Hágen Zsófia Margit. Többnyerteses választások

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Hágen Zsófia Margit Többnyerteses választások BSc Szakdolgozat Témavezető: Bérczi-Kovács Erika Operációkutatási Tanszék Budapest, 2017

Köszönetnyilvánítás Elsősorban köszönetet szeretnék mondani témavezetőmnek, Bérczi-Kovács Erikának, aki először is igent mondott a megkeresésemre, hogy fel szeretném kérni konzulensemnek, majd felhívta ezen témára a figyelmemet és megszerettette azt velem. Mindig bizalommal fordulhattam hozzá, akármilyen kérdésem is volt, készséggel segített. Akár nyelvi nehézséggel álltam szemben, akár értelmezési problémám volt vagy csak elakadtam, szívesen segített. Ezúton is köszönöm hozzájárulását és hálás vagyok tanácsaiért. Továbbá köszönöm középiskolai matematika tanáraimnak, Bakai Eszternek, aki megszerettette velem a matematikát és Sáray Szilviának, aki legjobb tudása szerint készített fel az emelt szintű érettségire és végig mindenben támogatott. Valamint köszönet illeti a családomat és barátaimat is, akik egész idő alatt támaszt nyújtottak. 2

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 5 2. Jelölések és definíciók 7 2.1. Jelölések.................................. 7 2.2. Definíciók................................. 9 3. Pontozások és választási szabályok 14 3.1. Pontozások................................ 14 3.2. Egynyerteses esetben használt szabályok................ 15 3.2.1. Többségi szavazás......................... 15 3.2.2. Jóváhagyáson alapuló szavazás.................. 15 3.2.3. Borda............................... 16 3.3. Többnyerteses esetben használt szabályok............... 17 3.3.1. STV................................ 17 3.3.2. SNTV............................... 21 3.3.3. k-borda.............................. 22 3.3.4. Bloc................................ 23 4. Jóváhagyott szavazás többnyerteses választások esetében 25 4.1. Egynyerteses jóváhagyott szavazás.................... 25 4.2. Többnyerteses jóváhagyott szavazás................... 25 4.3. Általánosított jóváhagyott eljárások................... 26 4.3.1. Egyszerű jóváhagyott eljárás................... 26 4.3.2. Arányos jóváhagyott eljárás................... 28 4.3.3. P-képviselő jóváhagyott eljárás.................. 29 4.4. Többségi küszöbérték eljárás....................... 30 3

4.5. Elégedettséggel kapcsolatok eljárások.................. 31 4.5.1. Elégedettségi jóváhagyott eljárás................ 31 4.5.2. Határtalan elégedettségi jóváhagyott eljárás.......... 32 4.5.3. Módosított elégedettségi jóváhagyott eljárás.......... 33 5. Összefoglalás 35 4

1. fejezet Bevezetés Napjainkban nagyon sok olyan szituáció van, amikor a társadalmunknak egy bizottság kiválasztására van szüksége, melynek tagjai képviseljenek minket adott helyzetben. Ezek a szituációk és a körülmények nagyon eltérő területűek lehetnek. Ilyen lehet például demokráciában egy politikai választás, ahol egy adott ország vagy akár több ország társadalmának érdekeit az ország élére választott képviselők reprezentálják. Továbbá például egy állásinterjúra jelentkezettek listájának lerövidítése is ide tartozhat, hogy kiket hívjanak be a második körös meghallgatásra. Azonfelül a repülőgépen vetítésre kerülő filmek összeválogatása is ilyesfajta probléma, ami ranglistán alapszik. Itt fontos, hogy minden utas találjon részére kedvező filmet, ami számára kielégítő További számos ilyen és ehhez hasonló tényállással találkozhatunk még. Ezekhez a feladatokhoz szükségünk van formális szabályokra, hogy el tudjuk dönteni, hogy hogyan válasszunk. Ezen szabályokat többnyerteses választásoknak tekintjük, melyek a bemenete a bizottság adott k mérete és a szavazók egyéni preferenciasorrendjei, kimenete pedig a megválasztott bizottság. A legismertebb szcenárió, amikor egy nyertest választunk valamilyen probléma megoldásaként a társadalom élére vagy egy tételt emelünk ki egy válogatásnál, de a többnyerteses szituációk sokkal inkább jelen vannak a valóságban. Az általános metódus esetén adott bizonyos tételek egy halmaza, ezek lehetnek jelöltek, akik egy politikai választáson indulnak, filmek, állásinterjún a jelentkezők, illetve bármilyen elképzelhető lehetőség. Ezenfelül adott a választók egy halmaza is, ahol mindegyik választónak megvan a saját preferenciája a tételekkel szemben. Ez lehet például egy filmmel szembeni elégedettség szintje vagy egy adott politikus általi képviseléssel kapcsolatos megelégedés, az állásinterjúra jelentkezettek rangsorához 5

kötődő egyetértés mértéke, stb. Általában sajnos nem lehetséges, hogy minden választó igényeit teljesen kielégítsük és minden általuk választott tételt a nyertes bizottságba beválasszunk. A parlament is adott mérettel rendelkezik, a repülőgép rendszere is véges számú filmet képes eltárolni, stb. Ezért van a bemenetnél a bizottság méretére egy fix megkötés, ami a k. A célom egy struktúra félállítása az ilyen problémákat megoldó szabályokra, hogy rendszerbe szedhessük a pontozási alapú választási szabályokat, illetve bizonyos tulajdonságok felülvizsgálata minden általam vizsgált szabály felett. Dolgozatomat a továbbiakban használt jelölésrendszerem megismertetésével kezdem, majd egy definíció szedettel folytatom, ahol a legtöbb későbbiekben bemutatott szabály tulajdonságait és jellemzőit deklarálom. Ezt követően bemutatok néhány lehetséges egynyerteses pontozási módot, majd az erre épülő többnyerteses változatokat és szabályokat, részletesebben kitérve a jóváhagyáson alapuló szabályokra és rendszerekre, mindenhol példával demonstrálva ezek működését. A már korábban definíciókban említett tulajdonságokat ellenőrizzük minden vizsgált szabályra. 6

2. fejezet Jelölések és definíciók 2.1. Jelölések Egy választást a dolgozatban mindig E = (C, V )-vel jelölünk, ahol C = {c 1,..., c m } a jelöltek halmazát és V = (v 1,..., v n ) a szavazók listáját jelenti, ami egyben a szavazók preferencia-sorrendjét is jelöli, ez a két fogalom számunkra most megegyező. Azaz C = m és V = n, tehát a C halmaz mérete m és a V lista hossza n. A v V szavazatban a c C-edik jelölt pozícióját pos v (c) kifejezés jelölje. A V i [m] halmaz az i-edik szavazó szavazatát mutatja meg. A szavazati profil kifejezésére használjuk a V = (V 1, V 2,..., V n ) kifejezést. Ezenfelül a jelöltek részhalmazát elfogadhatónak mondjuk, ha alkalmas arra, hogy megnyerje a választást, ezt W -vel jelöljük. Egy fix k méretű bizottságot szeretnénk megválasztani, ami egynél nagyobb, de a jelöltek számánál kisebb, ez W k = {S [m] : S = k}. Így W k a jelöltek azon részhalmazainak osztálya, melyek pontosan k jelöltet tartalmaz. Nagyon sok választás kielégíti, hogy W W k, ezt k- választásoknak nevezzük. A legtöbb választás, amiről említést teszek W = W k -t is kielégíti. Ha k = 1, akkor egynyerteses választásról beszélünk, ekkor W = W 1 -gyel. Ha k 2, akkor pedig többnyerteses választásról van szó, ekkor aki a nyertes halmazba kerül, tehát bekerül a bizottságba, az nyer, minden más jelölt pedig veszít. Több nyertes részhalmazt is kaphatunk, tehát végződhet döntetlenként is a választás. Az ilyenfajta szavazási eljárások függvényként is felfoghatók. Legyen R egy függvény, ami megad egy választást, ami egy nemüres halmazba képez, R(E, k) és az összes 7

lehetséges szavazói profilból az elfogadható halmazok osztályába mutat. Nevezzünk egy valamilyen szavazói eljárást P roc-nak és az összes elfogadható halmazt, ami nyertes bizottságként kikerülhet egy k-választásból pedig nevezzük A k -nak. Ekkor ezalatt az eljárás alatt a nyertes bizottságok részhalmazát jelölje P roc(v, A k ) = P roc k (V ), ahol V továbbra is a szavazói profilokat jelöli, tehát, hogy egyes jelöltek milyen preferencia-sorrendet állítottak fel a a választáson induló jelöltek között és ez a részhalmaz a bizottság előre adott k mérete miatt szintén k méretű kell legyen. A legtöbb eljárás minden olyan elfogadható részhalmazt ki fog választani, ami maximalizál (vagy egyes esetekben minimalizál) egy adott pont függvényt. Elfogadható halmaz attól lesz, hogy mérete a bizottság méretével megegyezik, tehát k jelöltet tartalmaz. A pont függvényeket Sc-vel jelöljük, aminek rövidítése az angol score szóból ered, egy V A R függvény. Bármilyen W A elfogadható részhalmazra a pontfüggvény értéke, Sc(V, W )-vel egyenlő, amit jelöljünk Sc(W )-vel. Tehát csak és kizárólag a szavazói profiltól függ, hogy egyes szavazóknak milyen egyéni sorrendje van. Ezáltal a pontalapú választás szerint össze tudjuk hasonlítani a részhalmazokat, hogy egymáshoz képest hol állnak, kiválaszthatóvá válik a nyertes vagy döntetlen pont esetén a nyertesek. Ebben az esetben P roc szavazási eljárás kimenete, ha Sc pont alapján számítunk a következő: P roc(v, A, Sc) = arg max Sc(V, W ). (2.1) W A Így a maximumát keressük az elfogadható halmazoknak, tehát a legmagasabb pontértékűt. Azaz legalkalmasabb részhalmaz megtalálása a célunk az adott argumentumon. Előfordulhat, hogy egy szituációban nem a legalkalmasabb részhalmazt szeretnénk kiválasztani, hanem ennek pont az ellentettjét, a nemalkalmasság felmérése a célunk. Ilyenkor az argmax kifejezés helyett az argmin-t használjuk, amivel az elfogadható részhalmazok közül a legkevesebb pontút vagy döntetlen esetén pontúakat választjuk ki, tehát minimalizálunk. P roc(v, A, Sc) = arg min Sc(V, W ). (2.2) W A 8

2.2. Definíciók 2.2.1. Definíció. Az F társadalmi preferencia-függvény egy leképezés, ami adott (C, V ) választásból egyenlő lineáris rendezések halmazába képez C felett. 2.2.2. Definíció. R bizottsági választási szabály k-legjobb szabály, ha létezik olyan F társadalmi preferencia függvény, ami minden E = (C, V ) választáshoz, ahol C = m és minden k [m] az R(E, k) halmaz minden olyan W halmazt tartalmaz, ahol létezik egy > rendezés F (E)-ben, ami az első k helyre rangsorolja a jelölteket W -ben. 2.2.3. Definíció. Ha k bizottsági tagot választunk, akkor egy eljárás egynyerteses jóváhagyott szavazáson alapszik akkor és csak akkor, ha a nyertest tartalmazó részhalmaz A = A 1 esetén pontosan azt az egyetlen jelöltet tartalmazza, amely az egynyerteses jóváhagyott szavazás nyertese. 2.2.4. Definíció. Vegyünk egy E = (C, V ) választást m jelölttel és k [m] pozitív egésszel. Adott egy S bizottság, melyre S = k. Ekkor S pozíciója a szavazóival legyen pos v (S), ami az az {i 1,..., i k } vektor, ami a {pos v (c) c S} halmaz növekvő rendezésben vett osztályozását adja eredményül. 2.2.5. Definíció. Jelöljük [m] k -val a növekvő, k-hosszú számokból álló sorozatokat [m]-ből. Ekkor [m] k -t úgy demonstráljuk, mint minden lehetséges bizottsági pozíciók halmazát egy választásban m jelölttel és k méretű bizottsággal. Vegyük egy I = (i 1,...i k ) és egy J = (j 1,..., j k ) bizottsági pozíciót [m] k -ból. Azt mondjuk, hogy I dominálja J-t (I J), akkor és csak akkor, ha i l, j l minden l [k]-ra. 2.2.6. Definíció. Egy (m, k) bizottsági pontozási függvény egy olyan f m,k : [m] k N leképezés, amely minden I, J [m] k bizottsági pozíció párra, ahol I J megtartja, hogy f(i) f(j). 2.2.7. Definíció. Az f bizottsági pontozási függvény egy gyűjteménye az (m, k)- bizottság pontozási függvényeknek minden m N-re és minden k [m] : f = (f m,k)m N,k [m] -re. Egy k méretű S bizottság pontja egy E = (C, V ) választásban, ahol, C = m az f bizottság pontozási függvényt is figyelembe véve a következő: sc f,e (S) = v V f m,k (pos v (S)). (2.3) 9

Tehát az R f bizottsági pontozási szabály f bizottsági pontozási függvénnyel összekapcsolva olyan bizottsági válogatási szabály, amely adott E = (C, V ) választásra és fix k célbizottság méretre minden olyan k méretű bizottságot eredményül ad, amelyeknek f-et figyelembe véve maximális pontjuk van. A legtöbb szabály, amelyekről a későbbiekben tárgyalunk ide tartoznak, következésképpen bizottsági pontozási szabályok. 2.2.8. Definíció. Ha egy f = f m,km N,k [m] bizottsági pontozási függvény szétválasztható, akkor felírható a következőképpen: f m, k(i 1,..., i k ) = γ m (i 1 ) + + γ m (i k ), (2.4) a γ = (γ m ) m N függvények valamilyen családjára, ahol minden γ m egy nemnövekvő függvény [m]-től N-ig, ami nem függ k-tól és kielégiti a követketőt: γ m (1) > γ m (m). Ennélfogva egy R bizottsági pontozási szabály szétválasztható, ha létezik egy f szétválasztható bizottsági pontozási függvény, amire igaz, hogy R = R f. 2.2.9. Definíció. Egy R f bizottsági pontozási szabály összekapcsolva egy f = (f m,k )m N bizottsági pontozási függvénnyel gyengén szétválasztható, ha létezik a γk m : [m] N, k [m] függvényeknek egy olyan nemnövekvő valamilyen családja, amely minden m N-re és k [m]-re megtartja, hogy γk m(1) > γn k (m) és minden 0 < i 1 < < i k m sorozatra: f m,k (i 1,..., i k ) = k γk m (i t ). (2.5) t=1 2.2.10. Definíció. A nemelőírás tulajdonság azt mondja ki, hogy bármely C jelölthalmazra és k-elemű W részhalmazra C-ből van egy olyan E = (C, V ) választás, amire R(E, k) = W. Ehhez arra van szükség, hogy bármely k méretű jelölthalmaz lehessen egyedülálló győztes. Ez egy olyan alapelvárás, amit az összes általam vizsgált szabály triviálisan kielégít. 2.2.11. Definíció. A konzisztencia azt jelenti, hogy minden E 1 = (C, V 1 ), E 2 = (C, V 2 ) párra a választásból C jelölthalmaz felett és bármely k [ C ], ha R(E 1, k) R(E 2, k), akkor R(E 1 + E 2, k) = R(E 1, k) R(E 2, k). 10

2.2.12. Definíció. A homogenitás azt fejezi ki, hogy minden E = (C, V ) választásra bármely k [ C ] és t N esetén megtartja, hogy R(tE, k) = R(E, k). Ezen két tulajdonság közvetlenül átdolgozott az egynyerteses esetből. 2.2.13. Definíció. A monotonitás szigorú változata kimondja, hogy ha egy c jelölt egy W nyertes bizottsághoz tartozik, akkor nem számíthatunk arra, hogy ha c előrébb kerül a szavazók néhány szavazatában, akkor még mindig ugyanazon W halmaz lesz a nyertes. Eme szigorú tulajdonságot sajnos egyetlen általam vizsgált szabály sem elégíti ki, ugyanis például ez az előremenetel sérthet más W -beli jelölteket, így szükség van ezen szabály valamilyen enyhítésére. Egy ilyen út, ha szükségessé tesszük, hogy c a nyertes bizottsághoz tartozzon az előrelépdelés vagy helyváltoztatás után is. Továbbá megszoríthatjuk c előrelépdelési lehetőségeit, ezzel megakadályozva, hogy legyőzzön másokat W -ben. Így ezen alapelgondolásnak két mérséklése is létezik. 2.2.14. Definíció. Tekintsünk egy E(C, V ) választást és egy R bizottsági választási szabályt. Vegyünk egy c C-t és k [ C ]-t, melyre c W olyan, hogy W R(E, k). Továbbá tekintsük E -t, melyet E-ből úgy kapunk, hogy c-t előrébb toljuk egy pozícióval valamilyen v szavazatban. Ha minden c esetén igaz, hogy c W valamilyen W R(E, k), akkor teljesül a jelölt monotonitás, 1. 2. ha c közvetlenül valamilyen b / W elé van rangsorolva, akkor W R(E, k), akkor teljesül a nemkeresztező-monotonitás. A monotonitás alapigazság szintén az egynyerteses eset adaptációja. 2.2.15. Definíció. Minden E(C, V ) választásra bizottsági monotonitás esetén a következő feltételek teljesülnek: 1. Bármely k [ C 1]-re, ha W R(E, k) akkor létezik egy W R(E, k + 1) halmaz, amire W W ; 2. Bármely k [ C 1]-re, ha W R(E, k + 1), akkor létezik egy W R(E, k) halmaz, amire W W. 11

Ez a fajta monotonitás a bizottsági kiválasztásokra specializált alapelgondolás. Akkor van szükségünk ezen axiómára, ha a célbizottság méretét szeretnénk növelni, de a már kiválasztott kisebb bizottságban lévő tagokat nem szeretnénk kiejteni, tehát a nagyobb bizottságban is kívánjuk őket megtartani. 2.2.16. Definíció. A szilárd koalíció fogalma azt állítja, hogy minden E(C, V ) választásra bármely k [ C ]-re, ha legalább V szavazó rangsorolta valamely c k jelöltet első helyre, akkor c minden bizottsághoz hozzátartozik R(E, k)-ban. 2.2.17. Definíció. Az együttműködő bizottság elgondolása, hogy minden E(C, V ) választásra és bármely k [ C ]-re, ha van egy olyan k-elemű W halmaz, ami része C-nek és igaz rá, hogy minden szavazó valamely W -beli jelöltet rangsorolja előre és minden W -beli jelölt első helyre rangsorolt vagy szavazó által, akkor R(E, k) = W. V k V k 2.2.18. Definíció. Az egyenjogúság gondolata, hogy minden E(C, V ) választásra k [ C ]-re, ha minden szavazó ugyanazon k jelöltet rangsorolja az első k helyre W -ben, akkor: 1. erős egyenjogúság: R(E, k) = W, 2. gyenge egyenjogúság: W R(E, k). Az előbbi három definíció a Dummett s feltétel három különböző kivitelezése (szilárd koalíciók arányossága). Itt a k tagú bizottság kiválasztásához n szavazóval adott egy feltétel. Ha valamely l [k]-ra létezik ln szavazóknak egy olyan csoportja, ahol a k szavazók ugyanazon l jelöltet rangsorolták előre. Ebben az esetben ezen l jelöltnek biztosan benne kell lennie a k tagú nyertes bizottságban. Célja az arányos képviselet elméletének helybenhagyása és elfogadtatása. Azonban ez a feltétel nagyon erősnek bizonyult, így az előbbi három axióma a gyengébb változatai, amik ugyanazon elvre reagálnak. 2.2.19. Definíció. A rögzített többség tekinthető az egyenjogúság kiterjesztéseként is. Minden E(C, V ) választásra k [ C ]-re, ha van egy olyan k-elemű W halmaz, ami része C-nek olyan, hogy a szavazók szigorú többsége minden W -beli tagot előrébb rangsorol, mint nem W -beli tagot, akkor R(E, k) = W. 12

2.2.20. Definíció. Rögzített k 1-re és A A k -ra a pontozás jelölt-szerinti, akkor és csak akkor, ha az kielégíti a következőt: Sc(W ) = j W Sc(j), (2.6) ahol Sc(j) j pontja, amikor A = A 1. 2.2.21. Definíció. Egy eljárás felfelé-gyarapodó k 1 esetén akkor és csak akkor, ha minden W A k+1 nyertes halmaz esetén létezik olyan j W, hogy W j nyertes halmaz A k -ban. Így akkor és csak akkor felfelé-gyarapodó egy eljárás, ha minden nyertes részhalmaz a nagyobb (k + 1) választásban létrehozható úgy, hogy hozzáadunk egy jelöltet valamely nyertes részhalmazhoz a kisebb k-választásban. Minden nyertes részhalmaz a nagyobb választásban pontosan egy jelölttel tér el valamely nyertes részhalmaztól a kisebb választásban. 2.2.22. Definíció. Egy eljárás lefelé-gyarapodó k 1 esetén akkor és csak akkor, ha minden W A k nyertes halmaz esetén létezik olyan j / W, hogy W j nyertes halmaz A k+1 -ben. Így akkor és csak akkor lefelé-gyarapodó egy eljárás, ha minden nyertes részhalmaz a kisebb (k) választásban létrehozható úgy, hogy törlünk egy jelöltet valamely nyertes részhalmazhoz a nagyobb k + 1-választásban. Minden nyertes részhalmaz a kisbb választásban pontosan egy jelölttel tér el valamely nyertes részhalmaztól a nagyobb választásban. 13

3. fejezet Pontozások és választási szabályok 3.1. Pontozások A többnyerteses választások esetében sok szabály az egynyerteses választások szabályain alapszik, kiszámolják a választható jelöltek pontjait, ezzel eldöntve, hogy ki hanyadik helyen áll, így meghatározva, hogy ki a nyertes. 1. Többségi pont: c jelöltnek a többségi pontja a szavazatok száma, amit c azon szavazóktól kapott, ahol ő szerepel az első helyen. 2. t-jóváhagyott pont: Legyen t egy pozitív egész szám. Egy c jelölt t-jóváhagyott pontja azon szavazatok száma, amit olyan szavazóktól kapott, ahol c az első t hely valamelyikét foglalja el. 3. Borda pont: Legyen a (C, V ) választásban v egy szavazat. Egy c C jelölt v szavazatból kapott Borda pontja C pos v (c). Ekkor c összességében vett Borda pontja a (C, V ) választásban az összes szavazatban kapott Borda pontjának az összege. 4. s-pont: Ez egy sokkal általánosabb pontozás az első háromnál. Nemcsak speciális esetekben, hanem univerzálisan használható. Legyen C a jelöltek halmaza, aminek mérete C = m és az s = (s 1,..., s m ), ahol s 1 s 2..., s m. Ekkor b jelölt s-pontja egy (C, V ) választásban V = (v 1,... ), v n ) szavazatokkal: sc s (b) = n s posvi (a). (3.1) i=1 14

3.2. Egynyerteses esetben használt szabályok 3.2.1. Többségi szavazás Ez egy választási rendszer, amiben minden szavazó csak egyetlen jelöltre teheti le a voksát, és a végén a legtöbb ponttal rendelkező jelölt nyer. Előnye, hogy könnyen érthető, nagyon egyszerű és gyakran használt, illetve, hogy kielégíti a többségi kritériumot, ami azt mondja ki, hogy ha van egy jelölt, aki a szavazatok többségével rendelkezik, akkor annak a jelöltnek kell nyernie. Hátránya, hogy megtörténhet, hogy ezen szavazási eljárás használatával szavazatokat veszítünk el és nem elégíti ki a Condorcet kritériumot, mely az alábbi: A Condorcet győztes mindig az, aki megnyeri a választást bármilyen egy az eggyel szemben választásban a választható jelöltek között. Egy szavazási eljárás kielégíti a Condorcet kritériumot, ha a választás mindig a Condorcet győztest választja ki, ha az létezik. 3.2.1. Példa. Vegyünk egy E = (C, V ) választást C = {a, b, c} jelöltekkel és a következő szavazatokkal: 2 szavazó preferencia-sorrendje: a > c > b, 3 szavazó preferencia-sorrendje: a > b > c, 4 szavazó preferencia-sorrendje: c > b > a, 4 szavazó preferencia-sorrendje: b > a > c. Összehasonlítva a jelöltet c-vel 5 jelölt rangsorolta a-t első helyre és 4 c-t. 4 szavazó b-t rangsorolta első helyre, de ha a és c között kellene döntenie, akkor a-t választaná. Szóval összességében 9 jelölt előnyben részesíti a-t c-vel szemben, viszont csak 4 c-t a-val szemben, így a megnyert egy az eggyel szembeni választást. a-t b-vel összehasonlítva b nyer 8 ponttal, amíg a-nak csak 5 pontja van. Végezetül b és c jelölt közötti választásban b-nek 7 szavazata lesz, amíg c-nek csak 6. Igy ezt is b jelölt nyeri meg. Tehát b a Condorcet győztes, de a többségi szavazást mégsem ő nyeri. 3.2.2. Jóváhagyáson alapuló szavazás Felfogható úgy, mint egy többségi ítélet, ahol az osztályok arra korlátozottak, hogy valami jó vagy rossz. Hasonló a többségi szavazáshoz, csak itt egyszerre több jelöltre 15

is lehet szavazni, akár egyre, néhányra vagy az összesre egyszerre. Minden szavazat egyenlően számolódik el, tehát ha egyszerre több jelöltre szavazok, akkor mindegyik általam megjelölt jelölthöz egy szavazattal járultam hozzá. A szavazatok összeszámlálásakor a végső szavazatok azt mutatják meg, hogy hány szavazó támogat egy adott jelöltet és a legtámogatottabb nyer. A jóváhagyáson alapuló szavazás megsérti a többségi kritériumot, ami az alábbi: Annak a jelöltnek kell megnyernie az egynyerteses választást, amelyik a legtöbb szavazatban szerepel első helyen. 3.2.2. Példa. Vegyünk egy E = (C, V ) választást C = {a, b, c} jelöltekkel és a következő szavazatokkal: 100 szavazó preferencia-sorrendje: a > b > c, 15 szavazó preferencia-sorrendje: c > b > a, 4 szavazó preferencia-sorrendje: b > c > a, Egyértelműen a a többségi nyertes, de tegyük fel, hogy ez a választás jóváhagyáson alapuló és az első két helyezett számít jóváhagyottnak. Ekkor b nyer, hiszen neki 119 pontja lesz, mig ekkor a-nak még mindig 100. 3.2.3. Borda Ebben a metódusban a jelöltek pontjai a rangsorban lévő helyükön múlik. Az utolsó helyezett 0 pontot kap, az előtte lévő 1-et és így tovább. A pontértékek minden szavazatban összesítettek, és a legtöbb Borda ponttal rendelkező jelölt nyer. Figyelembe vesz mindenkit a preferencia-sorrendben és nagyon jól használható többnyerteses választásoknál. Borda nem elégíti ki a többségi kritériumot, és ezzel megsérti a Condorcet kritériumot is. 3.2.3. Példa. Vegyünk egy E = (C, V ) választást C = {a, b, c} jelöltekkel és a következő preferencia-sorendekkel: 3 szavazó preferencia-sorrendje: a > b > c, 2 szavazó preferencia-sorrendje: b > c > a. Ekkor a a Condorcet nyertes, mert a többség őt preferálja a többi jelölttel szemben. A Borda pontozásnál ebben az esetben az elő helyezett 2 pontot kap, a második 1-et és a harmadik pedig 0-át. Így a Borda pontja 6, ugyanis három szavazó szerint első helyen áll, ez 3 2 = 6 pont és két szavazó által utolsó helyre rangsorolt, ami 16

3 0 = 0 pont, ez összesen 6 pont. A b jelölt három szavazatból 2 2 = 4 pontot kap, ugyanis második és kettőből pedig 2 3 = 6 pontot kap, mert első helyre rangsorolták, tehát összesen 10 pontja lesz. Végül c három szavazó szavazata szerint harmadik helyen áll, tehát 3 0 = 0 pontot kap és két szavazó által második helyre rangsorolt, így 2 2 = 4, összesen 4 pontja van. Ennélfogva a Borda pontozás alapján b nyeri a választást, ha egy jelöltet választunk, aki nem a Condorcet győztes. 3.3. Többnyerteses esetben használt szabályok 3.3.1. STV Az egyéni átruházható szavazat, single transferable rule (STV) egy többfokozatú kiválasztási szabály, melynek célja az arányos képviselet elérése a szervezetekben vagy szavazókörzetekben végzett rangsorolással. Lehetővé teszi, hogy szavazatainkat pártok helyett egyéni jelöltekre tegyük le, és csökken az elvesztegetett szavazatok száma is azzal, hogy a biztos nyertesek vagy győztesek szavazatait átruházzuk más jelöltekre. Az STV szabálynál minden választó rangsorolja a jelölteket, tehát felállítja a saját preferencia sorrendjét, majd ezek alapján számlálódnak össze a szavazatok és kerül kiválasztásra a nyertes bizottság. Azaz STV a többségi pontozást felhasználva választ nyertes bizottságot. Mivel többfokozatú, így minden szinten, ahol van egy olyan c jelölt, akinek többségi pontja legalább q = + 1 (Droop-kvóta), tehát V k+1 elér egy minimum szavazatszámot, akkor a következő történik a c jelölttel: 1. c-t bevesszük a nyertes bizottságban, 2. Törlünk q szavazatot, ahol c az első helyen szerepel. Majd a fennmaradó azon szavazatokból, ahol c első helyen szerepel töröljük c jelöltet és ezen szavazatok közvetlenül átszállnak a c után következő jelöltre, 3. Töröljük c-t minden hátralevő szavazatból. Ha mindegyik jelöltnek a többségi pontja kevesebb, mint a q kvóta, akkor ezen jelöltek közül a legalacsonyabb ponttal rendelkezőt töröljük az összes szavazatból. A Droop-kvóta az egynyerteses választásokban használt szükséges 50% + 1 szavazati többség kiterjesztése. Ezt az eljárást addig ismételjük, amíg nem választottunk ki k jelöltet, tehát amíg nincs meg a nyertes bizottság. 17

A döntetlenek szükségessé teszik, hogy minden lehetséges utat megvizsgáljunk ahhoz, hogy kiválasszunk egy jelöltet azok közül, akiknek a kvótája kiemelkedik vagy hogy ráismerjünk azon q szavazatra, amiket ki kell törölnünk azok közül, ahol ez a jelölt elsőként lett rangsorolva. Illetve a legalacsonyabb többségi szavazattal rendelkező jelölt eltávolításához is elengedhetetlen. Egy bizottság abban az esetben nyer, ha ez alapján az eljárás alapján ki tudjuk választani. Az eljárás gyakorlatban való működését egy példán keresztül fogom bemutatni. 3.3.1. Példa. Vegyünk egy E = (C, V ) választást C = {a, b, c, d, e} jelöltekkel és V = 28 szavazóval. 12 szavazó preferencia-sorrendje: d > a > e > b > c, 6 szavazó preferencia-sorrendje: a > b > e > c > d, 3 szavazó preferencia-sorrendje: c > b > d > e > a, 7 szavazó preferencia-sorrendje: e > c > d > a > b. Ekkor k = 1 esetén, tehát amikor a nyertes bizottság egy személyből áll a Droopkvóta : 28 2 +1 = 15, ugyanis a szavazók száma V = 28, a jelöltek száma C = 5 és egy nyertest választunk. Ebben az esetben a metódus a következő: 1. Az első körben egyik jelölt sem éri el a Droop-kvóta küszöbértéket, így töröljük a a preferencia-sorrendekből a legalacsonyabb többségi ponttal rendelkező jelöltet, aki ebben az esetben a c jelölt, 3 ponttal. Ilyenkor a sorrendek: 12 szavazó preferencia-sorrendje: d > a > e > b, 6 szavazó preferencia-sorrendje: a > b > e > d, 3 szavazó preferencia-sorrendje: b > d > e > a, 7 szavazó preferencia-sorrendje: e > d > a > b. 2. A második körben még mindig nem éri el senki a Droop-kvóta küszöbértéket, így hasonlóan az első lépéshez, most is kitörüljük a szavazatokból a legalacsonyabb többségi ponttal rendelkező jelöltet. Ez most a b jelölt, 3 ponttal. Így a sorrendek: 12 szavazó preferencia-sorrendje: d > a > e, 6 szavazó preferencia-sorrendje: a > e > d, 18

3 szavazó preferencia-sorrendje: d > e > a, 7 szavazó preferencia-sorrendje: e > d > a. 3. A harmadik lépésben d többségi pontja 15, tehát eléri a Droop-kvótát, ezért kiválasztjuk és {d} az egyetlen nyertes. A k = 2 esetben a Droop-kvóta: 28 3 + 1 = 10 Ekkor így zajlik a folyamat: 1. Ha d eléri a Droop-kvótát, akkor kiválasztjuk és töröljük azon 10 szavazatot, ahol első helyen szerepelt, a maradék két szavazat, ahol elsőként volt rangsorolva átszáll a-ra és töröljük az összes többi szavazatból. Ebben az esetben a preferencia-sorrendek: 2 szavazó preferencia-sorrendje: a > e > b > c, 6 szavazó preferencia-sorrendje: a > b > e > c, 3 szavazó preferencia-sorrendje: c > b > e > a, 7 szavazó preferencia-sorrendje: e > c > a > b. 2. Senki nem éri el a Droop-kvótát, így kitöröljük c-t, akinek 3 pontja volt. A sorrendek: 2 szavazó preferencia-sorrendje: a > e > b, 6 szavazó preferencia-sorrendje: a > b > e, 3 szavazó preferencia-sorrendje: b > e > a, 7 szavazó preferencia-sorrendje: e > a > b. 3. Továbbra sem éri el senki a minimális szavazati küszöböt, ezért kitöröljük ismét a legalacsonyabb ponttal rendelkezőt, aki most b, szintén 3 ponttal. A sorrend: 8 szavazó preferencia-sorrendje: a > e, 10 szavazó preferencia-sorrendje: e > a. 4. Tehát e-t kiválasztjuk 10 ponttal és így az egyetlen nyertes kéttagú bizottság {d,e}. 3.3.2. Állítás. [1] STV-re nem teljesül a bizottsági monotonitás. 19

3.3.3. Példa. Az előbbi állítás bizonyosságát egy példán keresztül demonstrálom. Legyen E = (C, V ) egy választás, ahol C = {a, b, c, d, e} és a szavazók száma V = 28 a következő preferencia-sorrendekkel: 12 szavazó preferencia-sorrendje: b > d > c > a > e, 4 szavazó preferencia-sorrendje: d > c > b > e > a, 5 szavazó preferencia-sorrendje: c > e > b > a > d, 7 szavazó preferencia-sorrendje: e > c > b > d > a. A k = 1 esetben a Droop-kvóta 15. Ennélfogva az első körben senki nem éri azt el, így d-t töröljük az összes szavazatból, hiszen 4 ponttal ő áll az utolsó helyen. Ekkor a sorrendek: 12 szavazó preferencia-sorrendje: b > c > a > e, 4 szavazó preferencia-sorrendje: c > b > e > a, 5 szavazó preferencia-sorrendje: c > e > b > a, 7 szavazó preferencia-sorrendje: e > c > b > a. Ezután továbbra sem éri el semelyik jelölt többségi pontja a 15-öt, így az e jelölt törlésre kerül, mivel 7 ponttal az ő pontszáma a legalacsonyabb. Ezután a preferencia-sorrendek: 12 szavazó preferencia-sorrendje: b > c > a, 4 szavazó preferencia-sorrendje: c > b > a, 5 szavazó preferencia-sorrendje: c > b > a, 7 szavazó preferencia-sorrendje: c > b > a. Tehát {c} az egyetlen nyertes 16 ponttal. A k = 2 esetben a Droop-kvóta 10. A b jelölt többségi pontja 12, tehát őt beválasztjuk a bizottságba és két szavazat átszáll c jelöltre ebből. A többi szavazatból töröljük b-t. Ezután a szavazatok: 2 szavazó preferencia-sorrendje: d > c > a > e, 4 szavazó preferencia-sorrendje: d > c > e > a, 5 szavazó preferencia-sorrendje: c > e > a > d, 20

7 szavazó preferencia-sorrendje: e > c > d > a. Ezt követően semelyik jelölt pontja sem éri el a Droop-kvótát, tehát a c jelöltet, akinek ekkor a legalacsonyabb a többségi pontja töröljük az összes szavazatból. Így: 2 szavazó preferencia-sorrendje: d > a > e, 4 szavazó preferencia-sorrendje: d > e > a, 5 szavazó preferencia-sorrendje: e > a > d, 7 szavazó preferencia-sorrendje: e > d > a. Ekkor e többségi pontja 12, tehát beválasztjuk a bizottságba és így az egyetlen nyertes bizottság {b, e}. Tehát a c jelölt nem tagja egyetlen kéttagú nyertes bizottságnak sem, pedig ő volt az egyetlen nyertes az egytagú nyertes bizottság megválasztásakor. Ennélfogva STV valóban nem bizottság monoton. 3.3.4. Tétel. [1] Egy bizottsági válogatási szabály akkor és csak akkor bizottsági monoton, ha az k-legjobb szabály. 3.3.5. Következmény. Tehát az előző levezetés következménye, hogy STV nem k-legjobb szabály. STV kielégíti a szilárd koalíció tulajdonságot, ha a szavazók száma elég nagy, hiszen ekkor a Droop-kvóta biztosan mindig kisebb lesz, mint a szilárd koalícióban elvárt V k ṠTV kielégíti az erős egyenjogúságot. Valóban, mert ha van egy olyan W jelölthalmaz, aminek mérete k olyan, hogy minden egyes szavazó a W -beli jelölteket az első k helyre rangsorolja, akkor minden körben lesz olyan jelölt W -ből, aki legalább által első helyre rangsorolt. V k Teljesül rá a jelölt-monotonitás és a konzisztencia úgy, mint minden más bizottsági pontozási szabályra is. 3.3.2. SNTV Az egyéni nem átruházható szavazat, tehát a single nontransferable vote azt a k jelöltet adja megoldásként, akiknek a legmagasabb a többségi pontja. Gondolhatunk rá sima k-többségi választásként, mert ez az eljárás tulajdonképpen a többségi szavazás kiterjesztése. SNTV megkönnyíti a kisebbségi pártok és független pártok 21

képviseletét, de összességében inkább kedvez az egyénnek, mint a pártoknak. Minél nagyobb a választókerület, tehát minél nagyobb bizottságot választunk, annál inkább tudunk arányos rendszert alkotni. SNTV arra ösztönözheti a megválasztandó feleket, hogy váljanak magasan szervezetté, és a szavazókat, hogy a szavazataikat oly módon adják meg, amely maximalizálja a pártok valószínűleg elnyerhető helyeinek számát a parlamentben. Könnyen beilleszthetők ezzel az eljárással a parlamentbe a független jelöltek is. Nagy előnye, hogy könnyű megérteni és a gyakorlatba ültetni. SNTV bizottsági pontozási szabály a következő bizottsági pontozási függvénnyel definiálva: f SNT V m,k (i 1,..., i k ) = α 1 (i 1 ), (3.2) ahol m a jelölthalmaz mérete és k a célbizottság mérete. Minden j [m]-re definiáljuk α j : [m] {0, 1}-t, úgy, hogy α j (i) = 1, ha i j és α j (i) = 0, különben. Tehát mindig az első helyen szereplőt, azaz a legmagasabb ponttal rendelkezőt választja ki. SNTV szátválasztahtó szabály. f SNT V = (i 1,..., i k ) = α 1 (i 1 ) = α 1 (i 1 ) + α 1 (i 2 ) + + α 1 (i k ) esetében, mert i 2,..., i k > 1, tehát ezek nullával egyenlőek az előbb definiáltak szerint. Azaz α 1 (i 1 ) = α 1 (i 1 ), ennélfogva szétválasztható. 3.3.6. Tétel. [1] Minden szétválasztható szabály k-legjobb szabály. Az előbbi tétel szerint SNTV k-legjobb szabály is. Tehát bizottsági monoton is, hiszen k-legjobb szabály. Továbbá rendelkezik a szilárd koalíció tulajdonsággal is, ugyanis egy E = (C, V ) választásban n szavazóval egy valamilyen c jelöltet legalább n k szavazó első helyre kell rangsoroljon, hogy bekerüljön a bizottságba. Ugyanis maximum k 1 másik jelölt lehet, akiknek a többségi pontja legalább n k. Ahogy minden más bizottsági pontozási szabály, úgy az SNTV is rendelkezik a gyenge egyenjogúság tulajdonságával, de az erőssel nem, és ezen elv alapján rendelkezik a konzisztenciával is. 3.3.3. k-borda Ez a szabály k jelöltet ad vissza a legmagasabb Borda pontokkal. Néha konszenzus alapú szavazásnak nevezik, hiszen legtöbbször szélesebb körben elfogadottabb verzió mellett dönt, mint mondjuk a többségi szavazás, nem feltétlenül a legtöbb ponttal 22

rendelkező jelölteket választja ki. Tulajdonképpen a k-borda az egynyerteses Borda többnyerteses változata. Csökkenő sorrendbe tesszük a jelölteket, előre az általunk legkedveltebbet, a döntetleneket lehetőleg nem megengedve, és az első k helyezettet választjuk ki. A k-borda k-legjobb szabály, hiszen minden s = (s 1,..., s m ) pontvektor, ahol s 1 s 2 s m teljesül egy k-legjobb szabályt indukál. A k-borda bizottsági pontozási szabály a következő bizottsági pontozási függvénnyel: f k Borda m,k (i 1,..., i k ) = k β(i t ), (3.3) ahol a jelölések at SNTV-nél leírtakkal megegyeznek, kiegészülve azzal, hogy minden i [m]-re definiáljuk β(i) = (m i)-t. k jelöltet ad meg a legmagasabb Borda pontokkal. A szétválaszthatóság definíciójából és k-borda bizottsági pontozási függvényéből közvetlenül adódik, hogy k-borda szétválasztható. A k-borda kielégíti a bizottsági monotonitást. Ugyanis a harmadik fejezetben már korábban elhangzott két tételünkből, hogy minden szétválasztható szabály k- legjobb szabály, és egy bizottsági válogatási szabály akkor és csak akkor bizottsági monoton, ha az k-legjobb szabály következik, hogy minden szétválasztható pontozási szabály kielégíti a bizottsági monotonitást. Mivel k-borda szétválasztható, így megfelel a bizottsági monotonitásnak is. Nem rendelkezik az együttműködő bizottság tulajdonsággal, se a szilárd koalícióval, ugyanis ha veszünk C = {a, b, c, d} jelöltekkel egy választást, ahol egy kéttagú bizottságot választunk és a preferencia-sorrendek a > b > c > d és d > b > a > c, akkor az együttmüködő bizottság {d,a}, de a k-borda által választott bizottság biztosan tartalmazni fogja c-t, tehát nem elégíti ki az együttműködő bizottság tulajdonságot. Rendelkezik az erős egyenjogúsággal, és mint minden bizottsági pontozási szabály k-borda is megfelel a jelölt-monotonitásnak és konzisztenciának. t=1 3.3.4. Bloc Ez a szabály is k jelöltet ad meg a legmagasabb k-jóváhagyott pontokkal. Ezzel biztosítjuk, hogy ha minden jelölt ugyanazon módon rangsorolja a jelölteket, akkor 23

a nyertes bizottság azon tagokból áll, akiket a szavazók az első k helyre rangsoroltak. Tehát a legtöbb szavazó által első k helyre rangsorolt jelöltekből fog állni a bizottság, azaz mindenki számára lesz a bizottságban általa nagyon előre rangsorolt jelölt. Bloc is bizottsági pontozási szabály az alábbi bizottsági pontozási függvénnyel: f Bloc m,k (i 1,..., i k ) = k α k (i t ), (3.4) ahol a korábbi jelmagyarázatok érvényesek. Az első t helyen szereplő jelöltet választja ki. Bloc nem szétválasztható szabály, ugyanis α k k-tól függ, így definíció szerint nem lehet szétválasztható. Eléggé különbözik a szétválasztható tulajdonságoktól, például kielégíti a rögzített többség tulajdonságot. Viszont a gyengén szétválaszthatóságot teljesíti. Nem bizottsági monoton ezért a tételünk szerint nem is k-legjobb szabály. Ezt egy példával demonstrálom. 3.3.7. Példa. Vegyünk egy E = (C, V ) választást C = {a, b, c, d} jelöltekkel és a következő szavazatokkal: a > b > c > d, a > c > d > b, c > b > a > d, b > c >> d > a. Ekkor Bloc alatt k = 1 esetében {a} az egyetlen nyertes, de k = 2 esetén {b, c} az egyetlen nyertes bizottság. Bloc nem rendelkezik az együttműködő bizottság tulajdonsággal, a k-borda esetében hozott indoklás itt is megállja a helyét. Erős egyenjogúságnak megfelel és mint minden bizottsági pontozási szabály Bloc is megfelel a jelölt-monotonitásnak és konzisztenciának. t=1 24

4. fejezet Jóváhagyott szavazás többnyerteses választások esetében Célom ezen részen bemutatni és összehasonlítani a jóváhagyáson alapuló eljárásokat. Az egynyerteses esetét már a harmadik fejezetben a jóváhagyáson alapuló szavazás című alfejezetben bemutattam, ott egy szavazó bármennyi jelöltre szavazhat, jóváhagyhatja és a "legjóváhagyottabb" jelölt nyer. A többnyerteses változatban is hasonló a szisztéma, csak itt egy előre megadott k számú bizottságba választjuk a jelölteket és a k "legjóváhagyottabb" jelölt nyer. Minden eljárásban igazságosan vannak a jelöltek és választók is kezelve, senki sem kiemelkedő. 4.1. Egynyerteses jóváhagyott szavazás V továbbra is a szavazói profilt jelenti, tehát a szavazók preferencia-sorrendjeit, amivel a szavazókat egyenlővé tesszük. Az egynyerteses jóváhagyott szavazás nyertesei: AV (V ) = arg max {i : j V i}. (4.1) j=1,2,...,m Azokat a jelölteket tartalmazza, akiknek a legmagasabb a jóváhagyott pontja, ezen jelöltek mind egyenlően nyernek az egynyerteses választásban. 4.2. Többnyerteses jóváhagyott szavazás Az egynyerteses eset általánosítása a képviselők sorrendjén alapszik. Ha a bizottság mérete k, akkor ez egy k-hosszú vektor. r = (r(1), r(2),..., r(k), ahol r(1) 0 25

és r(j) r(j 1), j = 2, 3,..., k. Így ez a képviselő-sorrend nemnegatív és nemcsökkenő. Tehát r(j), ahol j = W V i azt mutatja meg, hogy egy i-edik szavazó nézőpontjából az elfogadható W részhalmaznak mekkora esélye van arra, hogy nyerjen a választásokon. Tehát W pontja a következőképpen áll össze: r(1): ahány szavazó 1 jelöltet hagyott jóvá W -ben, r(2): ahány szavazó 2 jelöltet hagyott jóvá W -ben, r(3): ahány szavazó 3 jelöltet hagyott jóvá W -ben, és ezt így folytatva majd az összeset összeadva megkapjuk W teljes pontszámát. Az általánosított jóváhagyott eljárás így a következőképpen írható fel: GA k (r, V ) = arg max fr(w ), (4.2) W A ahol fr(.) a képviselő-pont, tehát fr(w ) = r( W V i ) összeadja, hogy a W elfogadható részhalmazban hányan hagytak jóvá 1, 2, 3,... jelöltet, tehát i megmutatja a részhalmaz alkalmasságát arra, hogy megnyerje a választásokat. Más szóval az a többnyerteses jóváhagyott eljárás esetén a képviselő-pont minden elfogadható W A részhalmaznak úgy adódik, hogy minden szavazónak összeadja a hozzájárulását. A W halmaz r(j) ponttal gyarapodik, ha a szavazó pontosan j jelöltet hagyott jóvá W -ben, ahol j = 1, 2,..., k. Ha egy szavazó W -ben egyetlen tagot sem hagyott jóvá, akkor ezen szavazó W pontjához egyetlen ponttal sem járul hozzá. Az a k jelölt lesz a jóváhagyott többnyerteses szavazásban a nyertes, akik A-ban a legtöbb pontot kapták. Ezen eljárások valóban jóváhagyott szavazáson alapulnak, hiszen az általánosított jóváhagyott eljárás vesz egy választást ekkor A A 1 -gyel, ekkor egy jelölt pontja minden szavazó esetében vagy r(1)-gyel növekszik, vagy 0-val, attól függően, hogy a szavazó jóváhagyta-e az adott jelöltet vagy sem. Ezért bármely jóváhagyott eljárás jóváhagyott szavazáson alapszik, ha r(1) 0. 4.3. Általánosított jóváhagyott eljárások 4.3.1. Egyszerű jóváhagyott eljárás Jelöljük AV -vel az egyszerű jóváhagyott szavazást, és egy W elfogadható halmaz kapott pontjait jelölje Sc AV (W ). Ez összegzi a egyéni szavazók pontjait. Az i-edik 26

szavazó ponthozzájárulása egy elfogadható W halmazhoz megegyezik a W halmazban lévő i-edik szavazó által támogatott tagok számával. Az eljárás működését egy példán keresztül mutatom be. 4.3.1. Példa. Vegyünk egy E = (C, V ) választást C = {a, b, c, d, e, f} jelöltekkel és vegyünk hét szavazót, tehát n=7 a következő szavazói profilokkal: Az első szavazó által jóváhagyott jelöltek: a, b, c, A második szavazó által jóváhagyott jelöltek: b, e, f, A harmadik szavazó által jóváhagyott jelöltek: e, f, A negyedik szavazó által jóváhagyott jelöltek: b, d, f, Az ötödik szavazó által jóváhagyott jelöltek: c, d, A hatodik szavazó által jóváhagyott jelöltek: a, e, f, A hetedik szavazó által jóváhagyott jelöltek: d, e, f. Ilyenkor az egyszerű jóváhagyott eljárással a jelöltek kapott pontjai: Sc AV (j) = 2, 3, 2, 3, 4, 5 és rendre a jelöltek j = a, b, c, d, e, f. Ekkor k = 1 esetén az egyetlen nyertes f jelölt 5 ponttal, ugyanis 5 szavazó hagyta jóvá a szavazatában ezen jelöltet. Amikor k = 1, akkor az elfogadható halmazok mérete is egy, ugyanis A = A k és jelen esetben A k = A 1. Az eredménye eme választásnak megegyezik az egynyerteses esetével, hiszen ilyen esetben csak egy nyertest választunk. A k = 2 választásra Sc AV (e) = 4 és Sc AV (j) < 4, j = a, b, c, d-re. Van egy tétel, ami kimondja, hogy egy jelölt-szerinti eljárásban, ami maximalizálja az Sc(W ) pontot, a nyertes részhalmazok egy A = A k választással pontosan azokat a részhalmazok, amelyek a k legmagasabb pontú jelöltet tartalmazzák. Mivel f jelöltnek 5 pontja van, ami a legmagasabb pontszám, ezért nyerte ő az egynyerteses választást, így biztosan benne lesz a választásban. Utána e jelölt rendelkezik a legtöbb támogatóval, ezért őt beválasztja az egyszerű jóváhagyott eljárás a bizottságba és mivelhogy minden további jelölt ennél alacsonyabb pontszámmal rendelkezik, ezért {e, f} lesz az egyetlen nyertes bizottság a k = 2 választásban 9 ponttal. Hasonlóan k = 3-ra két bizottság is nyer 12 ponttal, ezek a {d, e, f} és a {b, e, f} bizottságok, tehát mindkét halmazban a három legmagasabb ponttal rendelkező jelölt van benne. Ez az eljárás egynyerteses jóváhagyott szavazáson alapszik és jelölt-szerinti, és tulajdonképpen az egyetlen az általánosított jóváhagyott szavazási eljárások közül, 27

amely rendelkezik ezen tulajdonsággal, ugyanis akkor és csak akkor jelölt-szerinti egy eljárás, ha r(j) = j r(1), ahol j = 1, 2,..., k. A k választásban minden nyertes részhalmaz létrehozható úgy, hogy hozzáadjuk a következő legmagasabb pontszámú jelöltet az A k 1 választásokban a nyertes bizottsághoz. Pontosan így jártunk el az előbbi példában is. 4.3.2. Tétel. [2] Egy jelölt-szerinti eljárás mindig felfelé-, és lefelé-gyarapodó. Tehát az egyszerű jóváhagyott eljárás is rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal, de ez a példából is közvetlenül látszik. 4.3.2. Arányos jóváhagyott eljárás P AV -vel jelöljük az arányos jóváhagyott eljárást és egy W elfogadható halmaz kapott pontjait jelölje Sc P AV (W ). Ez szintén összegzi a egyéni szavazók pontjait, mint az egyszerű jóváhagyott eljárás. Az i-edik szavazó ponthozzájárulása egy elfogadható W halmazhoz 1, ha az i-edik szavazó egyetlen tagot támogat W -ben, 1 + 1 2, ha két tagot és 1 + 1 + 1, ha három tagot, stb. Ezt az eljárást is egy példán keresztül 2 3 szemléltetem. 4.3.3. Példa. Vegyünk egy E = (C, V ) választást C = {a, b, c, d, e} jelöltekkel és vegyünk hat szavazót, tehát n=6 a következő szavazói profilokkal: Az első szavazó által jóváhagyott jelöltek: b, c, A második szavazó által jóváhagyott jelöltek: b, d, A harmadik szavazó által jóváhagyott jelöltek: a, d, A negyedik szavazó által jóváhagyott jelöltek: a, e, Az ötödik szavazó által jóváhagyott jelöltek: b, c, d, A hatodik szavazó által jóváhagyott jelöltek: a, d, e. Ekkor az arányos jóváhagyott eljárással a jelöltek pontjai a következők: Sc P AV (j) = 3, 3, 2, 4, 2 és rendre a jelöltek j = a, b, c, d, e. Ekkor k = 1 esetén 4 ponttal az egyedüli nyertes a d jelölt, hiszen egyedüliként szerepel 4 szavazó szavazatában, így megszerezve a legtöbb támogatót. A k = 2 választásra hármas holtverseny alakul ki a {a, b}, {a, d} és {b, d} bizottságok között, ugyanis mindháromnak 6 a pontszáma az előbb bemutatott pontszámítási móddal számolva. Továbbá k = 3 választásnál az egyetlen háromtagú nyertes bizottság a {a, b, d} 8 ponttal. 28

Az arányos jóváhagyott procedúra egynyerteses jóváhagyott szavazáson alapuló eljárás, de nem jelölt-szerinti, hiszen a pontok Sc P AV (j) = 3, 3, 2, 4, 2 és j = a, b, c, d, e. Vegyünk a {b, d} kéttagú bizottságot. Sc P AV (b) = 3 és Sc P AV (d) = 4, de Sc P AV (b, d) = 6 Sc P AV (b) + Sc P AV (d). Lefelé-gyarapodó, de nem felfelé-gyarapodó, ugyanis {a, b} egy nyertes bizottság a k = 2 esetén, de se {a}, se {b} nem nyer az a k = 1 választásban. 4.3.3. P-képviselő jóváhagyott eljárás Ezen procedúrát REP p -vel jelöljük, ahol p adott szám 1 p k. Sc REP p (W ) jelentse az eljárás alatt W elfogadható halmaz kapott pontjait. Az procedúra során az i-edik szavazó ponthozzájárulása W halmazhoz 1, ha a szavazó legalább p jelöltet támogat a W halmazban és 0, ha a jóváhagyott jelöltek száma p-nél kevesebb. Az előző két eljáráshoz hasonlóan itt is az egyéni szavazók pontjait összegezzük. A folyamat mentét ismét egy példán muatanám be. 4.3.4. Példa. Legyen p = 1 és vegyünk egy E = (C, V ) választást C = {a, b, c, d, e} jelöltekkel és vegyünk hat szavazót, tehát n=6 a következő szavazói profilokkal: Az első szavazó által jóváhagyott jelöltek: a, b, A második szavazó által jóváhagyott jelöltek: a, c, Az harmadik szavazó által jóváhagyott jelöltek: b, e, A negyedik szavazó által jóváhagyott jelöltek: d, e, Az ötödik szavazó által jóváhagyott jelöltek: a, b, c, A hatodik szavazó által jóváhagyott jelöltek: b, d, e. Ekkor az eljárás alatt a jelöltek pontjai Sc REP 1 (j) = 3, 4, 2, 2, 3 és rendre a jelöltek j = a, b, c, d, e. Ebben az esetben a b jelölt az egyetlen nyertes a k = 1 választásban, 4 ponttal. Ekkor k = 2-re a fentebb leírt pontozás alapján az {a, e} bizottság lesz az egyetlen kéttagú nyertes, 6 ponttal, a többi bizottság pontszáma ennél minden esetben kevesebb. A k = 3 választásra viszonylag nagy holtverseny alakul ki az {a, d, e}, {b, c, d}, {a, b, d}, {b, c, e}, {a, b, e} és {a, c, e} háromtagú bizottságok között, szintén 6 ponttal. A p-képviselő jóváhagyott eljárás egynyerteses jóváhagyott szavazáson alapszik, de nem jelölt-szerinti, hasonlóan az arányos jóváhagyott eljáráshoz. Se nem felfelé-, se 29

nem lefelé-gyarapodó a folyamat, ugyanis b az egyetlen nyertes jelölt k = 1 esetén, de a k = 2 választásban pedig {a, e} az egyetlen nyertes bizottság, így egyetlen nyertes kéttagú bizottság sem tartalmazza b-t és {a, e} bizottságból sem kaphatjuk meg b-t. 4.3.5. Példa. Most legyen p = 2, minden más ugyanaz, mint az előző példában. REP 2 esetén k = 1 választásban minden egytagú bizottságnak 0 pontja lesz, ugyanis legalább 2 jelöltet kell egy szavazónak egy elfogadható W halmazból támogatnia ahhoz, hogy az adott bizottsághoz hozzájáruljon egy ponttal. k = 2, tehát kéttagú bizottság választásakor a {d, e}, {b, e}, {a, b} és {a, c} a nyertes bizottságok, 2 ponttal. k = 3-ra pedig {a, b, e} az egyetlen nyertes bizottság, 4 pontal. Ez az eljárás nem jelölt-szerinti és nem lefelé-gyarapodó, ugyanis {d, e} megnyeri a kéttagú választást, de d nem szerepel az egyetlen nyertes háromtagú bizottságban. 4.4. Többségi küszöbérték eljárás Különbséget teszünk többségi küszöbérték és szigorú többségi küszöbérték között. Egy jelöltrészhalmaz akkor és csak akkor reprezentál egy szavazót, ha a részhalmazbeli jelöltek többsége jóvá lett hagyva a szóban forgó szavazó által. A nyertes bizottság egy olyan elfogadható részhalmaz, ami a legtöbb szavazót képviseli. Egy k tagú bizottsági választás esetén a képviseleti feltétel abban az esetben teljesül, amikor p = k k+1 jelöltet vagy a szigorú esetben legalább p = jóváhagyott jelöltet 2 2 tartalmaz a részhalmaz. Ezen folyamatok akkor egyenlőek, ha k páratlan, mert ekkor a részhalmaz csak akkor tartalmazhat többséget, ha a szigorú többséget tartalmazza. Így mindkét eljárás előre adott számú bizottság választása esetén REP p eljárással egyezik meg megfelelő p választása esetén. Tehát azon tulajdonságok igazak rájuk, amelyek REP p -re is igazak voltak. Példa a folyamat bemutatására: 4.4.1. Példa. Vegyünk egy E = (C, V ) választást m = 5 jelöltettel C = {a, b, c, d, e} és n = 6 szavazóval, a következő szavazói profilokkal: Az első szavazó által jóváhagyott jelöltek: c, d, A második szavazó által jóváhagyott jelöltek: a, b, d, A harmadik szavazó által jóváhagyott jelöltek: c, d, e, 30

A negyedik szavazó által jóváhagyott jelöltek: a, b, c, Az ötödik szavazó által jóváhagyott jelöltek: b, d, e. Ekkor k = 1-re és k = 3-ra megegyezik a két eljárás esetében a képviseleti feltétel. Mindkét esetben p = k+1, tehát k = 1 választásra p = 1. Ebben az esetben 2 egy szavazó akkor támogatja az adott elfogadható részhalmazt, ha az legalább 1 jelöltet jóváhagyott benne. Így 4 ponttal d jelölt nyeri az egynyerteses választást. A k = 2 esetben a képviseleti feltétel p = k, tehát p = 1, tehát ugyanúgy egy 2 jelöltet kell az adott szavazónak támogatnia az elfogadható részhalmazból, hogy ponthozzájárulása legyen az adott részhalmazra. Így {b, c}, {b, d} és {c, d} lesznek a nyertes bizottságok 5 ponttal a kétnyerteses esetben. Ilyenkor a szigorú képviseleti feltétel p = 2-re módosul, tehát egy adott szavazóak már két jelöltet kell jóváhagynia a kétfős bizottságból, ahhoz hogy azt támogassa. Tehát {a, b}, {b, d}, {c, d} és {d, e} a nyertes bizottságok 2 ponttal. Ekkor k = 3-ra a képviseleti feltétel és a szigorú képviseleti feltétel is p = 2. Így a {b, c, d} bizottság az egyetlen nyertese ezen választásnak 5 ponttal. 4.5. Elégedettséggel kapcsolatok eljárások 4.5.1. Elégedettségi jóváhagyott eljárás Ezt az eljárást jelölje SAV és rögzített k-ra bármilyen k-választásra és V szavazói profilra a következőképpen választja ki a nyertes részhalmazokat: arg max W A i ahol a W elfogadható halmaz pontszámát számoljuk ki. W V i, (4.3) V i 4.5.1. Példa. Vegyünk egy E = (C, V ) választást C = {a, b, c, d} jelöltekkel és n = 6 szavazóval, a következő szavazói profilokkal: Az első szavazó által jóváhagyott jelöltek: c, A második szavazó által jóváhagyott jelöltek: a, c, A harmadik szavazó által jóváhagyott jelöltek: a, d, A negyedik szavazó által jóváhagyott jelöltek: a, b, c, Az ötödik szavazó által jóváhagyott jelöltek: a, b, d, 31