Szabályos mozaikok. Kovács Anita Mária. Matematika BSc. Szakdolgozat. Témavezet : Dr. Moussong Gábor egyetemi adjunktus Geometriai Tanszék

Szabályos mozaikok Kovács Anita Mária Matematika BSc Szakdolgozat Témavezet : Dr. Moussong Gábor egyetemi adjunktus Geometriai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budaest, 016

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3. A gömbi geometriáról 4 3. A hierbolikus síkgeometriáról 6 4. A szabályos sokszögekr l 7 5. A szabályos mozaikokról 15 5.1. Euklideszi síkon.......................... 19 5.. Gömbi síkon............................ 0 5.3. Hierbolikus síkon........................ 3 6. Befejezés 30

1. Bevezetés Dolgozatomat azzal a szándékkal írtam, hogy három különböz (gömbi, euklideszi és hierbolikus) síkon bemutassam a szabályos mozaikokat, szükséges és elégséges feltételeket keressek a létezésükre, és alavet tulajdonságaikkal jellemezzem ket. A szabályos mozaik kifejezés alatt a sík egyfajta kitaétázását értjük, ahol csak szabályos sokszögeket használhatunk. Ezeket úgy kell egymáshoz illesztenünk, hogy egymás metszése nélkül maradéktalanul befedjék az egész síkot. A különböz geometriákban ennek más és más feltételei vannak. Az Olvasó által ismertnek tekintem az euklideszi sík alavet tulajdonságait, a gömbi és a hierbolikus geometria témánkhoz szükséges mérték bemutatását azonban hasznosnak tartom. Ezt követ en ismertetem a szabályos sokszögek általános és geometriánként eltér tulajdonságait, ami által a három síkgeometria különbségeibe is szemléletes betekintést nyerhetünk. Ezek után jutunk el a f témánkhoz, a szabályos mozaikokhoz, amelyeket szintén el ször általánosan, majd geometriánként jellemzek, a szükséges feltételek megtalálása után elégséges feltételt mutatok a létezésükre. Ez a téma kiválóan alkalmas, hogy bemutassa a hierbolikus síkgeometria euklideszihez viszonyított sokszín ségét, akár közéiskolás végzettséggel rendelkez knek is (feltéve ersze, hogy érdekl d ek és fogékonyak a matematika iránt). Ezt szem el tt tartva vezettem be a fogalmakat, mondtam ki az állításokat, és fogalmaztam meg a hozzáf zött magyarázatokat. A lehet séget megragadva szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Moussong Gábor tanár úrnak, aki segítségével, szakmai taasztalatával és támogatásával nagy mértékben hozzájárult a szakdolgozatom elkészítéséhez. 3

. A gömbi geometriáról A gömbi geometria a gömbfelület geometriája. Szokás úgy tekinteni rá, mint az euklideszi sík görbült megfelel jére, így értelmet nyer az amúgy oximoronnak t n gömbi sík kifejezés. A legtöbb euklideszi geometriában megismert fogalom gond nélkül bevezethet itt is, gyelve arra, hogy ezek mind gömbi értelemben veend k: ontok, egyenesek, szakaszok, távolság, körök, sokszögek... A továbbiakban a félreértések elkerülése végett minden alkalommal egyértelm sítem, ha gömbi fogalommal van dolgunk, a többi esetben az euklideszi geometriáról van szó. Ezek egy része ersze új deníciót igényel. Legyen O g a gömb közéontja, R a sugara. Pontoknak tekintjük a gömbfelület ontjait. A gömbi egyenesek a f körök, vagyis azok a halmazok, amik a gömbfelület és az O g közéontot tartalmazó (valamely) sík metszeteként állnak el. A gömbi geometria érdekes illeszkedési tulajdonságokkal rendelkezik. Bármely két nem egybees gömbi egyenes ontosan két ontban metszi egymást. Ezek a ontok O g -re szimmetrikusan helyezkednek el, átellenes ontoknak hívjuk ket. Bármely két átellenes onton át végtelen sok gömbi egyenes húzható. Ha azonban A és B ontok nem átellenesek, akkor egyértelm en illeszkedik rájuk gömbi egyenes. Egy f kört két különböz ontja (A és B) két körívre bontja. A rövidebbik ívet (vagy bármelyiket, ha A és B átellenesek) nevezzük az A és B ontok által meghatározott gömbi szakasznak. Az A és B ont gömbi távolságán az általuk meghatározott gömbi szakasz ívhosszát értjük, amelynek mérete a közéonti szög és a gömb sugarának szorzatával kaható, azaz R AO g B. Az egyszer ség kedvéért érdemes egység sugarú gömbbel dolgozni, tehát a továbbiakban legyen R = 1. Ezekb l következik, hogy két ont gömbi távolsága legfeljebb π. Ha a gömbi kör deniálásánál ragaszkodunk az euklideszi kör-meghatározáshoz, akkor az a gömbi síkot két korlátos tartományra osztja, és két ont is tekinthet közéontnak (amik ersze átellenesek). A gömbi kör egyér- 4

telm sége érdekében tegyünk megszorítást a sugárra: r < π. Az r = π egyenl séget azért nem érdemes megengedni, mert úgy éen egy f kört kaunk, amit gömbi egyenesnek deniáltunk. Tehát gömbi körnek nevezzük az adott onttól (közéont, O) azonos gömbi távolságra (sugár, r) lév ontok halmazát, feltéve, hogy r < π. A két tartomány megkülönböztetésére a közéontot tartalmazó tartományt nevezzük a gömbi kör belsejének. Két gömbi egyenes hajlásszögének nevezzük a (bármelyik) metszésontjukban húzott, gömböt érint egyenesek hajlásszögét, ami tehát legfeljebb π mérték. Ha adott AB és BC gömbi szakasz, akkor az általuk bezárt ABC szög a B-b l indított két érint félegyenes hajlásszöge. Két gömbi szakasz által bezárt szög tehát 0 és π között bármilyen értéket felvehet. 5

3. A hierbolikus síkgeometriáról Ha a három síkgeometriát a nem metsz egyenesek szemontjából vizsgáljuk: Az euklideszi síkon jól ismert axióma: Egy adott egyenessel egy azon kívül fekv onton át ontosan egy nem metsz egyenes húzható. Ez a árhuzamossági axióma egyik megfogalmazása. A gömbi síkon azonban (ahogy azt láthattuk is) bármely két különböz gömbi egyenes metszi egymást. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy adott gömbi egyenessel azon kívül fekv gömbi onton át nem húzható nem metsz gömbi egyenes. Ezekkel szemben a hierbolikus geometria arra éítkezik, hogy adott egyenessel egy azon kívül fekv onton át nem csak egy nem metsz egyenes húzható. Ez a árhuzamossági axióma tagadásával egyenérték állítás. Az euklideszi síkgeometria minden más axiómája (tehát a árhuzamossági kivételével) teljesül. Így az euklideszi síkgeometriában értelmezett árhuzamosság kérdését nem érint robémák az euklidesziben megszokott módon kezelhet k, é úgy a fogalmak (ontok, szakaszok, szögek, sokszögek, körök... ), mint az állítások (egy háromszög bels szögfelez i egy ontban metszik egymást; egy húrnégyszög szemközti szögeinek összege egyenl... ). Viszont nem használhatunk semmit, ami az euklideszi geometriában a árhuzamosságon alaszik, éldául a vektorokat, amiknek hiányában a hasonlóság vagy a koordinátarendszer fogalmának bevezetése sem lehetséges. Példaként említhetjük még a sokszögek szögösszegét, ami az euklideszi geometriában a árhuzamosság miatt függ csak a sokszög oldalszámától. 6

4. A szabályos sokszögekr l A szabályos sokszögekre vonatkozó alábbi deníció egyaránt érvényes az euklideszi, a gömbi és a hierbolikus síkgeometriában is. Deníció. Ha egy kört darab onttal egyenl hosszúságú körívekre osztunk ( 3), akkor az osztóontok konvex burkát oldalú szabályos sokszögnek nevezzük. Csúcsai az osztóontok, oldalai azok a szakaszok, melyeknek végontjai a kör mentén szomszédos csúcsok, szögei edig az egy csúcsban csatlakozó oldalak által bezárt szög. Az euklideszi eset az Olvasó számára jól ismert, további megjegyzést nem igényel. A gömbi szabályos sokszög oldalai minden esetben a gömbi kör belsejében vannak. A hierbolikus geometriában a kör meghatározása változatlan az euklideszihez kéest, így mindhárom síkgeometriában érvényes, hogy a kör a szabályos sokszög köréírt köre (melynek közéontját jelöljük O-val, sugarát r-rel). Egyaránt igaz az az állítás is, miszerint a szabályos sokszög oldalai egyenl hosszúak (a), szögeik azonos mérték ek (α). A denícióból adódóan egy oldalú szabályos sokszögnek -edrendben forgásszimmetriája van, melynek közéontja a köréírt kör közéontja. A csúcsokat O onttal összekötve darab egybevágó háromszöget kaunk, melyeknek szögei α, α, π, oldalai r, r, a. Ezen a onton kiváló lehet ség kínálkozik a háromféle síkgeometria különbségeinek szemléltetésére, érdemes tehát egy kis kitér t tenni. Az egyik háromszög a hosszú oldalának felez ontját kössük össze O-val. Mivel az így kaott derékszög háromszögek egybevágók, bármelyiket választhatjuk a további vizsgálódásainkra. A következ élda alajául az imént el állított derékszög háromszög szolgál, melyet az 1. ábra illusztrál. Szögei tehát π, α, π, oldalai r, a, b. Vizsgáljuk meg, hogy az euklideszi, a gömbi és a hierbolikus síkgeometriában rögzített mellett hogyan változik α szög r függvényében! 7

A r F b π a O π r α B 1. ábra. Euklideszi síkon Az euklideszi síkon r 0 és + között bármilyen értéket felvehet. Mint ismeretes, egy háromszög két szöge egyértelm en meghatározza a harmadikat, ami a mi esetünkben azt jelenti, hogy α szög független r változásától. α = π π Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy r változtatásával egymáshoz hasonló háromszögeket kaunk, vagyis ha és α közül az egyik adott, akkor hasonlóság erejéig egyértelm en meghatározott a háromszögünk. Az egybevágóság garantálásához szükséges r értéke. 8

Gömbi síkon A gömbi geometriában érvényes, szögekre vonatkozó koszinusz-tétel a derékszögre felírva: cos π = cos π cos α + sin π sin α cos r Mivel cos π = 0, a következ módon rendezhetjük át az egyenletet: cos π cos α = sin π sin α cos r Amib l cos r-et kifejezve: cos r = ctg π ctg α (1) Mivel az adott derékszög háromszöget szabályos sokszögb l származtattuk, a araméterek egyes tulajdonságait már ismerhetjük. Például tudjuk, hogy a szabályos sokszögek a gömbi kör belsejében helyezkednek el, ezért r 0 és π között változhat. A háromszög F csúcsánál lév derékszögt l különböz π szögei -nél kisebbek, mert α a szabályos sokszög szöge, és 3. Ezért az (1) egyenletben szerel kotangens függvények értelmezési tartománya a ( 0, π ) intervallum. Ha r 0-hoz tart: lim cos r = 1 r 0 Ekkor ersze az (1) egyenlet jobb oldala: lim r 0 ctg π ctg α = 1 Mivel rögzített, ctg π konstans, csak α a változó. lim r 0 ctg α = tg π 9

A jobb oldalt átírva a tg π ( π = ctg π egyenl ség szerint: lim ctg α ( π r 0 = ctg π ) Így megkajuk az eredményt: ) α lim r 0 = π π Ha r π -hez tart: lim cos r = 0 r π Így ersze az (1) jobb oldala is: lim ctg π r π ctg α = 0 Mivel ctg π konstans, ezért teljesül, és így jutunk a megoldáshoz: lim ctg α r π = 0 lim r π α = π Ez azt jelenti, hogy r minél kisebb, α annál inkább közelít az euklideszi ( π esethez, vagyis π ) -hez. Míg ha r értékét π -hez közelítjük, α is π - hez közelít. Az eddigiek alaján tehát adott mellett minden lehetséges r értékhez egyértelm en létezik egy α érték. Mivel π és α háromszögbeli szeree felcserélhet, ezért r és α is egyértelm en meghatározza -t. Ennél még többet is mondhatunk r és α viszonyáról, de ahhoz érdemes az (1) egyenletet átrendezni a következ módon. 10

ctg α = tg π cos r Mivel 0 < α < π, ezért a ctg α invertálható. α = ctg 1 (tg π cos r) () A () egyenlet alaján kijelenthetjük, hogy f g (r) := α ( függvény a 0, π ) intervallumon folytonos és szigorúan monoton növ, mert a cos függvény ( 0, π ) -en, a ctg 1 függvény edig (0, + )-en folytonos és szigorúan monoton csökken. Ez azt jelenti, hogy f g (r) függvény a 0, π ) ( intervallumon minden értéket ontosan egyszer vesz fel. Az f g (r) függvény folytonosságából és szigorú monotonitásából következik az invertálhatósága, ami miatt bármely lehetséges és α értékhez egyértelm en létezik r. Hierbolikus síkon A hierbolikus síkon r 0 és + között minden értéket felvehet. A feladat megoldásában a hierbolikus síkon érvényes trigonometriai összefüggések lehetnek segítségünkre. Közülük is a derékszög háromszögekre fennálló alábbi kélet 1 bizonyul a leghasznosabbnak, ez ugyanis már közvetlenül tartalmazza a számunkra szükséges aramétereket. ctg π ctg α = cosh r (3) A gömbi esetnél tett π -re és α -re vonatkozó megállaítások itt is helytállóak, ezért ismét a 0, π ) ( intervallumot tekinthetjük a kotangens függvéy értelmezési tartományának. Az egyenlet átrendezése után az alábbi alakot kajuk. tg α = ctg π 1 cosh r 1 Reiman István: Geometria és határterületei, Szalay Könyvkiadó és Keresked ház Kft., Kisújszállás 1999, 418. o. 11

Ha r 0-hoz tart: Így a jobb oldal határértéke: lim cosh r = 1 r 0 Mivel ctg π = tg ( π π Ezért a megoldás: Ha r + -hez tart: Ekkor a jobb oldal: Így ersze a bal oldal: És így jutunk a megoldáshoz: lim ctg π r 0 1 cosh r = ctg π ), ezért lim tg α ( π r 0 = tg π ) α lim r 0 = π π lim cosh r = + r + lim ctg π r + 1 cosh r = 0 lim tg α r + = 0 α lim r + = 0 Mit is jelent ez? Ha a derékszög háromszög átfogóját minél kisebbre ( vesszük, π annál közelebb jutunk az euklideszi síkon kaott értékhez π ). Ha viszont az átfogót minél hosszabbra választjuk, annál inkább közelíti a 0-t a kérdéses szög. A gömbi esethez hasonlóan vizsgáljuk meg itt is, r és α viszonyát. Az eddigiek alaján nem szorul magyarázatra, hogy rögzített mellett bármely 1

lehetséges r érték egyértelm en meghatározza α -t. És mivel π és α háromszögbeli szeree szimmetrikus, ezért r és α is egyértelm en meghatározza -t. Annak érdekében, hogy lássuk, mit mondhatunk és α ismeretében r-r l, alakítsuk át a (3) egyenletet: ctg α = cosh r tg π Ahogyan arról már korábban szó esett, a kotangens függvény értelmezési ( tartománya esetünkben 0, π ), ezért ezen az intervallumon invertálható, így ki tudjuk fejezni α -t. ( α = ctg 1 cosh r tg π ) (4) A (4) egyenlet alaján kijelenthetjük, hogy f h (r) := α függvény a (0, + ) intervallumon folytonos és szigorúan monoton csökken, mert a cosh függvény folytonos és szigorúan monoton növ, és a ctg 1 folytonos és szigorúan monoton ( csökken a (0, + ) intervallumon. Ami azt jelenti, hogy f h (r) minden π π ) és 0 közötti értéket ontosan egyszer vesz fel. A kés bbiekben látni fogjuk, hogy ennek a megállaításnak igen lényeges szeree van, mert ezek szerint α 0-hoz bármilyen közeli ozitív értéket felvehet. Az f h(r) függvény alakjából tudjuk, hogy ennek ára az r növekedése. Az f h (r) függvény folytonosságából és szigorú monotonitásából következik az invertálhatósága, aminek következtében bármely lehetséges és α értékekhez egyértelm en létezik r. Természetesen ez a élda nem csak szemléltetés céljából állt itt, hiszen így közelebb jutottunk a szabályos sokszögek tulajdonságaihoz. A gömbi és a hierbolikus síkgeometriában egyaránt érvényes, hogy az α, és r araméterek közül bármely kett egyértelm en meghatározza a harmadikat. 13

Az euklideszi síkon azonban ez nem teljesül, ahogyan azt láthattuk is a éldában, α és megadásával csak a hasonlóság garantált. A hierbolikus síkon felvett szabályos sokszög adott mellett bármely α szöggel létezik, és tudjuk, hogy α és r fordítottan arányosak. A fenti határérték-számítások alaján α-t 0-hoz közelítve r a + -be tart. Ezekb l a számunkra hasznos információ, aminek a kés bbiekben hasznát vesszük, az eddigi jelöléseket és megkötéseket használó következ megállaítás. 4.1. Tétel. A hierbolikus és gömbi síkon bármely és α értékhez létezik r, amivel szabályos sokszöget kaunk. A és α által meghatározott szabályos sokszögek egybevágók. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy és α egybevágóság erejéig egyértelm - en meghatároz egy szabályos sokszöget. Az euklideszi síkon és α egyenérték információ, ezért az állítás máské hangzik. 4.. Tétel. Az euklideszi síkon bármely (vagy bármely α) értékhez tetsz leges r-et választva szabályos sokszöget kaunk. A (vagy α) által meghatározott szabályos sokszögek egymással hasonlók. Tehát az euklideszi síkon vagy α hasonlóság erejéig egyértelm en meghatároz egy szabályos sokszöget. 14

5. A szabályos mozaikokról Deníció. Egy síkon belül két sokszög szabályosan csatlakozik, ha nincs közös ontjuk, vagy egy közös ontjuk van, ami mindkett nek egy-egy csúcsa, vagy egy közös szakaszuk van, ami mindkett nek egy-egy (teljes) oldalszakasza, vagy egybeesnek. Deníció. Síkbeli szabályos mozaiknak nevezzük az egybevágó szabályos sokszögek által alkotott olyan rendszert, amelyben teljesül, hogy együtt lefedik a síkot, és bármely kett szabályosan csatlakozik. A fenti deníciók mindhárom síkgeometriában értelmezhet ek, ezért az ezekb l levont következtetések is egyaránt érvényesek a gömbi, az euklideszi és a hierbolikus síkgeometriában. Érdemes megtartani a korábban a szabályos sokszögek bels szögére bevezetett α jelölést, hiszen ez a mozaik egy jellemz aramétere, mivel a szabályos sokszögeink egybevágók. A szabályos mozaik deníciójából következik, hogy az egy csúcsban találkozó szögek mind egyenl ek, és az összegük π. Tehát egy adott szabályos mozaikban bármely csúcsban egyenl számú sokszög csatlakozik, ami függ α-tól, mégedig q = π, ahol q az egy csúcs körüli sokszögek száma. α A sík lefedéséhez szükséges sokszögek számában a gömbi sík jelent sen eltér a másik két síkgeometriától, hiszen a gömbi sík korlátosságából fakadóan a gömbi mozaik véges sok sokszögb l áll. Ezzel szemben az euklideszi és hierbolikus mozaikok végtelen sok sokszögb l éülnek fel. 15

Ha jelöli a szabályos sokszög oldalszámát, akkor a szabályos mozaikok jellemzésére alkalmas S = (, q) szimbólumot vezethetjük be. Az eddigiekb l adódóan ersze mindhárom síkgeometriában, q 3. A dualitás A dualitás jelensége egyaránt érvényes a gömbi, az euklideszi és a hierbolikus mozaikok esetében is. Ha adott egy szabályos mozaik, akkor ebb l származtatni lehet a duálisát, ami szintén szabályos mozaik lesz. A származtatás a következ kéen történik. Jelöljük r-rel az eredeti mozaik sokszögei köré írható kör sugarát. Ha az eredeti mozaik valamely P csúcsa körül r sugárral kört rajzolunk, akkor az átmegy a P -ben találkozó sokszögek közéontjain, amik a kört egyenl ívekre osztják. Az egy körön található közéontoknak a konvex burka a duális mozaik egy sokszöge, amir l rögtön látszik, hogy szabályos is (az egyenl ívek miatt). Az így kaható S P sokszögek rendszerét az eredeti szabályos mozaik duálisának nevezzük. Két tulajdonságot kell ellen riznünk, hogy lássuk, a duális valóban szabályos mozaik. Lefedi a síkot Mivel az eredeti mozaik mindegyik sokszöge le van fedve az csúcsaihoz tartozó S P -k által, és az eredeti mozaik lefedi a síkot, így világosan látszik, hogy az S P sokszögek is mindent lefednek. Szabályos csatlakozás Ha P és Q az eredeti mozaik két szomszédos csúcsa, akkor S P és S Q közös oldal mentén csatlakozik. Ha P és Q az eredeti mozaik valamelyik sokszögében két nem szomszédos csúcs, akkor S P -nek és S Q -nak egyetlen közös csúcsa van. Ha edig nincs olyan sokszög az eredeti mozaikban, amely P -t is és Q-t is tartalmazza, akkor S P és S Q diszjunkt. Tehát a szabályos mozaik duálisa valóban szabályos mozaik. Ha az eredeti sokszög szimbóluma (, q), akkor a duális mozaiké (q, ), továbbá a duálisnak a duálisa az eredeti. 16

Adódik a kérdés, hogy mi lehet a kacsolat a síkgeometriák sajátosságai és a (, q) számárok között. Ehhez szükségünk van a sokszögek bels szögösszegére vonatkozó összefüggésekre. Az euklideszi síkon jól ismert kéletet szabályos sokszögre vonatkoztatva: α = ( )π A korábbiakból következik, hogy a gömbi és hierbolikus sokszögek szögösszegére nem tudunk egyenletet felírni, csak egyenl tlenség jöhet szóba, mégedig: A gömbi síkon egy szabályos sokszög bels szögeinek összege: α > ( )π Hierbolikus síkon egy szabályos sokszög bels szögeinek összege: α < ( )π A sokszögek bels szögösszegére vonatkozó összefüggések tehát a különböz síkgeometriákban különböz módon teljesülnek, melyekb l α-t kifejezve a következ kéletekhez jutunk. gömbi sík euklideszi sík hierbolikus sík ( )π < α ( )π = α ( )π > α Ahogy arról már szó esett, a szabályos sokszögek egymáshoz illesztésekor teljesül, hogy q α = π, ezért α = π q egy jól kezelhet alakot kaunk. helyettesítés, és némi átrendezés után gömbi sík euklideszi sík hierbolikus sík ( )π < α ( )π < π q ( )π = α ( )π = π q ( )π > α ( )π > π q q( ) < q( ) = q( ) > (q )( ) < 4 (q )( ) = 4 (q )( ) > 4 17

Tehát ha létezik egy (, q) számár által meghatározott szabályos mozaik, akkor a táblázat utolsó sorában lév kéletek alaján egyértelm en eldönthet, hogy melyik geometriában van. A (, q) számárhoz tartozó szabályos mozaikok létezését még meg kell vizsgálni külön-külön a geometriákban. Ebben tehát segítségünkre lesz az S = (, q) szimbólum és a táblázat, hogy az egyes mozaikok melyik síkgeometriában jöhetnek szóba. 5.1. Tétel. Bármely, q 3 esetén egybevágóság erejéig egyértelm en létezik a (, q) számár által meghatározott szabályos mozaik, mégedig ha (q )( ) < 4, akkor a gömbi, ha (q )( ) = 4, akkor az euklideszi, ha edig (q )( ) > 4, akkor a hierbolikus geometriában. A tétel alaján tehát kijelenthetjük, hogy bármely szabályos sokszöghöz létezik egy szabályos mozaik, ami a vele egybevágó éldányokból éül fel. És err l a mozaikról egyértelm en megmondható, hogy melyik síkgeometriában valósul meg. A következ táblázat szemléltetés céljából áll itt. Különböz árnyalattal jelöltem a számárokat aszerint, hogy az általuk meghatározott mozaik melyik síkgeometriában létezik ( gömbi, euklideszi, hierbolikus). Mivel és q bármely -nél nagyobb természetes számot felvehet, a (, q) számárok csak igen kis hányadát láthatjuk a táblázatban. De ersze nyilvánvaló, hogy az összes gömbi, és összes euklideszi esetet felsoroltuk, így jól látszik, hogy a hierbolikus síkon tényleg végtelen sok szabályos mozaik létezik. 18

q 3 4 5 6 7 8 9 (, q) 3 (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (3, 7) (3, 8) (3, 9) 4 (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (4, 7) (4, 8) (4, 9) 5 (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (5, 7) (5, 8) (5, 9) 6 (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) (6, 7) (6, 8) (6, 9) 7 (7, 3) (7, 4) (7, 5) (7, 6) (7, 7) (7, 8) (7, 9) 8 (8, 3) (8, 4) (8, 5) (8, 6) (8, 7) (8, 8) (8, 9) 9 (9, 3) (9, 4) (9, 5) (9, 6) (9, 7) (9, 8) (9, 9) A következ ekben sorra vesszük a síkgeometriákat, és belátjuk, hogy az ott lehetséges mozaikok valóban léteznek. És ezzel bizonyítjuk a tételt. 5.1. Euklideszi síkon Az euklideszi síkon (q )( ) = 4 miatt csak az S = (4, 4), S = (3, 6) és S = (6, 3) számárok jöhetnek szóba. Különös magyarázatot nem igényel, hogy miért léteznek ezek a szabályos mozaikok. Az S = (4, 4) szimbólum esetében egybevágó szabályos négszögekr l van szó, amiket úgy illesztünk, hogy egy csúcs körül 4 darab sokszög helyezkedik el. Ami ersze nem más, mint egy négyzetháló. Hiszen az S = (4, 4) mozaikra tekinthetünk úgy, mint amelynek el állításának alaja két egymással π szöget bezáró egyenes. Majd úgy húzunk ezekkel árhuzamos egyeneseket, hogy bármely két árhuzamos közötti távolság k a, ahol k egész szám, a edig egy négyzet oldalhossza. Az S = (3, 6) esetén szabályos háromszögeket illesztünk, és egy csúcsban 6 darab találkozik. Az el z konstrukció elve itt is érvényes annyi különbséggel, hogy eredetileg három egyenesünk van, amelyek közül bármely kett hajlásszöge π, és a nem a szabályos háromszög oldalhosszával, hanem a ma- 6 gasságával egyezik meg. 19

Az S = (6, 3) szabályos hatszögekb l álló mozaikot jelent, ahol egy csúcs körül 3 darab sokszög van. Az el bbi meggondolást itt nem tudjuk használni, de az S = (3, 6) mozaik megfelel oldalait kitörölve valóban megkajuk a szabályos hatszögekb l álló mozaikot. A dualitás deníciója alján rögtön látszik, hogy (3, 6) és (6, 3) számárokkal jelölt mozaikok egymás duálisai, és a (4, 4)-mozaik duálisa vele egybevágó. 5.. Gömbi síkon A gömbi síkon (q )( ) < 4 miatt csak az S = (3, 3), S = (3, 4), S = (4, 3), S = (3, 5) és S = (5, 3) számárok jöhetnek szóba. Hogy az általuk meghatározott mozaikok valóban léteznek is, a következ gondolatmenet során válik világossá. Ahogyan azt geometriai el ismereteinkb l tudjuk, összesen 5 féle szabályos oliéder létezik, a tetraéder, az oktaéder, a hexaéder, az ikozaéder és a dodekaéder. Ha egy szabályos oliéder lajait a köréírható gömbjének közéontjából annak a felületére kivetítjük, akkor éen egy gömbi szabályos mozaikot kaunk. 0

S = (3, 3), tetraéder S = (3, 4), oktaéder S = (4, 3), hexaéder (kocka) 1

S = (3, 5), ikozaéder S = (5, 3), dodekaéder Így tehát beláttuk, hogy a gömbi geometriában valóban léteznek az S = (3, 3), S = (3, 4), S = (4, 3), S = (3, 5) és S = (5, 3) szimbólumok által meghatározott mozaikok. A gömbi mozaikok esetében a dualitás ugyanaz, mint a szabályos oliéderek körében ismert dualitás: a tetraéder duálisa tetraéder, a kocka és az oktaéder, valamint a dodekaéder és az ikozaéder duális árokat alkotnak. A kivetítéssel a duális oliéderekb l duális gömbi mozaikok keletkeznek.

5.3. Hierbolikus síkon A hierbolikus sík szabályos mozaikjainak létezésére vonatkozó szükséges feltétel: (q )( ) > 4. Ez azt jelenti, hogy az eddig fel nem sorolt (, q) számárokra kell belátni, hogy az általuk meghatározott szabályos mozaikok valóban léteznek. Ám ebben a geometriában kevésbé magától értet d a szabályos mozaikok létezésére elégséges feltételt találni. Az euklideszi szabályos mozaikok esetében az eulkideszi árhuzamosság könnyítette meg a dolgunkat, amit a hierbolikus síkon ersze nem használhatunk. A gömbi szabályos mozaikok létezésének belátása is kézenfekv volt, mivel lehet ségünk nyílt a konkrét mozaikok bemutatására, ami részben a gömbi geometria kézzelfoghatóságának, részben a mozaikot alkotó sokszögek véges darabszámának köszönhet. A hierbolikus sík sajnos egyikkel sem szolgál. Nem nyilvánvaló, hogy ha elkezdjük feléíteni a mozaikot sokszögr l sokszögre haladva, akkor nem ütközünk valamilyen hibába. Hiba alatt azt értjük, hogy a szabályos mozaikok deníciójának nem eleget tev jelenséggel találkozunk. Erre kétféle módon kerülhet sor. Az egyik, ha a sokszögek nem fedik le maradék nélkül a síkot, a másik, ha van két olyan sokszög, amelyek nem szabályosan csatlakoznak. Az adott hierbolikus szabályos mozaikok létezését egy konstrukció kialakításával fogjuk belátni, ami során bizonyos szabályok betartásával elkezdjük feléíteni a mozaikot. A sokszögek lerakásának sorrendjét úgy szabjuk meg, hogy ezáltal a hibákat garantáltan elkerüljük. Hasznosnak tartom a konstrukció menetét nagyvonalakban vázolni, ezzel szemléletesebbé téve a bizonyítást. Legyen S a oldalú, π szög szabályos sokszög. Err l már korábban beláttuk, hogy egybevágóság erejéig egyértelm en létezik. Vesszük ennek q egy éldányát, majd körberakosgatjuk a hozzá csatlakozó és t le nem diszjukt éldányokkal. Így egy nagyobb sokszöget kaunk, melyet aztán a következ léésben ismét növelünk az S éldányainak el z módon való hozzácsatolásával. Ezt folytatva minden léés után egy új, az el z nél nagyobb sokszöget 3

kaunk. A konstrukció kulcsa az, hogy arra tudunk vigyázni, hogy minden újonnan el álló sokszög konvex legyen, ez edig garantálni fogja a szabályos csatlakozást a kés bbi léésekben. A konstrukció recíz és részletes leírása el tt azonban deniáljunk egy fogalmat, amelyet a bizonyítás során használni fogunk. Deníció. Legyen H tetsz leges onthalmaz a síkon, és d tetsz legesen adott ozitív szám, ekkor a H halmaz d sugarú környezetén azoknak az X ontoknak a halmazát értjük, amelyekhez található olyan Y H ont, amelyre az XY távolság legfeljebb d. Jelölés: B(H, d) Tehát éldául ha H egyetlen ont, akkor B(H, d) a H közéontú, d sugarú körla. A bizonyítás eszköze n szerinti teljes indukció. Adott (, q) számárhoz (ahol ( )(q ) > 4) akarjuk létrehozni a (, q)-mozaikot. Hogy a konstrukciót egységes formában el tudjuk mondani, átmenetileg megkötést kell tennünk -re és q-ra, mégedig legyen > 3 és q > 4. Ez ersze maga után vonja, hogy külön meg kell majd vizsgálnunk = 3, q = 3 és q = 4 eseteket, hogy minden ( )(q ) > 4 egyenl tlenségnek eleget tev (, q) számárhoz tartozó mozaik létezését belássuk. Ha > 3 és q > 4 Tehát adottak, q számok, amelyekre teljesül, hogy ( )(q ) > 4, valamint tegyük fel, hogy > 3 és q > 4. Az általuk meghatározott mozaikot a következ kéen állítsuk el. A konstrukció Rekurzióval deniálunk egy sokszögekb l álló P 1, P,..., P n,... végtelen sorozatot (és velük együtt mindegyik P n -nek egy felbontását S-sel egybevágó sokszögekre) úgy, hogy a következ három tulajdonság érvényes legyen: 4

1. Minden P n véges sok, egymáshoz áronként szabályosan csatlakozó, S-sel egybevágó sokszög egyesítéseként van el állítva. ( ) π. P n minden szöge k nagyságú, ahol k = 1 vagy k =. (Ezzel q garantáljuk P n konvexitását, mert q > 4 miatt még 4π q 3. Létezik olyan ozitív d távolság, hogy minden n > 1 esetén B(P n 1, d) P n. is konvex.) Legyen P 1 az S szabályos sokszög egy tetsz leges éldánya, amire ersze a három tulajdonság nyilvánvaló módon teljesül. Tegyük fel, hogy már megkonstruáltuk a P 1,..., P n sokszögeket úgy, hogy mindegyikükre érvényes az (1), () és (3) tulajdonság. Ekkor P n+1 -et úgy kajuk, hogy hozzáillesztünk még néhány S-sel egybevágó sokszöget. Ezek kétféle tíusúak lehetnek a P n -hez való csatlakozásuk szerint. Az els tíusúak S azon éldányai, amelyeket P n kifelé hozzáillesztünk. minden oldalához Ezután P n minden csúcsánál ( kifelé ( ) szabadon ) marad egy-egy szögtartomány, π amelynek a nagysága π + α, ahol α a P n szöge ebben a csúcs- q ban. Az indukciós feltevés () állításából tudjuk, hogy α = π q vagy α = 4π q, ( ) π ezért a szabadon maradó szögtartomány mértéke m, ahol m ozitív q egész. A második tíusúak S azon éldányai, melyeket ezekbe a szögtartományokba illesztünk be úgy, hogy bármelyiknek a csúcsa P n valamely csúcsához csatlakozik, és egy-egy szögtartományba m darab kerül. 5

A P n+1 sokszöget tehát úgy kajuk, hogy P n -et egyesítjük az összes els tíusú és az összes második tíusú hozzáillesztett sokszöggel. Az így el állított P n+1 tulajdonságait kell megvizsgálnunk, hogy belássuk, hogy az (1), () és (3) állítások n helyett (n + 1)-re is igazak. 1. Az egyetlen, ami magyarázatot igényel, a szabályos csatlakozás. Természetesen az S azon éldányai, melyek P n -nek részét kéezik, az indukciós feltevés miatt áronként szabályosan csatlakoznak. Továbbá az is nyilvánvaló P n konvexitása miatt a konstrukcióból, hogy a P n -hez újonnan hozzávett sokszögek szabályosan csatlakoznak bármelyik P n - belihez. Így tehát csak az újak egymáshoz való szabályos csatlakozását kell belátni. Az els tíusúak egymás közt megint csak P n konvexitása miatt csatlakoznak szabályosan (q > 4 miatt a szomszédos oldalakra illesztett sokszögek csúcsban találkoznak, egyébként diszjunktak). A második tíusúak P n egy-egy csúcsánál halmazokat alkotnak, amiken belül nyilván nincs gond a szabályos csatlakozással. Mivel > 3-at el re feltettük, ezért kijelenthetjük, hogy a különböz halmazok egymástól és az els tíusúaktól diszjunkt szögtartományokban fekszenek. Ebb l ersze következik, hogy a különböz halmazban lev második tíusúak is, illetve az els és második tíusúak is egymáshoz szabályosan csatlakoznak. Ezzel tehát beláttuk, hogy a P n+1 -et alkotó szabályos sokszögek áronként szabályosan csatlakoznak egymáshoz. 6

. Mivel > 3, ezért P n+1 bármelyik csúcsa esetén csak a következ két lehet ség jöhet szóba: vagy egyetlen ( ) újonnan P n -hez illesztett sokszögnek az egyik csúcsa π tölti ki, q vagy edig két darab (két második tíusú, vagy egy els és egy második ( tíusú) sokszög egy-egy csúcsának az egyesítése tölti ki. π ) q Ezért a () tulajdonság érvényes P n+1 -re. 3. Az állítás belátásához találnunk kell egy alkalmas d távolságot. Ennek a meghatározásához el bb vegyünk fel a síkon egy S oldalhosszával egyenl hosszúságú AB szakaszt. Erre illesszük rá S egy-egy éldányát, hogy A és B éen a sokszögek két-két szomszédos csúcsára illeszkedjen, majd az A és B végontok körül üresen maradt szögtartományokba illesszük csúccsal S egybevágó éldányait úgy, hogy a szögtartományt teljesen kitöltsük. Így a q darab sokszög (mivel q darab kerül egy ont köré, és van kett, ami közös) egyesítésével egy T sokszög áll el. Ekkor AB szakasz T belsejében van, ezért az AB szakasz távolsága a T határától ozitív szám, ez legyen d. (Két onthalmaz távolságán azt a két ont közötti legkisebb távolságot értjük, ahol az egyik ont az egyik, a másik ont a másik halmazban van.) Tehát úgy is fogalmazhatunk, hogy ha P az AB szakasz tetsz leges ontja, és Q tetsz leges olyan ont, amely nincs T belsejében, akkor P és Q távolsága legalább d. Ezzel a d távolsággal már nyilvánvaló a (3) állítás P n+1 -re, hiszen P n minden oldalszakasza köré a fenti módon el állított T benne fekszik P n+1 -ben. Ezzel a P n -ek deníciója készen van minden n-re, a rekurzió végigmegy az összes természetes számon. 7

Valóban szabályos mozaik? Tekintsük ezután a síkon a P n -beli sokszögek halmazainak az unióját minden n-re. Err l akarjuk belátni, hogy ez egy S-sel egybevágó sokszögekb l feléül szabályos mozaik. Ehhez kell, hogy S bármely kett éldánya szabályosan csatlakozzon, és hogy S összes felhasznált éldánya együtt lefedje a síkot. Szabályos csatlakozás A szabályos csatlakozás nyilvánvaló, hiszen a sokszögek rendszerében bármely kett r l meg tudjuk mondani, melyik P sokszögben van. Legyen az egyik P m -ben, a másik P n -ben, ahol m n, ekkor ersze P m mindkett t tartalmazza, és az (1) tulajdonságból tudjuk, hogy akkor azok szabályosan csatlakoznak. Sík lefedése Jelöljük O-val az els sokszög (azaz P 1 ) közéontját. Ekkor a (3) tulajdonság ismételt alkalmazásával következik, hogy minden n > 1-re az O körüli (n 1)d sugarú körla benne fekszik P n -ben. És mivel a rekurzió végigmegy az összes természetes számon, a sík tetsz legesen adott ontjához van olyan n, hogy a ontot az O körüli (n 1)d sugarú körla tartalmazza. Ha = 3 Tekintsük azokat a (, q) szabályos mozaikokat, ahol = 3. Ez azt jelenti, hogy S háromszög, és mivel a hierbolikus síkon vagyunk, q > 6. A fenti konstrukció alkalmazásához módosítanunk kell rajta, ehhez edig sorra kell venni, hol használtuk ki a > 3 feltevést. Az (1) bizonyításában (szabályos csatlakozás) ez a feltevés biztosította, hogy a második tíusú hozzácsatolt sokszögeknek a különböz csúcsokhoz tartozó halmazai diszjunkt szögtartományokban fekszenek, ezért diszjunktak. Ha = 3, akkor tehát nem feltétlenül diszjunktak, de a lehetséges közös ont csak a csúcsa lehet mindkett nek (mégedig csakis akkor, ha a szóban 8

forgó két halmaz a P n sokszög két szomszédos csúcsához tartozik, és éen közrefog egyet az els tíusú háromszögek közül), ami szintén szabályos csatlakozásnak számít. ( A () ) bizonyításában meghatároztuk P n+1 szögeit. Ebben az esetben a π 3 összeget is kahatjuk szögmértéknek, ha három darab háromszög q fut össze (a közös csúcs az els tíusú hozzáillesztett háromszögek küls csúcsánál lehetséges). Mivel q > 6, ez a szög még mindig konvex szög. Tehát egy kevés módosítás elegend az indukciós feltevésben. Mégedig az, hogy = 3 esetén a () állításban meg kell engedni a k = 3 lehet séget is. Más módosítás azonban nem kell, így a bizonyítás összeáll a =3 esetre is. Ha q = 3 vagy q = 4 Ebben az esetben, mivel az hierbolikus síkon vagyunk, teljesül, hogy > 6 illetve > 4. Ezért a bizonyítás már tisztázott része alaján létezik a (q, ) szimbólumú mozaik. Ahogyan arról már korábban szó esett, egy szabályos mozaik duálisa is szabályos mozaik, ezért a (, q) által meghatározott szabályos mozaik is létezik. Ezzel a bizonyítás végére értünk, hiszen beláttuk, hogy minden, ( )(q ) > 4 egyenl tlenségnek eleget tev (, q) számár által meghatározott szabályos mozaik valóban létezik. 9

6. Befejezés Dolgozatom során bemutattam a szabályos mozaikokat, ezen keresztül edig szemléltettem a gömbi, az euklideszi és a hierbolikus sík néhány különbségét. A legjelent sebb megállaítás a szabályos mozaikokkal kacsolatban, hogy bármely szabályos sokszögb l ki lehet rakni szabályos mozaikot, és usztán a sokszög oldalszámát és szögét ismerve egyértelm en eldönthet, hogy melyik síkgeometriában alkot mozaikot. A szakdolgozat másik fontos eredménye, hogy a témán keresztül viszonylag könnyen érzékeltethet ek a hierbolikus sík különlegességei, legalábbis olyan mélységben, amely egy matematika fakultációt látogató, lelkes diák számára még befogadható. Ugyanis nem tartom kizártnak (ontosabban reménykedem benne), hogy tanári ályám során találkozom olyan matematika iránt érdekl d atalokkal, akik nem elégszenek meg az el írt törzsanyaggal. 30