8. Mértékelméletek június 14.

8. Mértékelméletek 2004. június 4.. Konvenciók Legyen M, η, R) egy speciális relativisztikus téridőmodell. Hogy ne kelljen a dimenziókkal bajlódni, minden legyen valós értékű.) Klasszikusan lehetne általánosabban sokaságokon vizsgálni, de szerintem most felesleges, mert kvantálni amúgyis csak affin téren lehet. A különböző vektorterekben levő objektumok neve mellé, ahol szükséges, a jobb érthetőség kedvéért indexeket teszek. De ezek nem valami koordinátázásbeli indexek, és nem azt jelentik, hogy a kétszer előforduló indexekre összegezni kell. Csupán arra utal, hogy melyik mennyiseg melyik vektortérben van, es azt könnyíti meg leolvasni, hogy mi mivel hogyan van kontrahálva. A vektortérbeli indexek fölül, a kovektortérbeliek alul lesznek. A különböző vektorterekben különböző típusú indexet használok W és U nem fog egyszerre előfordulni): A-ban: a, b, c, d, e V-ben: p, q, r, s, t, u, v W-ben és U-ban: α, β, γ, δ M-ben: µ, ν, κ, λ Például ha azt írom: F a aµν, akkor abból az látszik, hogy F az A M M -ban van. Ha ezt írom: Kaµα a Bαβ, akkor ez azt jelenti, hogy a K B-re van alkalmazva az id A id M Tr W W id W. Ha valóban egy adott bázisban kell valamit felírni, az összegző indexek mindig i, j, k, l, m lesznek, és a szuma mindig ki lesz írva. Például ha a b A, és t b i A i =,..., dim A) egy bázis, ai meg az a koordinátái ebben a bázisban, akkor a = dim A a i t i. 2. Klasszikus mértékelméletek A klasszikus mezőelméleteket Lagrange-függvénnyel szoktuk leírni. Legyen W egy véges dimenziós vektortér K fölött. A mezőelmélet Lagrange-függvénye egy L: M W W M R folytonosan differenciálható függvény. Az M legyen a nulladik változója, a W az első és W M a második. Keressük azon φ: M W kétszer folytonosan differenciálható függvényeket, amelyekre a S[φ] = Lid M, φ, φ) dλ M M hatás stacionárius. Itt lehetne szórakozni azzal, hogy nem az egész térre vesszük az integrált, hanem kompakt halmazokra, de szerintem itt most nem érdemes.) A deriválást -lal jelölöm, a D a kovariáns deriválásra van fönntartva. A megoldások pontosan az Euler Lagrange-egyenlet megoldásai lesznek: [ ] ν 2,βν 2,β L id M, φ, φ) =,β L) id M, φ, φ). Ezt általában ebbe az alakba írják: ν L ν φ β ) = L φ β,

de itt akkor hozzá kell tenni, hogy a balodalon az első az valójában egy totális parciális deriválás. Persze ez pontosan azt jelenti, ami a felette levő sorban van, hogy előszor parciálisad deriválni kell az L-et, utána behelyettesíteni a φ-t, es utána újra deriválni az egészet. Legyen L φ = Lid M, φ, φ): M R. µ L φ = 0,µ L) id M, φ, φ) +,β L) id M, φ, φ) µ φ β + 2,βν 2,β L id M, φ, φ) µ ν φ β = ha φ kielégíti az Euler Lagrange-egyenletet, akkor [ ] = 0,µ L) id M, φ, φ) + ν 2,βν 2,β L id M, φ, φ) µ φ β + 2,βν 2,β L id M, φ, φ) ν µ φ β [ = 0,µ L) id M, φ, φ) + ν 2,βν 2,β L id M, φ, φ) µ φ β] Azaz [ ] 0,µ L) id M, φ, φ) = ν 2,βν 2,β L id M, φ, φ) µ φ β δµlid ν [ M, φ, φ) = ν Θ ν νµ φ) ]. Itt Θ ν νµ φ) a φ mezőkonfigurációhoz tartozó kanonikus energiaimpulzus tenzor. Ha tehát φ kielégíti az Euler [ Lagrange-egyenletet, és 0 L = 0 azaz a Lagrenge-függvény a helytől explicit módon nem függ), akkor ν Θ ν νµ φ) ] = 0. A szokásosabb felírásmód: Θ ν L νµ = ν φ β ) µφ β δµl ν 2.. Globális belső szimmetria Legyen G egy n dimenziós összefüggő Lie-csoport, és A legyen a Lie-algebrája. Legyen R: G LinW) egy sima ábrázolás. Legyen r : A LinW) a Lie-algebrának az R-hez tartozó ábrázolása, azaz ha a A, akkor Re a ) = e ra). A baloldalon a Lie-algebra exponenciális van, a jobboldalon pedig a LinW)-beli exponenciális.) r egy lineáris leképezés, tehát r W W A, és így ha a A, akkor ra) α αβ = rα αβb ab. Azt mondjuk, hogy a Lagrange-függvény invariáns G, R)-re, ha L = L id M, Rg), Rg) id M ) g G. A id-eket nem fogom mindenhova kiírni, csak ahol különben zavaró lenne. Mivel G összefüggő, ezért az, hogy L invariáns G, R)-re egyenértékű azzal, hogy minden g G pontban az L id M, Rg), Rg) id M )-nek a g szerinti deriváltja nulla. Ezt kicsit szebben a következőképpen lehet megfogalmazni. Legyen g G rögzített. A g-nek van olyan környezete, hogy abban a környezetben levő minden g elem egyértelműen írható fel g = g e a alakban, ahol a befutja a 0 A egy környezetét. Tehát az, hogy L invariáns G, R)-re, a g pontban így írható: a b Lid M, Rg a))φ, Rg a)) φ) = 0 Legyen L invariáns G, R)-re. Ekkor a következő levezetés végezhető: 0 = a b Lid M, Rg a))φ, Rg a)) φ) = =,α L) id M, Rg a))φ, Rg a)) φ) + 2,αν 2,α L id M, Rg a))φ, Rg a)) φ) a b Rg) α αβ era) ) β βγ φγ) + a b Rg) α αβ era) ) β βγ νφ γ) = Ha L invariáns G, R)-re, akkor a parciális deriváltjai is, ezért azok hasába már nem kell kiírni a g hatását. =,α L) id M, φ, φ) Rg) α αβe ra) ) β βγ rγ γδb φδ + 2,αν 2,α L id M, φ, φ) Rg) αβe α ra) ) β βγ rγ γδb νφ δ Vehetjük azt a speciális esetet, hogy g a csoport egységeleme. Ekkor Rg) α αβ era) ) β βγ = δα γ. [ 0 = rαβb α,α L) id M, φ, φ) φ β + 2,αν 2,α L id M, φ, φ) ν φ β] = 2

ha φ kielégíti az Euler Lagrange-egyenletet = ν [ 2,αν 2,α L ) id M, φ, φ) r α αβb φb] = ν j ν b Itt j : M A M a Noether-áram. Annyi lineárisan független van belőle, ahány dimenziós a Lie-algebra, azaz ahány dimenziós a szimmetriacsoport. Ha tehát φ kielégíti az E L-egynletet, akkor van n lineárisan független megmaradó áram. A levezetésből az is látszik, hogy ezen áramok megmaradása független attól, hogy az L függ-e explicit módon a helytől ellentétben az energiaimpulzus tenzorral). Ezt a szokásosabb alakra a következőképpen hozhatjuk. Legyen t i i =,..., n) egy bázis A-ban. Ekkor T i ) α αβ := ırt i)) αβ α = ırα αβb tb i. A szokásos elnevezés szerint az i-edik Noether-áram j i,ν := ıj ν b t b i = 2.2. A Lie-algebra struktúraállandói Ha a, b A, akkor a kommutátoruk megkapható 2,αν 2,α L id M, φ, φ) T i ) αβφ α β L = ν φ α ) T i) αβφ α β. [a, b] a = K a abc ab b c, ahol K A A A. Az antiszimmetria és a Jacobi-azonosság miatt K a abc = Ka acb K a abck c cde + K a adck c ceb + K a aeck c cbd = 0. Ha választunk A-ban egy t i i =,..., n) bázist, akkor a struktúraállandókat másképpen is megkaphatjuk: [t i, t j ] = Ckij k t k, k= i, j =,..., n Az antiszimmetria és a Jacobi-azonosság miatt Clim l Cm mjk + n Ckij k = Ck kji i, j, k =,..., n C l ljm Cm mki + n m= m= m= C l lkm Cm mij = 0, i, j, k, l =,..., n Legyen d i a duális bázis A -ban, azaz t b i dk b = δk i következő: és n tb i di c = δb c. Ekkor C és K között a kapcsolat a C k kij = K a abcd k at b it c j i, j, k =,..., n K a abc = i,j,k C k kijt a kd i bd j c, azaz C pontosan a K-nak a t i bázisbeli koordinátázott alakja. 2.3. A globális szimmetria lokálissá tétele Legyenek V és U véges dimenziós vektorterek, V Hilbert-tér. G egy kompakt egyszerű Lie-csoport, R: G LinV) differenciálható unitér ábrázolás, r : A LinV) a hozzá tartozó Lie-algebra ábrázolás. Legyen G = { M G sima}, a csoportművelet a pontonkénti szorzás. Ha h G, akkor Rh): {M V U kétszer folytonosan diffható} {M V U kétszer folytonosan diffható} és Rh)φ) x) := Rhx))φx). 3

Ha a b aµ : M A M egy Lie-algebra értékű kovektormező, akkor legyen ra) = r id M ) a. A hullámot a továbbiakban nem írom ki. Legyen az L: M V U V U M R Lagrange-függvény globálisan invariáns G, R)-re, azaz másképp L = L id M, Rg) id U, Rg) id U id M ) g G, L φ = L Rg)φ g G. Azt akarjuk elérni, hogy lokálisan is invariáns legyen, azaz invariáns legyen a G, R)-re is, azaz L φ = L Rh)φ h G is teljesüljön. L Rh)φ x) = L x, Rhx)) p pqφ qα x), µ Rhx)) p pq φ qα x) )). µ Rh) p pq φ qα) = µ Rh) p pq ) φ qα + Rh) p pq µφ qα, úgyhogy az első taggal csinálni kell valamit. Vegyünk egy aaµ b : M A M sima mezőt, és egy g csatolási állandót. Ennek segítségével definiáljuk a kovariáns deriválást így: Da,pqµ φqα := µ φ pα + g ra µ ) p pq φqα = µ δq p + g ra µ) pq p ) φ qα Szokásosabb azonban a helyett koordinátákkal dolgozni. ahol Ekkor a kovariáns deriválás így írható: indexek nélkül Itt a T i a hermitikus generátorok : Egy h G hasson az a-n így: ra µ ) p pq = ı n A i µ Tip ipq, A i µ : M M i =,..., n n db kovektormező. D A,p A,pqµ φqα = µ φ pα ıg D A,µ φ = µ ıg [T i, T j ] = ı k A i µ Tip ipq φqα, ) A i µt i φ. C k kijt k Rh)a) x) := Adhx)) ax) g Ad h x) ) µhx). Az első tagban Ad az adjungált ábrázolást jelenti, a második tagban pedig a kanonikus csoporthatást. Az A-t most úgy kepzeltük el, mint a G-nek az e-beli érintőtere. Így a második tagban a h deriváltját visszahúztuk a kanonikus csoporthatás szerint az e-beli érintőtérbe. Ezt valószínűleg nem kell tudni.) Az a lényeg, hogy az R ábrázolást ráengedve ez hogyan néz ki: r [Rh)a µ ) x)] = Rhx)) ra µ x)) Rhx)) g µrhx))) Rhx)), azaz a koordinátás alakban A i µ x)t i = Rhx)) A i µ T i Rhx)) ı g µrhx))) Rhx)). i i 4

Ekkor a kovariáns derivált így transzformálódik: D a,µφ = µ Rh) φ) + g [Rh) ra µ ) Rh) g ] µrh)) Rh) Rh) φ = Rh) [ µ φ + g ra µ )φ] Ha L a,φ x) = L x, φx), D a,µ φ)x)), akkor tehát L a,φ x) = L a,φ x), azaz ez a Lagrange-függvény már invariáns a lokális mértéktranszformációkra is. Már csak az a mértékmezőnek kell dinamika. Legyen f : M A M M, f b bµν := µa b bν νa b bµ + g [a µ, a ν ] b, a térerősségtenzor. Erre az ábrázolást ráengedve legyen F: M LinV) M M, F := ı r id M id M ) f. F µν = ı g [D a,µ, D a,ν ] = ı g [ µ + g ra µ ), ν + g ra ν )] = Legyen F i µν i =,..., n) az F µν koordinátái: = ı µ ra ν ) ı ν ra µ ) + ıg [ra µ ), ra ν )] = n n = µ A i νt i ν A i µt i + g CikjA i k µa j ν T i. j,k Ekkor az térerősségtenzor koordinátás alakja: F µν = FµνT i i. F i µν = µ A i ν ν A i µ + g j,k C i ikja k µa j ν. Mértéktranszformációk során a térerősségtenzor így transzformálódik: F µν = Rh) F µν Rh) A mértékmezőnek a dinamikáját adó Lagrange-függvény legyen L a = 2 ηµν η κλ Kf µν, f κλ ). Itt K : A A A, Ka, b) = Tr ada) adb)) az A Cartan Killing-formája, ad pedig az adjungált ábrázolása A-nak. A Cartan Killing-forma ellentettje szolgáltat egy skalárszorzatot a Lie-algebrán. Ezzel ortogonális, és megfelelően normált bázist választhatunk A-n. Ebben a koordinátázásban a hatás koordinátás alakban: Tehát az eredeti Lagrange-függvény helyett most már a L a = 4 Fµν i F iµν L φ = Lid M, φ, φ) L φ,a = Lid M, φ, D A φ) 4 Fµν i F iµν Lagrange-függvényünk van. Ez már lokálisan mértékinvariáns, és a mértékmezők dinamikáját is tartalmazza. Ha a G csoport nem egyszerű, hanem egyszerű csoportok direkt szorzata G = G G k, akkor a Liealgebrája a megfelelő csoportok Lie-algebrájának direkt összege lesz A = A A k. Ekkor minden egyes egyszerű komponenshez külön csatolási állandó rendelhető, tehát ekkor k darab független g,..., g k csatolási állandót kell bevezetni. Például gyenge kcsh.: G = SU2) U) g, g.) 5

2.4. Példák 2.4.. Skalár elektrodinamika Itt φ: M C, azaz V = C és U = C. Az eredeti Lagrange-függvény: L φ = µ φ) µ φ m 2 φ φ Ennek van egy globális U) szimmetriája, az önábrázolásban: φ = e ıα φ. Ennek megfelelően a hermitikus generátor az. A megmaradó Noether-áram j µ = ıe µ φ φ φ µ φ). A kovariáns deriválás a térerősségtenzor Így a teljes Lagrange-függvény D µ = µ ıea µ, F µν = µ A ν ν A µ. L φ,a = D µ φ) D µ φ m 2 φ φ 4 µa ν ν A µ ) µ A ν ν A µ ) = = µ φ) µ φ m 2 φ φ + A µ j µ + e 2 A µ A µ φ φ 4 µa ν ν A µ ) µ A ν ν A µ ). 2.4.2. Elektrodinamika Itt ψ : M C 4, V = C és U = C 4. Az eredeti Lagrange-függvény L ψ = ψ ıγ µ µ m)ψ. Ennek is ugyanúgy globális U) szimmetriája van az önábrázolásban. A Noether-áram j µ = e ψγ µ ψ. A kovariáns deriválás és a térerősség ugyanaz, mint skalár esetben. A mértékinvariáns Lagrange-függvény L ψ,a = ψ ıγ µ µ m)ψ + j µ A µ 4 µa ν ν A µ ) µ A ν ν A µ ). 2.4.3. QCD A QCD esetében G = SU3), méghozzá a színben, azaz V = C 3szín). C 3szín) 4spin) 6íz). Az eredeti Lagrange-függvény U = C 4spin) 6íz), így ψ : M L ψ = ψ ıγ µ µ m)ψ. Az m színben és spinben az identitás, az ízben pedig pozitív definit önadjungált azaz a tömegeket tartalmazza sajátértékként). A megmaradó Noether-áram j i,µ = g ψγ µ λi 2 ψ, ahol λ i a Gell Mann-mátrixok, és a szín indexekben hatnak. λ =, λ 2 = ı ı, λ 3 = λ 5 = ı ı, λ 6 =, λ 7 = ı, λ 4 = ı, λ 8 = 3,. 2 6

A kovariáns deriválás a térerősség D µ = µ ıg 8 F i µν = µ A i ν ν A i µ ıg j,k λ i 2 Ai µ, f ijk A j µa k ν, ahol f ijk az SU3) struktúraállandói. A teljes Lagrange-függvény így L ψ,a = ψ ıγ µ µ m)ψ + 8 j i,µ A i µ 4 g f ijk µ A i ) ν A j,µ A k,ν g2 4 i,j,k 3. Mértékelméletek kvantálása 8 µ A i ν νa i µ ) µ A i,ν ν A i,µ ) i,j,k,l,m f ijk f ilm A j µ Ak ν Al,µ A m,ν. Ez az a rész, amit nem teljesen értek.) Először nézzük tiszta mértékelméletre. Z[J] a generátorfunkcionál. Ekkor a propagátorok a következőképpen számolhatók. 0 T A a µ x )... A an µ n x n ) ) 0 = ı)n δ n Z[J] Z[0] δjµ a x )... δjµ an n x n ) ) J=0 A generátorfunkcionál tiszta mértékelméletre naívul [ Z[J] = [da] exp ı d 4 x L + A a µj a,µ)]. L és [da] = [ ] µ,a da a µ mértékinvariáns, A a µ J a,µ azonban nem, így a propagátorok nem lesznek mértékinvariánsak. Az összes konfigurációra integrálva egy felesleges végtelen szorzófaktor jön be. A [da] mérték mértékinvariáns, ezért elegendő a G minden orbitjából egy elemet kiválasztani, és úgy végrehajtani az ingerált. Magyarul az orbitokra kell integrálni.) Az A a µ x)-nek a θ paraméterekkel vett mértéktranszformáljta legyen A θ)a µ. A mértékrögzítő feltétel legyen G µ A θ)a µ x) = B a x), ahol G µ és B a adottak. Erről fel kell tennünk, hogy minden orbitból pontosan egy reprezentánst választ ki. Ez kis terek esetében általában igaz, nagy terek esetére általában több megoldás is van: Gribov ambiguity. A Feynman szabályok definiálásához azonban elég, mivel a perturbációszámítás úgyis gyenge mező közelítésben működik. G [A]-t definiáljuk úgy, hogy G [A] ) [dg] δ G µ A θ)a µ x) B a x) = a,x legyen, ahol [dg] = a [dθa ] a G csoportra vett funkcionálintegrál. Ezeket beírva [da θ Z[0] = 0 ] [ G A θ 0 ] e ısa θ 0 ) [dg] δ G µ A a µ x) Ba x) ). A produktum utáni rész nem függ θ-tól. A a,x [dg] elvégezhető, de végtelennel egyenlő. A Faddeev Popov recept az, hogy ezt az integrált egyszerűen elhagyjuk. Z[0] = [da] G [A] e ısa) δ G µ A a µx) B a x) ) a,x Ha M G x, y) ab = δgµ A θ)a µ x) δθ b y) 7

akkor G [A] = [dg] δ Gµ A a µ x) Ba x) ) = det M G. Z-t egy konstanssal nyugodtan beszorozhatjuk, attól semmi nem változik. Ezért megszorozzuk [ [db] exp ı 2α dx B a x)) 2 ] -tel, és ekkor kapjuk, hogy Z[J] = [ [da] det M G exp ı d 4 x L )] G µ A a ) 2 µ + A a 2α µ J a,µ. Itt 2α G µ A a 2 µ a mértékrögzítő tag. Colulomb-mérték: és ekkor Lorentz mérték kovariáns mérték): és ekkor g Gµ = 0, ) M G x, y) ab = δ ab 2 gf abc A c µ) δ 4 x y). g Gµ = µ M G x, y) ab = δ ab gf abc µ A c µ) δ 4 x y). A Lorentz mértéket fogjuk használni. Már csak a det M G -vel kell valamit csinalni. Ha ψ és ψ Grassmannváltozók, akkor igaz, hogy [dψ] [ d ψ ] [ exp ] d 4 x d 4 y ψx)ax, y)ψy) = det A. Ezért = [ ] det M G = [dχ] [dχ ] exp ı d 4 x d 4 y χ a x)m G x, y) ab χ b y) = [ [dχ] [dχ ] exp ı d 4 x d 4 y χ a x) ] δ ab gf abc µ A c µ) δ 4 x y)χ b y) = [ = [dχ] [dχ ] exp ı d 4 x µ χ a x)) ] δ ab µ gf abc A c µ) χ b x) = [ ] = [dχ] [dχ ] exp ı d 4 x µ χ a x)) Dµ ab χb x). A χ a és χ a lesznek a ghost-terek. Mivel eleve a determináns reprezentációjára vezettük be ezeket, nem tartoznak hozzájuk aszimptotikus részecskék, szerepük csupán annyi, hogy a determináns perturbációs sorba fejtését lehetővé tegyék. A Poincaré csoport alatt egyébként skalárként viselkednek, ami gondot is okozna, ha fizikai mezőként kellene értelmezni ezeket a ghost mezőket, mert amúgy meg Grassmann-változók. Mivel nem tartoznak hozzájuk aszimptotikus állapotok, ezért a perturbációs kifejtésben a szellem mezők csak belső vonalakként jelentkezhetnek, és könnyen látható, hogy csak hurkokban tudnak járulékot adni. A Dµ ab a ghost-terek kovariáns deriválása. Ebben nem az eredeti R ábrázolásbeli generátorok szerepelnek, hanem az R-hez adjungált ábrázolásbeli generátorok. A teljes generátorfunkcionál tehát a következő alakra hozható. Z[J, ξ, ξ, η, η] = [da] [dχ] [dχ ] [dψ] [ d ψ ] [ exp ı d 4 x L + A a µ J a,µ + χ a ξ a + ξ a χ a + ψη + ηψ )] 8

Itt ξ, ξ, η és η Grassmann változók. A ξ a χ szellemtereknek a forrása, az η a fermionterek forrása. Az L Lagrange-függvény pedig a következő tagokat tartalmazza: L = L G + L GF + L F P + L F L G = 4 F a µνf a,µν a gauge-tér dinamikája L GF = µ A a ) 2 µ 2α gauge fixing L F P = µ χ a ) Dµ ab χ b Faddeev-Popov L F = ψ ıγ µ D µ m) ψ fermionok Ebből lehet leolvasni, hogy milyen vertexek vannak a perturbációs sorban. Legyen L 0 a csak kvadratikus tagokat tartalmazó, szabad Lagrange-függvény amely g = 0 esetén van): L 0 = L G 0 + LF P 0 + L F 0 L G 0 = µa a ν νa a µ ) µ A a,ν ν A a,µ ) L F P 0 = µ χ a ) µ χ a L F 0 = ψ ıγ µ µ m) ψ A kölcsönhatási Lagrange függvény a többi. A szabad generátorfunkcionál L kh = L L 0 = Z 0 [J, ξ, ξ, η, η] = Z0 G [J] Z0 F P [ξ, ξ ] Z0 F [η, η] = [da] [dχ] [dχ ] [dψ] [ d ψ ] [ exp ı d 4 x L 0 + A a µ J a,µ + χ a ξ a + ξ a χ a + ψη + ηψ )]. Ennek segítségével a teljes generátorfunkcionál [ )] δ Z[J, ξ, ξ, η, η] = exp ı d 4 x L kh ıδj a,µ, δ ıδξ a, δ ıδ ξ a ), δ ıδ η, δ Z 0 [J, ξ, ξ, η, η] = ıδ η) { ı n [ )] } δ = + d 4 x L kh n! ıδj a,µ, δ ıδξ a, δ ıδ ξ a ), δ ıδ η, δ Z 0 [J, ξ, ξ, η, η] 2) ıδ η) n= A perturbációs sort N-edik rendig úgy kapjuk meg, hogy a szummában N-ig megyünk el. Egy propagátort N- edrendig sorfejtve úgy kapunk meg, hogy az ) kifejezésbe a 2) kepletben levő cuccost írjuk be, és a szummát N-edik tagig írjuk ki. 9