g(x) = x 2 + 10x + 20 d. ) i(x) = 4x 2 16x + 12 34. Házi feladat. Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényt: R R; f(x) = 2 (x 2) 2 8 34. Szorgalmi feladat. Találjunk ki saját másodfokú függvényt és jellemezzük!

10. 35. óra. Gyakorlás 35. óra Gyakorlás 13. Feladat. Adj meg hozzárendelési szabállyal egy saját függvényt! Cseréld el valakivel a lapot. A kapott függvényt rajzold le, majd vágd le a lap tetejéről a hozzárendelés szabályát! Cseréld el valakivel a grafikont. A kapott grafikonnak írd le a hozzárendelési szabályát! Jellemezd a függvényt! 35. Házi feladat. Jellemezz egy társad által megadott függvényt! 35. Szorgalmi feladat. Adj meg két olyan eltérő függényt, melynek az 5 tanult tulajdonsága teljesen azonos!

36. óra. A fordított arányosság 11. 36. óra A fordított arányosság Def. Két mennyiség fordítottan arányos, ha szorzatuk állandó. 14. Feladat. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! a. ) f : R \ {0} R; f(x) = 1 x b. ) g : R \ {5} R; g(x) = 1 x 5 + 1 c. ) h : R \ { 3} R; h(x) = 2 x + 3 1 d. ) i : R \ { 2} R; i(x) = 1 x + 2 4 36. Házi feladat. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt! j : R \ {4} R; j(x) = 1 x 4 + 2 36. Szorgalmi feladat. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt! k : R \ {3} R; k(x) = 1 3 x + 1

12. 37. óra. Összefoglalás 37. óra Összefoglalás 15. Feladat. Ábrázold az alábbi függvényeket és jellemezd őket! a. ) f : R + R + ; f(x) = 8 x b. ) g : [ 6; 6[ R; g(x) = 2 3 x 3 4 c. ) h : R R; h(x) = x 2 16x + 24 d. ) i : R \ { 2} R; i(x) = 2 x + 2 4 37. Házi feladat. Kiválasztani azt a függvénytípust, ami számodra a legnehezebb és abból saját magadnak alkotni egy függvényt, majd jellemezni. 37. Szorgalmi feladat. Alkoss egy függvényt, melyben az eltolási transzformációkat nem egész számokkal végezzük el! Ábrázold és jellemezd külön lapon a függvényt!

38. óra. Témazáró dolgozat megírása 13. 38. óra Témazáró dolgozat megírása

14. Irodalomjegyzék Irodalomjegyzék [1] Vörös József honlapja: http://fizika.mechatronika.hu [2] Sokszínű Matematika tankönyv 8. osztály https://www.mozaik.info.hu/ Homepage/Mozaportal/MPcont.php?bid=MS-2308 [3] Csahóczi Erzsébet Csatár Katalin Kovács Csongorné. Morvai Éva Széplaki Györgyné Szeredi Éva: Matematika feladatgyűjtemény 8. [4] Bartha Gábor - Bogdán Zoltán - Duró Lajosné dr. - Dr. Gyapjas Ferencné - Hack Frigyes - Dr. Kántor Sándorné, Dr. Korányi Erzsébet: Matematika feladatgyűjtemény I.