Indirekt térfogat-vizualizáció. Fourier térfogat-vizualizáció. Tomográfiás rekonstrukció. Radon-transzformáció. A Fourier vetítő sík tétel

Hasonló dokumentumok
3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

3D-s számítógépes geometria

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

10. Alakzatok és minták detektálása

Statisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás.

7. Regisztráció. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (

Röntgen diagnosztikai eljárások:

Mi a szcintilláció lényege? Milyen esetekben van rá szükség? Nevezzen meg egy konkrét ilyen esetet!

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

A MOLEKULADINAMIKAI MÓDSZEREK SZISZTEMATIKUS TÁRGYALÁSA: KLASSZIKUS DINAMIKA A POSTERIORI KORREKCIÓJA

Digitális Domborzat Modellek (DTM)

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Képrekonstrukció 3. előadás

Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 09 Rendezések

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor

(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja.

4 2 lapultsági együttható =

IDA ELŐADÁS I. Bolgár Bence október 17.

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

Méréselmélet: 5. előadás,

Turbulens áramlás modellezése háromszög elrendezésű csőkötegben

3D-s számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom

Mérés és adatgyűjtés

Az entrópia statisztikus értelmezése

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

3D Számítógépes Geometria II.

Pontműveletek. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar február 20.

Support Vector Machines

EM algoritmus. A feladat: egy valószínűség eloszlás valmilyen paraméterét(vektorát) akarjuk becsülni részlegesen megfigyelhető.

Gyakorló feladatok I.

NGB_IN040_1 SZIMULÁCIÓS TECHNIKÁK dr. Pozna Claudio Radu, Horváth Ernő

Régió alapú szegmentálás. Digitális képelemzés alapvető algoritmusai. 2. példa: Elfogadható eredmények. 1. példa: Jó eredmények. Csetverikov Dmitrij

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

Fourier transzformáció

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval

Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás. Dr. Iványi Péter

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?

FILMHANG RESTAURÁLÁS: A NEMLINEÁRIS KOMPENZÁLÁS

Matematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik

Készítette: Trosztel Mátyás Konzulens: Hajós Gergely

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Molekuladinamika. Molekuladinamika. Molekuladinamika. Molekuladinamika. Molekuladinamika. Molekuladinamika

A sokaság/minta eloszlásának jellemzése

Kvantum-tömörítés II.

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

A csoport. Statika ZH feladat. Határozza meg az erőrendszer nyomatékát a F pontra! a = 3 m b = 4 m c = 4 m

3D-s számítógépes geometria

Bevezetés a programozásba. 3. Előadás Algoritmusok, tételek

Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602)

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

ANALÍZIS II. Példatár

Digitális képek feldolgozása Előfeldolgozás Radiometriai korrekció Geometriai korrekció Képjavítás Szűrők Sávok közötti műveletek Képosztályozás Utófe

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK

A tárgy neve Meghirdető tanszék(csoport) Felelős oktató: Kredit Heti óraszám típus Számonkérés Teljesíthetőség feltétele Párhuzamosan feltétel

Intelligens Rendszerek Elmélete

Digitális képek szegmentálása. 5. Textúra. Kató Zoltán.

5. osztály. Matematika

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

Relációk. Vázlat. Példák direkt szorzatra

DOKTORI ÉRTEKEZÉS ÚJ RÁCSKVANTÁLÓ ALGORITMUSOK ÉS ALKALMAZÁSAIK A VIDEÓ- ÉS A BESZÉDKÓDOLÁSBAN. Készítette: Lois László

Tanult nem paraméteres próbák, és hogy milyen probléma megoldására szolgálnak.

MINTAFELADATOK. 1. feladat: Két síkidom metszése I.33.,I.34.

Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.

Vázlat. Relációk. Példák direkt szorzatra

Ferde kúp ellipszis metszete

SZE, Doktori Iskola. Számítógépes grafikai algoritmusok. Összeállította: Dr. Gáspár Csaba. Felületmegjelenítés

Valószínűségszámítás összefoglaló

Vadas Norbert Robotkarok problémája

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

(Independence, dependence, random variables)

Robotok direkt geometriája

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Véletlenszám generátorok. 6. előadás

FELVÉTELI VIZSGA, július 17.

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

3D-s számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I márc.11. A csoport

1. Holtids folyamatok szabályozása

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

Párhuzamos algoritmusok

Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

Átírás:

Vzualzácós algortmusok csoportosítása Indrekt térfogat-vzualzácó Csébfalv Balázs Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Irányítástechnka és Informatka Tanszék Drekt vzualzácó: Közvetlenül a dszkrét adatot dolgozzuk fel Indrekt vzualzácó: Átmenet reprezentácóra van szükség 3D Fourer transzformácó Fourer térfogatvzualzácó Véletlen pontfelhős reprezentácó Monte Carlo térfogat-vzualzácó Szntfelület geometra modelle Masírozó kockák (Marchng cubes 2 / 44 Fourer térfogat-vzualzácó Tomográfás rekonstrukcó Tomográfás rekonstrukcó a bemenet adatok a vetületek ezekből rekonstruáluk a 3D elet egy adott rács rácspontaban Fourer térfogat-vzualzácó a tomográfás rekonstrukcó nverze a bement adat a 3D tomográfás rekonstrukcó eredménye ebből reprodukálunk egy tetszőleges rányú vetületet szmulált Röntgen-képek generálása 3 / 44 4 / 44 Radon-transzformácó A Fourer vetítő sík tétel p ( t y δ ( x cos( + y sn( t dy 5 / 44 a vetület D Fourer transzformálta 2πω t P ( ω p ( t e Fourer vetítő sík tétel: P ( ω ω cos, ω sn u, v y P ( ω e 2π ( ux+ vy dt dudv 6 / 44

2D Fourer-transzformácó f(x,y 2D Fourer-transzformálta: u, v 2π ( ux+ vy y e dy A vetület Fourer-transzformálta: P ( ω p ( t, s e 2πωt dt Koordnáták transzformácóa t cos s sn sn x cos y A vetület a transzformált (t, s térben: p ( t f ( t, s ds 7 / 44 8 / 44 Fourer vetítés sík tétel P ( ω 2πωt 2πωt p ( t, s e dt f ( t, s ds e dt Ugyanez az (x, y eredet térben: P ( ω 2πωt y e dy t x cos + y sn Fourer vetítés sík tétel a vetület D Fourer transzformálta P ( ω 2πω ( xcos + ysn y e dy Fourer vetítés sík tétel: y a szelet 2D Fourer-transzformálta P ( ω ω cos, ω sn u, v P ( ω e 2π ( ux+ vy dudv 9 / 44 0 / 44 Szűrt vsszavetítés Helyettesítéses ntegrálás: y u ω cos, v ω sn 2π 0 0 e 2πω ( xcos + ysn ωdωd ω a transzformácó Jacob-determnánsa Szűrt vsszavetítés y π 0 0 π 0 0 + π e e 2πω ( xcos + ysn 2πω ( xcos( + π + ysn( + π A Fourer transzformácó defnícóából: + π ωdωd + ωdωd / 44 2 / 44 2

Szűrt vsszavetítés A szűrő átvtel függvénye y π 0 π 0 P ( ω ω e ω e 2πω ( xcos + ysn 2πω ( xcos + ysn dωd dωd konvolúcós szűrés egy ω karaktersztkáú szűrővel vsszavetítés 3 / 44 4 / 44 A szűrt vsszavetítés algortmusa Dszkrét mplementácó. Mnden szögre számítsuk k a megfelelő p vetület P Fourer-transzformáltát 2. Szűrés a frekvencatartományban (P szorzása a szűrő átvtel függvényével ekvvalens egy konvolúcóval a tértartományban: 2πωt Q ( t P ( ω ω e dω 3. Vsszavetítés: π Q ( x cos + y y sn d 0. Mnden szögre számítsuk k a megfelelő p vetület P dszkrét Fourer transzformáltát 2. Szűrés a frekvencatartományban (P szorzása a szűrő dszkrét átvtel függvényével 3. A 2. lépés eredményének nverz dszkrét Fourertranszformácóa 4. Vsszavetítés: N y Q ( x cos + y sn 5 / 44 6 / 44 Fourer térfogat-vzualzácó 3D Fourer-transzformácó Szeletelés A nézet rányra merőleges sík mentén úramntavételezzük a 3D Fourer-transzformáltat 2D nverz Fourer-transzformácó A Fourer vetítő sík tétel alapán a kapott eredmény az eredet 3D tömb adott rányú vetülete Komplextás Tegyük fel, hogy egy N 3 felbontású tömbünk van A 3D DFT komplextása O(N 3 logn egyszer kell megcsnáln egy előfeldolgozásban A szeletelés komplextása O(N 2 ha kompakt mntavételező szűrőt használunk A 2D nverz DFT komplextása O(N 2 logn mnden nézetre külön el kell végezn A megelenítés költsége praktkusan a pxelek számával arányos nem pedg a voxelek számával A hagyományos módszerek (ray castng, splattng mnden voxelt számításba vesznek, ezért ezek komplextása O(N 3 7 / 44 8 / 44 3

Gyakorlat problémák A praktkus szűrők smító hatásuk matt a térfogat középső részét túlhangsúlyozzák Előszorzás: A 3D DFT-t előszorozzuk a rekonstrukcós szűrő Fourer-transzformáltának recprokával Hátrányok Nncs alfa-kompoztálás Csak szmulált Röntgen-képek előállítására alkalmas Csak párhuzamos vetítésre használható Gyakorlat alkalmazása korlátozott 9 / 44 20 / 44 Depth cueng Félgömbös megvlágítás A távolabb pontokat ksebb ntenztással renderelük Ezáltal a mélységérzet avítható A mélység modulácó a frekvencatartományban egy 2D műveletként végezhető el A 3D DFT-t nem kell úraszámoln { f ( d( } H ( ν ( ν D( ν P( ν H ( ν ( ν P( ν ( H ( ν D( ν ( ν P( ν H '( ν FT 2 / 44 Klasszkus félgömbös megvlágítás: I ( + ( N L 2 Félgömbös megvlágítás térfogat adatokra: x L x f ( I f ( + x + x L x f ( f ( 2 f ( 2 Kértékelés a frekvencatartományban: 2 ( ( FT{ f ( } + FT{ f ( }( ν L H( ν 22 / 44 Félgömbös megvlágítás Monte Carlo térfogat-vzualzácó Integráluk a sűrűségfüggvényt azon a térfogatrészen, amely az adott pxelre vetül Alkalmazzuk a Monte Carlo ntegrálást félgömbös megvlágítás félgömbös megvlágítás mélység ntenztásmodulácóval 23 / 44 24 / 44 4

Monte Carlo térfogat-vzualzácó A sűrűségfüggvény folytonos reprezentácóa: f (,, k Z Monte Carlo ntegrálás:, k h( x x,, k M g( g( g( xk I g( E M k xk x k egy x valószínűség változó k-adk mntáa, ahol a valószínűség sűrűségfüggvény az átlagolás torzítatlan becslést ad az ntegrálra a szórás annál ksebb mnél nkább arányos a g( ntegrandussal (mportance samplng - fontosság szernt mntavételezés 25 / 44 Monte Carlo térfogat-vzualzácó Az I, pxel számítása f ( v, ( I, f ( f ( v, ( E V, V v, ( a láthatóság függvény: v(, 0 x V otherwse Részleges mportance samplng ( csak az f( sűrűségfüggvénnyel arányos: f ( p, v f (, f ( v ( V f M [, ( ],, E f ( E v v V, ( xk M k I, M, M 26 / 44 MCVR algortmus Komplextás Generálunk pontmntákat a folytonos sűrűségfüggvénnyel arányos valószínűség sűrűséggel először egy random voxel pozícót választunk mad a random voxelpozícóhoz hozzáadunk egy a rekonstrukcós kernellel, mnt valószínűség sűrűségfüggvénnyel generált eltolásvektort Vetítsük rá a pontmntákat a képsíkra Az pxelek ntenztása legyen arányos a ráuk vetülő pontmnták számával A becslés szórása csökkenthető a pontmnták számának növelésével A normalzált ntenztásokat kvantáluk A szórást a kvantálás hba sznte alá lehet vnn Belátható, hogy a szükséges mnták száma a pxelek számával és nem a voxelek számával arányos Ilyen értelemben az MCVR komplextása O(N 2, am obb mnt a Fourer térfogat-vzualzácó O(N 2 logn-es komplextása 27 / 44 28 / 44 Konvergenca MCVR-rel generált képek M 6M 29 / 44 30 / 44 5

Árnyalás gradensek alapán Árnyalás gradensek alapán Nem az eredet adatokat használuk valószínűség sűrűségfüggvényként A valószínűség a gradens nagyságával arányos A ól defnált szntfelületeket emelük k A pontmntákat a vetítés előtt árnyaluk A kompoztálás egy egyszerű ntegrálás Az árnyalt Fourer térfogat-vzualzácóhoz hasonló eredményt kapunk M 6M 3 / 44 32 / 44 Masírozó kockák (Marchng Cubes Masírozó kockák algortmusa Az átmenet reprezentácó egy adott szntfelület háromszögekkel közelített geometra modelle Mnden kocka alakú cellára megvzsgáluk, hogy metsz-e a szntfelület A kockákon belül a sarokpontok osztályozása alapán alkalmazunk egy háromszöges közelítést A kapott geometra modellt hagyományos módon (pl. nkrementáls képszntézssel elenítük meg Szntfelület defnálása egy t küszöbértékkel Voxelek (volume element bnárs osztályozása A metszett cellák trangularzácóa: 8 btes ndex kszámítása a nyolc sarokvoxel bnárs osztályozása alapán éllsta kolvasása egy prekalkulált táblázatból metszéspontok számítása lneárs nterpolácóval felület normálsok lneárs nterpolácóa 33 / 44 34 / 44 Osztályozás - cellandexek kszámítása A cellák trangularzácóa A 8-btes ndex alapán 256 esetet lehet megkülönböztetn Topológalag vszont csak 4 különböző elem trangularzácó létezk a prekalkulált táblázat csak 4 éllstát tárol A több esetet forgatással vagy tükrözéssel kaphatuk meg 35 / 44 36 / 44 6

Elem trangularzácók Az elem trangularzácók nem egyértelműek 37 / 44 38 / 44 Kegészítő trangularzácók A háromszögek csúcspontanak kszámítása Vertexek kszámítása: V, ( t f ( P P + ( f ( P t P f ( P f ( P Felület normálsok kszámítása: N, ( t f ( P N f ( P + ( f ( P t N f ( P 39 / 44 40 / 44 Rekonstruált szntfelületek Az algortmus hátránya Nagy számú háromszöget generál Háromszög-tzedelésre (trangle decmaton van szükség A relatíve ks görbületű felületrészeket reprezentáló háromszögeket összevonuk Octree alapú herarchkus megközelítés Szakaszonként lneárs közelítés közelről látszanak a háromszögek éle Iteratív utósmításra van szükség görbület mnmalzálása büntető függvénnyel A háromszögháló megelenítése ma már lassabb mnt a drekt térfogat-vzualzácó GPU mplementácóa 4 / 44 42 / 44 7

Alkalmazás orvos CAD rendszerben Fogászat alkamazás 43 / 44 44 / 44 Mechanka szmulácó Véges elemes analízs 45 / 44 8