Trtlomjegyzék Bevezetés... A tntervek témkörhöz kpcsolódó részeinek áttekintése... 3 1.1. Nemzeti Alptnterv... 3 1.. Kerettntervek... 7 1.3. Helyi tnterv... 11. A forglombn lévő tnkönyvcsládok összehsonlító elemzése... 14.1. Az eponenciális függvény tárgylásánk módj... 15.. A ritmus foglmánk bevezetése... 18.3. A ritmusfüggvény... 0.4. A ritmus zonossági....5. Összefogllás... 3 3. Érettségi feldtok... 5 3.1. Középszintű érettségi feldtok... 5 3.. Emelt szintű érettségi feldtok... 38 4. Foglmk tnítás... 46 5. Az eponenciális és ritmusfüggvény tnításához hsznált tnmenet... 49 5.1. A tém elhelyezkedése tnnygbn, tém előzményei... 50 5.. Foglmk, tételek, eljárások iki hálój... 51 5.3. A tém szkszi, didktiki súlypontok... 5 5.4. Tnmenetrészlet... 53 5.5. Egy lehetőség z eponenciális és ritmus függvény tnításár... 54 5.5.1. Az eponenciális függvény bevezetése... 54 5.5.. A ritmus foglmánk bevezetése... 68 5.5.3. A ritmusfüggvény... 77 5.5.4. A ritmus zonossági... 89 Összegzés... 10 Irodlomjegyzék... 103 1.
Bevezetés Dolgoztombn relisztikus mtemtik módszeréről, zon belül z eponenciális és ritmus függvény tnításáról írok. Az irányzt szerint z iskolánk hozzá kell járulni hhoz, hogy tnulók megértsék mtemtikánk társdlombn és tnulók egyéni életében játszott szerepét. Ugyncsk fontos szempont mtemtikához vló pozitív hozzáállás kilkítás. 1 A dolgoztomt tntervek témkörhöz kpcsolódó részeinek elemzésével kezdem. Megnézem, hogy z eponenciális és ritmusfüggvény hol helyezkedik el különböző tntervekben, és milyen követelményeket kell teljesíteniük tnulóknk. Ezután áttekintem forglombn lévő 11. évfolymos tnkönyvek ide vontkozó részeit. Az elemzést négy témkör mentén végzem el: z eponenciális függvény bevezetése, ritmus foglm, ritmusfüggvény, és ritmus zonossági. A következő szempontok lpján nézem tnkönyveket: bevezető, motiváló feldtok, definíció, foglomzonosítási feldtok, foglomrelizálási feldtok, definíció következményei, beágyzás foglomhierrchiáb, lklmzási feldtok. Ezek feldttípusok dolgozt későbbi részében is előfordulnk. A témkör kidolgozását is ezek mentén végzem el. Mind négy témkörhöz kerestem megfelelő feldtokt minden típusból. A középszintű és emelt szintű érettségi feldtok elemzése után következik tém kidolgozás. A kidolgozást tnkönyvek elemzésénél is említett négy témkör mentén végzem el. Egy vlóságközeli, brn lg példáján keresztül próbálom megértetni foglmkt, mögötte lévő trtlmkt. 1 Ambrus András: Bevezetés mtemtik-didktikáb, ELTE Eötvös Kidó, Budpest, 1995, 157. oldl.
1. A tntervek témkörhöz kpcsolódó részeinek elemzése Ebben fejezetben áttekintem z érvényben lévő tnterveknek zon részeit, melyek z eponenciális és ritmus függvény foglmához kpcsolódnk. A tnterveknél zt fogom megnézni, hogy milyen követelményeket kell teljesíteniük tnulóknk válsztott témkörnél. A kormány 01-ben elfogdt z új Nemzeti lptntervet, de dolgoztomt 007-ben elfogdott Nt dokumentum lpján írom, hiszen még mindig ez vn érvényben. 1.1. Nemzeti lptnterv A Nemzeti lptnterv meghtározz műveltségi területenként közvetítendő műveltség fő területeit, z iskolábn elsjátítndó műveltségi lpokt, z iskoli nevelésokttás közös értékeit, iránymuttást nyújt tnítndó témákról, fejlesztendő területekről. A Nemzeti lptnterv meghtározz z iskoli nevelés-okttás közös értékeit. Az iskoláknk gondoskodniuk kell rról, hogy tnulók elsjátítsák z lpvető erkölcsi normákt, kompetenciákt. Az iskolák htározzák meg, hogy ezek normák, kompetenciák milyen műveltségi területek részeként és hogyn kerülnek elsjátításr. A kulcskompetenciák zok kompetenciák, melyekre minden egyénnek szüksége vn személyes boldogulásához és fejlődéséhez, z ktív állmpolgári léthez, társdlmi beilleszkedéshez és munkához. Mindegyik egyformán fontos, mivel mindegyik hozzájárulht sikeres élethez egy tudás lpú társdlombn. Sok kompetenci részben fedi egymást, és egymásb fonódik: z egyikhez szükséges elemek támogtják másik terület kompetenciáit. A műveltségterületek fejlesztési feldti kulcskompetenciákt összetett rendszerben jelenítik meg. A Nt következő kulcskompetenciákt említi: - Anynyelvi kommunikáció - Idegen nyelvi kommunikáció - Mtemtiki kompetenci - Természettudományos és techniki kompetenci - Digitális kompetenci http://www.nefmi.gov.hu/letolt/kozokt/nt_07096.pdf 3.
- Szociális és állmpolgári kompetenci - Kezdeményezőképesség és válllkozói kompetenci - Esztétiki-művészeti tudtosság és kifejezőkészség - A htékony, önálló tnulás A mtemtiki kompetenci mtemtiki gondolkodás fejlesztésének és lklmzásánk képessége, felkészítve ezzel z egyént mindennpok problémáink megoldásár is. A mtemtiki kompetenci birtokábn z egyén rendelkezik zzl képességgel, hogy lklmzni tudj z lpvető mtemtiki elveket és folymtokt z ismeretszerzésben és problémák megoldásábn, mindennpokbn, otthon és munkhelyen. Követni és értékelni tudj z érvek láncoltát, mtemtiki úton képes indokolni z eredményeket, megérti mtemtiki bizonyítást, mtemtik nyelvén kommunikál, vlmint lklmzz megfelelő segédeszközöket. A Nt közokttás trtlmát műveltségi területek szerint htározz meg. Az egyes iskolák tntárgyi rendszerét műveltségi területek figyelembevételével helyi tntervek állpítják meg. A kötelező okttás 1 évfolym egységes fejlesztési folymt, mely négy képzési szkszr oszlik, Nt-bn meghtározott fejlesztési feldtok szkszokhoz kpcsolódnk. A Nt-bn meghtározott képzési szkszok következők: 1-4. évfolym, 5-6. évfolym, 7-8. évfolym, 9-1. évfolym. A Nt műveltségi területei: - Mgyr nyelv és irodlom - Élő idegen nyelv - Mtemtik - Ember és társdlom - Ember természetben - Földünk környezetünk - Művészetek - Informtik - Életvitel és gykorlti ismeretek - Testnevelés és sport 4.
A Nt mtemtik műveltségterületre vontkozó része Az iskoli mtemtiktnítás célj, hogy megfelelő nevelő, orientáló és irányító funkciók ellátásávl lehetőleg hiteles - ezért egységes, összefüggő - képet nyújtson mtemtikáról mint kész tudásrendszerről és mint sjátos emberi megismerési tevékenységről, szellemi mgtrtásról. A mtemtiktnítás érzelmi és motivációs vontkozásokbn is formálj és gzdgítj személyiséget, gondolkodást, és lklmzásr érett tudásokt hoz létre. A mtemtiki gondolkodás területeinek fejlesztésével emeli gondolkodás áltlános kultúráját. A mtemtiktnítás szerepe mtemtik különböző rcultink bemuttás és érvényre jutttás: kulturális örökség, gondolkodásmód, lkotótevékenység, gondolkodás örömének forrás, mintákbn, struktúrákbn tpsztlhtó rend és esztétikum megjelenítője, mg is tudomány, egyben egyéb tudományok és z iskoli tntárgyk segítője, mindennpi élet és szkmák eszköze. A kulcskompetenciáknk megfelelően mtemtik műveltségi terület fejlesztésének kiemelt területe biztos számolási tudás lkítás. A mtemtik tnítás áltl többi kulcskompetenciát is fejleszteni tudjuk. Fejleszti kommunikációt mások szóbn és írásbn közölt gondoltink meghllgtás, megértése, sját gondoltok közlése révén. A szöveges feldtok áltl fejleszteni tudjuk szövegértést is. A mtemtik egyéb tudományok és z iskoli tntárgyk segítője, mindennpi élet és szkmák eszköze, így mtemtik tnítás közben fejleszthetjük természettudományos és technik kompetenciát is. Fejleszthető z esztétiki-művészeti tudtosság és kifejezőkészség is, hiszen mtemtik mintákbn, struktúrákbn tpsztlhtó rend és esztétikum megjelenítője. A mtemtiki fejlődés és tnulási folymt során lpvető jelentőségű jelenségekhez illeszkedő modellek, gondolkodásmódok (nlógiás, heurisztikus, becslésen lpuló, mtemtiki iki, iomtikus, vlószínűségi, konstruktív, kretív stb.), módszerek (ritmetiki, lgebri, geometrii, koordinát geometrii, sttisztiki stb.) és leírások kiválsztásánk és lklmzásánk tudás. Ugynkkor fontos modellek érvényességi körének és gykorlti lklmzhtóságánk eldöntését segítő képességek fejlesztése. A reproduktív és problémmegoldó, lkotó gondolkodásmód fejlesztése egyránt lényeges. Emellett zonbn nem szorul háttérbe z lpvető tevékenységek (pl. mérés, lpszerkesztések), műveletek (pl. ritmetiki, lgebri műveletek, 5.
trnszformációk) utomtizált végzése, mtemtiki ismeretek gykorlti lklmzás. A műveltségi terület tnulás során elérhető mtemtik szerepének megértése természetés társdlomtudományokbn, humán kultúr számos ágábn, döntésképesség fejlesztésében. Mindez hozzájárul történeti szemléletmód kilkításához is. Eközben érték pontos, kitrtó, fegyelmezett munkvégzés; z önellenőrzés igénye, módszereinek megismerése és lklmzás, tnulás, mtemtiktnulás szokásink, képességének lkítás; sjátunkétól eltérő szemlélet tisztelete. A mtemtik értékeinek és eredményeinek megismerése zt eredményezheti, hogy tnulók htékonyn tudják hsználni megszerzett kompetenciáikt z élet különböző területein. A mtemtik fejlesztési területei 1. Tájékozódás 1.1 Tájékozódás térben 1. Tájékozódás z időben 1.3 Tájékozódás világ mennyiségi viszonyibn. Megismerés.1 Tpsztltszerzés. Képzelet.3 Emlékezés.4 Gondolkodás.5 Ismeretek rendszerezése.6 Ismerethordozók hsznált 3. Ismeretek lklmzás 4. Problémkezelés és - megoldás 5. Alkotás és kretivitás: lkotás öntevékenyen, sját tervek szerint; lkotások dott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás 6. Akrti, érzelmi, önfejlesztő képességek és együttéléssel kpcsoltos értékek 6.1 Kommunikáció 6. Együttműködés 6.3 Motiváltság 6.4 Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszbályozás 7. A mtemtik épülésének elvei 6.
Az eponenciális és ritmus függvény tnításához szükséges fejlesztési feldtok, kompetenciák A Nt két helyen említi ezt témkört. Az egyik gondolkodás fejlesztése témkörön belül z 5-1. évfolymon: Az ritmetiki műveletek újrértelmezése, kiterjesztése, új műveletek értelmezése (htvány, gyök, ritmus). Megemlíti z ismeretek lklmzás témkörön belül is z 5-1. évfolymon: Ismeretek lklmzás gykorlti életben és más tntárgyk keretében (pl. százlék, kmtos kmt, terület-, felszín-, térfogtszámítás, reltív gykoriság, vlószínűség, ritmus függvény). Ezt témkört még több fejlesztési területhez lehet kötni. Például térben és időben vló tájékozódáshoz, mivel z eponenciális, és ritmus folymtok z életben is előfordulnk. A megismeréshez, mivel tnulónk el kell tudni képzelni ezeket folymtokt, illetve problémmegoldáshoz, mivel megszerzett ismereteket feldtokbn tudni kell lklmzni. 1.. Kerettntervek 3 A Nt-bn megfoglmzott elvek, célok, fejlesztési feldtok és műveltségi trtlmk képzési szksz sjátossági szerint kerettntervekben öltenek testet. A kerettntervek meghtározzák tntárgyk rendszerét, z egyes tntárgyk időkeretét (órszámát), tnnyg felépítését és felosztását z egyes évfolymok között, továbbá z dott szksz befejező évfolymánk kimeneti követelményeit. A középiskoli mtemtik kerettnterv Célok és feldtok című résszel kezdődik, mjd ezt követi Fejlesztési követelmények leírás, mjd évfolymonként leírj tnítndó trtlmkt. A mtemtiktnítás célj, feldt tnulók önálló, rendszerezett, ikus gondolkodásánk kilkítás, fejlesztése. Mindezt z folymt biztosítj, melynek során fokoztosn kiépítjük mtemtik belső struktúráját (foglmk, iómák, tételek, bizonyítások elsjátítás), és tnultkt változtos területeken lklmzzuk. 3 http://www.nefmi.gov.hu/letolt/kozokt/kerettnterv/korrekturs/gimnzium/g06_mtemtik.doc 7.
A Fejlesztési követelmények című rész következő öt pontot fejti ki részletesen: - Az elsjátított mtemtiki foglmk lklmzás - A mtemtiki szemlélet fejlesztése - Gykorlottság mtemtiki problémák megoldásábn, jártsság ikus gondolkodásbn - Az elsjátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek lklmzás - Helyes tnulási szokások fejlesztése A Fejlesztési követelmények után kerettnterv konkrét ismereteket foglmz meg évfolymonként lebontv tábláztos formábn, három gondolt mentén. A Trtlom oszlopbn minden évfolymr meghtározz tnítndó tnnygot. A mtemtik tnítás közben fejlesztendő képességeket Fejlesztési feldtok, tevékenységek oszlopbn sorolj fel. A továbbhldás feltételei című oszlopbn pedig zt szintet írj le, mit tnulónk el kell érnie hhoz, hogy további ismereteket is el tudj sjátítni. A tnítndó ismereteket 5 témkörbe csoportosítj: - Gondolkodási módszerek - Számtn, lgebr - Függvények, soroztok - Geometri - Vlószínűség, sttisztik A kerettntervben z eponenciális és ritmus függvény, illetve z ehhez kpcsolódó, ezt előkészítő htványozás kiterjesztése című témkör 11. évfolym tnnygábn szerepel Számtn, lgebr, illetve Függvények, soroztok témkörön belül. A kerettnterv ide vontkozó részei: 8.
11. évfolym Számtn, lgebr FEJLESZTÉSI FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK A mtemtiki foglom célszerű kiterjesztése, foglmk áltlánosításánál permnenci elv felhsználás. Bizonyítás iránti igény mélyítése. Mtemtiktörténeti vontkozások megismerése (könyvtár- és internethsznált). Az bsztrkciós és szintetizáló képesség fejlesztése. Az önellenőrzés igényének fejlesztése. TARTALOM Másodfokúr visszvezethető egyszerű egyenletek, egyenletrendszerek. A htványozás kiterjesztése pozitív lp esetén rcionális kitevőkre. A htványozás zonossági és lklmzásuk. A ritmus értelmezése. A ritmus, mint htványozás inverz művelete. A ritmus zonossági. A definíciókon és megismert zonosságokon lpuló Eponenciális, és ritmikus és trigonometrikus egyenletek. A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI A htványozás definíciój, műveletek, zonosságok ismerete egész kitevő esetén. A ritmus foglmánk ismerete, zonosságink lklmzás egyszerűbb esetekben. A definíció és z zonosságok egyszerű lklmzás eponenciális, ritmusos és trigonometrikus egyenlet esetén egyszerű konkrét feldtokbn. 9.
Függvények, soroztok FEJLESZTÉSI FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK A függvényfoglom fejlesztése. Összefüggések felismerése mtemtik különböző területei között. A bizonyításr vló törekvés fejlesztése. Számítógép hsznált függvényvizsgáltokbn és trnszformációkbn. TARTALOM A, 10 függvény, z eponenciális függvény vizsgált, eponenciális folymtok természetben. A ritmus függvény, mint z eponenciális függvény inverze. A szögfüggvényekről tnultk áttekintése. A tnult függvények tuljdonsági (értelmezésitrtomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, pritás). A szögfüggvények trnszformációik: f() + c; f( + c); c f(); f(c ). A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI Az lpfüggvények ábrái és legfontosbb tuljdonságink vizsgált (értelmezésitrtomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték). 10.
1.3. Helyi tnterv Az iskolák Nemzeti lptntervben meghtározott értékeknek, elveknek, célkitűzéseknek és kiemelt fejlesztési feldtoknk megfelelően, kerettntervek lpján készítik el helyi tnterveket. A helyi tntervek vizsgáltánál z ELTE Trefort Ágoston Gykorlóiskolát válsztottm, mert itt voltm tnítási gykorlton, így személyes kötődésem vn hozzá. A tnterv 7-ediktől 1-edik évfolymig trtlmzz z iskol mtemtik tntervét. A tntervi célok elérése érdekében 9. évfolymtól csoportbontásbn tnítják mtemtikát. A tnterv felsorolj Nt-ben is megtlálhtó kompetenciákt, ezeket különböző betűjelekkel rövidítik. A tntervben ezekkel betűjelekkel jelölik különböző fejlesztési feldtok, tevékenységeknél, hogy melyik kompetenciát fejlesztik. Az eponenciális és ritmus függvény témkör, illetve ennek előkészítése htványozás kiterjesztése rcionális kitevőre 11. évfolym tnnygábn szerepel. Ebben z évben z évi órszám 111 ór. Ebből Számtn, lgebr témkörre 31 órát terveznek, Függvények, soroztok témkörre pedig 14 órát. A tnterv ide vontkozó részei: 11.
Számtn, lgebr (31 ór) 4 Fejlesztési feldtok, tevékenységek A mtemtiki foglom célszerű kiterjesztése, foglmk áltlánosításánál permnenci elv felhsználás.(m4) Bizonyítás iránti igény mélyítése. Mtemtiktörténeti vontkozások megismerése (könyvtár- és internethsznált). (M6) Az bsztrkciós és szintetizáló képesség fejlesztése. Az önellenőrzés igényének fejlesztése. (P)(ö) Trtlom Másodfokúr visszvezethető mgsbb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldás új ismeretlen bevezetésével. A htványozás kiterjesztése pozitív lp esetén rcionális kitevőkre. A htványozási zonosságok. A ritmus értelmezése. A ritmus, mint htványozás inverz művelete. A ritmus zonossági. Eponenciális és ritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek. A továbbhldás feltételei A htványozás definíciój, műveletek, zonosságok ismerete egész kitevő esetén. A ritmus foglmánk ismerete, zonosságink lklmzás egyszerűbb esetekben. A definíció és z zonosságok egyszerű lklmzás eponenciális és ritmusos egyenlet, egyenlőtlenség esetén. 4 http://www.trefort.elte.hu/ped/mtemtik.doc 1.
Függvények, soroztok (14 ór) 5 Fejlesztési feldtok, tevékenységek A függvényfoglom fejlesztése.(ak) Összefüggések felismerése mtemtik különböző területei között. A bizonyításr vló törekvés fejlesztése.(i) Számítógép hsznált függvényvizsgált során és trnszformációknál. (M6) Trtlom A, 10 függvény, z eponenciális függvény vizsgált, eponenciális folymtok természetben. A ritmus függvény, mint z eponenciális függvény inverze. A szögfüggvényekről tnultk áttekintése. A tnult függvények tuljdonsági (értelmezési-trtomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, pritás). A szögfüggvények trnszformációi: f() + c; f( + c); c f(); f(c). A továbbhldás feltételei Az lpfüggvények ábrái és legfontosbb tuljdonságink vizsgált (értelmezésitrtomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték). Az eponenciális és ritmus függvény, illetve z ehhez kpcsolódó témkörök tnítás közben fejlesztjük gondolkodást, z ismerethordozók hsználtát, problémkezelést és megoldást, z önismeretet, önértékelést, reflektálást, önszbályozást, z lkotást, kretivitást, és z ismeretek lklmzását. 5 http://www.trefort.elte.hu/ped/mtemtik.doc 13.
. A forglombn lévő tnkönyvcsládok összehsonlító elemzése Ebben fejezetben áttekintem forglombn lévő 5 tnkönyvcslád ide vontkozó részeit. Az 11. évfolymosoknk írt tnkönyvek, melyeket összehsonlítok: - Sokszínű mtemtik - Vncsó-féle - Hjnl-féle - Czpáry-Gypjs-féle - Hjdu-féle A tnkönyvek elemzését négy témkör mentén végeztem el: 1. Az eponenciális függvény tárgylásánk módj. A ritmus foglmánk bevezetése 3. A ritmusfüggvény 4. A ritmus zonossági Az első három témkört következő 6 szempont lpján vizsgáltm: 1. Bevezető, motiváló feldtok. Definíció 3. Foglomzonosítási és relizálási feldtok 4. Definíció következményei 5. Beágyzás foglomhierrchiáb 6. Alklmzási feldtok A ritmus zonosságit pedig következő szempontok lpján: 1. Bevezető, motiváló feldtok. Tétel megfoglmzás 3. Bizonyítás 4. Kpcsolt más tételekkel 5. Alklmzási feldtok 14.
.1. AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY TÁRGYALÁSÁNAK MÓDJA.1.1. Bevezető, motiváló feldtok A Sokszínű mtemtik és Czpáry-Gypjs-féle tnkönyv z egész kitevős htványozás ismétlése után, htványozás kiterjesztéseként vezeti be z eponenciális függvényt, nem trtlmz bevezető, motiváló feldtot. A Hjnl-féle tnkönyv máshogy közelít. Az egész kitevős htványozás átismétlése után bktériumok osztódásánk példáján keresztül értelmezi függvényt, mjd definiálj z eponenciális függvényt egész kitevő esetén, melyet néhány eponenciális függvény ábrázolás követ egész kitevőre. Ezután törtkitevő értelmezése következik, mjd ábrázolj függvényt rcionális kitevőre. A grfikonon látszik, hogy most már sűrűbben helyezkednek el pontok. Ezután értelmezi z irrcionális kitevőjű htványozást, mjd definiálj z eponenciális függvényt vlós számok hlmzán, mit különböző kitevőjű eponenciális függvények ábrázolás követ. A Vncsó-féle tnkönyv szintén más módszert lklmz. A fejezet htványozásról tnultk átismétlésével kezdődik, mjd definiálj z eponenciális egyenletet. Egyszerűbb egyenletek megoldás következik, mint például = 18. A skkjáték feltlálójánk példáján keresztül definiálj z eponenciális növekedést, illetve fogyást, mjd ezzel kpcsoltosn vnnk lklmzási feldtok. A törtkitevő értelmezése vírusok számánk eponenciális növekedésének példáján keresztül vezeti be, hány vírus lesz szervezetben fél ór múlv, 1 ór 40 perc múlv típusú kérdésekkel. Szintén vírusos péld segítségével értelmezi negtív kitevőt mennyi volt egy órávl ezelőtt típusú kérdésen keresztül, mjd grfikon segítségével értelmezi z irrcionális kitevőt. Ezt követi z eponenciális függvény definiálás. Ngyon sok gykorlti péld után z eponenciális függvény tuljdonságiról esik szó. A Hjdu-féle tnkönyv szintén gykorlti példávl vezeti be z eponenciális függvényt, tápoldtbn lévő élesztőgombák számánk növekedésének példáján keresztül. Néhány konkrét esetben ki kell számolni tápoldtbn lévő gombák tömegét. A példán keresztül vezeti be törtkitevőt, illetve értelmezi negtív kitevőt, mjd mtemtiki modellt d gombtömeg időbeli változásár. Ezután felsorol néhány hsonló mtemtiki modellel leírhtó folymtot. Ábrázolj, mjd jellemzi z 15.
f: R R, f() = függvényt, és rámutt, hogy bármely pozitív vlós szám felírhtó htványként..1.. Definíció A Sokszínű mtemtik, illetve Hjnl-féle mtemtik könyv következő definíciót hsználj: Az f: R R, f() = ; 0 függvényt eponenciális függvénynek nevezzük. f A Vncsó-féle tnkönyv definíciój nnyibn különbözik, hogy b megdást hsználj és kiköti, hogy 1, tehát konstns függvényt nem tekinti eponenciális függvénynek. A hsznált definíció: Az eponenciális függvény áltlános lkj: f ( ) b, hol > 0, és 1. A Czpáry-Gypjs-féle könyvben először csk rcionális számok hlmzán értelmezve definiálj z eponenciális függvényt: Áltlánosn, legyen z dott pozitív szám, és minden -hez rendeljük hozzá -nk -edik htványát. Ezt megtehetjük, h rcionális szám. Ez hozzárendelés egyértelmű, tehát függvény. Az f: Q R, f() = függvényt lpú eponenciális függvénynek nevezzük. Ezután belátj, hogy függvény grfikonj összeköthető folytonos vonlll, és definiálj vlós számok hlmzán értelmezett eponenciális függvényt. A Hjdu-féle tnkönyv kétféleképpen is definiálj z eponenciális függvényt. Az első definíció Sokszínű mtemtik és Hjnl-féle tnkönyvhöz hsonló: H dott pozitív vlós szám ( > 0; R), kkor z f: R R + ; függvényt lpú eponenciális függvénynek nevezzük. A többi tnkönyvtől eltérően hsznál egy másik definíciót is: Az olyn függvényt, mely leképezési szbályábn változó kitevőben szerepel, továbbá z lp pozitív szám, eponenciális függvénynek nevezzük..1.3. Foglomzonosítási és relizálási feldtok A vizsgált tnkönyvekben nem voltk ilyen jellegű feldtok. 16.
.1.4. Definíció következményei A definíció kimondás után tnkönyvekben z eponenciális függvény ábrázolás, trnszformációi és jellemzése következik különböző lpok esetén. A Czpáry-Gypjs-féle tnkönyv nem trtlmz mintpéldákt, és kevés függvényábrázolás vn benne. A többi vizsgált tnkönyvben több függvényábrázolás is szerepel, kidolgozott mintpéldként. Rámuttnk, hogy változik függvény grfikonj különböző lpok esetén. A Hjnl-féle könyv egy mintpéldán keresztül előkészíti ritmus foglmát..1.5. Beágyzás foglomhierrchiáb Egyik tnkönyv sem trtlmz ilyen jellegű feldtokt. A Sokszínű mtemtik z eponenciális függvény definiálás előtt szót ejt htvány- és gyökfüggvényekről, illetve ezek kpcsoltáról. Ábrázolj másod-, hrmd- és negyedfokú htványfüggvényeket, illetve z ezekhez trtozó megfelelő gyökfüggvényeket közös koordinát-rendszerben, és rámutt, hogy mi kpcsolt közöttük, definiálj z inverz foglmát. Az eponenciális függvény tárgylásánál nem utl rr, hogy ez hogyn kpcsolódik témkörhöz..1.6. Alklmzási feldtok A Sokszínű mtemtik tnkönyv két lklmzási feldtot trtlmz. Az egyik egy kidolgozott péld légnyomásról, másik egy gykorló feldt rdioktív bomlásról. A Vncsó-féle tnkönyv bővelkedik lklmzási feldtokbn. Több kidolgozott péld is tlálhtó benne. Vnnk természeti folymtokt leíró példák, kmtos kmt számítás, életből vett gykorlti példák, például egy városi közlekedési válllt bérlet eldásáról szóló feldt. A Hjnl-féle tnkönyvben egy lklmzási feldt szerepel bktériumok osztódásáról, ezen keresztül vezeti be z eponenciális függvényt egész kitevőre. A Czpáry-Gypjs-féle tnkönyv sjnos egyáltlán nem trtlmz lklmzási feldtot. A Hjdu-féle tnkönyv bevezető példán kívül egy lklmzási feldtot trtlmz. 17.
.. A LOGARITMUS FOGALMÁNAK BEVEZETÉSE..1. Bevezető, motiváló feldtok A Sokszínű mtemtik bktériumok szporodásáról szóló feldttl vezeti be ritmus foglmát. Mennyi idő múlv ér el bktériumok szám egy bizonyos számot, h óránként megduplázódnk kérdést teszi fel. A függvény grfikonjáról olvss le közelítő eredményt, mjd definiálj ritmust. A Vncsó-féle tnkönyv tízes lpú ritmust vezeti be először egy egyenlet megoldásán keresztül. Egy könnyebb egyenleten megmuttj, hogy ezt még ki tudjuk tlálni, de bonyolultbb egyenlet esetén már nem, így be kell vezetnünk egy új foglmt, ritmust. A definíció után sok gykorlti péld következik 10-es lpú ritmusr, és csk ezután definiálj tetszőleges lpú ritmust. A Hjnl-féle tnkönyv hsonlón vezeti be ritmust, mint Sokszínű mtemtik. Az eponenciális függvény tárgylásánál egy mintpéldán keresztül készíti elő ritmus foglmát. Ez feldt következő: Keressük nnk kitevőnek közelítő értékét, melyre -t felemelve 5-öt, 3-t, 0,5-et, 0,1-et kpunk. A függvény grfikonjáról olvss le közelítő megoldást. Ezután A ritmus foglm című fejezetben definiálj ritmus foglmát. A Czpáry-Gypjs-féle tnkönyv 10-es lpú htványtáblázton keresztül vezeti be ritmus foglmát. A négyjegyű függvénytábláztbn megfelelő tábláztbn megtláljuk zt htványkitevőt, melyre htványozv 10-et megkpjuk számot. Ezután definiálj 10-es lpú ritmus foglmát, mjd tetszőleges lpú ritmus foglmát is. A Hjdu-féle tnkönyv egy számolási feldttl közelít, egy négytgú szorzást kell elvégezni. Rámutt, hogy minden pozitív vlós szám felírhtó vlmely pozitív vlós szám vlós kitevőjű htványként. Ez lehetőséget d rr, hogy hosszú, bonyolult szorzásokt, osztásokt, htványozásokt egyszerűbben elvégezzünk.... Definíció A Vncsó-féle tnkönyv először 10-es lpú ritmust definiálj, és csk ezután tetszőleges lpút. Egy pozitív vlós szám tízes lpú ritmus zt kitevőt 18.
jelenti, melyre tízet emelve kérdéses pozitív vlós számot kpjuk, zz: lg y =, h 10 = y, hol y > 0. A tetszőleges lpú ritmus definíciój lényegében megegyezik mindegyik tnkönyvben: Egy pozitív b szám lpú ritmus ( > 0, 1) z kitevő, melyre z lpot emelve éppen b-t kpjuk: b = b =, hol b > 0, és >0, 1. A Hjdu-féle tnkönyv több definíciót is d még ritmusr. - Legyen 1 pozitív vlós szám. Tetszőleges b pozitív vlós szám esetén létezik pontosn egy olyn c vlós szám, hogy lpú ritmusánk nevezzük. Jelölés: b. Ekkor c htványkitevőt b szám b - H egy pozitív vlós számot dott, 1-től különböző lpú htvány lkbn írunk fel, kkor ennek htványnk kitevőjét ritmusnk nevezzük...3. Foglomzonosítási és relizálási feldtok Ilyen jellegű feldt nem volt egyik tnkönyvben sem...4. Definíció következményei A Vncsó-féle és Hjdú-féle tnkönyv ritmus néhány tuljdonságát sorolj fel, például 1, 1 0. A Czpáry-Gypjs-féle tnkönyv megemlít néhány tuljdonságot definíció után, hogy miért nem lehet 0 és 1, illetve negtív számot válsztni lpnk. A többi tnkönyvben nem tláltm hsonló típusú megjegyzést...5. Beágyzás foglomhierrchiáb Egyedül Vncsó-féle tnkönyv tesz említést rr, hogy ritmus htványozás inverz művelete, h kitevőre vgyunk kíváncsik. A htványozás másik inverz művelete gyökvonás, mennyiben z lpr vgyunk kíváncsik. A tízes lpú ritmus tárgylás előtt tisztázz htványlp, htványkitevő, htványérték, htványozás és gyökvonás foglmkt. A htványértéket htványozássl, htványlpot gyökvonássl tudjuk kiszámítni. Ebben tnkönyvben szerepel egy 19.
olyn feldt, mi segítheti foglomrendszerbe vló beágyzást. Egy megdott egyenletet fel kell írni htvány, gyök, és ritmus formábn is. A Sokszínű mtemtik z ismétlésnél megemlíti gyökvonást, mint htványozás inverz művelete, de ztán nem hozz kpcsoltb ritmussl...6. Alklmzási feldtok A Sokszínű mtemtikábn bevezető feldton kívül egy lklmzási feldt vn rdioktív bomlásról, de ez egy nehezebb, csillgos feldtként szerepel. Ezen kívül Gykorlti lklmzások című fejezetben szerepel 4 kidolgozott péld. A Vncsó-féle tnkönyvben sok lklmzási feldt szerepel, leginkább tízes lpú ritmusr. A Hjdu-féle tnkönyvben is sok feldt szerepel ritmus lklmzásár. A másik két tnkönyvben nem tláltm egyáltlán lklmzási feldtot..3. A LOGARITMUSFÜGGVÉNY.3.1. Bevezető, motiváló feldtok A Hjnl-féle könyv kivételével mindegyik tnkönyv z eponenciális függvény inverzeként vezeti be ritmus függvényt. A Hjnl-féle tnkönyv definiálj ritmus függvényt, mjd egy koordinát-rendszerben ábrázol különböző lpú ritmus függvényeket. Ez után mutt csk rá, hogy ritmus függvény és z eponenciális függvény egymás inverzei. A Hjdu-féle tnkönyv először ábrázolj z f: R + R; jellemzi., mjd ezt A Vncsó-féle mtemtik könyv felsorolj ritmus függvény tuljdonságit, de nem ábrázol különböző lpú függvényeket. A Sokszínű mtemtik tárgylj szemléletesen függvény-trnszformációkt is. 0.
.3.. Definíció A definíciók lényegében megegyeznek tnkönyvekben. A Czpáry-Gypjs-féle tnkönyv z eponenciális függvény inverzeként definiálj ritmus függvényt, elég körülményesen: Áltlánosn, z f: R + R, f() =, > 1 ritmusfüggvény g: R R +, g() =, > 1 eponenciális függvény inverze és megfordítv. Konkrét definíció Hjnl-féle tnkönyvben vn, többi könyvben nincs definiálv ritmus függvény. A Hjnl-féle definíció következő: Az f: R + R, f() = (0 < és 1) függvényt ritmus függvénynek nevezzük. Más jelöléssel:.3.3. Foglomzonosítási és relizálási feldtok Egyik tnkönyv sem trtlmz ilyen jellegű feldtokt..3.4. Definíció következményei A definíció következményeként ritmusfüggvény tuljdonságiról mindegyik tnkönyvben szó esik. A Vncsó-féle tnkönyv összefogllást d ritmus függvény tuljdonságiról..3.5. Beágyzás foglomhierrchiáb Mindegyik tnkönyv rámutt z eponenciális és ritmus függvény kpcsoltár. A Hjdu-féle tnkönyv összehsonlítj két függvény tuljdonságit. A Czpáry-Gypjs-féle tnkönyvben szerepel olyn feldt, melyben ábrázolni kell közös koordinátrendszerben két függvényt, és meg kell állpítni, hogy milyen kpcsolt vn kettő között. 1.
.3.6. Alklmzási feldtok A ritmusfüggvényre vontkozó lklmzási feldt csk Sokszínű mtemtikábn szerepel dísznövény növekedéséről. Grfikonról kell leolvsni dtokt, és meg kell dni függvény hozzárendelési szbályát..4. A LOGARITMUS AZONOSSÁGAI.4.1. Bevezető, motiváló feldtok A Hjdu-féle tnkönyv z lg képződésének példájávl szemlélteti, hogy ngy számok esetén számológép hibát jelez, z írásbeli lgoritmus pedig körülményes lenne, ezért célszerű lklmzni 10 htványiról és 10-es lpú ritmusról tnultkt. A 10 htványivl is és ritmusokkl is kiszámolj párhuzmosn egymás mellett ugynzt példát, és rámutt, hogy végrehjtott számítások esetén elegendő csk kitevőket kiírni, így htványozás zonosságit átfoglmzhtjuk ritmusokkl végzett műveletekre. A Sokszínű mtemtik egy konkrét példán keresztül rámutt rr, hogy szorzt ritmus megegyezik tényezők ritmusánk összegével, és hsonlón többi zonosságr..4.. Tétel megfoglmzás Mindegyik tnkönyv lényegében ugynúgy mondj ki tételeket. Szerepel tétel megfoglmzás szövegesen, mjd képletekkel is. Például szorzt ritmusár vontkozó zonosság következőképpen hngzik: Szorzt ritmus megegyezik tényezők ritmusánk összegével. 1. ( y) y, hol, y > 0; > 0;.4.3. Bizonyítás A vizsgált tnkönyvekben bizonyítások menete megegyezik. A Czpáry-féle és Hjnl-féle tnkönyvekben először bizonyítás szerepel, és után mondj ki.
tételeket. A ritmus definíciój és htványozás zonosságink segítségével rámutt ritmus zonosságir, és ezután mondj ki tételeket képlettel, mjd szövegesen. A Sokszínű mtemtik, Hjdu-féle és Vncsó-féle tnkönyv először kimondj tételeket és ezután bebizonyítj. Mind három tnkönyvben bizonyítások után szerepel egy mintpéld z zonosság lklmzásár..4.4. Kpcsolt más tételekkel A Vncsó-féle tnkönyv többször is kihngsúlyozz, hogy ritmus nem más, mint egy kitevő, és kpcsoltb is hozz htványozás zonosságivl. A szorzt ritmusár vontkozó tétel kimondás előtt emlékeztet rr z zonosságr, hogy zonos lpú htványok szorzáskor kitevők összedódnk, szorzt kitevője tényezők kitevőinek összege. Hsonlón többi tétel előtt is leírj megfelelő htványozásr vontkozó zonosságot..4.5. Alklmzási feldtok Leginkább különböző típusú számolási feldtok vnnk tnkönyvekben. Kifejezések pontos értékét kell kiszámítni számológép nélkül, és ritmus zonosságit gykorolttó feldtok is vnnk szép számml mindegyik tnkönyvben..5. ÖSSZEFOGLALÁS Összefogllv elmondhtó, hogy tnkönyvek trtlm megfelel kerettnterv és érettségi követelményeknek. A Hjnl-féle és Czpáry-Gypjs-féle tnkönyvben kevés gykorltis, életszerű lklmzási feldt. A másik három tnkönyv trtlmz ilyen jellegű feldtokt szép számml. Sok példávl és gykorló feldttl tlálkozunk z egyes fejezetek végén, de foglomzonosítási és foglomrelizálási feldt lig szerepel tnkönyvekben. A Sokszínű mtemtik, hogy neve is muttj, sokszínű. Sok szép színes ábrát, képet trtlmz, melyek segítik megértést. Trtlmilg is jól fel vn építve. A Vncsóféle tnkönyvben is sok szemléletes ábr, illetve feldt vn, ngyon jól fel vn építve és 3.
jól rámutt foglmk közötti kpcsoltokr. A Hjdu-féle mtemtik tnkönyv ngyon szemléletes bevezető feldtokt trtlmz, mely jól előkészíti témkört. Elsősorbn ebből három tnkönyvből merítettem ötleteket, illetve sját elképzeléseim szerint építettem fel témkört. 4.
3. Érettségi feldtok Ebben fejezetben megnézem 005-től kezdve, hogy középszintű és z emelt szintű érettségi feldtsorokbn milyen típusú feldtok fordultk elő ebben témkörben, mjd megvizsgálom, hogy forglombn lévő tnkönyvek megfelelnek-e követelményeknek, biztosítnk-e z érettségi vizsg feldtihoz gykorló feldtokt témkörből, jól felkészítik-e tnulókt z érettségi vizsgár. 3.1. KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI FELADATOK 6 7 típusú feldt fordul elő középszintű érettségi feldtokbn. Ezek következők: 1. Eponenciális függvény. Eponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek 3. Logritmus definíciój 4. Logritmus zonossági 5. Logritmusfüggvény 6. Logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek 7. Alklmzási feldtok 3.1.1. Eponenciális függvény 1. 010. október 19. Milyen vlós számokt jelöl z, h tudjuk, hogy vlós számok hlmzán értelmezett függvény szigorún monoton növekvő? pont 6 http://www.oktts.hu/kozneveles/erettsegi/feldtsorok 5.
3.1.. Eponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek 1. 006. május 9. Oldj meg következő egyenletet! 9 3 3 0 6 pont. 007. október 5. ) Mely pozitív egész számokr igz következő egyenlőtlenség? 5-5 13-4 pont b) Oldj meg vlós számok hlmzán z lábbi egyenletet! 9 3 3 8 pont 3. 011. május 3. Összesen: 1 pont Adj meg z lábbi két egyenlet vlós gyökeit! ) 5 65 b) y 1 3 1 pont 1 pont Összesen: pont 4. 01. május 8. Oldj meg z lábbi egyenletet vlós számok hlmzán! 5 5 1 30 6.
5. 013. május 7. Adj meg z négy tizedesjegyre kerekített értékét, h 4 3 3 0. 4 pont 3.1.3. Logritmus definíciój 1. 007. október 5. Melyik ngyobb: A = 7 sin vgy B = 1? 4 A B (Írj megfelelő relációs jelet válszmezőbe! Válszát indokolj!) pont. 009. május 5. Adj meg 3 81 kifejezés pontos értékét! pont 3. 011. május 3. Melyik szám ngyobb? A = 1 lg vgy B = cos 8 10 pont 4. 01. május 8. Adj meg zokt z vlós számokt, melyekre teljesül: lg 4 Válszát indokolj! 3 pont 7.
3.1.4. Logritmus zonossági 1. 006. február 1. Mekkor értéke, h lg = lg 3 + lg 5 pont. 007. október 5. Adj meg lg = lg egyenlet megoldáshlmzát! pont 3. 010. május 4. Az R + R, 3 függvény z lább megdott függvények közül melyikkel zonos? A) R + R, 3 B) R + R, 8 C) R + R, 3 D) R + 3 R, pont 8.
3.1.5. Logritmusfüggvény 1. 011. október 18. István z 1 0 függvény grfikonját krt felvázolni, de ez nem sikerült neki, több hibát is elkövetett ( hibás vázlt láthtó mellékelt ábrán). Döntse el, hogy melyik igz z lábbi állítások közül! A) István rjzábn hib z, hogy vázolt függvény szigorún monoton csökkenő. B) István rjzábn hib z, hogy vázolt függvény -höz -t rendel. C) István rjzábn hib z, hogy vázolt függvény zérushelye 1. pont 3.1.6. Logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek 1. 005. október 5. Oldj meg z lábbi egyenletet! 3 1 1 vlós szám, és -1 6 pont. 006. május 9. Adott következő egyenletrendszer: (1) lg( y 1) lg( 11) () y ) Ábrázolj derékszögű koordinát-rendszerben zokt P(; y) pontokt, melyeknek koordinátái kielégítik () egyenletet! 9.
pont b) Milyen, illetve y vlós számokr értelmezhető mindkét egyenlet? pont c) Oldj meg z egyenletrendszert vlós számpárok hlmzán! 11 pont d) Jelölje meg z egyenletrendszer megoldáshlmzát z ) kérdéshez hsznált derékszögű koordinát-rendszerben! pont Összesen: 7 pont 3. 007. május 8. 1 Oldj meg pozitív vlós számok hlmzán 16 megdott számegyenesen z egyenlet megoldását! 4. 008. május 6. 3 pont Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenleteket! ) lg( 15) lg(3 5) lg 6 pont b) 5 3 5 5 6 pont Összesen: 1 pont 30.
5. 008. október 1. Htározz meg z lábbi egyenlet vlós megoldásit! ( 3)( 6) 0 7 pont 3.1.7. Alklmzási feldtok 1. 006. október 5. A szociológusok z országok sttisztiki dtink összehsonlításánál hsználják következő tpsztlti képletet: 6000 G 6090 É 75,5 5 10. A képletben z É születéskor várhtó átlgos élettrtm években, G z ország egy főre jutó nemzeti összterméke ( GDP) reálértékben, átszámítv 1980-s dollárr. ) Mennyi volt 005-ben várhtó élettrtm bbn z országbn, melyben kkor G ngyság 1090 dollár volt? 4 pont b) Mennyivel változht ebben z országbn várhtó élettrtm 00-r, h gzdsági előrejelzések szerint ekkorr G értéke 005-ös szint háromszorosár nő? 5 pont c) Egy másik országbn 005-ben születéskor várhtó átlgos élettrtm 68 év. Mekkor volt ekkor ebben z országbn GDP (G) ngyság (reálértékben, átszámítv 1980-s dollárr)? 8 pont Összesen: 17 pont 31.
. 008. május 6. A Kis cslád 700 000 Ft megtkrított pénzét éves lekötésű tkrékbn helyezte el z A Bnkbn, kmtos kmtr. A pénz két évig kmtozott, évi 6%-os kmtos kmttl. (A kmtláb tehát ebben bnkbn 6% volt.) ) Legfeljebb mekkor összeget vehettek fel két év elteltével, h kmtláb két év során nem változott? 3 pont A Ngy cslád B Bnkbn 800 000 Ft-ot helyezett el, szintén két évre, kmtos kmtr. b) Hány százlékos volt B Bnkbn z első év folymán kmtláb, h bnk ezt kmtlábt második évre 3%-kl növelte, és így második év végén Ngy cslád 907 00 Ft-ot vehetett fel? 10 pont c) A Ngy cslád bnkból felvett 907 00 Ft-ért különféle trtós fogysztási cikkeket vásárolt. Hány forintot kellett voln fizetniük ugynezekért fogysztási cikkekért két évvel korábbn, h vásárolt termékek ár z eltelt két év során csk 4%-os átlgos éves inflációnk megfelelően változott? (A 4%-os átlgos éves infláció szemléletesen zt jelenti, hogy z előző évben 100 Ft-ért vásárolt jvkért idén 104 Ft-ot kell fizetni.) 4 pont Összesen: 17 pont 3. 008. október 1. Csill és Csongor ikrek, és születésükkor mindkettőjük részére tkrékkönyvet nyitottk ngyszülők. 18 éves korukig egyikőjük számlájáról sem vettek fel pénzt. Csill számlájár születésekor 500 000 Ft-ot helyeztek el. Ez z összeg évi 8%-kl kmtozik. 3.
) Legfeljebb mekkor összeget vehet fel Csill 18. születésnpján számlájáról, h kmt mindvégig 8%? (A pénzt forintr kerekített értékben fizeti ki bnk.) 5 pont Csongor számlájár születésekor 400 000 Ft-ot helyeztek el. Ez z összeg félévente kmtozik, mindig zonos kmtlábbl. b) Mekkor ez félévenkénti kmtláb, h tudjuk, hogy Csongor számlájáról 18. születésnpján millió forintot vehet fel? (A kmtláb mindvégig állndó.) A kmtlábt két tizedesjegyre kerekítve dj meg! 7 pont Összesen: 1 pont 4. 009. október 0. H z eredetileg I 0 wtt m intenzitású lézersugár mm ( 0) mélyre htol egy I 0 0, 1 bizonyos nygbn, kkor ebben mélységben intenzitás 6 Ezt z nygot I 0 = 800 wtt m intenzitású lézersugárrl világítják meg. I wtt m lesz. ) Töltse ki z lábbi tábláztot! (Az intenzitásr kpott mérőszámokt egészre kerekítve dj meg!) 3 pont b) Mekkor mélységben lesz behtoló lézersugár intenzitás z eredeti érték (I0) 15%-? (A válszt tizedmilliméterre kerekítve dj meg!) 6 pont 33.
c) Egy gyermekszínház műsoránk vlmelyik jelenetében dekorációként z ábrán láthtó elrendezés szerinti négy csillg közül egyeseket zöld vgy kék lézerfénnyel rjzolnk ki. Hány különböző dekorációs terv készülhet, h leglább egy csillgot ki kell rjzolni lézerrel? 5. 010. május 4. 8 pont Összesen: 17 pont Sttisztiki dtok szerint z 1997-es év utáni években 003-ml bezárólg világon évente átlgosn 1,1%-kl több utót gyártottk, mint megelőző évben. A 003-t követő években, egészen 007-tel bezárólg évente átlgosn már 5,4%-kl gyártottk többet, mint megelőző évben. 003-bn összesen 41,9 millió utó készült. ) Hány utót gyártottk világon 007-ben? 4 pont b) Hány utót gyártottk világon 1997-ben? 4 pont Válszit százezerre kerekítve dj meg! 008-bn z előző évhez képest csökkent gyártott utók szám, ekkor világon összesen 48,8 millió új utó hgyt el gyárkt. 008-bn előrejelzés készült következő 5 évre vontkozón. Eszerint 013-bn 38 millió utót fognk gyártni. Az előrejelzés úgy számolt, hogy minden évben z előző évinek ugynkkor százlékávl csökken termelés. c) Hány százlékkl csökken z előrejelzés szerint z évenkénti termelés 008-t követő 5 év során? 4 pont 34.
Az eredményt egy tizedes jegyre kerekítve dj meg! d) Elfogdjuk z előrejelzés dtát, mjd zt feltételezzük, hogy 013 után évente 3%- kl csökken gyártott utók szám. Melyik évben lesz így z bbn z évben gyártott utók szám 013-bn gyártottknk 76%-? 5 pont Összesen: 17 pont 6. 011. május 3. Egy új típusú, z lcsonybb nyomások mérésére kifejlesztett műszer tesztelése során zt tpsztlták, hogy műszer áltl mért p m és vlódi p v nyomás között lg p m 0,8 lg p v 0,301összefüggés áll fenn. A műszer áltl mért és vlódi nyomás egyránt pscl (P) egységekben szerepel képletben. ) Mennyit mér z új műszer 0 P vlódi nyomás esetén? 4 pont b) Mennyi vlójábn nyomás, h műszer 50 P értéket mutt? 6 pont c) Mekkor nyomás esetén muttj műszer vlódi nyomást? 7 pont A psclbn kiszámított értékeket egész számr kerekítve dj meg! Összesen:17 pont 7. 011. október 18. A 000 eurós tőke évi 6 %-os kmtos kmt mellett hány teljes év elteltével nőne 404 eurór? Megoldását részletezze! 4 pont 35.
8. 011. október 18. Újsághír: Szeizmológusok számítási lpján 004. december 6-án Szumátr szigetének közelében kipttnt földrengés Richter-skál szerint 9,3-es erősségű volt; rengést követő cunmi (szökőár) hlálos áldoztink szám megközelítette 300 ezret. A földrengés Richter-skál szerinti erőssége és rengés középpontjábn felszbduló energi között fennálló összefüggés: M 4,4 lg E. 3 Ebben képletben E földrengés középpontjábn felszbduló energi mérőszám (joule-bn mérve), M pedig földrengés erősségét megdó nem negtív szám Richterskálán. ) A Ngskir 1945-ben ledobott tombomb felrobbnáskor felszbduló energi 14 1,344 10 joule volt. A Richter-skál szerint mekkor erősségű z földrengés, melynek középpontjábn ekkor energi szbdul fel? 3 pont b) A 004. december 6-i szumátri földrengésben mekkor volt felszbdult energi? 3 pont c) A 007-es chilei ngy földrengés erőssége Richter-skál szerint -vel ngyobb volt, mint nnk kndi földrengésnek z erőssége, mely ugynebben z évben következett be. Hányszor kkor energi szbdult fel chilei földrengésben, mint kndibn? d) Az óceánbn fekvő egyik szigeten földrengést követően kilkuló szökőár egy körszelet lkú részt trolt le. A körszeletet htároló körív középpontj rengés középpontj, sugr pedig 18 km. A rengés középpontj sziget prtjától 17 km 5 pont 36.
távolságbn volt (lásd felülnézeti ábrán). Mekkor szárzföldön elpusztult rész területe egész négyzetkilométerre kerekítve? 6 pont Összesen: 17 pont 9. 01. október 1. Stefi mobiltelefon-költségeinek fedezésére feltöltőkártyát szokott vásárolni. A mobiltársság ebben z esetben sem előfizetési díjt, sem hívásonkénti kpcsolási díjt nem számol fel. Csúcsidőben percdíj 5 forinttl drágább, mint csúcsidőn kívül. Stefi z elmúlt négy hétben összesen órát telefonált és 4000 Ft-ot hsznált fel kártyáj egyenlegéből úgy, hogy ugynnnyi pénzt költött csúcsidőn belüli, mint csúcsidőn kívüli beszélgetésekre. ) Hány percet beszélt Stefi mobiltelefonján csúcsidőben z elmúlt négy hétben? 11 pont A mobiltársság Telint néven új mobilinternet csomgot vezet be picr jnuár elsején. Jnuárbn 10 000 új előfizetőt várnk, mjd ezután minden hónpbn z előző hvinál 7,5%-kl több új előfizetőre számítnk. Abbn hónpbn, mikor z dott hvi új előfizetők szám eléri 0 000-et, társság változttni szeretne Telint csomg árán. b) Számíts ki, hogy tervek lpján melyik hónpbn éri el Telint csomg egyhvi új előfizetőinek szám 0 000-et! 6 pont Összesen: 17 pont A középszintű érettségi feldtok értékelése A 7 típus közül z lklmzási feldtokból szerepel legtöbb z érettségi feldtsorokbn. Előfordul kmtos kmt számítás, illetve z életből vett gykorlti példák, melyek eponenciális vgy ritmikus összefüggéseket írnk le. Ezek 37.
feldtok z érettségi feldtsor második részében tlálhtók, áltlábn válszthtó feldtok között. Az eponenciális, illetve ritmus függvény ábrázolásáról, illetve függvény tuljdonságiról szóló feldt kevés vn, összesen kettőt tláltm, egy eponenciális függvényt, és egy ritmus függvényt. A ritmus definíciójár és zonosságir rákérdező feldtot többet is tláltm z érettségi feldtsorok első részében. Eponenciális és ritmikus egyenletekből is elég sok feldt szerepel, illetve egy egyszerűbb egyenletrendszert is tláltm, és egy könnyebb eponenciális egyenlőtlenséget. A forglombn lévő tnkönyvek közül z érettségire legjobbn Sokszínű mtemtik és Vncsó-féle tnkönyv készít fel. Minden tnkönyvben szerepelnek szép számml z eponenciális és ritmus függvényről szóló feldtok, ritmus definícióját gykorolttó feldtok, egyenletek, de lklmzási feldtokból elég kevés szerepel tnkönyvekben. Az érettségiben pedig ebből típusból vn leginkább. A Sokszínű mtemtikábn és Vncsó-féle tnkönyvben is több kidolgozott péld szerepel z eponenciális függvény és ritmus függvény lklmzásár. A Vncsó-féle tnkönyvben ezen kívül sok gykorló feldt is szerepel. 3.. EMELT SZINTŰ ÉRETTSÉGI FELADATOK A középszintű érettségi feldtsorokbn előforduló feldttípusokt megnéztem z emelt szintű érettségi feldtsorokbn is. 1. Eponenciális függvény. Eponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek 3. Logritmus definíciój 4. Logritmus zonossági 5. Logritmusfüggvény 6. Logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek 7. Alklmzási feldtok 38.
3..1. Eponenciális függvény Nem tláltm ilyen jellegű feldtot. 3... Eponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek 006. október 5. Oldj meg z lábbi egyenletet vlós számok hlmzán! 1 3 6 pont 3..3. Logritmus definíciój 1. 007. május 8. Oldj meg z lábbi egyenletet vlós számok hlmzán! 10 4 6 sin lg1 9 11 pont. 01. október 16. Az lábbi három kifejezés mindegyike esetén dj meg vlós számok hlmzánk zt legbővebb részhlmzát, melyen kifejezés értelmezhető! ) cos( ) 3 pont b) (cos ) 5 pont c) (cos ) 5 pont Összesen: 13 pont 39.
3..4. Logritmus zonossági Nem tláltm ilyen jellegű feldtot. 3..5. Logritmusfüggvény Nem tláltm ilyen jellegű feldtot. 3..6. Logritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek 1. 005.október 5. Oldj meg z lábbi egyenletrendszert vlós számpárok hlmzán! ( 3 y ) y ( 3 y) 9 cos( y) cos( y) 0. 006. május 9. 16 pont Oldj meg z lábbi egyenletrendszert, hol és y vlós számok! y 10 3 lg( 4 3) y 1 11 pont 40.
3. 006. május 9. Oldj meg vlós számpárok hlmzán z lábbi egyenletrendszert! lg( y) lg 4. 007. október 5. lg lg lg( y 1) 9 pont Oldj meg z lábbi egyenletet vlós számok hlmzán! lg( 7) lg(3 1) 5. 008. október 1. 5 pont Oldj meg vlós számok hlmzán z lábbi egyenletet: ( ) lg( 8) 0 6. 009. május 5. 5 pont Igzolj, hogy z lábbi négy egyenlet közül z ) és b) jelű egyenletnek pontosn egy megoldás vn, c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldás vlós számok hlmzán! 10 ) 0 1 4 pont b) 16 9 5 4 pont c) lg( 6) lg(1 ) 4 pont d) sin 1 lg(cos 1,5cos ) 4 pont Összesen: 16 pont 41.
7. 009. október 0. Oldj meg z lábbi egyenleteket! 0, 5 ) 0,5 3, hol 0 és R 4 pont 1 b) 7 6, hol 1 és R 7 pont Összesen: 11 pont 8. 011. május 3. Legyen A R 1 5 és B R 1 1 ( 4) Adj meg z A B, A B, B \ A hlmzokt! 13 pont 9. 011. október 18. Oldj meg következő egyenletrendszert, h és y vlós számok, továbbá > 0, 1, és y > 0, y 1. y y sin( 3y) sin(4 y) 1 13 pont 4.
3..7. Alklmzási feldtok 1. 005. október 5. Péter ngyppáj minden évben félretett némi pénzösszeget egy perselybe unokáj számár. 5000 Ft-tl kezdte tkrékoskodást 1996. jnuár 1-én. Ezután minden év első npján hozzátett z ddig összegyűlt összeghez, mégpedig z előző évben félretettnél 1000 Ft-tl többet. 004. jnuár 1-jén ngypp bele tette perselybe megfelelő összeget, mjd úgy döntött, hogy perselyt unokájánk most dj át. ) Mekkor összeget kpott Péter? 5 pont b) Péter ngyppáj jándékából vett néhány próságot, de elhtározt, hogy kpott összeg ngyobb részét 005. jnuár 1-jén bnkszámlár teszi. Be is tett 60000 Ft-ot évi 4%-os kmtos kmtr ( kmtok minden évben, év végén hozzádódnk tőkéhez). Leglább hány évig kell Péternek várni, hogy számláján leglább 100000 Ft legyen úgy, hogy közben nem fizet be erre számlár? 9 pont Összesen: 14 pont. 007. október 5. Egy dolgozó z év végi prémiumként kpott 1 000 000 Ft-ját krj kmtozttni következő nyárig, ht hónpon át. Két kedvező jánltot kpott. Vgy kéthvi lekötést válszt kéthvi 1,7%-os kmtr, kéthvonkénti tőkésítés mellett, vgy forintot átváltj eurór, és z összeget hvi 0,5%-os kmttl köti le ht hónpr, hvi tőkésítés mellett. ) Mennyi pénze lenne ht hónp után forintszámlán z első esetben? (Az eredményt Ft-r kerekítve dj meg.) 3 pont 43.
b) H ekkor éppen 5 forintot ért egy euró, kkor hány eurót vehetne fel ht hónp múlv második jánlt válsztás esetén? (Az eredményt két tizedes jegyre kerekítve dj meg.) 4 pont c) Leglább hány százlékkl kellene változni 5 forint/euró árfolymnk félév ltt, hogy második válsztás legyen kedvezőbb? (Az eredményt két tizedes jegyre kerekítve dj meg.) 5 pont (A tőkésítés melletti befektetés zt jelenti, hogy tőkésítési időszk ltt elért kmtot z időszk végén hozzádják z időszk kezdetén befektetett tőkéhez, és következő időszkbn z így kpott, kmttl megnövelt összeg után számítják kmtot. Ez folymt nnyiszor ismétlődik, hány tőkésítési időszk vn befektetés időtrtm ltt.) Összesen: 1 pont 3. 008. október 1. Egy bnk Gondoskodás nevű megtkrítási formáját jánlj újszülöttek csládjánk. A megtkrításr válllkozó csládok gyermek születését követő év első bnki npján számlát nyithtnk 100 000 forint összeggel. Minden következő év első bnki npján szintén 100 000 forintot kell befizetniük számlár. Az utolsó befizetés nnk z évnek z első bnki npján történhet, mely évben gyermekük betölti 18. életévét. A bnk év végén számlán lévő összeg után évi 8%-os kmtot d, mit következő év első bnki npjár ír jóvá. A gyermek 18. születésnpját követő év első bnki npján férhet hozzá számlához. ) Mekkor összeg vn ekkor számlán? A válszát egész forintr kerekítse! 8 pont A gyermek 18. születésnpját követő év első bnki npján felveheti számláján lévő teljes összeget. H nem veszi fel, kkor válszthtj következő lehetőséget is: 44.
Ht éven keresztül minden év első bnki npján zonos összeget vehet fel. Az első részletet 18. születésnpját követő év első bnki npján veheti fel. A htodik pénzfelvétellel száml kiürül. H ezt lehetőséget válsztj, kkor bnk z első pénzfelvételtől számítv minden év végén számlán lévő összeg után évi 5%-os kmtot grntál, mit következő év első bnki npjár ír jóvá. b) Ebben z esetben mekkor összeget vehet fel lklmnként? A válszát egész forintr kerekítse! 8 pont Az emelt szintű érettségi feldtsorokbn leginkább eponenciális és ritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek, illetve egyenletrendszerek fordulnk elő, ezek közül is legtöbb feldtbn ritmus szerepel. Jóvl kevesebb z lklmzási feldtok szám, mint középszintű érettségiben. A függvényekkel kpcsoltos feldtok, és ritmus zonosságir vontkozó feldtok hiányoznk. 45.