MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) Tasnádi Tamás 1 2015. április 17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz.
Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk
Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk
Vektorok geometriai kép Vektor = irányított szakasz Műveletek: Összeadás: Számmal való szorzás: a a+b λv b v
Vektorok matematikus definíció Vektor = vektortér eleme. A vektortérben végezhető műveletek megadott axiómákat elégítenek ki: a + b=b + a kommutativitás; (a + b) + c=a + (b + c) asszociativitás; a + 0=a nullvektor ( a) : a + ( a)=0 ellentett vektor α(a + b)=αa + αb disztributivitás (α + β)a=αa + βa disztributivitás (αβ)a=α(βa) 1 a=a egység
Vektorok fizikus definíció A vektorokat egy K koordináta-rendszerben koordinátákkal adjuk meg. a x [a] K = a y, [b] K = b y. a z b z A műveletek: a x + b x αa x [a + b] K = a y + b y, [αa] K = αa y. a z + b z αa z b x y v y K v v x x A koordináta-rendszer megváltoztatásakor a vektorok koordinátái meghatározott módon transzformálódnak.
Koordináta-rendszer forgatása A K koordináta-rendszer a K rendszerből z tengelyű, ϕ szögű forgatással áll elő. A v vektor koordinátái: v x v x [v] K = v y, [v] K = v y. v z v z A koordináták transzformációja: y K v y v y v x = v x cos ϕ + v y sin ϕ, v y = v x sin ϕ + v y cos ϕ, v z = v z. y K φ v x v x x x
Vektor forgatása A z tengely körüli, ϕ szögű forgatás:o ϕ z. A koordináta-rendszer helyett a vektort forgatjuk ellenkező irányban: [v] K = [ Oz ϕ v ] K Tetszőleges O forgatás esetén: [v] OK = [O 1 v] K, ahol OK a K elforgatottja, és O 1 a forgatás inverze. Tetszőleges O forgatás felcserélhető a műveletekkel: O(λa) = λ(oa) O(a + b) = (Oa) + (Ob) a b = (Oa) (Ob) O(a b) = (Oa) (Ob) y K O z φ v φ v (számmal szorzás); (összeadás); (skaláris szorzás); (vektoriális szorzás). x
Tükrözés Az y-z síkra való tükrözés: T yz. A K = T yz K koordináta-rendszer a K rendszerből az y-z síkra való tükrözéssel áll elő. A tükrözés inverze önmaga, T 1 yz = T yz, így: [v] Tyz K = v x v y v z v x = [T yz v] K = v y. v z Tetszőleges T tükrözés esetén: Tyzv y K v x [v] T K = [T v] K, T (λa) = λ(t a), T (a + b) = (T a) + (T b), a b = (T a) (T b), T (a b) = (T a) (T b) (ha v ún. poláris vektor) szokatlan viselkedés!
Axiálvektorok Kétféle vektort különböztetünk meg aszerint, hogy hogyan transzformálódik a koordináta-rendszer síkra való tükrözésekor: p poláris vektor: [p] T K = [T p] K, a axiálvektor: [a] T K = [T a] K. Két poláris vektor vektoriális szorzata axiálvektor: [a b] T K = [a] T K [b] T K = [T a] K [T b] K = Hasonlóan: = [(T a) (T b)] K = [ T (a b)] K = [T (a b)] K. poláris axiál = poláris, axiál axiál = axiál. axiál poláris = poláris, Poláris vektorok: erő, sebesség, lendület, elektromos tér... Axiálvektorok: szögsebesség, perdület, forgatónyomaték, mágneses indukció...
Szögsebesség, mint axiálvektor v = ω r, v : kerületi sebesség (poláris vektor), r : helyvektor (poláris vektor), ω : szögsebesség (axiálvektor). A tükrözött rendszerben a szögsebesség a szögsebesség tükörképének ellentettje. T v T v ω Tω [ω] T K = [T ω] K
Mágneses indukció, mint axiálvektor F = Qv B, F : erő (poláris vektor), v : sebesség (poláris vektor), B : mágneses indukció (axiálvektor). A tükrözött rendszerben a mágneses indukció a mágneses indukció tükörképének ellentettje. Köráram esetén: B T T B I T I [B] T K = [T B] K
Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk
Forgómozgás alapegyenlete M = dn dt M: forgatónyomaték, N = Θω: impulzusmomentum (perdület). Θ: tehetetlenségi nyomaték ω: szögsebesség. Megjegyzések: Az egyenletet felírhatjuk a tömegközéppontra vagy rögzített, nyugvó pontra. Ha M = 0, akkor a perdület megmarad. Ha N 0, akkor a perdület úgy is változhat, hogy N nagysága állandó, de N iránya változik. ω és N általában nem párhuzamosak = tehetetlenségi főtengelyek.
Kísérletek perdületmegmaradásra Ha a testre ható forgatónyomaték zérus, akkor perdülete megmarad. A forgózsámolyos kísérletekben a perdület függőleges komponense állandó. A bemutatott kísérletek videofelvételei a megtalálhatók a http://fizipedia.bme.hu honlapon. A kísérleteket Härtlein Károly mutatja be. Perdület megmaradás 1. Perdület megmaradás 2. Perdület megmaradás 3. Perdület megmaradás 4. Perdület megmaradás 5. Perdület megmaradás 6.
További kísérletek Pörgettyű vizsgálatok Szabad tengely vizsgálata 1. Szabad tengely vizsgálata 2.
Feladat: gyors szimmetrikus pörgettyű precessziója Határozzuk meg az ω szögsebességgel gyorsan forgó szimmetrikus pörgettyű precessziójának Ω szögsebességét! A pörgettyű tömege m, szimmetriatengelyére vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka Θ, a tömegközéppont és az alátámasztási pont távolsága l, a szimmetriatengely a függőlegessel α szöget zár be. l α Ω 01 00 11 00 11 000 111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 m ω
Megoldás A perdület nagysága nem változik, ezért a perdületváltozás sebessége megegyezik az N = Θω vektor végpontjának sebességével: K l α Ω dn dt = ΩΘω sin α. ω N Másrészt, a pörgettyűre ható forgatónyomaték: M = mgl sin α. 01 E két kifejezés egyenlőségéből: 00 11 00 11 mg 000 111 0000 1111 Ω = mgl 0000 1111 Θω. 0000 1111 Megjegyzés: Feltettük, hogy Ω ω valamint, hogy α állandó.