Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x 0, Defiíció: Az em egtív vlós szám égyzetgyöké zt em egtív számot értjük, ) melyek égyzete. Jelölés: ( 0, 0, Következméy: A égyzetgyökvoás zoossági: h 0, 0 h 0, 0 h 0 Másodfokú egyeletek Áltláos lk: x x c 0 0 Megoldóképlet: 4c x x x Diszkrimiás: D 4 c Megoldások szám vlós számok körée: megoldás, h D 0 megoldás, h D 0 0 megoldás, h D 0 x x c x x x x Gyöktéyezős lk: Gyökök és együtthtók összefüggése: Másodfokú kifejezés grfikoj prol. Miimum v, h 0 Szélsőértékhelye: x x, z egyelet gyökei, ; mximum v, h 0. -ál tlálhtó. x x c (Viéte formulák)
Geometri Tétel: (Párhuzmos szelők tétele) H egy szög szárit párhuzmos egyeesekkel metsszük, kkor z egyik száro keletkező szkszok ráy megegyezik másik száro keletkező megfelelő szkszok ráyávl.. Tétel: (Párhuzmos szelők tételéek megfordítás) H két egyees egy szög száriól oly szkszokt vág le, melyekek ráy midkét száro egyelő, kkor két egyees párhuzmos. Tétel: (Párhuzmos szelőszkszok tétele) Egy szög szárit metsző párhuzmosokól szárk áltl kimetszett szkszok ráy megegyezik párhuzmosok áltl z egyik száról kimetszett szkszok ráyávl. Következméyek: Az ráyú hsolósági trszformáció ármely AB szksz hosszát AB hosszúságúr változttj. Két háromszög hsoló, h megfelelő oldlik hosszák ráy egyelő. A háromszög középvol párhuzmos és fele kkor, mit hrmdik oldl. A háromszög súlypotj hrmdolj súlyvolkt. Háromszögek: Tétel: (Háromszög-egyelőtleség) Egy háromszöge ármely két oldl összege gyo hrmdik oldlál. +>c; +c> és +c> Tétel: Egy háromszög ármely külső szöge megegyezik em mellette fekvő két első szög összegével. =+ Tétel: Háromszög első szögeiek összege 80. ++=80 Tétel: Háromszög külső szögeiek összege 360. + + =360 Háromszögek osztályozás: hegyes szögű (mide szöge hegyes szög) tomp szögű (v egy tomp szöge) derékszögű Háromszög evezetes voli Metszéspotjuk mgsságvol mgsságpot szögfelező eírhtó kör középpotj oldlfelező merőlegesek köré írhtó kör középpotj súlyvol súlypot középvol - Terület kiszámítás: m m c mc T T Héro c T r s, T 4R si T Tderékszögű háromszög K ss s s c s hol r eírt, R köré írt kör sugr
3 Derékszögű háromszögekre votkozó tételek: Tétel: (Thlesz tétel) A síko zo potokk hlmz, melyekől egy dott AB szksz derékszög ltt látszik, z AB átmérőjű kör, kivéve z AB szksz két végpotját. Ezt kört z AB szksz Thlész-köréek evezzük. Következméyek: Egy derékszögű háromszög szögei kkor és csk kkor 30, 60 és 90-osk, h z átfogó kétszer oly hosszú, mit rövideik (30-kl szemei) efogó. Egy körhöz külső potól éritőt Thlész-kör segítségével szerkeszthetük. Tétel: (Pitgorsz tétel) Derékszögű háromszög efogói égyzetéek összege megegyezik z átfogó égyzetével. Tétel: (Pitgorsz tétel megfordítás) H egy háromszöge két rövide oldl égyzetéek összege megegyezik hrmdik oldl égyzetével, kkor háromszög derékszögű. Következméyek: Derékszögű háromszögél c Hegyes szögű háromszögél c Tomp szögű háromszögél c Az A ; és B ; potok távolság: AB Tégltest testátlój: f c Tétel: (Mgsságtétel) A derékszögű háromszög átfogójához trtozó mgsság mérti közepe k két szkszk, melyekre z átfogót otj.( m xy ) Tétel: (Befogótétel) Derékszögű háromszöge z egyik efogó mérti közepe z átfogó lévő merőleges vetületéek és z átfogók. ( cx ) Következméyek: Két szksz mérti közepe mgsságtétel segítségével szerkeszthető. Áltláos háromszögekre votkozó tételek: Tétel: (Szögfelező tétel) Bármely háromszöge egy első szög felezője szemközti oldlt szomszédos oldlk ráyá osztj két részre. Tétel: (Sziusztétel) Bármely háromszöge z oldlk ráy megegyezik velük szeme fekvő szögek sziuszák ráyávl. Következméyek: : : c si : si : si A háromszög oldlák és szeme fekvő szög sziuszák háydos álldó, egyelő köré írt kör átmérőjével: c R si si si Tétel: (Kosziusztétel) Bármely háromszöge z egyik oldl égyzetét megkpjuk, h másik két oldl égyzetéek összegéől kivojuk közezárt szög kosziuszák és eze két oldl szorzták kétszeresét. c cos
4 Négyszögek: Négyszög Kerület Terület K c d c T Trpéz: oly égyszög, melyek v párhuzmos oldlpárj. Prlelogrmm: oly égyszög, melyek szemközti oldli párhuzmosk. szemközti oldli egyelőek; két-két szemközti oldl párhuzmos és egyelő; átlói felezik egymást; középpotos szimmetrikus égyszög; Romusz: oly égyszög, melyek oldli egyelő hosszúk. átlói merőlegese felezik egymást; Deltoid: oly égyszög, melyek két-két szomszédos oldl egyelő hosszú. Tégllp: oly égyszög, melyek mide szöge derékszög. átlói egyelő hosszúk és felezik egymást; Négyzet: oly égyszög, melyek oldli és szögei egyelőek. Áltláos égyszög K ( ) K 4 K ( ) m T m T si z oldlk szöge T m e f T K ( ) T K 4 K c d T e f T e f si z átlók szöge Defiíció: Húrégyszögek evezzük zokt égyszögeket, melyek köré kör írhtó. Tétel: Egy égyszög kkor és csk kkor húrégyszög, h két szemközti szögéek összege 80: 80 Defiíció: Éritőégyszögek evezzük zokt égyszögeket, melyeke mid égy oldlukt éritő kör írhtó. Tétel: Egy kovex égyszög kkor és csk kkor éritőégyszög, h két-két szemközti oldl hosszák összege egyelő: +c=+d.
5 Kör: Tétel: Az éritési pot húzott sugár merőleges z éritőre. Tétel: Körhöz külső potól húzott éritő szkszok egyelőek. Defiíció: A kör kerületi szögéek evezzük midzokt kovex szögeket, melyekek csúcs kör kerületé v és két száruk vgy két húr, vgy egy húr és egy éritő. Tétel: (Közpoti és kerületi szögek tétele) Egy köre dott ívhez trtozó középpoti szög kétszerese z ugyzo ívhez trtozó kerületi szögek. Tétel: (Kerületi szögek tétele)egy köre z ugyzo ívhez trtozó kerületi szögek egyelők. Tétel: A síko zokk potokk hlmz, melyekől egy dott AB szksz dott ( 0 80 ) szöge látszik, két szimmetrikus körív (látószög körív). Az dott szksz két szimmetrikus körív közös húrj. Eek végpotji em trtozk látószögkörívhez. Tétel: A körhöz külső potól húzott éritőszksz mérti közepe k két szkszk, melyek külső potr illeszkedő ármely szelő pottól körrel lkotott metszéspotokig terjedek. ( PE PA PB ) Tétel: H egy körhöz külső potól tetszőleges szelőket húzuk, kkor z egyes szelőkö P potól körrel lkotott metszéspotokig terjedő szkszok szorzt álldó. Kör kerület terület szögű körív hossz(i) szögű körcikk területe K r T r r i 360 r T körcikk, 360 T körcikk i r N oldlú kovex sokszög: átlóik szám 3 első szögeiek összege 80 külső szögeiek összege 360 Testek Felszí (A) Térfogt (V) kock 6 3 tégltest c c c egyees hsá T T T M K T M lp plást lp lp egyees heger T T r M K lp plást lp r M r gúl T T szályos oldlú gúl lp plást Tlp Tplást Tlp Toldl lp Tlp M r M
6 Vektorok Műveletek: összedás, kivoás, számml szorzás Defiíció: A v vektor z és vektorok lieáris komiációj, h tlálhtó oly, R, melyre v. Tétel: H és em párhuzmos vektorok, kkor z, vektorok síkják tetszőleges v vektor egyértelműe felothtó z és vektorokkl párhuzmos összetevőkre. ( v vektor egyértelműe felírhtó z és vektorok lieáris komiációjkét) Bázisvektorok: i, j egymásr merőlegesek, i j Defiíció: Az vektor koordiátái z Tétel: H dottk z A ; koordiátái i, j ázisredszere ;, h i j. ; potok, kkor z = vektor, továá B ; Defiíció: Az vektor szolút értéké z hosszát értjük. Jelölés: Tétel:, hol ; Következméyek: iráyú egységvektor:. e merőleges vektorok felírás sík: ; -re merőleges pl. ' ; " ; Defiíció: Az és vektorok skláris szorzt ezárt szög. Tétel: Tétel: 0 merőleges -re. Következméyek: vektorok szögéek kiszámítás, hol és ; cos. ; vgy, hol két vektor áltl merőleges vektorok felírás: -re meőleges pl. ' vgy " ; ; ; Tétel: H egy O potól z A pot mutt z, B-e vektor, és z F pot z AB szksz felezőpotj, kkor f OF. Tétel: H egy O potól z A pot mutt z, B-e vektor, és z AB szkszt D pot AD:DB=: ráy osztj, kkor d OD. Tétel: H egy O potól z ABC háromszög csúcsi z,,c vektorok muttk, kkor c háromszög S súlypotjá muttó vektor: s OS 3