a Haladó módszertani ismeretek című tárgyhoz 2017. szeptember 19.
Legyen f : N R R adott függvény, ekkor a x n = f (n, x n 1 ), n = 1, 2,... egyenletet elsőrendű differenciaegyenletnek nevezzük. Ha még adott egy ξ 0 valós szám úgy, hogy x 0 := ξ 0, akkor ezt a fenti differenciaegyenletre vonatkozó kezdeti feltételnek nevezzük. Konstans együtthatós lineáris egyenlet Legyen adott egy a R és egy {b n } valós sorozat, ekkor a (1) x n = ax n 1 + b n, n = 1, 2,... egyenletet konstans együtthatós lineáris differenciaegyenletnek nevezzük.
Tétel A (1) egyenlet megoldása az x 0 := ξ 0 kezdeti feltétel fennállása esetén x n = a n ξ 0 + n a n k b k. k=1 Ha b n = b minden n-re és a 1, akkor a megoldás: ( x n = a n ξ 0 b 1 a ) + b 1 a. Ha b n = b minden n-re és a = 1, akkor a megoldás: x n = ξ 0 + nb.
A növekedés multiplikátor-akcelerátor modellje Legyen Y n a nemzeti jövedelem az n. évben, I n a teljes beruházás ugyanabban az évben, és jelölje S n a teljes megtakarítást szintén az n. évben. Feltesszük a következőket: 1 a megtakarítás arányos a nemzeti jövedelemmel, azaz, létezik α > 0 valós szám, hogy S n = αy n (multiplikátor szabály), 2 a beruházás arányos a nemzeti jövedelem megváltozásával, azaz, létezik olyan β > 0 valós szám (akcelerátor), hogy I n = β(y n Y n 1 ), 3 fennáll az egyensúlyi feltétel, tehát a teljes beruházás nem haladhatja meg a megtakarítást, és vele egyenlő S n = I n.
Egyensúlyi állapot, stabilitás Az x n = f (x n 1 ) autonóm egyenlet x megoldását egyensúlyi állapotnak (vagy stacionárius állapotnak) nevezzük, ha az f függvény fixpontja, azaz, f (x ) = x. Ekkor a differenciaegyenlet megoldása az x n = x konstans sorozat lesz. Ha az x n = ax n 1 + b lineáris differenciaegyenletet tekintjük, akkor ennek a 1 esetén x = a stacionárius pontja, azaz b 1 a x n = a n (ξ 0 x ) + x, ha ξ 0 x. Ekkor az egyensúlyi állapottól való eltérés x n x = a n (ξ 0 x ). Ha a < 1 akkor x n x, ha n, és x n divergens, ha a > 1. Az első esetben stabil- míg a másodikban instabil egyensúlyi állapotról beszélünk.
Pókháló-modell Jelölje egy termék árát az n. időszakban p n, a kínálati függvényét S (supply), a keresleti függvényét D (demand), a kínálat rugalmassági együtthatója m S > 0, a keresleté m D > 0, legyenek továbbá a, b adott pozitív konstansok. Ekkor a modellünkben legyen S n := b + m S p n 1, D n := a m D p n. Itt feltesszük, hogy az eladó az előző évi árból kalkulálja ki a következő évi kínálatot. Továbbá, ezt úgy teszi meg, hogy az összes árut el tudja adni, azaz, teljesül a S n = D n egyensúlyi feltétel, amiből a korábbiak szerint az egyensúlyi ár p és p n a következő módon kapható meg: p = a + b (, p n = m ) n S (ξ 0 p ) + p. m S + m D m D
Példa (sertéstelep) Legyenek α, β > 0 adott konstansok és n db sertés felnevelési költsége: C(n) = αn + βn 2. Tegyük fel továbbá, hogy a gazdaság N db egyforma sertéstelepet tartalmaz. Legyen a keresleti függvény: D(p) = γ δp, ahol γ, δ > 0 adott konstansok, p pedig egy sertés ára. A haszon (π(n) = pn C(n)) maximalizálásából adódik, hogy n 0 := p α 2β darab sertést kell minden farmon tenyészteni, így a kínálati függvény S(p) = Nn 0, amiből az egyensúlyi feltétel felhasználásával kapjuk, hogy az egyensúlyi ár és a rugalmassági együtthatók p = 2βγ + Nα 2βδ + N, m S = N 2β, m D = δ.
Kamatos kamat és diszkontált jelenérték Modellezzük egy folyószámla egyenlegét a következő jelöléseket használva: w n jelölje az egyenleget az n. periódusban, y n jelölje a befizetést az n. periódusban, c n jelölje a kivétet az n. periódusban, r jelölje az egy periódusra eső kamatlábat. A kamatos kamat számítási szabálya a következő differenciaegyenletet eredményezi: w n = (1 + r)w n 1 + (y n c n ), n = 1, 2,... Ekkor a megoldásra vonatkozó korábbi képletből kapjuk, hogy w n (1 + r) n = w 0 + n k=1 y k c k (1 + r) k.
Lakáskölcsön visszafizetés Tegyük fel, hogy B a felvett kölcsön, r a havi kamatláb, minden hónapban ugyanannyi a törlesztőrészlet, és N hónap alatt szeretnénk visszafizetni a kölcsönt. Kérdés, mennyi legyen ezek ismeretében a havi törlesztőrészlet. Jelölje b n az aktuális egyenleget és z a törlesztőrészletet, ekkor b n = (1 + r)b n 1 z, n = 1,..., N, b 0 = B, b N = 0 egyenletnek és kezdeti feltételeknek kell teljesülni. Ezekből kapjuk, hogy z = rb 1 (1 + r) N.
Változó együtthatós lineáris egyenlet x n = a n x n 1 + b n, n = 1,... Tétel A fenti egyenlet megoldása az x 0 := ξ 0 kezdeti feltétel mellett ( n n n ) x n = ξ 0 a n + a i b k. i=1 k=1 i=k+1 Kamatos kamat változó kamatlábbal w n = (1 + r n )w n 1 + y n c n, n = 1,...