Közlemény Biostatisztika és informatika alajai. előadás: Az orvostudományban előforduló nevezetes eloszlások 6. szetember 9. Veres Dániel Statisztika és Informatika tankönyv (Herényi Levente) már kaható a könyvesboltban Alasokaság és minta Felmerülő statisztikai kérdések az orvostudományban Alasokaság (ouláció) VÉLETLEN! Minta Az előző év alaján mekkora a valószínűsége, hogy a rendelkezésre álló oltóanyag elegendő lesz, ha 5 embert várunk aznara? BIZONYTALANSÁG! Hány szülés várható az esti ügyeletben, ha az éves statisztika szülést mutat éjfél és 8: között? Az évfolyamból várhatóan hányan lesznek alkalmasak egy csíőrotézis elvégzésére(tömegük alaján)? Alasokaság az elméletileg lehetséges összes mérést, vizsgálati eredményt tartalmazza Minta az alasokaság egy részhalmaza, amit vizsgálunk Mekkora a valószínűsége annak, hogy áciensünk 3.5 mmol/l-es K szintje még egészséges? Az influenza vagy AIDS tesztünk ozitív mekkora a valószínűsége, hogy valóban betegek vagyunk?
Milyen a megfelelő alasokaság? Hogyan etessük? IGUÁNA BÖLÉNY STRUCC PANDA KATICABOGÁR? PikinGames 5,3,5,,5,,5,8,6,, Diszkrét Elméleti eloszlások Kumulatív eloszlásfüggvény (CDF) 3 5 6 7 8 9 Oltások száma (i) tömegfüggvény (PMF) 3 5 6 7 8 9 Oltások száma,8,6,, Folytonos Kumulált eloszlásfüggvény (CDF) 5 7 9,3,5 (i), sűrűségfüggvény (PDF),5,,5 5 7 9,3,5,,5,,5 Elméleti eloszlások 5 7 9 Ismerem az adott mennyiség valószínűségét minden esetre. (Nagyon-nagyon ritka.) A valószínűséget ki tudom számítani (vagy becsülni tudom): nevezetes eloszlások araméterei alaján. Milyen aramétereket, melyik eloszlást használjam?,3,5,,5,,5 Nevezetes eloszlások Diszkrét 3 5 6 7 8 9 Oltások száma,3,5,,5,,5 Várható érték (E, M, μ) (hely araméter) m = i= i x i 5 7 9 = E(ξ ) E(ξ ) x i Elméleti szórásnégyzet (Var, D,σ ) (szóródási araméter) ξ ) = E [ ] ( ξ E( ξ) ) Folytonos i
,5,,5,,5 Egyenletes eloszlás 3 5 6 Dobás eredménye Ideális kocka eredményeinek eloszlása Ideális munkaterhelés eloszlása a na folyamán Hőmérséklet eloszlása egy üres terem különböző ontjain E ( ξ ) = ( a + b) ξ ) = ( b a) ( b a + ) ξ ) =,3,5,,5,,5 Binomiális (Bernoulli) eloszlás 3 5 6 7 8 9 Szükséges oltóanyag E(ξ ) = n ξ ) = n ( n k ( P = ( ( k Szükséges oltóanyagszám eloszlása Általánosan: egy n-szer megismételt jelenség x-szer következik be Ha kicsi Poisson eloszláshoz közelít Ha n nagy és,5-höz tart, akkor normál eloszláshoz közelít n k) n k ( P = ( ( k Példaszámítás. Influenzaszezont megelőzően a rendelőnkben az adott nara oltóanyag áll rendelkezésre. Az előző években átlagosan 989 áciensből személyt kellett beoltanunk. Az előző év alaján mekkora a valószínűsége, hogy a rendelkezésre álló oltóanyag elegendőleszéselisfogy,ha5embertvárunkaznara? n k) Egyszerűbben lehetne?- Excel 5 = 989 989 (5 ),,6,5,,3,, Geometriai eloszlás 3 5 6 7 8 Lehetséges donorok száma E( ξ ) = ξ ) = P = ( Független Bernoulli kísérletek egymásutánja Hanyadikra találjuk meg a megfelelő donort? (Mekkora a valószínűsége annak, hogy az x. donorból megtaláljuk az első megfelelőt?) Hanyadik szülésből lesz először fiú? ( n )
Péter és Pál (étervári aradoxon) Pénzfeldobásos játék, eredménye szerint a kezdeti nyeremény dukát és mindig dulázódik, ha írást dobunk ha fej, akkor vége a játéknak, írásnál folytatódik a nyeremények: ha az. dobás fej: Pál ad dukátot Péternek ha az. írás,. dobás fej: Pál ad dukátot Péternek ha csak a 3. lesz fej: Pál ad 8dukátot Péternek... Mennyit fizessen Péter a játékélményért egy játékra átlagosan? (Úgy hogy ne járjon se Pál, se Péter rosszul) fej / / fej / / Péter és Pál (étervári aradoxon) fej / / Az egy játékra jutó átlagos nyeremény matematikailag ( elméletileg ): végtelen! 8 n +... + + n Taasztalat: Buffon8 játékból átlagosan 9,8 dukátot nyert egy játékra nézve.,3 Poisson eloszlás,3 Normál (Gauss) eloszlás I.,5,,5, E( ξ ) = λ ξ ) = λ,5,,5,,5,8,6,,,5 3 5 6 7 8 9 Szülések száma x λ λ P = e x! Szülések száma az ügyeletben Új diagnosztizált karcinómák száma Hálóban lévő halak száma Radioaktív rearátumban adott idő alatt elbomló atomok száma Normál eloszláshoz közelíthető 6 8 Koleszterin szint (mg/dl) Koleszterinszin, vércukorszint... Testmagasság, BMI Diasztolés vérnyomás felnőtteknél... 6 8 Koleszterin szint (mg/dl) E( ξ ) = µ ξ ) = σ P = e σ π ( x µ ) σ
Normál eloszlás II. Standard normál eloszlás,5 Centrális határeloszlás tétele: ha sok független valószínűségi változót összegzünk, akkor elég általános feltételek teljesülése esetén az összeg normális eloszlású valószínűségi változó lesz. sűrűség,,35,3,5, E( ξ ) = µ = ξ ) = σ =,5,,5-6 - - 6 Mért érték 8 Lognormál(Galton) eloszlás Elhalálozás valószínűsége (-sűrűsége),3,5,,5,,5 5 5 5 Idő (év),35,3,5,,5,,5 Elhalálozás kumulált valószínűsége Var ξ ) = ( e µ + σ E / ( ξ ) = e σ µ + σ ( ) e P = e σ x π (lnx µ ) σ Testtömeg gyermekkorban Túlélési idő
Tönkremenetel (kumulált) valószínűsége,,8,6,, Exonenciális eloszlás 6 8 Idő (év) Altatóberendezés működési ideje(az első hibáig). Radioaktív bomlás során az egyes atomok élettartama. E( ξ ) = λ ξ ) = λ P λ e λ x = Állandó hozzáadása Változók transzformációi E ( η ) = E( ξ ) + k Var ( η) = ξ ) Állandóval való szorzás E ( η ) = E( ξ )* k η ) = ξ )* k Standardizálás Állandó hozzáadása, majd állandóval szorzás ( ) ( ξ E( ξ )) E( η) = η = ξ E( ξ ) * = ξ ) ξ ) Var η) Változók összeadása E ( η) E( ξ ) + E( ω) Var η) = ξ ) + ω) Stabil eloszlás: ha az eloszlás ugyanaz marad = ( függetlenségnél! Változók összeszorzása ( = E ( η) = E( ξ )* E( ω),6,5,,3,, Khí-négyzet(χ ) eloszlások 5 5 khí-négyzet értéke k = df E (ξ ) = k ξ ) = k Khí-négyzet érték: független, standard normál eloszlású változók négyzeteinek összege 3 5 6 7 Student-féle t-eloszlás k = df,9,8,7,6 6,5,,3,, -6 - - 6 t-érték 3
Ellenőrző kérdések # Hogyan számítható egy folytonos eloszlás várható Hogyan számítható egy diszkrét eloszlás várható Melyik közéérték egyezik meg a várható értékkel egy ouláció esetében? Mivel becsülhető egy elméleti eloszlás várható Mivel becsülhető egy elméleti eloszlás szórása? Definiáld a z elméleti varianciát. Melyik két mutató határoz meg egyértelműen egy seciális eloszlást? Ábrázold az egyenletes eloszlás gyakoriságfüggvényét. Ábrázold a Poisson eloszlás gyakoriságfüggvényét. Ábrázold a Bernoulli eloszlás gyakoriságfüggvényét. Ábrázold a geometriai eloszlás gyakoriságfüggvényét. Ábrázold a normál eloszlás gyakoriságfüggvényét. Ábrázold a Gauss eloszlás kumulált eloszlásfüggvényét. Ábrázold az exonenciális eloszlás gyakoriságfüggvényét. Ábrázold a lognormál eloszlás gyakoriságfüggvényét. Írj éldát az egyenletes eloszlásra. Írj éldát binomiális eloszlásra. Írj éldát a geometriai eloszlásra. Írj 3 éldát a normál eloszlásra. Írj éldát a lognormál eloszlásra. Írj éldát a Poisson eloszlásra. Írj éldát az exonenciális eloszlásra. Hogyan számítható az egyenletes eloszlás várható Hogyan számítható a binomiális eloszlás várható Hogyan számítható a lognormáleloszlás várható Hogyan számítható az exonenciális eloszlás várható Hogyan számítható a Poisson eloszlás várható Hogyan számítható normál eloszlás várható Miről szól a centrális határeloszlás tétele? Miért követ a legtöbb orvosi gyakorlatban használt változó normál eloszlást? Mik a standard normál eloszlás aramétereinek számszerű Ellenőrző kérdések # Add meg általánosan, hogy mikor kaunk általában binomiális eloszlást. Add meg általánosan, hogy mikor kaunk általában geometriai eloszlást. Add meg általánosan, hogy mikor kaunk általában Poisson eloszlást. Add meg általánosan, hogy mikor kaunk általában lognormál eloszlást. Milyen transzformációval kahatunk a lognormál eloszlásból normál eloszlást? Hogyan kaunk khí-négyzet eloszlású változót? Definiáld a oulációt és a mintát. Hogyan változik a változó eloszlásának várható értéke és a szórása konstans hozzáadására? Hogyan változik a változó eloszlásának várható értéke és a szórása konstanssal való szorzáskor? Hogyan lehet standardizálni egy eloszlást? Mit jelent ez? Hogyan változik a várható érték és a szórás független normál eloszlású változók összeadásakor?