Valószínűségszámítás és statisztika a fizikában március 12.

Valószínűségszámítás és statisztika a fizikában 2019. március 12.

MOMENTUMOK, GENERÁTORFÜGGVÉNY, KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY

általános definíciója Definíció: A X valószínűségi változó k-adik momentuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószínűségi változó k-adik centrális momentuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első momentuma? Mi X második centrális momentuma?

általános definíciója Definíció: A X valószínűségi változó k-adik momentuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószínűségi változó k-adik centrális momentuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első momentuma? A várható érték! Mi X második centrális momentuma?

általános definíciója Definíció: A X valószínűségi változó k-adik momentuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószínűségi változó k-adik centrális momentuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első momentuma? A várható érték! Mi X második centrális momentuma? A szórásnégyzet!

Definíció: Ha X diszkrét valószínűségi változó, mely nem negatív egész számokat vehet fel a P(X = 0) = p 0, P(X = 1) = p 1, P(X = k) = p k, eloszlással, akkor a hozzá tartozó generátor: azaz formálisan G X(z) = z X. G X(z) = p kz k, k=0

és momentumok Ha G(z) = p kz k, akkor k=0 Mi lesz G(1)? Hogyan lehet p k-t a G(z) segítségével kifejezni? Hogyan lehet a X = k várható értéket G(z) segítségével kifejezni?

és momentumok Ha G(z) = p kz k, akkor k=0 Mi lesz G(1)? Hogyan lehet p k-t a G(z) segítségével kifejezni? Hogyan lehet a X = k várható értéket G(z) segítségével kifejezni? és momentumok G(1) = 1, p k = 1 k! X = k = d k G(z), dz k z=0 k=0 X n = k n = k=0 kp k = dg(z) = G (1), dz z=1 k n p k = [z z ] n G(z) z=1

és momentumok és momentumok A várható érték és szórás kifejezése a generátor segítségével: X = k = kp k = dg(z) = G (1), dz z=1 k=0 σ 2 (X) = X 2 X 2 = [z z ] 2 G(z) z=1 G (1) 2 = [z z ] zg (1) G (1) 2 = G (1) + G (1) G (1) 2. z=1

és momentumok eloszlás a a momentumok generátor Az összes momentum ismerete egyenlő az eloszlás ismeretével!

Példák Példa Korábban láttuk, hogy a binomiális eloszlás számos fontos problémánál felbukkan, (pl. valszám vizsgát sikeresen lerakó hallgatók száma, véletlen gráf fokszámeloszlása, stb.). Mi lesz a binomiális eloszlás generátore? Bernoulli problémája Binomiális eloszlás I. Várható érték Szórás Binomiális eloszlás II.

Példák Példa Korábban láttuk, hogy a binomiális eloszlás számos fontos problémánál felbukkan, (pl. valszám vizsgát sikeresen lerakó hallgatók száma, véletlen gráf fokszámeloszlása, stb.). Mi lesz a binomiális eloszlás generátore? P(X = k) = p k = ( N k )pk (1 p) N k, G X(z) = N k=0 N ( N k )pk (1 p) N k z k = ( N k )(pz)k (1 p) N k = k=0 (pz + 1 p) N = (1 p(1 z)) N. Bernoulli problémája Binomiális eloszlás I. Várható érték Szórás Binomiális eloszlás II.

Példák Példa Korábban láttuk, hogy a binomális eloszlást nagy N-ek esetén Poisson eloszlással szoktuk közelíteni. Mi lesz a Poisson eloszlás generátore? Poisson eloszlás I. Poisson eloszlás II.

Példák Példa Korábban láttuk, hogy a binomális eloszlást nagy N-ek esetén Poisson eloszlással szoktuk közelíteni. Mi lesz a Poisson eloszlás generátore? P(X = k) = p k = λk e λ G X(z) = k=0 = e λ(z 1). k! λ k e λ z k (λz) k e λ = k! k! k=0 = e λ e λz (λz) k e λz k=0 k! 1 Poisson eloszlás I. Poisson eloszlás II.

Összeg generátore Ha X és Y független, akkor miként lehet a Z = X + Y változó generátorét kifejezni a X és Y generátoreivel? Összeg eloszlása

Összeg generátore Ha X és Y független, akkor miként lehet a Z = X + Y változó generátorét kifejezni a X és Y generátoreivel? p (Z) k = i G Z(z) = k G Z(z) = i p (X) i p (Y) k i, p (Z) k p (X) i z k = k z i j i p (X) i p (Y) k i zk = p (Y) j z j = G X(z)G Y(z). k i p (X) i p (Y) k i zi z k i = Összeg eloszlása

Összeg generátore Ha X és Y független, akkor miként lehet a Z = X + Y változó generátorét kifejezni a X és Y generátoreivel? p (Z) k = i G Z(z) = k G Z(z) = i p (X) i p (Y) k i, p (Z) k p (X) i z k = k z i j i p (X) i p (Y) k i zk = p (Y) j z j = G X(z)G Y(z). k i p (X) i p (Y) k i zi z k i = Összeg generátore Ha X 1, X 2,..., X n független valószínűségi változók és Y = X 1 + X 2 + + X n, akkor Y generátore: G Y(z) = G X1 +X 2 + +X n (z) = z X 1+X 2 + +X n = z X 1 z X 2 z Xn = z X 1 z X 2 z Xn = G X1 (z)g X2 (z) G Xn (z). Összeg eloszlása

Több dimenziós eset több dimenzióban Definíció: Ha a X valószínűségi változó komponensei nem negatív egész számokat vehetnek fel, a P( X = k) = P(X 1 = k 1, X 2 = k 2,..., X n = k n) = p k1,k 2,...,k n eloszlással, akkor a hozzá tartozó generátor: G X( z) = G X(z 1, z 2,..., z n) = k 1 =0 k 2 =0 k n=0 p k1,k 2,...,k n z k 1 1 zk 2 2 zkn n.

Több dimenziós eset és G( z) Az i-edik komponens várható értéke: X i = k 1 =0 k 2 =0 k n=0 A magasabb momentumok és a szórás: (X i) r = k 1 =0 k 2 =0 k n=0 k ip k1,k 2,...,k n = G( z). z i z=1 k r i p k1,k 2,...,k n = [z i ] z i r G( z), z=1 σ 2 (X i) = X 2 i X i 2 2 = [z i ] G( z) [ G( z) z i z=1 2 G( z) + G( z) [ G( z) 2 ] z 2 i z z=1 i z=1 z i z=1 z i z=1 2 ] =

Ez az alfejezet semmilyen formában nem kerül számonkérésre... De egy érdekes példát mutat generátorek alkalmazására.

Összefüggő komponens egy : olyan rész hálózat, melyben a kapcsolatokon (éleken) keresztül eljuthatunk akármelyik csomópontból (csúcsból) akármelyik másik csomópontba. Óriás komponens: aminek s 1 mérete a teljes rendszerméret, N mellett sem elhanyagolható, s 1 > 0 akkor is, ha N. N Óriás komponens jelenléte vagy hiánya drasztikusan megváltoztatja a hálózat viselkedését. Mikor jelenik meg/tűnik el az óriás komponens? PERKOLÁCIÓ

Perkoláció szabályos rácson Perkoláció szabályos rácson egy rácspont (vagy él) betöltött p valószínűséggel, a kritikus p c-nél megjelenik a perkoláló klaszter. s S= 1 N (Barabási A.-L. fóliáiról)

Pl. a véletlen csúcs (vagy él) meghibásodások felfoghatók úgy, mint egy inverz perkolációs folyamat. (Barabási A.-L. fóliáiról)

Célkitűzés Hol van a perkoláció kritikus pontja egy véletlen? Feltevéseink: ismerjük a fokszámeloszlást: p(k) = P( egy v.v. csúcsnak k kapcsolata van ), a kritikus pontot a széttöredezett fázis felől közelítjük: a hálózat még elég ritka és elég véletlen ahhoz, hogy lokálisan fa szerű legyen.

Perkoláció és generátorek Bevezetünk néhány diszkrét eloszlást: p(k) k p(k) = P(v.v csúcsnak k éle van ). (Ezt hívják fokszámeloszlásnak). I(k) S=k I(k) = P(v.v. csúcs egy k méretű komponensben van). H(k) S=k Σ S=k H(k) = P(v.v. él egyik végén egy k méretű komponens van). H (k) m m H m(k) = P(v.v. m darab élek egyik végein található komponensek összmérete k).

Perkoláció és generátorek Alapötlet: I(k) = p(0)h 0 (k 1) + p(1)h 1 (k 1) + p(2)h 2 (k 1) +... +p(m)h m(k 1) +... = p(m)h m(k 1) m=0 Vesszük mindkét oldal generátorét: G I (x) = = p(m)h m(k 1)x k = k=0 m=0 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k

Perkoláció és generátorek A G H,m(x) kifejezhető G H(x)-el: S=k Σ S=k G H,m (x) = [G H (x)] m H(k) m H (k) m G I (x) = = 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 [G H(x)] m x x=0 k p(m) [G H (x)] m x = xg(g H (x)), m=0 ahol G(x) a p(k) fokszámeloszlás generátore.

Perkoláció és generátorek I(k) = P(v.v csúcs egy k méretű komponensben van). Egy v.v csúcs komponensének várható mérete: S = G I(1) = [xg(g H (x)] x=1 = G(G I (1)) + G (1)G H(1) = = 1 + k G H(1), ahol G (1) = k a fokszám várható értéke. Hogyan lehetne G H(1)-et meghatározni?

Perkoláció és generátorek G H(1) meghatározásához egy újabb eloszlást kell bevezetnünk: q(k) Ötlet: } k q(k) = P(v.v él egyik végén k további élekre lehet tovább menni). H(k) = q(0)h 0 (k 1) + q(1)h 1 (k 1) + q(2)h 2 (k 1) +... +q(m)h m(k 1) +... = q(m)h m(k 1) m=0 Megint vesszük mindkét oldal generátorét.

Perkoláció és generátorek G H (x) = = = = q(m)h m(k 1)x k = k=0 m=0 1 d k 1 q(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k 1 d k 1 q(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 [G H(x)] m x x=0 k q(m) [G H (x)] m x = xg q(g H (x)) m=0 G H(1) = G q(g H (1)) + G q(1)g H(1) = 1 + G q(1)g H(1) G H(1) = 1 1 G q(1)

Perkoláció és generátorek Visszahelyettesítve: A kritikus pont: S = 1 + k G H(1) = 1 + G q(1) = 1 k 1 G q(1) A G q(x)-t ki tudjuk fejezni a fokszámeloszlás segítségével: q(k) = P(v.v él egyik végén k + 1 fokszámú csúcs), kn k kp(k) P(él végén k fokszámú csúcs) = k k = N k k k p(k ) = q(k) = k + 1 p(k + 1) k = kp(k) k G q(x) = 1 (k + 1)p(k + 1)x k = 1 lp(l)x l 1 = G (x) k k=0 k l=1 k

Perkoláció és generátorek A G q(1) a másodszomszédok számának várható értékével áll nagyon szoros kapcsolatban. Bevezetjük: q m(k) m k q m(k) = P(m darab v.v. élek egyik végein összesen k további élekre lehet továbbmenni). n 2(k) = P(egy v.v. csúcs másodszomszédainak száma k). n 2(k) = p(0)q 0(k) + p(1)q 1(k) + p(2)q 2(k) +... +p(m)q m(k) +... = p(m)q m(k) m=0 (Megint vesszük mindkét oldal generátorét).

Perkoláció és generátorek G n,2 (x) = = = = p(m)q m(k)x k = k=0 m=0 p(m) 1 d k k=0 m=0 k! dx k Gm,q(x) x k = x=0 p(m) 1 d k k=0 m=0 k! dx k [Gq(x)]m x x=0 k = p(m) [G q(x)] m = G(G q(x)) m=0 z 2 = n 2 = G n,2 (1) = G (1)G q(1) = k G q(1) G q(1) = z 2 k = z 2 z 1

Perkoláció és generátorek A perkoláció kritikus pontja Ez alapján a komponensméret várható értéke S = 1 + k 1 G q(1) = 1 + k 1 z 2 / k = = 1 + k 2 k z 2 = 1 + z 2 1 z 1 z 2 Ez a következőket jelenti: z 1 > z 2 pici, izolált klaszterek z 1 = z 2 KRITIKUS PONT! z 1 < z 2 óriás komponens

Perkoláció és generátorek Perkoláció az Erdős Rényi modellben Mit kapunk pl. Erdős Rényi féle véletlen gráfra? A fokszámeloszlás binomiális, ami jól közelíthető Poisson-eloszlással: p(k) = ( N k )pk (1 p) N k k k k! e k, G(x) = e k (z 1) G q(x) = G (x) k = e k (z 1) = G(x), azaz a kritikus pontra, azt kapjuk, hogy G q(1) = G (1) = k = 1. (Ez egy híres eredmény, ami teljes precizitással, az általunk használt közelítő feltevések nélkül is bebizonyítható).

Perkoláció és generátorek

Hogyan lehetne általánosítani a generátort folytonos eloszlásokra?

Definíció: egy X folytonos valószínűségi változó karakterisztikus e: ϕ(t) = e itx = e itx = e itx ρ(x)dx. A generátor általánosításának felel meg: Ha X diszkrét és nem negatív egészeken fut végig, akkor ρ(x) = ϕ(t) = k=0 P(X = k)δ(x k) = p kδ(x k), k=0 e itx p kδ(x k)dx = k=0 p ke itk = G(z = e it ). k=0

és momentumok és momentumok A ρ(x) sűrűség és az összes momentum meghatározható a karakterisztikus segítségével: ρ(x) = 1 2π e itx ϕ(t)dt, X n = x n = 1 n ϕ i n t = [ 1 n n t=0 i t ] ϕ(t). t=0 A ρ(x) egyenleténél kihasználtuk, hogy 1 2π e itx ϕ(t)dt = 1 2π e itx 1 2π e itx ρ(x )dx dt = e it(x x) dt ρ(x )dx = ρ(x). δ(x x)

és momentumok eloszlás a a momentumok karakterisztikus Az összes momentum ismerete egyenlő az eloszlás ismeretével!

Összeg karakterisztikus e Ha X és Y függetlenek, akkor mi lesz a Z = X + Y változó karakterisztikus e? Összeg eloszlása

Összeg karakterisztikus e Ha X és Y függetlenek, akkor mi lesz a Z = X + Y változó karakterisztikus e? ρ Z(x) = ρ X(x y)ρ Y(y)dy ϕ Z(t) = dx dyρ X(x y)ρ Y(y)e itx = ϕ Z(t) = dx dyρ X(x y)ρ Y(y)e it(x y) e ity = ϕ Z(t) = dzρ X(z)e itz dyρ Y(y)e ity = ϕ X(t)ϕ Y(t). Összeg eloszlása

Összeg karakterisztikus e Összeg karakterisztikus e Összeg karakterisztikus e a karakterisztikus ek szorzata: Ha X 1, X 2,..., X n független valószínűségi változók és Y = X 1 + X 2 + + X n, akkor Y karakterisztikus e: ϕ Y(t) = Z X1 +X 2 + +X n (t) = e it(x 1+X 2 + +X n) = e itx 1 e itx 2 e itxn = e itx 1 e itx 2 e itxn = ϕ X1 (t)ϕ X2 (t) ϕ Xn (t). χ 2 -eloszlás

MEDIÁN ÉS KVANTILIS

Hol van egy eloszlás közepe? Általában a várható értéket szoktuk az eloszlás közepének gondolni... Ez a x -re szimmetrikus ρ(x) esetén teljesen OK, pl. normális eloszlás: ρ( x) 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 µ =2, σ =1 µ =7, σ =2 0.15 0.1 0.05 0 2 0 2 4 6 x 8 10 12 14

Hol van egy eloszlás közepe? Előfordulnak azonban olyan eloszlások is, ahol ρ(x) erősen aszimmetrikus. Pl. Tegyük fel, hogy egy előadó 200 csokit oszt ki 50 hallgató közt különböző módokon: mindenkinek 4-et, teljesen véletlenszerűen, (minden egyes csokinál véletlenszerűen kiválaszt egy hallgatót, függetlenül az előző választásoktól), a ZH pontszám alapján elért helyezés szerint -az első 5 hallgató 20 csokit kap fejenként, -a 6. helyezéstől a 10.-ig 10-et fejenként, -a 11. helyezéstől a 20.-ig 4-et fejenként, -a 21. helyezéstől a 31.-ig 1-et fejenként. A 4 legstréberebb hallgatónak ad 50-50 csokit (Az egy hallgatónak adott csokik számának várható értéke minden esetben 200/50=4).

Hol van egy eloszlás közepe? Az első két esetben az eloszlás (közel) szimmetrikus és a várható érték tényleg az eloszlás közepén van : 1 ρ( x) 0.8 0.6 0.4 <x> 0.2 0 0 10 20 30 40 50 x

Hol van egy eloszlás közepe? A másik két esetben viszont egy tipikus hallgató kevesebb csokival rendelkezik mint az átlag: 1 ρ( x) 0.8 0.6 0.4 <x> 0.2 0 0 10 20 30 40 50 x

Az erősen aszimmetrikus eloszlások esetén ahol nagy kiugró értékek fordulnak elő, a várható érték helyett sokszor szemléletesebb az eloszlás mediánja. Definíció: egy eloszlás mediánja az az m érték, ahol az eloszlás F(x = m) = 1 2. Szemléletes jelentése: - az eloszlás közepén van abból a szempontból, hogy annak valószínűsége, hogy X < m illetve, hogy X > m egyaránt 1 2. - ha elég nagy számú mintát veszünk az eloszlásból, akkor nagyjából ugyanannyi lesz alatta mint felette.

Előfordulhatnak olyan esetek, amikor pontosítani kell a definíción: Ha F(x) = 1 teljesül egy egész [x1, x2] szakaszon keresztül, akkor 2 m = (x 1 + x 2)/2 a szakasz közepén van. F(x) 1 0.5 m x

Előfordulhatnak olyan esetek, amikor pontosítani kell a definíción: Ha F(x) átugorja az 1 értéket, azaz F(x) = 1 -nek nincs 2 2 megoldása, akkor van egy x 0, melyre P(X < x 0) < 1 és 2 P(X > x 0) < 1. Ilyenkor m = x0. 2 F(x) 1 0.5 m x

Példák Példa A csokoládé osztogatós példánál a medián: ρ( x) 1 0.8 0.6 0.4 <x> 0.2 0 0 10 20 30 40 50 x

Példák Példa Mi az exponenciális eloszlás mediánja? F(x) = 1 e λx, ρ(x) = λe λx

Példák Példa Mi az exponenciális eloszlás mediánja? F(x) = 1 e λx, Sűrűség alapján: ρ(x) = λe λx m m ρ(x)dx = ρ(x)dx = λe λx dx = 0 m 0 m λe λx dx = 1 2 [ e λx ] m 0 = [ e λx ] m = 1 e λm = e λm = 1 2 m = 1 λ ln 2 Eloszlás alapján: F(x = m) = 1 e λm = 1 2 e λm = 1 2 m = 1 λ ln 2

Példák Példa A lognormális eloszlásnál: 1.4 ρ( x) 1.2 1 0.8 0.6 m µ=0, σ=0.3 µ=0, σ=1.5 0.4 <x> 0.2 m <x> 0 0 1 2 3 4 5 x

várható érték Ha a sűrűség szimmetrikus X -re, akkor m = X. Miért?

várható érték Ha a sűrűség szimmetrikus X -re, akkor m = X. Ilyenkor a szimmetria miatt x ρ(x)dx = x ρ(x)dx = 1 2.

A medián definícióját általánosíthatjuk úgy, hogy az eloszlás, F(x) értékkészletét két nem egyforma nagyságú tartományra osztjuk szét: Definíció: egy eloszlás p-ed rendű e az az Q p érték, melyre F(x = Q p) = p. Fontos ek: - a Q 1 2 a medián, - a Q 1 4 az alsó kvartilis, a Q 3 4 a felső kvartilis. A Q 3 Q 1 az interkvartilis terjedelem ami pl. a szóráshoz hasonlóan 4 4 azt jellemzi, hogy milyen széles egy eloszlás.

Definíció: az eloszlás egy módusza a sűrűség, ρ(x), egy lokális maximumhelyének felel meg. Unimodális eloszlás: ρ(x)-nek csak egy maximumhelye van. (Pl. normális-eloszlás). Bimodális, trimodális, stb. eloszlás: ρ(x)-nek két, három, stb. lokális maximumhelye van.

Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható KORRELÁCIÓ

Korreláció Bevezetés Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható Mit jelenthet két valószínűségi változó közti korreláció? Pl. X mint a valszám ZH-ra készülés intenzitása, Y meg a kapott pontszám.

Korreláció Bevezetés Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható Mit jelenthet két valószínűségi változó közti korreláció? Pl. X mint a valszám ZH-ra készülés intenzitása, Y meg a kapott pontszám. Ha a kettő független, akkor nincs korreláció és a tanulás mennyisége semmilyen hatással nincs a kapott pontszámra. Ha nem függetlenek és van némi korreláció akkor több pontra számítunk sok tanulás esetén, kevesebbre kevés tanulás esetén, legalábbis az átlagos esethez viszonyítva. Jó ötletnek tűnik a (X X )(Y Y ) szorzatot vizsgálni, hiszen ha X és Y egyforma irányban térnek el az átlaghoz képest, akkor ez a szorzat mindig pozitív lesz.

Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható Korreláció és kovariancia Definíció: A X és Y valószínűségi változók kovarianciája: Cov(X, Y) = (X X )(Y Y ) = (x x ) (y y ) ρ(x, y)dxdy, ahol ρ(x, y) a X és Y együttes sűrűsége. Alternatív ekvivalens formulája: Cov(X, Y) = (X X )(Y Y ) = XY X Y Y X + X Y = Tulajdonságai: XY X Y Y X + X Y = XY X Y. Ha X és Y független, akkor XY = X Y, emiatt Cov(X, Y) = 0. A X saját magával vett kovarianciája a variancia, más néven a szórásnégyzet: Cov(X, X) =Var(X) = σ 2 (X). Szorzat várható értéke

Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható Max. mekkora lehet a kovariancia abszolút értéke? Bizonyítás: Először azt látjuk be, hogy Cov(X, Y) σ(x)σ(y). XY X 2 Y 2. Tetszőleges a számra (Y ax) 2 0, ezért 0 (Y ax) 2 = Y 2 2aYX + a 2 X 2 = Y 2 2a YX + a 2 X 2. Helyettesítsünk be a = XY X 2 értéket: 0 Y 2 XY 2 X 2 0 Y 2 X 2 XY 2

Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A XY X 2 Y 2 tételt használjuk a X X és Y Y változókra: (X X ) (Y Y ) = Cov(X, Y) (X X ) 2 (Y Y ) 2 = σ(x)σ(y). Ha a kovarianciát leosztjuk a szorások szorzatával, egy 1 és 1 közé eső számot kapunk!

Korrelációs együttható Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható Korrelációs együttható Definíció: A X és Y korrelációs együtthatója: C(X, Y) = Cov(X, Y) (X X )(Y Y ) σ(x)σ(y) = = σ(x)σ(y) (Ezt szokták Pearson-korrelációnak hívni). Tulajdonságai: Legfeljebb 1 abszolútértékű: 1 C(X, Y) 1 Ha X és Y független, akkor C(X, Y) = 0. XY X Y. σ(x)σ(y) Egy X valószínűségi változó önmagával vett korrelációs együtthatója C(X, X) = Cov(X,X) σ 2 (X) = 1.

Korrelációs együttható Példák Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható Példák Nézzük meg a korrelációs együttható értékét különböző pontfelhők esetén, ahol X és Y a pontok vízszintes és függőleges koordinátáinak felelnek meg: