SÁFRÁNY PÉTER SZAKDOLGOZAT

SÁFRÁNY PÉTER SZAKDOLGOZAT

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR HIDRODINAMIKAI RENDSZEREK TANSZÉK SZAKDOLGOZATOK

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR HIDRODINAMIKAI RENDSZEREK TANSZÉK SÁFRÁNY PÉTER SZAKDOLGOZAT Két frekvenciával gerjesztett gázbuborék rezonancia görbéinek numerikus vizsgálata (Numerical investigation of the amplification diagrams of a dual-frequency driven gas bubble) Konzulens: Dr. Hegedűs Ferenc adjunktus Témavezető: Dr. Hegedűs Ferenc adjunktus Budapest, 2017

Szerzői jog Sáfrány Péter 2017. ZÁRADÉK Ez a szakdolgozat/diplomaterv elzártan kezelendő és őrzendő, a hozzáférése a vonatkozó szabályok szerint korlátozott, a dolgozat tartalmát csak az arra feljogosított személyek ismerhetik. A korlátozott hozzáférés időtartamának lejártáig az arra feljogosítottakon kívül csak a korlátozást kérelmező személy vagy gazdálkodó szervezet írásos engedélyéjével rendelkező személy nyerhet betekintést a dolgozat tartalmába. A hozzáférés korlátozása és a zárt kezelés 2017. év 12. hónap 12. napján ér véget.

Ide kell befűzni az eredeti feladatkiírási lapot!

NYILATKOZATOK Elfogadási nyilatkozat Ezen szakdolgozat a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kara által a Diplomatervezési és Szakdolgozat feladatokra előírt valamennyi tartalmi és formai követelménynek, továbbá a feladatkiírásban előírtaknak maradéktalanul eleget tesz. E szakdolgozatot a nyilvános bírálatra és nyilvános előadásra alkalmasnak tartom. A beadás időpontja: témavezető Nyilatkozat az önálló munkáról Alulírott, Sáfrány Péter (NC5HTH), a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem hallgatója, büntetőjogi és fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem és sajátkezű aláírásommal igazolom, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem, és dolgozatomban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen, a hatályos előírásoknak megfelelően, a forrás megadásával megjelöltem. Budapest, 2017 szigorló hallgató xi

xii

TARTALOMJEGYZÉK Köszönetnyilvánítás... xv Jelölések jegyzéke... xvii 1. Bevezetés... 1 1.1. Akusztikus kavitáció... 1 1.2. Célkitűzések... 3 2. Alkalmazott Matematikai modell és megoldása... 5 2.1. A buborék viselkedését leíró egyenlet... 5 2.2. Megoldóprogram ismertetése... 9 3. Kétfrekvenciás gerjesztés... 13 3.1. Kétfrekvenciás gerjesztés tulajdonságai... 13 3.2. Vizsgált paraméterkombinációk és a kapott eredmények bemutatása... 17 3.2.1. Állandó összegű relatív körfrekvenciapárok alkalmazása... 18 3.2.2. Állandó különbségű relatív körfrekvenciapárok alkalmazása... 22 3.2.3. Azonos relatív körfrekvenciák alkalmazása... 24 3.3. Állandó besugárzott teljesítményű nyomásamplitúdó-párok alkalmazása... 28 3.4. Eredmények összefoglalása... 33 4. Összefoglalás... 35 4.1. Elvégzett feladatok összegzése... 35 4.2. Továbblépési lehetőségek... 35 5. Felhasznált források... 37 6. Summary... 39 xiii

xiv

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Ezúton szeretném megköszönni Dr. Hegedűs Ferencnek a dolgozat megírásához nyújtott segítséget és támogatást, köszönöm, hogy bármikor fordulhattam hozzá kérdéssel. Köszönettel tartozom a családomnak is, akik tanulmányaim során biztosították a nyugodt, megfelelő környezetet. Budapest, 2017 Sáfrány Péter xv

xvi

JELÖLÉSEK JEGYZÉKE A táblázatban a többször előforduló jelölések magyar nyelvű elnevezése, valamint a fizikai mennyiségek esetén annak mértékegysége található. Az egyes mennyiségek jelölése ahol lehetséges megegyezik hazai és a nemzetközi szakirodalomban elfogadott jelölésekkel. A ritkán alkalmazott jelölések magyarázata első előfordulási helyüknél található. Latin betűk Jelölés Megnevezés, megjegyzés, érték c hangsebesség m/s f frekvencia 1/s n politropikus kitevő 1 N egész szám 1 p nyomás bar P nyomás bar P teljesítmény W R sugár m t idő s T hőmérséklet K T gerjesztésből származtatott idő s Görög betűk Jelölés Megnevezés, megjegyzés, érték θ fáziseltolás rad µ dinamikai viszkozitás Pa s Mértékegység Mértékegység ρ sűrűség kg/m 3 σ felületi feszültség N/m ω körfrekvencia rad/s Indexek, kitevők Jelölés Megnevezés, értelmezés 0 referencia távoltér i általános futóindex (egész szám) in belső xvii

KM A E G g0 L V Keller-Miksis amplitúdó egyensúlyi gázfázis gázfázisra vonatkoztatott referencia folyadékfázis gőzfázis xviii

1. BEVEZETÉS 1.1. Akusztikus kavitáció Buborékok számos helyen előfordulnak. Az óceánokban több milliárd buborék található, ami egyebek mellett biztosítja a légkör és az óceán közötti kapcsolatot, jelenlétükkel nagy szerepet vállalva a klíma alakulásában [1]. Számos folyamat során keletkezhetnek buborékok, hol kívánatos, hol kerülendő a jelenlétük, éppen ezért kialakulásuk és viselkedésük régóta kutatott terület. Folyadékban buborékok keletkeznek többek között nyomáscsökkenés hatására. Egy adott folyadék minden hőmérsékletéhez egy adott telített gőznyomás tartozik. Ha a nyomás a telített gőznyomásig csökken a folyadékban gőzbuborékok alakulnak ki, azaz forrásba jön. Amikor ezek a gőzbuborékok nagyobb nyomású térbe érkeznek a gőz kondenzálódik és a buborékok összeroppannak. A gőzbuborékok képződését és összeroppanását kavitációnak nevezzük [2]. A kavitáció kialakulását és hatásait először a tengerészet kezdte el vizsgálni, ugyanis tapasztalataik szerint, a hajócsavar felülete egy bizonyos fordulatszám fölött károsodott, a tolóerő lecsökkent és mindez erős, jellegzetes zajjal járt [1]. Ebben az esetben a kavitáció jelenléte, a hajócsavar felületén kialakuló, nagy folyadéksebességekkel járó alacsony nyomásnak köszönhető. Ezt a jelenséget hidrodinamikus kavitációnak nevezzük [3]. Míg hidrodinamikus kavitáció esetében a kialakult buborékok kerülnek az alacsonyabb nyomású térből magasabb nyomású térbe, addig hanghullámok alkalmazásával a közeg ugyanazon pontjában a nyomása periodikusan változtatható. Hanghullámok esetén a fennálló alacsony nyomás rövid időtartamának köszönhetően a buborékok kialakulásához nem elég a nyomást a telített gőznyomás alá csökkenteni, negatív nyomás létrehozására van szükség [3]. Negatív nyomás csak folyadékokban és szilárd anyagokban értelmezett [4]. Szemléltetésére jó példa egy folyadékkal teli zárt henger, amelyet alulról egy dugattyú határol [3]. A dugattyú végére tömeget akasztva az, a folyadék térfogatát növelni igyekszik. Kis tömeg esetén, a dugattyú felületére ható külső nyomás miatt, a folyadék eredő nyomása pozitív marad. A tömeget növelve a súlyerőből adódó nyomás nagyobb lesz, mint a külső nyomás, így a folyadékra ható eredő nyomás végül negatívvá változik. Ilyen körülmények között a folyadék forrása mellett, a folyadékban oldott gázok sem képesek tovább oldott állapotban maradni és buborékok formájában kiválnak [4]. A keletkezett sok kis buborék tovább növekszik, mert a buborék falánál lévő nyomás nagyobb, mint a távoltéri nyomás. A példa jól érzékelteti, hogy negatív nyomás kialakulásához a hang nyomásamplitúdójának nagyobbnak kell lennie, mint a folyadékra ható környezeti nyomásnak. Amikor a hanghullám ellentétes fázisba kerül, tehát a folyadékot összenyomni igyekszik, a buborékok közül néhány összeroppan lökéshullámot indítva ezzel. A buborék keletkezését és összeroppanását hanghullám hatására, akusztikus kavitációnak nevezzük [4]. 1

Buborékok létrehozhatóak apró folyadék alatti szikrával, robbanóanyag használatával, vagy nagyteljesítményű fókuszált lézersugárral is [1]. Ugyanakkor elmondható, hogy minden folyadékban előfordulnak kisebb nagyobb buborékok, így a besugárzott ultrahangnak nem szükséges negatív nyomást létrehoznia, elég csak a buborékok növekedéséhez és összeroppanásához szükséges gerjesztést biztosítania. Az akusztikus kavitáció előnye, hogy képes hatalmas energiát koncentrálni kis térfogatban. Ennek következtében egy összeroppanás során többezer kelvin hőmérséklet, a gravitációnál 12-szer nagyobb nagyságrendű gyorsulás és GPa nagyságrendű nyomás jöhet létre, mindez lökéshullám és egyes esetekben fénykibocsátás mellett [5]. Ilyen körülmények között a folyadékban lokálisan nagy nyíróigénybevételek alakulnak ki. Ezeket a jelenségeket hasznosítva az akusztikus kavitávió alkalmazásának köre folyamatosan bővül. Az élelmiszeriparban számos példa található az akusztikus kavitációval járó jelenségek hasznosítására. A nagy összeroppanások által keltett lökéshullámok és igénybevételek képesek az alapanyagok szerkezetét fellazítani. Ezt használják ki többek közt olívaolaj gyártás során, ahol így rövidebb idő alatt több olaj nyerhető ki az olíva pasztából, továbbá a módszer fenntartási és üzemeltetési költségei is alacsonyabbak, mint a hagyományos darálással és centrifugálással végzett eljárásnak. Alkalmazása mellett szól, hogy a kavitációt megfelelő frekvencián létrehozva, az ultrahang szétválasztja az olajos és vizes fázist, ezzel megkönnyítve a tiszta olaj kinyerését [6]. Számos más élelmiszeripari példa felsorolható, ahol az alapanyagok homogénebb elkeveredését és jobb ízvilágot sikerült elérni akusztikus kavitáció segítségével [7]. Kutatások folynak az akusztikus kavitáció, alapanyag fellazító hatásának biomassza gyártása során történő hasznosítására is. Ezzel a lebontó baktériumok könnyebben hozzáférhetnek, könnyebben emésztheik azt. Akusztikus kavitáció segítségével két óra alatt, a biomassza alapanyagaként használt kipréselt cukornádnak 37%-kal sikerült növelni az emészthetőségét [8]. Az ipar egyre szigorodó követelményei és az egyre szélsőségesebb felhasználási körülmények teszik indokolttá a kenőanyagok fejlesztését. A kenőanyagba nanorészecskéket juttatva (pl.: szén nanocsövek) javítható a kenési tulajdonsága és a hővezető képessége is. Kavitáció alkalmazásával a homogenizálás mellet növelhető a kinematikai viszkozitás és a nanofluid stabilitásának ideje [9]. Mind a biomassza, mind a nanofluid előállítása során vizsgáltak hidrodinamikai kavitációs berendezést, illetve az akusztikus és hidrodinamikus rendszer kombinációját is. Elmondható, hogy mind a hidrodinamikus mind az akusztikus kavitációs berendezések működtetése a legtöbb esetben a hagyományos eljárásokhoz képest nagyobb energiafelhasználással, és ezzel együtt nagyobb üzemeltetési költségekkel jár, ami egy jelentős ellenérv alkalmazásukkal szemben. A már többször említett szerkezet fellazításon és homogenizáláson túl, a kavitáció felületformáló hatása is kihasználható. A magnézium számos előnyös tulajdonsággal 2

rendelkezik, ugyanakkor korrózióval szemben nem ellenálló. A korrózióállóság javítására a magnézium bevonatolása jelent megoldást. Akusztikus kavitáció segítségével a magnézium felülete golflabdához hasonló szerkezetűvé formálható, növelve a bevonattal érintkező felületet, amivel megerősíthető a bevonat és a magnézium közötti kapcsolat [10]. Az akusztikus kavitáció előnyei az ipar számos, itt fel nem sorolt, további területén kerülnek hasznosításra.[11] [14] 1.2. Célkitűzések Kutatások kimutatták, hogy gerjesztésként két vagy több frekvenciát egyidejűleg alkalmazva nagymértékben növelhetőek az akusztikus kavitáció hatásai [15]. Azonban a gerjesztő frekvenciák számának növelésével a buborék viselkedése még összetettebbé válik, a buborék viselkedését még több tényező befolyásolja. A paramétertér növelésével az egész megoldástér feltérképezése egyszerre szinte lehetetlen feladat, ezért a buborék viselkedésének részletesebb elemzése csak némely paraméterek rögzítése mellett, a megoldástérből csak metszeteket vizsgálva lehetséges. A buborék viselkedésében már kétfrekvenciás gerjesztés esetén is új jelenségek tapasztalhatóak. A dolgozat célja ezen jelenségek mélyebb megismerése, illetve a kétfrekvenciás gerjesztés sajátosságainak kihasználásával olyan paraméterkombinációk megtalálása, amelyekkel a kialakuló buboréksugár növelhető a besugárzott energia növelése nélkül. Ezen felül vizsgálat alá kerül az adott gerjesztés torzulásai és a buborék válasza közötti kapcsolat is. 3

4

2. ALKALMAZOTT MATEMATIKAI MODELL ÉS MEGOLDÁSA 2.1. A buborék viselkedését leíró egyenlet Folyadékokban általában egyszerre több buborék jelenik meg, ezek mérete, egymástól vett távolsága sőt alakja is eltérő lehet. Közöttük kölcsönhatás lép fel, így összetett rendszert alkotnak. Egyetlen buborék, önmagában ritkán alakul ki, de az alapvető tulajdonságok megismeréséhez csak egyetlen, a gerjesztésen kívül más hatásoktól mentes buborék kerül vizsgálat alá. Üres gömbök összeroppanását először Rayleigh tanulmányozta. Viselkedésüket egy differenciálegyenlet segítségével írta le, ami gyakorlatilag az energiamegmaradást fejezte ki, minden disszipációs erő mellőzésével [5]. A Rayleigh-Plesset egyenlet több elhanyagolást is tesz. A buborék belsejében uralkodó nyomáseloszlást egyenletesnek, az azt körülvevő közeget pedig összenyomhatatlannak feltételezi. Az egyenlet helyességét több paraméter mellett, kísérletileg igazolták. Ugyanakkor a közeg összenyomhatóságát csak akkor hanyagolhatjuk el, ha a buborék jellemző mérete, azaz sugara, sokkal kisebb mint a besugárzott ultrahang hullámhossza [5]. Egy századmikrométer sugarú buborék MHz frekvenciájú ultrahangos gerjesztése során, a közeg összenyomhatóságának már szerepe van a buborék viselkedésében. Ezt veszi figyelembe a Keller- Miksis-féle kibővített modell. A számítások során a Keller-Miksis-féle másodrendű, nemlineáris, közönséges differenciálegyenlet [1] került alkalmazásra. Az egyenlet, (1 R c L ) RR + (1 R 3c L ) 3 2 R 2 = 1 ρ L (1 + R c L ) (p L p (t)) + R d(p L p (t)) ρ L c L dt (2.1) alakú, ahol R a buborék sugarát R és R annak időbeli első, illetve második deriváltját jelöli. A buborékot körülvevő folyadék sűrűsége ρ L, míg c L a folyadékbéli hangsebesség. Buborék falára ható nyomást p L, a nyomásgerjesztést p (t) írja le. A gerjesztés kétfrekvenciás esetben a következő alakban írható fel, p (t) = P + p A1 sin(ω 1 t) + p A2 sin(ω 2 t + θ), (2.2) ahol P a távoltéri nyomás, p A1 és p A2 a gerjesztések amplitúdói, ω 1 és ω 2 a gerjesztés körfrekvenciái, θ pedig az esetleges fáziseltolás. Egy átlagos kavitációs buborékban nem kondenzálódó gáz, például levegő, és a folyadék gőze található [4]. A buborék fala gáznemű és cseppfolyós közeg határán helyezkedik el, aminek eredményeként felületi feszültség alakul ki. A felületi feszültség σ, egységnyi területre jutó felületi energia [4]. Ezzel a gömb alakú buborék felületi energiája 4πR 2 σ. A buborék sugarát dr-rel megnövelve a felület 4π(R + dr) 2 lesz, ami a 5

dr 2 0 elhanyagolással élve 4π(R + dr) 2 = 4πR 2 + 8πRdR adódik. Tehát a buborék sugarának dr-rel való megnöveléséhez 8πRdRσ munkavégzés szükséges, ami elosztva a dr megtett úttal 8πRσ erőt jelent. Ez egyben az R sugarú buborékfal által a belső gázra kifejtett erővel egyenlő. Tehát a buborékra ható erők egyensúlya 4πR 2 p in = 4πR 2 p L + 8πσR írható, ahol p in a buborék belsejében uralkodó nyomás. A belső nyomás felírható a nem kondenzálódó gáz p G és a folyadék p V gőznyomásának összegeként. Az előbbi egyenletet 4πR 2 -tel egyszerűsítve a belső és külső nyomások közötti kapcsolat a p G + p V = p L + 2σ R (2.3) alakra hozható [4]. Tehát a felületi feszültség hatására a buborék belsejében uralkodó nyomás nagyobb, mint a folyadék által, közvetlen a falára gyakorolt nyomás. A buborékfal mozgása során a folyadék viszkozitását figyelembe véve a 2.3 egyenlet egy harmadik taggal bővül, amivel, p G + p V = p L + 2σ R + 4μ R L R, (2.4) ahol μ L a dinamikai viszkozitást jelöli. Átrendezve a 2.4 egyenletet, a buborék falára ható nyomás, p L = p G + p V 2σ R 4μ R L R (2.5) alakra adódik. A gáz nyomása a növekedések és összeroppanások során drasztikusan változik, ezzel szemben a gőznyomás közel állandónak tekinthető [3]. A gáznyomás változása politropikus folyamatként írható le. Tehát kapcsolat felírható mint, p G = p g0 ( R 0 R ) 3n, (2.6) ahol p g0 a referenciagáznyomás, R 0 a referenciasugár, n pedig a politropikus kitevő. Amennyiben a külső és belső nyomás egyensúlyban van a buborék nyugalomban marad, azaz az időfüggő tagok nullával egyenlők. A 2.5 és 2.6 egyenletekből, továbbá p L = P egyenlőség felhasználásával, az egyensúly a következőképp fejezhető ki, ahol, R E az egyensúlyi sugarat jelöli. 0 = p g0 ( R 3n 0 ) + (p R V P ) 2σ, (2.7) E R E 6

A referenciasugarat az egyensúlyi sugárnak választva a referencia nyomás az alábbi alakra egyszerűsödik Tehát az adott állapotban a gáz nyomása felírható, mint p g0 = 2σ R E (p V P ). (2.7) p G = ( 2σ R E (p V P )) ( R 0 R ) 3n. (2.8) Ahhoz, hogy a 2.1 differenciálegyenlet numerikus módszert alkalmazó szoftver segítségével megoldható legyen, két elsőrendű differenciálegyenletre kell bontani. Első lépéskén 2.1 egyenlet idő szerinti deriváltjait határozzuk meg azaz a d(p L p (t))/dt tag elemenkénti deriváltjait. Ezek dp L dt = dp G dt + 2σ R R R + 4μ L ( R R ) 4μ R L (2.9) R dp G dt = 3np g0 ( R 0 3n R ) R R = 3np R G (2.10) R dp (t) = ω dt 1 p A1 cos(ω 1 t) + ω 2 p A2 cos(ω 2 t + θ). (2.11) Ezeket felhasználva a 2.1 egyenlet a következők szerint alakul: (1 R c L ) RR + (1 R 3c L ) 3 2 R 2 = R (ω c L ρ 1 p A1 cos(ω 1 t) + ω 2 p A2 cos(ω 2 t + θ)) 2σ + 4μ LR L ρ L R 4μ LR c L ρ L + p G ρ L (1 + (1 3n) R c L ) 1 ρ L (P + p A1 sin(ω 1 t) + p A2 sin(ω 2 t + θ) p V ) (1 + R c L ). (2.12) 7

A 2.12 egyenletet átrendezve a (1 R c L ) RR + (1 R 3c L ) 3 2 R 2 = p G (1 + (1 3n) R ) P p V (1 + R ) 2σ + 4μ LR (1 R ) 3 ρ L c L ρ L c L ρ L R 3c L 2 R 2 1 (p ρ A1 sin(ω 1 t) + p A2 sin(ω 2 t + θ)) (1 + R ) L c L R (ω c L ρ 1 p A1 cos(ω 1 t) + ω 2 p A2 cos(ω 2 t + θ)) (2.13) L egyenlet adódik. A két elsőrendű differenciálegyenletre való átíráshoz szükséges új változók: X 1 = R, (2.14) X 2 = R, (2.15) amivel a két elsőrendű egyenletből álló egyenletrendszer felírható, mint ahol X 1 = X 2, (2.16) X 2 = N KM D KM (2.17) N KM = 1 ( 2σ + P ρ L R p v ) (1 + (1 3n) X 2 ) ( R 3n E ) P p v (1 + X 2 ) E c L X 1 ρ L c L 2σ + 4μ LX 2 ρ L X 1 (1 X 2 3c L ) 3 2 X 2 2 1 ρ L (p A1 sin(ω 1 t) + p A2 sin(ω 2 t + θ)) (1 + X 2 c L ) X 1 c L ρ L (ω 1 p A1 cos(ω 1 t) + ω 2 p A2 cos(ω 2 t + θ)) (2.18) D KM = X 1 X 1X 2 c L + 4μ L c L ρ L. (2.19) 8

2.2. Megoldóprogram ismertetése A 2.16 és 2.17 egyenletből álló rendszer megoldása Matlab szoftver segítségével történt. Ebben a részben röviden ismertetetésre kerül a Matlab környezetben írt megoldóprogram és a megoldás menetéhez szükséges további paraméterek. A számítások elvégzéséhez először a közeget és a buborékot definiáló állandó paraméterek megadása szükséges. Ezek a minden elkövetkező számítás során az alábbiak: távoltéri nyomás P = 1 bar, víz sűrűsége ρ L = 997,064 kg/m 3, gőznyomás p V = 3166,8 Pa, dinamikai viszkozitás μ L = 8,9021 10 4 Pa s, felületi feszültség σ = 0,0720 N/m, hangsebesség c L = 1497,3 m/s, egyensúlyi sugár R E = 10 μm, politropikus kitevő n = 1,4, fáziseltolás θ = 0 rad. A gerjesztés hat paraméter segítségével írható le, de a fáziseltolás mellőzésével, illetve a távoltéri nyomás előzetes definiálásával, csak négy változtatható paraméter marad. Ezek a p A1,p A2 amplitúdók és az ω 1, ω 2 körfrekvenciák. Buborékok esetén is definiálható sajátkörfrekvencia, amivel a buborékot gerjesztve, annak nagy amplitúdójú rezgése várható. A buborék viselkedésének egyik tulajdonsága, hogy ha a gerjesztés frekvenciája sokkal alacsonyabb, mint a sajátfrekvencia, a buborék mozgása azonos fázisban marad azzal. Amennyiben a gerjesztés frekvenciája sokkal magasabb mint a sajátfrekvencia, a buborék növekedése és csökkenés ellentétes fázisba kerül a gerjesztéssel [4]. Mindezekből adódik, hogy körfrekvenciák helyett, érdemes relatív körfrekvenciákat megadni, amivel a gerjesztési frekvencia és a sajátfrekvencia viszonya írható le ω rel = ω i /ω 0. A relatív körfrekvencia tehát dimenzió nélküli mennyiség. A buborék saját körfrekvenciája a kiindulási egyenlet lineáris közelítéséből származtatható, Keller-Miksis-féle modell esetén a buborék csillapítatlan sajátkörfrekvenciája a következő alakban írható fel [1]: ω 0 = 3n (P p V ) 2σ (3n 1) 2 + 2. (3.19) ρ L R E ρ L R E A vizsgált R E = 10 μm sugarú buborék sajátkörfrekvenciája ω 0 = 2,131 10 6 rad/s, azaz a sajátfrekvenciája f 0 339 khz. A buborék állapotát egy adott pillanatban egyetlen pont jelöli az állapottéren. A gerjesztés miatt a buborék állapota időben változik, a rendszer időbeli változását leíró görbét trajektóriának nevezzük [1]. Trajektóriát mutat a 2-1. ábra egyfrekvenciás gerjesztés esetén. A gerjesztés amplitúdója jelen esetben p A1 = 0,5 bar, relatív körfrekvenciája ω 1rel = 0,35. Az abszcisszán az idő és a gerjesztés periódusidejének hányadosát feltűntetve, a gerjesztés periódusainak száma található. Az ábrán elkülöníthető az egyensúlyából kitérített buborék kezdeti beállási szakasza és az azt követő állandósult állapot szakasza. Alkalmazás szempontjából a buborék hosszútávú viselkedése fontos, ezért minden esetben csak az állandósult állapot kerül vizsgálatra. Az állandósult megoldás pályáját attraktornak nevezzük [1]. 9

A szükséges számítási időtartomány t = T N képlettel kerül meghatározásra, ahol T a gerjesztésből származtatott idő, N tetszőleges egész szám. Egyfrekvenciás gerjesztés esetén T a gerjesztés periódusideje azaz T = 2π/ω, ahol ω a gerjesztés körfrekvenciája. Két egymáshoz közeli nagyfrekvenciás gerjesztés esetén előfordulhat, hogy a két jel összegének periódusideje több nagyságrenddel nagyobb, mint az egyfrekvenciás gerjesztésé. A periódusidő növekedésének következtében megnőne a kiszámítandó időintervallum és ezzel a számítás időigénye is. Ennek kiküszöbölésére kétfrekvenciás gerjesztés esetén T mindig az első gerjesztési körfrekvenciából kerül számításra, mégpedig T = 2π/ω 1. Amíg a származtatott idő gerjesztésenként eltérő, addig N minden számítás során azonos lehet, ezzel a számított időtartomány és a gerjesztés összhangban maradhat. A továbbiakban a számítási idő 576T hosszúságú lesz. A kezdeti beállási szakasz elhagyásának érdekében a gerjesztés első 512T hosszúságú szakaszára kapott megoldás nem, csak a további 64T szakaszra kapott megoldás kerül vizsgálatra. Előfordulhat, hogy a megoldás, a gerjesztés 512T szakasza után sem állandósul, ekkor azt feltételezzük, hogy az a későbbiekben sem fog, és a további 64T szakaszra adott választ a buborék hosszútávú viselkedésének tekintjük. 2-1. ábra. A buborék sugarának alakulása az gerjesztés periódusainak függvényében, egyfrekvenciás gerjesztés esetén. p A1 = 0,5 bar, ω 1rel = 0,35 Az állandósult állapot amplitúdóját, a relatív gerjesztési körfrekvencia függvényében ábrázolva rezonancia vagy frekvenciaválasz-görbét kapunk [1]. Abban az esetben, 10

ha az állandósult állapot többperiódusú, a gerjesztési frekvenciához több amplitúdóérték tartozik. Kaotikus viselkedés esetén soha nem ismétlődő oszcillációk alakulnak ki, azaz egy frekvenciához rengeteg amplitúdóérték tartozik. Egyfrekvenciás gerjesztés esetén kapott rezonanciagörbét mutat a 2-2. ábra. Megfigyelhető, hogy a legnagyobb buboréksugár a saját körfrekvenciánál alacsonyabb körfrekvenciák esetén alakul ki. A fő rezonanciatartomány eltolódása, a buborék viselkedését leíró egyenlet nemlinearitásából adódik. A fő rezonancián kívül, rezonanciacsúcsok jelennek meg a gerjesztési frekvencia és a rezonanciafrekvencia arányának racionális többszöröseinél is. Ezeket, amennyiben a saját körfrekvenciánál nagyobb körfrekvenciáknál alakulnak ki szubharmonikusoknak, kisebb körfrekvenciák esetén felharmonikusoknak nevezzük [1]. 2-2. ábra. A buborék sugáramplitúdója a relatív gerjesztési körfrekvencia függvényében, egyfrekvenciás gerjesztés esetén. p A1 = 0,5 bar A későbbiekben csak az adott frekvenciához tartozó legnagyobb sugáramplitúdó kerül ábrázolásra. Az x-tengelyen változó paraméter, jelen esetben a relatív körfrekvencia, a söpört, vagy futó paraméter. A megoldóban a paramétersöprés két ciklus egymásba ágyazásával valósul meg. A külső ciklus a futó paraméter léptetéséért, míg a belső ciklus az egyenletrendszer megoldásáért felel. A program minden tartományt 1001 pontra oszt, ezzel garantálva a kapott eredmény megfelelő felbontását. A differenciálegyenletek megoldását a Matlab, beépített ode45 megoldója végezi, melynek abszolút és relatív toleranciája is 10 8 értékűre lett állítva. A számítás minden 11

esetben a buborék egyensúlyi állapotából indul, így kezdeti feltételként a buborék sugara egyenlő az egyensúlyi sugárral, illetve a sugárváltozás sebessége zérus. A kezdeti beállási szakasz kiszámolása után, annak végeredményei lesznek az állandósult állapot kezdetiértékei. Amennyiben a megoldó végzett egy adott paraméterhez tartozó állandósult állapot számításával az eredmények szövegfájlként mentésre kerülnek. A kimentett fájl tartalmazza az adott lépéshez tartozó paramétereket, minden periódus végeredményeit, az egy perióduson belüli maximum értékeket, továbbá az egész állandósult állapot maximum értékét. A következő paraméterhez tartozó eredmények ezt a fájlt bővítik tovább. Az eredmények ábrázolását egy külön program végzi, amelynek a fájl nevét megadva és a kívánt változókat kiválasztva, az automatikusan menti az elkészült ábrát. 12

3. KÉTFREKVENCIÁS GERJESZTÉS 3.1. Kétfrekvenciás gerjesztés tulajdonságai Többfrekvenciás gerjesztés alkalmazásával növelhető a buborék rezgései során kialakuló legnagyobb buboréksugár [16], ami egyben erősebb kavitációs hatásokat is jelent. Ennek ellenére a többfrekvenciás gerjesztés optimalizálására vonatkozó kritériumok egyelőre hiányosak [17]. A megfelelő gerjesztések megtalálása több nehézséggel is jár. A paramétertér jelentős növekedésével a számítási igény megnő, a kapott adathalmaz kezelése, és kiértékelése is bonyolultabbá válik. Egyszerre még háromdimenziós ábrázolás esetén is csak két paraméter változása követhető könnyen nyomon. A nagy buboréksugarak kialakulásához szükséges paraméterkombinációk megtalálásához a megoldástér átfogó vizsgálata szükséges. Ugyanakkor a vizsgálatok megkönnyíthetőek néhány paraméter rögzítésével, vagy a paraméterek között egy előre meghatározott kapcsolat definiálásával. Már kétfrekvenciás gerjesztés esetén is, a buborék rezgései nagyon összetetté válnak. Az tapasztalható, hogy a fő rezonancia és harmonikusai mellett, kombinációs és szimultán rezonanciák is megjelennek [17]. Ezek kialakulási körülményeit és tulajdonságait, több lehetséges paraméterkombináció mellett Y. Zhang és S. Li vizsgálta részletesebben [17]. A tanulmányukból kiderül, hogy rezonancia csúcsok megjelenése ott várható, ahol a két gerjesztő frekvencia lineáris kombinációja közel egyenlő a buborék sajátfrekvenciájával. Ez körfrekvenciákkal felírva nω 1 + mω 2 ω 0 egyenletet eredményezi, ahol n, m egész számok. Az egyenlőséget a relatív körfrekvenciákkal kifejezve nω 1rel + mω 2rel 1 adódik. A többszörösöket (n, m) párokként kezelve, az figyelhető meg, hogy a fő rezonanciához tartozó csúcs jelenik meg ha az egyenlőség (1,0) vagy (0,1) értékekkel teljesül. Az (n, 0) vagy (0, m) értékeknél megjelenő csúcsok a harmonikusokhoz tartoznak, szubharmonikusok esetén n, vagy m lehet racionális tört is. Amennyiben az egyenlőség (n, m) értékek esetén teljesül, és n, m 0 akkor kombinációs rezonanciáról beszélünk. A kombinációs rezonancia kialakulása a többfrekvenciával gerjesztett buborék egyik egyedi tulajdonsága. Egyfrekvenciás (fekete pontsor) és kétfrekvenciás (színes pontsorok) gerjesztés esetén kialakuló rezonanciagörbét mutat a 3-1. ábra. Futó paraméter a gerjesztés első relatív körfrekvenciája, a hozzá tartozó első nyomásamplitúdó minden esetben p A1 = 0,5 bar. A kétfrekvenciás gerjesztéseknél, a második relatív körfrekvencia minden esetben ω 2rel = 0,35, míg a hozzá tartozó nyomásamplitúdó 0 0,1 között változik. A rezonanciagörbe y-tengelyén található X max, az adott frekvenciákon, állandósult állapotban kialakuló legnagyobb relatív sugáramplitúdót jelöli, amivel X max = (R max R E )/R E. X max tehát azt adja meg, hogy a kialakult legnagyobb sugáramplitúdó az egyensúlyi állapoton felül még hányszorosa annak, és ezzel X max dimenzió nélküli mennyiség. A csúcsok fölött az egyenlőséget teljesítő (n, m) értékek találhatók. 13

3-1. ábra. Frekvenciaválasz-görbe egy, illetve többfrekvenciás gerjesztés esetén. Gerjesztés paraméterei: fekete pontsor: p A1 = 0,5 bar, p A2 = 0 bar, ω 2rel = 0, piros pontsor: p A1 = 0,5 bar, p A2 = 0,01 bar, ω 2rel = 0,35, zöld pontsor: p A1 = 0,5 bar, p A2 = 0,05 bar, ω 2rel = 0,35, kék pontsor: p A1 = 0,5 bar, p A2 = 0,1 bar, ω 2rel = 0,35 A 3-1. ábrán jól látszik, hogy a második gerjesztés amplitúdójának növelésével, a kombinációs rezonanciák egyre nagyobb rezgéseket eredményeznek, miközben a fő rezonancia környékén a rezgés amplitúdója közel azonos marad. Kombinációs rezonancia hatására alakul ki többek közt az (1,1) csúcs, ekkor tehát n = 1, ω 1rel 0,65 és m = 1, ω 2rel = 0,35 amivel teljesül n ω 1rel + m ω 2rel 1 egyenlőség. Megállapítható, hogy a kombinációs rezonanciák közül az (1,1) és (1,-1) helyeken az első nyomásamplitúdóhoz képest ötöd akkora második nyomásamplitúdó alkalmazása mellett is jelentősen megnő a rezgés amplitúdója. A fő rezonancia tartományának eltolódása az elméleti sajátkörfrekvenciához képest, a buborék viselkedését leíró egyenlet nemlinearitása miatt alakul ki, és mértéke a gerjesztés nyomásamplitúdóitól függ. A 3-2. ábra, a 3-1. ábra (1,1) jelű, kombinációs rezonanciájához tartozó gerjesztéseket és attraktorokat mutatja. A színek és a hozzájuk tartozó gerjesztési paraméterek a 3-1. ábra jelöléseivel vannak összhangban. Ebben az esetben tehát a gerjesztések első relatív körfrekvenciája is rögzített, aminek értéke a kombinációs rezonancia kialakulási helyéhez tartozó ω 1rel = 0,6015, amelyet függőleges fekete egyenes jelöl a 3-1. ábrán. Az ábrán az egyes színekhez tartozó első görbe a számított gerjesztés utolsó 16 periódusát, míg a második görbe a buborék gerjesztésre adott válaszát, azaz az attraktort mutatja. Kis amplitúdójú második gerjesztés esetén, a gerjesztő jel csak minimális mértékben torzul, ugyanakkor az attraktoron már láthatók annak hatásai. 14

3-2. ábra. Gerjesztések (felső) és attraktorok (alsó) alakulása különböző gerjesztési paraméterek mellett. Minden esetben p A1 = 0,5 bar; ω 1rel = 0,6015; fekete pontsor p A1 = 0 bar; ω 2rel = 0; piros pontsor: p A1 = 0,01 bar; ω 2rel = 0,35; zöld pontsor: p A1 = 0,05 bar; ω 2rel = 0,35; kék pontsor: p A1 = 0,1 bar; ω 2rel = 0,35; 15

A második nyomásamplitúdót tovább növelve a gerjesztő jel nem marad tökéletesen periodikus, hol nagyobb, hol kisebb amplitúdók alakulnak ki. Ezek a buborék viselkedésében hol nagyobb hol kisebb növekedéseket és összeroppanásokat eredményeznek. Jól látszik, hogy a gerjesztés, jellege minden esetben hasonló marad az egyfrekvenciás gerjesztés esetén kapotthoz. Ebből arra lehet következtetni, hogy a kombinációs rezonanciát, illetve az ezzel járó nagyobb buboréksugarakat a gerjesztés amplitúdójának megfelelő helyen lévő növekedése, és megfelelő ütemű változása okozza. 3-3. ábra. Szimultán rezonancia kialakulása. Gerjesztés paraméterei: minden esetben p A1 = 0,5 bar, p A2 = 0,1 bar, fekete pontsor ω 2rel = 0,35, piros pontsor ω 2rel = 0,30, zöld pontsor ω 2rel = 0,25, kék pontsor ω 2rel = 0,23 Szimultán rezonancia abban az esetben alakul ki, ha a gerjesztés egyszerre két rezonanciatartományba is sorolható, azaz amikor a buborék két rezonanciatartománya összeér. Szimultán rezonancia alakulhat ki, amikor az egyik gerjesztő körfrekvencia már önmagában a buborék saját körfrekvenciájához közel esik, de eközben a második körfrekvenciával együtt teljesül az nω 1 + mω 2 ω 0 egyenlőség is, azaz a buborék viselkedésére a kombinációs rezonancia is hatással van. Ekkor a két egyidejű rezonancia a kialakuló buboréksugarat tovább növeli. A szimultán rezonancia a többfrekvenciával gerjesztett buborék egy másik fontos egyedi tulajdonsága. A 3-3. ábrán a második gerjesztő relatív körfrekvencia csökkenésének hatása látható. Minél kisebb a gerjesztés második relatív körfrekvenciája annál több kombinációs rezonanciacsúcs jelenik meg. Továbbá a 3-1. ábra (1,1) és (1,-1) jelű csúcsai a relatív körfrekvencia csökkenésével, egyre nagyobb mértékben tolódnak a fő rezonancia felé, majd a kombinációs és fő rezonancia tartománya összeér és szimultán rezonancia alakul ki, ami a kialakuló buboréksugár méretét megnöveli. 16

3.2. Vizsgált paraméterkombinációk és a kapott eredmények bemutatása A vizsgálatok tárgya a kialakuló legnagyobb buboréksugár, aminek oka, hogy annak mértéke arányos a kavitáció hatásainak erősségével. A nagyobb buboréksugarak létrehozásával a tapasztalat szerint nő az azt követő összeroppanás mértéke, ami befolyásolja a lökéshullámok, a nyíróigénybevételek és a hőmérsékletnövekedés nagyságát. A frekvenciaválasz és nyomásválasz görbék hiányossága, hogy belőlük nem állapítható meg a legnagyobb buboréksugár kialakulásának gyakorisága, illetve az azt követő összeroppanás pontos mérete. Ezek megválaszolására szolgálnak a buborék időbeli viselkedését ábrázoló attraktorok. Tapasztalatok szerint a nagy növekedést nagy összeroppanás követi, aminek egyik magyarázata, hogy az összeroppanás szabadon gyorsul [4]. Ennek a buborék gömbgeometriája az oka. A buborék összeroppanása során, két időpillanatbeli állapota két gömbfelületnek felel meg. Ezeken a felületeken az összeroppanás során folyadék lép át, amelyre felírható a tömegmegmaradás törvénye, azaz 4πR 1 2 v 1 = 4πR 2 2 v 2, ahol R 1 > R 2. Ezzel a kisebb sugáron áthaladó folyadék sebessége v 2 = (R 1 /R 2 ) 2 v 1, vagyis v 2 > v 1. A relatíve kis nyomásamplitúdóknak köszönhetően a vizsgált esetekben stabil kavitáció alakul ki. Ennek főbb jellemzői, hogy a buboréksugár egy egyensúlyi érték körül pulzál, ami többek közt jelentős hőfejlődéssel jár. Stabil kavitáció esetén előfordulhat a buborék elmozdulása vagy gömbfelületének torzulása is [16]. A kialakuló legnagyobb buboréksugár növelésének egyik módja a gerjesztés nyomásamplitúdóinak növelése. Ahogy az a bevezetőben már említésre került, akusztikus kavitáció alkalmazásának határt szabnak, a rendszer üzemeltetésével járó magas költségek. Az üzemeltetési költségek arányosak a folyadékba besugárzott energiával. A besugárzott energia és a gerjesztés nyomásamplitúdói között is arányosság van, ami P~ p 2 2 A1 + p A2 alakban fejezhető ki [17]. A vizsgálatok során a besugárzott energia minden esetben egyenlő marad és megegyezik a 0,5 bar nyomásamplitúdójú egyfrekvenciás gerjesztés esetén besugárzott energiával. Kétfrekvenciás gerjesztés esetén ez egyben kisebb nyomásamplitúdók alkalmazását is jelenti. Amennyiben sikerül kisebb amplitúdókkal a buborék hasonló viselkedését elérni, mint egyfrekvenciás gerjesztéssel, úgy az ultrahangot kibocsájtó eszköz is olcsóbbá válhat hiszen ez külön-külön kisebb teljesítményigényt és kisebb igénybevételeket jelent. A következőkben olyan relatív körfrekvenciapárok kerülnek vizsgálatra, amelyek során jelentős kombinációs vagy szimultán rezonancia kialakulása várható, kihasználva ezeket a jelenségeket a nagyobb buboréksugarak elérése érdekében. A nyomásamplitúdók minden esetben p A1 = p A2 = 0,353553 bar lesznek, amivel p A1 2 + p A2 2 = 0,5 bar. A számítások során kapott eredmények egymáson kívül, a 0,5 bar nyomásamplitúdójú egyfrekvenciás gerjesztés eredményeivel kerülnek összehasonlításra, ezeket az eredményeket a 3-4. ábra szemlélteti. Egyfrekvenciás gerjesztéssel elérhető legnagyobb relatív buboréksugár X max = 1,22, ami ω 1rel = 0,7747 gerjesztő relatív körfrekvencián 17

alakul ki. Szaggatott vonalak a fő rezonancia (ω 1rel = 0,7747), az első harmonikus (ω 1rel = 0,444) és szubharmonikus (ω 1rel = 1,917) helyét jelölik. 3-4. ábra. Rezonancia görbe egyfrekvenciás gerjesztés esetén. Gerjesztés nyomásamplitúdója p A1 = 0,5 bar 3.2.1. ÁLLANDÓ ÖSSZEGŰ RELATÍV KÖRFREKVENCIAPÁROK ALKALMAZÁSA Nagy kombinációs rezonancia várható abban az esetben, ha a két gerjesztő relatív körfrekvencia összege 1. Ezért olyan relatív körfrekvenciapárok kerülnek először vizsgálatra, amelyek kielégítik ezt az egyenlőséget. A futtatások során az első gerjesztő körfrekvencia került söprésre, ugyanakkor a második körfrekvencia az egyenlőséget kielégítve, azzal együtt változott. A számított időtartomány gerjesztés első körfrekvenciájából kerül származtatásra, aminek egyik következménye, hogy a futó paraméter nem indulhat ω 1rel = 0-ból, hiszen ez végtelen nagy időtartományt eredményezne. Ennek elkerülése érdekében ω 1rel először 0,1 értéket vesz fel. A másik következménye, hogy magasabb frekvenciáknál rövidebb a számítási időtartomány, azaz mintavételezés ideje, ezért az eredmények nagyobb szórást mutathatnak. A nemlinearitás okozta rezonanciaeltolódás miatt, indokolttá válik olyan relatív körfrekvenciapárok vizsgálata is, amelyek összege kevesebb mint 1, így olyan párok is kialakításra kerültek, amelyek összege csak 0,9. 18

3-5. ábra. Relatív körfrekvenciák kapcsolata, fekete pontsor ω 1rel + ω 2rel = 1, piros pontsor ω 1rel + ω 2rel = 0,9 3-6. ábra. Rezonancia görbék többfrekvenciás gerjesztés esetén. Gerjesztő paraméterek, fekete pontsor p A1 = p A2 = 0,353553 bar, ω 1rel + ω 2rel = 1, piros pontsor p A1 = p A2 = 0,353553 bar, ω 1rel + ω 2rel = 0,9 19

A két esethez tartozó relatív körfrekvenciák kapcsolata látható az 3-5. ábrán. A fekete pontsor az ω 1rel + ω 2rel = 1 esetet, míg a piros pontsor az ω 1rel + ω 2rel = 0,9 esetet ábrázolja. A szaggatott vonalak az egyfrekvenciás gerjesztés eredményéből kapott fő (1,0), (0,1) és felharmonikus (2,0), (0,2) rezonancia kialakulási tartományát jelölik. Az elvégzett számítások eredményei a 3-6. ábrán láthatóak, a színek a 3-5. ábrával vannak összhangban. Az x-tengelyeken az első gerjesztési relatív körfrekvencia került feltüntetésre, de ez egyben a hozzá tartozó második relatív körfrekvenciát is definiálja. A baloldali ábrarészen néhány csúcs fölött, az adott csúcshoz tartozó relatív körfrekvenciák esetén, az nω 1rel + mω 2rel = 1 egyenlőséget teljesítő (n,m) párok láthatóak. Az eredmények szimmetrikus eloszlása, a relatív körfrekvenciapárok szimmetrikus változása miatt van. Látható, hogy a nagy sugáramplitúdók kialakulása nem független a kombinációs rezonanciát eredményező relatív körfrekvenciapárok összetételétől. Mind a két esetben jól elkülöníthető egy középső, kis relatív sugáramplitúdójú, és a két szélen nagy buboréksugarakat eredményező szakasz. A középső szakaszon tiszta kombinációs (1,1), illetve csak a felharmonikusokkal ((2,0); (0,2)) alkotott szimultán rezonancia alakul ki. Az is elmondható, hogy az első esetben, tehát amikor ω 1rel + ω 2rel = 1, a két gerjesztő körfrekvencia közül egyszerre csak az egyik esik közel a harmonikusokhoz, míg a második esetben mind a két körfrekvencia közelebb van azokhoz. Ennek az eredménye, hogy a középső szakaszon a második esetben nagyobb buboréksugarak alakulnak ki, mint az első esetben. A két szélső tartományban, mind a két esetben a gerjesztés egyik körfrekvenciája a fő rezonancia tartományába ((1,0); (0,1)) esik, azaz ezekben a tartományokban a fő rezonanciával alkotott szimultán rezonancia alakul ki. Az így kialakult nagy sugáramplitúdók alapvetően a fő rezonanciának köszönhetők, a kombinációs rezonancia csak tovább növeli azokat. Az ω 1rel + ω 2rel = 0,9 esetben a kombinációs és a fő rezonancia csúcsa közelebb kerül egymáshoz, hiszen ezek a párok figyelembe veszik a fő rezonancia tartományának nemlinearitás miatti eltolódását is. Ez magyarázza, hogy a két esethez tartozó nagy buboréksugarak tartományát összehasonlítva, az figyelhető meg, hogy míg az első esetben X max > 1,4 értéket csak kevés körfrekvenciapár mellett lehet kapni, addig a második esetben ez egy viszonylag széles tartományban elérhető. Az ω 1rel + ω 2rel = 1 esetben elért legnagyobb relatív buboréksugár, X max = 1,462 és az ehhez tartozó relatív körfrekvenciák ω 1rel = 0,7732 és ω 2rel = 0,2268 és fordítva. Az ω 1rel + ω 2rel = 0,9 esetben a legnagyobb relatív sugáramplitúdó X max = 1,54 és ez a nagyobb értéket elsőként értelmezve ω 1rel = 0,712 és ω 2rel = 0,188 relatív körfrekvenciák mellett alakul ki. Az eredményeket a 0,5 bar-os egyfrekvenciás gerjesztés eredményeivel összevetve (3-4. ábra) ahol a legnagyobb X max érték csak kevéssel haladta meg az 1,2 értéket, elmondható, hogy azonos besugárzott teljesítmény esetén, a szimultán rezonanciát kihasználva nagyobb buborékméret érhető el, akár a gerjesztés egyik körfrekvenciájának alacsony értéke mellett is. A két esetben kapott legnagyobb kialakuló sugárhoz tartozó gerjesztő jel, és a buborék viselkedését leíró attraktor ábrázolásával a gerjesztés és a válasz közötti kapcsolat, 20

illetve a két gerjesztés eltérései könnyebben vizsgálhatóak. A gerjesztéseket (felső görbék) és a kapott attraktorokat (alsó görbék) ábrázolja a 3-7. ábra. A könnyebb átláthatóság érdekében csak a gerjesztés utolsó 16 periódusa és az erre kapott válasz került megjelenítésre. Látható, hogy egyik esetben sem alakul ki tökéletesen állandósult állapot. A két gerjesztő jelet összehasonlítva elmondható, hogy a körfrekvenciák összegének eltolása miatt a gerjesztő jel minimum és maximum pontjai máshova kerülnek és ezek értékei megváltoznak. Az attraktorok összehasonlításából kiderül, hogy a buborék viselkedésében ez a változás nagyobb buboréksugarakat eredményez, továbbá látható, hogy a második esetben két nagy növekedés között is nagyobb buboréksugarak alakulnak ki, mint az első esetben. Elmondható, hogy ezekben az esetekben az összeroppanás mértéke nem függ a buborék azt megelőző állapotától, azaz a legkisebb buboréksugár közel ugyanakkora minden összeroppanás végén. A buborék minden növekedését összeroppanás követi, ezek eloszlása közel egyenletes. Alkalmazás szempontjából ez előnyös lehet, hiszen ekkor a kavitációval járó hatások is egyenletesebbek. 3-7. ábra. Gerjesztések (felső) és attraktorok (alsó) alakulás különböző gerjesztési körfrekvenciák esetén. p A1 = p A2 = 0,353553 bar. Fekete pontsor: ω 1rel = 0,7732; ω 2rel = 0,2268; piros pontsor: ω 1rel = 0,712; ω 2rel = 0,188; 21

3.2.2. ÁLLANDÓ KÜLÖNBSÉGŰ RELATÍV KÖRFREKVENCIAPÁROK ALKALMAZÁSA Ahogy azt a 3.1 fejezetben láthattuk a kombinációs rezonancia jelentős amlitúdójú rezgéseket eredményez abban az esetben is amikor a két gerjesztő körfrekvencia különbsége közel esik a buborék saját körfrekvenciájához, azaz a gerjesztés relatív körfrekvenciáira felírható, hogy ω 1rel ω 2rel = 1. A következőkben a gerjesztés körfrekvenciái ezt az egyenlőséget fogják kielégíteni. A gerjesztés nyomásamplitúdói továbbra is p A1 = p A2 = 0,353553 bar. A számítások során, szintén az első relatív körfrekvencia a került söprésre, de természetesen ebben az esetben is vele együtt változott a második relatív körfrekvencia is. A nemlinearitás miatti rezonanciatartományok eltolódásának figyelembevétele most olyan relatív körfrekvenciapárok alkalmazásával történt melyek különbsége kevesebb mint 1, azaz ω 1rel ω 2rel = 0,9. A 3-8. ábra mutatja a két esethez tartozó relatív körfrekvenciák kapcsolatát. Fekete pontsor az ω 1rel ω 2rel = 1, míg a piros pontsor az ω 1rel ω 2rel = 0,9 egyenlőséget teljesítő relatív körfrekvenciapárokat mutatja. A szaggatott vonalak az előző fejezethez hasonlóan a fő, a harmonikus és a szubharmonikus rezonancia kialakulásának tartományát jelölik. 3-8. ábra. Relatív körfrekvenciák kapcsolata, fekete pontsor ω 1rel ω 2rel = 1, piros pontsor ω 1rel ω 2rel = 0,9 A két paramétersöpréshez tartozó számítások eredménye látható a 3-9. ábrán. A baloldali ábrarészen a csúcsok fölött, az nω 1rel + mω 2rel = 1 egyenlőséget teljesítő (n,m) párok láthatóak. A kezdeti szakaszokon a gerjesztések első körfrekvenciája a fő rezonancia tartományába esik, így kapott nagy relatív sugáramplitúdók tisztán ennek köszönhetők, a második gerjesztés hatása elhanyagolható. 22

3-9. ábra Rezonancia görbék többfrekvenciás gerjesztés esetén. Gerjesztés paraméterei: fekete pontsor p A1 = p A2 = 0,353553 bar, ω 1rel ω 2rel = 1, piros pontsor p A1 = p A2 = 0,353553 bar, ω 1rel ω 2rel = 0,9 3-10. ábra. Gerjesztések (felső) és attraktorok (alsó) alakulás különböző gerjesztési körfrekvenciák esetén. p A1 = p A2 = 0,353553 bar. Fekete pontsor: ω 1rel = 1,822; ω 2rel = 0,822; piros pontsor: ω 1rel = 1,681; ω 2rel = 0,781; 23

Az első körfrekvenciák növelésével azok távolodnak a sajátkörfrekvenciától a második körfrekvenciák pedig még távol vannak tőle, ezért nem alakul ki nagy szimultán rezonancia. Ezek után a második körfrekvencia áthalad az első harmonikus tartományán (ω 2rel 0,5), ahol ezáltal szimultán rezonancia alakul ki, ami ω 1rel 1,4 értéknél lévő csúcs megjelenését okozza. Az első körfrekvencia további növelésével a második körfrekvencia belép a fő rezonancia tartományába és a szimultán rezonancia jelenségének köszönhetően, ez nagy buboréksugarak kialakulását eredményezi. Az előző alfejezetben kapott eredményekhez hasonlóan most is a fő és a kombinációs alkotta szimultán rezonancia okozza a legnagyobb sugáramplitúdókat. A két esetben kapott eredményeket az egyfrekvenciás, 0,5 bar amplitúdójú gerjesztéssel összevetve csak az ω 1rel ω 2rel = 0,9 esteben mondható el, hogy a legnagyobb buboréksugár meghaladja az egyfrekvenciás esetben elértet. Azonban ebben az eseteben a gerjesztő körfrekvenciák változásával a relatív sugáramplitúdó meredeken csökken, azaz csak nagyon szűk tartományban kapható kívánt nagyságú sugáramplitúdó. A 3-10. ábra a kialakuló legnagyobb sugarakhoz tartozó gerjesztések utolsó 16 periódusát és a hozzá tartozó attraktorokat mutatja. Látható ahogy a buborék növekedése közben a gerjesztés görbéjében van egy nyeregpont. Ez bizonyára kihat a buborék növekedésére, így ez lehet a felelős azért, hogy a buborék mérete nem haladja meg jelentősen az egyfrekvenciás gerjesztéssel kapottat. Az ω 1rel ω 2rel = 1 egyenlőséget teljesítő relatív körfrekvenciákkal elért legnagyobb relatív sugáramplitúdó X max = 1,103, az ehhez tartozó relatív körfrekvenciák ω 1rel = 1,822, ω 2rel = 0,822. Az ω 1rel ω 2rel = 0,9 esethez tartozó legnagyobb érték X max = 1,277 ami ω 1rel = 1,681, ω 2rel = 0,781 relatív körfrekvenciák esetén alakul ki. 3.2.3. AZONOS RELATÍV KÖRFREKVENCIÁK ALKALMAZÁSA Láthattuk, hogy nagy buboréksugarak kialakulásához valamelyik gerjesztésnek bele kell esnie a fő rezonancia tartományába. A következőkben olyan gerjesztés kerül alkalmazásra, amelynek mind a két relatív körfrekvenciája azonos. Ezzel a nyomásamplitúdók összegződnek és a jel megtartja tiszta szinuszos jellegét. Bár a gerjesztés ekkor egyfrekvenciás gerjesztésként is felírható, de kétfrekvenciás gerjesztést alkalmazva azonos besugárzott energia mellett nagyobb nyomásamplitúdó alakul ki, mint egyfrekvenciás gerjesztés esetén. A körfrekvenciák söprése során, így áthaladva olyan pontokon is ahol mind a két körfrekvencia a fő rezonancia tartományába esik. A gerjesztés relatív körfrekvenciái ekkor a következő egyenlőséget teljesítik: ω 1rel ω 2rel = 0. Az előző fejezetekhez hasonlóan most is sor kerül kismértékben eltolt relatív körfrekvenciák vizsgálatára. Ekkor a relatív körfrekvenciák közötti kapcsolat felírható úgy, mint ω 1rel ω 2rel = 0,1. A két eset relatív körfrekvenciapárjait mutatja a 3-11. ábra. 24

3-11. ábra Relatív körfrekvenciák kapcsolata, fekete pontsor ω 1rel ω 2rel = 0, piros pontsor ω 1rel ω 2rel = 0,1 3-12. ábra Rezonancia görbék többfrekvenciás gerjesztés esetén. Gerjesztés paraméterei, fekete pontsor p A1 = p A2 = 0,353553 bar, ω 1rel ω 2rel = 0, piros pontsor p A1 = p A2 = 0,353553 bar, ω 1rel ω 2rel = 0,1 25

Az eddigi vizsgálatokhoz hasonlóan ezekben az esetekben is az első relatív körfrekvencia került söprésre és a második igazodik hozzá. A 3.2.1 fejezetben már tárgyaltak miatt ω 1rel kezdőértéke 0,1. Az így kapott eredmények a 3-12. ábrán láthatók. Az egyező gerjesztések esetében az eredmények az egyfrekvenciás gerjesztéshez hasonlóan kis szórást mutatnak, ami a gerjesztésből fakad hiszen, ekkor a jel megtartja tiszta szinuszos jellegét. A nyomásamplitúdók összegzése miatt a rezgések amplitúdói megnőnek. A kapott eredmények kis szórása azt is jelentheti, hogy a legnagyobb buboréksugarak hamar kialakulnak, a számított időintervallum elég ezek feltérképezéséhez. Kis frekvenciaeltérések esetében ez már nem mondható el. Ennek oka, hogy magas, egymáshoz közeli frekvenciák összege a gyors váltakozás mellett egy alacsonyfrekvenciás hullámzást is mutat, azaz lebegés alakul ki. A kiszámított időtartam az első gerjesztő körfrekvencia növekedésével csökken, így előfordulhat, hogy a gerjesztés maximuma kívül esik a vizsgált tartományon, ezen felül a megoldás is csak szűkebb időtartományban mintavételezett. Ennek ellenére látható, hogy a fő rezonancia tartományában minden eddig vizsgált esetnél nagyobb buboréksugár alakul ki. Az előző esetekkel ellentétben, most a nagy buboréksugár nem a kombinációs vagy szimultán rezonanciának köszönhető, hanem a gerjesztő nyomásamplitúdó összegzésének. A második esetben nem mondható el, hogy a gerjesztés tisztán szinuszos marad ezért a gerjesztés és a válasz időbeli alakulása további vizsgálatokat igényel. A két vizsgált esetben kapott két legnagyobb relatív sugáramplitúdókhoz tartozó gerjesztések utolsó 16 periódusa és a válaszként kapott attraktorokat a 3-13. ábra mutatja. Az első esetben a buborék a gerjesztésből fakadóan tiszta egyperiódusú rezgést végez. A második esetben a gerjesztési körfrekvenciák kis eltérése a gerjesztés amplitúdóját hol megnöveli, hol a gerjesztést szinte teljesen kioltja. Ennek az a következménye, hogy a kioltás előtti és utáni néhány periódus elnyúlik, azaz tovább tart az alacsony nyomású szakasz, amivel több idő áll rendelkezésre a buborék növekedésére. A növekedésnek több időt hagyva, a kisebb amplitúdójú gerjesztő periódusban is nagyobb buboréksugarak alakulhatnak ki. Ugyanakkor a gerjesztés frekvenciája ezekben a periódusokban sem tér el jelentősen a buborék sajátfrekvenciájától így a buborék viselkedésének jellege nem változik meg. Az első esettel szemben, a második esetben az összeroppanás mértéke függ az azt megelőző legnagyobb buboréksugártól. A ω 1rel ω 2rel = 0 esetben elért legnagyobb relatív sugáramplitúdó, ω 1rel = ω 2rel = 0,7177 relatív körfrekvenciákon, X max = 1,505. A két relatív körfrekvencia között 0,1 nagyságú eltérés esetében ω 1rel = 0,8018 és ω 2rel = 0,7018 relatív körfrekvenciáknál alakul ki a legnagyobb relatív sugáramplitúdó aminek értéke X max = 1,666. Az egyfrekvenciás 0,5 bar nyomásamplitúdójú gerjesztéssel összevetve elmondható, hogy két azonos vagy kismértékben eltolt gerjesztés alkalmazásával sokkal nagyobb buborék sugarak érhetők el. 26